معیار هندسی برای وابستگی خطی سه بردار. شرط لازم برای وابستگی خطی n تابع. ویژگی های بردارهای وابسته به خط

توجه داشته باشید که در ادامه بدون از دست دادن کلیت، مورد بردارها در فضای سه بعدی را بررسی خواهیم کرد. در هواپیما، در نظر گرفتن بردارها به روشی مشابه انجام می شود. همانطور که در بالا ذکر شد، تمام نتایج شناخته شده از سیر جبر خطی برای بردارهای جبری را می توان به مورد خاص بردارهای هندسی منتقل کرد. پس بیا انجامش بدیم.

بگذارید بردارها ثابت شوند.

تعریف.مجموع، جایی که تعدادی اعداد وجود دارد، ترکیب خطی بردارها نامیده می شود. در این صورت به این اعداد ضرایب ترکیب خطی گفته می شود.

ما به سوال امکان برابری یک ترکیب خطی با بردار صفر علاقه مند خواهیم بود. مطابق با ویژگی ها و بدیهیات فضاهای برداری، بدیهی است که برای هر سیستم بردار، مجموعه ای از ضرایب (صفر) بی اهمیت وجود دارد که این برابری برای آنها برقرار است:

این سؤال مطرح می شود که برای یک سیستم معین از بردارها مجموعه ای از ضرایب غیر پیش پا افتاده (که در میان آنها حداقل یک ضریب غیر صفر وجود دارد) وجود دارد که برابری ذکر شده برای آنها صادق است. مطابق با این، ما بین سیستم های وابسته خطی و مستقل تمایز قائل می شویم.

تعریف.اگر مجموعه‌ای از بردارها وجود داشته باشد، سیستمی از بردارها مستقل خطی نامیده می‌شود که در میان آنها حداقل یک عدد غیر صفر وجود داشته باشد، به طوری که ترکیب خطی مربوطه برابر با بردار صفر باشد:

اگر تساوی باشد، سیستمی از بردارها مستقل خطی نامیده می شود

فقط در صورت وجود مجموعه ای ناچیز از ضرایب امکان پذیر است:

اجازه دهید ویژگی های اصلی سیستم های وابسته و مستقل خطی را که در جبر خطی اثبات شده اند فهرست کنیم.

1. هر سیستم بردار حاوی بردار صفر به صورت خطی وابسته است.

2. در سیستم بردارها یک زیرسیستم وابسته خطی وجود داشته باشد. سپس کل سیستم نیز به صورت خطی وابسته است.

3. اگر سیستمی از بردارها مستقل خطی باشد، هر یک از زیرسیستم های آن نیز مستقل خطی است.

4. اگر در سیستمی از بردارها دو بردار وجود داشته باشد که یکی از آنها با ضرب در عدد معینی از دیگری به دست می آید، کل سیستم به صورت خطی وابسته است.

قضیه (معیار وابستگی خطی).یک سیستم از بردارها به صورت خطی وابسته است اگر و تنها در صورتی که یکی از بردارهای این سیستم را بتوان به صورت ترکیبی خطی از سایر بردارهای سیستم نشان داد.

با در نظر گرفتن معیار همخطی بودن دو بردار، می توان استدلال کرد که معیار وابستگی خطی آنها همخطی بودن آنهاست. برای سه بردار در فضا، عبارت زیر درست است.

قضیه (معیار وابستگی خطی سه بردار هندسی).سه بردار و به صورت خطی وابسته هستند اگر و فقط اگر همسطح باشند.

اثبات

نیاز داشتن.اجازه دهید بردارها، و به صورت خطی وابسته باشند. بیایید همسانی آنها را ثابت کنیم. سپس با توجه به معیار کلی وابستگی خطی بردارهای جبری، ادعا می کنیم که یکی از این بردارها را می توان به صورت ترکیب خطی بردارهای دیگر نشان داد. اجازه دهید، برای مثال،

اگر هر سه بردار، و به یک مبدأ مشترک اعمال شوند، آنگاه بردار با قطر متوازی الاضلاع ساخته شده روی بردارها منطبق خواهد شد. اما این بدان معنی است که بردارها و در یک صفحه قرار دارند، یعنی. هم صفحه.

کفایت.بردارها را بگذارید و همسطح باشند. اجازه دهید نشان دهیم که آنها به صورت خطی وابسته هستند. اول از همه، موردی را در نظر بگیرید که هر جفت از بردارهای نشان داده شده به صورت هم خط باشد. در این مورد، طبق قضیه قبلی، سیستم بردارها، شامل یک زیر سیستم خطی وابسته است و بنابراین، خود با توجه به خاصیت 2 سیستم‌های بردارهای وابسته و مستقل خطی وابسته است. اکنون اجازه دهید هیچ جفتی از بردارهای مورد بررسی خطی نباشند. ما هر سه بردار را به یک صفحه منتقل می کنیم و آنها را به یک مبدا مشترک می رسانیم. از انتهای خطوط بردار موازی با بردارها و . بگذارید حرف نقطه تلاقی خط موازی بردار را با خطی که بردار روی آن قرار دارد نشان دهد و با حرف نقطه تلاقی خط موازی بردار را با خطی که بردار روی آن قرار دارد نشان دهد. با تعریف مجموع بردارها به دست می آید:

.

از آنجایی که بردار خطی به یک بردار غیرصفر است، یک عدد واقعی وجود دارد به طوری که

ملاحظات مشابه دلالت بر وجود یک عدد واقعی دارد به طوری که

در نتیجه خواهیم داشت:

سپس، از معیار کلی برای وابستگی خطی بردارهای جبری، به این نتیجه می رسیم که بردارها، , به صورت خطی وابسته هستند. ■

قضیه (وابستگی خطی چهار بردار).هر چهار بردار به صورت خطی وابسته هستند.

اثبات اول از همه، موردی را در نظر بگیرید که هر سه بردار از چهار بردار نشان داده شده همسطح باشد. در این صورت، این سه گانه مطابق با قضیه قبلی به صورت خطی وابسته است. بنابراین مطابق با خاصیت 2 سیستم بردار وابسته و مستقل خطی و کل چهارگانه به صورت خطی وابسته است.

اجازه دهید در بین بردارهای مورد بررسی، هیچ سه بردار همسطح نباشد. اجازه دهید هر چهار بردار , , , را به یک شروع مشترک بیاوریم و صفحاتی را از انتهای بردار موازی با صفحات تعریف شده توسط جفت بردارها ترسیم کنیم . , ، . نقاط تقاطع صفحات نشان داده شده با خطوطی که بردارها، و دروغ در آنها به ترتیب با حروف، و نشان داده می شوند. از تعریف مجموع بردارها برمی آید که

که با در نظر گرفتن معیار کلی وابستگی خطی بردارهای جبری می گوید هر چهار بردار به صورت خطی وابسته هستند. ■

Def.سیستم عناصر x 1,…,x m lin. اگر ∃ λ 1،…، λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) به طور خطی وابسته نامیده می شود به طوری که λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ .

Def.اگر از تساوی λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =… = λ m = 0، سیستمی از عناصر x 1 ,…,x m ∈ V خطی مستقل نامیده می شود.

Def.عنصر x ∈ V به ترکیب خطی عناصر x 1 ,…,x m ∈ V گفته می شود اگر ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ به طوری که x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m .

قضیه (معیار وابستگی خطی):سیستمی متشکل از بردارهای x 1 ,...,x m ∈ V به صورت خطی وابسته است اگر و تنها در صورتی که حداقل یک بردار از سیستم به صورت خطی بر حسب بردارهای دیگر بیان شود.

Doc. نیاز داشتن:فرض کنید x 1 ,…,x m به صورت خطی وابسته باشد ⟹∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) به طوری که λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 + λ m x m = θ. پس فرض کنید λ m ≠ 0 باشد

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

کفایت: اجازه دهید حداقل یکی از بردارها به صورت خطی بر حسب بردارهای دیگر بیان شود: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1،…،x m - به صورت خطی مستقل هستند.

ون. شرط وابستگی خطی:

اگر سیستم حاوی یک عنصر صفر یا یک زیرسیستم وابسته به خط باشد، پس به صورت خطی وابسته است.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 - سیستم وابسته خطی

1) اجازه دهید x 1 = θ، سپس این برابری برای λ 1 = 1 و λ 1 =… = λ m = 0 معتبر است.

2) فرض کنید λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 یک زیرسیستم وابسته خطی باشد ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 . سپس برای λ 1 = 0 نیز به دست می آوریم |λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 یک سیستم وابسته خطی است.

اساس یک فضای خطی مختصات برداری در مبنای داده شده. مختصات مجموع بردارها و حاصلضرب یک بردار با عدد. شرط لازم و کافی برای وابستگی خطی یک سیستم از بردارها.

تعریف: سیستم مرتبی از عناصر e 1، ...، e n فضای خطی V را مبنای این فضا می نامند اگر:

الف) e 1 ... e n مستقل خطی هستند

ب) ∀ x ∈ α 1 … α n به طوری که x= α 1 e 1 +…+ α n e n

x= α 1 e 1 +…+ α n e n - بسط عنصر x در پایه e 1، ...، e n

α 1 … α n ∈ ℝ مختصات عنصر x در پایه e 1، …، e n هستند.

قضیه: اگر مبنای e 1، …، e n در فضای خطی V داده شود، سپس ∀ x ∈ V ستون مختصات x در پایه e 1، …، e n به طور یکتا تعیین می شود (مختصات منحصراً تعیین می شوند)

اثبات:اجازه دهید x=α 1 e 1 +…+ α n e n و x=β 1 e 1 +…+β n e n

x= ⇔ = Θ، یعنی e 1، …، e n مستقل خطی هستند، سپس - =0 ∀ i=1، …، n ⇔ = ∀ i=1، …، n h.t.d.

قضیه: اجازه دهید e 1، …، e n مبنای فضای خطی V باشد. x، y عناصر دلخواه فضای V هستند، λ ∈ ℝ یک عدد دلخواه است. وقتی x و y جمع می شوند مختصات آنها جمع می شود و وقتی x در λ ضرب می شود مختصات x نیز در λ ضرب می شود.

اثبات: x= (e 1, …, e n) و y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1، …، e n)

λx= λ ) = (e 1, …, e n)

Lemma1: (شرط لازم و کافی برای وابستگی خطی سیستم بردارها)

فرض کنید e 1 …e n مبنای فضای V باشد. سیستم عناصر f 1 , … , f k ∈ V به صورت خطی وابسته است اگر و فقط اگر ستون های مختصات این عناصر در پایه e 1, …, e n باشند. وابسته خطی

اثبات: f 1 , …, f k را در پایه e 1, …, e n گسترش دهید

f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] یعنی λ 1 f 1 +…+ λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = در صورت نیاز.

13. ابعاد فضای خطی. قضیه رابطه بین بعد و مبنا.
تعریف: فضای خطی V در صورتی که n عنصر مستقل خطی در V وجود داشته باشد فضای n بعدی نامیده می شود و سیستمی از هر n + 1 عنصر فضای V به صورت خطی وابسته است. در این حالت n بعد فضای خطی V نامیده می شود و به آن dimV=n می گویند.

اگر ∀N ∈ ℕ در فضای V یک سیستم مستقل خطی حاوی N عنصر وجود داشته باشد، فضای خطی نامحدود نامیده می شود.

قضیه: 1) اگر V یک فضای خطی n بعدی باشد، آنگاه هر سیستم منظمی از n عنصر مستقل خطی این فضا مبنایی را تشکیل می دهد. 2) اگر در فضای خطی V مبنایی متشکل از n عنصر وجود داشته باشد، بعد V برابر با n است (dimV=n).

اثبات: 1) اجازه دهید dimV=n ⇒ در V ∃ n عنصر مستقل خطی e 1, …,e n . ما ثابت می کنیم که این عناصر یک پایه را تشکیل می دهند، یعنی ثابت می کنیم که ∀ x ∈ V را می توان برحسب e 1، …,e n گسترش داد. بیایید x را به آنها اضافه کنیم: e 1, …,e n , x - این سیستم شامل n+1 بردار است، به این معنی که به صورت خطی وابسته است. از آنجایی که e 1، …،e n به صورت خطی مستقل است، پس با قضیه 2 ایکسبه صورت خطی از طریق e 1، …،e n یعنی. ∃ ,…، به طوری که x= α 1 e 1 +…+ α n e n . بنابراین e 1، …،e n مبنای فضای V است. 2)بگذارید e1، …,e n مبنای V باشد، بنابراین n عنصر مستقل خطی در V∃ n وجود دارد. عناصر دلخواه f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 را در نظر بگیرید. بیایید وابستگی خطی آنها را نشان دهیم. بیایید آنها را از نظر تقسیم بندی کنیم:

f m =(e 1, …,e n) = جایی که m = 1,…,n بیایید ماتریسی از ستون های مختصات ایجاد کنیم: A= ماتریس حاوی n ردیف ⇒ RgA≤n است. تعداد ستون‌ها n+1 > n ≥ RgA ⇒ ستون‌های ماتریس A (یعنی ستون‌های مختصات f 1 ,…,f n ,f n +1) به صورت خطی وابسته هستند. از لم 1 ⇒ ,…,f n ,f n +1 به صورت خطی وابسته هستند ⇒ dimV=n.

نتیجه:اگر هر مبنایی حاوی n عنصر باشد، هر پایه دیگری از این فضا حاوی n عنصر است.

قضیه 2: اگر سیستم بردارهای x 1 , ... ,x m -1 , x m به صورت خطی وابسته باشد و زیر سیستم آن x 1 ,… ,x m -1 مستقل خطی باشد، آنگاه x m - به صورت خطی از طریق x 1 ,… ,x m -1 بیان می شود.

اثبات: زیرا x 1 ,… ,x m -1 , x m به صورت خطی وابسته است سپس ∃ , …, , ,

, …, | ، | به طوری که . اگر , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 به صورت خطی مستقل هستند که نمی تواند باشد. بنابراین m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.

در زیر چندین معیار برای وابستگی خطی و بر این اساس، استقلال خطی سیستم های بردارها ارائه می شود.

قضیه. (شرط لازم و کافی برای وابستگی خطی بردارها.)

یک سیستم از بردارها وابسته است اگر و تنها در صورتی که یکی از بردارهای سیستم به صورت خطی بر حسب دیگر بردارهای این سیستم بیان شود.

اثبات نیاز داشتن. اجازه دهید سیستم به صورت خطی وابسته باشد. سپس، طبق تعریف، بردار تهی را به روشی غیر پیش پا افتاده نشان می دهد، یعنی. یک ترکیب غیر پیش پا افتاده از این سیستم از بردارها برابر با بردار صفر وجود دارد:

جایی که حداقل یکی از ضرایب این ترکیب خطی برابر با صفر نباشد. اجازه دهید ، .

هر دو قسمت تساوی قبلی را بر این ضریب غیر صفر تقسیم کنید (یعنی ضرب در:

نشان می دهد: ، کجا .

آن ها یکی از بردارهای سیستم به صورت خطی بر حسب سایر بردارهای این سیستم و غیره بیان می شود.

کفایت. بگذارید یکی از بردارهای سیستم به صورت خطی بر حسب بردارهای دیگر این سیستم بیان شود:

بیایید بردار را به سمت راست این برابری حرکت دهیم:

از آنجایی که ضریب بردار است، پس ما با سیستم بردارها یک نمایش غیر پیش پا افتاده صفر داریم، به این معنی که این سیستم از بردارها به صورت خطی وابسته است و غیره.

قضیه ثابت شده است.

نتیجه.

1. یک سیستم از بردارها در یک فضای برداری به صورت خطی مستقل است اگر و تنها در صورتی که هیچ یک از بردارهای سیستم به صورت خطی بر حسب بردارهای دیگر این سیستم بیان نشود.

2. سیستمی از بردارها که شامل یک بردار صفر یا دو بردار مساوی است به صورت خطی وابسته است.

اثبات

1) ضرورت. اجازه دهید سیستم به صورت خطی مستقل باشد. برعکس را فرض کنید و یک بردار سیستمی وجود دارد که به صورت خطی از طریق دیگر بردارهای این سیستم بیان می شود. سپس با این قضیه، سیستم به صورت خطی وابسته است و به یک تناقض می رسیم.

کفایت. اجازه دهید هیچ یک از بردارهای سیستم بر حسب بردارهای دیگر بیان نشود. بیایید برعکس فرض کنیم. بگذارید سیستم به صورت خطی وابسته باشد، اما پس از آن از قضیه بر می آید که یک بردار سیستمی وجود دارد که از طریق دیگر بردارهای این سیستم به صورت خطی بیان می شود و دوباره به یک تناقض می رسیم.

2a) اجازه دهید سیستم حاوی یک بردار صفر باشد. برای قطعیت فرض کنید که بردار :. سپس برابری

آن ها یکی از بردارهای سیستم به صورت خطی بر حسب بردارهای دیگر این سیستم بیان می شود. از این قضیه نتیجه می شود که چنین سیستمی از بردارها به صورت خطی وابسته است و به همین ترتیب.

توجه داشته باشید که این واقعیت را می توان مستقیماً از یک سیستم بردارهای وابسته به خطی اثبات کرد.

از آنجایی که برابری زیر واضح است

این یک نمایش غیر پیش پا افتاده از بردار صفر است، به این معنی که سیستم به صورت خطی وابسته است.

2ب) اجازه دهید سیستم دو بردار مساوی داشته باشد. اجازه دهید برای . سپس برابری

آن ها بردار اول به صورت خطی بر حسب بردارهای دیگر همان سیستم بیان می شود. از این قضیه به دست می آید که سیستم داده شده به صورت خطی وابسته است و غیره.

مشابه ادعای قبلی، این ادعا را می توان مستقیماً از تعریف یک سیستم وابسته خطی نیز اثبات کرد.

شرط لازم و کافی برای وابستگی خطی دو

بردارها همخطی بودن آنهاست.

2. حاصلضرب عددی- عملیاتی بر روی دو بردار که نتیجه آن یک عدد اسکالر (عددی) است که به سیستم مختصات بستگی ندارد و طول بردارهای ضرب کننده و زاویه بین آنها را مشخص می کند. این عملیات مربوط به ضرب است طولبردار x در داده شده است طرح ریزیبردار دیگر y به بردار داده شده x. این عملیات معمولاً در هر عامل به صورت جابجایی و خطی در نظر گرفته می شود.

خواص محصول نقطه:

3. سه بردار (یا بیشتر) نامیده می شوند هم صفحهاگر آنها که به یک مبدأ مشترک تقلیل می یابند، در یک صفحه قرار می گیرند.

شرط لازم و کافی برای وابستگی خطی سه بردار همسطح بودن آنهاست که هر چهار بردار به صورت خطی وابسته هستند. اساس در فضا هر سه مرتبه از بردارهای غیرهمسطح نامیده می شود. یک مبنا در فضا به شخص اجازه می دهد تا به طور واضح با هر بردار یک سه مرتبه از اعداد مرتبط شود - ضرایب نمایش این بردار در ترکیبی خطی از بردارهای مبنا. در مقابل، با کمک یک مبنا، اگر یک ترکیب خطی ایجاد کنیم، یک بردار را به هر سه گانه مرتب شده از اعداد مرتبط می کنیم. متعارف ، اگر طول بردارهای آن برابر با یک باشد. برای یک مبنای متعارف در فضا، نماد اغلب استفاده می شود. قضیه:در یک مبنای متعامد، مختصات بردارها، پیش بینی های متعامد متناظر این بردار بر روی جهت بردارهای مختصات هستند. سه بردار غیرهمسطح الف، ب، جتماس گرفت درست، اگر ناظر از مبدأ مشترک آنها انتهای بردارها را دور بزند الف، ب، جبه نظر می رسد که در جهت عقربه های ساعت پیش می رود. در غیر این صورت الف، ب، ج - سه برابر باقی مانده است. تمام سه گانه راست (یا چپ) بردارها نامیده می شوند به همان اندازه جهت گیرییک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه توسط دو محور مختصات عمود بر یکدیگر تشکیل می شود. گاو نرو OY. محورهای مختصات در یک نقطه قطع می شوند Oکه به آن مبدا می گویند، هر محور دارای جهت مثبت است. AT دست راستسیستم مختصات، جهت مثبت محورها به گونه ای انتخاب می شود که با جهت محور OYبالا، محور گاو نربه سمت راست نگاه کرد

چهار زاویه (I، II، III، IV) که توسط محورهای مختصات تشکیل شده است ایکس"ایکسو Y"Y، زوایای مختصات یا ربع ها(شکل 1 را ببینید).

اگر بردارها و با توجه به یک مبنای متعامد در صفحه دارای مختصاتی باشند و به ترتیب، حاصل ضرب اسکالر این بردارها با فرمول محاسبه می شود.

4. حاصل ضرب برداری دو بردار a و bیک عملیات بر روی آنها است که فقط در فضای سه بعدی تعریف شده است که نتیجه آن است برداربا موارد زیر

خواص:

معنای هندسی حاصل ضرب بردارها مساحت متوازی الاضلاع بر روی بردارها است. شرط لازم و کافی برای همخطی بودن یک بردار غیرصفر و یک بردار، وجود عددی است که برابری را برآورده کند.

اگر دو بردار و با مختصات دکارتی مستطیلی آنها تعریف شوند، یا به طور دقیق تر، به صورت چرخشی بهنجار شده نشان داده می شوند.

و سیستم مختصات درست است، سپس حاصل ضرب برداری آنها فرم را دارد

برای به خاطر سپردن این فرمول، استفاده از تعیین کننده راحت است:

5. محصول مخلوطبردارها - حاصل ضرب اسکالر یک بردار و ضرب ضربدری بردارها و :

گاهی به آن می گویند محصول اسکالر سه گانهبردارها، ظاهراً به دلیل این واقعیت است که نتیجه یک اسکالر (به طور دقیق تر، شبه مقیاس) است.

حس هندسی:مدول حاصلضرب مخلوط از نظر عددی برابر با حجم متوازی الاضلاع تشکیل شده توسط بردارها است.

هنگامی که دو عامل مبادله می شوند، محصول مخلوط علامت را به عکس تغییر می دهد:

با تغییر چرخه ای (دایره ای) عوامل، محصول مخلوط تغییر نمی کند:

محصول مخلوط در هر عاملی خطی است.

حاصلضرب مخلوط صفر است اگر و فقط اگر بردارها همسطح باشند.

1. شرط همسانی برای بردارها: سه بردار همسطح هستند اگر و فقط اگر حاصلضرب مخلوط آنها صفر باشد.

§ سه بردار حاوی یک جفت بردار خطی همسطح است.

§ حاصلضرب مخلوط بردارهای همسطح. این یک معیار برای همسطح بودن سه بردار است.

§ بردارهای همسطح به صورت خطی وابسته هستند. این نیز یک معیار برای همسطح بودن است.

§ اعداد واقعی وجود دارد به طوری که برای همسطح , به جز برای یا . این یک فرمول مجدد از ویژگی قبلی است و همچنین معیاری برای همسطح بودن است.

§ در یک فضای 3 بعدی، 3 بردار غیرهمسطح پایه را تشکیل می دهند. یعنی هر بردار را می توان به صورت: . سپس مختصات در مبنای داده شده خواهد بود.

حاصلضرب مخلوط در سیستم مختصات دکارتی راست (در مبنای متعارف) برابر است با تعیین کننده ماتریس متشکل از بردارها و:

§6. معادله کلی (کامل) هواپیما

علاوه بر این، جایی که و ثابت هستند، و در همان زمان برابر با صفر نیستند. به صورت برداری:

جایی که بردار شعاع نقطه است، بردار عمود بر صفحه است (بردار نرمال). کسینوس جهتبردار:

اگر یکی از ضرایب در معادله صفحه صفر باشد، معادله نامیده می شود ناقص. هنگامی که صفحه از مبدا مختصات عبور می کند، زمانی که (یا ) P. موازی با محور است (به ترتیب یا). برای (، یا)، صفحه موازی با صفحه (یا، به ترتیب) است.

§ معادله یک صفحه در قطعات:

که در آن،، قطعات بریده شده توسط هواپیما بر روی محورها و .

§ معادله صفحه ای که از یک نقطه می گذرد عمود بر بردار معمولی :

به صورت برداری:

(ضرب مخلوط بردارها) در غیر این صورت

§ معادله صفحه نرمال (نرمال شده).

§ زاویه بین دو صفحهاگر معادلات P. به شکل (1) آورده شده باشد، پس

اگر به صورت برداری باشد، پس

§ هواپیماها موازی هستند، اگر

یا (محصول برداری)

§ صفحات عمود بر هم هستند، اگر

یا . (حاصلضرب عددی)

7. معادله صفحه ای که از سه نقطه داده شده عبور می کند , روی یک خط دراز نکشید:

8. فاصله یک نقطه تا یک صفحه کوچکترین فاصله بین این نقطه و نقاط صفحه است. مشخص است که فاصله یک نقطه تا یک صفحه برابر است با طول عمودی که از این نقطه به صفحه کاهش می یابد.

§ انحراف نقطهاز صفحه داده شده توسط معادله نرمال شده

اگر و مبدا در طرف مقابل هواپیما قرار دارد، در غیر این صورت . فاصله یک نقطه تا یک صفحه است

§ فاصله نقطه تا صفحه داده شده توسط معادله با فرمول محاسبه می شود:

9. بسته هواپیما- معادله هر P. که از خط تقاطع دو صفحه عبور می کند

که در آن α و β هر عددی هستند که به طور همزمان برابر با صفر نیستند.

به منظور سه صفحه تعریف شده توسط معادلات کلی آنها A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0، A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0، A 3 x + B 3 y+C 3 z+D 3 =0 نسبت به PDSC متعلق به یک تیر است، مناسب یا نامناسب، لازم و کافی است که رتبه ماتریس برابر با دو یا یک باشد.
قضیه 2. فرض کنید دو صفحه π 1 و π 2 با توجه به PDSC با معادلات کلی آنها داده شود: A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0، A 2 x + B 2 y + C 2 z +D 2 = 0. برای اینکه صفحه π 3 که با معادله کلی آن A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 نسبت به PDSC داده می شود، متعلق به پرتوی باشد که توسط صفحات π 1 و π 2 تشکیل شده است، لازم و کافی است که سمت چپ معادله صفحه π 3 به صورت ترکیب خطی از قسمت های سمت چپ معادلات صفحات π 1 و π 2 نمایش داده شود.

10.معادله پارامتری برداری یک خط مستقیمدر فضای:

بردار شعاع یک نقطه ثابت کجاست م 0 که روی یک خط مستقیم قرار دارد یک بردار غیرصفر هم خط به این خط مستقیم است، بردار شعاع یک نقطه دلخواه در خط مستقیم است.

معادله پارامتریک خط مستقیمدر فضای:

م

معادله متعارف یک خط مستقیمدر فضای:

مختصات یک نقطه ثابت کجاست م 0 دراز کشیدن روی یک خط مستقیم؛ - مختصات یک بردار هم خط به این خط.

معادله برداری کلی یک خط مستقیمدر فضای:

از آنجایی که خط تقاطع دو صفحه متفاوت غیر موازی است که به ترتیب توسط معادلات کلی به دست می آید:

سپس معادله یک خط مستقیم را می توان با سیستمی از این معادلات به دست داد:

زاویه بین بردارهای جهت و برابر با زاویه بین خطوط خواهد بود. زاویه بین بردارها با استفاده از حاصل ضرب اسکالر پیدا می شود. cosA=(ab)/IaI*IbI

زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه با فرمول بدست می آید:

که در آن (A; B; C;) مختصات بردار عادی صفحه هستند
(l;m;n;) مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم

شرایط موازی بودن دو خط:

الف) اگر خطوط با معادله (4) با شیب به دست آیند، شرط لازم و کافی برای موازی بودن آنها برابری شیب آنهاست:

ک 1 = ک 2 . (8)

ب) در موردی که خطوط با معادلات به شکل کلی (6) داده می شوند، شرط لازم و کافی برای موازی بودن آنها این است که ضرایب در مختصات جریان متناظر در معادلات آنها متناسب باشند، یعنی.

شرایط عمود بودن دو خط:

الف) در حالتی که خطوط با معادله (4) با شیب به دست می‌آیند، شرط لازم و کافی برای عمود بودن آنها این است که شیب آنها از نظر قدر متقابل و از نظر علامت مخالف باشند، یعنی.

ب) اگر معادلات خطوط مستقیم به صورت کلی (6) آورده شده باشد، شرط عمود بودن آنها (لازم و کافی) تحقق برابری است.

آ 1 آ 2 + ب 1 ب 2 = 0. (12)

به خطی عمود بر یک صفحه گفته می شود که بر هر خطی در آن صفحه عمود باشد. اگر خطی بر هر یک از دو خط متقاطع یک صفحه عمود باشد، بر آن صفحه عمود است. برای اینکه یک خط و یک صفحه موازی باشند، لازم و کافی است که بردار عادی بر صفحه و بردار هدایت کننده خط عمود باشند. برای این کار لازم است که حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر باشد.

برای عمود بودن یک خط و یک صفحه، لازم و کافی است که بردار عادی به صفحه و بردار هدایت کننده خط، هم خط باشند. اگر حاصل ضرب این بردارها برابر با صفر باشد، این شرط برقرار است.

12. در فضا، فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم که توسط یک معادله پارامتری به دست می آید

را می توان به عنوان حداقل فاصله از یک نقطه معین تا یک نقطه دلخواه در یک خط مستقیم یافت. ضریب تیاین نقطه را می توان با فرمول پیدا کرد

فاصله بین خطوط متقاطعطول عمود مشترک آنها است. برابر است با فاصله بین صفحات موازی که از این خطوط عبور می کنند.

شرط لازم برای وابستگی خطی n تابع.

اجازه دهید توابع دارای مشتقاتی از حد (n-1) باشند.

تعیین کننده را در نظر بگیرید: (1)

W(x) معمولاً تعیین کننده Wronsky برای توابع نامیده می شود.

قضیه 1.اگر توابع به صورت خطی در بازه (a,b) وابسته باشند، W(x) Wronskian آنها به طور یکسان برابر با صفر در این بازه است.

اثباتبا شرط قضیه، رابطه

، (2) که در آن همه برابر با صفر نیستند. اجازه دهید . سپس

(3). این هویت را n-1 بار متمایز کنید و

جایگزینی به جای مقادیر به دست آمده خود با تعیین کننده ورونسکی،

ما گرفتیم:

در تعیین کننده Wronsky، آخرین ستون ترکیبی خطی از n-1 ستون قبلی است و بنابراین در تمام نقاط بازه (a,b) برابر با صفر است.

قضیه 2.اگر توابع y 1 ,... , y n راه حل های مستقل خطی معادله L[y] = 0 باشند که همه ضرایب آن در بازه (a,b) پیوسته باشند، ورونسکی این جواب ها با صفر متفاوت است. در هر فاصله نقطه (a,b).

اثباتبیایید برعکس فرض کنیم. X 0 وجود دارد که W(X 0)=0 است. ما یک سیستم از n معادله می سازیم

بدیهی است که سیستم (5) یک راه حل غیر صفر دارد. اجازه دهید (6).

اجازه دهید یک ترکیب خطی از راه حل های y 1،...، y n بسازیم.

Y(x) راه حلی برای معادله L[y] = 0 است. علاوه بر این، . به موجب قضیه یکتایی، حل معادله L[y] = 0 با شرایط اولیه صفر باید فقط صفر باشد، ᴛ.ᴇ. .

ما هویت را دریافت می کنیم که در آن همه برابر با صفر نیستند، به این معنی که y 1،...، y n به صورت خطی وابسته هستند، که با شرط قضیه در تضاد است. بنابراین، چنین نقطه ای وجود ندارد که W(X 0)=0 باشد.

بر اساس قضیه 1 و قضیه 2، می توانیم ادعای زیر را فرموله کنیم. برای اینکه n راه حل معادله L[y] = 0 به صورت خطی مستقل در بازه (a,b) باشد، بسیار مهم و کافی است که ورونسکی آنها در هیچ نقطه ای از این بازه ناپدید نشود.

خصوصیات آشکار ورونسکی زیر نیز از قضایای اثبات شده ناشی می شود.

1. اگر ورونسکی n راه حل معادله L[y] = 0 در یک نقطه x = x 0 از بازه (a,b) که در آن تمام ضرایب p i (x) پیوسته هستند برابر با صفر باشد، آنگاه است. در تمام نقاط قبلی این بازه برابر با صفر است.
2. اگر ورونسکی n راه حل معادله L[y] = 0 در یک نقطه x = x 0 از بازه (a,b) غیر صفر باشد، در تمام نقاط این بازه غیر صفر است.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ، برای خطی بودن n جواب مستقل از معادله L[y] = 0 در بازه (a,b) که در آن ضرایب معادله p i (x) پیوسته هستند، بسیار مهم و کافی است که آنها Wronskian حتی در یک نقطه از این بازه با صفر متفاوت باشد.

شرط لازم برای وابستگی خطی n تابع. - مفهوم و انواع طبقه بندی و ویژگی های دسته "شرط لازم برای وابستگی خطی n تابع." 2017، 2018.

-

تجهیزات جابجایی کشتی (On board handling gear) سخنرانی شماره 6 موضوع: تجهیزات حمل بار (Cargo gear) 6.1. تجهیزات جابجایی کشتی (تجهیزات حمل بار روی کشتی). 6.2. جرثقیل های باری. 6.3. سطح شیب دار. اضافه بار عبارت است از جابجایی کالا به وسیله نقلیه یا از آن. زیاد... .

- جرثقیل های باری

گواهینامه ها تقسیم وظایف بازرسی، گواهینامه و مسئولیت به شرح زیر تقسیم می شود: &... .

- او را میشناسی؟ لو کنوسس؟

آنجا - allá Here - aqui در یک کافه - en el cafe در محل کار - en el trabajo در دریا - en el mar 1. آیا می دانید کافه کجاست؟ 2. میدونی ساشا کجاست؟ 3. آیا می دانید کتابخانه کجاست؟ 4. میدونی الان اولیا کجاست؟ 5. میدونی ناتاشا الان کجاست؟ عصر بخیر! من... .

- تعیین Zmin و Xmin از شرط عدم کاهش

شکل 5.9. در مورد بریدن دندانه های چرخ ها. بیایید در نظر بگیریم که چگونه ضریب برشی قفسه x با تعداد دندانه هایی که می توان توسط قفسه روی چرخ برش داد، مرتبط است. بگذارید ریل در موقعیت 1 نصب شود (شکل 5.9.). در این حالت، سر مستقیم قفسه از خط درگیری N-N عبور می کند، از جمله ...