نحوه حل معادلات نقطه افراطی نحوه پیدا کردن حداکثر (حداقل و حداکثر امتیاز) یک تابع. کاهش تعریف تابع

تابع y = f(x) فراخوانی می شود افزایش می یابد (رو به زوال) در یک بازه زمانی اگر برای x 1< x 2 выполняется неравенство(f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

اگر یک تابع قابل تمایز y = f(x) روی یک قطعه افزایش می‌یابد (کاهش می‌یابد)، مشتق آن در این بخش f "(x) > 0، (f"(x)< 0).

نقطه ایکسدر بارهتماس گرفت نقطه حداکثر محلی (کمترین) از تابع f(x) اگر همسایگی نقطه وجود داشته باشد x o، برای تمام نقاطی که نابرابری f(x) ≤ f(x o)، (f(x) ≥f(x o)) درست است.

حداکثر و حداقل امتیاز نامیده می شود نقاط افراطی، و مقادیر تابع در این نقاط آن است افراطی

نقاط افراطی

شرایط لازم برای افراط. اگر نقطه ایکسدر بارهیک نقطه منتهی از تابع f (x) است، سپس یا f "(x o) \u003d 0 یا f (x o) وجود ندارد. چنین نقاطی نامیده می شوند. بحرانی،جایی که خود تابع در نقطه بحرانی تعریف می شود. حداکثر یک تابع را باید در میان نقاط بحرانی آن جستجو کرد.

اولین شرط کافیاجازه دهید ایکسدر باره- نقطه بحرانی. اگر f "(x) هنگام عبور از یک نقطه ایکسدر بارهعلامت مثبت را به منفی و سپس در نقطه تغییر می دهد x oتابع دارای حداکثر است، در غیر این صورت دارای حداقل است. اگر مشتق هنگام عبور از یک نقطه بحرانی علامت تغییر نمی کند، در آن نقطه ایکسدر بارهافراطی وجود ندارد

شرط دوم کافی.اجازه دهید تابع f(x) دارای f "(x) در همسایگی نقطه باشد ایکسدر بارهو مشتق دوم f "" (x 0) در همان نقطه x o. اگر f "(x o) \u003d 0، f "" (x 0)> 0، (f "" (x 0)<0), то точкаx oیک نقطه حداقل (حداکثر) محلی تابع f(x) است. اگر f "" (x 0) = 0، باید یا از اولین شرط کافی استفاده کنید یا شرایط بالاتر را در نظر بگیرید.

در یک قطعه، تابع y =f(x) می تواند به حداقل یا حداکثر مقدار خود در نقاط بحرانی یا در انتهای قطعه برسد.

مثال 3.22.حداکثر تابع f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 را بیابید.

راه حل.از آنجایی که f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3)، پس نقاط بحرانی تابع x 1 \u003d 2 و x 2 \u003d 3. نقاط افراطی می توانند فقط در این نقاط باشد.بنابراین همانطور که هنگام عبور از نقطه x 1 \u003d 2، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند، در این مرحله تابع دارای حداکثر است. هنگام عبور از نقطه x 2 \u003d 3، مشتق علامت منفی به مثبت را تغییر می دهد، بنابراین، در نقطه x 2 \u003d 3، تابع دارای یک حداقل است. با محاسبه مقادیر تابع در نقاط x 1 = 2 و x 2 = 3، ما مادون تابع: حداکثر f (2) = 14 و حداقل f (3) = 13.

وظایف برای یافتن حداکثر یک تابع

مثال 3.23.آ

راه حل. ایکسو y. مساحت سایت برابر با S =xy است. اجازه دهید yطول ضلع مجاور دیوار است. سپس، با شرط، برابری 2x + y = a باید برقرار باشد. بنابراین، y = a - 2x و S =x(a - 2x)، که در آن 0 ≤x ≤a/2 (طول و عرض پد نمی تواند منفی باشد). S " = a - 4x، a - 4x = 0 برای x = a/4، از آنجایی y = a - 2×a/4 = a/2. از آنجایی که x = a/4 تنها نقطه بحرانی است، بررسی کنید که آیا علامت با عبور از این نقطه، مشتق برای x تغییر می کند< a/4, S " >0، و برای x > a/4، S "< 0, значит, в точке x = a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

مثال 3.24.

راه حل.
R = 2، H = 16/4 = 4.

مثال 3.22.حداکثر تابع f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 را بیابید.

راه حل.از آنجایی که f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3)، پس نقاط بحرانی تابع x 1 \u003d 2 و x 2 \u003d 3. نقاط افراطی می توانند فقط در این نقاط باشد.بنابراین همانطور که هنگام عبور از نقطه x 1 \u003d 2، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند، در این مرحله تابع دارای حداکثر است. هنگام عبور از نقطه x 2 \u003d 3، مشتق علامت منفی به مثبت را تغییر می دهد، بنابراین، در نقطه x 2 \u003d 3، تابع دارای یک حداقل است. با محاسبه مقادیر تابع در نقاط x 1 = 2 و x 2 = 3، ما مادون تابع: حداکثر f (2) = 14 و حداقل f (3) = 13.

مثال 3.23.لازم است در نزدیکی دیوار سنگی محوطه ای مستطیل شکل بسازید که از سه طرف با شبکه سیمی حصار کشی شده و از ضلع چهارم به دیوار مجاورت شود. برای این وجود دارد آمتر خطی شبکه سایت با چه نسبتی بیشترین مساحت را خواهد داشت؟

راه حل.طرفین سایت را از طریق مشخص کنید ایکسو y. مساحت سایت S = xy است. اجازه دهید yطول ضلع مجاور دیوار است. سپس، با شرط، برابری 2x + y = a باید برقرار باشد. بنابراین y = a - 2x و S = x(a - 2x)، که در آن
0 ≤x ≤a/2 (طول و عرض سایت نمی تواند منفی باشد). S "= a - 4x، a - 4x = 0 برای x = a/4، از اینجاست
y = a - 2a/4 = a/2. از آنجایی که x = a/4 تنها نقطه بحرانی است، اجازه دهید بررسی کنیم که آیا علامت مشتق هنگام عبور از این نقطه تغییر می کند یا خیر. در x< a/4, S " >0 و برای x >a/4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

مثال 3.24.ساخت مخزن استوانه ای بسته با ظرفیت V=16p ≈ 50 m 3 الزامی است. ابعاد مخزن (شعاع R و ارتفاع H) چقدر باید باشد تا از کمترین مواد برای ساخت آن استفاده شود؟

راه حل.سطح کل سیلندر S = 2pR (R+H) است. حجم استوانه را می دانیم V = pR 2 H Þ H = V / pR 2 = 16p / pR 2 = 16 / R 2 . بنابراین، S(R) = 2p (R2 +16/R). مشتق این تابع را پیدا می کنیم:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 برای R 3 \u003d 8، بنابراین،
R = 2، H = 16/4 = 4.

دو دندان از یک پروفیل اره معروف را در نظر بگیرید. بیایید محور را در امتداد سمت صاف اره هدایت کنیم، و محور - عمود بر آن. بیایید نموداری از برخی از عملکردها را که در شکل نشان داده شده است، دریافت کنیم. یکی

کاملاً واضح است که هم در نقطه و هم در نقطه ، مقادیر تابع در مقایسه با مقادیر در نقاط همسایه در سمت راست و چپ و در نقطه - بزرگترین هستند. کوچکترین در مقایسه با نقاط همسایه نقاط، نقاط انتهایی تابع (از لاتین extremum - "extreme")، نقاط و حداکثر نقاط هستند، و نقطه حداقل نقطه (از حداکثر و حداقل لاتین - "بزرگترین" و "کوچکترین" نامیده می شوند. ”).

اجازه دهید تعریف افراطی را اصلاح کنیم.

تابعی در یک نقطه دارای حداکثر گفته می‌شود که بازه‌ای حاوی نقطه و متعلق به دامنه تابع وجود داشته باشد، به طوری که برای همه نقاط این بازه مشخص شود. بر این اساس، تابع در یک نقطه دارای حداقل است اگر شرط برای تمام نقاط یک بازه معین برآورده شود.

روی انجیر شکل های 2 و 3 نمودارهایی از توابع را نشان می دهد که در یک نقطه دارای اکسترموم هستند.

اجازه دهید به این واقعیت توجه کنیم که طبق تعریف، نقطه اکسترموم باید در بازه تنظیم تابع قرار داشته باشد، نه در انتهای آن. بنابراین، برای تابع نشان داده شده در شکل. 1، نمی توان فرض کرد که در آن نقطه دارای حداقل است.

اگر در این تعریف از حداکثر (حداقل) یک تابع، نابرابری دقیق را با یک غیر دقیق جایگزین کنیم. ، سپس تعریف حداکثر غیر دقیق (حداقل غیر دقیق) را به دست می آوریم. به عنوان مثال، نیم رخ یک کوه را در نظر بگیرید (شکل 4). هر نقطه از یک منطقه مسطح - یک قطعه یک نقطه حداکثر غیر دقیق است.

در حساب دیفرانسیل، مطالعه یک تابع برای مادون‌ها بسیار مؤثر است و به سادگی با استفاده از یک مشتق انجام می‌شود. یکی از قضایای اصلی حساب دیفرانسیل، که شرط لازم را برای حداکثر یک تابع قابل تمایز ایجاد می کند، قضیه فرما است (به قضیه فرما مراجعه کنید). اجازه دهید تابع در یک نقطه یک اکسترموم داشته باشد. اگر در این نقطه مشتقی وجود داشته باشد، برابر با صفر است.

در زبان هندسی، قضیه فرما به این معناست که در نقطه منتهی مماس بر نمودار تابع افقی است (شکل 5). البته گزاره معکوس درست نیست، که برای مثال با نمودار در شکل نشان داده شده است. 6.

این قضیه از نام ریاضیدان فرانسوی P. Fermat نامگذاری شده است که یکی از اولین کسانی بود که تعدادی از مسائل افراطی را حل کرد. او هنوز مفهوم مشتق را در اختیار نداشت، اما در تحقیق خود از روشی استفاده کرد که ماهیت آن در بیان قضیه بیان شده است.

شرط کافی برای حداکثر یک تابع متمایز، تغییر در علامت مشتق است. اگر در نقطه ای مشتق علامت منفی را به مثبت تغییر دهد، یعنی. کاهش آن با افزایش جایگزین می شود، سپس نقطه حداقل نقطه خواهد بود. برعکس، اگر مشتق علامت را از مثبت به منفی تغییر دهد، نقطه حداکثر خواهد بود، یعنی. از صعود به نزول می رود.

نقطه ای که مشتق تابع برابر با صفر است را ثابت می گویند. اگر تابعی قابل تفکیک برای یک منتهی بررسی شود، باید تمام نقاط ثابت آن را پیدا کرد و نشانه های مشتق را در سمت چپ و راست آنها در نظر گرفت.

ما تابع یک اکستروم را بررسی می کنیم.

بیایید مشتق آن را پیدا کنیم: .

قبل از یادگیری نحوه یافتن اکسترموم یک تابع، لازم است بدانیم اکسترموم چیست. کلی‌ترین تعریف اکستریم می‌گوید که کوچک‌ترین یا بزرگ‌ترین مقدار تابعی است که در ریاضیات روی مجموعه خاصی از یک خط عددی یا نمودار استفاده می‌شود. در جایی که مینیمم است، حد اقل مینیمم ظاهر می شود و جایی که ماکزیمم است، حد اکثر نمایان می شود. همچنین در رشته‌ای مانند آنالیز ریاضی، انتهای محلی یک تابع متمایز می‌شود. حال بیایید نحوه یافتن اکستریم ها را بررسی کنیم.

افراط در ریاضیات یکی از مهمترین ویژگی های یک تابع است که بزرگترین و کوچکترین مقدار آن را نشان می دهد. اکسترم ها عمدتاً در نقاط بحرانی توابع یافت شده یافت می شوند. شایان ذکر است که در نقطه افراطی است که تابع به طور اساسی جهت خود را تغییر می دهد. اگر مشتق نقطه افراطی را محاسبه کنیم، طبق تعریف باید برابر با صفر باشد وگرنه کاملاً وجود ندارد. بنابراین، برای یادگیری نحوه یافتن حداکثر یک تابع، باید دو کار متوالی را انجام دهید:

• مشتق تابعی را که باید توسط کار تعیین شود پیدا کنید.
• ریشه های معادله را پیدا کنید

دنباله یافتن اکستریم

1. تابع f(x) داده شده را بنویسید. مشتق مرتبه اول f "(x) آن را بیابید. عبارت حاصل را با صفر برابر کنید.
2. حالا باید معادله ای را که به دست آمده را حل کنید. راه حل های به دست آمده ریشه های معادله و همچنین نقاط بحرانی تابع تعریف شده خواهند بود.
3. اکنون تعیین می کنیم که ریشه های یافت شده کدام نقاط بحرانی (حداکثر یا حداقل) هستند. مرحله بعدی، بعد از اینکه یاد گرفتیم چگونه نقاط انتهایی یک تابع را پیدا کنیم، یافتن مشتق دوم تابع مورد نظر f "(x) است. لازم است مقادیر نقاط بحرانی یافت شده را جایگزین کنیم. اگر این اتفاق بیفتد، مشتق دوم در نقطه بحرانی بزرگتر از صفر شود، آنگاه آن نقطه حداقل و در غیر این صورت نقطه حداکثر خواهد بود.
4. باقی مانده است که مقدار تابع اولیه را در نقاط حداکثر و حداقل مورد نیاز تابع محاسبه کنیم. برای این کار مقادیر به دست آمده را جایگزین تابع کرده و محاسبه می کنیم. با این حال، باید توجه داشت که اگر نقطه بحرانی یک ماکزیمم بود، حداکثر آن نیز حداکثر خواهد بود و اگر حداقل باشد، به قیاس حداقل خواهد بود.

الگوریتم برای یافتن یک اکسترموم

برای خلاصه کردن دانش به دست آمده، بیایید الگوریتمی مختصر از نحوه یافتن نقاط اکسترموم ایجاد کنیم.

1. دامنه تابع داده شده و فواصل آن را پیدا می کنیم که دقیقاً مشخص می کند تابع در چه بازه هایی پیوسته است.
2. مشتق تابع f "(x) را پیدا می کنیم.
3. ما نقاط بحرانی معادله y = f (x) را محاسبه می کنیم.
4. ما تغییرات در جهت تابع f (x) و همچنین علامت مشتق f "(x) را تجزیه و تحلیل می کنیم که در آن نقاط بحرانی دامنه تعریف این تابع را از هم جدا می کنند.
5. حال تعیین می کنیم که هر نقطه در نمودار حداکثر یا حداقل باشد.
6. ما مقادیر تابع را در نقاطی که اکستروم هستند پیدا می کنیم.
7. ما نتیجه این مطالعه - افراط و فواصل یکنواختی را برطرف می کنیم. همین. اکنون در نظر گرفته‌ایم که چگونه می‌توان یک اکستروم را در هر بازه‌ای پیدا کرد. اگر شما نیاز به یافتن یک اکسترموم در بازه خاصی از یک تابع دارید، این کار به روشی مشابه انجام می شود، فقط مرزهای تحقیق در حال انجام لزوماً در نظر گرفته می شود.

بنابراین، ما چگونگی پیدا کردن نقاط انتهایی یک تابع را در نظر گرفتیم. با کمک محاسبات ساده و همچنین دانش در مورد یافتن مشتقات، می توانید هر اکستریمی را پیدا کنید و آن را محاسبه کنید و همچنین به صورت گرافیکی آن را مشخص کنید. یافتن افراط‌ها یکی از مهم‌ترین بخش‌های ریاضیات، هم در مدرسه و هم در مؤسسه آموزش عالی است، بنابراین، اگر یاد بگیرید که چگونه آنها را به درستی تعیین کنید، یادگیری بسیار آسان‌تر و جالب‌تر می‌شود.

افراط در عملکرد

تعریف 2

یک نقطه $x_0$ نقطه حداکثر تابع $f(x)$ نامیده می شود اگر همسایگی این نقطه وجود داشته باشد به طوری که برای همه $x$ از این همسایگی نابرابری $f(x)\le f(x_0 باشد. )$ راضی است.

تعریف 3

یک نقطه $x_0$ نقطه حداکثر تابع $f(x)$ نامیده می شود اگر همسایگی این نقطه وجود داشته باشد به طوری که برای تمام $x$ از این همسایگی نابرابری $f(x)\ge f(x_0 باشد. )$ راضی است.

مفهوم حداکثر یک تابع ارتباط نزدیکی با مفهوم نقطه بحرانی یک تابع دارد. اجازه دهید تعریف آن را معرفی کنیم.

تعریف 4

$x_0$ نقطه بحرانی تابع $f(x)$ نامیده می شود اگر:

1) $x_0$ - نقطه داخلی دامنه تعریف.

2) $f"\left(x_0\right)=0$ یا وجود ندارد.

برای مفهوم افراط می توان قضایایی را در مورد شرایط کافی و لازم برای وجود آن صورت بندی کرد.

قضیه 2

شرایط اکسترومی کافی

بگذارید نقطه $x_0$ برای تابع $y=f(x)$ حیاتی باشد و در بازه $(a,b)$ قرار گیرد. اجازه دهید در هر بازه $\left(a,x_0\right)\ and\ (x_0,b)$ مشتق $f"(x)$ وجود داشته باشد و یک علامت ثابت نگه دارید. سپس:

1) اگر در بازه $(a,x_0)$ مشتق $f"\left(x\right)>0$ و در بازه $(x_0,b)$ مشتق $f"\left(x\ درست)

2) اگر مشتق $f"\left(x\right)0$ در بازه $(a,x_0)$ باشد، نقطه $x_0$ حداقل نقطه برای این تابع است.

3) اگر هم در بازه $(a,x_0)$ و هم در بازه $(x_0,b)$ مشتق $f"\left(x\right) >0$ یا مشتق $f"\left(x \درست)

این قضیه در شکل 1 نشان داده شده است.

شکل 1. شرط کافی برای وجود اکسترم

نمونه هایی از افراط (شکل 2).

شکل 2. نمونه هایی از نقاط افراطی

قانون بررسی یک تابع برای یک اکسترموم

2) مشتق $f"(x)$ را بیابید.

7) با استفاده از قضیه 2 در مورد حضور ماکزیمم و حداقل در هر بازه نتیجه گیری کنید.

عملکرد صعودی و کاهشی

اجازه دهید ابتدا تعاریف توابع افزایش و کاهش را معرفی کنیم.

تعریف 5

تابع $y=f(x)$ تعریف شده در بازه $X$ افزایش نامیده می شود اگر برای هر نقطه $x_1,x_2\in X$ برای $x_1

تعریف 6

تابع $y=f(x)$ که در بازه $X$ تعریف شده است، نزولی نامیده می شود اگر برای هر نقطه $x_1,x_2\in X$ برای $x_1f(x_2)$ باشد.

بررسی یک تابع برای افزایش و کاهش

شما می توانید توابع افزایش و کاهش را با استفاده از مشتق بررسی کنید.

برای بررسی یک تابع برای فواصل افزایش و کاهش، باید موارد زیر را انجام دهید:

1) دامنه تابع $f(x)$ را پیدا کنید.

2) مشتق $f"(x)$ را بیابید.

3) نقاطی را پیدا کنید که برابری $f"\left(x\right)=0$;

4) نقاطی را پیدا کنید که $f"(x)$ وجود ندارد.

5) روی خط مختصات تمام نقاط یافت شده و دامنه تابع داده شده را علامت بزنید.

6) علامت مشتق $f"(x)$ را در هر بازه حاصل مشخص کنید.

7) نتیجه گیری: در بازه هایی که $f"\left(x\right)0$ تابع افزایش می یابد.

نمونه هایی از مسائل برای مطالعه توابع افزایش، کاهش و وجود نقاط منتهی

مثال 1

تابع افزایش و کاهش و وجود نقاط ماکزیمم و کمینه را بررسی کنید: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

از آنجایی که 6 امتیاز اول یکسان است ابتدا آنها را ترسیم می کنیم.

1) دامنه تعریف - همه اعداد واقعی.

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ در تمام نقاط دامنه تعریف وجود دارد.

5) خط مختصات:

شکل 3

6) علامت مشتق $f"(x)$ را در هر بازه تعیین کنید:

\ \}