Трапецын аргаар тодорхой интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ? Трапецын арга Трапецын томъёог ашиглан интегралыг тооцоолох
Өнөөдөр бид тоон интеграцийн өөр нэг арга болох трапецын аргатай танилцах болно. Түүний тусламжтайгаар бид тодорхой интегралуудыг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар тооцоолох болно. Өгүүлэлд бид трапецын аргын мөн чанарыг тайлбарлаж, томъёог хэрхэн гаргаж авсанд дүн шинжилгээ хийж, трапецын аргыг тэгш өнцөгтийн аргатай харьцуулж, аргын үнэмлэхүй алдааны тооцоог бичих болно. Материалыг илүү гүнзгий ойлгохын тулд бид хэсэг бүрийг жишээгээр харуулах болно.
y = f (x) интеграл нь [ a ; б] . Үүнийг хийхийн тулд бид сегментийг хуваана [ a ; b ] a = x 0 цэгтэй h урттай хэд хэдэн тэнцүү интервалд оруулна< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .
Хуваалтын алхамыг олъё: h = b - a n . Бид x i = a + i h , i = 0 , 1 , тэгшитгэлээс зангилаануудыг тодорхойлно. . . , n .
Энгийн интервал дээр x i - 1 интегралыг авч үзье; x i , i = 1 , 2 , . . , n .
n-ийн хязгааргүй өсөлтөөр бид бүх тохиолдлыг хамгийн энгийн дөрвөн сонголт болгон бууруулна.
х i - 1 сегментүүдийг сонгох; x i , i = 1 , 2 , . . . , n . График бүр дээрх y = f (x) функцийг x i - 1 координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын хэрчимээр орлуулъя; f x i - 1 ба x i ; f x i. Бид тэдгээрийг хөх өнгөөр тэмдэглэдэг.
f (x i - 1) + f (x i) 2 h илэрхийллийг (x) d x бол ∫ x i - 1 x интегралын ойролцоо утга гэж үзье. Тэдгээр. ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h-ийг авна.
Бидний судалж буй тоон интеграцийн аргыг яагаад трапецын арга гэж нэрлэдэгийг харцгаая. Үүнийг хийхийн тулд геометрийн үүднээс бичсэн ойролцоо тэгш байдал нь ямар утгатай болохыг олж мэдэх хэрэгтэй.
Трапецын талбайг тооцоолохын тулд түүний суурийн хагас нийлбэрийг өндрөөр үржүүлнэ. Эхний тохиолдолд муруйн трапецын талбай нь f (x i - 1) , f (x i) өндөр h суурьтай трапецтай ойролцоогоор тэнцүү байна. Бидний авч үзэж буй дөрөв дэх тохиолдлын хувьд өгөгдсөн интеграл ∫ x i - 1 x f (x) d x нь суурь - f (x i - 1) , - f (x i) ба өндөртэй трапецын талбайтай ойролцоогоор тэнцүү байна. h, үүнийг "-" тэмдгээр авах ёстой. ∫ x i - 1 x i f (x) d x тодорхой интегралын ойролцоо утгыг авч үзэхийн тулд бид хоёр ба гурав дахь тохиолдолд бид тэмдэглэсэн улаан, цэнхэр бүсийн талбайн хоорондын ялгааг олох хэрэгтэй. доорх зурагт ангаахай.
Дүгнэж хэлье. Трапец хэлбэрийн аргын мөн чанар нь дараах байдалтай байна: бид тодорхой интеграл ∫ a b f (x) d x-ийг ∫ x i - 1 x i f (x) d x хэлбэрийн интегралын нийлбэрээр энгийн сегмент тус бүр болон дараагийн ойролцоо өөрчлөлтөөр ∫ төлөөлж болно. x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 ц.
Трапец хэлбэрийн томъёо
Тодорхой интегралын тав дахь шинж чанарыг эргэн саная: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Трапец хэлбэрийн аргын томьёог олохын тулд ∫ x i - 1 x i f (x) d x интегралын оронд тэдгээрийн ойролцоо утгыг орлуулна: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Тодорхойлолт 1
Трапец хэлбэрийн томъёо:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Трапецын аргын үнэмлэхүй алдааны тооцоо
Трапецын аргын үнэмлэхүй алдааг дараах байдлаар тооцоолъё.
Тодорхойлолт 2
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2
Трапец хэлбэрийн аргын график дүрслэлийг зурагт үзүүлэв.
Тооцооллын жишээ
Тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолохын тулд трапецын аргыг ашиглах жишээнд дүн шинжилгээ хийцгээе. Бид хоёр төрлийн ажилд онцгой анхаарал хандуулах болно.
- n сегментийн өгөгдсөн тооны хуваалтын хувьд трапецын аргаар тодорхой интегралыг тооцоолох;
- тодорхой интегралын ойролцоо утгыг тодорхой нарийвчлалтайгаар олох.
Өгөгдсөн n-ийн хувьд бүх завсрын тооцоог хангалттай өндөр нарийвчлалтайгаар хийх ёстой. Тооцооллын нарийвчлал нь өндөр байх тусам n их байх ёстой.
Хэрэв бид тодорхой интегралыг тооцоолох өгөгдсөн нарийвчлалтай бол бүх завсрын тооцоог хоёр ба түүнээс дээш тооны дарааллаар илүү нарийвчлалтай хийх ёстой. Жишээлбэл, нарийвчлалыг 0. 01 гэж тохируулсан бол бид 0. 0001 эсвэл 0. 00001 нарийвчлалтайгаар завсрын тооцоог хийнэ. Том n-ийн хувьд завсрын тооцоог илүү өндөр нарийвчлалтайгаар хийх ёстой.
Дээрх дүрмийг жишээ болгон авч үзье. Үүнийг хийхийн тулд бид Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолсон, трапецын аргаар олж авсан тодорхой интегралын утгыг харьцуулж үздэг.
Тэгэхээр ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .
Жишээ 1
Трапец хэлбэрийн аргыг ашиглан тодорхой интеграл ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x-ийг 10-тай тэнцүү n-д тооцно.
Шийдэл
Трапец хэлбэрийн аргын томъёо нь ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) юм.
Томьёог хэрэглэхийн тулд h = b - a n томъёог ашиглан h алхамыг тооцоолох, зангилаануудыг тодорхойлох x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n , f (x) = 7 x 2 + 1 интегралын утгыг тооцоол.
Хуваалтын алхамыг дараах байдлаар тооцоолно: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . x i = a + i · h , i = 0 , 1 , , зангилаанууд дээрх интегралыг тооцоолох. . . , n бид дөрвөн аравтын орон авна:
би \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0 . 5 2 + 1 = 5 . 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692
Тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд оруулъя.
| би | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 , 5 | 2 | 2 , 5 | 3 | 3 , 5 | 4 | 4 , 5 | 5 |
| f (x i) | 7 | 5 , 6 | 3 , 5 | 2 , 1538 | 1 , 4 | 0 , 9655 | 0 , 7 | 0 , 5283 | 0 , 4117 | 0 , 3294 | 0 , 2692 |
Олсон утгыг трапец хэлбэрийн аргын томъёонд орлуулна уу: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 02 , 16, 19
Үр дүнг Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолсон үр дүнтэй харьцуулж үзье. Хүлээн авсан утгууд нь зуутын нэг хүртэл давхцдаг.
Хариулт:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117
Жишээ 2
Трапецын аргыг ашиглан тодорхой интеграл ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x-ийн утгыг 0 , 01 нарийвчлалтайгаар тооцоолно.
Шийдэл
Бодлогын нөхцлийн дагуу a = 1 ; b = 2, f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60; δn ≤ 0, 01.
Үнэмлэхүй алдаа δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . Бид үүнийг дараах байдлаар хийх болно: m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . Өгөгдсөн n бол трапец хэлбэрийн томъёо нь өгөгдсөн нарийвчлалтай тодорхой интегралын ойролцоо утгыг өгөх болно.
Эхлээд функцийн хоёр дахь деривативын модулийн хамгийн том утгыг [ 1 ; 2].
f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2
Хоёрдахь дериватив функц нь f "" (x) = x 2 квадрат парабол юм. Энэ нь эерэг бөгөөд сегмент дээр нэмэгддэгийг шинж чанараас нь бид мэднэ [1; 2]. Үүнтэй холбогдуулан m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .
Өгөгдсөн жишээнд m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) маш энгийн болсон. Нарийн төвөгтэй тохиолдолд та функцийн хамгийн том, хамгийн бага утгыг ашиглаж болно. Энэ жишээг авч үзсэний дараа бид m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .
Олж авсан утгыг m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01
4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 . 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 . 7735
Интегралчлалын сегментийг n-д хуваасан элементийн интервалын тоо нь натурал тоо юм. Тооцооллын зан үйлийн хувьд n-ийг зургаатай тэнцүү гэж үзье. Ийм n-ийн утга нь хамгийн бага тооцоогоор трапецын аргын заасан нарийвчлалд хүрэх боломжийг олгоно.
Алхамыг тооцоолъё: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .
x i = a + i h , i = 1 , 0 , зангилаануудыг ол. . . , n, бид эдгээр зангилааны интегралын утгыг тодорхойлно.
i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266. . . би \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1, 9833
Бид тооцооллын үр дүнг хүснэгт хэлбэрээр бичнэ.
| би | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x i | 1 | 7 6 | 4 3 | 3 2 | 5 3 | 11 6 | 2 |
| f x i | 0 , 4 | 0 , 5266 | 0 , 6911 | 0 , 9052 | 1 , 1819 | 1 , 5359 | 1 , 9833 |
Бид олж авсан үр дүнг трапец хэлбэрийн томъёонд орлуулна.
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054
Харьцуулахын тулд бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан анхны интегралыг тооцоолно.
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1
Таны харж байгаагаар бид тооцооллын нарийвчлалд хүрсэн.
Хариулт: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054
Нарийн төвөгтэй интегралуудын хувьд үнэмлэхүй алдааг тооцоолох тэгш бус байдлаас n тоог олох нь үргэлж амар байдаггүй. Энэ тохиолдолд дараах аргыг хэрэглэх нь тохиромжтой.
n зангилааны трапецын аргаар олж авсан тодорхой интегралын ойролцоо утгыг I n гэж тэмдэглэе. Дурын n тоог сонгоцгооё. Трапецын аргын томъёог ашиглан бид нэг (n = 10) ба давхар (n = 20) тооны зангилааны анхны интегралыг тооцоолж, олж авсан хоёр ойролцоо утгын I 20 -ийн хоорондох үнэмлэхүй утгыг олно. би 10.
Хэрэв олж авсан хоёр ойролцоо утгын зөрүүний үнэмлэхүй утга нь шаардлагатай нарийвчлалаас бага байвал I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.
Хэрэв олж авсан хоёр ойролцоо утгын зөрүүний үнэмлэхүй утга нь шаардлагатай нарийвчлалаас их байвал зангилааны тооноос хоёр дахин их (n = 40) алхамуудыг давтах шаардлагатай.
Энэ арга нь маш их тооцоолол шаарддаг тул цаг хэмнэхийн тулд компьютерийн технологийг ашиглах нь ухаалаг хэрэг юм.
Дээрх алгоритмыг ашиглан асуудлыг шийдье. Цаг хэмнэхийн тулд трапецын аргыг ашиглан завсрын тооцоог орхигдуулдаг.
Жишээ 3
Тодорхой интеграл ∫ 0 2 x e x d x-ийг трапецын аргаар 0, 001 нарийвчлалтайгаар тооцоолох шаардлагатай.
Шийдэл
n-ийг 10 ба 20-той тэнцүү авч үзье. Трапец хэлбэрийн томъёоны дагуу бид I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906-г авна.
I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, энэ нь цаашдын тооцоолол шаарддаг.
n-ийг 40-тэй тэнцүү гэж үзье: I 40 = 8, 3934656.
I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, энэ нь бас нэмэлт тооцоолол шаарддаг.
n-ийг 80-тай тэнцүү гэж үзье: I 80 = 8 , 3901585 .
I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001, энэ нь зангилааны тоог дахин хоёр дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай.
n-ийг 160-тай тэнцүү гэж үзье: I 160 = 8, 3893317.
I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001
Та I 160 = 8 , 3893317-г мянганы нэг болгон дугуйлснаар анхны интегралын ойролцоо утгыг авч болно: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .
Харьцуулахын тулд бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан анхны тодорхой интегралыг тооцоолно: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . Шаардлагатай нарийвчлалд хүрсэн.
Хариулт: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389
Алдаа
Тодорхой интегралын утгыг тодорхойлох завсрын тооцоог ихэнх тохиолдолд ойролцоогоор хийдэг. Энэ нь n нэмэгдэх тусам тооцооллын алдаа хуримтлагдаж эхэлдэг гэсэн үг юм.
Трапецын аргын үнэмлэхүй алдаа ба дундаж тэгш өнцөгтийн аргын тооцоог харьцуулж үзье.
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .
Ижил хэмжээний тооцооллын ажилтай өгөгдсөн n-ийн тэгш өнцөгтийн арга нь алдааны хагасыг өгдөг. Энэ нь функцийн утгууд нь анхан шатны сегментүүдийн дунд сегментүүдэд мэдэгдэж байгаа тохиолдолд энэ аргыг илүү тохиромжтой болгодог.
Интегралдах функцуудыг аналитик байдлаар биш, харин зангилааны утгуудын багц болгон тодорхойлсон тохиолдолд бид трапецын аргыг ашиглаж болно.
Хэрэв бид трапецын аргын нарийвчлал ба баруун ба зүүн тэгш өнцөгтийн аргыг харьцуулж үзвэл эхний арга нь үр дүнгийн нарийвчлалаараа хоёр дахь аргаас давж гарна.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Трапец хэлбэрийн аргатоон интеграцийн аргуудын нэг юм. Энэ нь тодорхой интегралыг урьдчилан тодорхойлсон нарийвчлалтайгаар тооцоолох боломжийг танд олгоно.
Нэгдүгээрт, бид трапецын аргын мөн чанарыг тайлбарлаж, трапец хэлбэрийн томъёог гаргаж авдаг. Дараа нь бид аргын үнэмлэхүй алдааны тооцоог бичиж, ердийн жишээнүүдийн шийдлийг нарийвчлан шинжлэх болно. Эцэст нь хэлэхэд трапецын аргыг тэгш өнцөгтийн аргатай харьцуулж үзье.
Хуудасны навигаци.
Трапец хэлбэрийн аргын мөн чанар.
Дараах даалгаврыг өөртөө тавья: y=f(x) интеграл интервал дээр тасралтгүй байх тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолох хэрэгтэй.
Хэсэгийг h урттай, цэгтэй тэнцүү n интервалд хуваая. Энэ тохиолдолд зангилаанууд тэгшитгэлээс тодорхойлогддог тул хуваалтын алхамыг олно.
Интегралыг энгийн интервал дээр авч үзье 
.
Дөрвөн тохиолдол боломжтой (зураг нь хамгийн энгийнийг харуулсан бөгөөд n нь хязгааргүй өсөхөд бүх зүйл буурдаг):
Сегмент бүр дээр y=f(x) функцийг координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны хэрчим ба . Бид тэдгээрийг цэнхэр зураасаар дүрсэлсэн:
Интегралын ойролцоо утгын хувьд бид илэрхийллийг авна 
, өөрөөр хэлбэл авч үзье 
.
Бичсэн ойролцоо тэгш байдал нь геометрийн утгаараа ямар утгатай болохыг олж мэдье. Энэ нь тоон интегралчлалын авч үзсэн аргыг яагаад трапецын арга гэж нэрлэдэгийг ойлгох боломжийг олгоно.
Трапецын талбай нь суурийн нийлбэрийн хагасыг өндрөөр үржүүлснээр олддог гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс эхний тохиолдолд муруйн трапецын талбай нь суурьтай трапецын талбайтай ойролцоогоор тэнцүү байна. 
ба өндөр h, сүүлийн тохиолдолд тодорхой интеграл нь суурьтай трапецын талбайтай ойролцоогоор тэнцүү байна. 
ба өндөр h хасах тэмдгээр авсан. Хоёр ба гурав дахь тохиолдолд тодорхой интегралын ойролцоо утга нь доорх зурагт үзүүлсэн улаан, цэнхэр бүсийн талбайн хоорондох зөрүүтэй тэнцүү байна.
Ингээд бид хүрч ирлээ трапецын аргын мөн чанар, энэ нь тодорхой интегралыг анхан шатны интервал тус бүр дээр маягтын интегралын нийлбэр болгон илэрхийлэх ба дараагийн ойролцоо орлуулалтаас бүрддэг. .
Трапец хэлбэрийн томъёо.
Таны харж байгаагаар шаардлагатай нарийвчлалд хүрч байна.
Алдааны талаар бага зэрэг.
Онолын хувьд трапецын аргаар тооцоолсон тодорхой интегралын ойролцоо утга нь -ийн жинхэнэ утга руу чиглэдэг. Гэсэн хэдий ч ихэнх завсрын тооцоог ойролцоогоор хийдэг бөгөөд том n-ийн хувьд тооцооллын алдаа хуримтлагдаж эхэлдэг гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.
Трапецын аргын үнэмлэхүй алдааны тооцоолол ба дундаж тэгш өнцөгтийн аргын талаар авч үзье. 
.
Ижил хэмжээний тооцооллын ажилтай тэгш өнцөгтийн аргыг ашиглахдаа өгөгдсөн n-ийн алдааны хагасыг хүлээж болно, өөрөөр хэлбэл энэ аргыг ашиглах нь илүү дээр юм. Энгийн сегментүүдийн дунд цэг дэх функцын утгууд мэдэгдэж байгаа тохиолдолд энэ нь үнэн юм. Гэхдээ заримдаа интегралдах функцуудыг аналитик байдлаар биш, харин зангилааны утгуудын багц хэлбэрээр зааж өгдөг. Энэ тохиолдолд бид дундын тэгш өнцөгтийн томъёог хэрэглэх боломжгүй, харин трапецын аргыг ашиглах боломжтой болно.
Баруун ба зүүн тэгш өнцөгтийн аргууд нь интеграцийн сегментийн өгөгдсөн тооны хуваалтын үр дүнгийн нарийвчлалын хувьд трапецын аргаас доогуур байдаг.
Тэгш өнцөгт, трапецын томъёо, Симпсоны томъёог ашиглан интегралыг тооцоолох. Алдааг тооцоолох.
4.1-р сэдвийн удирдамж:
Тэгш өнцөгтийн томъёогоор интегралыг тооцоолох. Алдааны тооцоо:
Техникийн олон асуудлыг шийдэх нь тодорхой интегралыг тооцоолоход хүргэдэг бөгөөд үүнийг нарийн илэрхийлэх нь хэцүү, урт тооцоолол шаарддаг бөгөөд практикт үргэлж зөвтгөгддөггүй. Энд тэдний ойролцоо утга хангалттай байна. Жишээлбэл, тэгшитгэл нь тодорхойгүй шугамаар хүрээлэгдсэн тэнхлэгийн талбайг тооцоолох хэрэгтэй Xба хоёр ординат. Энэ тохиолдолд та энэ мөрийг тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа энгийн шугамаар сольж болно. Ийнхүү олж авсан муруйн трапецын талбайг хүссэн интегралын ойролцоо утга гэж авна. Геометрийн хувьд тэгш өнцөгтийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох аргын санаа нь муруйн трапецын талбай юм. A 1 ABB 1тэнцүү талбайтай тэгш өнцөгтийн талбайгаар солигдоно A 1 A 2 B 1 B 2, дундаж утгын теоремын дагуу энэ нь тэнцүү байна
Хаана е(в)--- тэгш өнцөгтийн өндөр A 1 A 2 B 1 B 2,энэ нь зарим завсрын цэг дэх интегралын утга юм в(а< c
Ийм үнэ цэнийг олох нь бараг хэцүү байдаг -тай, аль үед (б-а)ф(в)-тэй яг тэнцүү байх болно. Илүү нарийвчлалтай утгыг олж авахын тулд муруйн трапецын талбайг дараахь байдлаар хуваана. nөндөр нь тэнцүү тэгш өнцөгтүүд y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1болон суурь.
Хэрэв бид муруйн трапецын талбайг хамарсан тэгш өнцөгтүүдийн талбайг нэгтгэн дүгнэвэл функц нь буурахгүй байвал томъёоны оронд томъёог ашиглана.
Хэрэв хэтэрсэн бол
Үнэ цэнэ нь тэгш байдлаас олддог. Эдгээр томъёог гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгтийн томьёомөн ойролцоо үр дүнг өгнө. Өсөлттэй хамт nүр дүн нь илүү нарийвчлалтай болно.
Жишээ 1 . Тэгш өнцөгтийн томъёогоор тооцоол
Бид нэгтгэх интервалыг 5 хэсэгт хуваадаг. Дараа нь . Тооцоологч эсвэл хүснэгт ашиглан бид интегралын утгыг олдог (аравтын бутархайн 4 нарийвчлалтай):
Тэгш өнцөгтийн томъёоны дагуу (сул талтай)
Нөгөө талаас Ньютон-Лейбницийн томъёогоор
Тэгш өнцөгтийн томъёог ашиглан харьцангуй тооцооллын алдааг олъё.
Интегралыг трапец хэлбэрийн томъёогоор тооцоолох. Алдааны тооцоо:
Интегралыг ойролцоогоор тооцоолох дараах аргын геометрийн утга нь ойролцоогоор ижил хэмжээтэй "шулуун" трапецын талбайг олох явдал юм.
Талбайг тооцоолох шаардлагатай байг A 1 AmBB 1муруйн трапецийг томъёогоор илэрхийлнэ.
Нуманыг сольж үзье АмБхөвч ABба муруй шугаман трапецын талбайн оронд A 1 AmBB 1трапецын талбайг тооцоол A 1 ABB 1: , хаана АА 1болон Б.Б 1 - трапецын суурь, ба А 1 Б 1 нь түүний өндөр.
Тэмдэглэх f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B.трапецын өндөр A 1 B 1 \u003d b-a,дөрвөлжин. Тиймээс, эсвэл
Энэ гэж нэрлэгддэг жижиг трапец хэлбэрийн томъёо.
Жишээ 2. Голын өргөн 26 м, голын хөндлөн огтлолын гүний хэмжилт бүр 2 мдараах үр дүнг өгсөн.
Сурган хүмүүжүүлэх даалгавар:
- дидактик зорилго. Оюутнуудад тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолох аргуудтай танилцуулах.
- боловсролын зорилго. Энэ хичээлийн сэдэв нь практик болон боловсролын ач холбогдолтой юм. Тоон интеграцийн санааны хамгийн энгийн арга нь тодорхой интегралыг интеграл нийлбэрийн хязгаар гэж тодорхойлоход суурилдаг. Жишээлбэл, хэрэв бид сегментийн хангалттай жижиг хэсгийг авбал [ а; б] ба түүний хувьд интеграл нийлбэрийг байгуулбал түүний утгыг ойролцоогоор харгалзах интегралын утга болгон авч болно. Үүний зэрэгцээ компьютерийн технологийг ашиглан тооцооллыг хурдан бөгөөд зөв хийх нь чухал юм.
Үндсэн мэдлэг, ур чадвар. Тэгш өнцөгт ба трапецын томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох ойролцоо аргын талаар ойлголттой байх.
Хичээлийг баталгаажуулах
- Тараах материал. Бие даасан ажилд зориулсан даалгаврын картууд.
- TSO. Олон проектор, компьютер, зөөврийн компьютер.
- TCO тоног төхөөрөмж. Илтгэлүүд: "Үүсмэлийн геометрийн утга", "Тэгш өнцөгтийн арга", "Трапецын арга". (Танилцуулга зохиогчоос зээлж болно).
- Тооцоолох хэрэгсэл: компьютер, микро тооцоолуур.
- Удирдамж
Ангийн төрөл. Нэгдсэн практик.
Оюутнуудын танин мэдэхүйн үйл ажиллагааны сэдэл. Ихэнх тохиолдолд эсрэг деривативыг олох боломжгүй тодорхой интегралуудыг тооцоолох шаардлагатай болдог. Энэ тохиолдолд тодорхой интегралыг тооцоолох ойролцоо аргыг ашигладаг. Заримдаа Ньютон-Лейбницийн томъёогоор хийсэн тооцоо оновчтой биш бол интегралыг "авах" хувьд ойролцоо аргыг бас ашигладаг. Интегралыг ойролцоогоор тооцоолох санаа нь муруйг түүнд хангалттай "ойрхон" шинэ муруйгаар солих явдал юм. Шинэ муруйг сонгохоос хамааран нэг буюу өөр ойролцоогоор интеграцийн томъёог ашиглаж болно.
Хичээлийн дараалал.
- Тэгш өнцөгтийн томъёо.
- Трапец хэлбэрийн томъёо.
- Дасгалын шийдэл.
Хичээлийн төлөвлөгөө
- Оюутнуудын үндсэн мэдлэгийг давтах.
Сурагчидтай давтан: интеграцийн үндсэн томъёо, судалсан интегралчлалын аргын мөн чанар, тодорхой интегралын геометрийн утга.
- Практик ажил гүйцэтгэх.
Техникийн олон асуудлыг шийдэх нь тодорхой интегралыг тооцоолоход хүргэдэг бөгөөд үүнийг нарийн илэрхийлэх нь хэцүү, урт тооцоолол шаарддаг бөгөөд практикт үргэлж зөвтгөгддөггүй. Энд тэдний ойролцоо утга хангалттай байна.
Жишээлбэл, тэгшитгэл нь тодорхойгүй шугамаар хүрээлэгдсэн талбайг тооцоолох шаардлагатай. Энэ тохиолдолд та энэ мөрийг тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа энгийн шугамаар сольж болно. Ийнхүү олж авсан муруйн трапецын талбайг хүссэн интегралын ойролцоо утга болгон авна.
Ойролцоогоор хамгийн энгийн арга бол тэгш өнцөгтийн арга юм. Геометрийн хувьд тэгш өнцөгтийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох аргын санаа нь муруйн трапецын талбай юм. A B C Dнэг тал нь , нөгөө тал нь тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэрээр солигдоно.
Хэрэв бид сул тал бүхий муруйн трапецын талбайг харуулсан тэгш өнцөгтүүдийн талбайг нэгтгэн дүгнэвэл [Зураг 1], бид томъёог авна.
[Зураг 1]
Дараа нь бид томъёог авна: 
Хэрэв элбэг дэлбэг байвал
[Зураг 2],
тэгээд 
Үнэ цэнэ y 0 , y 1 ,..., y nтэгшитгэлээс олсон 
,
k = 0, 1..., n.Эдгээр томъёог тэгш өнцөгтийн томьёомөн ойролцоо үр дүнг өгнө. Өсөлттэй хамт nүр дүн нь илүү нарийвчлалтай болно.
Тиймээс интегралын ойролцоо утгыг олохын тулд танд дараахь зүйл хэрэгтэй болно.
Тооцооллын алдааг олохын тулд та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.
Жишээ 1 Тэгш өнцөгтийн томъёогоор тооцоол. Тооцооллын үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг ол.
Хэсэг хувааж үзье [ а, б] хэд хэдэн (жишээ нь, 6) тэнцүү хэсгүүдэд хуваана. Дараа нь a = 0, b =
3
,
x k = a + k x
X 0 = 2 + 0
= 2
X 1 = 2 + 1
= 2,5
X 2 = 2 + 2
=3
X 3 = 2 + 3
= 3
X 4 = 2 + 4
= 4
X 5 = 2 + 5
= 4,5
е(x 0) = 2 2 = 4
е
(x
1)
= 2
,5
2
=
6,25
е
(x
2)
=
3 2
=
9
е
(x
3)
=
3,5 2
=
12,25
е
(x
4)
=
4 2
=
16
е
(x
5)
=
4,5 2
=
20,25.
| X | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 |
| цагт | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 | 20,25 |
Томъёоны дагуу (1):
Тооцооллын харьцангуй алдааг тооцоолохын тулд интегралын яг утгыг олох шаардлагатай.
Тооцоолол удаан үргэлжилсэн бөгөөд бид нэлээд бүдүүлэг дугуйрсан. Энэ интегралыг бага дөхөж тооцоолохын тулд та компьютерийн техникийн боломжуудыг ашиглаж болно.
Тэгш өнцөгтийн аргаар тодорхой интеграл олохын тулд интегралын утгыг оруулах шаардлагатай. f(x)муж дахь Excel ажлын хуудас руу Xөгөгдсөн алхамаар X= 0,1.
- Өгөгдлийн хүснэгтийг эмхэтгэх (Xболон f(x)). X f(x). Аргумент, мөн B1 нүдэнд - үг Чиг үүрэг2 2,1 ). Дараа нь A2:A3 нүднүүдийн блокыг сонгосны дараа бид аргументийн бүх утгыг автоматаар бөглөх замаар авна (бид блокийн баруун доод булангаас цааш A32 нүд хүртэл утгыг сунгана. x=5).
- Дараа нь бид интегралын утгыг танилцуулж байна. B2 нүдэнд түүний тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд хүснэгтийн курсорыг B2 нүдэнд байрлуулж, гараас томьёог оруулна =A2^2(Англи хэлний гарны зохион байгуулалтын хувьд). Түлхүүрийг дар Оруулна уу. B2 нүдэнд харагдана 4
. Одоо та функцийг B2 нүднээс хуулах хэрэгтэй. Автоматаар бөглөх нь энэ томьёог B2:B32 мужид хуулна.
Үүний үр дүнд интегралыг олохын тулд өгөгдлийн хүснэгтийг авах шаардлагатай. - Одоо В33 нүднээс интегралын ойролцоо утгыг олж болно. Үүнийг хийхийн тулд B33 нүдэнд томъёог оруулна уу = 0,1*, Дараа нь Функцийн шидтэнг дууд (хэрэгслийн самбар дээрх функц оруулах товчийг дарж). (f(x)). Зүүн талд гарч ирэх "Function Wizard-Step 1 of 2" харилцах цонхны зүүн талын Ангилал талбараас Математикийг сонгоно. Баруун талд Function талбарт - Sum функц. Бид товчлуурыг дарна БОЛЖ БАЙНА УУ. Sum харилцах цонх гарч ирнэ. Ажлын талбарт B2:B31 нийлбэрийн мужийг хулганаар оруулна. Бид товчлуурыг дарна БОЛЖ БАЙНА УУ.В33 нүдэнд хүссэн интегралын ойролцоо утга сул талтай гарч ирнэ ( 37,955 ) .
Хүлээн авсан ойролцоо утгыг интегралын жинхэнэ утгатай харьцуулах ( 39 ), энэ тохиолдолд тэгш өнцөгтийн аргын ойролцоох алдаа нь тэнцүү байгааг харж болно.
=
|39 - 37
,
955| = 1
,045
Жишээ 2 Тэгш өнцөгтийн аргыг ашиглан өгөгдсөн алхамаар тооцоол X = 0,05.
Хүлээн авсан ойролцоо утгыг интегралын жинхэнэ утгатай харьцуулах 
, энэ тохиолдолд тэгш өнцөгтийн аргын ойролцоолох алдаа нь тэнцүү байгааг харж болно.
Трапецын арга нь ихэвчлэн тэгш өнцөгтийн аргаас илүү нарийвчлалтай интеграл утгыг өгдөг. Муруй шугаман трапецийг хэд хэдэн трапецын нийлбэрээр сольж, тодорхой интегралын ойролцоо утгыг трапецын талбайн нийлбэрээр олно.
[Зураг3]
Жишээ 3 Алхам алхмаар трапец хэлбэрийн олдвор X = 0,1.
- Хоосон ажлын хуудас нээнэ үү.
- Өгөгдлийн хүснэгтийг эмхэтгэх (Xболон f(x)).Эхний баганыг утгууд гэж үзье X, хоёр дахь харгалзах үзүүлэлтүүд f(x).Үүнийг хийхийн тулд A1 нүдэнд үгийг оруулна уу Аргумент, мөн B1 нүдэнд - үг Чиг үүрэг. A2 нүдэнд аргументын эхний утгыг оруулна - мужын зүүн хил ( 0 ). A3 нүдэнд аргументын хоёр дахь утгыг оруулсан болно - мужын зүүн хил дээр барилгын алхам ( 0,1 ). Дараа нь A2:A3 нүднүүдийн блокыг сонгосны дараа бид аргументын бүх утгыг автоматаар бөглөх замаар авна (бид блокны баруун доод буланг A33 нүд рүү сунгаж, утга руу шилжүүлнэ. x=3.1).
- Дараа нь бид интегралын утгыг танилцуулж байна. B2 нүдэнд түүний тэгшитгэлийг бичих ёстой (синусын жишээнд). Үүнийг хийхийн тулд хүснэгтийн курсорыг B2 нүдэнд байрлуулах ёстой. А2 нүдэнд аргументийн утгатай тохирох синус утга байх ёстой. Синусын утгыг авахын тулд бид тусгай функцийг ашиглана: хэрэгслийн самбар дээрх Insert функц товчийг дарна уу f(x). Зүүн талд гарч ирэх "Function Wizard-Step 1 of 2" харилцах цонхны зүүн талын Ангилал талбараас Математикийг сонгоно. Функцийн талбар дахь баруун талд - функц НҮГЭЛ. Бид товчлуурыг дарна БОЛЖ БАЙНА УУ.Харилцах цонх гарч ирнэ НҮГЭЛ. Хулганы заагчийг цонхны саарал талбар дээр аваачиж, зүүн товчийг дарж талбарыг баруун тийш шилжүүлж мэдээллийн баганыг нээнэ үү ( ГЭХДЭЭ). A2 нүдэн дээр дарж синус аргументын утгыг зааж өгнө үү. Бид товчлуурыг дарна БОЛЖ БАЙНА УУ. B2 нүдэнд 0 гарч ирнэ. Одоо та B2 нүднээс функцийг хуулах хэрэгтэй. Автоматаар бөглөх нь энэ томьёог B2:B33 мужид хуулна. Үүний үр дүнд интегралыг олохын тулд өгөгдлийн хүснэгтийг авах шаардлагатай.
- Одоо B34 нүдэнд интегралын ойролцоо утгыг трапецын аргыг ашиглан олж болно. Үүнийг хийхийн тулд B34 нүдэнд томъёог оруулна уу \u003d 0.1 * ((B2 + B33) / 2+,Дараа нь Функцийн шидтэнг дууд (хэрэгслийн самбар дээрх функц оруулах товчийг дарж). (f(x)). Зүүн талд гарч ирэх "Function Wizard-Step 1 of 2" харилцах цонхны зүүн талын Ангилал талбараас Математикийг сонгоно. Баруун талд Function талбарт - Sum функц. Бид товчлуурыг дарна БОЛЖ БАЙНА УУ. Sum харилцах цонх гарч ирнэ. Ажлын талбарт B3:B32 нийлбэрийн мужийг хулганаар оруулна. Бид товчлуурыг дарна БОЛЖ БАЙНА УУдахин нэг удаа БОЛЖ БАЙНА УУ.В34 нүдэнд хайж буй интегралын ойролцоо утга сул талтай гарч ирнэ ( 1,997 ) .
Хүлээн авсан ойролцоо утгыг интегралын жинхэнэ утгатай харьцуулж үзвэл энэ тохиолдолд тэгш өнцөгтийн аргын ойролцоолсон алдаа нь практикт нэлээд зөвшөөрөгдөх боломжтой болохыг харж болно.
- Дасгалын шийдэл.
Тодорхой интегралыг хэрхэн тооцоолох
трапецын томьёо болон Симпсоны аргыг ашиглах уу?
Тоон аргууд нь дээд математикийн нэлээд том хэсэг бөгөөд энэ сэдвээр ноцтой сурах бичгүүд хэдэн зуун хуудастай байдаг. Практикт тестийн хувьд зарим даалгавруудыг тоон аргаар шийдвэрлэхийг санал болгодог бөгөөд нийтлэг ажлуудын нэг нь ойролцоо тооцоолол юм. тодорхой интеграл. Энэ нийтлэлд би тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолох хоёр аргыг авч үзэх болно - трапецын аргаболон Симпсоны арга.
Эдгээр аргуудыг эзэмшихийн тулд юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Энэ нь инээдтэй сонсогдож байгаа ч та интегралыг огт авч чадахгүй байх магадлалтай. Тэр ч байтугай интеграл гэж юу болохыг ойлгохгүй байна. Техникийн хэрэгслээс танд бичил тооцоолуур хэрэгтэй болно. Тийм ээ, тийм ээ, бид ердийн сургуулийн тооцоог хүлээж байна. Илүү сайн, миний хагас автомат тооцоолуурыг трапецын арга болон Симпсоны аргыг татаж аваарай. Тооцоологч нь Excel дээр бичигдсэн бөгөөд даалгавруудыг шийдвэрлэх, боловсруулах хугацааг арав дахин багасгах боломжийг танд олгоно. Excel цайны аяганд зориулсан видео гарын авлагыг оруулсан болно! Дашрамд хэлэхэд миний хоолойтой анхны бичлэг.
Эхлээд өөрөөсөө асуулт асууя, яагаад ойролцоогоор тооцоолол хэрэгтэй байна вэ? Функцийн эсрэг деривативыг олж Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралын яг утгыг тооцоолох боломжтой юм шиг байна. Асуултанд хариулахын тулд зурагтай демо жишээг нэн даруй авч үзье.
Тодорхой интегралыг тооцоол
Бүх зүйл сайхан байх болно, гэхдээ энэ жишээнд интегралыг аваагүй болно - таныг авахаас өмнө, гэж нэрлэгддэг интеграл логарифм. Энэ интеграл байдаг уу? Зураг дээр интегралын графикийг дүрсэлцгээе. 
Бүх зүйл сайхан байна. Интеграл нь интервал дээр тасралтгүй байх ба тодорхой интеграл нь сүүдэрлэсэн талбайтай тоон утгаараа тэнцүү байна. Тийм ээ, энэ бол зүгээр л нэг гажиг юм - интегралыг авдаггүй. Ийм тохиолдолд тоон аргууд аврах ажилд ирдэг. Энэ тохиолдолд асуудал нь хоёр томъёололд тохиолддог:
1) Тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоол , үр дүнг тодорхой аравтын бутархай хүртэл дугуйруулна. Жишээлбэл, хоёр хүртэлх аравтын орон, гурав хүртэлх аравтын орон гэх мэт. Та ойролцоогоор 5.347 гэсэн хариулт авлаа гэж бодъё. Үнэн хэрэгтээ энэ нь бүрэн зөв биш байж магадгүй юм (үнэндээ илүү үнэн зөв хариулт нь 5.343 гэж бодъё). Бидний даалгавар зөвхөн үүндүр дүнг аравтын бутархайн гурван орон хүртэл дугуйлах.
2) Тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолох, тодорхой нарийвчлалтайгаар. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг ойролцоогоор 0.001 нарийвчлалтайгаар тооцоол. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бид ийм ойролцоо утгыг олох ёстой гэсэн үг юм модуль (нэг эсвэл өөр замаар)үнэнээс 0.001-ээс ихгүй зөрүүтэй байна.
Асуудалд тохиолддог тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолох хэд хэдэн үндсэн аргууд байдаг.
Интеграцийн сегментийг хэд хэдэн хэсэгт хувааж, хүссэн хэсэгтээ ойрхон шаталсан дүрсийг бүтээдэг. 
Зургийн дагуу хатуу дүгнэж болохгүй, нарийвчлал нь төгс биш - тэдгээр нь зөвхөн аргын мөн чанарыг ойлгоход тусална.
Санаа нь адилхан. Интеграцийн сегмент нь хэд хэдэн завсрын сегментүүдэд хуваагддаг бөгөөд интегралын график нь ханддаг. эвдэрсэн шугаммөр: 
Тиймээс бидний талбай (цэнхэр сүүдэр) нь трапецын (улаан) талбайн нийлбэрээр ойролцоо байна. Тиймээс аргын нэр гарч ирэв. Трапецын арга нь тэгш өнцөгтийн аргаас (ижил тооны хуваалтын сегменттэй) илүү сайн ойролцооллыг өгдөг болохыг харахад хялбар байдаг. Мэдээжийн хэрэг, бид илүү жижиг завсрын сегментүүдийг авч үзэх тусам нарийвчлал өндөр байх болно. Трапецын арга нь практик даалгаварт үе үе тохиолддог бөгөөд энэ өгүүлэлд хэд хэдэн жишээг авч үзэх болно.
Симпсоны арга (параболын арга). Энэ бол илүү төгс арга юм - интегралын график нь тасархай шугамаар биш харин жижиг параболуудаар ойртдог. Хэдэн завсрын сегментүүд - маш олон жижиг параболууд. Хэрэв бид ижил гурван сегментийг авбал Симпсоны арга нь тэгш өнцөгтийн арга эсвэл трапецын аргаас илүү нарийвчлалтай ойролцоо дүгнэлт өгөх болно.
Ойролцоогоор функцийн график дээр (өмнөх догол мөрний тасархай шугам, тэр ч байтугай бараг давхцаж байсан) харагдахуйц байх тул би зураг зурах гол санааг олж харахгүй байна.
Симпсоны томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох даалгавар бол практикт хамгийн түгээмэл ажил юм. Мөн параболын аргад ихээхэн анхаарал хандуулах болно.
Трапецын аргаар тодорхой интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ?
Нэгдүгээрт, ерөнхий томъёо. Магадгүй энэ нь хүн бүрт ойлгомжтой биш байх болно, тэр даруй биш ... Тийм ээ, Карлссон тантай хамт байна - практик жишээнүүд бүх зүйлийг тодруулах болно! Тайвшир. Зөвхөн тайван байдал.
Тодорхой интегралыг авч үзье , хаана нь сегмент дээр тасралтгүй функц байна . Сегментийг хувааж үзье тэнцүүсегментүүд:
. Энэ тохиолдолд мэдээжийн хэрэг: (интеграцын доод хязгаар) ба (интеграцын дээд хязгаар). оноо 
бас дууддаг зангилаа.
Дараа нь тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолж болно трапец хэлбэрийн томъёогоор:
, хаана:
алхам;
цэг дээрх интегралын утгууд юм 
.
Жишээ 1
Трапец хэлбэрийн томъёог ашиглан ойролцоогоор тодорхой интегралыг тооцоол. Үр дүнг гурван аравтын орон хүртэл дугуйруулна уу.
a) Интеграцийн сегментийг 3 хэсэгт хуваах.
б) Интеграцийн сегментийг 5 хэсэгт хуваах.
Шийдэл:
a) Ялангуяа даммигийн хувьд би эхний догол мөрийг зурган дээр холбосон бөгөөд энэ нь аргын зарчмыг тодорхой харуулсан. Хэрэв энэ нь хэцүү байх юм бол тайлбарын үеэр зургийг хараарай, эндээс нэг хэсэг байна. 
Нөхцөлөөр интеграцийн сегментийг 3 хэсэгт хуваах ёстой, өөрөөр хэлбэл, .
Хуваалтын сегмент бүрийн уртыг тооцоол. 
. Параметрийг бас гэж нэрлэдэг гэдгийг би танд сануулж байна алхам.
Хэдэн цэг (хуваалтын зангилаа) байх вэ? Тэнд байх болно дахиад нэгсегментийн тооноос:
За, трапецын ерөнхий томъёог тааламжтай хэмжээгээр багасгасан: 
Тооцооллын хувьд та ердийн бичил тооцоолуур ашиглаж болно. 
Тэрийг тэмдэглэ, асуудлын нөхцөлийн дагуу бүх тооцоог аравтын 3-р бутархай хүртэл дугуйруулна.
Эцэст нь:
Геометрийн үүднээс бид гурван трапецын талбайн нийлбэрийг тооцоолсон (дээрх зургийг харна уу).
б) Бид интеграцийн сегментийг 5 тэнцүү хэсэгт хуваадаг, өөрөөр хэлбэл, . Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? Фобос-Грунт далайд унахгүйн тулд сегментийн тоог нэмэгдүүлснээр бид тооцооллын нарийвчлалыг нэмэгдүүлдэг.
Хэрэв бол трапец хэлбэрийн томъёо дараах хэлбэртэй байна.
Хуваах алхамыг олцгооё: 
, өөрөөр хэлбэл завсрын сегмент бүрийн урт нь 0.6 байна.
Даалгаврыг дуусгахдаа бүх тооцоог тооцоолох хүснэгтээр хийх нь тохиромжтой.
Эхний мөрөнд бид "тоолуур" гэж бичнэ.
Хоёрдахь мөр хэрхэн үүссэнийг хүн бүр харж чадна гэж би бодож байна - эхлээд бид доод интеграцийн хязгаарыг бичиж, алхамыг дараалан нэмснээр үлдсэн утгыг авдаг.
Хамгийн гол нь ямар зарчмаар дүүрдэг вэ гэдгийг би бараг бүх хүн ойлгосон гэж бодож байна. Жишээлбэл, хэрэв , дараа нь 
. Юу гэж нэрлэдэг вэ, бодож үзээрэй, залхуу байх хэрэггүй.
Үр дүнд нь: 
За, үнэхээр тодруулга, ноцтой зүйл байна! Хэрэв хуваалтын 3 сегментийн хувьд ойролцоо утга байсан бол 5 сегментийн хувьд . Тиймээс, өндөр итгэлтэйгээр, наад зах нь гэж маргаж болно.
Жишээ 2
Хоёр аравтын орон (0.01 хүртэл) нарийвчлалтай трапец хэлбэрийн томъёог ашиглан ойролцоогоор тодорхойлогдсон интегралыг тооцоол.
Шийдэл:Бараг ижил асуудал, гэхдээ арай өөр найрлагатай. Жишээ 1-ээс үндсэн ялгаа нь бид бид мэдэхгүй, зөв аравтын бутархай хоёрыг авахын тулд интеграцийн сегментийг ХЭДЭН сегмент болгон хуваах. Өөрөөр хэлбэл, бид үнэ цэнийг мэдэхгүй байна.
Шаардлагатай нарийвчлалыг хангахын тулд хуваалтын сегментийн тоог тодорхойлох боломжийг олгодог тусгай томъёо байдаг боловч практик дээр үүнийг хэрэглэхэд ихэвчлэн хэцүү байдаг. Тиймээс хялбаршуулсан аргыг ашиглах нь ашигтай байдаг.
Нэгдүгээрт, интеграцийн сегмент нь дүрмээр бол 2-3-4-5 гэсэн хэд хэдэн том сегментүүдэд хуваагддаг. Жишээлбэл, интеграцийн сегментийг ижил 5 хэсэгт хуваацгаая. Томъёо нь аль хэдийн танил болсон:
Мөн алхам нь мэдээжийн хэрэг бас мэдэгдэж байна: 
Гэхдээ өөр нэг асуулт гарч ирнэ, үр дүнг хэдэн оронтой тоогоор дугуйлах ёстой вэ? Нөхцөлд хэдэн аравтын орон үлдээх талаар юу ч хэлээгүй. Ерөнхий зөвлөмж нь: Шаардлагатай нарийвчлалд 2-3 цифр нэмэх шаардлагатай. Энэ тохиолдолд шаардлагатай нарийвчлал нь 0.01 байна. Зөвлөмжийн дагуу таслалын дараа үнэнч байхын тулд бид таван тэмдэгт үлдээдэг (дөрөв нь байж болно):
Үр дүнд нь:
, бид ойролцоолсон утгыг .
Анхан шатны үр дүнгийн дараа сегментийн тоо давхар. Энэ тохиолдолд 10 сегментэд хуваах шаардлагатай. Сегментүүдийн тоо өсөхөд микро тооцоолуур руу хуруугаа оруулах нь ямар нэгэн байдлаар ядарсан гэсэн тод бодол толгойд орж ирдэг. Тиймээс би хагас автомат тооцоолуураа татаж аваад ашиглахыг дахин санал болгож байна (хичээлийн эхэнд байгаа холбоос).
Трапец хэлбэрийн хувьд дараах хэлбэрийг авна.
Цаасан хувилбарт оруулгыг дараагийн мөрөнд аюулгүйгээр шилжүүлж болно.
Хуваалтын алхамыг тооцоолъё: 
Тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд нэгтгэн харуулав. 
Тэмдэглэлийн дэвтэр дээр дуусгахдаа урт ширээг хоёр давхар ширээ болгон хувиргах нь давуу талтай.
Үр дүнд нь:
Одоо бид ойролцоогоор тооцооллын хоорондох зөрүүг тооцоолно.
Энд бид модулийн тэмдгийг ашигладаг, учир нь бид сонирхож байна үнэмлэхүй ялгаа, аль үр дүн нь их биш, аль нь бага байна.
Цаашдын үйлдлүүдийн хувьд би практик дээр хоёр шийдэлтэй тулгарсан.
1) Эхний арга бол "толгой харьцуулах" арга юм. Үүссэн алдааны тооцооноос хойш илүүшаардлагатай нарийвчлалаас илүү: 
, дараа нь хуваалтын сегментийн тоог хоёр дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай бөгөөд аль хэдийн тооцоолох хэрэгтэй. Excel тооцоолуурын тусламжтайгаар эцсийн үр дүнг хэдхэн секундын дотор авах боломжтой. Одоо бид алдааг дахин тооцоолж байна: . Оноо авсан багашаардлагатай нарийвчлалаас илүү: 
, тиймээс тооцоолол дууссан. Сүүлийн (хамгийн үнэн зөв) үр дүнг хоёр аравтын бутархай болгон дугуйлж, хариулт өгөхөд л үлддэг.
2) Өөр нэг, илүү үр дүнтэй арга нь гэж нэрлэгддэг ашиглахад суурилдаг Гүйлтийн дүрэм, үүний дагуу бид тодорхой интегралыг үнэн хэрэгтээ -ээс ихгүй хэмжээгээр үнэлж байгаа нь буруу юм. Бидний асуудалд: , ингэснээр тооцоо хийх хэрэгцээ алга болно. Гэсэн хэдий ч, энэ тохиолдолд шийдлийн хурдыг хангахын тулд бид үнэн зөв төлөх шаардлагатай болсон: 
. Гэсэн хэдий ч энэ үр дүн нь хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц байна, учир нь бидний "алдааны хязгаар" нь яг зууны нэг юм.
Юу сонгох вэ? Сургалтын гарын авлага эсвэл багшийн сонголтод анхаарлаа хандуулаарай.
Хариулт: 
0.01 хүртэл нарийвчлалтай (Рунжийн дүрмийг ашиглах үед).
Жишээ 3
Ойролцоогоор тодорхой интегралыг трапец хэлбэрийн томъёогоор 0.001 нарийвчлалтайгаар тооцоол.
Таны өмнө дахин аваагүй интеграл (бараг интеграл косинус). Дээжийн шийдэлд эхний алхамд 4 сегмент болгон хуваах ажлыг хийсэн, өөрөөр хэлбэл . Бүрэн шийдэл, хичээлийн төгсгөлд дуусгах ойролцоо жишээ.
Симпсоны томъёог ашиглан тодорхой интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ?
Хэрэв та энэ хуудаснаас зөвхөн Симпсон аргыг хайж байгаа бол эхлээд хичээлийн эхэнд уншиж, ядаж эхний жишээг үзэхийг зөвлөж байна. Учир нь олон санаа, техник нь трапецын аргатай төстэй байх болно.
Дахин хэлэхэд ерөнхий томъёоноос эхэлье
Тодорхой интегралыг авч үзье , хаана нь сегмент дээр тасралтгүй функц байна . Сегментийг хувааж үзье бүрхэмжээ тэнцүүсегментүүд. Тэгш тооны сегментийг -ээр тэмдэглэнэ.
Практикт сегментүүд нь дараахь байж болно.
хоёр:
дөрөв:
найм:
арав:
хорин:
Би өөр сонголтуудыг санахгүй байна.
Анхаар!Тоо гэдэг нь НЭГ ДУГААР гэж ойлгогддог. Тэр бол, ХОРИГЛОНОЖишээ нь, хоёроор багасгах, авах. Бичлэг хийж байна зөвхөн ны төлөөсегментүүдийн тоо жигд. Мөн танах гэж ярих зүйл алга.
Тиймээс бидний хуваалт дараах байдалтай байна.
Нэр томъёо нь трапец хэлбэрийн аргынхтай төстэй:
Цэгүүд гэж нэрлэдэг зангилаа.
Симпсоны томъёоТодорхой интегралын ойролцоо тооцооллын хувьд дараах хэлбэртэй байна.
, хаана:
- жижиг сегмент бүрийн урт эсвэл алхам;
цэгүүд дэх интегралын утгууд юм.
Энэ овоолгыг нарийвчлан авч үзвэл би томъёог илүү нарийвчлан шинжлэх болно.
интегралын эхний ба сүүлчийн утгуудын нийлбэр;
бүхий гишүүдийн нийлбэр юм бүриндексийг 2-оор үржүүлсэн;
бүхий гишүүдийн нийлбэр юм хачининдексийг 4-ээр үржүүлнэ.
Жишээ 4
Ойролцоох интегралыг Симпсоны томъёогоор 0.001-ийн нарийвчлалтайгаар тооцоол. Хуваах ажлыг хоёр сегментээс эхэлнэ 
Дашрамд хэлэхэд интегралыг дахин аваагүй болно.
Шийдэл:Би нэн даруй даалгаврын төрөлд анхаарлаа хандуулдаг - тодорхой интегралыг тооцоолох шаардлагатай тодорхой нарийвчлалтайгаар. Энэ нь юу гэсэн үг болохыг өгүүллийн эхэнд, мөн өмнөх догол мөрийн тодорхой жишээн дээр аль хэдийн тайлбарласан болно. Трапец хэлбэрийн аргын хувьд шаардлагатай нарийвчлалыг баталгаажуулахын тулд шаардлагатай тооны сегментийг ("en" утга) нэн даруй тодорхойлох томъёо байдаг. Үнэн бол бид дөрөв дэх деривативыг олж, экстремаль асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно. Хэн миний юу хэлэх гээд байгааг ойлгож, ажлын хэмжээг тооцоолсон гэж тэр инээмсэглэв. Гэсэн хэдий ч энд инээдтэй зүйл байхгүй, ийм интегралын дөрөв дэх деривативыг олох нь мегаботан байхаа больсон, харин эмнэлзүйн психопат болно. Тиймээс практикт алдааг тооцоолох хялбаршуулсан аргыг бараг үргэлж ашигладаг.
Бид шийдэж эхэлнэ. Хэрэв бид хоёр хуваалтын сегменттэй бол зангилаанууд байх болно дахиад нэг: . Симпсоны томъёо нь маш нягт хэлбэртэй байдаг: 
Хуваалтын алхамыг тооцоолъё: 
Тооцооллын хүснэгтийг бөглөцгөөе.
Хүснэгтийг хэрхэн дүүргэх талаар би дахин нэг удаа тайлбар хийлээ.
Дээд мөрөнд бид индексийн "тоолуур" бичнэ
Хоёр дахь мөрөнд бид эхлээд интеграцийн доод хязгаарыг бичиж, дараа нь алхамыг дараалан нэмнэ.
Гурав дахь мөрөнд бид интегралын утгыг оруулна. Жишээлбэл, хэрэв , дараа нь . Хэдэн аравтын орон үлдээх вэ?Үнэн хэрэгтээ нөхцөл байдал энэ талаар юу ч хэлэхгүй. Энэ зарчим нь трапец хэлбэрийн аргын адил бөгөөд бид шаардлагатай нарийвчлалыг хардаг: 0.001. Мөн нэмэлт 2-3 оронтой тоо нэмнэ. Өөрөөр хэлбэл, та аравтын бутархайн 5-6 орон хүртэл дугуйлах хэрэгтэй.
Үр дүнд нь:
Эхний үр дүн гарлаа. Одоо давхардөрөв хүртэлх сегментийн тоо: . Энэ хуваалтын Симпсоны томъёо дараах хэлбэртэй байна.
Хуваалтын алхамыг тооцоолъё: 
Тооцооллын хүснэгтийг бөглөцгөөе. 
Энэ замаар:
Ойролцоогоор зөрүүний үнэмлэхүй утгыг олъё:
Симпсоны аргын хувьд Runge-ийн дүрэм амттай байдаг. Хэрэв хэрэглэж байх үед дунд тэгш өнцөгт аргаба трапецын аргын хувьд бид гуравны нэг, одоо арван тавны нэг хүртэл "хөгшөөл" өгдөг.
, мөн нарийвчлал энд дахиж зовохгүй: 
Гэхдээ бүрэн гүйцэд байлгахын тулд би "энгийн" шийдлийг өгөх болно, үүнд та нэмэлт алхам хийх хэрэгтэй: шаардлагатай нарийвчлалаас илүү байгаа тул: 
, дараа нь сегментийн тоог дахин хоёр дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай: .
Симпсоны томъёо үсрэлт, хязгаараар өсч байна:
Алхамыг тооцоолъё: 
Хүснэгтийг дахин бөглөцгөөе:
Энэ замаар: 
Симпсоны томьёо нэлээд төвөгтэй тул та тэр даруй цохивол: Энд тооцооллыг илүү нарийвчлан тайлбарлах нь зүйтэй гэдгийг анхаарна уу.
, тэгвэл энэ архи нь хакердсан мэт харагдах болно. Илүү нарийвчилсан бичлэг хийснээр багш таныг нэг цагийн турш бичил тооцоолуурын түлхүүрүүдийг ухамсартайгаар устгасан гэсэн таатай сэтгэгдэл төрүүлэх болно. "Хэцүү" тохиолдлуудын нарийвчилсан тооцоог миний тооцоолуурт оруулсан болно.
Бид алдааг тооцоолно:
Алдаа нь шаардлагатай нарийвчлалаас бага байна: 
. Хамгийн зөв тооцоолол хийж, аравтын гурван орон хүртэл дугуйлж, дараахийг бичнэ үү.
Хариулт: 
0.001 хүртэл нарийвчлалтай
Жишээ 5
Симпсоны томъёог ашиглан 0.0001-ийн нарийвчлалтай ойролцоо интегралыг тооцоол. Хуваах ажлыг хоёр сегментээс эхэлнэ 
Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Ажлыг дуусгах бүдүүлэг жишээ, хичээлийн төгсгөлд хариулт.
Хичээлийн эцсийн хэсэгт бид хэд хэдэн нийтлэг жишээг авч үзэх болно.
Жишээ 6
Тодорхой интегралын ойролцоо утгыг тооцоол 
Симпсоны томъёог ашиглан интеграцийн сегментийг 10 хэсэгт хуваана. Тооцооллыг гурван аравтын оронтой нарийвчлалтайгаар хийдэг.
- Бодисын хугарлын илтгэгч юунаас хамаардаг вэ?
- Долгионы урт ба долгионы тархалтын хурд
- Функцийн экстремумыг (хамгийн бага ба хамгийн их цэг) хэрхэн олох вэ
- Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын хууль
- Бөөм ба эсрэг бөөмсийн дайн Эсрэг бөөмсийг нээсэн түүх
- Эргэдэг биеийн кинетик энерги
- Лоренцын хүч, тодорхойлолт, томьёо, физик утга Лоренцын хүч si
- усанд ууссан хатуу бодис
- Баримтлал гэдэг үгийн утга
- Фурье цуваа тэгш ба сондгой функцын өргөтгөл Бесселийн тэгш бус байдлын задралын тэгш байдал Фурье цувралын нарийн төвөгтэй шийдлийн жишээ.
- Өдөр бүр Функцийг Фурье цувралд өргөжүүлнэ үү
- Excel дэх хамгийн бага квадратууд
- n функцийн шугаман хамаарлын зайлшгүй нөхцөл
- Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан таамаглал боловсруулах
- Гадаргуугийн хурцадмал байдлыг хэрхэн хэмжих вэ Гадаргуугийн хурцадмал байдал гэж юу вэ
- EXCEL дээр жигд тасралтгүй тархалт
- Трапецын арга Трапецын томъёог ашиглан интегралыг тооцоолох
- Функцийг Фурье интегралаар илэрхийлэх хангалттай нөхцөл
- EMF гэж юу вэ, ямар нэгжээр хэмжигддэг вэ
- Хатуу, шингэн, хийд бөөмс хэрхэн байрладаг вэ?