Асуудлыг шийдвэрлэх хамгийн бага квадратын арга. Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан таамаглал боловсруулах. Бодлого шийдвэрлэх жишээ Тэгшитгэлийн системийг хамгийн бага квадратын аргаар шийдвэрлэх

Бид функцийг 2-р зэргийн олон гишүүнтээр ойртуулна. Үүнийг хийхийн тулд бид ердийн тэгшитгэлийн системийн коэффициентийг тооцоолно.

, ,

Хамгийн бага квадратуудын ердийн системийг зохиоё, энэ нь дараах хэлбэртэй байна.

Системийн шийдлийг олоход хялбар:, , .

Ийнхүү 2-р зэргийн олон гишүүнт олдлоо: .

Онолын суурь

Хуудас руу буцах<Введение в вычислительную математику. Примеры>

Жишээ 2. Олон гишүүнтийн оновчтой зэрэглэлийг олох.

Хуудас руу буцах<Введение в вычислительную математику. Примеры>

Жишээ 3. Эмпирик хамаарлын параметрүүдийг олохын тулд хэвийн тэгшитгэлийн системийг гарган авах.

Коэффициент ба функцийг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг гаргаж авцгаая , энэ нь өгөгдсөн функцийн язгуурын квадратын ойролцооллыг цэгүүдийн хувьд гүйцэтгэдэг. Функц зохиох шаардлагатай экстремум нөхцөлийг бичнэ үү:

Дараа нь ердийн систем дараах хэлбэрийг авна.

Бид үл мэдэгдэх параметрүүдийн шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авсан бөгөөд үүнийг амархан шийддэг.

Онолын суурь

Хуудас руу буцах<Введение в вычислительную математику. Примеры>

Жишээ.

Хувьсагчийн утгын туршилтын өгөгдөл Xболон цагтхүснэгтэд өгөгдсөн.

Тэдний тохируулгын үр дүнд функц

Ашиглаж байна хамгийн бага квадрат арга, эдгээр өгөгдлийг шугаман хамаарлаар ойролцоол y=ax+b(параметрүүдийг олох аболон б). Туршилтын өгөгдлүүдийг зэрэгцүүлж байгаа хоёр мөрийн аль нь илүү дээр болохыг олж мэд (хамгийн бага квадратын аргын утгаараа). Зураг зурах.

Хамгийн бага квадратын аргын мөн чанар (LSM).

Асуудал нь хоёр хувьсагчийн функцийг гүйцэтгэх шугаман хамаарлын коэффициентийг олох явдал юм аболон бхамгийн бага утгыг авдаг. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдлийг өгсөн аболон болсон шулуун шугамаас туршилтын өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэр хамгийн бага байх болно. Энэ бол хамгийн бага квадратын аргын бүх санаа юм.

Ийнхүү жишээний шийдэл нь хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох хүртэл буурдаг.

Коэффициент олох томьёо гарган авах.

Хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэж, шийддэг. Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олох хувьсагчаар аболон б, бид эдгээр деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж байна.

Бид үүссэн тэгшитгэлийн системийг ямар ч аргаар шийддэг (жишээлбэл орлуулах аргаэсвэл Крамерын арга) ба хамгийн бага квадратын арга (LSM) ашиглан коэффициентийг олох томъёог олж авна.

Өгөгдлийн хамт аболон бфункц хамгийн бага утгыг авдаг. Энэ баримтын нотолгоог хуудасны төгсгөлд байгаа текстэнд доор харуулав.

Энэ бол хамгийн бага квадратуудын бүх арга юм. Параметрийг олох томъёо анийлбэр, , , параметрийг агуулна nтуршилтын өгөгдлийн хэмжээ юм. Эдгээр дүнгийн утгыг тусад нь тооцоолохыг зөвлөж байна.

Коэффицент бтооцооны дараа олдсон а.

Анхны жишээг санах цаг болжээ.

Шийдэл.

Бидний жишээнд n=5. Шаардлагатай коэффициентүүдийн томъёонд орсон дүнг тооцоолоход хялбар болгох үүднээс бид хүснэгтийг бөглөнө.

Хүснэгтийн дөрөв дэх эгнээний утгыг тоо бүрийн 2-р эгнээний утгыг 3-р эгнээний утгуудаар үржүүлэх замаар олж авна. би.

Хүснэгтийн тав дахь эгнээний утгыг тоо тус бүрийн 2-р эгнээний утгыг квадрат болгох замаар олж авна. би.

Хүснэгтийн сүүлчийн баганын утгууд нь мөр хоорондын утгуудын нийлбэр юм.

Коэффициентийг олохын тулд бид хамгийн бага квадратын аргын томъёог ашигладаг аболон б. Бид тэдгээрт хүснэгтийн сүүлчийн баганаас харгалзах утгуудыг орлуулна.

Үүний үр дүнд, у=0,165х+2,184нь хүссэн ойролцоох шулуун шугам юм.

Энэ мөрүүдийн аль нь болохыг олж мэдэх л үлдлээ у=0,165х+2,184эсвэл анхны өгөгдөлд илүү ойртох, өөрөөр хэлбэл хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан тооцоолол хийх.

Хамгийн бага квадратын аргын алдааны тооцоо.

Үүнийг хийхийн тулд та эдгээр мөрүүдээс анхны өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй болон , жижиг утга нь хамгийн бага квадратын аргын хувьд анхны өгөгдөлд илүү сайн ойртсон шугамтай тохирч байна.

оноос хойш, дараа нь шугам у=0,165х+2,184анхны өгөгдлийг илүү сайн ойртуулдаг.

Хамгийн бага квадратын аргын (LSM) график дүрслэл.

График дээр бүх зүйл сайхан харагдаж байна. Улаан шугам нь олсон шугам юм у=0,165х+2,184, цэнхэр шугам нь , ягаан цэгүүд нь анхны өгөгдөл юм.

Энэ нь юунд зориулагдсан бэ, энэ бүх ойролцоо тооцоолол юунд зориулагдсан бэ?

Би хувьдаа өгөгдлийг тэгшитгэх, интерполяци, экстраполяцийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг (анхны жишээнд танаас ажиглагдсан утгын утгыг олохыг хүсч болно. yцагт x=3эсвэл хэзээ x=6 MNC аргын дагуу). Гэхдээ бид энэ талаар дараа нь сайтын өөр хэсэгт дэлгэрэнгүй ярих болно.

Хуудасны дээд талд

Баталгаа.

Тиймээс олдсон үед аболон бфункц нь хамгийн бага утгыг авдаг тул энэ үед функцийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциалын квадрат хэлбэрийн матриц шаардлагатай. эерэг тодорхой байсан. Үүнийг үзүүлье.

Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал нь дараах хэлбэртэй байна.

Тэр бол

Тиймээс квадрат хэлбэрийн матриц нь хэлбэртэй байна

мөн элементүүдийн утга нь үүнээс хамаардаггүй аболон б.

Матриц нь эерэг тодорхой гэдгийг харуулъя. Энэ нь насанд хүрээгүй өнцөг нь эерэг байхыг шаарддаг.

Нэгдүгээр эрэмбийн өнцгийн минор . Оноонууд нь давхцдаггүй тул тэгш бус байдал нь хатуу байна. Үүнийг дараах зүйлд тусгасан болно.

Хоёрдахь эрэмбийн өнцгийн минор

Үүнийг баталцгаая Математик индукцийн арга.

Дүгнэлт: олсон утгууд аболон бфункцийн хамгийн бага утгатай тохирно , тиймээс хамгийн бага квадратын аргын хүссэн параметрүүд юм.

Ойлгосон уу?
Шийдэл захиалах

Хуудасны дээд талд

Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан таамаглал боловсруулах. Асуудлыг шийдэх жишээ

Экстраполяци - энэ бол өмнөх болон одоогийн чиг хандлага, хэв маяг, урьдчилан таамаглах объектын ирээдүйн хөгжилд хамаарах харилцааг түгээхэд үндэслэсэн шинжлэх ухааны судалгааны арга юм. Экстраполяцийн аргууд орно хөдөлж буй дундаж арга, экспоненциал тэгшитгэх арга, хамгийн бага квадратын арга.

Мөн чанар хамгийн бага квадратын арга ажиглагдсан болон тооцоолсон утгуудын хоорондох квадрат хазайлтын нийлбэрийг багасгахаас бүрдэнэ. Тооцоолсон утгыг сонгосон тэгшитгэлийн дагуу олно - регрессийн тэгшитгэл. Бодит болон тооцоолсон утгуудын хоорондох зай бага байх тусам регрессийн тэгшитгэл дээр үндэслэн таамаглал илүү нарийвчлалтай болно.

Судалгаанд хамрагдаж буй үзэгдлийн мөн чанар, өөрчлөлтийг цаг хугацааны цуваагаар харуулсан онолын шинжилгээ нь муруйг сонгох үндэс суурь болдог. Цувралын түвшний өсөлтийн шинж чанарын талаархи бодол санааг заримдаа харгалзан үздэг. Тиймээс, хэрэв бүтээгдэхүүний өсөлтийг арифметик прогрессоор хүлээж байгаа бол тэгшитгэх ажлыг шулуун шугамаар гүйцэтгэдэг. Хэрэв өсөлт нь экспоненциал болж хувирвал экспоненциал функцийн дагуу жигдрүүлэх хэрэгтэй.

Хамгийн бага квадратын аргын ажлын томьёо : Y t+1 = a*X + b, энд t + 1 нь таамагласан хугацаа; Уt+1 – таамагласан үзүүлэлт; a ба b коэффициентүүд; X бол цаг хугацааны бэлгэдэл юм.

a ба b коэффициентийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

хаана, Uf - динамикийн цувралын бодит утгууд; n - цаг хугацааны цувралын түвшний тоо;

Цагийн цувааг хамгийн бага квадратын аргаар тэгшитгэх нь судалж буй үзэгдлийн хөгжлийн зүй тогтлыг тусгах үүрэгтэй. Трендийн аналитик илэрхийлэлд цагийг бие даасан хувьсагч гэж үздэг бөгөөд цувралын түвшин нь энэхүү бие даасан хувьсагчийн функцээр ажилладаг.

Аливаа үзэгдлийн хөгжил нь эхлэлийн цэгээс хойш хэдэн жил өнгөрсөнөөс хамаарахгүй, харин түүний хөгжилд ямар хүчин зүйл нөлөөлсөн, ямар чиглэлд, ямар эрчимтэй явагдсанаас хамаардаг. Үүнээс үзэхэд аливаа үзэгдлийн хөгжил нь эдгээр хүчин зүйлсийн үйл ажиллагааны үр дүнд цаг хугацааны явцад гарч ирдэг.

Муруйн хэлбэр, цаг хугацааны аналитик хамаарлын төрлийг зөв тогтоох нь урьдчилан таамаглах шинжилгээний хамгийн хэцүү ажлуудын нэг юм. .

Параметрүүд нь хамгийн бага квадратын аргаар тодорхойлогддог чиг хандлагыг тодорхойлсон функцийн төрлийг сонгох нь ихэнх тохиолдолд эмпирик бөгөөд хэд хэдэн функцийг байгуулж, тэдгээрийг үндсэн дундаж утгаараа бие биетэйгээ харьцуулах замаар хийгддэг. - томъёогоор тооцоолсон квадрат алдаа:

хаана Uf - динамикийн цувралын бодит утгууд; Ur - хугацааны цувааны тооцоолсон (тэгшгэсэн) утгууд; n - цаг хугацааны цувралын түвшний тоо; p нь чиг хандлагыг (хөгжлийн чиг хандлага) тодорхойлсон томъёонд тодорхойлсон параметрүүдийн тоо юм.

Хамгийн бага квадратын аргын сул тал :

• судалж буй эдийн засгийн үзэгдлийг математикийн тэгшитгэл ашиглан дүрслэхийг оролдох үед таамаглал нь богино хугацаанд үнэн зөв байх бөгөөд шинэ мэдээлэл гарах үед регрессийн тэгшитгэлийг дахин тооцоолох шаардлагатай;
• стандарт компьютерийн программ ашиглан шийдвэрлэх боломжтой регрессийн тэгшитгэлийг сонгох нарийн төвөгтэй байдал.

Прогноз боловсруулахдаа хамгийн бага квадратын аргыг ашиглах жишээ

Даалгавар . Бүс нутгийн ажилгүйдлийн түвшинг тодорхойлсон тоо баримт бий, %

• Хөдөлгөөнт дундаж, экспоненциал тэгшитгэх, хамгийн бага квадрат гэсэн аргуудыг ашиглан 11, 12, 1-р саруудад бүс нутгийн ажилгүйдлийн түвшний урьдчилсан мэдээг гарга.
• Арга тус бүрийг ашиглан үр дүнгийн таамаглал дахь алдааг тооцоол.
• Хүлээн авсан үр дүнг харьцуулж, дүгнэлт гарга.

Хамгийн бага квадратын шийдэл

Шийдлийн хувьд бид шаардлагатай тооцоог хийх хүснэгтийг эмхэтгэх болно.

ε = 28.63/10 = 2.86% таамаглалын нарийвчлалөндөр.

Дүгнэлт : Тооцоололд гарсан үр дүнг харьцуулах хөдөлж буй дундаж арга , экспоненциал тэгшитгэх ба хамгийн бага квадратын аргын хувьд экспоненциал тэгшитгэх аргын тооцооны дундаж харьцангуй алдаа 20-50% -д хүрдэг гэж хэлж болно. Энэ нь энэ тохиолдолд таамаглалын нарийвчлал нь зөвхөн хангалттай гэсэн үг юм.

Эхний болон гурав дахь тохиолдолд дундаж харьцангуй алдаа 10% -иас бага байдаг тул таамаглалын нарийвчлал өндөр байна. Гэхдээ хөдөлж буй дундаж арга нь илүү найдвартай үр дүнд хүрэх боломжийг олгосон (11-р сарын урьдчилсан мэдээ - 1.52%, 12-р сарын таамаглал - 1.53%, 1-р сарын урьдчилсан мэдээ - 1.49%), учир нь энэ аргыг ашиглах үед харьцангуй дундаж алдаа хамгийн бага байдаг - 1. ,13%.

Хамгийн бага квадрат арга

Бусад холбогдох нийтлэлүүд:

Ашигласан эх сурвалжуудын жагсаалт

1. Нийгмийн эрсдэлийг оношлох, бэрхшээл, аюул занал, нийгмийн үр дагаврыг урьдчилан таамаглах асуудалд шинжлэх ухаан, арга зүйн зөвлөмж. ОХУ-ын Нийгмийн их сургууль. Москва. 2010;
2. Владимирова Л.П. Зах зээлийн нөхцөлд урьдчилан таамаглах, төлөвлөх: Proc. тэтгэмж. М .: "Дашков ба Ко" хэвлэлийн газар, 2001;
3. Новикова Н.В., Поздеева О.Г. Үндэсний эдийн засгийг таамаглах: Боловсрол, арга зүйн гарын авлага. Екатеринбург: Уралын хэвлэлийн газар. муж эдийн засаг их сургууль, 2007;
4. Слуцкин Л.Н. Бизнесийн таамаглалын чиглэлээр MBA курс. Москва: Альпин бизнесийн номууд, 2006 он.

БОЯ хөтөлбөр

Өгөгдлийг оруулна уу

Өгөгдөл ба ойролцоогоор y = a + b x

би- туршилтын цэгийн дугаар;
x i- цэг дээрх тогтмол параметрийн утга би;
y i- цэг дээрх хэмжсэн параметрийн утга би;
ω i- цэг дээрх жинг хэмжих би;
y i, тооцоолол.- хэмжсэн утга ба регрессээс тооцсон утгын зөрүү yцэг дээр би;
S x i (x i)- алдааны тооцоо x iхэмжих үед yцэг дээр би.

Өгөгдөл ба ойролцоогоор y = kx

График дээр дарна уу

MNC онлайн програмын хэрэглэгчийн гарын авлага.

Өгөгдлийн талбарт тусдаа мөр бүрт нэг туршилтын цэг дээр `x` ба `y` утгуудыг оруулна. Утга нь хоосон зайгаар (зай эсвэл таб) тусгаарлагдсан байх ёстой.

Гурав дахь утга нь `w` цэгийн жин байж болно. Хэрэв цэгийн жинг заагаагүй бол энэ нь нэгтэй тэнцүү байна. Ихэнх тохиолдолд туршилтын цэгүүдийн жин тодорхойгүй эсвэл тооцоологдоогүй; туршилтын бүх өгөгдлийг тэнцүү гэж үзнэ. Заримдаа судлагдсан утгын хүрээн дэх жин нь мэдээж тэнцүү биш бөгөөд онолын хувьд ч тооцоолж болно. Жишээлбэл, спектрофотометрийн хувьд жинг энгийн томъёогоор тооцоолж болох боловч үндсэндээ хүн бүр хөдөлмөрийн зардлыг бууруулахын тулд үүнийг үл тоомсорлодог.

Microsoft Office-ийн Excel эсвэл Open Office-ийн Calc гэх мэт оффисын багцын хүснэгтээс өгөгдлийг санах ойд буулгаж болно. Үүнийг хийхийн тулд хүснэгтээс хуулах өгөгдлийн хүрээг сонгоод санах ой руу хуулж, энэ хуудасны өгөгдлийн талбарт өгөгдлийг буулгана уу.

Хамгийн бага квадратын аргаар тооцоолохын тулд хоёр коэффициентийг тодорхойлохын тулд дор хаяж хоёр цэг шаардлагатай `b` - шулуун шугамын налуу өнцгийн тангенс ба `a` - `y дээрх шулуун шугамаар таслагдсан утга. ` тэнхлэг.

Тооцоолсон регрессийн коэффициентүүдийн алдааг тооцоолохын тулд туршилтын цэгүүдийн тоог хоёроос дээш болгох шаардлагатай.

Хамгийн бага квадратын арга (LSM).

Туршилтын цэгүүдийн тоо их байх тусам коэффициентүүдийн статистик тооцоолол (Оюутны коэффициент буурсантай холбоотой) илүү нарийвчлалтай, ерөнхий түүврийн тооцоонд ойртох болно.

Туршилтын цэг бүрт үнэ цэнийг олж авах нь ихэвчлэн их хэмжээний хөдөлмөрийн зардалтай холбоотой байдаг тул олон тооны туршилтыг ихэвчлэн хийдэг бөгөөд энэ нь шингэцтэй тооцооллыг өгдөг бөгөөд хэт их хөдөлмөрийн зардалд хүргэдэггүй. Дүрмээр бол хоёр коэффициент бүхий шугаман хамгийн бага квадратын хамаарлын туршилтын цэгүүдийн тоог 5-7 цэгийн бүсэд сонгоно.

Шугаман хамаарлын хамгийн бага квадратуудын товч онол

Бидэнд хос утгын [`y_i`, `x_i`] хэлбэрийн туршилтын өгөгдлийн багц байна гэж бодъё, энд `i` нь 1-ээс `n` хүртэлх туршилтын нэг хэмжилтийн тоо юм; `y_i` - `i` цэг дэх хэмжсэн утгын утга; `x_i` - `i` цэг дээр бидний тогтоосон параметрийн утга.

Жишээ нь Ом хуулийн үйл ажиллагаа юм. Цахилгаан хэлхээний хэсгүүдийн хоорондох хүчдэлийг (боломжийн зөрүү) өөрчилснөөр бид энэ хэсгийг дамжин өнгөрөх гүйдлийн хэмжээг хэмждэг. Физик бидэнд туршилтаар олсон хамаарлыг өгдөг.

`I=U/R`,
хаана `I` - одоогийн хүч; `R` - эсэргүүцэл; `U` - хүчдэл.

Энэ тохиолдолд `y_i` нь хэмжсэн гүйдлийн утга, `x_i` нь хүчдэлийн утга юм.

Өөр нэг жишээ болгон, уусмал дахь бодисын уусмал гэрлийн шингээлтийг авч үзье. Хими бидэнд дараах томъёог өгдөг.

`A = εl C`,
Энд `A` нь уусмалын оптик нягт; `ε` - ууссан бодисын дамжуулалт; `l` - уусмал бүхий кюветтээр гэрэл өнгөрөх үед замын урт; `C` нь ууссан бодисын концентраци юм.

Энэ тохиолдолд 'y_i' нь хэмжсэн оптик нягт 'A', 'x_i' нь бидний тогтоосон бодисын концентрац юм.

`x_i`-г тохируулах харьцангуй алдаа нь `y_i`-г хэмжих харьцангуй алдаанаас хамаагүй бага байх тохиолдлыг бид авч үзэх болно. Бид мөн 'y_i' хэмжсэн бүх утгууд нь санамсаргүй бөгөөд хэвийн тархалттай байна, өөрөөр хэлбэл. хэвийн тархалтын хуулийг дагаж мөрдөх.

`y`-ийн `x`-ээс шугаман хамаарлын хувьд онолын хамаарлыг дараах байдлаар бичиж болно.
`y = a + bx`.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл `b` коэффициент нь шугамын `x` тэнхлэгт налуу өнцгийн шүргэгчийг, `a` коэффициент нь шугамын огтлолцлын цэг дэх `y` утгыг илэрхийлнэ. `y` тэнхлэгтэй шугам (`x = 0`-ийн хувьд).

Регрессийн шугамын параметрүүдийг олох.

Туршилтын хувьд хэмжилтийн алдаанаас болж 'y_i' хэмжсэн утгууд нь бодит амьдрал дээр үргэлж байдаг тул онолын шугам дээр яг таарч чадахгүй. Тиймээс шугаман тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн системээр илэрхийлэх ёстой.
`y_i = a + b x_i + ε_i` (1),
Энд 'ε_i' нь 'i' туршилтын 'y' хэмжилтийн үл мэдэгдэх алдаа юм.

Хамаарал (1) гэж бас нэрлэдэг регресс, өөрөөр хэлбэл статистикийн ач холбогдол бүхий хоёр хэмжигдэхүүн бие биенээсээ хамаарах хамаарал.

Хараат байдлыг сэргээх ажил нь туршилтын цэгүүдээс [`y_i`, `x_i`] `a` ба `b` коэффициентүүдийг олох явдал юм.

"a" ба "b" коэффициентийг олохын тулд ихэвчлэн ашигладаг хамгийн бага квадрат арга(MNK). Энэ нь хамгийн их магадлалын зарчмын онцгой тохиолдол юм.

(1)-ийг `ε_i = y_i - a - b x_i` гэж дахин бичье.

Дараа нь квадрат алдааны нийлбэр болно
`Φ = нийлбэр_(i=1)^(n) ε_i^2 = нийлбэр_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2`. (2)

Хамгийн бага квадратын аргын зарчим нь `a` ба `b` параметрүүдийн нийлбэрийг (2) багасгах явдал юм..

`a` ба `b` коэффициентүүдийн нийлбэрийн (2) хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү байх үед хамгийн багадаа хүрнэ.
`frac(хэсэгчилсэн Φ)(хэсэг a) = frac(хэсэгчилсэн нийлбэр_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(хэсэг a) = 0`
`frac(хэсэгчилсэн Φ)(хэсэг b) = frac(хэсэгчилсэн нийлбэр_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(хэсэг b) = 0`

Деривативуудыг өргөжүүлснээр бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авна.
`нийлбэр_(i=1)^(n) (2a + 2bx_i - 2y_i) = нийлбэр_(i=1)^(n) (a + bx_i - y_i) = 0`
`нийлбэр_(i=1)^(n) (2bx_i^2 + 2ax_i - 2x_iy_i) = нийлбэр_(i=1)^(n) (bx_i^2 + ax_i - x_iy_i) = 0`

Бид хаалтуудыг нээж, хүссэн коэффициентээс хамааралгүй нийлбэрүүдийг нөгөө хагаст шилжүүлж, шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авна.
`нийлбэр_(i=1)^(n) y_i = a n + b нийлбэр_(i=1)^(n) bx_i`
`нийлбэр_(i=1)^(n) x_iy_i = a нийлбэр_(i=1)^(n) x_i + b нийлбэр_(i=1)^(n) x_i^2`

Үүссэн системийг шийдэж, бид "a" ба "b" коэффициентүүдийн томъёог олно.

`a = фрак(нийлбэр_(i=1)^(n) y_i нийлбэр_(i=1)^(n) x_i^2 - нийлбэр_(i=1)^(n) x_i нийлбэр_(i=1)^(n) ) x_iy_i) (n нийлбэр_(i=1)^(n) x_i^2 — (нийлбэр_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.1)

`b = фрак(n нийлбэр_(i=1)^(n) x_iy_i - нийлбэр_(i=1)^(n) x_i нийлбэр_(i=1)^(n) y_i) (n нийлбэр_(i=1)^ (n) x_i^2 - (нийлбэр_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.2)

Эдгээр томьёо нь `n > 1` (дор хаяж 2 цэг ашиглан шугамыг зурж болно) болон тодорхойлогч `D = n нийлбэр_(i=1)^(n) x_i^2 — (нийлбэр_(i= 1) үед шийдлүүдтэй байна. )^(n) x_i)^2 != 0`, i.e. Туршилтын `x_i` цэгүүд өөр байх үед (жишээ нь шугам босоо биш үед).

Регрессийн шугамын коэффициентүүдийн алдааны тооцоо

`a` ба `b` коэффициентүүдийг тооцоолоход гарсан алдааг илүү нарийвчлалтай тооцоолохын тулд олон тооны туршилтын цэгүүдийг авах нь зүйтэй. `n = 2` үед коэффициентүүдийн алдааг тооцоолох боломжгүй, учир нь Ойролцоо шугам нь хоёр цэгээр давтагдашгүй өнгөрнө.

`V` санамсаргүй хэмжигдэхүүний алдаа тодорхойлогдоно алдааны хуримтлалын хууль
`S_V^2 = нийлбэр_(i=1)^p (фрак(хэсэг f)(хэсэг z_i))^2 S_(z_i)^2`,
Энд `p` нь `S_V` алдаанд нөлөөлөх `S_(z_i)` алдаатай `z_i` параметрийн тоо;
`f` нь `V`-ийн `z_i`-д хамаарах хамаарлын функц юм.

`a` ба `b` коэффициентүүдийн алдааны алдааны хуримтлалын хуулийг бичье.
`S_a^2 = нийлбэр_(i=1)^(n)(фрак(хэсэг а)(хэсэг y_i))^2 S_(y_i)^2 + нийлбэр_(i=1)^(n)(фрак(хэсэг а) )(хэсэгчилсэн x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 нийлбэр_(i=1)^(n)(frac(хэсэг а)(хэсэг y_i))^2 `,
`S_b^2 = нийлбэр_(i=1)^(n)(фрак(хэсэг b)(хэсэг y_i))^2 S_(y_i)^2 + нийлбэр_(i=1)^(n)(фрак(хэсэг b) )(хэсэгчилсэн x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 нийлбэр_(i=1)^(n)(frac(хэсэг b)(хэсэг y_i))^2 `,
учир нь `S_(x_i)^2 = 0` (бид өмнө нь `x`-ын алдаа өчүүхэн гэж тэмдэглэсэн).

`S_y^2 = S_(y_i)^2` - `y` хэмжигдэхүүн дэх алдаа (дисвэр, квадрат стандарт хазайлт), алдааг бүх `y` утгуудын хувьд жигд байна гэж үзвэл.

Үр дүнгийн илэрхийлэлд "a" ба "b"-ийг тооцоолох томъёог орлуулснаар бид олж авна.

`S_a^2 = S_y^2 фрак(нийлбэр_(i=1)^(n) (нийлбэр_(i=1)^(n) x_i^2 - x_i нийлбэр_(i=1)^(n) x_i)^2 ) (D^2) = S_y^2 фрак((n нийлбэр_(i=1)^(n) x_i^2 - (нийлбэр_(i=1)^(n) x_i)^2) нийлбэр_(i=1) ^(n) x_i^2) (D^2) = S_y^2 фрак(нийлбэр_(i=1)^(n) x_i^2) (D)` (4.1)

`S_b^2 = S_y^2 фрак(нийлбэр_(и=1)^(n) (n x_i - нийлбэр_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 фрак( n (n нийлбэр_(i=1)^(n) x_i^2 - (нийлбэр_(i=1)^(n) x_i)^2)) (D^2) = S_y^2 фрак(n) (D) ` (4.2)

Ихэнх бодит туршилтуудад `Sy`-ийн утгыг хэмждэггүй. Үүнийг хийхийн тулд төлөвлөгөөний нэг буюу хэд хэдэн цэг дээр хэд хэдэн зэрэгцээ хэмжилт (туршилт) хийх шаардлагатай бөгөөд энэ нь туршилтын хугацааг (болон магадгүй зардал) нэмэгдүүлдэг. Тиймээс регрессийн шугамаас `y`-ийн хазайлтыг санамсаргүй гэж үзэж болно гэж ихэвчлэн үздэг. Энэ тохиолдолд 'y' хэлбэлзлийн үнэлгээг томъёогоор тооцоолно.

`S_y^2 = S_(y, амралт)^2 = фрак(нийлбэр_(i=1)^n (y_i - a - b x_i)^2) (n-2)`.

Туршилтын ижил түүврийн өгөгдлийн хоёр коэффициентийг тооцоолсны улмаас бид эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоог бууруулсан тул хуваагч `n-2` гарч ирнэ.

Энэ тооцоог мөн `S_(y, амралт)^2` регрессийн шугамтай харьцуулахад үлдэгдэл дисперс гэж нэрлэдэг.

Коэффициентийн ач холбогдлын үнэлгээг оюутны шалгуурын дагуу гүйцэтгэдэг

`t_a = frac(|a|) (S_a)`, `t_b = frac(|b|) (S_b)`

Хэрэв тооцоолсон `t_a`, `t_b` шалгуур үзүүлэлтүүд нь хүснэгтийн `t(P, n-2)` шалгуураас бага байвал өгөгдсөн `P` магадлалаар харгалзах коэффициент тэгээс онцын ялгаагүй гэж үзнэ.

Шугаман харилцааны тайлбарын чанарыг үнэлэхийн тулд та Фишерийн шалгуурыг ашиглан `S_(y, амралт)^2` ба `S_(bar y)`-ийг дундажтай харьцуулж болно.

`S_(бар y) = фрак(нийлбэр_(i=1)^n (y_i - багана у)^2) (n-1) = фрак(нийлбэр_(i=1)^n (y_i - (нийлбэр_(i=) 1)^n y_i) /n)^2) (n-1)` - дундажтай харьцуулахад `y`-ийн дисперсийн түүврийн тооцоо.

Хамааралтай байдлыг тодорхойлох регрессийн тэгшитгэлийн үр нөлөөг үнэлэхийн тулд Фишерийн коэффициентийг тооцоолно.
`F = S_(бар y) / S_(y, амрах)^2`,
Үүнийг хүснэгтийн Фишерийн коэффициент `F(p, n-1, n-2)`-тай харьцуулсан.

Хэрэв `F > F(P, n-1, n-2)` бол `y = f(x)` хамаарлыг регрессийн тэгшитгэл ашиглан тайлбарлах ба дундаж утгыг ашигласан тайлбарын хоорондох зөрүүг магадлалын хувьд статистикийн хувьд ач холбогдолтой гэж үзнэ. `P`. Тэдгээр. регресс нь дундаж утгын эргэн тойронд "y"-ийн тархалтаас илүү хамааралтай байдлыг илүү сайн тодорхойлдог.

График дээр дарна уу
хүснэгтэд утгыг нэмэх

Хамгийн бага квадрат арга. Хамгийн бага квадратын арга гэдэг нь үл мэдэгдэх параметрүүдийг a, b, c, хүлээн зөвшөөрөгдсөн функциональ хамаарлыг тодорхойлохыг хэлнэ.

Хамгийн бага квадратын арга нь үл мэдэгдэх параметрүүдийг тодорхойлох гэсэн үг юм a, b, c,…хүлээн зөвшөөрөгдсөн функциональ хамаарал

у = f(x,a,b,c,…),

Энэ нь алдааны дундаж квадратын (дисвэрийн) хамгийн бага хэмжээг өгөх болно

, (24)

Энд x i , y i - туршилтаас олж авсан хос тоонуудын багц.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремумын нөхцөл нь түүний хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх нөхцөл байдаг тул параметрүүд нь a, b, c,…тэгшитгэлийн системээр тодорхойлогддог.

; ; ; … (25)

Функцийн хэлбэрийн дараа параметрүүдийг сонгохдоо хамгийн бага квадратын аргыг ашигладаг гэдгийг санах нь зүйтэй у = f(x)тодорхойлсон.

Хэрэв онолын үүднээс авч үзвэл эмпирик томъёо нь ямар байх ёстой талаар ямар нэгэн дүгнэлт хийх боломжгүй бол харааны дүрслэл, ялангуяа ажиглагдсан өгөгдлийн график дүрслэлийг удирдан чиглүүлэх шаардлагатай.

Практикт ихэвчлэн дараахь төрлийн функцээр хязгаарлагддаг.

1) шугаман ;

2) квадрат a .

(зураг харна уу). Шулуун шугамын тэгшитгэлийг олох шаардлагатай

Үнэмлэхүй утга дахь тоо бага байх тусам шулуун шугамыг (2) сонгох нь дээр. Шулуун шугамыг (2) сонгох нарийвчлалын шинж чанарын хувьд бид квадратуудын нийлбэрийг авч болно.

S-ийн хамгийн бага нөхцөл байх болно

	(6)
	(7)

(6) ба (7) тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

	(8)
	(9)

(8) ба (9) тэгшитгэлээс туршилтын x i ба y i утгуудаас a ба b-ийг олоход хялбар байдаг. (8) ба (9) тэгшитгэлээр тодорхойлсон (2) мөрийг хамгийн бага квадратын аргаар олж авсан шугам гэж нэрлэдэг (энэ нэр нь S квадратуудын нийлбэр хамгийн бага байна гэдгийг онцлон тэмдэглэсэн). Шулуун шугамыг (2) тодорхойлох (8) ба (9) тэгшитгэлийг хэвийн тэгшитгэл гэнэ.

Ердийн тэгшитгэлийг бүрдүүлэх энгийн бөгөөд ерөнхий аргыг зааж өгөх боломжтой. Туршилтын цэг (1) ба тэгшитгэл (2) ашиглан бид a ба b тэгшитгэлийн системийг бичиж болно.

Бид эдгээр тэгшитгэл бүрийн зүүн ба баруун хэсгийг эхний үл мэдэгдэх a (жишээ нь x 1 , x 2 , ..., x n) дахь коэффициентээр үржүүлж, үүссэн тэгшитгэлүүдийг нэмж, үр дүнд нь эхний хэвийн тэгшитгэл ( 8).

Бид эдгээр тэгшитгэл бүрийн зүүн ба баруун талыг хоёр дахь үл мэдэгдэх b-ийн коэффициентээр үржүүлнэ, i.e. 1-ээр, мөн үүссэн тэгшитгэлүүдийг нэмснээр хоёр дахь хэвийн тэгшитгэл (9) гарна.

Хэвийн тэгшитгэлийг олж авах энэ арга нь ерөнхий юм: энэ нь жишээлбэл, функцэд тохиромжтой

тогтмол утга бөгөөд туршилтын өгөгдлөөр тодорхойлогдох ёстой (1).

k-ийн тэгшитгэлийн системийг дараах байдлаар бичиж болно.

Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан (2) мөрийг ол.

Шийдэл.Бид олдог:

x i =21, y i =46.3, x i 2 =91, x i y i =179.1.

Бид (8) ба (9) тэгшитгэлийг бичнэ.

Эндээс бид олдог

Хамгийн бага квадратын аргын нарийвчлалыг тооцоолох

(2) тэгшитгэл хийгдэх үед шугаман тохиолдлын аргын нарийвчлалын тооцоог өгье.

Туршилтын x i утгууд нь яг нарийн байх ба туршилтын y i утгууд нь бүх i-ийн хувьд ижил хэлбэлзэлтэй санамсаргүй алдаатай байна.

Бид тэмдэглэгээг танилцуулж байна

Дараа нь (8) ба (9) тэгшитгэлийн шийдлүүдийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

	(17)
	(18)
хаана
	(19)
(17) тэгшитгэлээс бид олдог
	(20)
Үүний нэгэн адил (18) тэгшитгэлээс бид олж авна
	(21)
учир нь
	(22)
(21) ба (22) тэгшитгэлээс бид олдог
	(23)

(20) ба (23) тэгшитгэл нь (8) ба (9) тэгшитгэлээр тодорхойлсон коэффициентүүдийн нарийвчлалын тооцоог өгдөг.

a ба b коэффициентүүд харилцан хамааралтай болохыг анхаарна уу. Энгийн хувиргалтаар бид тэдгээрийн хамаарлын мөчийг олдог.

Эндээс бид олдог

x=1 ба 6 үед 0.072,

x=3.5 үед 0.041.

Уран зохиол

Эрэг. Я.Б.Шинжилгээ ба чанарын хяналт, найдвартай байдлын статистик аргууд. М.: Госэнергоиздат, 1962, х. 552, хуудас 92-98.

Энэхүү ном нь электрон төхөөрөмж болон бусад масс үйлдвэрлэлийн бүтээгдэхүүний (машины үйлдвэрлэл, багаж хэрэгсэл, их буу гэх мэт) чанар, найдвартай байдлыг тодорхойлоход оролцдог өргөн хүрээний инженерүүдэд (судалгааны хүрээлэнгүүд, дизайны товчоо, туршилтын талбай, үйлдвэрүүд) зориулагдсан болно.

Энэхүү ном нь туршилтын үр дүнг боловсруулах, үнэлэхэд математик статистикийн аргуудыг ашиглах боломжийг олгодог бөгөөд үүнд туршиж үзсэн бүтээгдэхүүний чанар, найдвартай байдлыг тодорхойлдог. Уншигчдын тав тухыг хангах үүднээс математик статистикийн шаардлагатай мэдээлэл, шаардлагатай тооцооллыг хөнгөвчлөх олон тооны туслах математикийн хүснэгтүүдийг өгсөн болно.

Илтгэлийг радио электроник, артиллерийн технологийн салбараас авсан олон тооны жишээнүүдээр дүрслэн харуулав.

Хамгийн бага квадратын арга нь түүний ачаар хамгийн түгээмэл бөгөөд хамгийн хөгжсөн арга юм шугаман параметрүүдийг тооцоолох аргуудын энгийн байдал, үр ашиг. Үүний зэрэгцээ, үүнийг ашиглахдаа болгоомжтой байх хэрэгтэй, учир нь үүнийг ашиглан бүтээсэн загварууд нь параметрийн чанарын хэд хэдэн шаардлагыг хангаагүй бөгөөд үр дүнд нь үйл явцын хөгжлийн хэв маягийг "сайн" тусгадаггүй.

Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан шугаман эконометрик загварын параметрүүдийг тооцоолох журмыг илүү нарийвчлан авч үзье. Ийм загварыг ерөнхий хэлбэрээр (1.2) тэгшитгэлээр илэрхийлж болно.

y t = a 0 + a 1 x 1 t +...+ a n x nt + ε t .

a 0, a 1,..., a n параметрүүдийг тооцоолох анхны өгөгдөл нь хамааралтай хувьсагчийн утгын вектор юм. y= (y 1 , y 2 , ... , y T)" ба бие даасан хувьсагчийн утгуудын матриц

нэгээс бүрдэх эхний багана нь загварын коэффициенттэй тохирч байна.

Хамгийн бага квадратын арга нь түүний үндсэн дээр олж авсан параметрийн тооцооллыг хангах ёстой гэсэн үндсэн зарчимд үндэслэн нэрээ авсан. загварын алдааны квадратуудын нийлбэр хамгийн бага байх ёстой.

Хамгийн бага квадратын аргаар асуудлыг шийдэх жишээ

Жишээ 2.1.Худалдааны аж ахуйн нэгж нь 12 дэлгүүрээс бүрдсэн сүлжээтэй бөгөөд тэдгээрийн үйл ажиллагааны талаархи мэдээллийг хүснэгтэд үзүүлэв. 2.1.

Компанийн удирдлага жилийн хэмжээ нь дэлгүүрийн борлуулалтын талбайгаас хэрхэн хамаардаг болохыг мэдэхийг хүсч байна.

Хүснэгт 2.1

Хамгийн бага квадратын шийдэл.Тодорхойлъё - дэлгүүрийн жилийн эргэлт, сая рубль; --р дэлгүүрийн борлуулалтын талбай, мянган м 2.

Зураг 2.1. Жишээ 2.1-ийн тархалтын график

Хувьсагчдын хоорондох функциональ харилцааны хэлбэрийг тодорхойлж, тархалтын графикийг байгуулна (Зураг 2.1).

Тархалтын диаграмм дээр үндэслэн бид жилийн эргэлт нь борлуулалтын талбайгаас эерэг хамааралтай гэж дүгнэж болно (өөрөөр хэлбэл, y нь өсөх тусам өсөх болно). Функциональ холболтын хамгийн тохиромжтой хэлбэр нь - шугаман.

Цаашдын тооцооллын мэдээллийг Хүснэгтэнд үзүүлэв. 2.2. Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан шугаман нэг хүчин зүйлийн эконометрик загварын параметрүүдийг тооцоолно

Хүснэгт 2.2

Энэ замаар,

Тиймээс худалдааны талбайг 1 мянган м 2-аар нэмэгдүүлснээр бусад зүйлстэй тэнцэхүйц жилийн дундаж эргэлт 67.8871 сая рублиэр нэмэгддэг.

Жишээ 2.2.Аж ахуйн нэгжийн удирдлага жилийн эргэлт нь дэлгүүрийн борлуулалтын талбайгаас (жишээ 2.1-ийг үзнэ үү) төдийгүй зочдын дундаж тооноос хамаардаг болохыг анзаарсан. Холбогдох мэдээллийг хүснэгтэд үзүүлэв. 2.3.

Хүснэгт 2.3

Шийдэл.Дэлгүүрт өдөрт дунджаар зочилдог хүмүүсийн тоо, мянган хүн.

Хувьсагчдын хоорондох функциональ харилцааны хэлбэрийг тодорхойлж, тархалтын графикийг байгуулна (Зураг 2.2).

Тархалтын диаграмм дээр үндэслэн бид жилийн эргэлт нь өдрийн дундаж зочдын тоотой эерэг хамааралтай гэж дүгнэж болно (өөрөөр хэлбэл, y өсөлттэй хамт өсөх болно). Функциональ хамаарлын хэлбэр нь шугаман байна.

Цагаан будаа. 2.2. Жишээ нь тархалтын график 2.2

Хүснэгт 2.4

Ерөнхийдөө хоёр хүчин зүйлийн эконометрик загварын параметрүүдийг тодорхойлох шаардлагатай

y t \u003d a 0 + a 1 x 1 t + a 2 x 2 t + ε t

Цаашдын тооцоололд шаардагдах мэдээллийг Хүснэгтэнд үзүүлэв. 2.4.

Шугаман хоёр хүчин зүйлийн эконометрик загварын параметрүүдийг хамгийн бага квадратын аргаар тооцоолъё.

Энэ замаар,

Коэффициентийн үнэлгээ = 61.6583 нь бусад зүйлстэй тэнцүү байх үед худалдааны талбайг 1 мянган м 2-аар нэмэгдүүлснээр жилийн эргэлт дунджаар 61.6583 сая рубль нэмэгдэх болно.

• танилцуулах хичээл үнэ төлбөргүй байдаг;
• Олон тооны туршлагатай багш нар (төрөлх болон орос хэлтэй);
• Хичээлүүд тодорхой хугацаанд (сар, зургаан сар, жил) биш, харин тодорхой тооны хичээл (5, 10, 20, 50);
• 10,000 гаруй сэтгэл ханамжтай үйлчлүүлэгчид.
• Орос хэлтэй багштай нэг хичээлийн үнэ - 600 рубльээс, төрөлх хэлтэй - 1500 рубльээс

Хамгийн бага квадратын аргын мөн чанар нь зарим санамсаргүй үзэгдлийн хөгжлийн чиг хандлагыг цаг хугацаа, орон зайд хамгийн сайн дүрсэлсэн чиг хандлагын загварын параметрүүдийг олоход (трэнд гэдэг нь энэ хөгжлийн чиг хандлагыг тодорхойлсон шугам юм). Хамгийн бага квадратын аргын (OLS) даалгавар бол зөвхөн зарим чиг хандлагын загварыг олох биш, харин хамгийн сайн эсвэл оновчтой загварыг олох явдал юм. Хэрэв ажиглагдсан бодит утгууд ба холбогдох тооцоолсон чиг хандлагын утгуудын хоорондох квадрат хазайлтын нийлбэр хамгийн бага (хамгийн бага) байвал энэ загвар оновчтой байх болно.

ажиглагдсан бодит утгын хоорондох стандарт хазайлт хаана байна

болон харгалзах тооцоолсон чиг хандлагын утга,

Судалж буй үзэгдлийн бодит (ажиглагдсан) үнэ цэнэ,

Тренд загварын тооцоолсон үнэ цэнэ,

Судалж буй үзэгдлийн ажиглалтын тоо.

MNC-ийг дангаар нь ашиглах нь ховор. Дүрмээр бол энэ нь ихэвчлэн корреляцийн судалгаанд шаардлагатай арга хэрэгсэл болгон ашиглагддаг. LSM-ийн мэдээллийн үндэс нь зөвхөн найдвартай статистикийн цуврал байж болох бөгөөд ажиглалтын тоо 4-өөс багагүй байх ёстой гэдгийг санах нь зүйтэй, эс тэгвээс LSM-ийн жигдрүүлэх журам нь нийтлэг ойлголтоо алдаж болзошгүй юм.

OLS хэрэглүүрийг дараах журам болгон багасгасан.

Эхний процедур. Сонгогдсон хүчин зүйл-аргумент өөрчлөгдөхөд үр дүнгийн шинж чанарыг өөрчлөх хандлага байгаа эсэх, эсвэл өөрөөр хэлбэл " цагт "ба" X ».

Хоёр дахь журам. Энэ чиг хандлагыг аль шугам (траектор) хамгийн сайн дүрслэх эсвэл тодорхойлох чадвартай болохыг тодорхойлдог.

Гурав дахь журам.

Жишээ. Судалгаанд хамрагдаж буй фермийн наранцэцгийн дундаж ургацын талаарх мэдээлэл бидэнд байна гэж бодъё (Хүснэгт 9.1).

Хүснэгт 9.1

Манай улсын наранцэцгийн үйлдвэрлэлийн технологийн түвшин сүүлийн 10 гаруй жилд нэг их өөрчлөгдөөгүй тул дүн шинжилгээ хийсэн хугацаанд ургацын хэлбэлзэл нь цаг агаар, цаг уурын нөхцөл байдлын хэлбэлзлээс ихээхэн хамааралтай байсан гэсэн үг. Энэ үнэн үү?

MNC-ийн анхны процедур. Шинжилгээнд хамрагдсан 10 жилийн хугацаанд цаг агаар, цаг уурын өөрчлөлтөөс хамааран наранцэцгийн ургацын өөрчлөлтийн хандлага байгаа гэсэн таамаглалыг шалгаж байна.

Энэ жишээнд " y » наранцэцгийн ургацыг авах нь зүйтэй бөгөөд « x » нь дүн шинжилгээ хийсэн хугацаанд ажиглагдсан жилийн тоо юм. хооронд ямар нэгэн хамаарал байгаа тухай таамаглалыг шалгах нь " x "ба" y » гар аргаар болон компьютерийн программын тусламжтайгаар хоёр аргаар хийж болно. Мэдээжийн хэрэг, компьютерийн технологи бий болсноор энэ асуудал өөрөө шийдэгддэг. Гэхдээ OLS хэрэгслийн хэрэгслийг илүү сайн ойлгохын тулд "харилцан хамаарал байгаа" гэсэн таамаглалыг шалгахыг зөвлөж байна. x "ба" y » гарт зөвхөн үзэг болон энгийн тооны машин байгаа үед. Ийм тохиолдолд чиг хандлага байгаа гэсэн таамаглалыг дүн шинжилгээ хийсэн цаг хугацааны цувралын график дүрсийн байршлаар хамгийн сайн шалгадаг - корреляцийн талбар:

Бидний жишээн дэх корреляцийн талбар нь аажмаар нэмэгдэж буй шугамын эргэн тойронд байрладаг. Энэ нь өөрөө наранцэцгийн ургацын өөрчлөлтөд тодорхой чиг хандлага байгааг харуулж байна. Корреляцийн талбар нь тойрог, тойрог, хатуу босоо эсвэл хатуу хэвтээ үүл шиг харагдах эсвэл санамсаргүй тархсан цэгүүдээс бүрдэх үед л ямар нэгэн чиг хандлага байгаа талаар ярих боломжгүй юм. Бусад бүх тохиолдолд " хоорондын хамаарал байгаа гэсэн таамаглалыг батлах шаардлагатай. x "ба" y мөн судалгаагаа үргэлжлүүлнэ.

MNC-ийн хоёр дахь журам. Шинжилгээнд хамрагдсан хугацаанд наранцэцгийн ургацын өөрчлөлтийн чиг хандлагыг тодорхойлох эсвэл тодорхойлоход аль шугам (траектор) илүү сайн болохыг тодорхойлдог.

Компьютерийн технологи байгаа тул оновчтой чиг хандлагыг сонгох нь автоматаар явагддаг. "Гараар" боловсруулалт хийснээр оновчтой функцийг сонгохдоо дүрмээр бол харааны аргаар - корреляцийн талбайн байршлаар гүйцэтгэдэг. Өөрөөр хэлбэл, диаграмын төрлөөс хамааран эмпирик чиг хандлагад (бодит замнал руу) хамгийн тохиромжтой шугамын тэгшитгэлийг сонгоно.

Таны мэдэж байгаагаар байгальд маш олон янзын функциональ хамаарал байдаг тул тэдгээрийн өчүүхэн хэсгийг ч нүдээр шинжлэх нь маш хэцүү байдаг. Аз болоход эдийн засгийн бодит практикт ихэнх харилцааг парабол, гипербол, шулуун шугамаар нарийн тодорхойлж болно. Үүнтэй холбогдуулан хамгийн сайн функцийг сонгох "гарын авлагын" сонголтоор та зөвхөн эдгээр гурван загварт өөрийгөө хязгаарлаж болно.

Хоёрдахь эрэмбийн парабола: :

Бидний жишээн дээр дүн шинжилгээ хийсэн 10 жилийн хугацаанд наранцэцгийн ургацын өөрчлөлтийн чиг хандлага нь шулуун шугамаар хамгийн сайн тодорхойлогддог тул регрессийн тэгшитгэл нь шулуун шугамын тэгшитгэл байх болно гэдгийг харахад хялбар байдаг.

Гурав дахь журам. Энэ шугамыг тодорхойлсон регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийг тооцоолж, өөрөөр хэлбэл хамгийн сайн чиг хандлагын загварыг тодорхойлсон аналитик томъёог тодорхойлно.

Регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн утгыг олох нь манай тохиолдолд ба параметрүүд нь LSM-ийн цөм юм. Энэ процессыг ердийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хүртэл багасгасан.

(9.2)

Энэ тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар амархан шийддэг. Шийдлийн үр дүнд бидний жишээн дээр параметрийн утгууд олддог гэдгийг санаарай. Тиймээс олсон регрессийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Энэ нь түүний параметрүүдийг эдийн засгийн тодорхой тайлбарлах хэлбэрээр эконометрикт өргөн хэрэглэгддэг.

Шугаман регресс нь хэлбэрийн тэгшитгэлийг олох хүртэл буурдаг

эсвэл

Төрөл тэгшитгэл өгөгдсөн параметрийн утгыг зөвшөөрдөг Xхүчин зүйлийн бодит утгыг орлуулах үр дүнтэй шинж чанарын онолын утгатай байна X.

Шугаман регрессийг бий болгох нь түүний параметрүүдийг − тооцоолоход хүргэдэг аболон in.Шугаман регрессийн параметрийн тооцоог янз бүрийн аргаар олж болно.

Шугаман регрессийн параметрүүдийг тооцоолох сонгодог арга нь дээр суурилдаг хамгийн бага квадратууд(MNK).

LSM нь ийм параметрийн тооцоог олж авах боломжийг олгодог аболон онд,Үүний дагуу үр дүнгийн шинж чанарын бодит утгын квадрат хазайлтын нийлбэр (y)тооцоолсон (онолын) хамгийн бага:

Функцийн хамгийн бага утгыг олохын тулд параметр тус бүрийн хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолох шаардлагатай. аболон бмөн тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүл.

S гэж тэмдэглээд дараа нь:

Томьёог хөрвүүлснээр параметрүүдийг тооцоолох ердийн тэгшитгэлийн дараах системийг олж авна аболон in:

Хэвийн тэгшитгэлийн системийг (3.5) хувьсагчдыг дараалан арилгах арга эсвэл тодорхойлогчийн аргаар шийдэж, бид хүссэн параметрийн тооцоог олно. аболон in.

Параметр inрегрессийн коэффициент гэж нэрлэдэг. Үүний утга нь хүчин зүйлийн нэг нэгжээр өөрчлөгдсөн үр дүнгийн дундаж өөрчлөлтийг харуулдаг.

Регрессийн тэгшитгэл нь холболтын нягт байдлын үзүүлэлтээр үргэлж нэмэгддэг. Шугаман регрессийг ашиглах үед шугаман корреляцийн коэффициент нь ийм үзүүлэлт болдог. Шугаман корреляцийн коэффициентийн томъёоны янз бүрийн өөрчлөлтүүд байдаг. Тэдгээрийн заримыг доор жагсаав.

Таны мэдэж байгаагаар шугаман корреляцийн коэффициент нь дараахь хязгаарт багтдаг: -1 ≤ ≤ 1.

Шугаман функцийг сонгох чанарыг үнэлэхийн тулд квадратыг тооцоолно

Шугаман корреляцийн коэффициент гэж нэрлэдэг тодорхойлох коэффициент.Тодорхойлох коэффициент нь үр дүнтэй шинж чанарын хэлбэлзлийн эзлэх хувийг тодорхойлдог у,Үр дүнгийн шинж чанарын нийт хэлбэлзлээр регрессээр тайлбарлав:

Үүний дагуу 1-ийн утга нь тархалтын хувь хэмжээг тодорхойлдог у,загварт харгалзаагүй бусад хүчин зүйлийн нөлөөллөөс үүдэлтэй.

Өөрийгөө хянах асуултууд

1. Хамгийн бага квадратын аргын мөн чанар?

2. Хэдэн хувьсагч хос регрессийг хангадаг вэ?

3. Өөрчлөлтүүдийн хоорондын холболтын битүүмжлэлийг ямар коэффициент тодорхойлдог вэ?

4. Детерминацын коэффициентийг ямар хязгаарт тодорхойлох вэ?

5. Корреляци-регрессийн шинжилгээнд b параметрийн үнэлгээ?

1. Кристофер Догерти. Эконометрикийн танилцуулга. - М .: INFRA - M, 2001 - 402 х.

2. С.А. Бородич. Эконометрик. Минск ХХК "Шинэ мэдлэг" 2001 он.

3. Р.У. Рахметова Эконометрикийн богино курс. Заавар. Алматы. 2004. -78 он.

4. I.I. Елисеева.Эконометрик. - М.: "Санхүү, статистик", 2002 он

5. Сар тутмын мэдээлэл, аналитик сэтгүүл.

Шугаман бус эдийн засгийн загварууд. Шугаман бус регрессийн загварууд. Хувьсах хөрвүүлэлт.

Шугаман бус эдийн засгийн загварууд..

Хувьсах хөрвүүлэлт.

уян хатан байдлын коэффициент.

Хэрэв эдийн засгийн үзэгдлүүдийн хооронд шугаман бус хамаарал байгаа бол тэдгээрийг холбогдох шугаман бус функцээр илэрхийлнэ: жишээлбэл, тэгш талт гипербол. , хоёрдугаар зэргийн параболууд гэх мэт.

Шугаман бус регрессийн хоёр ангилал байдаг:

1. Шинжилгээнд орсон тайлбарлагч хувьсагчдын хувьд шугаман бус, харин тооцоолсон параметрийн хувьд шугаман регресс, жишээлбэл:

Төрөл бүрийн зэрэгтэй олон гишүүнт - , ;

Адил талт гипербол - ;

Хагас гарифм функц - .

2. Тооцоолсон параметрүүдэд шугаман бус регрессүүд, жишээлбэл:

Эрчим хүч -;

Үзүүлэн харуулах -;

Экспоненциал - .

Үүссэн шинж чанарын бие даасан утгуудын квадрат хазайлтын нийт нийлбэр цагтдундаж утгаас олон хүчин зүйлийн нөлөөгөөр үүсдэг. Бид бүх шалтгааныг нөхцөлт байдлаар хоёр бүлэгт хуваадаг. х хүчин зүйлийг судалсанболон бусад хүчин зүйлүүд.

Хэрэв хүчин зүйл нь үр дүнд нөлөөлөхгүй бол график дээрх регрессийн шугам тэнхлэгтэй параллель байна өөболон

Дараа нь үүссэн шинж чанарын бүх тархалт нь бусад хүчин зүйлийн нөлөөллөөс шалтгаалж, квадрат хазайлтын нийт нийлбэр нь үлдэгдэлтэй давхцах болно. Хэрэв бусад хүчин зүйлүүд үр дүнд нөлөөлөхгүй бол чи тэнцсэн-тай Xфункциональ, квадратуудын үлдэгдэл нийлбэр нь тэг байна. Энэ тохиолдолд регрессийн тайлбарласан квадрат хазайлтын нийлбэр нь нийт квадратуудын нийлбэртэй ижил байна.

Корреляцийн талбайн бүх цэгүүд регрессийн шугам дээр байдаггүй тул тэдгээрийн тархалт нь хүчин зүйлийн нөлөөгөөр үргэлж явагддаг. X, өөрөөр хэлбэл регресс цагтдээр X,болон бусад шалтгаануудын үйлдлээс үүдэлтэй (тайлбаргүй өөрчлөлт). Урьдчилан таамаглахад регрессийн шугамын тохиромжтой байдал нь шинж чанарын нийт өөрчлөлтийн аль хэсэгээс хамаарна. цагттайлбарласан өөрчлөлтийг тооцдог

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв регрессийн улмаас үүссэн квадрат хазайлтын нийлбэр нь квадратуудын үлдэгдэл нийлбэрээс их байвал регрессийн тэгшитгэл нь статистикийн хувьд чухал бөгөөд хүчин зүйл нь Xүр дүнд чухал нөлөө үзүүлдэг. y.

, өөрөөр хэлбэл шинж чанарын бие даасан өөрчлөлтийн эрх чөлөөний тоогоор. Эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо нь популяцийн n нэгжийн тоо ба түүнээс тодорхойлогддог тогтмолуудын тоотой холбоотой. Судалж буй асуудалтай холбоотойгоор эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо нь хэдэн бие даасан хазайлтыг харуулах ёстой П

Регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдлын үнэлгээг бүхэлд нь тусламжтайгаар өгсөн болно Ф- Фишерийн шалгуур. Энэ тохиолдолд регрессийн коэффициент нь тэгтэй тэнцүү гэсэн тэг таамаглал дэвшүүлсэн, өөрөөр хэлбэл. b= 0, улмаар хүчин зүйл Xүр дүнд нөлөөлөхгүй y.

F-шалгуурыг шууд тооцоолохын өмнө дисперсийн шинжилгээ хийдэг. Үүний гол зүйл бол хувьсагчийн квадрат хазайлтын нийт нийлбэрийн өргөтгөл юм цагтдундаж утгаас цагт"тайлбарласан" ба "тайлбаргүй" гэсэн хоёр хэсэгт хуваагдана:

Квадрат хазайлтын нийт нийлбэр;

Регрессээр тайлбарласан хазайлтын квадратуудын нийлбэр;

Квадрат хазайлтын үлдэгдэл нийлбэр.

Аливаа квадрат хазайлтын нийлбэр нь эрх чөлөөний зэрэгтэй холбоотой байдаг , өөрөөр хэлбэл шинж чанарын бие даасан өөрчлөлтийн эрх чөлөөний тоогоор. Эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо нь хүн амын нэгжийн тоотой холбоотой байдаг nмөн үүнээс тодорхойлогдсон тогтмолуудын тоогоор. Судалж буй асуудалтай холбоотойгоор эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо нь хэдэн бие даасан хазайлтыг харуулах ёстой Пболомжтой бол өгөгдсөн квадратуудын нийлбэрийг бүрдүүлэх шаардлагатай.

Эрх чөлөөний зэрэгт хамаарах тархалтД.

F-харьцаа (F-шалгуур):

Хэрэв тэг таамаглал үнэн бол, дараа нь хүчин зүйл болон үлдэгдэл хэлбэлзэл нь бие биенээсээ ялгаатай биш юм. H 0-ийн хувьд хүчин зүйлийн хэлбэлзэл нь үлдэгдэлээс хэд дахин их байхын тулд няцаалт хийх шаардлагатай. Английн статистикч Снедекор чухал утгуудын хүснэгтүүдийг боловсруулсан Ф- тэг таамаглалын ач холбогдлын янз бүрийн түвшний хамаарал ба өөр өөр тооны эрх чөлөөний зэрэг. Хүснэгтийн утга Ф- шалгуур гэдэг нь тэг таамаглал байх магадлалын өгөгдсөн түвшинд санамсаргүй байдлаар ялгарах тохиолдолд гарч болох дисперсийн харьцааны хамгийн их утга юм. Тооцоолсон утга Ф-хэрэв o нь хүснэгтээс их байвал харилцааг найдвартай гэж хүлээн зөвшөөрдөг.

Энэ тохиолдолд шинж чанаруудын хамаарал байхгүй гэсэн таамаглалыг үгүйсгэж, энэ харилцааны ач холбогдлын талаар дүгнэлт гаргана. F баримт > F хүснэгт H 0 татгалзсан.

Хэрэв утга нь хүснэгтээс бага байвал F баримт ‹, F хүснэгт, тэгвэл тэг таамаглалын магадлал нь өгөгдсөн түвшнээс өндөр бөгөөд харилцаа байгаа эсэх талаар буруу дүгнэлт хийх ноцтой эрсдэлгүйгээр үүнийг үгүйсгэх аргагүй юм. Энэ тохиолдолд регрессийн тэгшитгэлийг статистикийн хувьд ач холбогдолгүй гэж үзнэ. N o хазайхгүй.

Регрессийн коэффициентийн стандарт алдаа

Регрессийн коэффициентийн ач холбогдлыг үнэлэхийн тулд түүний утгыг стандарт алдаатай харьцуулж, өөрөөр хэлбэл бодит утгыг тодорхойлно. т-Оюутны тест: дараа нь тодорхой ач холбогдол, эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоогоор хүснэгтийн утгатай харьцуулна ( n- 2).

Параметрийн стандарт алдаа а:

Шугаман корреляцийн коэффициентийн ач холбогдлыг алдааны хэмжээг үндэслэн шалгана корреляцийн коэффициент r:

Онцлогын нийт хэлбэлзэл X:

Олон шугаман регресс

Загварын барилга

Олон регресснь хоёр буюу түүнээс дээш хүчин зүйл бүхий үр дүнтэй шинж чанарын регресс, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн загвар юм

Судалгааны объектод нөлөөлж буй бусад хүчин зүйлийн нөлөөллийг үл тоомсорлож чадвал регресс нь загварчлалд сайн үр дүнг өгч чадна. Эдийн засгийн хувьсагчдын зан төлөвийг хянах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл судалж буй нэг хүчин зүйлийн нөлөөллийг үнэлэх бусад бүх нөхцлийн тэгш байдлыг хангах боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд та бусад хүчин зүйлийн нөлөөллийг загварт оруулах замаар тодорхойлохыг хичээх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл олон регрессийн тэгшитгэлийг бий болгох. y = a+b 1 x 1 +b 2 +…+b p x p + .

Олон тооны регрессийн гол зорилго нь олон тооны хүчин зүйл бүхий загварыг бий болгохын зэрэгцээ тэдгээрийн тус бүрийн нөлөөлөл, түүнчлэн загварчилсан үзүүлэлтэд хуримтлагдсан нөлөөллийг тодорхойлох явдал юм. Загварын тодорхойлолт нь хүчин зүйлийг сонгох, регрессийн тэгшитгэлийн төрлийг сонгох гэсэн хоёр асуултыг агуулна.