En konvex fyrhörning är en figur som består av fyra sidor som är förbundna med varandra vid hörnen och bildar fyra vinklar tillsammans med sidorna, medan själva fyrhörningen alltid är i samma plan relativt den räta linje som en av dess sidor ligger på. Med andra ord, hela figuren är på samma sida av någon av dess sidor.

I kontakt med

Som du kan se är definitionen ganska lätt att komma ihåg.

Grundläggande egenskaper och typer

Nästan alla kända figurer som består av fyra hörn och sidor kan klassificeras som konvexa fyrhörningar. Följande kan särskiljas:

1. parallellogram;
2. fyrkant;
3. rektangel;
4. trapetsoid;
5. romb.

Alla dessa figurer förenas inte bara av det faktum att de är fyrkantiga, utan också av det faktum att de också är konvexa. Titta bara på diagrammet:

Figuren visar en konvex trapets. Här kan du se att trapetsen är på samma plan eller på ena sidan av segmentet. Om du utför liknande åtgärder kan du ta reda på att trapetsen är konvex för alla andra sidor.

Är ett parallellogram en konvex fyrhörning?

Ovan är en bild av ett parallellogram. Som framgår av figuren, parallellogram är också konvext. Om man tittar på figuren relativt linjerna som segmenten AB, BC, CD och AD ligger på så blir det tydligt att den alltid är på samma plan från dessa linjer. De huvudsakliga egenskaperna hos ett parallellogram är att dess sidor är parvis parallella och lika, precis som motsatta vinklar är lika med varandra.

Föreställ dig nu en kvadrat eller rektangel. Enligt deras grundläggande egenskaper är de också parallellogram, det vill säga alla deras sidor är placerade i parallella par. Endast i fallet med en rektangel kan längderna på sidorna vara olika, och vinklarna är räta (lika med 90 grader), en kvadrat är en rektangel där alla sidor är lika och vinklarna också är räta, och i en parallellogram kan längderna på sidorna och vinklarna vara olika.

Som ett resultat, summan av alla fyra vinklarna på en fyrhörning bör vara lika med 360 grader. Det enklaste sättet att avgöra detta är genom att titta på en rektangel: alla fyra hörn av rektangeln är rätta, det vill säga lika med 90 grader. Summan av dessa 90 graders vinklar ger 360 grader, med andra ord, lägger man till 90 grader 4 gånger får man önskat resultat.

Egenskapen för diagonaler av en konvex fyrhörning

Diagonalerna på en konvex fyrhörning skär varandra. Faktum är att detta fenomen kan observeras visuellt, titta bara på figuren:

Bilden till vänster visar en icke-konvex fyrhörning eller fyrhörning. Som du önskar. Som du kan se skär diagonalerna inte varandra, åtminstone inte alla. Till höger är en konvex fyrhörning. Här observeras redan diagonalernas egenskap att skära varandra. Samma egenskap kan betraktas som ett tecken på konvexitet hos en fyrhörning.

Andra egenskaper och tecken på konvexitet hos en fyrhörning

Det är mycket svårt att nämna några specifika egenskaper och egenskaper med denna term. Det är lättare att separera med olika typer fyrhörningar av denna typ. Du kan börja med ett parallellogram. Vi vet redan att detta är en fyrkantig figur, vars sidor är parallella och lika i par. Samtidigt inkluderar detta också egenskapen hos ett parallellograms diagonaler att skära varandra, såväl som själva tecknet på figurens konvexitet: parallellogrammet är alltid i samma plan och på samma sida i förhållande till någon av dess sidor.

Så, huvuddragen och egenskaperna är kända:

1. summan av vinklarna för en fyrhörning är 360 grader;
2. Diagonalerna på figurerna skär varandra vid en punkt.

Rektangel. Denna figur har alla samma egenskaper och egenskaper som ett parallellogram, men samtidigt är alla dess vinklar lika med 90 grader. Därav namnet - rektangel.

Kvadratisk, samma parallellogram, men dess vinklar är rätta som en rektangel. På grund av detta kallas en kvadrat sällan en rektangel. Men viktigast av allt signum av en kvadrat, utöver de som redan listats ovan, är att alla fyra sidorna är lika.

Trapets är en mycket intressant figur. Detta är också en fyrkant och även konvex. I den här artikeln har trapetsen redan diskuterats med exemplet på en ritning. Det är tydligt att det också är konvext. Den största skillnaden, och därför ett tecken på en trapets, är att dess sidor kan vara absolut ojämlika med varandra i längd, såväl som dess vinklar i värde. I detta fall förblir figuren alltid på samma plan i förhållande till någon av linjerna som förbinder två av dess hörn längs segmenten som bildar figuren.

En romb är en lika intressant figur. Delvis kan en romb betraktas som en kvadrat. Ett tecken på en romb är det faktum att dess diagonaler inte bara korsar varandra, utan delar också hörnen på romben i hälften, och diagonalerna själva skär varandra i räta vinklar, det vill säga de är vinkelräta. Om längderna på sidorna på en romb är lika, delas diagonalerna också på mitten när de skär varandra.

Deltoider eller konvexa romboider (rombusar) kan ha olika sidolängder. Men samtidigt är både de grundläggande egenskaperna och egenskaperna hos själva romben, liksom konvexitetens egenskaper och egenskaper, fortfarande bevarade. Det vill säga, vi kan observera att diagonalerna delar vinklarna och skär varandra i räta vinklar.

Dagens uppgift var att överväga och förstå vad konvexa fyrhörningar är, hur de är och deras huvuddrag och egenskaper. Uppmärksamhet! Det är värt att återigen komma ihåg att summan av vinklarna för en konvex fyrhörning är 360 grader. Omkretsen av figurer är till exempel lika med summan av längderna av alla segment som bildar figuren. Formler för att beräkna omkretsen och arean av fyrhörningar kommer att diskuteras i följande artiklar.

Typer av konvexa fyrhörningar

Polygon koncept

Definition 1

Polygonär en geometrisk figur i ett plan, som består av segment kopplade i par, de intilliggande ligger inte på samma räta linje.

I det här fallet kallas segmenten sidorna av polygonen, och deras ändar - polygonens hörn.

Definition 2

En $n$-gon är en polygon med $n$ hörn.

Typer av polygoner

Definition 3

Om en polygon alltid ligger på samma sida av en linje som går genom dess sidor, så kallas polygonen konvex(Figur 1).

Figur 1. Konvex polygon

Definition 4

Om en polygon ligger på motsatta sidor av åtminstone en rät linje som går genom dess sidor, kallas polygonen icke-konvex (fig. 2).

Figur 2. Icke-konvex polygon

Summan av vinklarna för en polygon

Låt oss introducera ett sats om summan av vinklarna i en triangel.

Sats 1

Summan av vinklarna i en konvex triangel bestäms enligt följande

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Bevis.

Låt oss ges en konvex polygon $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Låt oss koppla samman dess vertex $A_1$ med alla andra hörn i denna polygon (Fig. 3).

Figur 3.

Med denna koppling får vi $n-2$ trianglar. Genom att summera deras vinklar får vi summan av vinklarna för en given -gon. Eftersom summan av vinklarna i en triangel är lika med $(180)^0,$ får vi att summan av vinklarna i en konvex triangel bestäms av formeln

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teoremet har bevisats.

Begreppet en fyrhörning

Med hjälp av definitionen av $2$ är det lätt att introducera definitionen av en fyrhörning.

Definition 5

En fyrhörning är en polygon med $4$ hörn (Fig. 4).

Figur 4. Fyrkant

För en fyrhörning är begreppen en konvex fyrhörning och en icke-konvex fyrhörning definierade på liknande sätt. Klassiska exempel på konvexa fyrhörningar är kvadrat, rektangel, trapets, romb, parallellogram (fig. 5).

Figur 5. Konvexa fyrhörningar

Sats 2

Summan av vinklarna för en konvex fyrhörning är $(360)^0$

Bevis.

Genom sats $1$ vet vi att summan av vinklarna för en konvex -gon bestäms av formeln

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Därför är summan av vinklarna för en konvex fyrhörning lika med

\[\vänster(4-2\höger)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teoremet har bevisats.

I 8:e klass, under geometrilektionerna i skolan, introduceras eleverna först för begreppet en konvex polygon. Mycket snart kommer de att lära sig att denna figur har en mycket intressant egenskap. Oavsett hur komplex det kan vara, får summan av alla inre och yttre vinklar i en konvex polygon ett strikt definierat värde. I den här artikeln berättar en lärare i matematik och fysik om vad summan av vinklarna för en konvex polygon är lika med.

Summan av inre vinklar för en konvex polygon

Hur bevisar man denna formel?

Innan vi går vidare till beviset för detta påstående, låt oss komma ihåg vilken polygon som kallas konvex. En konvex polygon är en polygon som ligger helt på ena sidan av en linje som innehåller någon av dess sidor. Till exempel den som visas i denna figur:

Om polygonen inte uppfyller det angivna villkoret kallas den icke-konvex. Till exempel, så här:

Summan av de inre vinklarna i en konvex polygon är lika med , där är antalet sidor i polygonen.

Beviset för detta faktum är baserat på satsen om summan av vinklar i en triangel, välkänd för alla skolbarn. Jag är säker på att denna sats är bekant för dig också. Summan av de inre vinklarna i en triangel är .

Tanken är att dela upp en konvex polygon i flera trianglar. Detta kan göras olika sätt. Beroende på vilken metod vi väljer kommer bevisningen att vara något annorlunda.

1. Dela upp den konvexa polygonen i trianglar med alla möjliga diagonaler ritade från någon vertex. Det är lätt att förstå att då kommer vår n-gon att delas in i trianglar:

Dessutom är summan av alla vinklar för alla resulterande trianglar lika med summan av vinklarna för vår n-gon. När allt kommer omkring är varje vinkel i de resulterande trianglarna en delvinkel i vår konvexa polygon. Det vill säga det nödvändiga beloppet är lika med .

2. Du kan också välja en punkt inuti den konvexa polygonen och koppla den till alla hörn. Då kommer vår n-gon att delas in i trianglar:

Dessutom kommer summan av vinklarna för vår polygon i detta fall att vara lika med summan av alla vinklar för alla dessa trianglar minus den centrala vinkeln, som är lika med . Det vill säga, det erforderliga beloppet är återigen lika med .

Summan av yttre vinklar för en konvex polygon

Låt oss nu ställa frågan: "Vad är summan av de yttre vinklarna för en konvex polygon?" Denna fråga kan besvaras enligt följande. Varje yttre hörn ligger i anslutning till motsvarande inre hörn. Därför är det lika med:

Då är summan av alla yttre vinklar lika med . Det vill säga, det är lika.

Det vill säga ett väldigt roligt resultat erhålls. Om vi ​​plottar alla yttre vinklar för en konvex n-gon sekventiellt efter varandra, så blir resultatet exakt hela planet.

Detta intressant fakta kan illustreras på följande sätt. Låt oss proportionellt reducera alla sidor av någon konvex polygon tills den smälter samman till en punkt. Efter detta kommer alla yttre vinklar att läggas åt sidan från varandra och fyller därmed hela planet.

Intressant fakta, eller hur? Och det finns många sådana fakta inom geometri. Så lär dig geometri, kära skolbarn!

Materialet på vad summan av vinklarna för en konvex polygon är lika med framställdes av Sergey Valerievich

Polygon koncept

Definition 1

Polygonär en geometrisk figur i ett plan, som består av segment kopplade i par, de intilliggande ligger inte på samma räta linje.

I det här fallet kallas segmenten sidorna av polygonen, och deras ändar - polygonens hörn.

Definition 2

En $n$-gon är en polygon med $n$ hörn.

Typer av polygoner

Definition 3

Om en polygon alltid ligger på samma sida av en linje som går genom dess sidor, så kallas polygonen konvex(Figur 1).

Figur 1. Konvex polygon

Definition 4

Om en polygon ligger på motsatta sidor av åtminstone en rät linje som går genom dess sidor, kallas polygonen icke-konvex (fig. 2).

Figur 2. Icke-konvex polygon

Summan av vinklarna för en polygon

Låt oss introducera ett sats om summan av vinklarna i en triangel.

Sats 1

Summan av vinklarna i en konvex triangel bestäms enligt följande

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Bevis.

Låt oss ges en konvex polygon $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Låt oss koppla samman dess vertex $A_1$ med alla andra hörn i denna polygon (Fig. 3).

Figur 3.

Med denna koppling får vi $n-2$ trianglar. Genom att summera deras vinklar får vi summan av vinklarna för en given -gon. Eftersom summan av vinklarna i en triangel är lika med $(180)^0,$ får vi att summan av vinklarna i en konvex triangel bestäms av formeln

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teoremet har bevisats.

Begreppet en fyrhörning

Med hjälp av definitionen av $2$ är det lätt att introducera definitionen av en fyrhörning.

Definition 5

En fyrhörning är en polygon med $4$ hörn (Fig. 4).

Figur 4. Fyrkant

För en fyrhörning är begreppen en konvex fyrhörning och en icke-konvex fyrhörning definierade på liknande sätt. Klassiska exempel på konvexa fyrhörningar är kvadrat, rektangel, trapets, romb, parallellogram (fig. 5).

Figur 5. Konvexa fyrhörningar

Sats 2

Summan av vinklarna för en konvex fyrhörning är $(360)^0$

Bevis.

Genom sats $1$ vet vi att summan av vinklarna för en konvex -gon bestäms av formeln

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Därför är summan av vinklarna för en konvex fyrhörning lika med

\[\vänster(4-2\höger)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teoremet har bevisats.

Bruten

Definition

avbruten linje, eller kort sagt, avbruten linje, ringde slutsekvens segment, så att en av ändarna av det första segmentet fungerar som slutet av det andra, den andra änden av det andra segmentet fungerar som slutet av det tredje osv. I det här fallet ligger inte angränsande segment på samma räta linje. Dessa segment kallas länkar av den streckade linjen.

Typer av polyline

Den streckade linjen kallas stängd, om början av det första segmentet sammanfaller med slutet av det sista.

En bruten linje kan korsa sig själv, röra sig själv eller överlappa sig själv. Om det inte finns några sådana singulariteter, kallas en sådan bruten linje enkel.

Polygoner

Definition

En enkel sluten streckad linje tillsammans med en del av planet som begränsas av det kallas polygon.

Kommentar

Vid varje hörn av en polygon definierar dess sidor en viss vinkel för polygonen. Det kan antingen vara mindre utbyggt eller mer utbyggt.

Fast egendom

Varje polygon har en vinkel mindre än $180^\circ$.

Bevis

Låt en polygon $P$ ges.

Låt oss rita en rak linje som inte skär den. Vi kommer att flytta den parallellt med polygonen. Vid något tillfälle kommer vi för första gången att få en rät linje $a$ som har minst en gemensam punkt med polygonen $P$. Polygonen ligger på ena sidan av denna linje (några av dess punkter ligger på linjen $a$).

Linjen $a$ innehåller minst en vertex av polygonen. Två av dess sidor, som ligger på ena sidan av linjen $a$, konvergerar i den (inklusive fallet när en av dem ligger på denna linje). Det betyder att vid denna vertex är vinkeln mindre än den utvikta.

Definition

Polygonen kallas konvex, om den ligger på ena sidan av varje linje som innehåller dess sida. Om en polygon inte är konvex kallas den icke-konvexa.

Kommentar

En konvex polygon är skärningspunkten mellan halvplan som begränsas av linjer som innehåller polygonens sidor.

Egenskaper för en konvex polygon

En konvex polygon har alla vinklar mindre än $180^\circ$.

Ett linjesegment som förbinder två punkter i en konvex polygon (i synnerhet vilken som helst av dess diagonaler) finns i denna polygon.

Bevis

Låt oss bevisa den första egenskapen

Ta valfri vinkel $A$ av en konvex polygon $P$ och dess sida $a$ som kommer från spetsen $A$. Låt $l$ vara en rad som innehåller sidan $a$. Eftersom polygonen $P$ är konvex, ligger den på ena sidan av linjen $l$. Följaktligen ligger dess vinkel $A$ också på ena sidan av denna linje. Detta betyder att vinkeln $A$ är mindre än den utvecklade vinkeln, det vill säga mindre än $180^\cirkel$.

Låt oss bevisa den andra egenskapen

Ta valfria två punkter $A$ och $B$ av den konvexa polygonen $P$. Polygonen $P$ är skärningspunkten mellan flera halvplan. Segmentet $AB$ finns i vart och ett av dessa halvplan. Därför ingår den också i polygonen $P$.

Definition

Diagonal av en polygon kallas ett segment som förbinder dess icke-angränsande hörn.

Sats (om antalet diagonaler för en n-gon)

Antalet diagonaler för en konvex $n$-gon beräknas med formeln $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Bevis

Från varje hörn av en n-gon är det möjligt att rita $n-3$ diagonaler (du kan inte rita en diagonal till angränsande hörn eller till denna vertex själv). Om vi ​​räknar alla sådana möjliga segment, kommer det att finnas $n\cdot(n-3)$ av dem, eftersom det finns $n$ hörn. Men varje diagonal kommer att räknas två gånger. Således är antalet diagonaler för en n-gon lika med $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Sats (om summan av vinklarna för en n-gon)

Summan av vinklarna för en konvex $n$-gon är $180^\circ(n-2)$.

Bevis

Tänk på $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Låt oss ta en godtycklig punkt $O$ inuti denna polygon.

Summan av vinklarna för alla trianglar $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ är lika med $180^\circ\cdot n$.

Å andra sidan är denna summa summan av alla inre vinklar i polygonen och den totala vinkeln $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Då är summan av vinklarna för den aktuella $n$-gon lika med $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Följd

Summan av vinklarna för en icke-konvex $n$-gon är $180^\circ(n-2)$.

Bevis

Betrakta polygonen $A_1A_2\ldots A_n$, vars enda vinkel $\angle A_2$ är icke-konvex, det vill säga $\angle A_2>180^\circ$.

Låt oss beteckna summan av hans fångst som $S$.

Låt oss koppla ihop punkterna $A_1A_3$ och betrakta polygonen $A_1A_3\ldots A_n$.

Summan av vinklarna för denna polygon är:

$180^\cirkel\cdot(n-1-2)=S-\vinkel A_2+\vinkel 1+\vinkel 2=S-\vinkel A_2+180^\cirkel-\vinkel A_1A_2A_3=S+180^\cirkel-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Därför $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Om den ursprungliga polygonen har mer än en icke-konvex vinkel, kan operationen som beskrivs ovan utföras med varje sådan vinkel, vilket kommer att leda till att påståendet bevisas.

Sats (om summan av yttre vinklar för en konvex n-gon)

Summan av de yttre vinklarna för en konvex $n$-gon är $360^\circ$.

Bevis

Den yttre vinkeln vid vertex $A_1$ är lika med $180^\cirkel-\vinkel A_1$.

Summan av alla yttre vinklar är lika med:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n) -2)=360^\cirkel$.