Idag i klassen ska vi titta på strikt sekvensering Och strikt definition av gränsen för en funktion, och även lära sig att lösa relevanta problem av teoretisk karaktär. Artikeln är främst avsedd för förstaårsstudenter i naturvetenskap och ingenjörsspecialiteter som började studera teorin om matematisk analys och stötte på svårigheter att förstå denna del av högre matematik. Dessutom är materialet ganska tillgängligt för gymnasieelever.

Under de år som sidan funnits har jag fått ett dussintal brev med ungefär följande innehåll: ”Jag förstår inte matematisk analys bra, vad ska jag göra?”, ”Jag förstår inte matematik alls, jag är funderar på att sluta studera” osv. Och visst är det matan som ofta gallrar ut elevgruppen efter första passet. Varför är det så här? För att ämnet är ofattbart komplext? Inte alls! Teorin om matematisk analys är inte så svår som den är egendomlig. Och du måste acceptera och älska henne för den hon är =)

Låt oss börja från början allvarligt fall. Det första och viktigaste är att du inte behöver ge upp dina studier. Förstå rätt, du kan alltid sluta;-) Självklart, om du efter ett eller två år känner dig sjuk av din valda specialitet, så ja, du ska tänka på det (och bli inte arg!) om byte av verksamhet. Men nu är det värt att fortsätta. Och snälla glöm frasen "Jag förstår ingenting" - det händer inte att du inte förstår någonting ALLS.

Vad ska man göra om teorin är dålig? Detta gäller för övrigt inte bara för matematisk analys. Om teorin är dålig, måste du först på allvar fokusera på praktiken. I det här fallet löses två strategiska uppgifter samtidigt:

– För det första uppstod en betydande del av teoretisk kunskap genom praktiken. Och det är därför många människor förstår teorin genom... – det stämmer! Nej, nej, det tänker du inte på =)

– Och för det andra kommer praktiska färdigheter med största sannolikhet att "dra" dig genom provet, även om... men låt oss inte bli så exalterade! Allt är verkligt och allt kan "höjas" på ganska kort tid. Matematisk analys är mitt favoritavsnitt inom högre matematik, och därför kunde jag helt enkelt inte låta bli att ge dig en hjälpande hand:

I början av 1:a terminen täcks vanligtvis sekvensgränser och funktionsbegränsningar. Förstår du inte vad dessa är och vet inte hur man löser dem? Börja med artikeln Funktionsbegränsningar, där själva konceptet undersöks "på fingrarna" och de enklaste exemplen analyseras. Arbeta sedan igenom andra lektioner om ämnet, inklusive en lektion om inom sekvenser, som jag faktiskt redan har formulerat en strikt definition på.

Vilka symboler förutom ojämlikhetstecken och modul känner du till?

– en lång vertikal pinne lyder så här: "sådant", "sånt där", "sånt där" eller "sådant", i vårt fall talar vi uppenbarligen om ett nummer - därför "sådant";

– för alla "en" större än ;

– modultecknet betyder avstånd, dvs. den här posten talar om för oss att avståndet mellan värdena är mindre än epsilon.

Tja, är det dödligt svårt? =)

Efter att ha bemästrat praktiken ser jag fram emot att se dig i nästa stycke:

Och faktiskt, låt oss fundera lite - hur formulerar man en strikt definition av sekvens? ...Det första som kommer att tänka på i världen praktisk lektion: "gränsen för en sekvens är antalet som medlemmarna i sekvensen närmar sig oändligt."

Okej, låt oss skriva ner det efterföljande :

Det är inte svårt att förstå det efterföljande närma sig talet –1 och jämna numrerade termer oändligt nära - till en".

Eller kanske det finns två gränser? Men varför kan inte någon sekvens ha tio eller tjugo av dem? Du kan komma långt på det här sättet. I detta avseende är det logiskt att anta det om en sekvens har en gräns är den unik.

Notera : sekvensen har ingen gräns, men två undersekvenser kan särskiljas från den (se ovan), som var och en har sin egen gräns.

Ovanstående definition visar sig således vara ohållbar. Ja, det fungerar för fall som (som jag inte använde helt korrekt i förenklade förklaringar av praktiska exempel), men nu måste vi hitta en strikt definition.

Försök två: "gränsen för en sekvens är det antal som ALLA medlemmar i sekvensen närmar sig, utom kanske deras slutlig kvantiteter." Detta är närmare sanningen, men fortfarande inte helt korrekt. Så till exempel sekvensen hälften av termerna närmar sig inte noll alls - de är helt enkelt lika med det =) Förresten, det "blinkande ljuset" tar i allmänhet två fasta värden.

Formuleringen är inte svår att klargöra, men då uppstår en annan fråga: hur man skriver definitionen i matematiska symboler? Den vetenskapliga världen kämpade med detta problem under lång tid tills situationen var löst berömd maestro, som i huvudsak formaliserade klassisk matematisk analys i all sin stringens. Cauchy föreslog operation miljö , vilket avsevärt avancerade teorin.

Tänk på en punkt och dess slumpmässig-miljö:

Värdet av "epsilon" är alltid positivt, och dessutom, vi har rätt att välja det själva. Låt oss anta att det finns många medlemmar i det här området (inte nödvändigtvis alla) någon sekvens. Hur skriver man ner det faktum att till exempel tionde terminen är i grannskapet? Låt det vara på höger sida av det. Då bör avståndet mellan punkterna och vara mindre än "epsilon": . Men om "x tiondel" är placerad till vänster om punkt "a", kommer skillnaden att vara negativ, och därför måste tecknet läggas till det modul: .

Definition: ett tal kallas gränsen för en sekvens if för alla dess omgivning (förvalt) det finns ett naturligt tal SÅDAN ALLT medlemmar i sekvensen med högre nummer kommer att finnas i grannskapet:

Eller kort sagt: om

Med andra ord, oavsett hur litet "epsilon"-värde vi tar, kommer den "oändliga svansen" av sekvensen förr eller senare att vara HELT i detta grannskap.

Till exempel den "oändliga svansen" av sekvensen kommer HELT att gå in i valfri godtyckligt liten omgivning av punkten. Så detta värde är gränsen för sekvensen per definition. Låt mig påminna dig om att en sekvens vars gräns är noll kallas oändligt liten.

Det bör noteras att för en sekvens är det inte längre möjligt att säga "ändlös svans" kommer in”- medlemmar med udda tal är i själva verket lika med noll och ”gå inte någonstans” =) Därför används verbet ”kommer att dyka upp” i definitionen. Och, naturligtvis, medlemmarna i en sekvens som denna "går ingenstans". Kontrollera förresten om antalet är dess gräns.

Nu ska vi visa att sekvensen inte har någon gräns. Tänk till exempel ett område av punkten. Det är helt klart att det inte finns något sådant nummer efter vilket ALLA termer kommer att hamna i ett givet område - udda termer kommer alltid att "hoppa ut" till "minus ett". Av en liknande anledning finns det ingen gräns på punkten.

Låt oss konsolidera materialet med övning:

Exempel 1

Bevisa att gränsen för sekvensen är noll. Ange numret efter vilket alla medlemmar i sekvensen garanterat finns i valfri godtyckligt liten omgivning av punkten.

Notera : För många sekvenser beror det nödvändiga naturliga talet på värdet - därav notationen .

Lösning: överväga slumpmässig finns det några nummer – så att ALLA medlemmar med högre nummer kommer att finnas i det här området:

För att visa förekomsten av det nödvändiga numret uttrycker vi det genom .

Eftersom för alla värden på "en" kan modultecknet tas bort:

Vi använder "skola" åtgärder med ojämlikheter som jag upprepade i klassen Linjära ojämlikheter Och Funktionsdomän. I det här fallet är en viktig omständighet att "epsilon" och "en" är positiva:

Eftersom vi pratar om naturliga tal till vänster, och den högra sidan i allmänhet är bråkdel, måste den avrundas:

Notera : ibland läggs en enhet till till höger för att vara på den säkra sidan, men i verkligheten är detta överdrivet. Relativt sett, om vi försvagar resultatet genom att avrunda nedåt, så kommer det närmaste lämpliga talet (”tre”) fortfarande att tillfredsställa den ursprungliga olikheten.

Nu tittar vi på ojämlikhet och minns vad vi först ansåg slumpmässig-kvarter, d.v.s. "epsilon" kan vara lika med någon ett positivt tal.

Slutsats: för varje godtyckligt liten -grannskap till en punkt hittades värdet . Således är ett tal gränsen för en sekvens per definition. Q.E.D.

Förresten, från det erhållna resultatet ett naturligt mönster är tydligt synligt: ​​ju mindre grannskap, desto större antal, varefter ALLA medlemmar i sekvensen kommer att finnas i denna grannskap. Men oavsett hur liten "epsilon" är, kommer det alltid att finnas en "oändlig svans" inuti och utanför - även om den är stor, dock slutlig antal medlemmar.

Hur är dina intryck? =) Jag håller med om att det är lite konstigt. Men strikt! Vänligen läs igen och tänk på allt igen.

Låt oss titta på ett liknande exempel och bekanta oss med andra tekniska tekniker:

Exempel 2

Lösning: per definition av en sekvens är det nödvändigt att bevisa det (Säg det högt!!!).

Låt oss överväga slumpmässig- grannskapet till punkten och checken, finns det naturligt tal – så att för alla större tal gäller följande olikhet:

För att visa existensen av en sådan måste du uttrycka "en" genom "epsilon". Vi förenklar uttrycket under modultecknet:

Modulen förstör minustecknet:

Nämnaren är positiv för alla "en", därför kan pinnarna tas bort:

Blanda:

Nu måste vi extrahera Roten ur, men haken är att för vissa "epsilon" kommer den högra sidan att vara negativ. För att undvika detta problem låt oss stärka ojämlikhet efter modul:

Varför kan detta göras? Om det relativt sett visar sig att , så kommer även villkoret att vara uppfyllt. Modulen kan bara ökaönskat nummer, och det passar oss också! Grovt sett, om den hundrade är lämplig, så är den tvåhundrade också lämplig! Enligt definitionen måste du visa själva faktumet av numrets existens(åtminstone några), varefter alla medlemmar i sekvensen kommer att finnas i -grannskapet. Förresten, det är därför vi inte är rädda för den slutliga avrundningen av högersidan uppåt.

Extrahera roten:

Och runda resultatet:

Slutsats: därför att värdet "epsilon" valdes godtyckligt, sedan för varje godtyckligt litet område av punkten värdet hittades , så att ojämlikheten gäller för alla större tal . Således, a-priory. Q.E.D.

jag rekomenderar framförallt förståelse för förstärkning och försvagning av ojämlikheter är en typisk och mycket vanlig teknik inom matematisk analys. Det enda du behöver övervaka är riktigheten av den här eller den åtgärden. Så till exempel ojämlikhet under inga omständigheter är det möjligt lossa, subtrahera, säg, en:

Återigen, villkorligt: ​​om numret passar exakt, kanske det föregående inte längre passar.

Följande exempel för en oberoende lösning:

Exempel 3

Använd definitionen av en sekvens, bevisa det

En kort lösning och svar i slutet av lektionen.

Om sekvensen oändligt stor, då är definitionen av en gräns formulerad på ett liknande sätt: en punkt kallas en gräns för en sekvens om någon, så stor som du vill antal, det finns ett antal så att för alla större tal kommer ojämlikheten att uppfyllas. Numret är uppringt närheten av punkten "plus oändlighet":

Med andra ord, vad som helst stor betydelse Oavsett vad kommer den "oändliga svansen" av sekvensen definitivt att gå in i -grannskapet av punkten, vilket bara lämnar ett ändligt antal termer till vänster.

Standardexempel:

Och förkortad notation: , if

För fallet, skriv ner definitionen själv. Den korrekta versionen finns i slutet av lektionen.

När du har tagit dig an praktiska exempel och listat ut definitionen av gränsen för en sekvens, kan du vända dig till litteraturen om kalkyl och/eller din föreläsningsanteckningsbok. Jag rekommenderar att du laddar ner volym 1 av Bohan (enklare - för korrespondensstudenter) och Fichtenholtz (mer detaljerat och detaljerat). Bland andra författare rekommenderar jag Piskunov, vars kurs riktar sig till tekniska universitet.

Försök att samvetsgrant studera de satser som rör gränsen för sekvensen, deras bevis, konsekvenser. Till en början kan teorin verka "molnig", men det här är normalt - du behöver bara vänja dig vid det. Och många kommer till och med få smaka på det!

Rigorös definition av gränsen för en funktion

Låt oss börja med samma sak – hur man formulerar sig detta koncept? Den verbala definitionen av gränsen för en funktion är formulerad mycket enklare: "ett tal är gränsen för en funktion om med "x" tenderar att (både vänster och höger), motsvarande funktionsvärden tenderar att » (se ritning). Allt verkar vara normalt, men ord är ord, mening är mening, en ikon är en ikon och det finns inte tillräckligt med strikta matematiska notationer. Och i andra stycket kommer vi att bekanta oss med två metoder för att lösa denna fråga.

Låt funktionen definieras på ett visst intervall, eventuellt med undantag för punkten. I utbildningslitteratur det är allmänt accepterat att funktionen finns där Inte definierad:

Detta val betonar kärnan i gränsen för en funktion: "x" oändligt nära tillvägagångssätt , och motsvarande värden för funktionen är oändligt nära Till . Med andra ord, begreppet en gräns innebär inte "exakt inställning" till poäng, utan nämligen oändligt nära approximation, spelar det ingen roll om funktionen är definierad vid punkten eller inte.

Den första definitionen av gränsen för en funktion, inte överraskande, formuleras med hjälp av två sekvenser. För det första är begreppen relaterade, och för det andra studeras funktionsgränser vanligtvis efter sekvensgränser.

Tänk på sekvensen poäng (inte på ritningen), som hör till intervallet och till skillnad från, som konvergerar Till . Då bildar motsvarande funktionsvärden också en numerisk sekvens, vars medlemmar är placerade på ordinataaxeln.

Gräns ​​för en funktion enligt Heine för alla sekvenser av punkter (tillhör och skiljer sig från), som konvergerar till punkten, konvergerar motsvarande sekvens av funktionsvärden till .

Eduard Heine är en tysk matematiker. ...Och det finns ingen anledning att tänka något sådant, det finns bara en gay i Europa - Gay-Lussac =)

Den andra definitionen av gränsen skapades... ja, ja, du har rätt. Men först, låt oss förstå dess design. Betrakta en godtycklig grannskap av punkten ("svart" kvarter). Utifrån föregående stycke innebär posten att något värde funktionen är belägen i området "epsilon".

Nu hittar vi det -kvarter som motsvarar det givna -kvarteret (rita mentalt svarta prickade linjer från vänster till höger och sedan uppifrån och ned). Observera att värdet är valt längs med det mindre segmentets längd, in I detta fall– längs med det kortare vänstra segmentet. Dessutom kan "hallon" -grannskapet till en punkt till och med reduceras, eftersom i följande definition själva existensen är viktig denna stadsdel. Och på liknande sätt betyder notationen att ett visst värde ligger inom "delta"-området.

Gräns ​​för cauchyfunktion: ett tal kallas gränsen för en funktion vid en punkt if för alla förvalt grannskap (så liten som du vill), existerar- punktens grannskap, SÅDAN, att: SOM ENDAST värden (tillhör) ingår i detta område: (röda pilar)– SÅ OMEDELBART kommer motsvarande funktionsvärden garanterat att komma in i -grannskapet: (blå pilar).

Jag måste varna dig för att jag för tydlighetens skull improviserade lite, så överanvänd inte =)

Kort post: , if

Vad är kärnan i definitionen? Bildligt talat, genom att oändligt reducera -grannskapet, "följer" vi funktionsvärdena till deras gräns, vilket ger dem inget alternativ till att närma sig någon annanstans. Ganska ovanligt, men återigen strikt! För att helt förstå idén, läs om formuleringen igen.

! Uppmärksamhet: om du bara behöver formulera dig Heines definition eller bara Cauchy definition snälla glöm inte bort signifikant preliminära kommentarer: "Tänk på en funktion som är definierad på ett visst intervall, med eventuellt undantag för en punkt". Jag sa det en gång i början och upprepade det inte varje gång.

Enligt motsvarande teorem för matematisk analys är definitionerna av Heine och Cauchy likvärdiga, men det andra alternativet är det mest kända (gör det fortfarande!), som också kallas "språkgränsen":

Exempel 4

Använd definitionen av limit, bevisa det

Lösning: funktionen är definierad på hela tallinjen utom punkten. Med hjälp av definitionen bevisar vi att det finns en gräns vid en given punkt.

Notera : värdet på "delta"-kvarteret beror på "epsilon", därav beteckningen

Låt oss överväga slumpmässig-miljö. Uppgiften är att använda detta värde för att kontrollera om finns det-miljö, SÅDAN, som från ojämlikheten ojämlikhet följer .

Om vi ​​antar att vi transformerar den sista ojämlikheten:
(utvidgade kvadrattrinomialet)

Formuleringar av huvudsatser och egenskaper för numeriska sekvenser som har en gräns ges. Innehåller en definition av sekvensen och dess gräns. Aritmetiska operationer med sekvenser, egenskaper relaterade till ojämlikheter, konvergenskriterier, egenskaper hos infinitesimala och oändligt stora sekvenser beaktas.

Innehåll

Egenskaper för ändliga gränser för sekvenser

Grundläggande egenskaper

En punkt a är en gräns för en sekvens om och endast om det finns utanför någon omgivning till denna punkt ändligt antal element sekvenser eller den tomma uppsättningen.

Om talet a inte är gränsen för sekvensen, så finns det en grannskap till punkten a bortom vilken det finns oändligt antal sekvenselement.

Unikitetsteorem för gränsen för en talföljd. Om en sekvens har en gräns är den unik.

Om en sekvens har en ändlig gräns, då begränsad.

Om varje element i sekvensen lika med samma antal C: då har denna sekvens en gräns lika med talet C.

Om sekvensen lägga till, kassera eller ändra de första m elementen, då kommer detta inte att påverka dess konvergens.

Bevis på grundläggande egenskaper finns på sidan
Grundläggande egenskaper för ändliga gränser för sekvenser >>>.

Aritmetiska operationer med gränser

Låt det finnas ändliga gränser för både sekvenser och . Och låt C vara en konstant, det vill säga ett givet tal. Sedan
;
;
;
, Om .
Vid kvot förutsätts att för alla n.

Om då.

Bevis på aritmetiska egenskaper finns på sidan
Aritmetiska egenskaper för ändliga gränser för sekvenser >>>.

Egenskaper relaterade till ojämlikheter

Om elementen i en sekvens, med början från ett visst antal, uppfyller ojämlikheten , då uppfyller gränsen a för denna sekvens också olikheten .

Om elementen i sekvensen, utgående från ett visst nummer, tillhör ett slutet intervall (segment), så hör gränsen a också till detta intervall: .

Om och och element i sekvenser, med början från ett visst antal, uppfyller olikheten , då .

Om och, med början från något nummer, , då .
I synnerhet om, med utgångspunkt från något nummer, , då
om då ;
om då .

Om och, då.

Låt det vara. Om en < b , då finns det ett naturligt tal N så att för alla n >N ojämlikheten håller.

Bevis på egenskaper relaterade till ojämlikheter finns på sidan
Egenskaper för sekvensgränser förknippade med ojämlikheter >>>.

Oändligt stora och oändligt små sekvenser

Oändligt liten sekvens

En infinitesimal sekvens är en sekvens vars gräns är noll:
.

Summa och skillnad av ett ändligt antal infinitesimala sekvenser är en infinitesimal sekvens.

Produkt av en avgränsad sekvens till infinitesimal är en oändlig sekvens.

Produkt av ett ändligt tal infinitesimala sekvenser är en infinitesimal sekvens.

För att en sekvens ska ha en gräns a är det nödvändigt och tillräckligt att , där är en oändlig sekvens.

Bevis på egenskaper hos infinitesimala sekvenser finns på sidan
Infinitesimala sekvenser - definition och egenskaper >>>.

Oändligt stor sekvens

En oändligt stor sekvens är en sekvens som har en oändligt stor gräns. Det vill säga om det för något positivt tal finns ett naturligt tal N beroende på så att olikheten gäller för alla naturliga tal
.
I det här fallet skriver de
.
Eller vid .
De säger att det tenderar till oändligheten.

Om, med utgångspunkt från något nummer N, då
.
Om då
.

Om sekvensen är oändligt stor, då, med utgångspunkt från något tal N, definieras en sekvens som är oändligt liten. Om är en oändligt liten sekvens med icke-noll element, då är sekvensen oändligt stor.

Om sekvensen är oändligt stor och sekvensen är begränsad, då
.

Om absoluta värden element i sekvensen begränsas underifrån av ett positivt tal (), och är oändligt små med element som inte är lika med noll, då
.

I detalj definition av en oändligt stor sekvens med exempel anges på sidan
Definition av en oändligt stor sekvens >>>.
Bevis på egenskaper hos oändligt stora sekvenser finns på sidan
Egenskaper för oändligt stora sekvenser >>> .

Sekvenskonvergenskriterier

Monotona sekvenser

En strikt ökande sekvens är en sekvens för vilken alla element uppfyller följande ojämlikheter:
.

Liknande ojämlikheter definierar andra monotona sekvenser.

Strikt fallande sekvens:
.
Icke-minskande sekvens:
.
Icke-ökande sekvens:
.

Härav följer att en strikt ökande sekvens också är icke-minskande. En strikt minskande sekvens är också icke-ökande.

En monoton sekvens är en icke-minskande eller icke-ökande sekvens.

En monoton sekvens begränsas på minst en sida av värdet. En icke-minskande sekvens avgränsas nedan: . En icke-ökande sekvens avgränsas från ovan: .

Weierstrass sats. För att en icke-minskande (icke-ökande) sekvens ska ha en ändlig gräns är det nödvändigt och tillräckligt att den avgränsas uppifrån (underifrån). Här är M något nummer.

Eftersom alla icke-minskande (icke-ökande) sekvenser är avgränsade underifrån (uppifrån), kan Weierstrass sats omformuleras enligt följande:

För att en monoton sekvens ska ha en ändlig gräns är det nödvändigt och tillräckligt att den begränsas: .

Monoton obunden sekvens har en oändlig gräns, lika för en icke-minskande och icke-ökande sekvens.

Bevis för Weierstrass sats anges på sidan
Weierstrass sats om gränsen för en monoton sekvens >>>.

Cauchy-kriterium för sekvenskonvergens

Snyggt tillstånd
Konsekvens tillfredsställer Snyggt tillstånd, om det för något finns ett naturligt tal så att för alla naturliga tal n och m som uppfyller villkoret, gäller olikheten
.

En fundamental sekvens är en sekvens som uppfyller Snyggt tillstånd.

Cauchy-kriterium för sekvenskonvergens. För att en sekvens ska ha en ändlig gräns är det nödvändigt och tillräckligt att den uppfyller Cauchy-villkoret.

Bevis på Cauchys konvergenskriterium anges på sidan
Cauchy-kriterium för sekvensens konvergens >>>.

Efterföljder

Bolzano-Weierstrass teorem. Från vilken avgränsad sekvens som helst kan man extrahera en konvergent delsekvens. Och från vilken obegränsad sekvens som helst - en oändligt stor delsekvens som konvergerar till eller till .

Bevis för Bolzano-Weierstrass sats anges på sidan
Bolzano–Weierstrass teorem >>> .

Definitioner, satser och egenskaper för delsekvenser och delgränser diskuteras på sidan
Sekvenser och partiella gränser för sekvenser >>>.

Referenser:
CENTIMETER. Nikolsky. Kurs i matematisk analys. Volym 1. Moskva, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Kurs i matematisk analys. Volym 1. Moskva, 2003.
V.A. Zorich. Matematisk analys. Del 1. Moskva, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Poznyak. Grunderna i matematisk analys. Del 1. Moskva, 2005.

Se även:

Nummerföljd.
Hur ?

På denna lektion vi kommer att lära oss mycket intressanta saker från livet för medlemmar i ett stort samhälle som heter VKontakte nummersekvenser. Ämnet som behandlas avser inte bara kursen för matematisk analys, utan berör också grunderna diskret matematik. Dessutom kommer materialet att krävas för att bemästra andra delar av tornet, särskilt under studien nummerserie Och funktionell serie. Du kan säga banalt att det här är viktigt, du kan säga uppmuntrande att det är enkelt, du kan säga många fler rutinfraser, men idag är det första, ovanligt lata skolveckan, så det gör mig fruktansvärt knäckande att skriva första stycket =) Jag Jag har redan sparat filen i mina hjärtan och gjorde mig redo att sova, när plötsligt... mitt huvud upplystes av tanken på en uppriktig bekännelse, som otroligt lättade min själ och fick mig att fortsätta knacka med fingrarna på tangentbordet .

Låt oss ta en paus från sommarminnen och titta in i denna fascinerande och positiva värld av det nya socialt nätverk:

Begreppet nummersekvens

Låt oss först tänka på själva ordet: vad är sekvens? Sekvens är när något följer efter något. Till exempel en sekvens av handlingar, en sekvens av säsonger. Eller när någon befinner sig bakom någon. Till exempel en sekvens av människor i en kö, en sekvens av elefanter på vägen till ett vattenhål.

Låt oss omedelbart klargöra de karakteristiska egenskaperna hos sekvensen. För det första, sekvensmedlemmar ligger strikt i en viss ordning. Så om två personer i kön byts om, kommer detta redan att vara det Övrig efterföljande. För det andra, alla sekvensmedlem Du kan tilldela ett serienummer:

Det är samma sak med siffror. Låta till varje naturvärde enligt någon regel kompatibla riktigt nummer. Sedan säger de att en numerisk sekvens ges.

Ja, i matematiska problem, till skillnad från livssituationer, innehåller sekvensen nästan alltid oändligt många tal.

Vart i:
kallad första medlem sekvenser;
– andra medlemmen sekvenser;
– tredje medlem sekvenser;
…
– nth eller gemensam medlem sekvenser;
…

I praktiken är sekvensen vanligtvis given vanlig term formel, Till exempel:
– sekvens av positiva jämna tal:

Således bestämmer posten unikt alla medlemmar i sekvensen - detta är regeln (formeln) enligt vilken naturvärden siffror sätts i korrespondens. Därför betecknas sekvensen ofta kort med en vanlig term, och istället för "x" kan andra latinska bokstäver användas, till exempel:

Sekvens av positiva udda tal:

En annan vanlig sekvens:

Som många säkert har märkt spelar variabeln "en" rollen som en slags räknare.

Faktum är att vi sysslade med nummersekvenser redan i mellanstadiet. Låt oss komma ihåg aritmetisk progression. Jag kommer inte att skriva om definitionen, låt oss beröra essensen på specifikt exempel. Låt vara den första mandatperioden, och – steg aritmetisk progression. Sedan:
– den andra terminen av denna utveckling.
– den tredje terminen av denna utveckling.
- fjärde;
- femte;
…
Och uppenbarligen är den n:e termen given återkommande formel

Notera : i en återkommande formel uttrycks varje efterföljande term i termer av föregående term eller till och med i termer av en hel uppsättning tidigare termer.

Den resulterande formeln är till liten användning i praktiken - för att få, säg, till , måste du gå igenom alla tidigare termer. Och i matematik har ett mer bekvämt uttryck för den n:e termen av en aritmetisk progression härletts: . I vårat fall:

Ersätt naturliga tal i formeln och kontrollera att den numeriska sekvensen som konstruerats ovan är korrekt.

Liknande beräkningar kan göras för geometrisk progression, vars n:e term ges av formeln , där är den första termen, och – nämnare progression. I matematikuppgifter är den första termen ofta lika med en.

progression anger sekvensen ;
progression ställer in sekvensen;
progression ställer in sekvensen ;
progression ställer in sekvensen .

Jag hoppas att alla vet att –1 till en udda potens är lika med –1 och till en jämn potens – en.

Progression kallas minskar oändligt, if (de två sista fallen).

Låt oss lägga till två nya vänner till vår lista, av vilka en precis har knackat på monitorns matris:

Sekvensen i matematisk jargong kallas en "blinker":

Således, sekvensmedlemmar kan upprepas. Så, i det betraktade exemplet, består sekvensen av två oändligt alternerande tal.

Händer det att en sekvens består av identiska tal? Säkert. Till exempel ställer den in ett oändligt antal "treor". För esteter finns det ett fall när "en" fortfarande formellt förekommer i formeln:

Låt oss bjuda in en enkel vän att dansa:

Vad händer när "en" ökar till oändlighet? Uppenbarligen kommer medlemmarna i sekvensen att vara det oändligt nära närma sig noll. Detta är gränsen för denna sekvens, som är skriven enligt följande:

Om gränsen för en sekvens är noll, anropas den oändligt liten.

I teorin om matematisk analys ges det strikt definition av sekvensgränsen genom det så kallade epsilonkvarteret. Nästa artikel kommer att ägnas åt denna definition, men låt oss nu titta på dess betydelse:

Låt oss på tallinjen skildra termerna för sekvensen och grannskapets symmetriska med avseende på noll (gräns):


Nyp nu det blå området med kanterna på handflatorna och börja minska det, dra det mot gränsen (röd punkt). Ett nummer är gränsen för en sekvens om FÖR NÅGON förvald -grannskap (så liten som du vill) kommer att vara inuti den oändligt många medlemmar av sekvensen, och UTANFÖR den - endast slutlig antal medlemmar (eller inga alls). Det vill säga, epsilon-området kan vara mikroskopiskt och till och med mindre, men den "oändliga svansen" av sekvensen måste förr eller senare fullt gå in i området.

Sekvensen är också oändlig: med skillnaden att dess medlemmar inte hoppar fram och tillbaka, utan närmar sig gränsen uteslutande från höger.

Naturligtvis kan gränsen vara lika med vilket annat ändligt tal som helst, ett elementärt exempel:

Här tenderar bråkdelen till noll, och följaktligen är gränsen lika med "två".

Om sekvensen det finns en ändlig gräns, då heter det konvergerande(särskilt, oändligt liten vid ). I annat – avvikande, i det här fallet är två alternativ möjliga: antingen finns gränsen inte alls, eller så är den oändlig. I det senare fallet kallas sekvensen oändligt stor. Låt oss galoppera genom exemplen i första stycket:

Sekvenser är oändligt stor, när deras medlemmar med tillförsikt rör sig mot "plus oändlighet":

En aritmetisk progression med den första termen och steget är också oändligt stor:

Förresten, alla aritmetiska progressioner divergerar också, med undantag för fallet med ett nollsteg - när . Gränsen för en sådan sekvens finns och sammanfaller med den första termen.

Sekvenserna har ett liknande öde:

Varje oändligt minskande geometrisk progression, som framgår av namnet, oändligt liten:

Om nämnaren för den geometriska progressionen är , då är sekvensen oändligt stor:

Om till exempel gränsen inte existerar alls, eftersom medlemmarna outtröttligt hoppar antingen till "plus oändlighet" eller till "minus oändlighet". Och sunt förnuft och Matans teorem antyder att om något strävar någonstans, så är detta den enda omhuldade platsen.

Efter en liten uppenbarelse det blir tydligt att det "blinkande ljuset" är skyldig till det okontrollerbara kastandet, som för övrigt avviker av sig självt.
För en sekvens är det faktiskt lätt att välja en -grannskap som till exempel bara klämmer fast talet –1. Som ett resultat kommer ett oändligt antal sekvensmedlemmar ("plus ettor") att förbli utanför detta område. Men per definition måste den "oändliga svansen" av sekvensen från ett visst ögonblick (naturligt tal). fullt gå in i NÅGON närhet av din gräns. Slutsats: himlen är gränsen.

Faktoriell är oändligt stor sekvens:

Dessutom växer det med stormsteg, så det är ett tal som har mer än 100 siffror (siffror)! Varför just 70? På den ber min tekniska mikroräknare om nåd.

Med ett kontrollskott är allt lite mer komplicerat, och vi har precis kommit till den praktiska delen av föreläsningen, där vi kommer att analysera stridsexempel:

Men nu måste du kunna lösa gränserna för funktioner, åtminstone på nivån av två grundläggande lektioner: Gränser. Exempel på lösningar Och Underbara gränser. Eftersom många lösningsmetoder kommer att vara likartade. Men låt oss först av allt analysera de grundläggande skillnaderna mellan gränsen för en sekvens och gränsen för en funktion:

I gränsen för sekvensen kan den "dynamiska" variabeln "en" tendera att bara till "plus oändlighet"– mot ökande naturliga tal .
I gränsen för funktionen kan "x" riktas var som helst - till "plus/minus oändlighet" eller till ett godtyckligt reellt tal.

Efterföljd diskret(diskontinuerlig), det vill säga den består av individuella isolerade medlemmar. Ett, två, tre, fyra, fem gick kaninen ut på en promenad. Argumentet för en funktion kännetecknas av kontinuitet, det vill säga "X" smidigt, utan incidenter, tenderar till ett eller annat värde. Och följaktligen kommer funktionsvärdena också kontinuerligt att närma sig sin gräns.

Därför att diskrethet inom sekvenserna finns det sina egna signatursaker, såsom factorials, "blinkande ljus", progressioner, etc. Och nu ska jag försöka analysera gränserna som är specifika för sekvenser.

Låt oss börja med progressioner:

Exempel 1

Hitta gränsen för sekvensen

Lösning: något som liknar en oändligt minskande geometrisk progression, men är det verkligen det? För tydlighetens skull, låt oss skriva ner de första termerna:

Sedan dess talar vi om belopp termer av en oändligt minskande geometrisk progression, som beräknas med formeln.

Låt oss fatta ett beslut:

Vi använder formeln för summan av en oändligt minskande geometrisk progression: . I detta fall: – den första termen, – nämnaren för progressionen.

Exempel 2

Skriv de fyra första termerna i sekvensen och hitta dess gräns

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. För att eliminera osäkerheten i täljaren måste du använda formeln för summan av de första termerna i en aritmetisk progression:
, där är den första och a är den n:e termen av progressionen.

Eftersom inom sekvenser "en" alltid tenderar att "plus oändlighet", är det inte förvånande att osäkerhet är en av de mest populära.
Och många exempel löses på exakt samma sätt som funktionsgränser!

Eller kanske något mer komplicerat som ? Kolla in exempel nr 3 i artikeln Metoder för att lösa gränser.

Ur en formell synvinkel kommer skillnaden bara att finnas i en bokstav - "x" här och "en" här.
Tekniken är densamma - täljaren och nämnaren måste delas med "en" i högsta grad.

Osäkerhet inom sekvenser är också ganska vanligt. Du kan lära dig hur du löser gränser från exempel nr 11-13 i samma artikel.

För att förstå gränsen, se exempel nr 7 i lektionen Underbara gränser(den andra anmärkningsvärda gränsen gäller också för det diskreta fallet). Lösningen blir återigen som en karbonkopia med en bokstavsskillnad.

De följande fyra exemplen (nr 3-6) är också "tvåsidiga", men i praktiken är de av någon anledning mer karakteristiska för sekvensgränser än för funktionsgränser:

Exempel 3

Hitta gränsen för sekvensen

Lösning: först den kompletta lösningen, sedan steg-för-steg-kommentarer:

(1) I täljaren använder vi formeln två gånger.

(2) Vi presenterar liknande termer i täljaren.

(3) För att eliminera osäkerhet, dividera täljaren och nämnaren med ("en" i högsta grad).

Som du kan se, inget komplicerat.

Exempel 4

Hitta gränsen för sekvensen

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand, förkortade multiplikationsformler att hjälpa.

Inom s indikativ Sekvenser använder en liknande metod för att dividera täljaren och nämnaren:

Exempel 5

Hitta gränsen för sekvensen

Lösning Låt oss ordna det enligt samma schema:

Ett liknande teorem gäller förresten för funktioner: produkten av en begränsad funktion och en infinitesimal funktion är en infinitesimal funktion.

Exempel 9

Hitta gränsen för sekvensen

Definition av gränser för sekvens och funktion, egenskaper hos gränser, första och andra anmärkningsvärda gränser, exempel.

Konstant antal A kallad begränsa sekvenser(x n), om det för något godtyckligt litet positivt tal ε > 0 finns ett tal N så att alla värden x n, för vilka n>N, uppfyller olikheten

Skriv ner det så här: eller x n → a.

Ojämlikhet (6.1) motsvarar den dubbla ojämlikheten

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, utgående från något tal n>N, ligga innanför intervallet (a-ε , a+ε), dvs. faller in i vilken liten ε-grann som helst av punkten A.

En sekvens som har en gräns kallas konvergerande, annars - avvikande.

Begreppet funktionsgräns är en generalisering av begreppet sekvensgräns, eftersom gränsen för en sekvens kan betraktas som gränsen för en funktion x n = f(n) för ett heltalsargument n.

Låt funktionen f(x) ges och låt a - gränspunkt definitionsdomän för denna funktion D(f), dvs. en sådan punkt, vars varje grannskap innehåller punkter i mängden D(f) annat än a. Punkt a kan eller kanske inte tillhör mängden D(f).

Definition 1. Det konstanta talet A kallas begränsa funktioner f(x) på x→ a, om för någon sekvens (x n ) av argumentvärden som tenderar att A, har motsvarande sekvenser (f(x n)) samma gräns A.

Denna definition kallas bestämma gränsen för en funktion enligt Heine, eller " i sekvensspråk”.

Definition 2. Det konstanta talet A kallas begränsa funktioner f(x) på x→a, om man, givet ett godtyckligt, godtyckligt litet positivt tal ε, kan hitta ett sådant δ >0 (beroende på ε) att för alla x, liggande i ε-grannskapet till numret A, dvs. För x, som tillfredsställer ojämlikheten
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Denna definition kallas genom att definiera gränsen för en funktion enligt Cauchy, eller ”på språket ε - δ"

Definitionerna 1 och 2 är likvärdiga. Om funktionen f(x) som x → a har begränsa, lika med A, detta skrivs i formen

I händelse av att sekvensen (f(x n)) ökar (eller minskar) utan begränsning för någon approximationsmetod x till din gräns A, då kommer vi att säga att funktionen f(x) har oändlig gräns, och skriv det i formuläret:

En variabel (dvs en sekvens eller funktion) vars gräns är noll kallas oändligt liten.

En variabel vars gräns är lika med oändlighet kallas oändligt stor.

För att hitta gränsen i praktiken används följande satser.

Sats 1 . Om alla gränser finns

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Kommentar. Uttryck av formen 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ är osäkra, till exempel förhållandet mellan två oändligt små eller oändligt stora kvantiteter, och att hitta en gräns av denna typ kallas "osäkerhetsupplysning".

Sats 2.

de där. man kan gå till gränsen baserat på effekten med en konstant exponent, i synnerhet,

Sats 3.

(6.11)

Var e» 2,7 - bas av naturlig logaritm. Formlerna (6.10) och (6.11) kallas den första anmärkningsvärda gränsen och den andra anmärkningsvärda gränsen.

Konsekvenserna av formel (6.11) används också i praktiken:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

särskilt gränsen,

Om x → a och samtidigt x > a, skriv x →a + 0. Om i synnerhet a = 0, skriv +0 istället för symbolen 0+0. På samma sätt, om x→a och samtidigt x och kallas därefter rätt gräns Och vänster gräns funktioner f(x) vid punkten A. För att det ska finnas en gräns för funktionen f(x) som x→ a är det nödvändigt och tillräckligt att . Funktionen f(x) anropas kontinuerlig vid punkten x 0 om gräns

(6.15)

Villkor (6.15) kan skrivas om som:

det vill säga passage till gränsen under tecknet för en funktion är möjlig om den är kontinuerlig vid en given punkt.

Om jämställdheten (6,15) kränks så säger vi det på x = xo fungera f(x) Det har glipa Betrakta funktionen y = 1/x. Definitionsdomänen för denna funktion är uppsättningen R, förutom för x = 0. Punkten x = 0 är en gränspunkt för mängden D(f), eftersom i vilken omgivning som helst av den, dvs. i vilket öppet intervall som helst som innehåller punkten 0, finns det punkter från D(f), men det självt tillhör inte denna mängd. Värdet f(x o)= f(0) är inte definierat, så vid punkten x o = 0 har funktionen en diskontinuitet.

Funktionen f(x) anropas kontinuerligt till höger vid punkten x o om gränsen

Och kontinuerligt till vänster vid punkten x o, om gränsen

Kontinuitet för en funktion vid en punkt puss kramär ekvivalent med dess kontinuitet vid denna punkt både till höger och till vänster.

För att funktionen ska vara kontinuerlig vid en punkt puss kram t.ex. till höger är det nödvändigt för det första att det finns en ändlig gräns, och för det andra att denna gräns är lika med f(x o). Därför, om åtminstone ett av dessa två villkor inte är uppfyllt, kommer funktionen att ha en diskontinuitet.

1. Om gränsen finns och inte är lika med f(x o), så säger de det fungera f(x) vid punkten x o har bristning av det första slaget, eller hoppa.

2. Om gränsen är +∞ eller -∞ eller inte finns, så säger de att i punkt puss kram funktionen har en diskontinuitet andra sorten.

Till exempel har funktionen y = ctg x som x → +0 en gräns lika med +∞, vilket betyder att den vid punkten x=0 har en diskontinuitet av det andra slaget. Funktion y = E(x) (heltalsdel av x) vid punkter med hel abskiss har diskontinuiteter av det första slaget, eller hopp.

En funktion som är kontinuerlig vid varje punkt i intervallet anropas kontinuerlig V . En kontinuerlig funktion representeras av en heldragen kurva.

Många problem förknippade med den kontinuerliga tillväxten av en viss kvantitet leder till den andra anmärkningsvärda gränsen. Sådana uppgifter inkluderar till exempel: tillväxt av fyndigheter enligt lagen om sammansatt ränta, tillväxt av landets befolkning, sönderfall av radioaktiva ämnen, spridning av bakterier, etc.

Låt oss överväga exempel på Ya. I. Perelman, vilket ger en tolkning av numret e i räntebindningsproblemet. siffra e det finns en gräns . I sparbanker läggs räntepengar till det fasta kapitalet årligen. Om anslutningen görs oftare, växer kapitalet snabbare, eftersom ett större belopp är inblandat i bildandet av intresse. Låt oss ta ett rent teoretiskt, mycket förenklat exempel. Låt 100 deniers sättas in på banken. enheter baserat på 100 % per år. Om räntepengar läggs till det fasta kapitalet först efter ett år, då vid denna period 100 den. enheter kommer att förvandlas till 200 monetära enheter. Låt oss nu se vad 100 denize kommer att förvandlas till. enheter, om räntepengar läggs till fast kapital var sjätte månad. Efter sex månader, 100 den. enheter kommer att växa med 100 × 1,5 = 150, och efter ytterligare sex månader - med 150 × 1,5 = 225 (den. enheter). Om anslutningen görs var 1/3 av året, så efter ett år 100 den. enheter kommer att bli 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (den.enheter). Vi kommer att öka villkoren för att lägga till räntepengar till 0,1 år, till 0,01 år, till 0,001 år osv. Sedan av 100 den. enheter efter ett år blir det:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den.enheter),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. enheter),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. enheter).

Med en obegränsad minskning av villkoren för att lägga till ränta växer det ackumulerade kapitalet inte i det oändliga, utan närmar sig en viss gräns lika med cirka 271. Kapitalet som sätts in med 100 % per år kan inte öka med mer än 2,71 gånger, även om den upplupna räntan lades till kapitalet varje sekund eftersom gränsen

Exempel 3.1. Använd definitionen av gränsen för en talsekvens, bevisa att sekvensen x n =(n-1)/n har en gräns som är lika med 1.

Lösning. Vi måste bevisa att, oavsett vilken ε > 0 vi tar, för det finns ett naturligt tal N så att för alla n > N olikheten |x n -1|< ε

Ta valfri ε > 0. Eftersom x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, räcker det för att hitta N att lösa olikheten 1/n<ε. Отсюда n>1/ε och därför kan N tas för att vara heltalsdelen av 1/ε N = E(1/ε). Vi har därmed bevisat att gränsen .

Exempel 3.2. Hitta gränsen för en sekvens som ges av en vanlig term .

Lösning. Låt oss tillämpa gränsen för summasatsen och hitta gränsen för varje term. Som n → ∞ tenderar täljaren och nämnaren för varje term till oändlighet, och vi kan inte direkt tillämpa kvotgränssatsen. Därför transformerar vi först x n, dividera täljaren och nämnaren för den första termen med n 2, och den andra på n. Genom att tillämpa gränsen för kvoten och gränsen för summasatsen finner vi:

Exempel 3.3. . Hitta .

Lösning.

Här använde vi gradens gränssats: gränsen för en grad är lika med graden av gränsen för basen.

Exempel 3.4. Hitta ( ).

Lösning. Det är omöjligt att tillämpa skillnadsgränssatsen, eftersom vi har en osäkerhet av formen ∞-∞. Låt oss omvandla den allmänna termformeln:

Exempel 3.5. Funktionen f(x)=2 1/x ges. Bevisa att det inte finns någon gräns.

Lösning. Låt oss använda definition 1 av gränsen för en funktion genom en sekvens. Låt oss ta en sekvens ( x n ) som konvergerar till 0, dvs. Låt oss visa att värdet f(x n)= beter sig olika för olika sekvenser. Låt x n = 1/n. Självklart, då gränsen Låt oss nu välja som x n en sekvens med en vanlig term x n = -1/n, som också tenderar mot noll. Därför finns det ingen gräns.

Exempel 3.6. Bevisa att det inte finns någon gräns.

Lösning. Låt x 1 , x 2 ,..., x n ,... vara en sekvens för vilken
. Hur beter sig sekvensen (f(x n)) = (sin x n) för olika x n → ∞

Om x n = p n, då är sin x n = sin (s n) = 0 för alla n och gränsen If
xn=2 p n+ p /2, sedan sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 för alla n och därmed gränsen. Så det finns inte.

Idag i klassen ska vi titta på strikt sekvensering Och strikt definition av gränsen för en funktion, och även lära sig att lösa relevanta problem av teoretisk karaktär. Artikeln är främst avsedd för förstaårsstudenter i naturvetenskap och ingenjörsspecialiteter som började studera teorin om matematisk analys och stötte på svårigheter att förstå denna del av högre matematik. Dessutom är materialet ganska tillgängligt för gymnasieelever.

Under de år som sidan funnits har jag fått ett dussintal brev med ungefär följande innehåll: ”Jag förstår inte matematisk analys bra, vad ska jag göra?”, ”Jag förstår inte matematik alls, jag är funderar på att sluta studera” osv. Och visst är det matan som ofta gallrar ut elevgruppen efter första passet. Varför är det så här? För att ämnet är ofattbart komplext? Inte alls! Teorin om matematisk analys är inte så svår som den är egendomlig. Och du måste acceptera och älska henne för den hon är =)

Låt oss börja med det svåraste fallet. Det första och viktigaste är att du inte behöver ge upp dina studier. Förstå rätt, du kan alltid sluta;-) Självklart, om du efter ett eller två år känner dig sjuk av din valda specialitet, så ja, du ska tänka på det (och bli inte arg!) om byte av verksamhet. Men nu är det värt att fortsätta. Och snälla glöm frasen "Jag förstår ingenting" - det händer inte att du inte förstår någonting ALLS.

Vad ska man göra om teorin är dålig? Detta gäller för övrigt inte bara för matematisk analys. Om teorin är dålig, måste du först på allvar fokusera på praktiken. I det här fallet löses två strategiska uppgifter samtidigt:

– För det första uppstod en betydande del av teoretisk kunskap genom praktiken. Och det är därför många människor förstår teorin genom... – det stämmer! Nej, nej, det tänker du inte på =)

– Och för det andra kommer praktiska färdigheter med största sannolikhet att "dra" dig genom provet, även om... men låt oss inte bli så exalterade! Allt är verkligt och allt kan "höjas" på ganska kort tid. Matematisk analys är mitt favoritavsnitt inom högre matematik, och därför kunde jag helt enkelt inte låta bli att ge dig en hjälpande hand:

I början av 1:a terminen täcks vanligtvis sekvensgränser och funktionsbegränsningar. Förstår du inte vad dessa är och vet inte hur man löser dem? Börja med artikeln Funktionsbegränsningar, där själva konceptet undersöks "på fingrarna" och de enklaste exemplen analyseras. Arbeta sedan igenom andra lektioner om ämnet, inklusive en lektion om inom sekvenser, som jag faktiskt redan har formulerat en strikt definition på.

Vilka symboler förutom ojämlikhetstecken och modul känner du till?

– en lång vertikal pinne lyder så här: "sådant", "sånt där", "sånt där" eller "sådant", i vårt fall talar vi uppenbarligen om ett nummer - därför "sådant";

– för alla "en" större än ;

– modultecknet betyder avstånd, dvs. den här posten talar om för oss att avståndet mellan värdena är mindre än epsilon.

Tja, är det dödligt svårt? =)

Efter att ha bemästrat praktiken ser jag fram emot att se dig i nästa stycke:

Och faktiskt, låt oss fundera lite - hur formulerar man en strikt definition av sekvens? ...Det första som kommer att tänka på i världen praktisk lektion: "gränsen för en sekvens är antalet som medlemmarna i sekvensen närmar sig oändligt."

Okej, låt oss skriva ner det efterföljande :

Det är inte svårt att förstå det efterföljande närma sig talet –1 och jämna numrerade termer oändligt nära - till en".

Eller kanske det finns två gränser? Men varför kan inte någon sekvens ha tio eller tjugo av dem? Du kan komma långt på det här sättet. I detta avseende är det logiskt att anta det om en sekvens har en gräns är den unik.

Notera : sekvensen har ingen gräns, men två undersekvenser kan särskiljas från den (se ovan), som var och en har sin egen gräns.

Ovanstående definition visar sig således vara ohållbar. Ja, det fungerar för fall som (som jag inte använde helt korrekt i förenklade förklaringar av praktiska exempel), men nu måste vi hitta en strikt definition.

Försök två: "gränsen för en sekvens är det antal som ALLA medlemmar i sekvensen närmar sig, utom kanske deras slutlig kvantiteter." Detta är närmare sanningen, men fortfarande inte helt korrekt. Så till exempel sekvensen hälften av termerna närmar sig inte noll alls - de är helt enkelt lika med det =) Förresten, det "blinkande ljuset" tar i allmänhet två fasta värden.

Formuleringen är inte svår att klargöra, men då uppstår en annan fråga: hur man skriver definitionen i matematiska symboler? Den vetenskapliga världen kämpade med detta problem under lång tid tills situationen var löst berömd maestro, som i huvudsak formaliserade klassisk matematisk analys i all sin stringens. Cauchy föreslog operation miljö , vilket avsevärt avancerade teorin.

Tänk på en punkt och dess slumpmässig-miljö:

Värdet av "epsilon" är alltid positivt, och dessutom, vi har rätt att välja det själva. Låt oss anta att det finns många medlemmar i det här området (inte nödvändigtvis alla) någon sekvens. Hur skriver man ner det faktum att till exempel tionde terminen är i grannskapet? Låt det vara på höger sida av det. Då bör avståndet mellan punkterna och vara mindre än "epsilon": . Men om "x tiondel" är placerad till vänster om punkt "a", kommer skillnaden att vara negativ, och därför måste tecknet läggas till det modul: .

Definition: ett tal kallas gränsen för en sekvens if för alla dess omgivning (förvalt) det finns ett naturligt tal SÅDAN ALLT medlemmar i sekvensen med högre nummer kommer att finnas i grannskapet:

Eller kort sagt: om

Med andra ord, oavsett hur litet "epsilon"-värde vi tar, kommer den "oändliga svansen" av sekvensen förr eller senare att vara HELT i detta grannskap.

Till exempel den "oändliga svansen" av sekvensen kommer HELT att gå in i valfri godtyckligt liten omgivning av punkten. Så detta värde är gränsen för sekvensen per definition. Låt mig påminna dig om att en sekvens vars gräns är noll kallas oändligt liten.

Det bör noteras att för en sekvens är det inte längre möjligt att säga "ändlös svans" kommer in”- medlemmar med udda tal är i själva verket lika med noll och ”gå inte någonstans” =) Därför används verbet ”kommer att dyka upp” i definitionen. Och, naturligtvis, medlemmarna i en sekvens som denna "går ingenstans". Kontrollera förresten om antalet är dess gräns.

Nu ska vi visa att sekvensen inte har någon gräns. Tänk till exempel ett område av punkten. Det är helt klart att det inte finns något sådant nummer efter vilket ALLA termer kommer att hamna i ett givet område - udda termer kommer alltid att "hoppa ut" till "minus ett". Av en liknande anledning finns det ingen gräns på punkten.

Låt oss konsolidera materialet med övning:

Exempel 1

Bevisa att gränsen för sekvensen är noll. Ange numret efter vilket alla medlemmar i sekvensen garanterat finns i valfri godtyckligt liten omgivning av punkten.

Notera : För många sekvenser beror det nödvändiga naturliga talet på värdet - därav notationen .

Lösning: överväga slumpmässig finns det några nummer – så att ALLA medlemmar med högre nummer kommer att finnas i det här området:

För att visa förekomsten av det nödvändiga numret uttrycker vi det genom .

Eftersom för alla värden på "en" kan modultecknet tas bort:

Vi använder "skola" åtgärder med ojämlikheter som jag upprepade i klassen Linjära ojämlikheter Och Funktionsdomän. I det här fallet är en viktig omständighet att "epsilon" och "en" är positiva:

Eftersom vi pratar om naturliga tal till vänster, och den högra sidan i allmänhet är bråkdel, måste den avrundas:

Notera : ibland läggs en enhet till till höger för att vara på den säkra sidan, men i verkligheten är detta överdrivet. Relativt sett, om vi försvagar resultatet genom att avrunda nedåt, så kommer det närmaste lämpliga talet (”tre”) fortfarande att tillfredsställa den ursprungliga olikheten.

Nu tittar vi på ojämlikhet och minns vad vi först ansåg slumpmässig-kvarter, d.v.s. "epsilon" kan vara lika med någon ett positivt tal.

Slutsats: för varje godtyckligt liten -grannskap till en punkt hittades värdet . Således är ett tal gränsen för en sekvens per definition. Q.E.D.

Förresten, från det erhållna resultatet ett naturligt mönster är tydligt synligt: ​​ju mindre grannskap, desto större antal, varefter ALLA medlemmar i sekvensen kommer att finnas i denna grannskap. Men oavsett hur liten "epsilon" är, kommer det alltid att finnas en "oändlig svans" inuti och utanför - även om den är stor, dock slutlig antal medlemmar.

Hur är dina intryck? =) Jag håller med om att det är lite konstigt. Men strikt! Vänligen läs igen och tänk på allt igen.

Låt oss titta på ett liknande exempel och bekanta oss med andra tekniska tekniker:

Exempel 2

Lösning: per definition av en sekvens är det nödvändigt att bevisa det (Säg det högt!!!).

Låt oss överväga slumpmässig- grannskapet till punkten och checken, finns det naturligt tal – så att för alla större tal gäller följande olikhet:

För att visa existensen av en sådan måste du uttrycka "en" genom "epsilon". Vi förenklar uttrycket under modultecknet:

Modulen förstör minustecknet:

Nämnaren är positiv för alla "en", därför kan pinnarna tas bort:

Blanda:

Nu måste vi extrahera kvadratroten, men haken är att för vissa "epsilon" kommer den högra sidan att vara negativ. För att undvika detta problem låt oss stärka ojämlikhet efter modul:

Varför kan detta göras? Om det relativt sett visar sig att , så kommer även villkoret att vara uppfyllt. Modulen kan bara ökaönskat nummer, och det passar oss också! Grovt sett, om den hundrade är lämplig, så är den tvåhundrade också lämplig! Enligt definitionen måste du visa själva faktumet av numrets existens(åtminstone några), varefter alla medlemmar i sekvensen kommer att finnas i -grannskapet. Förresten, det är därför vi inte är rädda för den slutliga avrundningen av högersidan uppåt.

Extrahera roten:

Och runda resultatet:

Slutsats: därför att värdet "epsilon" valdes godtyckligt, sedan för varje godtyckligt litet område av punkten värdet hittades , så att ojämlikheten gäller för alla större tal . Således, a-priory. Q.E.D.

jag rekomenderar framförallt förståelse för förstärkning och försvagning av ojämlikheter är en typisk och mycket vanlig teknik inom matematisk analys. Det enda du behöver övervaka är riktigheten av den här eller den åtgärden. Så till exempel ojämlikhet under inga omständigheter är det möjligt lossa, subtrahera, säg, en:

Återigen, villkorligt: ​​om numret passar exakt, kanske det föregående inte längre passar.

Följande exempel för en oberoende lösning:

Exempel 3

Använd definitionen av en sekvens, bevisa det

En kort lösning och svar i slutet av lektionen.

Om sekvensen oändligt stor, då är definitionen av en gräns formulerad på ett liknande sätt: en punkt kallas en gräns för en sekvens om någon, så stor som du vill antal, det finns ett antal så att för alla större tal kommer ojämlikheten att uppfyllas. Numret är uppringt närheten av punkten "plus oändlighet":

Med andra ord, oavsett hur stort värdet vi tar, kommer den "oändliga svansen" av sekvensen nödvändigtvis att gå in i -grannskapet till punkten, vilket bara lämnar ett ändligt antal termer till vänster.

Standardexempel:

Och förkortad notation: , if

För fallet, skriv ner definitionen själv. Den korrekta versionen finns i slutet av lektionen.

När du har tagit dig an praktiska exempel och listat ut definitionen av gränsen för en sekvens, kan du vända dig till litteraturen om kalkyl och/eller din föreläsningsanteckningsbok. Jag rekommenderar att du laddar ner volym 1 av Bohan (enklare - för korrespondensstudenter) och Fichtenholtz (mer detaljerat och detaljerat). Bland andra författare rekommenderar jag Piskunov, vars kurs riktar sig till tekniska universitet.

Försök att samvetsgrant studera de satser som rör gränsen för sekvensen, deras bevis, konsekvenser. Till en början kan teorin verka "molnig", men det här är normalt - du behöver bara vänja dig vid det. Och många kommer till och med få smaka på det!

Rigorös definition av gränsen för en funktion

Låt oss börja med samma sak – hur formulerar man detta koncept? Den verbala definitionen av gränsen för en funktion är formulerad mycket enklare: "ett tal är gränsen för en funktion om med "x" tenderar att (både vänster och höger), motsvarande funktionsvärden tenderar att » (se ritning). Allt verkar vara normalt, men ord är ord, mening är mening, en ikon är en ikon och det finns inte tillräckligt med strikta matematiska notationer. Och i andra stycket kommer vi att bekanta oss med två metoder för att lösa denna fråga.

Låt funktionen definieras på ett visst intervall, eventuellt med undantag för punkten. I utbildningslitteraturen är det allmänt accepterat att funktionen där Inte definierad:

Detta val betonar kärnan i gränsen för en funktion: "x" oändligt nära tillvägagångssätt , och motsvarande värden för funktionen är oändligt nära Till . Med andra ord, begreppet en gräns innebär inte "exakt inställning" till poäng, utan nämligen oändligt nära approximation, spelar det ingen roll om funktionen är definierad vid punkten eller inte.

Den första definitionen av gränsen för en funktion, inte överraskande, formuleras med hjälp av två sekvenser. För det första är begreppen relaterade, och för det andra studeras funktionsgränser vanligtvis efter sekvensgränser.

Tänk på sekvensen poäng (inte på ritningen), som hör till intervallet och till skillnad från, som konvergerar Till . Då bildar motsvarande funktionsvärden också en numerisk sekvens, vars medlemmar är placerade på ordinataaxeln.

Gräns ​​för en funktion enligt Heine för alla sekvenser av punkter (tillhör och skiljer sig från), som konvergerar till punkten, konvergerar motsvarande sekvens av funktionsvärden till .

Eduard Heine är en tysk matematiker. ...Och det finns ingen anledning att tänka något sådant, det finns bara en gay i Europa - Gay-Lussac =)

Den andra definitionen av gränsen skapades... ja, ja, du har rätt. Men först, låt oss förstå dess design. Betrakta en godtycklig grannskap av punkten ("svart" kvarter). Utifrån föregående stycke innebär posten att något värde funktionen är belägen i området "epsilon".

Nu hittar vi det -kvarter som motsvarar det givna -kvarteret (rita mentalt svarta prickade linjer från vänster till höger och sedan uppifrån och ned). Observera att värdet är valt längs längden av det mindre segmentet, i detta fall - längs längden av det kortare vänstra segmentet. Dessutom kan "hallon" -grannskapet till en punkt till och med reduceras, eftersom i följande definition själva existensen är viktig denna stadsdel. Och på liknande sätt betyder notationen att ett visst värde ligger inom "delta"-området.

Gräns ​​för cauchyfunktion: ett tal kallas gränsen för en funktion vid en punkt if för alla förvalt grannskap (så liten som du vill), existerar- punktens grannskap, SÅDAN, att: SOM ENDAST värden (tillhör) ingår i detta område: (röda pilar)– SÅ OMEDELBART kommer motsvarande funktionsvärden garanterat att komma in i -grannskapet: (blå pilar).

Jag måste varna dig för att jag för tydlighetens skull improviserade lite, så överanvänd inte =)

Kort post: , if

Vad är kärnan i definitionen? Bildligt talat, genom att oändligt reducera -grannskapet, "följer" vi funktionsvärdena till deras gräns, vilket ger dem inget alternativ till att närma sig någon annanstans. Ganska ovanligt, men återigen strikt! För att helt förstå idén, läs om formuleringen igen.

! Uppmärksamhet: om du bara behöver formulera dig Heines definition eller bara Cauchy definition snälla glöm inte bort signifikant preliminära kommentarer: "Tänk på en funktion som är definierad på ett visst intervall, med eventuellt undantag för en punkt". Jag sa det en gång i början och upprepade det inte varje gång.

Enligt motsvarande teorem för matematisk analys är definitionerna av Heine och Cauchy likvärdiga, men det andra alternativet är det mest kända (gör det fortfarande!), som också kallas "språkgränsen":

Exempel 4

Använd definitionen av limit, bevisa det

Lösning: funktionen är definierad på hela tallinjen utom punkten. Med hjälp av definitionen bevisar vi att det finns en gräns vid en given punkt.

Notera : värdet på "delta"-kvarteret beror på "epsilon", därav beteckningen

Låt oss överväga slumpmässig-miljö. Uppgiften är att använda detta värde för att kontrollera om finns det-miljö, SÅDAN, som från ojämlikheten ojämlikhet följer .

Om vi ​​antar att vi transformerar den sista ojämlikheten:
(utvidgade kvadrattrinomialet)