چگالی توزیع مجموع دو کمیت به طور یکنواخت توزیع شده است. قانون توزیع مجموع دو متغیر تصادفی. ترکیب دو قانون توزیع درخواست های بیمه

در عمل، پیدا کردن قانون توزیع برای مجموع متغیرهای تصادفی اغلب ضروری است.

بگذار یک سیستم وجود داشته باشد (X b X 2)دو س ممتد که در. و مجموع آنها

بگذارید چگالی توزیع c را پیدا کنیم. که در. U. مطابق با حل کلی پاراگراف قبل، منطقه صفحه ای را پیدا می کنیم که در آن قرار دارد x + x 2 (شکل 9.4.1):

با تمایز این عبارت با توجه به y، یک ap بدست می آوریم. متغیر تصادفی Y \u003d X + X 2:

از آنجایی که تابع φ (x b x 2) = Xj + x 2 نسبت به آرگومان های خود متقارن است، پس

اگر با. که در. ایکسو ایکس 2 مستقل هستند، سپس فرمول های (9.4.2) و (9.4.3) به شکل زیر هستند:

در صورتی که مستقل ج. که در. x xو X 2،در مورد ترکیب قوانین توزیع صحبت کنید. تولید کردن ترکیب بندیدو قانون توزیع - این به معنای یافتن قانون توزیع برای مجموع دو ج مستقل است. ج، طبق این قوانین توزیع می شود. نماد نمادین برای تعیین ترکیب قوانین توزیع استفاده می شود

که اساسا با فرمول های (9.4.4) یا (9.4.5) مشخص می شود.

مثال 1. کار دو دستگاه فنی (TD) در نظر گرفته شده است. ابتدا، TU بعد از اینکه خرابی (شکست) آن در عملکرد TU 2 گنجانده شد، کار می کند. Uptime TU TU TU 2 - x xو ایکس 2 - مستقل هستند و بر اساس قوانین نمایی با پارامترهای A,1 و توزیع می شوند X 2 .بنابراین، زمان Yعملکرد بدون مشکل TU، متشکل از TU! و TU 2 با فرمول تعیین می شود

یافتن p.r الزامی است. متغیر تصادفی Y،یعنی ترکیب دو قانون نمایی با پارامترها و X 2 .

راه حل. با فرمول (9.4.4) به (y > 0) می رسیم.

اگر ترکیبی از دو قانون نمایی با پارامترهای یکسان وجود داشته باشد (?c = ایکس 2 = Y)، سپس در عبارت (9.4.8) عدم قطعیتی از نوع 0/0 به دست می آید که با گسترش آن، به دست می آید:

با مقایسه این عبارت با عبارت (6.4.8)، ما متقاعد شدیم که ترکیب دو قانون نمایی یکسان (?c = ایکس 2 = ایکس)قانون ارلنگ مرتبه دوم است (9.4.9). هنگام نوشتن دو قانون نمایی با پارامترهای مختلف x xو A-2 دریافت کنید قانون ارلنگ تعمیم یافته مرتبه دوم (9.4.8). ?

مسئله 1. قانون توزیع اختلاف دو s. که در. سیستم با. که در. (X و X 2)دارای r.p./(x x x 2) مشترک است. P.r را پیدا کنید تفاوت های آنها Y=X - X 2 .

راه حل. برای سیستم با که در. (X b - X 2)و غیره. خواهد بود / (x b - x 2)یعنی مابه التفاوت را با جمع جایگزین کردیم. بنابراین، a.r. متغیر تصادفی U شکل خواهد داشت (نگاه کنید به (9.4.2)، (9.4.3)):

اگر یک با. که در. X x iX 2 پس مستقل

مثال 2. یک f.r را پیدا کنید. تفاوت دو s مستقل که به صورت نمایی توزیع شده اند. که در. با پارامترها x xو X 2 .

راه حل. طبق فرمول (9.4.11) بدست می آوریم

برنج. 9.4.2 برنج. 9.4.3

شکل 9.4.2 یک صفحه را نشان می دهد. g(y). اگر تفاوت دو s مستقل نمایی توزیع شده را در نظر بگیریم. که در. با همین پارامترها (A-i= ایکس 2 = ولی،)،سپس g(y) \u003d / 2 - قبلاً آشناست

قانون لاپلاس (شکل 9.4.3). ?

مثال 3. قانون توزیع را برای مجموع دو ج مستقل بیابید. که در. ایکسو X 2،بر اساس قانون پواسون با پارامترها توزیع شده است تبرو یک 2.

راه حل. احتمال یک رویداد را بیابید (X x + ایکس 2 = t) (t = 0, 1,

بنابراین، س. که در. Y= X x + ایکس 2 بر اساس قانون پواسون با پارامتر توزیع شده است a x2) - a x + a 2. ?

مثال 4. قانون توزیع را برای مجموع دو ج مستقل بیابید. که در. x xو X 2،بر اساس قوانین دوجمله ای با پارامترها توزیع می شود p x ri p 2 , pبه ترتیب.

راه حل. تصور کنید با. که در. x xمانند:

جایی که X 1) -نشانگر رویداد ولیتجربه وو:

محدوده توزیع با. که در. X،- دارای فرم است

ما یک نمایش مشابه برای s خواهیم ساخت. که در. X 2:جایی که X] 2) - نشانگر رویداد ولیدر تجربه y"-ام:

در نتیجه،

X کجاست؟ 1)+(2) اگر نشانگر رویداد باشد ولی:

بنابراین، ما نشان دادیم که که در. مبلغ پدرشوهر (u + n 2)شاخص های رویداد ولی، از آنجا نتیجه می شود که s. که در. ^ بر اساس قانون دوجمله ای با پارامترهای ( n x + n 2)، ص.

توجه داشته باشید که اگر احتمالات آردر سری های مختلف آزمایش ها متفاوت هستند، سپس در نتیجه اضافه کردن دو عدد مستقل. ج.، توزیع شده بر اساس قوانین دوجمله ای، معلوم می شود ج. ج.، توزیع شده بر اساس قانون دوجمله ای نیست. ?

مثال های 3 و 4 به راحتی به تعداد دلخواه اصطلاح تعمیم داده می شوند. هنگام نوشتن قوانین پواسون با پارامترها a b a 2، ..., یک تیقانون پواسون دوباره با پارامتر به دست می آید a (t) \u003d a x + a 2 + ... + و تی.

هنگام نوشتن قوانین دو جمله ای با پارامترها (n r) (من 2، ر) , (n t, p)دوباره قانون دوجمله ای را با پارامترهای ("(") دریافت می کنیم. ر)جایی که n (t) \u003d u + n 2 + ... + و غیره.

ما ویژگی های مهم قانون پواسون و قانون دوجمله ای را ثابت کرده ایم: "ویژگی پایداری". قانون توزیع نامیده می شود پایدار،اگر ترکیب دو قانون از یک نوع منجر به قانونی از یک نوع شود (فقط پارامترهای این قانون متفاوت است). در زیربخش 9.7 نشان خواهیم داد که قانون عادی دارای خاصیت پایداری یکسانی است.

تصمیم گیرنده ممکن است از بیمه برای کاهش اثرات نامطلوب مالی انواع خاصی از رویدادهای تصادفی استفاده کند.

اما این بحث بسیار کلی است، زیرا تصمیم گیرنده می تواند هم به معنای فردی باشد که به دنبال محافظت در برابر آسیب به دارایی، پس انداز یا درآمد است و هم سازمانی که به دنبال محافظت در برابر همان نوع آسیب است.

در واقع، چنین سازمانی ممکن است یک شرکت بیمه باشد که به دنبال راه هایی برای محافظت از خود در برابر خسارات مالی ناشی از حوادث بیش از حد بیمه شده است که با یک مشتری منفرد یا با پرتفوی بیمه ای آن اتفاق افتاده است. این حفاظت نامیده می شود بیمه اتکایی.

یکی از دو مدل را در نظر بگیرید (یعنی مدل ریسک فردی) به طور گسترده در تعیین نرخ و ذخایر بیمه و همچنین در بیمه اتکایی استفاده می شود.

با نشان دادن اسمیزان خسارات تصادفی شرکت بیمه برای بخشی از خطرات آن. در این مورد اسیک متغیر تصادفی است که باید توزیع احتمال را برای آن تعیین کنیم. از لحاظ تاریخی، برای توزیع r.v. اسدو مجموعه از فرض وجود دارد. مدل ریسک فردی تعریف می کند اسبه روش زیر:

جایی که r.v. یعنی خسارات ناشی از موضوع بیمه با شماره من،آ nنشان دهنده تعداد کل اشیاء بیمه است.

معمولاً فرض می شود که آنها متغیرهای تصادفی مستقل هستند، زیرا در این مورد محاسبات ریاضی ساده تر است و اطلاعاتی در مورد ماهیت رابطه بین آنها لازم نیست. مدل دوم، مدل ریسک جمعی است.

مدل در نظر گرفته شده از ریسک های فردی تغییرات در ارزش پول در طول زمان را منعکس نمی کند. این کار برای ساده سازی مدل انجام می شود و به همین دلیل عنوان مقاله به فاصله زمانی کوتاهی اشاره دارد.

ما فقط مدل های بسته را در نظر خواهیم گرفت، یعنی. آنهایی که در آنها تعداد بیمه اشیاء nدر فرمول (1.1) در همان ابتدای بازه زمانی در نظر گرفته شده مشخص و ثابت است. اگر مفروضاتی را در مورد وجود مهاجرت از یا به سیستم بیمه معرفی کنیم، یک مدل باز دریافت می کنیم.

متغیرهای تصادفی که پرداخت‌های فردی را توصیف می‌کنند

ابتدا اجازه دهید مقررات اصلی در مورد بیمه عمر را یادآوری کنیم.

در صورت بیمه فوت به مدت یکسال، بیمه گر متعهد به پرداخت مبلغ می باشد بدر صورتی که بیمه گذار در مدت یک سال از تاریخ انعقاد قرارداد بیمه فوت کند و در صورت زنده بودن بیمه گذار در سال جاری چیزی پرداخت نکند.

احتمال وقوع یک رویداد بیمه شده در طول سال مشخص شده با علامت نشان داده می شود.

متغیر تصادفی توصیف کننده پرداخت های بیمه دارای توزیعی است که می تواند توسط تابع احتمال مشخص شود.

(2.1)

یا تابع توزیع مربوطه

(2.2)

از فرمول (2.1) و از تعریف گشتاورها به دست می آید

(2.4)

این فرمول ها را می توان با نوشتن نیز به دست آورد ایکسمانند

جایی که یک مقدار ثابت در صورت مرگ پرداخت می شود، و یک متغیر تصادفی است که در هنگام مرگ مقدار 1 و در غیر این صورت 0 است.

بنابراین، و ، و مقدار میانگین و واریانس r.v. به ترتیب برابر هستند و مقدار میانگین و واریانس r.v. برابر و است که با فرمول های بالا منطبق است.

یک متغیر تصادفی با دامنه (0،1) به طور گسترده در مدل های اکچوئری استفاده می شود.

در کتاب های درسی نظریه احتمالات به آن می گویند نشانگر, تصادفی برنولیارزش یا متغیر تصادفی دو جمله ایدر طرح تست تک

ما با او تماس خواهیم گرفت نشانگربه دلایل اختصار، و همچنین به این دلیل که نشان دهنده شروع یا عدم شروع رویداد مورد نظر است.

اجازه دهید به جستجوی مدل‌های کلی‌تری بپردازیم که در آن ارزش پرداخت بیمه نیز یک متغیر تصادفی است و ممکن است چندین رویداد بیمه در بازه زمانی در نظر گرفته شده رخ دهد.

بیمه درمانی، بیمه خودرو و سایر اموال، و بیمه مسئولیت بلافاصله نمونه های زیادی را ارائه می دهند. با تعمیم فرمول (2.5)، تنظیم کردیم

جایی که یک متغیر تصادفی است که پرداخت های بیمه را در بازه زمانی در نظر گرفته شده، r.v. نشان دهنده کل مبلغ پرداختی در این بازه و r.v. یک شاخص برای رویدادی است که حداقل یک رویداد بیمه شده رخ داده است.

به عنوان شاخص چنین رویدادی، r.v. حضور را رفع می کند () یا کمبود () حوادث بیمه شده در این بازه زمانی، اما نه تعداد رویدادهای بیمه شده در آن.

احتمال همچنان با نشان داده می شود.

بیایید چند مثال را مورد بحث قرار دهیم و توزیع متغیرهای تصادفی و در برخی مدلها را تعیین کنیم.

بیایید ابتدا بیمه فوت را به مدت یک سال در نظر بگیریم که اگر فوت تصادفی باشد، یک مزیت اضافی در نظر بگیریم.

برای قطعیت فرض می کنیم که اگر فوت بر اثر تصادف اتفاق افتاده باشد مبلغ پرداختی 50000 و اگر فوت به علل دیگر اتفاق بیفتد مبلغ پرداختی 25000 خواهد بود.

فرض کنید برای یک فرد در یک سن، وضعیت سلامت و حرفه، احتمال مرگ بر اثر تصادف در طول سال 0005/0 و احتمال مرگ به دلایل دیگر 0020/0 است. در فرمول به صورت زیر است:

با جمع کردن تمام مقادیر ممکن، به دست می آوریم

,

توزیع مشروط ج. که در. شرط شکل دارد

حال بیایید بیمه تصادف خودرو (غرامتی که به مالک خودرو در قبال خسارت وارده به خودروی وی پرداخت می شود) با فرانشیز بی قید و شرط 250 و حداکثر پرداختی 2000 در نظر بگیریم.

برای وضوح، فرض می کنیم که احتمال وقوع یک رویداد بیمه شده در بازه زمانی در نظر گرفته شده برای یک فرد 0.15 و احتمال وقوع بیش از یک برخورد برابر با صفر است:

, .

این فرض غیر واقعی که بیش از یک رویداد بیمه شده نمی تواند در طول یک دوره رخ دهد به منظور ساده سازی توزیع r.v ساخته شده است. .

پس از بررسی توزیع مجموع چندین خسارت بیمه، این فرض را در بخش بعدی حذف خواهیم کرد.

از آنجایی که ارزش پرداختی های بیمه گر است و خسارت وارده به خودرو نیست، می توان دو ویژگی را در نظر گرفت و.

اولاً رویداد شامل آن برخوردهایی است که خسارت آن کمتر از کسر بی قید و شرط است که 250 است.

دوم، توزیع r.v. یک "لخته" از جرم احتمالی در نقطه حداکثر مبلغ پرداختی بیمه که برابر با 2000 است خواهد داشت.

فرض کنید که جرم احتمالی متمرکز در این نقطه 0.1 باشد. علاوه بر این، فرض کنید که ارزش پرداخت های بیمه در بازه زمانی 0 تا 2000 را می توان با یک توزیع پیوسته با تابع چگالی متناسب با مدل سازی کرد. (در عمل، منحنی پیوسته ای که برای نشان دادن توزیع حق بیمه انتخاب می شود، نتیجه مطالعات مربوط به حق بیمه در دوره قبل است.)

جمع بندی این مفروضات در مورد توزیع شرطی r.v. در این شرایط، به یک توزیع مخلوط می رسیم که دارای چگالی مثبت در محدوده 0 تا 2000 و مقداری "لخته" از جرم احتمالی در نقطه 2000 است. این توسط نمودار در شکل نشان داده شده است. 2.2.1.

تابع توزیع این توزیع شرطی به صورت زیر است:

شکل 2.1. تابع توزیع r.v. B تحت شرط I = 1

انتظار و واریانس ریاضی را در مثال در نظر گرفته شده با بیمه خودرو به دو صورت محاسبه می کنیم.

ابتدا، توزیع r.v را می نویسیم. و از آن برای محاسبه و . نشان دادن از طریق تابع توزیع r.v. ، ما داریم

برای ایکس<0

این یک توزیع ترکیبی است. همانطور که در شکل نشان داده شده است. 2.2، هم یک بخش گسسته ("مجموعه" جرم احتمالی در نقطه 2000) و هم یک بخش پیوسته دارد. چنین تابع توزیعی با ترکیبی از تابع احتمال مطابقت دارد

برنج. 2.2. تابع توزیع r.v. X=IB

و توابع چگالی

به طور خاص، و . از همین رو .

تعدادی فرمول وجود دارد که لحظه های متغیرهای تصادفی را با انتظارات ریاضی شرطی مرتبط می کند. برای انتظارات ریاضی و برای واریانس، این فرمول ها دارای فرم هستند

(2.10)

(2.11)

فرض بر این است که عبارات سمت چپ این برابری ها مستقیماً از توزیع r.v محاسبه می شوند. . هنگام محاسبه عبارات سمت راست، یعنی و، از توزیع شرطی r.v استفاده می شود. با مقدار ثابت r.v. .

بنابراین، این عبارات، توابع r.v هستند. ، و می توانیم گشتاورهای آنها را با استفاده از توزیع r.v محاسبه کنیم. .

توزیع های شرطی در بسیاری از مدل های اکچوئری استفاده می شود و این اجازه می دهد تا فرمول های بالا به طور مستقیم اعمال شوند. در مدل ما با توجه به r.v. as و r.v. به عنوان، دریافت می کنیم

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

و انتظارات ریاضی مشروط را در نظر بگیرید

(2.16)

(2.17)

فرمول های (2.16) و (2.17) به عنوان تابعی از r.v تعریف می شوند. ، که می تواند به صورت فرمول زیر نوشته شود:

از آن زمان در (2.21)

زیرا داریم و (2.22)

فرمول های (2.21) و (2.22) را می توان ترکیب کرد: (2.23)

بنابراین، (2.24)

با جایگزینی (2.21)، (2.20) و (2.24) به (2.12) و (2.13)، می گیریم

بیایید فرمول های دریافتی را برای محاسبه و در مثالی از بیمه خودرو اعمال کنیم (شکل 2.2). از آنجایی که تابع چگالی r.v. در شرایط با فرمول بیان می شود

و P(B=2000|I=1)= 0.1، داریم

در نهایت با فرض q= 0.15، از فرمول های (2.25) و (2.26) برابری های زیر را بدست می آوریم:

برای تشریح وضعیت بیمه دیگری می توانیم مدل های دیگری را برای r.v ارائه کنیم. .

مثال: مدل تعداد تلفات ناشی از سوانح هوایی

به عنوان مثال، مدلی را برای تعداد مرگ و میر ناشی از سوانح هوایی در یک دوره یک ساله فعالیت یک شرکت هواپیمایی در نظر بگیرید.

می‌توانیم با یک متغیر تصادفی شروع کنیم که تعداد کشته‌های یک پرواز را توصیف می‌کند، و سپس این متغیرهای تصادفی را در تمام پروازها در یک سال جمع‌بندی می‌کنیم.

برای یک پرواز، رویداد شروع یک سانحه هوایی را نشان می دهد. تعداد مرگ و میرهایی که این فاجعه به همراه داشت با حاصل ضرب دو متغیر تصادفی نشان داده می شود و ضریب بار هواپیما کجاست، یعنی تعداد سرنشینان هواپیما در زمان سقوط، و نسبت مرگ و میر در بین افراد حاضر در هواپیما است. هیئت مدیره

تعداد مرگ و میرها به این ترتیب ارائه می شود، زیرا آمارهای جداگانه برای و در دسترس تر از آمار برای r.v. . بنابراین، اگرچه نسبت مرگ و میر در بین افراد داخل هواپیما و تعداد افراد داخل هواپیما احتمالاً مرتبط است، به عنوان اولین تقریب می توان فرض کرد که r.v. و مستقل

مجموع متغیرهای تصادفی مستقل

در مدل ریسک فردی، پرداخت های بیمه ای که توسط یک شرکت بیمه انجام می شود، به عنوان مجموع پرداخت ها به بسیاری از افراد ارائه می شود.

دو روش برای تعیین توزیع مجموع متغیرهای تصادفی مستقل را به یاد بیاورید. ابتدا مجموع دو متغیر تصادفی را در نظر بگیرید که فضای نمونه آنها در شکل نشان داده شده است. 3.1.

برنج. 2.3.1. رویداد

خط و ناحیه زیر این خط نشان دهنده یک رویداد است. بنابراین، تابع توزیع r.v. اسدارای فرم (3.1)

برای دو متغیر تصادفی گسسته غیر منفی، می توانیم از فرمول احتمال کل استفاده کنیم و (3.1) را به صورت زیر بنویسیم.

اگر یک ایکسو Yمستقل هستند، آخرین جمع را می توان به صورت بازنویسی کرد

(3.3)

تابع احتمال مربوط به این تابع توزیع را می توان با فرمول پیدا کرد

(3.4)

برای متغیرهای تصادفی غیر منفی پیوسته، فرمول های مربوط به فرمول های (3.2)، (3.3) و (3.4) دارای شکل هستند.

وقتی یکی یا هر دو متغیر تصادفی ایکسو Yدارای توزیع نوع مختلط (که برای مدل های ریسک فردی معمول است)، فرمول ها مشابه هستند، اما دست و پا گیرتر هستند. برای متغیرهای تصادفی که می‌توانند مقادیر منفی نیز بگیرند، مجموع و انتگرال‌ها در فرمول‌های بالا بر روی تمام مقادیر y از تا گرفته می‌شوند.

در تئوری احتمال، عمل در فرمول های (3.3) و (3.6) را کانولوشن دو تابع توزیع می نامند و با . عملیات پیچیدگی را می توان برای یک جفت توابع احتمال یا چگالی نیز با استفاده از فرمول های (3.4) و (3.7) تعریف کرد.

برای تعیین توزیع مجموع بیش از دو متغیر تصادفی، می‌توان از تکرارهای فرآیند کانولوشن استفاده کرد. برای ، جایی که متغیرهای تصادفی مستقل هستند، نشان دهنده تابع توزیع r.v. و تابع توزیع r.v است. ، میگیریمش

مثال 3.1 این روش را برای سه متغیر تصادفی گسسته نشان می دهد.

مثال 3.1.متغیرهای تصادفی و مستقل هستند و دارای توزیع‌هایی هستند که توسط ستون‌های (1)، (2) و (3) جدول زیر تعریف شده‌اند.

اجازه دهید تابع احتمال و تابع توزیع r.v را بنویسیم.

راه حل.جدول از نماد معرفی شده قبل از مثال استفاده می کند:

ستون (1)-(3) حاوی اطلاعات موجود است.

ستون (4) از ستون های (1) و (2) با استفاده از (3.4) به دست می آید.

ستون (5) از ستون های (3) و (4) با استفاده از (3.4) به دست می آید.

تعریف ستون (5) تعیین تابع احتمال را برای r.v کامل می کند. . تابع توزیع آن در ستون (8) مجموعه ای از مجموع جزئی ستون (5) است که از بالا شروع می شود.

برای وضوح، ما ستون (6)، تابع توزیع برای ستون (1)، ستون (7) را وارد کرده ایم که می توان مستقیماً از ستون های (1) و (6) با استفاده از (2.3.3) و ستون (8) به دست آورد. ) به طور مشابه برای ستون های (3) و (7) تعیین می شود. ستون (5) را می توان از ستون (8) با تفریق متوالی تعیین کرد.

اجازه دهید به بررسی دو مثال با متغیرهای تصادفی پیوسته بپردازیم.

مثال 3.2.اجازه دهید r.v. توزیع یکنواختی روی بازه (0،2) دارد و اجازه دهید r.v. به r.v بستگی ندارد. و دارای توزیع یکنواخت در بازه (0,3) است. اجازه دهید تابع توزیع r.v را تعریف کنیم.

راه حل.از آنجایی که توزیع های r.v. و پیوسته، از فرمول (3.6) استفاده می کنیم:

سپس

فضای نمونه r.v. و در شکل نشان داده شده است. 3.2. ناحیه مستطیلی شامل تمام مقادیر ممکن جفت و . رویداد مورد علاقه ما، در شکل برای پنج مقدار نشان داده شده است س.

برای هر مقدار، خط محور را قطع می کند Yدر نقطه سو یک خط در یک نقطه مقادیر تابع برای این پنج مورد با فرمول زیر توصیف می شود:

برنج. 3.2. پیچیدگی دو توزیع یکنواخت

مثال 3.3.اجازه دهید سه r.v مستقل را در نظر بگیریم. . برای r.v. دارای توزیع نمایی و . اجازه دهید تابع چگالی r.v را پیدا کنیم. با اعمال عملیات پیچیدگی

راه حل.ما داریم

با استفاده از فرمول (3.7) سه بار دریافت می کنیم

روش دیگر برای تعیین توزیع مجموع متغیرهای تصادفی مستقل مبتنی بر منحصر به فرد بودن تابع مولد گشتاور است که برای r.v. توسط رابطه تعیین می شود .

اگر این انتظار ریاضی برای همه متناهی باشد تیاز یک بازه باز حاوی مبدا، پس تنها تابع تولید کننده گشتاورهای توزیع r.v است. به این معنا که تابع دیگری غیر از , که تابع تولید گشتاورهای توزیع r.v باشد وجود ندارد. .

این منحصر به فرد می تواند به صورت زیر استفاده شود: برای مجموع

اگر مستقل باشند، انتظار محصول در فرمول (3.8) برابر است ...، بنابراین

یافتن یک عبارت صریح برای تنها توزیع مربوط به تابع مولد گشتاورها (3.9) یافتن توزیع r.v را کامل می کند. . اگر نمی توان به طور صریح آن را مشخص کرد، می توان آن را با روش های عددی جستجو کرد.

مثال 3.4. متغیرهای تصادفی از مثال 3.3 را در نظر بگیرید. اجازه دهید تابع چگالی r.v را تعریف کنیم. ، با استفاده از تابع تولید ممان های r.v. .

راه حل.با توجه به برابری (3.9)، که می تواند به صورت نوشته شود با استفاده از روش تجزیه به کسرهای ساده. راه حل این است . اما آیا تابع مولد گشتاورهای توزیع نمایی با پارامتر است، به طوری که تابع چگالی r.v. فرم را دارد

مثال 3.5. در بررسی فرآیندهای تصادفی، توزیع گاوسی معکوس معرفی شد. به عنوان توزیع r.v استفاده می شود. AT، میزان پرداختی بیمه. تابع چگالی و تابع مولد گشتاورهای توزیع گاوسی معکوس با فرمول ها ارائه شده است.

بیایید توزیع r.v را پیدا کنیم. ، جایی که r.v. مستقل هستند و توزیع گاوسی معکوس یکسانی دارند.

راه حل.با استفاده از فرمول (3.9)، عبارت زیر را برای تابع تولید ممان r.v به دست می آوریم. :

تابع مولد گشتاورها با یک توزیع منحصر به فرد مطابقت دارد و می توان دید که دارای توزیع گاوسی معکوس با پارامترها و .

تقریب برای توزیع مجموع

قضیه حد مرکزی روشی را برای یافتن مقادیر عددی برای توزیع مجموع متغیرهای تصادفی مستقل ارائه می دهد. معمولاً این قضیه برای مجموع متغیرهای تصادفی مستقل و با توزیع یکسان فرموله می شود، که در آن .

برای هر n، توزیع r.v. کجا = ، دارای انتظارات ریاضی 0 و واریانس 1 است. همانطور که مشخص است، دنباله چنین توزیع هایی (برای n= 1، 2، ...) به توزیع نرمال استاندارد تمایل دارد. چه زمانی nبزرگ، این قضیه برای تقریب توزیع r.v اعمال می شود. توزیع نرمال با میانگین μ و پراکندگی به طور مشابه، توزیع مجموع nمتغیرهای تصادفی با یک توزیع نرمال با میانگین و واریانس تقریب زده می شوند.

کارایی چنین تقریبی نه تنها به تعداد عبارت‌ها، بلکه به نزدیکی توزیع عبارت‌ها به حالت عادی بستگی دارد. بسیاری از دروس آمار ابتدایی بیان می کنند که n باید حداقل 30 باشد تا تقریب منطقی باشد.

با این حال، یکی از برنامه‌های تولید متغیرهای تصادفی با توزیع نرمال که در مدل‌سازی شبیه‌سازی استفاده می‌شود، یک متغیر تصادفی نرمال را به‌صورت میانگین 12 متغیر تصادفی مستقل که به طور یکنواخت در بازه زمانی (0،1) توزیع شده‌اند، پیاده‌سازی می‌کند.

در بسیاری از مدل‌های ریسک فردی، متغیرهای تصادفی موجود در مبالغ به طور مساوی توزیع نمی‌شوند. این موضوع با مثال هایی در بخش بعدی نشان داده خواهد شد.

قضیه حد مرکزی همچنین به دنباله هایی از متغیرهای تصادفی توزیع نابرابر گسترش می یابد.

برای نشان دادن برخی کاربردهای مدل ریسک فردی، از یک تقریب معمولی از توزیع مجموع متغیرهای تصادفی مستقل برای به دست آوردن جواب های عددی استفاده خواهیم کرد. اگر یک ، سپس

و بیشتر، اگر r.v. پس مستقل

برای برنامه مورد نظر، ما فقط نیاز داریم:

• میانگین ها و واریانس های متغیرهای تصادفی شبیه سازی تلفات فردی را پیدا کنید.
• آنها را جمع کنید تا میانگین و واریانس زیان شرکت بیمه به عنوان یک کل بدست آید.
• از تقریب معمولی استفاده کنید

در زیر این توالی اقدامات را نشان می دهیم.

درخواست های بیمه

این بخش استفاده از تقریب معمولی را با چهار مثال نشان می دهد.

مثال 5.1.یک شرکت بیمه عمر به افرادی که احتمال فوت آنها 0.02 یا 0.01 است قرارداد بیمه فوت یک ساله با پرداخت 1 و 2 واحد ارائه می دهد. جدول زیر تعداد افراد را نشان می دهد nkدر هر یک از چهار کلاس تشکیل شده مطابق با پرداخت b kو احتمال وقوع یک رویداد بیمه شده است qk:

شرکت بیمه می خواهد از این گروه 1800 نفری مبلغی معادل صدک 95 توزیع کل پرداختی های بیمه این گروه دریافت کند. علاوه بر این، او می خواهد که سهم هر فرد از آن مبلغ متناسب با پرداخت بیمه مورد انتظار فرد باشد.

سهم شخص دارای عدد که میانگین پرداختی او برابر است باید باشد . از شرط صدک 95 بر می آید که . ارزش مازاد، حق بیمه ریسک است و به آن حق بیمه نسبی می گویند. بیایید محاسبه کنیم.

راه حل.مقدار با نسبت تعیین می شود = 0.95، که در آن S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 .این عبارت احتمال معادل عبارت زیر است:

مطابق با آنچه در مورد قضیه حد مرکزی در Sec. 4، توزیع r.v را تقریبی می کنیم. توزیع نرمال استاندارد و استفاده از صدک 95 آن، که از آن به دست می آوریم:

برای چهار طبقه ای که بیمه شدگان به آنها تقسیم می شوند، نتایج زیر را به دست می آوریم:

به این ترتیب،

بنابراین، حق بیمه ریسک نسبی است

مثال 5.2.مشتریان یک شرکت بیمه خودرو به دو دسته تقسیم می شوند:

توزیع نمایی کوتاه شده توسط تابع توزیع تعریف می شود

این یک توزیع نوع مخلوط با تابع چگالی است و یک "توده" از جرم احتمالی در یک نقطه L. نمودار این تابع توزیع در شکل 5.1 نشان داده شده است.

برنج. 5.1. توزیع نمایی کوتاه شده

همانند قبل، احتمال اینکه کل مبلغ پرداختی بیمه بیش از مبلغ دریافتی از بیمه شدگان باشد باید برابر با 05/0 باشد. ما فرض می کنیم که حق بیمه نسبی ریسک باید در هر یک از دو کلاس مورد بررسی یکسان باشد. بیایید محاسبه کنیم.

راه حل.این مثال بسیار شبیه به نمونه قبلی است. تنها تفاوت این است که مقادیر پرداخت های بیمه اکنون متغیرهای تصادفی هستند.

ابتدا عباراتی را برای ممان های توزیع نمایی کوتاه شده بدست می آوریم. این یک مرحله مقدماتی برای اعمال فرمول های (2.25) و (2.26) خواهد بود:

با استفاده از مقادیر پارامترهای داده شده در شرط و اعمال فرمول های (2.25) و (2.26)، نتایج زیر را به دست می آوریم:

بنابراین، اس، کل مبلغ پرداختی بیمه، دارای لحظه است

شرط تعریف مانند مثال 5.1 باقی می ماند، یعنی:

با استفاده مجدد از تقریب توزیع نرمال، به دست می آوریم

مثال 5.3.پرتفوی شرکت بیمه شامل 16000 قرارداد بیمه فوت به مدت یکسال مطابق جدول زیر می باشد.

احتمال وقوع یک رویداد بیمه شده q برای هر یک از 16000 مشتری (این رویدادها به طور متقابل مستقل فرض می شوند) 0.02 است. این شرکت می خواهد نرخ نگهداری خود را تعیین کند. برای هر بیمه‌گذار، سطح حفظ خود ارزشی است که زیر آن این شرکت (شرکت واگذارکننده) به‌طور مستقل پرداخت‌ها را انجام می‌دهد و پرداخت‌های بیش از این ارزش تحت قرارداد بیمه اتکایی توسط شرکت دیگری (بیمه‌گر اتکایی) پوشش داده می‌شود.

به عنوان مثال، اگر نرخ نگهداری خود 200000 باشد، شرکت برای هر بیمه شده تا سقف 20000 پوشش ذخیره می کند و برای پوشش مابه التفاوت حق بیمه و مبلغ 20000 برای هر یک از 4500 بیمه گذار که حق بیمه آنها بیش از 20000 است، بیمه اتکایی خریداری می کند.

شرکت به عنوان یک معیار تصمیم گیری، حداقل احتمال اینکه خسارت های بیمه ای از کسر خودش باقی می ماند، به اضافه مبلغ پرداختی برای بیمه اتکایی، از مبلغ 8250000 تجاوز کند را انتخاب می کند. ارزش پرداختی بیمه در واحد 0.02).

ما معتقدیم که پرتفوی مورد نظر بسته است: قراردادهای بیمه جدید منعقد شده در سال جاری در فرآیند تصمیم گیری شرح داده شده لحاظ نخواهد شد.

راه حل جزئی بیایید ابتدا همه محاسبات را انجام دهیم و 10000 را به عنوان واحد پرداخت انتخاب کنیم.به عنوان مثال، فرض کنید که c. که در. اسمبلغ پرداختی باقی مانده از کسر خود است، به شکل زیر است:

به این پرداخت های بیمه باقی مانده در کسر خود شما اس، مبلغ حق بیمه اتکایی اضافه می شود. در مجموع میزان کل پوشش طبق این طرح می باشد

مبلغ باقی مانده از کسر خود برابر است

بنابراین ارزش کل بیمه اتکایی 35000-24000=11000 و هزینه بیمه اتکایی برابر است با

از این رو، در سطح نگهداری خود برابر با 2، پرداخت های بیمه باقی مانده در حفظ خود به اضافه هزینه بیمه اتکایی است. معیار تصمیم گیری بر اساس این احتمال است که این مجموع از 825 تجاوز کند.

با استفاده از توزیع نرمال، دریافت می کنیم که این مقدار تقریباً برابر با 0.0062 است.

میانگین مقادیر پرداختی بیمه در صورت خسارت مازاد بر بیمه، به عنوان یکی از انواع بیمه اتکایی، با استفاده از توزیع نرمال به عنوان توزیع کل پرداختی های بیمه قابل تقریب است.

اجازه دهید مجموع پرداخت های بیمه X دارای توزیع نرمال با میانگین و واریانس باشد

مثال 5.4.بیایید یک پرتفوی بیمه را در نظر بگیریم، مانند مثال 5.3. اجازه دهید انتظار ریاضی مبلغ پرداختی بیمه تحت قرارداد بیمه را برای مازاد عدم سوددهی پیدا کنیم، اگر

الف) بیمه اتکایی انفرادی وجود ندارد و فرانشیز بی قید و شرط آن 7500000 تعیین شده است.

ب) کسر شخصی 20000 در قراردادهای بیمه انفرادی ایجاد می شود و کسر بی قید و شرط برای پرتفوی 5300000 است.

راه حل.

الف) در صورت عدم وجود بیمه اتکایی فردی و در حال گذار به 10000 به عنوان ارز

استفاده از فرمول (5.2) به دست می دهد

که مجموع 43770 واحد اصلی است.

(ب) در شکل 5.3، میانگین و واریانس کل حق بیمه را برای کسر 20000 فردی به ترتیب 480 و 784 با استفاده از 10000 به عنوان یک واحد بدست می آوریم. بنابراین، = 28.

استفاده از فرمول (5.2) به دست می دهد

که مجموع 4140 واحد اصلی است.

اجازه دهید یک سیستم از دو متغیر تصادفی وجود داشته باشد ایکسو Y، که توزیع مشترک آن مشخص است. وظیفه یافتن توزیع یک متغیر تصادفی است. به عنوان نمونه SV زشما می توانید از دو شرکت سود بیاورید. تعداد رای دهندگانی که از دو حوزه مختلف به روشی خاص رای داده اند. مجموع امتیازهای دو تاس

1. مورد دو DSV.هر مقداری که CV های گسسته بگیرند (به شکل یک کسر اعشاری محدود، با مراحل مختلف)، تقریباً همیشه می توان وضعیت را به مورد خاص زیر کاهش داد. مقادیر ایکسو Yفقط می تواند مقادیر صحیح بگیرد، یعنی. جایی که . اگر در ابتدا کسرهای اعشاری بودند، می توان آنها را با ضرب در 10 k اعداد صحیح ساخت. و مقادیر گمشده بین اوج و پایین‌ها را می‌توان صفر احتمال داد. اجازه دهید توزیع احتمال مشترک مشخص شود. سپس، اگر سطرها و ستون های ماتریس را طبق قوانین: شماره گذاری کنیم، احتمال مجموع آن برابر است با:

عناصر ماتریس در امتداد یکی از مورب ها اضافه می شوند.

2. مورد دو NSW.بگذارید چگالی توزیع مشترک مشخص شود. سپس چگالی توزیع مجموع:

اگر یک ایکسو Yمستقل، یعنی ، سپس

مثال 1 X، Y- SW مستقل و یکنواخت توزیع شده:

بیایید چگالی توزیع متغیر تصادفی را پیدا کنیم.

بدیهی است که ,

SW زمی تواند مقادیر را در بازه ( c+d; a+b) اما نه برای همه ایکس. خارج از این فاصله در هواپیمای مختصات ( ایکس, z) محدوده مقادیر ممکن کمیت zمتوازی الاضلاع با اضلاع است ایکس=با; ایکس=آ; z=x+d; z=x+b. در فرمول حدود ادغام خواهد بود جو آ. با این حال، با توجه به این واقعیت است که در جایگزینی y=z-x، برای برخی از ارزش ها zعملکرد . به عنوان مثال، اگر ج ، سپس در z=x+cو هر ایکسخواهد داشت: . بنابراین، محاسبه انتگرال باید به طور جداگانه برای مناطق مختلف تغییر در مقدار انجام شود z، که در هر یک از آنها حدود ادغام متفاوت خواهد بود، اما برای همه ایکسو z. ما این کار را برای یک مورد خاص انجام خواهیم داد a+d< b+c . اجازه دهید سه ناحیه مختلف تغییر در کمیت را در نظر بگیریم zو برای هر یک از آنها پیدا می کنیم .