Хамгийн бага квадратын аргыг хаана хэрэглэдэг вэ? Excel дэх хамгийн бага квадратуудын арга. Регрессийн шинжилгээ Хамгийн бага квадратын регресс

Регрессийн функцийн төрлийг сонгох, i.e. Y-ийн X-ээс (эсвэл X-ээс Y-ээс) хамаарлын авч үзсэн загварын төрөл, жишээлбэл, шугаман загвар y x = a + bx, загварын коэффициентүүдийн тодорхой утгыг тодорхойлох шаардлагатай.

a ба b-ийн өөр өөр утгуудын хувьд y x =a+bx хэлбэрийн хязгааргүй тооны хамаарлыг бий болгох боломжтой, өөрөөр хэлбэл координатын хавтгайд хязгааргүй тооны шугамууд байдаг, гэхдээ бидэнд ийм хамаарал хэрэгтэй. ажиглагдсан утгуудтай хамгийн сайн тохирч байна. Тиймээс асуудал хамгийн сайн коэффициентийг сонгох хүртэл буурдаг.

Бид зөвхөн тодорхой тооны ажиглалт дээр тулгуурлан a + bx шугаман функцийг хайж байна. Ажиглагдсан утгуудад хамгийн сайн тохирох функцийг олохын тулд бид хамгийн бага квадратын аргыг ашигладаг.

Тэмдэглэ: Y i - Y i =a+bx i тэгшитгэлээр тооцсон утга. y i - хэмжсэн утга, ε i =y i -Y i - хэмжсэн болон тооцоолсон утгын зөрүү, ε i =y i -a-bx i .

Хамгийн бага квадратын арга нь ε i, хэмжсэн y i ба тэгшитгэлээс тооцоолсон Y i утгуудын хоорондох ялгаа хамгийн бага байхыг шаарддаг. Тиймээс бид a ба b коэффициентүүдийг олдог бөгөөд ингэснээр шулуун регрессийн шугам дээрх утгуудаас ажиглагдсан утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэр хамгийн бага байх болно.

Аргументуудын энэ функцийг судалж, экстремумын деривативын тусламжтайгаар a ба b коэффициентүүд нь системийн шийдэл бол функц хамгийн бага утгыг авна гэдгийг баталж чадна.

(2)

Хэрэв бид хэвийн тэгшитгэлийн хоёр талыг n-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

Үүнийг харгалзан үзвэл (3)

Авах , эндээс эхний тэгшитгэл дэх a-ийн утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ тохиолдолд b-г регрессийн коэффициент гэж нэрлэдэг; a-г регрессийн тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах томъёогоор тооцоолно.

Үүссэн шулуун шугам нь онолын регрессийн шугамын тооцоолол юм. Бидэнд байгаа:

Тэгэхээр, нь шугаман регрессийн тэгшитгэл юм.

Регресс нь шууд (b>0) ба урвуу байж болно (b Жишээ 1. X ба Y утгыг хэмжсэн үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв.

X ба Ү y=a+bx хооронд шугаман хамаарал байна гэж үзвэл а ба b коэффициентийг хамгийн бага квадратын аргаар тодорхойлно.

Шийдэл. Энд n=5 байна
x i =-2+0+1+2+4=5;
x i 2 =4+0+1+4+16=25
x i y i =-2 0.5+0 1+1 1.5+2 2+4 3=16.5
y i =0.5+1+1.5+2+3=8

ба хэвийн систем (2) хэлбэртэй байна

Энэ системийг шийдэхэд бид: b=0.425, a=1.175 болно. Тиймээс y=1.175+0.425x.

Жишээ 2. Эдийн засгийн үзүүлэлтүүдийн (Х) ба (Ү) 10 ажиглалтын түүвэр байна.

X дээр Y регрессийн түүврийн тэгшитгэлийг олох шаардлагатай. X дээр Y регрессийн түүврийн шугамыг байгуул.

Шийдэл. 1. Өгөгдлийг x i ба y i утгуудаар эрэмбэлье. Бид шинэ хүснэгт авах болно:

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бид шаардлагатай тоон утгыг оруулах тооцооллын хүснэгтийг эмхэтгэх болно.

(4) томъёоны дагуу бид регрессийн коэффициентийг тооцоолно

ба томъёогоор (5)

Тиймээс түүврийн регрессийн тэгшитгэл нь y=-59.34+1.3804x шиг харагдаж байна.
(x i ; y i) цэгүүдийг координатын хавтгайд зурж регрессийн шугамыг тэмдэглэе.

Зураг 4

Зураг 4-т ажиглагдсан утгууд регрессийн шугамтай харьцуулахад хэрхэн байрлаж байгааг харуулав. Y i-ийн Y i-ээс хазайлтыг тоон аргаар тооцоолохын тулд y i нь ажиглагдсан утгууд, Y i нь регрессээр тодорхойлогддог утгууд юм, бид хүснэгтийг гаргана.

Y i утгыг регрессийн тэгшитгэлийн дагуу тооцоолно.

Регрессийн шугамаас ажиглагдсан зарим утгуудын мэдэгдэхүйц хазайлтыг цөөн тооны ажиглалтаар тайлбарлаж байна. Y-ийн X-ээс шугаман хамаарлын зэргийг судлахдаа ажиглалтын тоог харгалзан үздэг. Хамаарлын хүчийг корреляцийн коэффициентийн утгаар тодорхойлно.

Хамгийн бага квадратын арга нь түүний ачаар хамгийн түгээмэл бөгөөд хамгийн хөгжсөн арга юм шугаман параметрүүдийг тооцоолох аргуудын энгийн байдал, үр ашиг. Үүний зэрэгцээ үүнийг ашиглахдаа болгоомжтой байх хэрэгтэй, учир нь үүнийг ашиглан бүтээсэн загварууд нь параметрийн чанарын хэд хэдэн шаардлагыг хангаагүй бөгөөд үр дүнд нь үйл явцын хөгжлийн хэв маягийг "сайн" тусгадаггүй.

Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан шугаман эконометрик загварын параметрүүдийг тооцоолох журмыг илүү нарийвчлан авч үзье. Ийм загварыг ерөнхий хэлбэрээр (1.2) тэгшитгэлээр илэрхийлж болно.

y t = a 0 + a 1 x 1 t +...+ a n x nt + ε t .

a 0, a 1,..., a n параметрүүдийг тооцоолох анхны өгөгдөл нь хамааралтай хувьсагчийн утгын вектор юм. y= (y 1 , y 2 , ... , y T)" ба бие даасан хувьсагчийн утгын матриц

нэгээс бүрдэх эхний багана нь загварын коэффициенттэй тохирч байна.

Хамгийн бага квадратын арга нь түүний үндсэн дээр олж авсан параметрийн тооцоог хангах ёстой гэсэн үндсэн зарчимд үндэслэн нэрээ авсан. загварын алдааны квадратуудын нийлбэр хамгийн бага байх ёстой.

Хамгийн бага квадратын аргаар асуудлыг шийдэх жишээ

Жишээ 2.1.Худалдааны компани нь 12 дэлгүүрийн сүлжээтэй бөгөөд тэдгээрийн үйл ажиллагааны талаархи мэдээллийг хүснэгтэд үзүүлэв. 2.1.

Компанийн удирдлага жилийн хэмжээ нь дэлгүүрийн борлуулалтын талбайгаас хэрхэн хамаардаг болохыг мэдэхийг хүсч байна.

Хүснэгт 2.1

Хамгийн бага квадратын шийдэл.Тодруулъя - дэлгүүрийн жилийн эргэлт, сая рубль; --р дэлгүүрийн борлуулалтын талбай, мянган м 2.

Зураг.2.1. Жишээ 2.1-ийн тархалтын график

Хувьсагчдын хоорондох функциональ харилцааны хэлбэрийг тодорхойлж, тархалтын графикийг байгуулна (Зураг 2.1).

Тархалтын диаграмм дээр үндэслэн бид жилийн эргэлт нь борлуулалтын талбайгаас эерэг хамааралтай гэж дүгнэж болно (өөрөөр хэлбэл, y өсөх тусам өсөх болно). Функциональ холболтын хамгийн тохиромжтой хэлбэр нь - шугаман.

Цаашдын тооцооллын мэдээллийг Хүснэгтэнд үзүүлэв. 2.2. Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан шугаман нэг хүчин зүйлийн эконометрик загварын параметрүүдийг тооцоолно

Хүснэгт 2.2

Энэ замаар,

Тиймээс борлуулалтын талбайг 1 мянган м 2-аар нэмэгдүүлснээр бусад зүйлстэй тэнцэхүйц жилийн дундаж эргэлт 67.8871 сая рублиэр нэмэгддэг.

Жишээ 2.2.Аж ахуйн нэгжийн удирдлага жилийн эргэлт нь дэлгүүрийн борлуулалтын талбайгаас (жишээ 2.1-ийг үзнэ үү) төдийгүй зочдын дундаж тооноос хамаардаг болохыг анзаарсан. Холбогдох мэдээллийг хүснэгтэд үзүүлэв. 2.3.

Хүснэгт 2.3

Шийдэл.Дэлгүүрт өдөрт зочдын дундаж тоо, мянган хүн.

Хувьсагчдын хоорондох функциональ харилцааны хэлбэрийг тодорхойлж, тархалтын графикийг байгуулна (Зураг 2.2).

Тархалтын диаграмм дээр үндэслэн бид жилийн эргэлт нь өдрийн дундаж зочдын тоотой эерэг хамааралтай гэж дүгнэж болно (өөрөөр хэлбэл, y өсөлттэй хамт өсөх болно). Функциональ хамаарлын хэлбэр нь шугаман байна.

Цагаан будаа. 2.2. Жишээ нь тархалтын график 2.2

Хүснэгт 2.4

Ерөнхийдөө хоёр хүчин зүйлийн эконометрик загварын параметрүүдийг тодорхойлох шаардлагатай

y t \u003d a 0 + a 1 x 1 t + a 2 x 2 t + ε t

Цаашдын тооцоололд шаардагдах мэдээллийг Хүснэгтэнд үзүүлэв. 2.4.

Шугаман хоёр хүчин зүйлийн эконометрик загварын параметрүүдийг хамгийн бага квадратын аргаар тооцоолъё.

Энэ замаар,

=61.6583 коэффициентийн үнэлгээ нь бусад бүх зүйл тэнцүү байх үед борлуулалтын талбай 1 мянган м 2-аар нэмэгдэхэд жилийн эргэлт дунджаар 61.6583 сая рубль нэмэгдэх болно.

Шинжлэх ухаан, практикийн янз бүрийн салбарт хамгийн өргөн хэрэглээг олдог. Энэ нь физик, хими, биологи, эдийн засаг, социологи, сэтгэл судлал гэх мэт байж болно. Хувь заяаны хүслээр би эдийн засгийн асуудалтай байнга тулгардаг тул өнөөдөр би танд гайхалтай улс руу явах тасалбар зохион байгуулах болно. Эконометрик=) … Яаж хүсэхгүй байгаа юм бэ?! Энэ нь маш сайн - та зүгээр л шийдэх хэрэгтэй! …Гэхдээ таны хүсч байгаа зүйл бол асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах явдал юм хамгийн бага квадратууд. Ялангуяа хичээнгүй уншигчид үүнийг үнэн зөвөөр шийдээд зогсохгүй МАШ ШУУРХАЙ шийдэж сурах болно ;-) Гэхдээ эхлээд асуудлын ерөнхий мэдэгдэл+ холбогдох жишээ:

Тоон илэрхийлэл бүхий зарим сэдвийн хүрээнд үзүүлэлтүүдийг судалж үзье. Үүний зэрэгцээ индикатор нь тухайн үзүүлэлтээс хамаардаг гэж үзэх бүх үндэслэл бий. Энэхүү таамаглал нь шинжлэх ухааны таамаглал байж болох бөгөөд энгийн нийтлэг ойлголтод үндэслэсэн болно. Гэсэн хэдий ч шинжлэх ухааныг орхиж, илүү их дур сонирхлыг татдаг газруудыг, тухайлбал хүнсний дэлгүүрүүдийг судалцгаая. Үүнд:

– хүнсний дэлгүүрийн жижиглэнгийн талбай, м.кв,
- хүнсний дэлгүүрийн жилийн эргэлт, сая рубль.

Дэлгүүрийн талбай том байх тусам ихэнх тохиолдолд эргэлт их байх нь тодорхой юм.

Ажиглалт / туршилт / тооцоо / хэнгэрэгээр бүжиглэсний дараа бид тоон мэдээлэлтэй байна гэж бодъё.

Хүнсний дэлгүүрүүдийн хувьд бүх зүйл тодорхой байна гэж би бодож байна: - энэ бол 1-р дэлгүүрийн талбай, - жилийн эргэлт, - 2-р дэлгүүрийн талбай, - жилийн эргэлт гэх мэт. Дашрамд хэлэхэд, ангилсан материалд хандах шаардлагагүй - эргэлтийн талаар нэлээд үнэн зөв үнэлгээг ашиглан олж авах боломжтой. математик статистик. Гэсэн хэдий ч анхаарал сарниулах хэрэггүй, арилжааны тагнуулын курс аль хэдийн төлсөн =)

Хүснэгтийн өгөгдлийг цэг хэлбэрээр бичиж, бидний хувьд ердийн байдлаар дүрсэлж болно. Декарт систем .

Нэг чухал асуултанд хариулъя: чанарын судалгаа хийхэд хэдэн оноо шаардлагатай вэ?

Том байх тусмаа сайн. Хамгийн бага зөвшөөрөгдөх багц нь 5-6 цэгээс бүрдэнэ. Түүнчлэн, бага хэмжээний өгөгдөлтэй бол "хэвийн бус" үр дүнг түүвэрт оруулах боломжгүй. Жишээлбэл, жижиг элит дэлгүүр нь "хамтран ажиллагсдаасаа" илүү их хэмжээний захиалга өгөхөд тусалдаг бөгөөд ингэснээр олох шаардлагатай ерөнхий хэв маягийг гажуудуулдаг!

Хэрэв энэ нь маш энгийн бол бид функцийг сонгох хэрэгтэй. хуваарьцэгүүдэд аль болох ойр өнгөрдөг . Ийм функцийг нэрлэдэг ойртуулж байна (ойролцоо - ойролцоо)эсвэл онолын функц . Ерөнхийдөө энд нэн даруй тодорхой "дүрэмчин" гарч ирнэ - график нь БҮХ цэгүүдээр дамждаг өндөр зэрэглэлийн олон гишүүнт юм. Гэхдээ энэ сонголт нь төвөгтэй бөгөөд ихэнхдээ зүгээр л буруу байдаг. (учир нь график нь үргэлж "салхи" байх бөгөөд үндсэн чиг хандлагыг муу тусгасан болно).

Тиймээс хүссэн функц нь хангалттай энгийн байх ёстой бөгөөд үүний зэрэгцээ хамаарлыг хангалттай тусгах ёстой. Таны таамаглаж байгаагаар ийм функцийг олох аргуудын нэгийг нэрлэдэг хамгийн бага квадратууд. Эхлээд түүний мөн чанарыг ерөнхийд нь шинжилье. Зарим функцийг туршилтын өгөгдөлд ойртуулж үзье:


Энэ ойролцоо тооцооллын үнэн зөвийг хэрхэн үнэлэх вэ? Туршилтын болон функциональ утгуудын ялгааг (хазайлт) тооцоолъё (бид зургийг судалж байна). Хамгийн түрүүнд нийлбэр нь хэр их байгааг тооцоолох гэсэн бодол орж ирдэг ч ялгаа нь сөрөг байж болно гэдэг асуудал юм. (Жишээлбэл, ) мөн ийм нийлбэрийн үр дүнд үүссэн хазайлтууд бие биенээ хүчингүй болгоно. Тиймээс, ойролцоогоор тооцооллын үнэн зөвийг тооцоолохын тулд нийлбэрийг авахыг санал болгож байна. модулиудхазайлт:

эсвэл атираат хэлбэрээр: (гэнэт хэн мэдэхгүй байна: - энэ бол нийлбэр дүрс ба - туслах хувьсагч - 1-ээс 1 хүртэлх утгыг авдаг "тоолуур").

Өөр өөр функц бүхий туршилтын цэгүүдийг ойролцоолсноор бид -ийн өөр өөр утгыг олж авах бөгөөд энэ нийлбэр бага байгаа тохиолдолд функц илүү нарийвчлалтай болох нь тодорхой байна.

Ийм арга байдаг бөгөөд үүнийг нэрлэдэг хамгийн бага модулийн арга. Гэсэн хэдий ч практик дээр энэ нь илүү өргөн тархсан байна. хамгийн бага квадрат арга, боломжит сөрөг утгыг модулиар бус харин хазайлтын квадратаар хасдаг.

, үүний дараа хүчин чармайлт нь квадрат хазайлтын нийлбэр болох ийм функцийг сонгоход чиглэгддэг аль болох бага байсан. Үнэн хэрэгтээ аргын нэр эндээс үүдэлтэй.

Одоо бид өөр нэг чухал зүйл рүү буцна: дээр дурьдсанчлан сонгосон функц нь маш энгийн байх ёстой - гэхдээ ийм олон функцууд байдаг: шугаман , гипербол, экспоненциал, логарифм, квадрат гэх мэт. Мэдээжийн хэрэг, би энд нэн даруй "үйл ажиллагааны талбарыг багасгахыг" хүсч байна. Судалгаанд ямар төрлийн функцийг сонгох вэ? Анхдагч боловч үр дүнтэй техник:

- Оноо зурах хамгийн хялбар арга зураг дээр, тэдгээрийн байршилд дүн шинжилгээ хийх. Хэрэв тэд шулуун шугаманд байх хандлагатай бол та хайх хэрэгтэй шулуун шугамын тэгшитгэл оновчтой утгуудтай ба . Өөрөөр хэлбэл, даалгавар бол ИЙМ коэффициентүүдийг олох явдал бөгөөд ингэснээр квадрат хазайлтын нийлбэр хамгийн бага байх болно.

Хэрэв цэгүүд нь жишээлбэл, дагуу байрладаг бол гипербол, тэгвэл шугаман функц нь муу ойролцооллыг өгөх нь тодорхой байна. Энэ тохиолдолд бид гиперболын тэгшитгэлийн хамгийн "таатай" коэффициентийг хайж байна - квадратуудын хамгийн бага нийлбэрийг өгдөг хүмүүс .

Одоо бид хоёр тохиолдолд хоёуланд нь ярьж байгааг анзаараарай хоёр хувьсагчийн функцууд, хэний аргументууд вэ хараат байдлын сонголтыг хайсан:

Мөн чанартаа бид стандарт асуудлыг шийдэх хэрэгтэй - олох хамгийн бага нь хоёр хувьсагчийн функц.

Бидний жишээг эргэн санацгаая: "дэлгүүр"-ийн цэгүүд нь шулуун шугамд байрладаг бөгөөд тэнд байгаа гэдэгт итгэх бүх шалтгаан бий гэж бодъё. шугаман хамааралхудалдааны талбайн эргэлт. Квадрат хазайлтын нийлбэр байхаар ИЙМ "a" ба "be" коэффициентүүдийг олъё. хамгийн жижиг нь байсан. Бүх зүйл ердийнх шиг - эхлээд 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив. дагуу шугаман байдлын дүрэмТа нийлбэр дүрсний доор шууд ялгаж болно:

Хэрэв та энэ мэдээллийг эссэ эсвэл курсын ажилд ашиглахыг хүсч байвал эх сурвалжуудын жагсаалтад байгаа линкэнд би маш их талархах болно, ийм нарийн тооцоог хаанаас ч олохгүй.

Стандарт системийг хийцгээе:

Бид тэгшитгэл бүрийг "хоёр"-оор багасгаж, үүнээс гадна нийлбэрүүдийг "хувааж" авдаг.

Анхаарна уу : "a" болон "be"-г яагаад нийлбэрийн дүрсээс хасаж болохыг бие даан шинжлэх. Дашрамд хэлэхэд, албан ёсоор үүнийг нийлбэрээр хийж болно

Системийг "хэрэглэсэн" хэлбэрээр дахин бичье:

Үүний дараа бидний асуудлыг шийдэх алгоритм зурж эхэлнэ:

Бид цэгүүдийн координатыг мэддэг үү? Бид мэднэ. нийлбэр бид олж чадах уу? Амархан. Бид хамгийн энгийнийг нь зохиодог хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем("a" ба "beh"). Бид системийг шийддэг, жишээлбэл, Крамерын арга, үр дүнд нь хөдөлгөөнгүй цэг . Шалгаж байна экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл, бид энэ үед функцийг шалгаж болно нарийн хүрдэг хамгийн бага. Баталгаажуулалт нь нэмэлт тооцоололтой холбоотой тул бид үүнийг хөшигний ард үлдээх болно. (шаардлагатай бол алга болсон хүрээг харж болно). Бид эцсийн дүгнэлтийг хийж байна:

Чиг үүрэг хамгийн зөв зам (ядаж бусад шугаман функцтэй харьцуулахад)туршилтын цэгүүдийг ойролцоолсон . Товчоор хэлбэл, түүний график нь эдгээр цэгүүдэд аль болох ойртдог. Уламжлал ёсоор эконометрикүр дүнд нь ойртох функцийг мөн нэрлэдэг хосолсон шугаман регрессийн тэгшитгэл .

Хэлэлцэж буй асуудал нь практик ач холбогдолтой юм. Бидний жишээн дээрх нөхцөл байдалд тэгшитгэл ямар төрлийн эргэлтийг урьдчилан таамаглах боломжийг танд олгоно ("йг")борлуулах талбайн нэг буюу өөр үнэ бүхий дэлгүүрт байх болно ("x"-ийн нэг буюу өөр утга). Тийм ээ, үр дүнгийн таамаглал нь зөвхөн урьдчилсан мэдээ байх болно, гэхдээ олон тохиолдолд энэ нь нэлээд үнэн зөв байх болно.

Би "бодит" тоонуудтай нэг л асуудлыг шинжлэх болно, учир нь үүнд ямар ч бэрхшээл байхгүй - бүх тооцоолол нь 7-8-р ангийн сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн түвшинд байна. Тохиолдлын 95 хувьд нь зөвхөн шугаман функцийг олохыг танаас хүсэх боловч нийтлэлийн төгсгөлд би оновчтой гипербол, экспонент болон бусад функцүүдийн тэгшитгэлийг олоход хэцүү биш гэдгийг харуулах болно.

Үнэн хэрэгтээ, амласан сайхан зүйлсийг тараах нь хэвээр байна - ингэснээр та ийм жишээг үнэн зөв төдийгүй хурдан шийдэж сурах болно. Бид стандартыг анхааралтай судалж байна:

Даалгавар

Хоёр үзүүлэлтийн хоорондын хамаарлыг судалсны үр дүнд дараах хос тоонуудыг олж авав.

Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан эмпирикийг хамгийн сайн ойртуулах шугаман функцийг ол (туршлагатай)өгөгдөл. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд туршилтын цэгүүд болон ойролцоолсон функцийн графикийг зурах зураг зур. . Эмпирик болон онолын утгуудын хоорондох квадрат хазайлтын нийлбэрийг ол. Функц илүү сайн байх эсэхийг олж мэдээрэй (хамгийн бага квадратын аргын хувьд)ойролцоогоор туршилтын цэгүүд.

"X" утгууд нь байгалийн үнэт зүйлс бөгөөд энэ нь тодорхой утгатай бөгөөд би үүнийг дараа нь ярих болно гэдгийг анхаарна уу; гэхдээ тэдгээр нь мэдээжийн хэрэг бутархай байж болно. Нэмж дурдахад, тодорхой даалгаврын агуулгаас хамааран "X" ба "G" утгууд нь бүрэн эсвэл хэсэгчлэн сөрөг байж болно. За яахав, бидэнд “нүүр царайгүй” даалгавар өгчихсөн, бид үүнийг эхлүүлдэг шийдэл:

Системийн шийдэл болох оновчтой функцийн коэффициентийг бид олдог.

Илүү нягт тэмдэглэгээ хийхийн тулд "тоологч" хувьсагчийг орхигдуулж болно, учир нь нийлбэрийг 1-ээс - хүртэл хийх нь аль хэдийн тодорхой болсон.

Шаардлагатай дүнг хүснэгт хэлбэрээр тооцоолох нь илүү тохиромжтой.


Тооцооллыг бичил тооцоолуур дээр хийж болно, гэхдээ Excel програмыг ашиглах нь илүү хурдан бөгөөд алдаагүй байх болно; богино видео үзэх:

Тиймээс бид дараахь зүйлийг олж авна систем:

Энд та хоёр дахь тэгшитгэлийг 3 ба үржүүлж болно 1-р тэгшитгэлийн гишүүнээс 2-ыг хасах. Гэхдээ энэ бол аз юм - практик дээр системүүд ихэвчлэн авьяасгүй байдаг бөгөөд ийм тохиолдолд энэ нь хэмнэлттэй байдаг Крамерын арга:
, тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Шалгалт хийцгээе. Би хүсэхгүй байгаагаа ойлгож байна, гэхдээ яагаад алдаагаа орхиж болохгүй гэж? Олсон шийдлийг системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулна.

Харгалзах тэгшитгэлийн зөв хэсгүүдийг олж авсан бөгөөд энэ нь системийг зөв шийдсэн гэсэн үг юм.

Тиймээс хүссэн ойролцоолох функц: – -ээс бүх шугаман функцуудТуршилтын өгөгдлийг түүгээр хамгийн сайн ойртуулдаг.

Дургүй Чигээрээ дэлгүүрийн бараа эргэлтийн талбайгаас хамаарах хамаарал нь олсон хамаарал юм урвуу ("илүү их - бага" зарчим), мөн энэ баримтыг тэр даруй сөрөг байдлаар илрүүлдэг өнцгийн коэффициент. Чиг үүрэг тодорхой үзүүлэлт 1 нэгжээр нэмэгдэхэд хамааралтай индикаторын утга буурч байгааг бидэнд мэдээлж байна дундаж 0.65 нэгжээр. Тэдний хэлснээр, Сагаган үнэ өндөр байх тусам бага зарагддаг.

Ойролцоо функцийг зурахын тулд бид түүний хоёр утгыг олно:

мөн зургийг гүйцэтгэнэ:


Баригдсан шугамыг гэж нэрлэдэг чиг хандлагын шугам (тухайлбал, шугаман чиг хандлагын шугам, өөрөөр хэлбэл ерөнхий тохиолдолд чиг хандлага нь шулуун шугам байх албагүй). "Тренд байх" гэсэн хэллэгийг хүн бүр мэддэг бөгөөд энэ нэр томъёонд нэмэлт тайлбар хэрэггүй гэж би бодож байна.

Квадрат хазайлтын нийлбэрийг тооцоол эмпирик болон онолын үнэт зүйлсийн хооронд. Геометрийн хувьд энэ нь "час улаан" сегментүүдийн уртын квадратуудын нийлбэр юм (хоёр нь маш жижиг тул тэднийг харж ч чадахгүй).

Тооцооллыг хүснэгтэд нэгтгэн харуулъя.


Би 1-р зүйлд жишээ өгөх тохиолдолд тэдгээрийг гараар дахин хийж болно.

гэхдээ аль хэдийн мэдэгдэж байсан аргыг хийх нь илүү үр дүнтэй байдаг:

Дахин хэлье: үр дүнгийн утга нь юу вэ?-аас бүх шугаман функцуудфункц дээр экспонент нь хамгийн жижиг, өөрөөр хэлбэл түүний гэр бүлийн хувьд энэ нь хамгийн сайн ойролцоо байна. Дашрамд хэлэхэд, асуудлын эцсийн асуулт нь санамсаргүй биш юм: хэрэв санал болгож буй экспоненциал функц байвал яах вэ? Туршилтын цэгүүдийг ойртуулах нь дээр байх уу?

Квадрат хазайлтын харгалзах нийлбэрийг олъё - тэдгээрийг ялгахын тулд би "эпсилон" үсгээр тэмдэглэнэ. Техник нь яг адилхан:


Мөн 1-р цэгийн галын тооцоо бүрийн хувьд:

Excel дээр бид стандарт функцийг ашигладаг EXP (Синтаксийг Excel-ийн тусламжаас олж болно).

Дүгнэлт: , тэгэхээр экспоненциал функц нь шулуун шугамаас муу туршилтын цэгүүдийг ойртуулдаг .

Гэхдээ энд "илүү муу" гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй хараахан гэсэн үг биш, юу болсон бэ. Одоо би энэ экспоненциал функцийн графикийг бүтээсэн бөгөөд энэ нь мөн цэгүүдийн ойролцоо дамждаг - маш их тул аналитик судалгаагүйгээр аль функц илүү үнэн зөв болохыг хэлэхэд хэцүү байдаг.

Энэ нь шийдлийг дуусгаж, би аргументийн байгалийн үнэ цэнийн талаархи асуулт руу буцаж байна. Төрөл бүрийн судалгаанд дүрмээр бол эдийн засаг, социологийн, сар, жил эсвэл бусад ижил хугацааны интервалыг байгалийн "X" -ээр дугаарласан байдаг. Жишээлбэл, ийм асуудлыг авч үзье.

Хамгийн бага квадратын арга (LSM) нь санамсаргүй алдаа агуулсан олон хэмжилтийн үр дүнг ашиглан янз бүрийн хэмжигдэхүүнийг тооцоолох боломжийг олгодог.

Онцлог MNC

Энэ аргын гол санаа нь квадрат алдааны нийлбэрийг багасгахыг эрэлхийлж буй асуудлын шийдлийн нарийвчлалын шалгуур гэж үздэг. Энэ аргыг ашиглахдаа тоон болон аналитик аргыг хоёуланг нь ашиглаж болно.

Ялангуяа тоон хувилбарын хувьд хамгийн бага квадратын арга нь үл мэдэгдэх санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг аль болох олон хэмжилт хийхийг хэлнэ. Түүнээс гадна, илүү их тооцоолол хийх тусам шийдэл нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Энэхүү тооцооллын багц дээр (анхны өгөгдөл) санал болгож буй шийдлүүдийн өөр багцыг гаргаж, хамгийн сайныг нь сонгоно. Хэрэв шийдлүүдийн багцыг параметржүүлсэн бол хамгийн бага квадратын аргыг параметрийн оновчтой утгыг олох хүртэл бууруулна.

Анхны өгөгдөл (хэмжилт) ба санал болгож буй шийдлүүдийн багц дээр LSM-ийг хэрэгжүүлэх аналитик арга барилын хувьд заримыг нь (функциональ) тодорхойлсон бөгөөд үүнийг баталгаажуулах шаардлагатай тодорхой таамаглал болгон олж авсан томъёогоор илэрхийлж болно. . Энэ тохиолдолд хамгийн бага квадратын аргыг анхны өгөгдлийн квадрат алдааны багц дээр энэ функцийн хамгийн бага утгыг олох хүртэл бууруулна.

Алдаа өөрөө биш, харин алдааны квадратууд гэдгийг анхаарна уу. Яагаад? Баримт нь хэмжилтийн яг тодорхой утгаас хазайх нь ихэвчлэн эерэг ба сөрөг байдаг. Дундаж хэмжээг тодорхойлохдоо энгийн нийлбэр нь үнэлгээний чанарын талаар буруу дүгнэлт гаргахад хүргэдэг, учир нь эерэг ба сөрөг утгыг харилцан цуцлах нь хэмжилтийн багцын түүврийн хүчийг бууруулна. Үүний үр дүнд үнэлгээний үнэн зөв байдал.

Үүнээс урьдчилан сэргийлэхийн тулд квадрат хазайлтыг нэгтгэн гаргадаг. Үүнээс ч илүү хэмжсэн утга ба эцсийн тооцооны хэмжээсийг квадрат алдааны нийлбэрээс тэнцүүлэхийн тулд

MNC-ийн зарим хэрэглээ

MNC нь янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Жишээлбэл, магадлалын онол ба математик статистикийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын хүрээний өргөнийг тодорхойлдог стандарт хазайлт гэх мэт санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох аргыг ашигладаг.

Зэрэгцүүлсний дараа бид дараах хэлбэрийн функцийг авна: g (x) = x + 1 3 + 1 .

Тохирох параметрүүдийг тооцоолох замаар бид энэ өгөгдлийг y = a x + b шугаман хамаарлаар ойролцоолж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид хамгийн бага квадрат гэж нэрлэгддэг аргыг ашиглах хэрэгтэй болно. Туршилтын өгөгдлийг аль шугамыг хамгийн сайн уялдуулахыг шалгахын тулд та мөн зураг зурах хэрэгтэй болно.

OLS (хамгийн бага квадратын арга) гэж юу вэ?

Бидний хийх ёстой гол зүйл бол F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 гэсэн хоёр хувьсагчийн функцийн утга байх шугаман хамаарлын коэффициентийг олох явдал юм. хамгийн жижиг. Өөрөөр хэлбэл, a ба b-ийн тодорхой утгуудын хувьд үүссэн шулуун шугамаас үзүүлсэн өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэр нь хамгийн бага утгатай байх болно. Энэ бол хамгийн бага квадратын аргын утга юм. Жишээг шийдэхийн тулд бид хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг олоход л хангалттай.

Коэффициентийг тооцоолох томъёог хэрхэн гаргах вэ

Коэффициентийг тооцоолох томъёог гаргахын тулд хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг зохиож, шийдвэрлэх шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 илэрхийллийн хэсэгчилсэн деривативуудыг a ба b-д хамааруулан тооцож 0-тэй тэнцүүлнэ.

δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = y ∑ i = y ∑ i = 1 1 ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

Тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд орлуулах эсвэл Крамерын арга гэх мэт ямар ч аргыг ашиглаж болно. Үүний үр дүнд бид хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан коэффициентийг тооцоолох томъёог авах ёстой.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n ∑ i - i n

Бид функц байгаа хувьсагчдын утгыг тооцоолсон
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 нь хамгийн бага утгыг авна. Гурав дахь догол мөрөнд бид яагаад ийм байгааг нотлох болно.

Энэ бол хамгийн бага квадратын аргыг практикт ашиглах явдал юм. a параметрийг олоход ашигладаг түүний томьёо нь ∑ i = 1 n x i , ∑ i = 1 n y i , ∑ i = 1 n x i y i , ∑ i = 1 n x i 2 болон параметрийг агуулна.
n - энэ нь туршилтын өгөгдлийн хэмжээг илэрхийлнэ. Дүн бүрийг тусад нь тооцоолохыг бид танд зөвлөж байна. Коэффицентийн утгыг b-ийн дараа шууд тооцно.

Анхны жишээ рүү буцъя.

Жишээ 1

Энд бид n нь тавтай тэнцүү байна. Коэффициентийн томъёонд орсон шаардлагатай хэмжээг тооцоолоход илүү тохиромжтой болгохын тулд бид хүснэгтийг бөглөнө.

Шийдэл

Дөрөв дэх мөрөнд хоёр дахь эгнээний утгыг i хүн бүрийн гурав дахь утгуудаар үржүүлэх замаар олж авсан өгөгдлийг агуулна. Тав дахь мөрөнд хоёр дахь квадратын өгөгдлийг агуулна. Сүүлийн баганад тусдаа мөрүүдийн утгуудын нийлбэрийг харуулав.

Бидэнд хэрэгтэй a, b коэффициентүүдийг тооцоолохдоо хамгийн бага квадратын аргыг ашиглая. Үүнийг хийхийн тулд сүүлчийн баганаас хүссэн утгыг орлуулж, нийлбэрийг тооцоолно уу.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i i - ∑ i = 1 n ∑ i = ∑ i = ∑ 1 i - 3 - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184

Хүссэн ойролцоох шулуун шугам нь y = 0, 165 x + 2, 184 шиг харагдах болно гэдгийг бид олж мэдсэн. Одоо бид аль шугам нь өгөгдөлд хамгийн сайн ойртохыг тодорхойлох хэрэгтэй - g (x) = x + 1 3 + 1 эсвэл 0 , 165 x + 2 , 184 . Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан тооцоо хийцгээе.

Алдааг тооцоолохын тулд σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 ба σ 2 = ∑ i = 1 n (y i -) шугамуудын өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэрийг олох хэрэгтэй. g (x i)) 2 , хамгийн бага утга нь илүү тохиромжтой шугамтай тохирно.

σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0 , 165 x i + 2 , 184)) 2 ≈ 0 , 019 σ 2 = ∑ 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0 , 096

Хариулт:σ 1-ээс хойш< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0, 165 x + 2, 184.

Хамгийн бага квадратын аргыг график дүрслэлд тодорхой харуулав. Улаан шугам нь шулуун шугамыг g (x) = x + 1 3 + 1, цэнхэр шугам нь y = 0, 165 x + 2, 184-ийг тэмдэглэнэ. Түүхий өгөгдлийг ягаан цэгээр тэмдэглэсэн.

Яагаад ийм төрлийн ойролцоо тооцоолол хэрэгтэй байгааг тайлбарлая.

Эдгээрийг өгөгдлийг тэгшитгэх шаардлагатай асуудлууд, түүнчлэн өгөгдлийг интерполяци хийх эсвэл экстраполяци хийх шаардлагатай асуудлуудад ашиглаж болно. Жишээлбэл, дээр дурдсан бодлогод х = 3 эсвэл x = 6 үед ажиглагдсан у хэмжигдэхүүний утгыг олж болно. Ийм жишээнүүдэд бид тусдаа өгүүллийг зориулав.

LSM аргын баталгаа

Тооцоолсон a ба b функцийн хамгийн бага утгыг авахын тулд өгөгдсөн цэг дээр F (a, b) хэлбэрийн функцийн дифференциалын квадрат хэлбэрийн матриц = ∑ i = 1 n () байх шаардлагатай. y i - (a x i + b)) 2 эерэг тодорхой байна. Энэ нь хэрхэн харагдах ёстойг харуулъя.

Жишээ 2

Бидэнд дараах хэлбэрийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал байна.

d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2б

Шийдэл

δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b = δ δ F (a ; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i +) b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n

Өөрөөр хэлбэл дараах байдлаар бичиж болно: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b .

Бид M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n квадрат хэлбэрийн матрицыг олж авлаа.

Энэ тохиолдолд бие даасан элементүүдийн утга нь a ба b -ээс хамаарч өөрчлөгдөхгүй. Энэ матриц эерэг тодорхой мөн үү? Энэ асуултад хариулахын тулд түүний өнцгийн баганууд эерэг байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Эхний эрэмбийн өнцгийн минорыг тооцоол: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 . x i цэгүүд давхцдаггүй тул тэгш бус байдал нь хатуу байна. Цаашид тооцоо хийхдээ бид үүнийг анхаарч үзэх болно.

Бид хоёр дахь эрэмбийн өнцгийн минорыг тооцоолно:

d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ x i = 12

Үүний дараа бид математикийн индукц ашиглан n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 тэгш бус байдлын баталгааг үргэлжлүүлнэ.

1. Энэ тэгш бус байдал нь дурын n -д хүчинтэй эсэхийг шалгацгаая. 2-ыг аваад тооцоолъё:

2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0

Бид зөв тэгш байдлыг олж авсан (хэрэв x 1 ба x 2 утга таарахгүй бол).

1. Энэ тэгш бус байдал нь n -ийн хувьд үнэн байх болно гэсэн таамаглал дэвшүүлье, i.e. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – үнэн.
2. Одоо n + 1-ийн хүчинтэй байдлыг баталъя, өөрөөр хэлбэл. (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0 хэрэв n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .

Бид тооцоолно:

(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 +2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = + 1 n xi = + 1 n xi n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1) - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0

Буржгар хаалтанд оруулсан илэрхийлэл нь 0-ээс их байх болно (2-р алхам дээр бидний таамаглаж байсан зүйл дээр үндэслэн), бусад нөхцөлүүд нь бүгд тооны квадрат тул 0-ээс их байх болно. Бид тэгш бус байдлыг нотолсон.

Хариулт:олсон a ба b нь F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 функцын хамгийн бага утгатай тохирч байх бөгөөд энэ нь тэдгээр нь хамгийн бага квадратын аргын шаардлагатай параметрүүд гэсэн үг юм. (LSM).

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу