Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн. EXCEL дээр жигд тасралтгүй тархалт. Нэг төрлийн тархалтын шинж чанар

Практикт санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байдаг бөгөөд тэдгээр нь тодорхой хил хязгаар дотор ямар ч утгыг авах боломжтой гэдгийг урьдчилан мэддэг бөгөөд эдгээр хилийн дотор санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд ижил магадлалтай (ижил магадлалын нягтралтай) байдаг.

Жишээлбэл, хэрэв цаг эвдэрвэл зогссон минутын гар нь тухайн цагийн эхнээс цаг хагарах хүртэл өнгөрсөн хугацааг ижил магадлалтайгаар (магадлалын нягтрал) харуулна. Энэ хугацаа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд нэг цагийн үргэлжлэх хугацаагаар тодорхойлсон хил хязгаараас хэтрэхгүй магадлалын нягтралтай утгуудыг авдаг. Бөөрөнхийлөх алдаа нь ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнд мөн хамаарна. Ийм хэмжигдэхүүнийг жигд тархсан, өөрөөр хэлбэл жигд тархалттай гэж хэлдэг.

Тодорхойлолт. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь интервал дээр жигд тархалттай байна[a, in], Хэрэв энэ сегмент дээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягт тогтмол байвал, өөрөөр хэлбэл дифференциал тархалтын функц байвал f(x) дараах хэлбэртэй байна:

Энэ хуваарилалтыг заримдаа гэж нэрлэдэг жигд нягтын хууль. Тодорхой сегмент дээр жигд тархсан хэмжигдэхүүний талаар бид энэ сегмент дээр жигд тархсан гэж хэлэх болно.

Тогтмолын утгыг ол c. Тархалтын муруй ба тэнхлэгээр хязгаарлагдсан талбайгаас хойш Өө, 1-тэй тэнцүү бол

хаана -тай=1/(б-a).

Одоо функц f(x)хэлбэрээр төлөөлж болно

Түгээлтийн функцийг байгуулъя F(x ), үүний төлөө бид илэрхийллийг олдог F (x ) интервал дээр [ а, б]:

f (x) ба F (x) функцуудын графикууд дараах байдалтай байна.

Тоон шинж чанарыг олцгооё.

NSW-ийн математикийн хүлээлтийг тооцоолох томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

Ийнхүү [ интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлта, б] энэ сегментийн дундуур давхцаж байна.

Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол:

Үүнээс нэн даруй стандарт хазайлт гарч ирнэ:

Одоо жигд тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга интервал дээр унах магадлалыг олъё(а, б), сегментэд бүрэн хамаарах [а,б ]:

Онлайн үйлчилгээ:

Өмнө дурьдсанчлан, магадлалын хуваарилалтын жишээнүүд тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь:

• тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын жигд тархалт;
• тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын экспоненциал тархалт;
• хэвийн тархалт тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлал.

Нэгт ба экспоненциал тархалтын хууль, магадлалын томъёо, авч үзсэн функцүүдийн тоон шинж чанарын тухай ойлголтыг өгье.

Индекс	Санамсаргүй хуваарилалтын хууль	Экспоненциал тархалтын хууль
Тодорхойлолт	Дүрэмт хувцас гэж нэрлэдэг Интервал дээр нягт нь тогтмол хэвээр байх ба хэлбэртэй үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалт	Экспоненциал (экпоненциал) гэж нэрлэдэг хэлбэртэй нягтралаар тодорхойлогддог тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн магадлалын тархалт
		Энд λ нь тогтмол эерэг утга юм
түгээлтийн функц
Магадлал интервалд хүрэх
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ
Тархалт
Стандарт хэлбэлзэл

"Түгээлтийн жигд ба экспоненциал хуулиуд" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Даалгавар 1.

Автобусууд цагийн хуваарийн дагуу хатуу явдаг. Хөдөлгөөний интервал 7 мин. Олно: (а) зогсоол дээр ирж буй зорчигч дараагийн автобусыг хоёр минутаас бага хугацаагаар хүлээх магадлалыг; б) зогсоол руу ойртож буй зорчигч дараагийн автобусыг дор хаяж гурван минут хүлээх магадлал; в) X санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба стандарт хазайлт - зорчигчийн хүлээх хугацаа.

Шийдэл. 1. Асуудлын нөхцөлөөр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X=(зорчигч хүлээх хугацаа) жигд тархсан хоёр автобус ирэх хооронд. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын интервалын урт нь b-a=7, энд a=0, b=7 байна.

2. Санамсаргүй X утга нь (5;7) интервалд орвол хүлээх хугацаа хоёр минутаас бага байх болно. Өгөгдсөн интервалд орох магадлалыг дараах томъёогоор олно. P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Х санамсаргүй утга (0; 4) интервалд орсон тохиолдолд хүлээх хугацаа дор хаяж гурван минут (өөрөөр хэлбэл гурваас долоон минут) байх болно. Өгөгдсөн интервалд орох магадлалыг дараах томъёогоор олно. P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Тасралтгүй, жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математикийн хүлээлт - зорчигчийн хүлээх хугацааг бид дараах томъёогоор олно. M(X)=(a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3.5.

5. Үргэлжилсэн, жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн стандарт хазайлт - зорчигчийн хүлээх хугацааг бид дараах томъёогоор олно. σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.

Даалгавар 2.

Экспоненциал тархалтыг x ≥ 0-ийн хувьд f(x) = 5e – 5x нягтаар өгөгдсөн. Шаардлагатай: a) түгээлтийн функцийн илэрхийлэл бичих; б) туршилтын үр дүнд X (1; 4) интервалд орох магадлалыг ол; в) туршилтын үр дүнд X ≥ 2 байх магадлалыг ол; г) M(X), D(X), σ(X)-ийг тооцоол.

Шийдэл. 1. Учир нь нөхцөлөөр, экспоненциал тархалт , дараа нь X санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягтын томъёоноос бид λ = 5-ыг олж авна. Дараа нь тархалтын функц нь дараах хэлбэртэй болно.

2. Туршилтын үр дүнд X (1; 4) интервалд орох магадлалыг дараах томъёогоор олно.
П(а< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Туршилтын үр дүнд X ≥ 2 байх магадлалыг дараах томъёогоор олох магадлал: P(a)< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Экспоненциал тархалтыг олно:

• M(X) =1/λ = 1/5 = 0.2 томъёоны дагуу математикийн хүлээлт;
• D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0.04 томъёоны дагуу тархах;
• σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1.2 томъёоны дагуу стандарт хазайлт.

Магадлалын нягтын тодорхойлолтыг эргэн сана.

Одоо бид магадлалын жигд тархалтын тухай ойлголтыг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт 2

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгыг агуулсан интервал дээр тархалтын нягт тогтмол байвал тархалтыг жигд гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл:

Зураг 1.

Дараах тархалтын нягтын шинж чанарыг ашиглан $\ C$ тогтмолын утгыг ол: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=1$

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Тиймээс жигд тархалтын нягтын функц нь дараах хэлбэртэй байна.

Зураг 2.

График нь дараах хэлбэртэй байна (Зураг 1).

Зураг 3. Магадлалын жигд тархалтын нягт

Магадлалын жигд тархалтын функц

Одоо жигд тархалтын хуваарилалтын функцийг олцгооё.

Үүнийг хийхийн тулд бид дараах томъёог ашиглана: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. Томъёоны дагуу $x ≤ a$-ийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна.

1. $ a

1. $x> 2$-ийн хувьд томъёоны дагуу бид дараахийг авна.

Тиймээс түгээлтийн функц нь дараах хэлбэртэй байна.

Зураг 4

График нь дараах хэлбэртэй байна (Зураг 2).

Зураг 5. Магадлалын жигд тархалтын функц.

Магадлалын жигд тархалтын дор санамсаргүй хэмжигдэхүүн $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ интервалд орох магадлал.

Магадлалын жигд тархалттай $(\альфа ,\бета)$ интервалд санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлалыг олохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ:

Стандарт хэлбэлзэл:

Магадлалыг жигд хуваарилах асуудлыг шийдэх жишээ

Жишээ 1

Троллейбус хоорондын зай 9 минут байна.

Троллейбусны зорчигчдыг хүлээж буй $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хуваарилалтын функц болон тархалтын нягтыг эмхэтгэ.

Зорчигч гурван минут хүрэхгүй хугацаанд троллейбус хүлээх магадлалыг ол.

Зорчигч дор хаяж 4 минутын дараа троллейбус хүлээх магадлалыг ол.

Математикийн хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлтыг ол

1. Троллейбусыг хүлээж буй $X$ тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн жигд тархсан тул $a=0,\ b=9$ болно.

Тиймээс, магадлалын жигд тархалтын нягтын функцийн томъёоны дагуу тархалтын нягт нь дараахь хэлбэртэй байна.

Зураг 6

Магадлалын жигд тархалтын функцийн томъёоны дагуу манай тохиолдолд тархалтын функц нь дараах хэлбэртэй байна.

Зураг 7

1. Энэ асуултыг дараах байдлаар дахин томъёолж болно: жигд тархалтын санамсаргүй хэмжигдэхүүн $\left(6,9\right) интервалд орох магадлалыг ол.

Бид авах:

\}