Экстремум цэгийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ. Функцийн экстремумыг (хамгийн бага ба хамгийн их цэг) хэрхэн олох вэ. Функцийн тодорхойлолтыг багасгах

y = f(x) функцийг дуудна нэмэгдэх (суларч байна) зарим интервалд хэрэв x 1-ийн хувьд< x 2 выполняется неравенство(f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Хэрэв сегмент дээрх дифференциал болох y = f(x) функц ихсэх (багарах) бол түүний энэ сегмент дээрх дериватив f "(x) > 0, (f "(x)< 0).

Цэг xтухайдуудсан орон нутгийн хамгийн дээд цэг (хамгийн багаХэрэв цэгийн хөрш байгаа бол f(x) функцийн ). х о, f(x) ≤ f(x o), (f(x) ≥f(x o)) тэгш бус байдал үнэн байх бүх цэгүүдийн хувьд.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг дууддаг экстремум цэгүүд, мөн эдгээр цэгүүд дэх функцын утгууд нь түүнийх юм хэт туйлшрал.

экстремум цэгүүд

Экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл. Хэрэв цэг бол xтухайнь f (x) функцийн экстремум цэг бөгөөд f "(x o) \u003d 0, эсвэл f (x o) байхгүй. Ийм цэгүүд гэж нэрлэгддэг. шүүмжлэлтэй,Энд функц өөрөө эгзэгтэй цэг дээр тодорхойлогддог. Функцийн экстремумыг түүний эгзэгтэй цэгүүдээс хайх хэрэгтэй.

Эхний хангалттай нөхцөл.Болъё xтухай- чухал цэг. Хэрэв цэгээр дамжин өнгөрөх үед f "(x). xтухайнэмэх тэмдгийг хасах, дараа нь цэг дээр өөрчилнө х офункц нь дээд талтай, эс тэгвээс хамгийн багатай. Хэрэв дериватив нь эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрөхдөө тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол цэг дээр xтухайэкстремум байхгүй.

Хоёр дахь хангалттай нөхцөл. f(x) функц нь цэгийн ойролцоо f " (x) байна xтухайба хоёр дахь дериватив f "" (x 0) нь яг цэг дээр байна х о. Хэрэв f "(x o) \u003d 0, f "" (x 0)> 0, (f "" (x 0)<0), то точках о f(x) функцийн локал минимум (хамгийн их) цэг юм. Хэрэв f "" (x 0) = 0 бол та эхний хангалттай нөхцөлийг ашиглах эсвэл илүү өндөр нөхцлийг ашиглах ёстой.

Сегмент дээр y =f(x) функц нь эгзэгтэй цэгүүд эсвэл сегментийн төгсгөлд хамгийн бага эсвэл хамгийн их утгад хүрч болно.

Жишээ 3.22. f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 функцийн экстремумыг ол.

Шийдэл. f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3) тул функцийн чухал цэгүүд x 1 \u003d 2 ба x 2 \u003d 3 байна. Хэт их цэгүүд нь байж болно. зөвхөн эдгээр цэгүүд дээр байх болно.Тиймээс x 1 \u003d 2 цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив нь нэмэх тэмдэгийг хасах болгон өөрчилдөг тул энэ үед функц хамгийн их байна. x 2 \u003d 3 цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив тэмдгийг хасах нэмэх болгон өөрчилдөг тул x 2 \u003d 3 цэг дээр функц хамгийн бага байна. x 1 = 2 ба x 2 = 3 цэгүүд дэх функцийн утгыг тооцоолсны дараа бид экстремумыг олно. функц: хамгийн их f (2) = 14 ба хамгийн бага f (3) = 13.

Функцийн экстремумыг олох даалгавар

Жишээ 3.23.а

Шийдэл. xболон y. Талбайн талбай нь S =xy-тэй тэнцүү байна. Болъё yхананд зэргэлдээх талын урт. Дараа нь болзолын дагуу 2x + y = a тэгш байдал заавал байх ёстой. Иймд y = a - 2x ба S =x(a - 2x), энд 0 ≤x ≤a/2 (тааврын урт ба өргөн сөрөг байж болохгүй). S " = a - 4x, a - 4x = 0 хувьд x = a/4, эндээс y = a - 2×a/4 = a/2. x = a/4 цорын ганц чухал цэг тул тэмдэг байгаа эсэхийг шалгана уу. Энэ цэгийг дамжин өнгөрөхөд дериватив өөрчлөгддөг, х-ийн хувьд< a/4, S " >0 ба x > a/4-ийн хувьд S "< 0, значит, в точке x = a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Жишээ 3.24.

Шийдэл.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Жишээ 3.22. f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 функцийн экстремумыг ол.

Шийдэл. f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3) тул функцийн чухал цэгүүд x 1 \u003d 2 ба x 2 \u003d 3 байна. Хэт их цэгүүд нь байж болно. зөвхөн эдгээр цэгүүд дээр байх болно.Тиймээс x 1 \u003d 2 цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив нь нэмэх тэмдэгийг хасах болгон өөрчилдөг тул энэ үед функц хамгийн их байна. x 2 \u003d 3 цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив тэмдгийг хасах нэмэх болгон өөрчилдөг тул x 2 \u003d 3 цэг дээр функц хамгийн бага байна. x 1 = 2 ба x 2 = 3 цэгүүд дэх функцийн утгыг тооцоолсны дараа бид экстремумыг олно. функц: хамгийн их f (2) = 14 ба хамгийн бага f (3) = 13.

Жишээ 3.23.Чулуун хананы ойролцоо тэгш өнцөгт талбайг гурван талаас нь төмөр тороор хашсан, дөрөв дэх талдаа хананд залгах шаардлагатай. Үүний тулд бий асүлжээний шугаман метр. Талбайн талбайн хэмжээ ямар байх вэ?

Шийдэл.Сайтын хажуу талыг дундуур нь тэмдэглэ xболон y. Талбайн талбай нь S = xy байна. Болъё yхананд зэргэлдээх талын урт. Дараа нь болзолын дагуу 2x + y = a тэгш байдал заавал байх ёстой. Тиймээс y = a - 2x ба S = x(a - 2x), энд
0 ≤x ≤a/2 (сайтын урт ба өргөн нь сөрөг байж болохгүй). S "= a - 4x, a - 4x = 0 хувьд x = a/4, эндээс
y = a - 2a/4 = a/2. x = a/4 цорын ганц чухал цэг тул энэ цэгийг дайран өнгөрөхөд деривативын тэмдэг өөрчлөгдөх эсэхийг шалгая. x үед< a/4, S " >0 ба x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Жишээ 3.24. V=16p ≈ 50 м 3 багтаамжтай битүү цилиндр сав хийх шаардлагатай. Үүнийг үйлдвэрлэхэд хамгийн бага хэмжээний материалыг ашиглахын тулд савны хэмжээс (радиус R ба өндөр H) ямар байх ёстой вэ?

Шийдэл.Цилиндрийн нийт гадаргуугийн талбай нь S = 2pR(R+H) байна. Цилиндрийн эзэлхүүнийг бид мэднэ V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Эндээс S(R) = 2p(R 2 +16/R). Бид энэ функцийн деривативыг олдог:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). R 3 \u003d 8-д S " (R) \u003d 0, тиймээс,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Алдартай хөрөөний профилын хоёр шүдийг авч үзье. Хөрөөний хавтгай хажуугийн дагуу тэнхлэгийг чиглүүлж, тэнхлэгийг түүнд перпендикуляр чиглүүлье. Зурагт үзүүлсэн функцийн графикийг авцгаая. нэг.

Тухайн цэг болон цэгийн аль алинд нь функцийн утгууд нь баруун ба зүүн талын хөрш зэргэлдээх цэгүүдийн утгуудтай харьцуулахад хамгийн том нь болох нь тодорхой байна. хөрш зэргэлдээ цэгүүдтэй харьцуулахад хамгийн бага. Цэгүүдийг функцийн экстремум цэгүүд гэж нэрлэдэг (Латин хэлнээс экстремум - "хэт"), цэгүүд нь хамгийн их цэгүүд бөгөөд цэг нь хамгийн бага цэг (Латин хэлнээс хамгийн их ба хамгийн бага - "хамгийн их" ба "хамгийн бага" гэсэн үг юм. ”).

Экстремумын тодорхойлолтыг боловсронгуй болгоё.

Тухайн цэг дэх функцийг тухайн цэгийг агуулсан, тухайн функцийн мужид хамаарах интервал байгаа бол энэ интервалын бүх цэгүүдэд хамгийн их утгатай гэж нэрлэдэг. Үүний дагуу тодорхой интервалын бүх цэгүүдэд нөхцөл хангагдсан тохиолдолд тухайн цэг дээрх функц хамгийн бага утгатай байна.

Зураг дээр. 2 ба 3-р зурагт цэг дээр экстремум байх функцүүдийн графикийг харуулав.

Тодорхойлолтоор экстремум цэг нь функцийг тохируулах интервал дотор байх ёстой бөгөөд төгсгөлд нь биш гэдгийг анхаарч үзээрэй. Тиймээс, Зураг дээр үзүүлсэн функцийн хувьд. 1, энэ нь цэг дээр хамгийн бага байна гэж үзэж болохгүй.

Хэрэв функцийн хамгийн их (хамгийн бага) тодорхойлолтод бид хатуу тэгш бус байдлыг хатуу бусаар солино. , дараа нь бид хатуу бус дээд хязгаарын тодорхойлолтыг олж авдаг (хатуу бус хамгийн бага). Жишээлбэл, уулын оройн зургийг авч үзье (Зураг 4). Хавтгай талбайн цэг бүр - сегмент нь хатуу бус дээд цэг юм.

Дифференциал тооцоололд экстремумын функцийг судлах нь маш үр дүнтэй бөгөөд дериватив ашиглан энгийн байдлаар хийгддэг. Дифференциал тооцооллын гол теоремуудын нэг нь дифференциал функцийн экстремумд зайлшгүй шаардлагатай нөхцөлийг тогтоодог бол Фермагийн теорем юм (Фермагийн теоремыг үзнэ үү). Нэг цэг дэх функцийг экстремумтай болго. Хэрэв энэ үед дериватив байгаа бол энэ нь тэгтэй тэнцүү байна.

Геометрийн хэлээр Фермагийн теорем нь экстремум цэг дээр функцийн графикт шүргэгч нь хэвтээ байна гэсэн үг юм (Зураг 5). Мэдээжийн хэрэг, эсрэг заалт нь үнэн биш бөгөөд үүнийг жишээлбэл, Зураг дээрх графикаар харуулав. 6.

Энэ теорем нь экстремумын хэд хэдэн бодлогыг анхлан шийдсэн хүмүүсийн нэг байсан Францын математикч П.Фермагийн нэрээр нэрлэгдсэн юм. Түүний мэдэлд деривативын тухай ойлголт хараахан байгаагүй боловч судалгаандаа мөн чанар нь теоремын мэдэгдэлд илэрхийлэгдсэн аргыг ашигласан.

Дифференциалагдах функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл бол деривативын тэмдгийн өөрчлөлт юм. Хэрэв тухайн үед дериватив тэмдэг нь хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгдвөл, i.e. түүний бууралт өсөлтөөр солигдвол цэг нь хамгийн бага цэг болно. Эсрэгээр, дериватив нь тэмдгийг нэмэхээс хасах руу шилжүүлбэл цэг нь хамгийн их цэг байх болно, i.e. өгсөхөөс уруудах хүртэл явдаг.

Функцийн дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх цэгийг хөдөлгөөнгүй гэж нэрлэдэг. Хэрэв дифференциал функцийг экстремумын хувьд судалж байгаа бол түүний бүх суурин цэгүүдийг олж, тэдгээрийн зүүн ба баруун талд деривативын тэмдгүүдийг авч үзэх хэрэгтэй.

Бид экстремумын функцийг судалдаг.

Үүний деривативыг олцгооё: .

Функцийн экстремумыг хэрхэн олохыг сурахын өмнө экстремум гэж юу болохыг ойлгох хэрэгтэй. Экстремумын хамгийн ерөнхий тодорхойлолт нь тодорхой тооны шугам эсвэл график дээр математикт хэрэглэгддэг функцийн хамгийн бага буюу хамгийн том утга юм. Минимум байгаа газарт минимумын экстремум, дээд тал нь хамгийн ихийн экстремум гарч ирнэ. Математик анализ гэх мэт шинжлэх ухаанд функцийн орон нутгийн экстремумуудыг ялгадаг. Одоо экстремумуудыг хэрхэн олохыг харцгаая.

Математик дахь туйлшралууд нь функцийн хамгийн чухал шинж чанаруудын нэг бөгөөд түүний хамгийн том, хамгийн бага утгыг харуулдаг. Экстремумууд нь голчлон олдсон функцүүдийн эгзэгтэй цэгүүдэд байдаг. Функц нь туйлын цэг дээр чиглэлээ эрс өөрчилдөг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв бид экстремум цэгийн деривативыг тооцоолох юм бол тодорхойлолтын дагуу энэ нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, эс тэгвээс энэ нь бүрэн байхгүй болно. Тиймээс функцийн экстремумыг хэрхэн олохыг сурахын тулд та дараалсан хоёр ажлыг гүйцэтгэх хэрэгтэй.

• даалгавраар тодорхойлох шаардлагатай функцийн деривативыг олох;
• тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Экстремумыг олох дараалал

1. Өгөгдсөн f(x) функцийг бич. Үүний 1-р эрэмбийн дериватив f "(x)-ийг ол. Гарсан илэрхийллийг тэгтэй тэнцүүл.
2. Одоо та үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Үүссэн шийдлүүд нь тэгшитгэлийн үндэс, түүнчлэн тодорхойлсон функцийн чухал цэгүүд болно.
3. Одоо бид ямар чухал цэгүүд (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) олсон үндэс болохыг тодорхойлно. Функцийн экстремум цэгүүдийг хэрхэн олох талаар олж мэдсэний дараа дараагийн алхам бол хүссэн f "(x) функцийн хоёр дахь деривативыг олох явдал юм. Олдсон чухал цэгүүдийн утгыг орлуулах шаардлагатай болно. тодорхой тэгш бус байдалд оруулаад дараа нь юу болохыг тооцоол.Хэрэв ийм зүйл тохиолдвол хоёр дахь дериватив нь эгзэгтэй цэг дээр тэгээс их байвал энэ нь хамгийн бага цэг байх болно, үгүй ​​бол энэ нь хамгийн их цэг болно.
4. Функцийн шаардлагатай хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдэд анхны функцийн утгыг тооцоолоход л үлддэг. Үүнийг хийхийн тулд бид олж авсан утгыг функцэд орлуулж, тооцоолно. Гэсэн хэдий ч хэрэв эгзэгтэй цэг нь дээд тал нь болсон бол экстремум нь хамгийн их байх болно, хэрэв энэ нь хамгийн бага бол аналогиар хамгийн бага байх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Экстремумыг олох алгоритм

Олж авсан мэдлэгээ нэгтгэн дүгнэхийн тулд экстремум цэгүүдийг хэрхэн олох талаар товч алгоритм хийцгээе.

1. Бид өгөгдсөн функцийн муж ба түүний интервалуудыг олдог бөгөөд энэ нь яг ямар интервал дээр функц тасралтгүй байхыг тодорхойлдог.
2. Бид f "(x) функцийн деривативыг олно.
3. Бид y = f (x) тэгшитгэлийн эгзэгтэй цэгүүдийг тооцоолно.
4. Бид f (x) функцийн чиглэлийн өөрчлөлт, түүнчлэн эгзэгтэй цэгүүд нь энэ функцийн тодорхойлолтын мужийг тусгаарладаг f "(x) деривативын тэмдгийг шинжилдэг.
5. Одоо бид график дээрх цэг бүр хамгийн их эсвэл хамгийн бага эсэхийг тодорхойлно.
6. Бид экстремум болох цэгүүдээс функцийн утгыг олдог.
7. Бид энэ судалгааны үр дүнг засаж байна - хэт туйлшрал ба монотон байдлын интервал. Тэгээд л болоо. Одоо бид ямар ч интервал дээр экстремумыг хэрхэн олох талаар авч үзсэн. Хэрэв та функцийн тодорхой интервал дээр экстремумыг олох шаардлагатай бол үүнийг ижил төстэй байдлаар хийдэг бөгөөд зөвхөн хийгдэж буй судалгааны хил хязгаарыг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Тиймээс бид функцийн экстремум цэгүүдийг хэрхэн олох талаар авч үзсэн. Энгийн тооцоолол, мөн деривативыг олох мэдлэгийн тусламжтайгаар та ямар ч экстремумыг олж, тооцоолж, графикаар тодорхойлж болно. Хэт туйлуудыг олох нь сургууль болон дээд боловсролын сургуулийн аль алинд нь математикийн хамгийн чухал хэсгүүдийн нэг тул хэрэв та тэдгээрийг хэрхэн зөв тодорхойлж сурвал суралцах нь илүү хялбар, сонирхолтой байх болно.

Функцийн хэт туйлшрал

Тодорхойлолт 2

$x_0$ цэгийг $f(x)$ функцийн максимум цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ цэгийн хөрш байгаа бөгөөд энэ хөршөөс бүх $x$-д $f(x)\le f(x_0) тэгш бус байдал бий болно. )$ сэтгэл хангалуун байна.

Тодорхойлолт 3

$x_0$ цэгийг $f(x)$ функцийн хамгийн их цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ цэгийн хөрш байгаа бөгөөд энэ хөршөөс бүх $x$-д $f(x)\ge f(x_0) тэгш бус байдал бий болно. доллар сэтгэл хангалуун байна.

Функцийн экстремумын тухай ойлголт нь функцийн эгзэгтэй цэгийн тухай ойлголттой нягт холбоотой. Түүний тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 4

$x_0$-г $f(x)$ функцийн чухал цэг гэж нэрлэдэг, хэрэв:

1) $x_0$ - тодорхойлолтын домэйны дотоод цэг;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ эсвэл байхгүй байна.

Экстремумын тухай ойлголтын хувьд түүний оршин тогтнох хангалттай, шаардлагатай нөхцлийн талаар теоремуудыг томъёолж болно.

Теорем 2

Хангалттай экстремум нөхцөл

$x_0$ цэг нь $y=f(x)$ функцийн хувьд чухал байх ба $(a,b)$ интервалд хэвтэнэ. $\left(a,x_0\right)\ ба \ (x_0,b)$ интервал бүр дээр $f"(x)$ дериватив байгаа бөгөөд тогтмол тэмдэг үлдээгээрэй. Дараа нь:

1) Хэрэв $(a,x_0)$ интервал дээр $f"\left(x\right)>0$ дериватив, $(x_0,b)$ интервал дээр $f"\left(x\) дериватив байвал. баруун)

2) Хэрэв $f"\left(x\right)0$ дериватив $(a,x_0)$ интервал дээр байвал $x_0$ цэг нь энэ функцийн хамгийн бага цэг болно.

3) Хэрэв $(a,x_0)$ болон $(x_0,b)$ интервал дээр $f"\left(x\right) >0$ дериватив эсвэл $f"\left(x) үүсмэл байвал \баруун)

Энэ теоремыг 1-р зурагт үзүүлэв.

Зураг 1. Экстремум оршин тогтнох хангалттай нөхцөл

Хэт туйлшралын жишээ (Зураг 2).

Зураг 2. Экстремум цэгүүдийн жишээ

Функцийг экстремумын хувьд шалгах дүрэм

2) $f"(x)$ деривативыг ол;

7) Теорем 2-ыг ашиглан интервал бүр дээр максимум ба минимум байгаа эсэх талаар дүгнэлт гарга.

Өсөх ба буурах функц

Эхлээд нэмэгдэх ба буурах функцүүдийн тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 5

$X$ интервал дээр тодорхойлсон $y=f(x)$ функцийг $x_1-д $x_1,x_2\ X$-ийн аль нэг цэгийн хувьд өсөлт гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 6

$X$ интервал дээр тодорхойлсон $y=f(x)$ функцийг $x_1f(x_2)$-д $x_1,x_2\ X$-ийн аль нэг цэгийн хувьд буурах гэж нэрлэдэг.

Өсөх, бууруулах функцийг шалгах

Та дериватив ашиглан нэмэгдүүлэх, багасгах функцуудыг судалж болно.

Функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг шалгахын тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) $f(x)$ функцийн домайныг ол;

2) $f"(x)$ деривативыг ол;

3) $f"\left(x\right)=0$ тэнцүү байх цэгүүдийг ол;

4) $f"(x)$ байхгүй цэгүүдийг олох;

5) Координатын шугам дээр бүх олдсон цэгүүд болон өгөгдсөн функцийн мужийг тэмдэглэнэ;

6) Үүссэн интервал бүр дээр $f"(x)$ деривативын тэмдгийг тодорхойлох;

7) Дүгнэлт хийнэ үү: $f"\left(x\right)0$ интервалууд дээр функц нэмэгдэх болно.

Өсөлт, бууралт, экстремум цэгүүд байгаа эсэхийг судлах асуудлын жишээ

Жишээ 1

Өсөх ба буурах функц, максимум ба минимум цэг байгаа эсэхийг судал: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Эхний 6 оноо ижил тул эхлээд тэдгээрийг зурах болно.

1) Тодорхойлолтын домэйн - бүх бодит тоо;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ нь тодорхойлолтын домэйны бүх цэгүүдэд байдаг;

5) Координатын шугам:

Зураг 3

6) Интервал бүр дээр $f"(x)$ деривативын тэмдгийг тодорхойл.

\ \}