Гурван векторын шугаман хамаарлын геометрийн шалгуур. n функцийн шугаман хамаарлын зайлшгүй нөхцөл. Шугаман хамааралтай векторуудын шинж чанарууд

Дараах зүйлд бид ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр гурван хэмжээст орон зай дахь векторуудын тохиолдлыг авч үзэх болно гэдгийг анхаарна уу. Хавтгай дээр векторуудыг авч үзэх нь ижил төстэй байдлаар явагддаг. Дээр дурдсанчлан, алгебрийн векторуудын шугаман алгебрийн курсээс мэдэгдэж буй бүх үр дүнг геометрийн векторуудын тодорхой тохиолдол руу шилжүүлж болно. Ингээд хийцгээе.

Векторуудыг тогтмол болгоё.

Тодорхойлолт.Зарим тоонуудын нийлбэрийг векторуудын шугаман хослол гэнэ. Энэ тохиолдолд эдгээр тоог шугаман хослолын коэффициент гэж нэрлэнэ.

Шугаман хослолыг тэг вектортой тэнцүүлэх боломжийн талаархи асуултыг бид сонирхох болно. Вектор орон зайн шинж чанар, аксиомын дагуу аливаа векторын системийн хувьд өчүүхэн (тэг) коэффициентийн багц байдаг нь тодорхой болж байна.

Өгөгдсөн векторын системийн хувьд өчүүхэн бус олон тооны коэффициент (тэдгээрийн дотор дор хаяж нэг тэгээс ялгаатай коэффициент байдаг) байгаа эсэх талаар асуулт гарч ирж байна. Үүний дагуу бид шугаман хамааралтай ба бие даасан системийг ялгах болно.

Тодорхойлолт.Векторуудын системийг шугаман бие даасан гэж нэрлэдэг ийм багц тоонуудын дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр нэг нь байгаа бөгөөд харгалзах шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү байна.

Тэгш байвал векторуудын системийг шугаман бие даасан гэж нэрлэдэг

Энэ нь зөвхөн өчүүхэн тооны коэффициентийн тохиолдолд л боломжтой:

Шугаман алгебрийн хичээлээр батлагдсан шугаман хамааралтай ба бие даасан системийн үндсэн шинж чанаруудыг жагсаацгаая.

1. Тэг вектор агуулсан аливаа векторын систем нь шугаман хамааралтай.

2. Векторын системд шугаман хамааралтай дэд систем байг. Дараа нь бүхэл систем нь мөн шугаман хамааралтай байна.

3. Хэрэв векторын систем шугаман хамааралгүй бол түүний аль нэг дэд систем нь мөн шугаман бие даасан байна.

4. Хэрэв векторын системд хоёр вектор байгаа бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь тодорхой тоогоор үржүүлээд нөгөөгөөсөө гаргаж авдаг бол систем бүхэлдээ шугаман хамааралтай байна.

Теорем (шугаман хамаарлын шалгуур).Энэ системийн векторуудын аль нэгийг системийн бусад векторуудын шугаман хослолоор дүрсэлж чадвал векторын систем нь шугаман хамааралтай болно.

Хоёр векторын уялдаа холбоотой байх шалгуурыг харгалзан үзэхэд тэдгээрийн шугаман хамаарлын шалгуур нь хоорондоо уялдаа холбоотой байх болно гэж үзэж болно. Орон зайн гурван векторын хувьд дараах мэдэгдэл үнэн байна.

Теорем (гурван геометрийн векторын шугаман хамаарлын шалгуур).Гурван вектор , ба тэдгээр нь хос хавтгайрсан тохиолдолд л шугаман хамааралтай байна.

Баталгаа.

Хэрэгцээтэй.Векторууд нь шугаман хамааралтай байя. Тэдний харьцуулалтыг баталцгаая. Дараа нь алгебрийн векторуудын шугаман хамаарлын ерөнхий шалгуурын дагуу эдгээр векторуудын аль нэгийг бусад векторуудын шугаман хослолоор төлөөлж болно гэж бид баталж байна. Жишээлбэл,

Хэрэв бүх гурван вектор нь нийтлэг гарал үүсэлтэй бол вектор нь болон векторууд дээр баригдсан параллелограммын диагональтай давхцах болно. Гэхдээ энэ нь векторууд , ба нэг хавтгайд хэвтэж байна гэсэн үг юм. хавтгай.

Хангалттай байдал.Векторуудыг харьцуулж үз. Тэдгээр нь шугаман хамааралтай болохыг харуулъя. Юуны өмнө заасан векторуудын аль нэг хос нь коллинеар байх тохиолдлыг авч үзье. Энэ тохиолдолд өмнөх теоремын дагуу векторуудын систем , , шугаман хамааралтай дэд системийг агуулдаг тул шугаман хамааралтай ба бие даасан векторын системийн 2-р шинж чанарын дагуу өөрөө шугаман хамааралтай байна. Одоо авч үзэж буй ямар ч хос векторууд коллинеар байх ёсгүй. Бид бүх гурван векторыг нэг хавтгайд шилжүүлж, нийтлэг гарал үүслийг авчирдаг. Векторууд болон векторуудтай параллель вектор шулуунуудын төгсгөлийг зур. Үсгээр векторын орших шулуунтай вектортой параллель шулууны огтлолцох цэгийг, векторын орших шулуунтай параллель шулууны огтлолцох цэгийг үсгээр тэмдэглэе. Векторуудын нийлбэрийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг авна.

.

Вектор нь тэгээс өөр вектортой коллинеар тул ийм бодит тоо бий

Үүнтэй төстэй бодол нь бодит тоо байгаа гэсэн үг юм

Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг авах болно.

Дараа нь алгебрийн векторуудын шугаман хамаарлын ерөнхий шалгуураас , , векторууд шугаман хамааралтай болохыг олж авна. ■

Теорем (дөрвөн векторын шугаман хамаарал).Аливаа дөрвөн вектор нь шугаман хамааралтай байна.

Баталгаа. Юуны өмнө заасан дөрвөн векторын аль нэг гурвалсан хувь нь хосолсон тохиолдлыг авч үзье. Энэ тохиолдолд энэ гурвалсан нь өмнөх теоремын дагуу шугаман хамааралтай байна. Тиймээс 2 шугаман хамааралтай ба бие даасан векторын системийн шинж чанарын дагуу дөрвөлжин нь бүхэлдээ шугаман хамааралтай байна.

Одоо авч үзэж буй векторуудын дотроос нэг ч гурвалсан векторууд компланар байх ёсгүй. Дөрвөн , , , векторыг бүгдийг нэг нийтлэг эхлэлд авчирч, векторын төгсгөлд хос вектороор тодорхойлогдсон хавтгайтай параллель хавтгайг зуръя; , ; , . Заасан хавтгайн , ба векторууд байрлах шугамтай огтлолцох цэгүүдийг , болон үсгээр тэмдэглэнэ. Энэ нь векторуудын нийлбэрийн тодорхойлолтоос харагдаж байна

Энэ нь алгебрийн векторуудын шугаман хамаарлын ерөнхий шалгуурыг харгалзан үзэхэд дөрвөн вектор бүгд шугаман хамааралтай гэж хэлдэг. ■

Def.Элементүүдийн систем x 1 ,…,x m lin. λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ байхаар ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ м | ≠ 0) байвал V үйлдвэрлэлийг шугаман хамааралтай гэж нэрлэдэг.

Def. x 1 ,…,x m ∈ V элементүүдийн системийг λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0 тэгшитгэлээс авсан бол шугаман бие даасан систем гэнэ.

Def. x ∈ V элементийг x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m байхаар ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ бол x 1 ,…,x m ∈ V элементүүдийн шугаман хослол гэнэ.

Теорем (шугаман хамаарлын шалгуур): x 1 ,…,x m ∈ V векторуудын систем нь системийн ядаж нэг векторыг бусадтай нь шугаман байдлаар илэрхийлсэн тохиолдолд л шугаман хамааралтай болно.

Док. Хэрэгтэй: x 1 ,…,x m нь шугаман хамааралтай ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) байхаар λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m байна. -1 + λ м x м = θ. λ m ≠ 0 гэж бодъё

x м \u003d (-) x 1 + ... + (-) x м -1.

Хангалттай байдал: Векторуудын ядаж нэгийг нь бусад векторуудын хувьд шугаман байдлаар илэрхийлье: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1 ,…,x m - шугаман хамааралгүй.

Вен. шугаман хамаарлын нөхцөл:

Хэрэв системд тэг элемент эсвэл шугаман хамааралтай дэд систем байвал шугаман хамааралтай байна.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – шугаман хамааралтай систем

1) x 1 = θ гэж үзье, тэгвэл λ 1 =1 ба λ 1 =…= λ m =0 үед энэ тэгшитгэл хүчинтэй байна.

2) λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 нь шугаман хамааралтай дэд систем байг ⟹|λ 1 |+…+| λ м | ≠ 0. Дараа нь λ 1 =0-ийн хувьд бид мөн |λ 1 |+…+|-г авна λ м | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 нь шугаман хамааралтай систем юм.

Шугаман орон зайн үндэс. Өгөгдсөн суурь дээрх вектор координатууд. Векторуудын нийлбэр ба векторын үржвэрийн координатууд. Векторын системийн шугаман хамаарлын зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл.

Тодорхойлолт: V шугаман огторгуйн e 1, ..., e n элементүүдийн дараалсан системийг энэ орон зайн суурь гэнэ, хэрэв:

A) e 1 ... e n нь шугаман хамааралгүй

B) ∀ x ∈ α 1 … α n нь x= ​​α 1 e 1 +…+ α n e n байхаар байна.

x= α 1 e 1 +…+ α n e n – e 1, …, e n суурь дахь х элементийн тэлэлт.

α 1 … α n ∈ ℝ нь e 1, …, e n суурийн х элементийн координатууд юм.

Теорем: Хэрэв шугаман V орон зайд e 1, …, e n суурь өгөгдсөн бол e 1, …, e n суурийн ∀ x ∈ V координатын х багана өвөрмөц тодорхойлогдоно (координатууд онцгой тодорхойлогддог)

Нотолгоо: x=α 1 e 1 +…+ α n e n ба x=β 1 e 1 +…+β n e n байг.

x= ⇔ = Θ, өөрөөр хэлбэл e 1, …, e n нь шугаман хамааралгүй, тэгвэл - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.

Теорем: e 1, …, e n нь шугаман V огторгуйн суурь байг; x, y нь V орон зайн дурын элементүүд, λ ∈ ℝ нь дурын тоо. Х ба у-г нэмэхэд тэдгээрийн координатууд, х-г λ-ээр үржүүлэхэд х-ийн координатууд мөн λ-ээр үрждэг.

Нотолгоо: x= (e 1, …, e n) ба y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

λx= λ ) = (e 1, …, e n)

Лемма1: (векторын системийн шугаман хамаарлын зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл)

e 1 …e n-ийг V орон зайн суурь гэж үзье. f 1 , …, f k ∈ V элементүүдийн систем нь зөвхөн e 1, …, e n суурийн эдгээр элементийн координатын баганууд нь шугаман хамааралтай байна. шугаман хамааралтай

Нотолгоо: f 1 , …, f k-г e 1, …, e n үндсэн дээр тэлэх

f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] өөрөөр хэлбэл λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = шаардлагатай.

13. Шугаман орон зайн хэмжээс. Хэмжээ ба суурийн хоорондын хамаарлын тухай теорем.
Тодорхойлолт: V-д шугаман бие даасан n элемент байгаа бол V огторгуйн дурын n + 1 элементийн систем шугаман хамааралтай байвал шугаман V орон зайг n хэмжээст орон зай гэнэ. Энэ тохиолдолд n-ийг V шугаман орон зайн хэмжээс гэж нэрлээд dimV=n гэж тэмдэглэнэ.

∀N ∈ ℕ V зайд N элемент агуулсан шугаман бие даасан систем байгаа бол шугаман орон зайг хязгааргүй хэмжээст гэж нэрлэдэг.

Теорем: 1) Хэрэв V нь n хэмжээст шугаман орон зай бол энэ орон зайн шугаман бие даасан n элементээс бүрдэх аливаа эрэмбэлэгдсэн систем суурь болдог. 2) Хэрэв шугаман V орон зайд n элементээс тогтсон суурь байвал V-ийн хэмжээ n (dimV=n)-тэй тэнцүү байна.

Нотолгоо: 1) V ∃ n шугаман бие даасан элемент e 1, …,e n-д dimV=n ⇒ байг. Эдгээр элементүүд нь суурь болж байгааг бид нотолж, өөрөөр хэлбэл ∀ x ∈ V-ийг e 1, …,e n-ээр томруулж болохыг баталж байна. Тэдэнд x-г нэмье: e 1, …,e n , x – энэ систем нь n+1 векторуудыг агуулж байгаа нь шугаман хамааралтай гэсэн үг. e 1, …,e n нь шугаман хамааралгүй тул теорем 2-оор x e 1, …,e n i.e-ээр шугаман байдлаар илэрхийлэгдэнэ. ∃ ,…, x= α 1 e 1 +…+ α n e n байхаар. Тэгэхээр e 1, …,e n нь V орон зайн суурь болно. 2) e 1, …,e n нь V-ийн суурь байх тул V ∃ n-д шугаман бие даасан n элемент байна. Дурын f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 элементүүдийг ав. Тэдний шугаман хамаарлыг харуулъя. Тэдгээрийг дараах байдлаар хувааж үзье.

f m =(e 1, …,e n) = энд m = 1,…,n Координатын баганаас бүрдсэн матриц үүсгэе: A= Матрицад n мөр ⇒ RgA≤n байна. Баганын тоо n+1 > n ≥ RgA ⇒ А матрицын багана (өөрөөр хэлбэл f 1 ,…,f n ,f n +1 координатын багана) шугаман хамааралтай. Лемма 1-ээс ⇒ ,…,f n ,f n +1 нь шугаман хамааралтай ⇒ dimV=n.

Үр дагавар:Хэрэв ямар нэгэн суурь нь n элемент агуулж байвал энэ зайны бусад суурь нь n элементийг агуулна.

Теорем 2: Хэрэв x 1 ,… ,x m -1 , x m векторуудын систем нь шугаман хамааралтай, түүний дэд систем x 1 ,… ,x m -1 нь шугаман хамааралгүй бол x m - нь x 1 ,… ,x m -1-ээр шугаман байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

Нотолгоо: Учир нь x 1 ,… ,x m -1 , x m нь шугаман хамааралтай, тэгвэл ∃ , …, , ,

, …, | , | ийм . Хэрэв , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 нь шугаман хамааралгүй бөгөөд байж болохгүй. Тэгэхээр m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.

Дараахь нь векторын системийн шугаман хамаарал ба үүний дагуу шугаман бие даасан байдлын хэд хэдэн шалгуурыг өгдөг.

Теорем. (Векторуудын шугаман хамаарлын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл.)

Системийн векторуудын аль нэг нь энэ системийн бусад векторуудаар шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн тохиолдолд л векторуудын систем хамааралтай болно.

Баталгаа. Хэрэгцээтэй. Систем нь шугаман хамааралтай байг. Дараа нь, тодорхойлолтоор энэ нь хоосон векторыг өчүүхэн бус байдлаар илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл. тэг вектортой тэнцэх энэ векторын системийн өчүүхэн бус хослол байдаг:

Энэ шугаман хослолын коэффициентүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байвал. Let, .

Өмнөх тэгш байдлын хоёр хэсгийг энэ тэг биш коэффициентээр хуваана (өөрөөр хэлбэл:

Тэмдэглэх: , хаана .

тэдгээр. системийн векторуудын нэг нь энэ системийн бусад векторуудын хувьд шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгддэг гэх мэт.

Хангалттай байдал. Системийн аль нэг векторыг энэ системийн бусад векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлнэ.

Энэ тэгш байдлын баруун талд векторыг шилжүүлье:

Векторын коэффициент нь , тэгвэл бид тэгийг векторын системээр өчүүхэн бус илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь векторын систем нь шугаман хамааралтай гэх мэт гэсэн үг юм.

Теорем нь батлагдсан.

Үр дагавар.

1. Вектор орон зай дахь векторуудын систем нь тухайн системийн векторуудын аль нь ч энэ системийн бусад векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлэгдээгүй тохиолдолд л шугаман бие даасан байна.

2. Тэг вектор буюу хоёр тэнцүү вектор агуулсан векторуудын систем нь шугаман хамааралтай.

Баталгаа.

1) Шаардлагатай байдал. Систем нь шугаман бие даасан байг. Эсрэгээр нь тооцвол энэ системийн бусад векторуудаар шугаман илэрхийлэгдэх системийн вектор байна. Дараа нь теоремоор систем нь шугаман хамааралтай бөгөөд бид зөрчилдөөнд хүрнэ.

Хангалттай байдал. Системийн векторуудын аль нь ч бусдаар илэрхийлэгдэж болохгүй. Үүний эсрэгээр гэж бодъё. Систем нь шугаман хамааралтай байг, гэхдээ дараа нь теоремоос харахад энэ системийн бусад векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлэгдсэн системийн вектор байгаа бөгөөд бид дахин зөрчилддөг.

2a) Системд тэг вектор агуулна. Тодорхойлолтыг вектор : гэж үзье. Дараа нь тэгш байдал

тэдгээр. системийн векторуудын нэг нь энэ системийн бусад векторуудаар шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. Теоремоос үзэхэд ийм векторын систем нь шугаман хамааралтай гэх мэт.

Энэ баримтыг векторуудын шугаман хамааралтай системээс шууд баталж болно гэдгийг анхаарна уу.

-ээс хойш дараах тэгш байдал тодорхой байна

Энэ нь тэг векторын өчүүхэн бус дүрслэл бөгөөд энэ нь систем нь шугаман хамааралтай гэсэн үг юм.

2b) Системийг хоёр тэнцүү вектортой болго. . Дараа нь тэгш байдал

Тэдгээр. эхний вектор нь ижил системийн бусад векторуудаар шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. Өгөгдсөн систем нь шугаман хамааралтай гэх мэтээр теоремоос гарч байна.

Өмнөхтэй адилаар энэ баталгааг шугаман хамааралтай системийн тодорхойлолтоос шууд баталж болно.

Хоёрын шугаман хамаарлын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл

векторууд нь тэдгээрийн уялдаа холбоо юм.

2. Скаляр бүтээгдэхүүн- үр дүн нь координатын системээс хамаардаггүй скаляр (тоо) бөгөөд үржүүлэгч векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тодорхойлдог хоёр вектор дээрх үйлдэл. Энэ үйлдэл нь үржүүлэхтэй тохирч байна уртөгөгдсөн х вектор дээр проекцӨгөгдсөн х вектор руу өөр y вектор. Энэ үйлдлийг ихэвчлэн хүчин зүйл тус бүрээр солих ба шугаман гэж үздэг.

Цэг бүтээгдэхүүний шинж чанар:

3. Гурван вектор (эсвэл түүнээс дээш) гэж нэрлэдэг хавтгайхэрэв тэд нийтлэг гарал үүсэлтэй болвол нэг хавтгайд хэвтэж байна.

Гурван векторын шугаман хамаарлын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл нь тэдгээрийн харилцан хамаарал юм.Аливаа дөрвөн вектор шугаман хамааралтай байна. орон зай дахь суурь Хавсарсан бус векторуудын аль нэг эрэмбэлэгдсэн гурвалсан гэж нэрлэдэг. Орон зайн суурь нь вектор бүртэй дараалсан гурвалсан тоог өвөрмөц байдлаар холбох боломжийг олгодог - суурийн векторуудын шугаман хослол дахь энэ векторын дүрслэлийн коэффициентүүд. Эсрэгээр нь суурийн тусламжтайгаар шугаман хослол хийвэл дараалсан гурвалсан тоо бүртэй векторыг холбоно.Ортогональ суурь гэнэ. ортонормаль , хэрэв түүний векторууд нь нэг урттай тэнцүү бол. Орон зай дахь ортонормаль үндэслэлийн хувьд тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг. Теорем:Ортонормаль суурь дээр векторуудын координатууд нь энэ векторын координатын векторуудын чиглэлд харгалзах ортогональ проекцууд юм. Хавсарсан бус векторуудын гурвалсан тоо a, b, cдуудсан зөв, хэрэв тэдгээрийн нийтлэг гарал үүслийн ажиглагч векторуудын төгсгөлийг тойрч байвал a, b, cэнэ дарааллаар цагийн зүүний дагуу явж байх шиг байна. Үгүй бол a, b, c - зүүн гурав дахин. Бүх баруун (эсвэл зүүн) гурвалсан векторууд гэж нэрлэгддэг адилхан чиглэсэн.Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем нь харилцан перпендикуляр хоёр координатын тэнхлэгээр үүсгэгддэг. ҮХЭРболон Өө. Координатын тэнхлэгүүд нэг цэг дээр огтлолцдог О, гарал үүсэл гэж нэрлэгддэг тэнхлэг бүр эерэг чиглэлтэй байдаг. AT баруун гаркоординатын системд тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлийг тэнхлэгийн чиглэлтэй байхаар сонгоно Өөдээш, тэнхлэг ҮХЭРбаруун тийш харав.

Координатын тэнхлэгүүдээс үүссэн дөрвөн өнцөг (I, II, III, IV). X"Xболон Ю"Ю, координатын өнцөг эсвэл гэж нэрлэдэг квадратууд(1-р зургийг үз).

Хэрэв векторууд болон хавтгай дээрх ортонормаль суурьтай харьцуулахад координатууд байгаа бол эдгээр векторуудын скаляр үржвэрийг томъёогоор тооцоолно.

4. a ба b хоёр векторын вектор үржвэрнь зөвхөн гурван хэмжээст орон зайд тодорхойлогддог тэдгээрт хийсэн үйлдэл бөгөөд үр дүн нь юм вектордараахтай хамт

шинж чанарууд:

Векторуудын хөндлөн үржвэрийн геометрийн утга нь векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбай юм. Тэг биш вектор ба векторын коллинеар байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл бол тэгш байдлыг хангасан тоо байх явдал юм.

Хэрэв хоёр вектор нь тэгш өнцөгт декарт координатаар тодорхойлогдвол, эсвэл илүү нарийвчлалтай бол тэдгээрийг эргэлтийн нормчлолоор илэрхийлнэ.

ба координатын систем зөв байвал тэдгээрийн вектор үржвэр нь хэлбэртэй байна

Энэ томьёог санахын тулд тодорхойлогчийг ашиглахад тохиромжтой.

5. Холимог бүтээгдэхүүнвекторууд - векторын скаляр үржвэр ба векторуудын хөндлөн үржвэр ба:

Заримдаа үүнийг дууддаг гурвалсан скаляр бүтээгдэхүүнвекторууд нь үр дүн нь скаляр (илүү нарийвчлалтай, псевдоскаляр) байдагтай холбоотой бололтой.

Геометрийн мэдрэмж:Холимог бүтээгдэхүүний модуль нь векторуудын үүсгэсэн параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тоогоор тэнцүү байна.

Хоёр хүчин зүйл солигдох үед холимог бүтээгдэхүүн тэмдэг нь эсрэгээрээ өөрчлөгддөг.

Хүчин зүйлийн мөчлөгийн (тойрог) солигдох үед холимог бүтээгдэхүүн өөрчлөгдөхгүй.

Холимог бүтээгдэхүүн нь ямар ч хүчин зүйлээр шугаман байна.

Зөвхөн векторууд хоорондоо уялдаатай байвал холимог бүтээгдэхүүн тэг болно.

1. Векторуудын харьцуулах нөхцөл: Гурван вектор нь зөвхөн холимог үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд ижил төстэй байна.

§ Коллинеар векторуудыг агуулсан гурвалсан векторууд нь копланар байна.

§ Копланар векторуудын холимог үржвэр. Энэ нь гурван векторын давхцах шалгуур юм.

§ Хавсарсан векторууд нь шугаман хамааралтай. Энэ нь мөн адил тэгш байдлын шалгуур юм.

§ coplanar-ын хувьд эсвэл -ээс бусад бодит тоонууд байдаг. Энэ нь өмнөх өмчийн шинэчилсэн найруулга бөгөөд мөн ижил төстэй байдлын шалгуур юм.

§ 3 хэмжээст орон зайд 3 давхцаагүй вектор суурь болдог. Өөрөөр хэлбэл, дурын векторыг дараах байдлаар илэрхийлж болно. Дараа нь өгөгдсөн үндсэн дээр координатууд байх болно.

Баруун декартын координатын систем дэх холимог бүтээгдэхүүн (ортонормаль суурьт) нь дараах векторуудаас бүрдэх матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байна.

§6. Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл (бүрэн).

хаана ба нь тогтмол, үүнээс гадна, нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш; вектор хэлбэрээр:

цэгийн радиус вектор хаана байна , вектор хавтгайд перпендикуляр байна (хэвийн вектор). Чиглэлийн косинусуудвектор:

Хавтгай тэгшитгэлийн нэг коэффициент нь тэг байвал тэгшитгэлийг дуудна бүрэн бус. Онгоц координатын эхийг дайран өнгөрөхөд (эсвэл , ) P. тэнхлэгтэй параллель байх үед (тус тус эсвэл ). ( , эсвэл ) хувьд хавтгай нь хавтгайтай параллель байна (эсвэл , тус тус).

§ Сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл:

Энд , , тэнхлэг дээрх хавтгайгаар таслагдсан хэрчмүүд ба .

§ Цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл хэвийн вектортой перпендикуляр :

вектор хэлбэрээр:

(векторуудын холимог бүтээгдэхүүн), өөрөөр

§ Хэвийн (нормчилсан) хавтгай тэгшитгэл

§ Хоёр онгоцны хоорондох өнцөг.Хэрэв P. тэгшитгэлийг (1) хэлбэрээр өгвөл

Хэрэв вектор хэлбэрээр байвал

§ Онгоцнууд зэрэгцээ байна, хэрэв

Эсвэл (Вектор бүтээгдэхүүн)

§ Хавтгайнууд перпендикуляр байна, хэрэв

Эсвэл . (Скаляр бүтээгдэхүүн)

7. Өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл , нэг мөрөнд хэвтэхгүй:

8. Цэгээс хавтгай хүртэлх зай нь энэ цэг ба хавтгайн цэгүүдийн хоорондох зайн хамгийн бага нь юм. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай нь энэ цэгээс хавтгайд унасан перпендикулярын урттай тэнцүү гэдгийг мэддэг.

§ Цэгийн хазайлтнормчлогдсон тэгшитгэлээр өгөгдсөн хавтгайгаас

Хэрэв ба гарал үүсэл нь хавтгайн эсрэг талд байгаа бол өөрөөр хэлбэл . Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай

§ Тэгшитгэлээр өгөгдсөн цэгээс хавтгай хүртэлх зайг дараах томъёогоор тооцоолно.

9. Онгоцны багц- хоёр хавтгайн огтлолцох шугамыг дайран өнгөрөх дурын P.-ийн тэгшитгэл

Энд α ба β нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш дурын тоонууд юм.

Тэдгээрийн ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон гурван хавтгайн хувьд A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, A 3 x+B PDSC-ийн хувьд 3 y+C 3 z+D 3 =0 нь зөв эсвэл буруу нэг цацрагт хамаарах байсан ч матрицын зэрэглэл нь хоёр эсвэл нэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.
Теорем 2. PDSC-д хамаарах π 1 ба π 2 гэсэн хоёр хавтгайг ерөнхий тэгшитгэлээр нь өгье: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z. +D 2 = 0. A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 ерөнхий тэгшитгэлээр PDSC-тэй харьцуулахад өгөгдсөн π 3 хавтгай нь π 1 ба π 2 хавтгайн үүсгэсэн цацрагт хамаарахын тулд энэ нь π 3 хавтгайн тэгшитгэлийн зүүн тал нь π 1 ба π 2 хавтгайн тэгшитгэлийн зүүн хэсгүүдийн шугаман хослолоор дүрслэгдсэн байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.

10.Шулуун шугамын вектор параметрийн тэгшитгэлсансарт:

зарим тогтмол цэгийн радиус вектор хаана байна МШулуун дээр хэвтэж буй 0 нь энэ шулуунтай коллинеар тэгээс ялгаатай вектор бөгөөд шулуун дээрх дурын цэгийн радиус вектор юм.

Шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлсансарт:

М

Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлсансарт:

зарим нэг тогтмол цэгийн координат хаана байна М 0 шулуун шугам дээр хэвтэх; - энэ шулуунтай коллинеар векторын координатууд.

Шулуун шугамын ерөнхий вектор тэгшитгэлсансарт:

Шугам нь ерөнхий тэгшитгэлээр тус тус өгөгдсөн хоёр өөр зэрэгцээ бус хавтгайн огтлолцол юм.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэлийг эдгээр тэгшитгэлийн системээр өгч болно.

Ба чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг нь шугамын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Скаляр үржвэрийг ашиглан векторуудын хоорондох өнцгийг олно. cosA=(ab)/IaI*IbI

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор олно.

Энд (A; B; C;) нь хавтгайн хэвийн векторын координатууд юм
(l;m;n;) шулуун шугамын чиглүүлэх вектор координат

Хоёр шугамын зэрэгцээ байх нөхцөл:

a) Хэрэв шулуунуудыг налуутай тэгшитгэлээр (4) өгсөн бол тэдгээрийн зэрэгцээ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь налуугийн тэгш байдал юм.

к 1 = к 2 . (8)

б) Шулууныг ерөнхий хэлбэрээр (6) тэгшитгэлээр өгөгдсөн тохиолдолд тэдгээрийн зэрэгцээ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь тэдгээрийн тэгшитгэл дэх одоогийн координат дахь коэффициентүүд нь пропорциональ байх явдал юм.

Хоёр шугамын перпендикуляр байх нөхцөл:

а) Шулууныг налуутай тэгшитгэлээр (4) өгсөн тохиолдолд тэдгээрийн перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь тэдгээрийн налуу нь харилцан хэмжигдэхүүн, тэмдгээр эсрэг тэсрэг байх явдал юм.

б) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр (6) өгсөн бол тэдгээрийн перпендикуляр байх нөхцөл (шаардлагатай ба хангалттай) нь тэгш байдлыг хангах явдал юм.

А 1 А 2 + Б 1 Б 2 = 0. (12)

Шугам нь тухайн хавтгайн аль ч шулуунд перпендикуляр байвал түүнийг перпендикуляр гэнэ. Хэрэв шулуун нь хавтгайн огтлолцсон хоёр шулуун тус бүрд перпендикуляр байвал энэ хавтгайд перпендикуляр байна. Шугаман ба хавтгай параллель байхын тулд хавтгайн хэвийн вектор ба шулууны чиглүүлэх вектор перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Үүний тулд тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай.

Шугаман ба хавтгай перпендикуляр байхын тулд хавтгайн хэвийн вектор ба шулууны чиглүүлэх вектор нь коллинеар байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Эдгээр векторуудын хөндлөн үржвэр тэгтэй тэнцүү байвал энэ нөхцөл хангагдана.

12. Орон зайд параметрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн цэгээс шулуун шугам хүртэлх зай

өгөгдсөн цэгээс шулуун шугамын дурын цэг хүртэлх хамгийн бага зайгаар олж болно. Коэффицент тЭнэ цэгийг томъёогоор олж болно

огтлолцох шугам хоорондын зайнь тэдгээрийн нийтлэг перпендикулярын урт юм. Энэ нь эдгээр шугамыг дайран өнгөрөх параллель хавтгайн хоорондын зайтай тэнцүү байна.

n функцийн шугаман хамаарлын зайлшгүй нөхцөл.

, функцууд (n-1) хязгаарын деривативтай байг.

Тодорхойлогчийг авч үзье: (1)

W(x)-ийг ихэвчлэн функцүүдийн Вронский тодорхойлогч гэж нэрлэдэг.

Теорем 1.Хэрэв функцүүд (a,b) интервалд шугаман хамааралтай бол тэдгээрийн Вронскийн W(x) нь энэ интервалд тэгтэй ижил тэнцүү байна.

Баталгаа.Теоремын нөхцлөөр хамаарал

, (2) энд бүгд тэгтэй тэнцүү биш байна. Let . Дараа нь

(3). Энэ таних тэмдгийг n-1 дахин ялгаж,

олж авсан утгынхаа оронд Вронскийн тодорхойлогчоор орлуулах;

бид авах:

Вронскийн тодорхойлогчийн хувьд сүүлчийн багана нь өмнөх n-1 баганын шугаман хослол тул (a,b) интервалын бүх цэгүүдэд тэгтэй тэнцүү байна.

Теорем 2.Хэрэв y 1 ,..., y n функцууд нь L[y] = 0 тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдүүд бөгөөд бүх коэффициентүүд нь (a,b) интервалд үргэлжилдэг бол эдгээр шийдүүдийн Вронскиан нь бүх үед тэгээс өөр байна. цэгийн интервал (a, b).

Баталгаа.Үүний эсрэгээр гэж бодъё. W(X 0)=0 байх X 0 байна. Бид n тэгшитгэлийн системийг зохиодог

Мэдээжийн хэрэг (5) систем нь тэгээс өөр шийдэлтэй байна. (6) үзье.

y 1 ,..., y n шийдлүүдийн шугаман хослолыг зохиоё.

Y(x) нь L[y] = 0 тэгшитгэлийн шийдэл юм. Үүнээс гадна . Өвөрмөц байдлын теоремын дагуу L[y] = 0 тэгшитгэлийн тэг анхны нөхцөлтэй шийдэл нь зөвхөн тэг байх ёстой, ᴛ.ᴇ. .

Бид ижил төстэй байдлыг олж авдаг, энд бүгд тэгтэй тэнцүү биш, энэ нь y 1 ,..., y n нь шугаман хамааралтай гэсэн үг бөгөөд энэ нь теоремын нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. Тиймээс W(X 0)=0 байх тийм цэг байхгүй.

Теорем 1 ба теорем 2 дээр үндэслэн бид дараах баталгааг томъёолж болно. L[y] = 0 тэгшитгэлийн n шийдэл (a,b) интервалд шугаман хамааралгүй байхын тулд тэдгээрийн Вронскиан нь энэ интервалын аль ч цэгт алга болохгүй байх нь маш чухал бөгөөд хангалттай юм.

Батлагдсан теоремуудаас Вронскийн дараах тодорхой шинж чанарууд бас гарч ирдэг.

1. L[y] = 0 тэгшитгэлийн n шийдлийн Вронскиан нь бүх p i (x) коэффициентүүд үргэлжилсэн (a,b) интервалаас x = x 0 нэг цэгт тэгтэй тэнцүү бол энэ нь тэг болно. энэ интервалын бүх хуучин цэгүүдэд тэгтэй тэнцүү байна.
2. L[y] = 0 тэгшитгэлийн n шийдлийн Вронскиан (a,b) интервалаас нэг x = x 0 цэгт тэгээс өөр байвал энэ интервалын бүх цэгүүдэд тэгээс өөр байна.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, тэгшитгэлийн n бие даасан шийдлийн шугаман байдлын хувьд p i (x) тэгшитгэлийн коэффициентүүд тасралтгүй байх (a,b) интервал дахь L[y] = 0 тэгшитгэлийн коэффициентүүд тасралтгүй байх нь туйлын чухал бөгөөд хангалттай юм. Энэ интервалын нэг цэгт ч Wronskian тэгээс ялгаатай байна.

n функцийн шугаман хамаарлын зайлшгүй нөхцөл. - үзэл баримтлал ба төрөл. "n функцийн шугаман хамаарлын зайлшгүй нөхцөл" ангиллын ангилал ба онцлог. 2017, 2018 он.

-

Усан онгоцыг зөөвөрлөх төхөөрөмж (Ачаа зөөвөрлөх хэрэгсэл) Лекц No6 Сэдэв: Ачааны хэрэгсэл (Cargo gear) 6.1. Усан онгоцыг зөөвөрлөх төхөөрөмж (Ачаа зөөвөрлөх хэрэгсэл). 6.2. Ачааны кран. 6.3. Налуу зам. Хэт ачаалал гэдэг нь барааг тээврийн хэрэгсэл рүү зөөх буюу тээвэрлэх явдал юм. Олон....

- Ачааны кран

Сертификат Ажил үүргийн хуваалт Хяналт шалгалт, баталгаажуулалт, хариуцлагыг дараах байдлаар хуваана: &... .

-Чи түүнийг таних уу? Ло коносо?

Тэнд - allá Энд - aqui Кафед - en el cafe Ажил дээрээ - en el trabajo Далайд - en el mar 1. Та кафе хаана байдгийг мэдэх үү? 2. Та Саша хаана байгааг мэдэх үү? 3. Номын сан хаана байдгийг та мэдэх үү? 4. Оля одоо хаана байгааг та мэдэх үү? 5. Наташа одоо хаана байгааг та мэдэх үү? Өдрийн мэнд! Би....

- Змин ба Xmin-ийг огтлохгүй байх нөхцлөөс тодорхойлох

Зураг 5.9. Дугуйны шүдийг огтлох тухай. Дугуй дээрх тавиураар таслагдах шүдний тоотой тавиурын зүсэлтийн коэффициент x хэрхэн хамааралтай болохыг авч үзье. Төмөр замыг 1-р байрлалд суулгасан байг (Зураг 5.9.). Энэ тохиолдолд тавиурын шулуун толгой нь N-N холболтын шугамыг гатлана, үүнд ...