Тригонометрийн Фурье цуврал. тригонометрийн цуврал. Фурье цуврал. Төгсгөлийн ялгаа аргын хэрэглээ

Хэд хэдэн тохиолдолд (C) хэлбэрийн цувааны коэффициентийг судалж үзэхэд эдгээр цувралууд нь нийлдэг (магадгүй бие даасан цэгүүдийг эс тооцвол) бөгөөд тэдгээрийн нийлбэрийн хувьд Фурьегийн цуваа болохыг тогтоож болно (жишээлбэл, өмнөх n°-ыг үзнэ үү). ), гэхдээ эдгээр бүх тохиолдолд асуулт аяндаа гарч ирдэг

Эдгээр цувааны нийлбэрийг хэрхэн олох, эсвэл бүр тодорхой хэлбэл, хэрэв тэдгээр нь огт ийм хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн бол тэдгээрийг үндсэн функцүүдийн хувьд эцсийн хэлбэрээр хэрхэн илэрхийлэх вэ. Эйлер (мөн Лагранж) хүртэл тригонометрийн цувааг эцсийн хэлбэрээр нэгтгэхийн тулд нийлмэл хувьсагчийн аналитик функцуудыг амжилттай ашигласан. Эйлерийн аргын цаад санаа нь дараах байдалтай байна.

Тодорхой багц коэффициентүүдийн хувьд цуврал (C) нь зөвхөн бие даасан цэгүүдийг эс тооцвол интервалын хаа сайгүй функцүүдэд нийлдэг гэж үзье. Одоо нийлмэл хувьсагчийн зэрэглэлд байрлуулсан ижил коэффициент бүхий чадлын цувааг авч үзье

Нэгж тойргийн тойрог дээр, тухайлбал цагт, энэ цуваа нь бие даасан цэгүүдийг эс тооцвол таамаглалаар нийлдэг.

Энэ тохиолдолд хүч чадлын цувааны алдартай шинж чанарын дагуу цуврал (5) нь нэгж тойрог дотор нийлж, цогц хувьсагчийн тодорхой функцийг тодорхойлдог. Бидний мэддэг хэрэглээ [харна уу. § 5-р бүлгийн XII] цогцолбор хувьсагчийн үндсэн функцүүдийн өргөтгөл, функцийг тэдгээрт багасгах нь ихэвчлэн боломжтой байдаг.Тэгвэл бидэнд:

мөн Абел теоремоор (6) цуваа нийлмэгц түүний нийлбэр нь хязгаар болно.

Ихэвчлэн энэ хязгаар нь ердөө л тэнцүү бөгөөд энэ нь функцийг эцсийн хэлбэрээр тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог

Жишээлбэл, цувралыг үзье

Өмнөх догол мөрөнд нотлогдсон мэдэгдлүүд нь эдгээр цуврал хоёулаа нийлдэг гэсэн дүгнэлтэд хүргэж байна (эхнийх нь 0 ба цэгүүдийг оруулаагүй)

Тэдний тодорхойлсон функцүүдийн хувьд Фурьегийн цуваа болж үйлчилнэ.Гэхдээ эдгээр функцүүд юу вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд бид цуврал хийдэг

Логарифмын цуваатай ижил төстэй байдлаар түүний нийлбэрийг хялбархан тогтооно.

Үүний үр дүнд,

Одоо хялбар тооцоолол нь:

Тэгэхээр энэ илэрхийллийн модуль нь , аргумент нь .

тэгээд эцэст нь

Эдгээр үр дүн нь бидэнд танил бөгөөд тэр ч байтугай нэг удаа "цогцолбор" үзэл баримтлалын тусламжтайгаар олж авсан; гэхдээ эхний тохиолдолд бид функцууд болон , хоёрдугаарт - аналитик функцээс эхэлсэн.Энд анх удаа цувралууд өөрсдөө эхлэлийн цэг болсон. Уншигч энэ төрлийн бусад жишээг дараагийн хэсгээс олох болно.

Нийцэл ба цуваа (C) болон тэдгээрийн нийлбэрийг хязгаарлах тэгш байдлыг (7) ашиглан тодорхойлох эрхтэй байхын тулд урьдчилан итгэлтэй байх ёстой гэдгийг бид дахин нэг удаа онцолж байна. Энэхүү тэгш байдлын баруун талд хязгаар байгаа нь дээрх цувралууд нийлдэг гэж дүгнэх боломж олгохгүй байна. Үүнийг жишээгээр харуулахын тулд цувралыг авч үзье

Стандарт аргууд, гэхдээ өөр жишээгээр мухардалд хүрсэн.

Хэцүү зүйл юу вэ, хаана гацах вэ? Савантай олсыг хойш тавьж, шалтгааныг тайвнаар шинжилж, шийдвэрлэх практик аргуудтай танилцъя.

Эхний бөгөөд хамгийн чухал: дийлэнх тохиолдолд цувралын нийлэлтийг судлахын тулд зарим нэг танил аргыг хэрэглэх шаардлагатай байдаг ч цувралын нийтлэг нэр томьёо нь ийм төвөгтэй дүүргэлтээр дүүрэн байдаг тул үүнийг юу хийх нь тодорхойгүй байдаг. . Мөн та дугуйлан тойрон эргэлддэг: эхний тэмдэг ажиллахгүй, хоёр дахь нь ажиллахгүй, гурав, дөрөв, тав дахь арга нь ажиллахгүй, дараа нь ноорогуудыг хойш нь хаяж, бүх зүйл шинээр эхэлнэ. Энэ нь ихэвчлэн тооцооллын бусад хэсгүүдэд туршлага дутмаг эсвэл цоорхойтой холбоотой байдаг. Ялангуяа гүйж байгаа бол дарааллын хязгаарлалтмөн өнгөцхөн задалсан функцийн хязгаарлалт, тэгвэл хэцүү байх болно.

Өөрөөр хэлбэл, хүн мэдлэг, туршлагагүйн улмаас шаардлагатай шийдлийг олж хардаггүй.

Заримдаа, жишээлбэл, цувралыг нэгтгэхэд шаардлагатай шалгуур нь хангагдаагүй, харин мунхаглал, хайхрамжгүй байдал, хайхрамжгүй байдлаас болж энэ нь харагдахгүй болоход "хүртэлт" нь бас буруутай. Математикийн профессор зэрлэг давтагдах дараалал, тооны цувралын тусламжтайгаар хүүхдийн асуудлыг шийдсэн дугуйн дээрх шиг харагдаж байна =)

Шилдэг уламжлалд нэн даруй амьд жишээнүүд: эгнээ болон тэдний хамаатан садан нь онолын хувьд нотлогдож байгаа тул салж байна дарааллын хязгаарлалт. Эхний семестрт та 1-2-3 хуудас нотлохын тулд сэтгэлээсээ цохигдох магадлалтай, гэхдээ одоо цувралыг нэгтгэхэд шаардлагатай нөхцөл хангагдаагүй байгааг харуулахад хангалттай. мэдэгдэж байгаа баримтууд руу. Алдартай юу? Хэрэв оюутан n-р зэргийн үндэс нь туйлын хүчирхэг зүйл гэдгийг мэдэхгүй бол цуврал гэж хэлье түүнийг эмх замбараагүй байдалд оруул. Хэдийгээр шийдэл нь хоёр ба хоёр шиг: , i.e. тодорхой шалтгааны улмаас цуврал хоёулаа ялгаатай. "Эдгээр хязгаар нь онолын хувьд батлагдсан" гэсэн даруухан тайлбар (эсвэл бүр огт байхгүй) нь нөхөхөд хангалттай бөгөөд тооцоолол нь нэлээд хүнд бөгөөд тэдгээр нь тоон цувралын хэсэгт хамаарахгүй нь гарцаагүй.

Дараагийн жишээнүүдийг судалсны дараа та олон шийдлийн товч бөгөөд ил тод байдлыг гайхах болно.

Жишээ 1

Цувралын нийлэлтийг судал

Шийдэл: юуны түрүүнд гүйцэтгэлийг шалгана уу нийлэх зайлшгүй шалгуур. Энэ бол албан ёсны зүйл биш, харин "бага зэрэг цус урсгасан" жишээтэй тэмцэх том боломж юм.

"Үзэгдлийн үзлэг" нь дивергент цувралыг санал болгож байна (ерөнхий гармоник цувралын тохиолдол) гэхдээ дахин асуулт гарч ирнэ, тоологч дахь логарифмыг хэрхэн тооцох вэ?

Хичээлийн төгсгөлд хийх даалгаврын ойролцоо жишээ.

Хоёр талын (эсвэл бүр гурван талын) үндэслэлийг гаргах нь ховор тохиолддог.

Жишээ 6

Цувралын нийлэлтийг судал

Шийдэл: эхлээд тоологчийн үг хэллэгтэй болгоомжтой харьц. Дараалал нь хязгаарлагдмал: . Дараа нь:

Цувралтайгаа харьцуулж үзье. Саяхан олж авсан давхар тэгш бус байдлын ачаар бүх "en" хувьд энэ нь үнэн байх болно:

Одоо цувралыг дивергент гармоник цувралтай харьцуулж үзье.

Бутархай хуваагч багабутархайн хуваагч, тэгэхээр бутархай өөрөө – илүүбутархай (тодорхой биш бол эхний хэдэн нэр томъёог бичнэ үү). Тиймээс аливаа "en"-ийн хувьд:

Тиймээс, харьцуулбал цуврал ялгаатайгармоник цувралын хамт.

Хэрэв бид хуваагчийг бага зэрэг өөрчилбөл: , тэгвэл үндэслэлийн эхний хэсэг нь ижил төстэй байх болно: . Гэхдээ цувааны зөрүүг нотлохын тулд тэгш бус байдал нь худал тул зөвхөн харьцуулах хязгаарын тестийг ашиглах боломжтой.

Цуваа нийлэх нөхцөл байдал нь "толь", жишээлбэл, цувралын хувьд харьцуулах шалгуурыг хоёуланг нь ашиглаж болно (тэгш бус байдал нь үнэн), цувралын хувьд зөвхөн хязгаарлах шалгуурыг (тэгш бус байдал худал) ашиглаж болно.

Сайхан, шүүслэг гөрөөсний сүрэг тэнгэрийн хаяанд тодорч байсан зэрлэг байгальд бид сафаригаа үргэлжлүүлж байна.

Жишээ 7

Цувралын нийлэлтийг судал

Шийдэл: шаардлагатай нэгдэх шалгуур хангагдсан бөгөөд бид дахин сонгодог асуултыг асууж байна: юу хийх вэ? Бидний өмнө нэгдмэл цуваатай төстэй зүйл байдаг, гэхдээ энд тодорхой дүрэм байдаггүй - ийм холбоо нь ихэвчлэн хууран мэхэлсэн байдаг.

Ихэнхдээ, гэхдээ энэ удаад биш. Ашиглах замаар Харьцуулах шалгуурыг хязгаарлахЦуваагаа нэгтгэсэн цуваатай харьцуулж үзье. Хязгаарыг тооцоолохдоо бид ашигладаг гайхалтай хязгаар , хаана байна хязгааргүй жижигзогсож байна:

нийлдэг-ын дэргэд .

"Гурав"-аар үржүүлэх, хуваах стандарт хиймэл техникийг ашиглахын оронд нийлэх цуваатай харьцуулах боломжтой байсан.
Гэхдээ энд ерөнхий нэр томъёоны тогтмол үржүүлэгч нь цувралын нэгдэлд нөлөөлөхгүй гэдгийг анхааруулж байна. Яг энэ хэв маягаар дараах жишээний шийдлийг зохион бүтээсэн болно.

Жишээ 8

Цувралын нийлэлтийг судал

Хичээлийн төгсгөлд жишээ.

Жишээ 9

Цувралын нийлэлтийг судал

Шийдэл: өмнөх жишээнүүдэд бид синусын хязгаарлагдмал байдлыг ашигласан бол одоо энэ шинж чанар нь ажиллахгүй байна. Дээдийн бутархайн хуваагч өсөлтийн дараалалтоологчоос илүү, тиймээс синус аргумент болон бүхэл нийтлэг гишүүн байх үед хязгааргүй жижиг. Таны ойлгож байгаагаар нэгдэх зайлшгүй нөхцөл нь хангагдсан бөгөөд энэ нь биднийг ажлаас зайлсхийх боломжийг олгодоггүй.

Бид хайгуул хийх болно: дагуу гайхалтай тэнцэл , оюун санааны хувьд синусыг хаяж, цуврал авах. За, нэг тиймэрхүү зүйл….

Шийдвэр гаргах:

Судалж буй цувааг ялгаатай цувралтай харьцуулж үзье. Бид хязгаарыг харьцуулах шалгуурыг ашигладаг:

Төгсгөлгүй жижиг тоог тэнцүү нэгээр орлуулъя: for .

Тэгээс өөр хязгаарлагдмал тоо гарна гэдэг нь судалж буй цуваа гэсэн үг ялгаатайгармоник цувралын хамт.

Жишээ 10

Цувралын нийлэлтийг судал

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм.

Ийм жишээн дээр цаашдын үйлдлүүдийг төлөвлөхөд синус, арксинус, тангенс, арктангенсыг оюун санааны хувьд үгүйсгэх нь маш их тусалдаг. Гэхдээ энэ боломж зөвхөн тэр үед л байдаг гэдгийг санаарай хязгааргүй жижигмаргаан, удалгүй би өдөөн хатгасан цувралтай танилцсан:

Жишээ 11

Цувралын нийлэлтийг судал
.

Шийдэл: энд нумын тангенсийн хязгаарлагдмал байдлыг ашиглах нь ашиггүй бөгөөд эквивалент нь бас ажиллахгүй. Гаралт нь гайхалтай энгийн:


Судалгааны цуврал ялгаатай, учир нь цувааг нэгтгэхэд шаардлагатай шалгуур хангагдаагүй байна.

Хоёр дахь шалтгаан"Ажил дээрээ гаг" нь нийтлэг гишүүний зохистой боловсронгуй байдлаас бүрддэг бөгөөд энэ нь техникийн шинж чанартай хүндрэл учруулдаг. Товчхондоо, хэрэв дээр дурдсан цувралууд нь "таны таамагласан тоо" гэсэн ангилалд хамаарах бол эдгээр нь "та өөрөө шийднэ" гэсэн ангилалд хамаарна. Үнэндээ үүнийг "ердийн" утгаараа нарийн төвөгтэй байдал гэж нэрлэдэг. Хүн бүр саваннагийн хэд хэдэн хүчин зүйл, зэрэг, үндэс болон бусад оршин суугчдыг зөв шийдэж чаддаггүй. Мэдээжийн хэрэг, хүчин зүйл нь хамгийн их асуудал үүсгэдэг:

Жишээ 12

Цувралын нийлэлтийг судал

Факториалыг хэрхэн хүчирхэг болгох вэ? Амархан. Эрх мэдэл бүхий үйл ажиллагааны дүрмийн дагуу бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг дараахь хүчин чадалд хүргэх шаардлагатай.

Мэдээжийн хэрэг, анхаарал хандуулж, дахин нэг удаа анхаарлаа хандуулаарай, d'Alembert тэмдэг нь өөрөө уламжлал ёсоор ажилладаг.

Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.

Тодорхой бус байдлыг арилгах оновчтой арга техникийг би танд сануулж байна: тодорхой үед өсөлтийн дараалалтоологч ба хуваагч - энэ нь зовж шаналах, хаалт нээх шаардлагагүй юм.

Жишээ 13

Цувралын нийлэлтийг судал

Энэ араатан маш ховор боловч олддог бөгөөд камерын линзээр үүнийг тойрч гарах нь шударга бус хэрэг болно.

Давхар анхаарлын тэмдэгт хүчин зүйл гэж юу вэ? Факториал эерэг тэгш тооны үржвэрийг "салхи":

Үүний нэгэн адил, факториал эерэг сондгой тооны үржвэрийг "салгана":

Энэ хооронд ямар ялгаа байгааг шинжлэх

Жишээ 14

Цувралын нийлэлтийг судал

Мөн энэ даалгаварт зэрэгтэй андуурахгүй байхыг хичээ, гайхалтай тэнцэлболон гайхалтай хязгаарууд.

Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариултын жишээ.

Гэхдээ оюутан зөвхөн баруудыг тэжээхээс гадна зальтай ирвэсүүд олзоо хайж олдог:

Жишээ 15

Цувралын нийлэлтийг судал

Шийдэл: шаардлагатай нэгдэх шалгуур, хязгаарлах шалгуур, д'Аламберт, Коши шалгуурууд бараг тэр дороо алга болдог. Гэхдээ хамгийн муу нь биднийг дахин дахин аварч байсан тэгш бус байдлын шинж чанар нь хүчгүй юм. Үнэн хэрэгтээ тэгш бус байдал үүссэн тул салангид цуваатай харьцуулах боломжгүй юм буруу - үржүүлэгч-логарифм нь зөвхөн хуваагчийг нэмэгдүүлж, бутархайг өөрөө багасгадаг. бутархайтай холбоотой. Мөн өөр нэг дэлхий нийтийн асуулт: яагаад бид өөрсдийн цуврал гэдэгт итгэлтэй байна вэ? салах нь гарцаагүй бөгөөд зарим нэг зөрүүтэй цуваатай харьцуулах ёстой юу? Тэр ерөөсөө таарч байна уу?

Интеграл шинж чанар? Буруу интеграл гашуудлын сэтгэлийг төрүүлдэг. Одоо хэрүүл маргаантай байсан бол ... тэгвэл тийм. Зогс! Ингэж л санаа төрдөг. Бид хоёр алхамаар шийдвэр гаргадаг.

1) Эхлээд бид цувралын нийлэлтийг судалдаг . Бидний хэрэглэдэг салшгүй шинж чанар:

Интеграл Үргэлжилсэндээр

Тиймээс тоо харгалзах буруу интегралтай хамт ялгадаг.

2) Манай цувралыг дивергент цувралтай харьцуул . Бид хязгаарыг харьцуулах шалгуурыг ашигладаг:

Тэгээс өөр хязгаарлагдмал тоо гарна гэдэг нь судалж буй цуваа гэсэн үг ялгаатайхажуугийн хамт .

Ийм шийдвэрт ер бусын, бүтээлч зүйл байхгүй - үүнийг ингэж шийдэх ёстой!

Би дараах хоёр хөдөлгөөнийг бие даан гаргахыг санал болгож байна.

Жишээ 16

Цувралын нийлэлтийг судал

Туршлагатай оюутан ихэнх тохиолдолд цувралууд нэгдэж эсвэл хуваагдаж байгааг тэр даруй олж хардаг боловч махчин амьтан бутанд ухаалгаар нуугдаж байдаг.

Жишээ 17

Цувралын нийлэлтийг судал

Шийдэл: эхлээд харахад энэ цуврал хэрхэн ажилладаг нь тодорхойгүй байна. Хэрэв бидний өмнө манан байгаа бол цувралыг нэгтгэхэд шаардлагатай нөхцөл байдлыг шалгахаас эхлэх нь логик юм. Тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд бид живэх боломжгүй зүйлийг ашигладаг хавсарсан илэрхийллээр үржүүлэх, хуваах арга:

Шаардлагатай нэгдэх шинж тэмдэг ажиллахгүй байсан ч манай Тамбовын нөхрийг гэрэлд авчирсан. Гүйцэтгэсэн хувиргалтын үр дүнд ижил төстэй цувралыг олж авав , энэ нь эргээд нэгдэх цуваатай маш төстэй юм.

Бид цэвэр шийдлийг бичнэ:

Энэ цувралыг нийлэх цуваатай харьцуул. Бид хязгаарыг харьцуулах шалгуурыг ашигладаг:

Хавсарсан илэрхийллээр үржүүлж хуваах:

Тэгээс өөр хязгаарлагдмал тоо гарна гэдэг нь судалж буй цуваа гэсэн үг нийлдэг-ын дэргэд .

Зарим хүмүүс манай Африкийн сафари дээр чоно хаанаас ирсэн бэ гэсэн асуулт гарч ирж магадгүй юм. Мэдэхгүй ээ. Тэд авчирсан байх. Та дараах цомын арьсыг авах болно.

Жишээ 18

Цувралын нийлэлтийг судал

Хичээлийн төгсгөлд жишээ шийдэл

Эцэст нь олон оюутнуудад цөхрөнгөө барсан өөр нэг бодол: цуваа нийлэхэд ховор шалгуурыг ашиглах эсэхийн оронд? Раабегийн тэмдэг, Абелын тэмдэг, Гауссын тэмдэг, Дирихлетийн тэмдэг болон бусад үл мэдэгдэх амьтад. Санаа нь ажиллаж байгаа боловч бодит жишээн дээр энэ нь маш ховор хэрэгждэг. Би хувьдаа бүх жил дадлага хийхдээ 2-3 удаа л хандсан Раабегийн тэмдэгстандарт арсеналаас юу ч тусалсангүй. Би туйлын эрэл хайгуулынхаа явцыг бүрэн эхээр нь хүргэж байна:

Жишээ 19

Цувралын нийлэлтийг судал

Шийдэл: Ямар ч эргэлзээгүйгээр д'Аламберын тэмдэг. Тооцооллын явцад би градусын шинж чанарыг идэвхтэй ашигладаг хоёр дахь гайхалтай хязгаар:

Энд танд нэг юм. Д'Аламберын тэмдэг хариу өгсөнгүй, гэвч ийм үр дүнг юу ч илэрхийлээгүй.

Гарын авлагыг уншсаны дараа би онолын хувьд батлагдсан бага зэрэг мэддэг хязгаарыг олж, илүү хүчтэй радикал Коши шалгуурыг ашигласан:

Энд танд хоёр байна. Хамгийн гол нь цувралууд хоорондоо нийлдэг эсвэл хуваагддаг эсэх нь тодорхойгүй байна (миний хувьд маш ховор тохиолдол). Харьцуулахад шаардлагатай тэмдэг үү? Нэг их найдваргүй - би тоологч ба хуваагчийн өсөлтийн дарааллыг төсөөлшгүй байдлаар олж мэдсэн ч энэ нь шагналын баталгаа болж чадахгүй.

Бүрэн d'Alembert, гэхдээ хамгийн муу зүйл бол цувралыг шийдэх хэрэгтэй. Хэрэгцээтэй. Эцсийн эцэст энэ бол миний бууж өгөх анхны тохиолдол байх болно. Тэгээд илүү хүчтэй шинж тэмдгүүд байгаа юм шиг санагдав. Миний өмнө чоно, ирвэс, бар байхаа больсон. Энэ бол том биетэй том заан даллаж байв. Би гранат хөөргөгч авах хэрэгтэй болсон:

Раабегийн тэмдэг

Эерэг тооны цувралыг авч үзье.
Хэрэв хязгаар байгаа бол , дараа нь:
a) дараалан ялгаатай. Үүнээс гадна, үр дүнгийн утга нь тэг эсвэл сөрөг байж болно.
б) дараалан нийлдэг. Ялангуяа цуврал нь нийлдэг.
в) Хэзээ Раабегийн тэмдэг хариу өгөхгүй байна.

Бид хязгаарыг бүрдүүлж, бутархайг анхааралтай хялбарчилж байна:


Тийм ээ, зураг нь зөөлөн хэлэхэд тааламжгүй, гэхдээ би гайхахаа больсон. орон нутгийн дүрэм, тэгээд анхны бодол нь хожим нь зөв болсон. Гэхдээ эхлээд нэг цаг орчим би "ердийн" аргуудыг ашиглан хязгаарыг эргүүлж, эргүүлсэн боловч тодорхойгүй байдлыг арилгахыг хүссэнгүй. Туршлагын дагуу дугуйлан алхах нь асуудлыг шийдэх буруу арга замыг сонгосны ердийн шинж тэмдэг юм.

Би Оросын ардын мэргэн ухаанд хандах хэрэгтэй болсон: "Хэрэв юу ч тус болохгүй бол зааврыг уншина уу." Би Фихтенхольцын 2-р ботийг нээхэд их баярласандаа ижил цувралын судалгааг олж авлаа. Тэгээд шийдэл нь загварын дагуу явагдсан.

Navier шийдэл нь зөвхөн контурын дагуу нугастай хавтанг тооцоолоход тохиромжтой. Илүү ерөнхий Левигийн шийдэл. Энэ нь бусад хоёр тал тус бүр дээр дурын хилийн нөхцөл бүхий хоёр зэрэгцээ тал дээр нугастай хавтанг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

Зурагт үзүүлсэн тэгш өнцөгт хавтан дээр. 5.11, (а) нугастай ирмэгүүд нь тэнхлэгтэй параллель байна y. Эдгээр ирмэгүүд дэх хилийн нөхцөл нь хэлбэртэй байна

Цагаан будаа. 5.11

Хязгааргүй тригонометрийн цувааны гишүүн бүр нь ойлгомжтой

https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; хазайлтын функцийн хоёр дахь хэсэгчилсэн деривативууд

(5.45)

цагт x = 0 ба x = а https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46) агуулж байгаа тул мөн тэг байна.

(5.46)-г (5.18)-д орлуулбал гарна

Үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлж, 0-ээс интегралдах амөн үүнийг санаж байна

,

Бид функцийг тодорхойлох болно Ymтогтмол коэффициенттэй ийм шугаман дифференциал тэгшитгэл

. (5.48)

Хэрэв тэмдэглэгээг богиносгохын тулд тэмдэглэнэ үү

тэгшитгэл (5.48) хэлбэрийг авна

. (5.50)

Дифференциал тэгшитгэлийн явцад мэдэгдэж байгаа нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (5.50) хэлбэртэй байна.

Ym(y) = jм (y)+ fm(y), (5.51)

хаана jм (y) нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл (5.50); түүний хэлбэр нь тэгшитгэлийн баруун талд (5.50), өөрөөр хэлбэл ачааллын төрлөөс хамаарна. q (x, y);

fm(y)= Ам шамy + Bmchамy+y(см шамy + Dmchамy), (5.52)

нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл

Дөрвөн дурын тогтмол Ам,ATм ,Cмболон Дмхавтангийн ирмэгийг тэнхлэгт параллель бэхлэх дөрвөн нөхцлөөс тодорхойлогдох ёстой. тогтмол q (x, y) = qтэгшитгэлийн баруун тал (5.50) хэлбэрийг авна

https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" өргөн "324" өндөр "55 src=">. (5.55)

Тэгшитгэлийн баруун тал (5.55) тогтмол тул зүүн тал нь мөн тогтмол; Тиймээс бүх деривативууд jм (y) нь тэг, ба

, (5.56)

, (5.57)

заасан газар: .

Таваг авч үзье чимхсэнтэнхлэгтэй параллель ирмэгийн дагуу X(Зураг 5.11, (c)).

Ирмэг дэх хилийн нөхцөл y = ± б/2

. (5.59)

Тэнхлэгийн эргэн тойронд хавтангийн хазайлтын тэгш хэмийн улмаас Оx, ерөнхий шийдэлд (5.52) зөвхөн тэгш функц агуулсан нэр томъёог хадгалах ёстой. Учир нь Ш амyнь сондгой функц бөгөөд сh ам y- тэгш ба, тэнхлэгийн батлагдсан байрлалтай Өө, yШ амy- тэгш, дотор цагт ch ам yсондгой бол авч үзэж буй тохиолдолд ерөнхий интеграл (5.51)-ийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

. (5.60)

Учир нь (5.44)-д байгаа нь аргументийн утгаас хамаарахгүй y, хоёр дахь хос хилийн нөхцлүүдийг (5.58), (5.59) дараах байдлаар бичиж болно.

Ym = 0, (5.61)

Ю¢ м = = 0. (5.62)

Ю¢ м = амbmШ аму + смШ аму + у смам ch аму=

амbmШ аму + см(ш амy+yам ch амy)

(5.60) - (5.63) -аас дараах байдалтай байна

https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" өргөн "364" өндөр "55 src=">. (5.65)

(5.64) тэгшитгэлийг , ба тэгшитгэлийг (5..gif" width="191" height="79 src=">-аар үржүүлэх. (5.66)

(5.64) тэгшитгэлд (5.66) орлуулснаар олж авах боломжтой bm

https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" өргөн "511" өндөр "103">. (5.68)

Энэ функцийн илэрхийлэлтэй Юм. , хазайлтын функцийг тодорхойлох томъёо (5.44) хэлбэрийг авна

(5.69)

Цуврал (5.69) хурдан нийлдэг. Жишээлбэл, түүний төвд байгаа дөрвөлжин хавтангийн хувьд, өөрөөр хэлбэл x=а/2, y = 0

(5.70)

Цувралын зөвхөн нэг нэр томъёог (5.70) хадгалах, өөрөөр хэлбэл, авах , бид 2.47% -иас бага хэтрүүлсэн хазайлтын утгыг олж авдаг. Үүнийг анхаарч үзвэл х 5 = 306.02, олох Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark"> V..Ritz-ийн вариацын арга нь 2-р хэсэгт томъёолсон Лагранжийн вариацын зарчим дээр суурилдаг.

Энэ аргыг хавтанг гулзайлтын асуудалд ашигласан гэж үзье. Хавтангийн муруй гадаргууг эгнээ болгон төсөөлөөд үз дээ

, (5.71)

хаана fi(x, y) тасралтгүй координатын функцууд, тус бүр нь кинематик хилийн нөхцлийг хангах ёстой; Ciнь Лагранжийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон үл мэдэгдэх параметрүүд юм. Энэ тэгшитгэл

(5.72)

системд хүргэдэг nпараметрийн хувьд алгебрийн тэгшитгэл Ci.

Ерөнхий тохиолдолд хавтангийн хэв гажилтын энерги нь гулзайлтын U ба мембран U-аас бүрдэнэ мхэсгүүд

, (5.73)

, (5.74)

хаана Мh.,Мy. ,Мxy- гулзайлтын хүч; НX., Ny. , Nxy- мембраны хүч. Хөндлөн хүчинд тохирох энергийн хэсэг нь бага бөгөөд үүнийг үл тоомсорлож болно.

Хэрвээ у, vболон wбодит шилжилтийн бүрэлдэхүүн хэсэг, px. , pyболон pzгадаргуугийн ачааллын эрчмийн бүрэлдэхүүн хэсэг, Рби- төвлөрсөн хүч, Д бихаргалзах шугаман шилжилт, Мj- анхаарлаа төвлөрүүлэх мөч qj- түүнд тохирох эргэлтийн өнцөг (Зураг 5.12), тэгвэл гадны хүчний боломжит энергийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Хэрэв хавтангийн ирмэг нь хөдөлгөөнийг зөвшөөрвөл ирмэг нь хүчээ авдаг vn. , mn. , mnt(Зураг 5.12, (а)) гадны хүчний чадавхийг нэмэгдүүлэх

Цагаан будаа. 5.12

Энд nболон т– хэвийн ба ирмэг рүү шүргэгч элемент ds.

Декарт координатуудад хүч ба муруйлтуудын мэдэгдэж буй илэрхийллүүдийг харгалзан үзнэ

, (5.78)

хэмжээтэй тэгш өнцөгт хавтангийн нийт потенциал энерги Е а ´ б, зөвхөн босоо ачааллын үйл ажиллагааны дор pz

(5.79)

Жишээ болгон 2 харьцаатай тэгш өнцөгт хавтанг авч үзье а´ 2 б(Зураг 5.13).

Хавтанг контурын дагуу хавчуулж, жигд ачаагаар ачаална

pz = q = const. Энэ тохиолдолд Е энергийн илэрхийлэл (5.79) хялбаршуулсан болно

. (5.80)

Зөвшөөрөх w(x, y) эгнээ

Энэ нь контурын нөхцлийг хангадаг

Цагаан будаа. 5.13

Зөвхөн цувралын эхний гишүүнийг хадгал

.

Дараа нь (5.80) дагуу.

.

(5..gif" width="273 height=57" height="57">-ын дагуу Е энергийг багасгах.

.

Дөрвөлжин хавтангийн төвийн хазайлт 2 хэмжээтэй а´ 2 а

,

Энэ нь яг 0.0202 уусмалаас 2.5%-иар их байна qa 4/Д. Дөрвөн тал дээр тулгуурласан хавтангийн төвийн хазайлт 3.22 дахин их байгааг анхаарна уу.

Энэ жишээ нь аргын давуу талыг харуулж байна: энгийн байдал, сайн үр дүнд хүрэх боломж. Хавтан нь янз бүрийн тойм, хувьсах зузаантай байж болно. Тохиромжтой координатын функцийг сонгоход бусад эрчим хүчний аргуудын нэгэн адил энэ аргын бэрхшээлүүд гарч ирдэг.

5.8. Ортогоналчлалын арга

-ийн санал болгосон ортогоналчлалын арга нь orthogonal функцийн дараах шинж чанарт суурилдаг jби. , jj

. (5.82)

Интервал дээрх ортогональ функцүүдийн жишээ ( – х, х) cos тригонометрийн функц болж чадна nxмөн нүгэл nxҮүний төлөө

Хэрэв функцүүдийн аль нэг нь, жишээ нь функц jби (x) нь тэгтэй ижил тэнцүү бол дурын функцийн хувьд (5.82) нөхцөл биелэгдэнэ. jj (x).

Хавтан гулзайлтын асуудлыг шийдэхийн тулд тэгшитгэл нь

ингэж төсөөлж болно

, (5.83)

хаана Фхавтангийн контураар хязгаарлагдсан талбай; jijБодлогын кинематик болон хүчний хилийн нөхцлүүдийг хангахын тулд тодорхойлсон функцууд юм.

Хавтан гулзайлтын тэгшитгэлийн (5.18) ойролцоо шийдийг цуваа хэлбэрээр дүрсэлье.

. (5.84)

Хэрэв (5.84) шийдэл яг байсан бол (5.83) тэгшитгэл нь координатын функцүүдийн аль ч системд ижилхэн байх болно. jij. , учир нь энэ тохиолдолд Д c2c2 wn – q = 0. Бид тэгшитгэлийг шаарддаг Д c2c2 wn – qфункцын гэр бүлд ортогональ байсан jij, мөн энэ шаардлагыг бид коэффициентийг тодорхойлохдоо ашигладаг Cij. . (5.84)-ийг (5.83)-д орлуулснаар бид олж авна

. (5.85)

Зарим хувиргалтыг хийсний дараа бид тодорхойлох алгебрийн тэгшитгэлийн дараах системийг олж авна Cij

, (5.86)

болон hij = hжи.

Бубнов-Галеркины аргыг дараах тайлбарыг өгч болно. Чиг үүрэг Д c2c2 wn – q = 0 нь үндсэндээ тэнцвэрийн тэгшитгэл бөгөөд хавтангийн жижиг элемент дээр босоо тэнхлэгийн чиглэлд үйлчлэх гадаад ба дотоод хүчний төсөөлөл юм. z. Хазайлтын функц wnижил тэнхлэгийн чиглэлд хөдөлгөөн юм, болон чиг үүрэг jijболомжтой хөдөлгөөн гэж үзэж болно. Иймд (5.83) тэгшитгэл нь боломжит шилжилтийн бүх гадаад ба дотоод хүчний ажлын тэгтэй тэнцүү байгааг ойролцоогоор илэрхийлнэ. jij. . Тиймээс Бубнов-Галеркины арга нь үндсэндээ хэлбэлзэлтэй байдаг.

Жишээлбэл, контурын дагуу хавчуулсан, жигд тархсан ачаалалтай тэгш өнцөгт хавтанг авч үзье. Хавтангийн хэмжээс ба координатын тэнхлэгүүдийн байршил нь Зураг дээрхтэй ижил байна. 5.6.

Хилийн нөхцөл

цагт x = 0, x= a: w = 0, ,

цагт y = 0, y = б: w = 0, .

Бид хазайлтын функцийн ойролцоо илэрхийллийг цуврал (5.84) хэлбэрээр сонгоно. jij

хилийн нөхцлийг хангасан; Cijнь хүссэн коэффициентүүд юм. Цувралын нэг гишүүнээр хязгаарлагдсан

бид дараах тэгшитгэлийг авна

Интеграцийн дараа

Коэффицентийг хаана тооцох вэ FROM 11

,

Энэ нь коэффициенттэй бүрэн тохирч байна FROM 11. аргаар олж авсан

V. Ritz -.

Эхний ойролцоолсноор хазайлтын функц нь дараах байдалтай байна

.

Дөрвөлжин хавтангийн төв дэх хамгийн их хазайлт а ´ а

.

5.9. Төгсгөлийн ялгаа аргын хэрэглээ

Нарийн төвөгтэй контурын нөхцөл бүхий тэгш өнцөгт хавтангуудад төгсгөлийн ялгааны аргын хэрэглээг авч үзье. Ялгаатай оператор нь хавтангийн муруй гадаргуугийн дифференциал тэгшитгэлийн аналог (5.18), дөрвөлжин торны хувьд, D хувьд. x = Д y = D (3.54) хэлбэрийг авна.

20 wi, j + 8 (wi, j+ 1 + wi, j– 1 + wi– 1, j + wi+ 1, j) + 2 (wi– 1, j– 1 + wi– 1, j+ 1 +

Цагаан будаа. 5.14

Хавтангийн ачаалал ба хэв гажилтын тэгш хэмийн гурван тэнхлэг байгаа эсэхийг харгалзан бид түүний найм дахь хэсгийг харгалзан үзэж, хазайлтын утгыг зөвхөн 1 ... 10 зангилаагаар тодорхойлж болно (Зураг 5.14, (б)) . Зураг дээр. 5.14, (б) нь сүлжээ ба зангилааны дугаарыг харуулав (D = a/4).

Хавтангийн ирмэгийг хавчих тул контурын нөхцөлийг (5.25), (5.26) хязгаарлагдмал зөрүүгээр бичнэ.

Олон нумын косинус ба синусаар, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн цуваа

эсвэл нарийн төвөгтэй хэлбэрээр

хаана a k,б кэсвэл тус тус c kдуудсан коэффициентүүд T. r.
Анх удаа T. r. L. Euler-д уулзана (L. Euler, 1744). Тэр өргөтгөлүүдийг авсан

Бүгд Р. 18-р зуун Мөрний чөлөөт чичиргээний асуудлыг судлахтай холбогдуулан мөрний анхны байрлалыг тодорхойлсон функцийг T. r-ийн нийлбэрээр илэрхийлэх боломжийн тухай асуулт гарч ирэв. Энэ асуулт хэдэн арван жил үргэлжилсэн ширүүн маргааныг үүсгэсэн бөгөөд тухайн үеийн шилдэг шинжээчид болох Д.Бернулли, Ж.Д.Аламберт, Ж.Лагранж, Л.Эйлер (Л.Эйлер). Функцийн тухай ойлголтын агуулгатай холбоотой маргаан. Тухайн үед функцууд нь ихэвчлэн аналитиктай холбоотой байдаг. Зөвхөн аналитик эсвэл хэсэгчилсэн аналитик функцийг авч үзэхэд хүргэсэн даалгавар. Мөн энд энэ функцийг төлөөлөх T. r.-ийг бүтээхэд график нь хангалттай дур зоргоороо функц шаардлагатай болсон. Гэхдээ эдгээр маргааны ач холбогдол нь илүү их юм. Үнэн хэрэгтээ тэд математикийн олон чухал үзэл баримтлал, санаатай холбоотой асуултуудтай холбогдож ярилцсан эсвэл үүссэн. ерөнхий шинжилгээ - Тейлорын цуврал болон аналитик функцүүдийн төлөөлөл. функцүүдийн үргэлжлэл, дивергент цуваа, хязгаар, тэгшитгэлийн төгсгөлгүй систем, олон гишүүнт функцийг ашиглах гэх мэт.
Ирээдүйд энэ анхны онолын нэгэн адил Т.Р. математикийн шинэ санааны эх сурвалж болсон. Фурье интеграл, бараг үечилсэн функц, ерөнхий ортогональ цуваа, хийсвэр . Т голын судалгаа. олонлогын онолыг бий болгох эхлэлийн цэг болсон. T. r. онцлогуудыг илэрхийлэх, судлах хүчирхэг хэрэгсэл юм.
18-р зуунд математикчдын дунд маргаан үүсгэсэн асуултыг 1807 онд Ж.Фурье шийдэж, T. r-ийн коэффициентийг тооцоолох томъёог зааж өгсөн. (1), заавал байх ёстой. f(x) функц дээр илэрхийлнэ:

дулаан дамжуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Формула (2)-ыг Фурье томьёо гэж нэрлэдэг боловч өмнө нь A. Clairaut (1754) тааралдсан ба L. Euler (1777) нь нэр томъёоны интегралчлалыг ашиглан тэдгээрт ирсэн. T. r. (1), коэффициентийг (2) томъёогоор тодорхойлно. Фурье функц f-ийн ойролцоо, тоонууд a k, b k- Фурье коэффициентүүд.
Хүлээн авсан үр дүнгийн шинж чанар нь функцийн дүрслэлийг цуваа гэж хэрхэн ойлгох, томъёо (2) дахь интегралыг хэрхэн ойлгохоос хамаарна. Т голын орчин үеийн онол. Лебесгийн интеграл гарч ирсний дараа олж авсан.
T. r-ийн онол. нөхцөлөөр хоёр том хэсэгт хувааж болно - онол Фурье цуврал,Үүнд (1) цуваа нь тодорхой функцийн Фурьегийн цуваа гэж үздэг ба ерөнхий Т.Р.-ийн онол, ийм таамаглал хийгээгүй тохиолдолд. Ерөнхий T. r-ийн онолд олж авсан гол үр дүнг доор харуулав. (энэ тохиолдолд олонлогууд болон функцүүдийн хэмжигдэхүүнийг Лебесгийн дагуу ойлгодог).
Эхний системчилсэн Эдгээр цувралууд нь Фурьегийн цуврал гэж таамаглаагүй T. r. судалгаа нь В.Риманы (V. Riemann, 1853) диссертаци байв. Тиймээс ерөнхий T. r-ийн онол. дуудсан заримдаа термодинамикийн Риманы онол.
Дурын T. r-ийн шинж чанарыг судлах. (1) тэг рүү чиглэсэн коэффициентүүдтэй B. Риманн тасралтгүй F(x) функцийг авч үзсэн. , Энэ нь жигд нийлсэн цувааны нийлбэр юм

(1) цувралыг 2 удаа үе бүлгээр нэгтгэсний дараа олж авсан. Хэрвээ (1) цуваа x цэг дээр s тоонд нийлдэг бол энэ үед хоёр дахь тэгш хэм орших бөгөөд s-тэй тэнцүү байна. F функцууд:

дараа нь энэ нь хүчин зүйлсээр үүсгэгдсэн цувралын (1) нийлбэрт хүргэдэг дуудсан Риманы нийлбэрийн аргаар. F функцийг ашиглан Риманы нутагшуулах зарчмыг томъёолсон бөгөөд үүний дагуу (1) цувралын x цэг дэх зан төлөв нь зөвхөн энэ цэгийн дур зоргоороо жижиг хөрш дэх F функцийн үйлдлээс хамаарна.
Хэрэв T. r. эерэг хэмжигдэхүүн дээр нийлдэг, дараа нь түүний коэффициентүүд тэг болох хандлагатай байдаг (Кантор-Лебесг). Коэффициентийг тэглэх хандлага T. r. мөн хоёр дахь ангиллын олонлог дээр ойртож байгаагаас үүдэлтэй (В. Янг, В. Янг, 1909).
Ерөнхий термодинамикийн онолын гол асуудлын нэг дурын функцийг төлөөлөх бодлого юм T. r. N. N. Luzin (1915) T. R. функцуудыг Абел-Пуассон, Риманы нийлбэрийн аргаар дүрсэлсэн үр дүнг бататгаж, Д. Е. Меньшов (1940) дараах теоремыг нотолсон бөгөөд энэ нь f функцийг дүрслэх үед хамгийн чухал тохиолдол юм. гэж ойлгодог T. r. руу е(x) бараг хаа сайгүй. Хэмжих боломжтой, бараг хаа сайгүй хязгаарлагдмал f функц бүрт бараг бүх газарт нийлдэг T. R байдаг (Меньшовын теорем). Хэдийгээр f нь интегралдах боломжтой байсан ч гэсэн ерөнхийд нь хэлбэл, f функцийн Фурье цувралыг ийм цуврал болгон авч болохгүй, учир нь хаа сайгүй хуваагддаг Фурьегийн цуваа байдаг.
Дээрх Меньшовын теорем нь дараах сайжруулалтыг хүлээн зөвшөөрдөг: хэрэв f функц нь бараг бүх газарт хэмжигдэхүйц бөгөөд хязгаарлагдмал байдаг бол ийм зүйл байдаг. бараг хаа сайгүй ба j функцийн нэр томьёогоор ялгасан Фурье цуваа нь бараг хаа сайгүй f(x) болж нийлдэг (N. K. Bari, 1952).
Меньшовын теоремын бараг хаа сайгүй f функцийн төгсгөлийн нөхцөлийг орхих боломжтой эсэх нь тодорхойгүй (1984). Ялангуяа, энэ нь тодорхойгүй байна (1984) T. r. бараг хаа сайгүй нийлдэг
Тиймээс эерэг хэмжигдэхүүн дээр хязгааргүй утгыг авах боломжтой функцуудыг илэрхийлэх асуудлыг илүү сул шаардлагаар сольсон тохиолдолд авч үзсэн болно. Хязгааргүй утгыг авч болох функцүүдэд хэмжигдэхүүнийг нэгтгэхийг дараах байдлаар тодорхойлно: T. p-ийн хэсэгчилсэн нийлбэр. s n(x) f(x) функцэд хэмжигдэхүүнээр нийлдэг. . хэрэв хаана f n(x) бараг бүх газар / (x) -д нийлэх ба дараалал нь хэмжигдэхүүнээр тэг болж нийлдэг. Энэ нөхцөлд функцүүдийн дүрслэлийн асуудлыг эцэс хүртэл шийдсэн: хэмжигдэхүйц функц бүрийн хувьд хэмжигдэхүүнээр нийлдэг ТР байдаг (Д. Е. Меньшов, 1948).
T. r.-ийн өвөрмөц байдлын асуудалд маш их судалгаа хийсэн: Хоёр өөр Т. ижил функцэд хуваагдаж чадах уу? өөр томъёогоор: хэрэв T. r. тэг рүү нийлдэг бол цувралын бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг үү. Энд нэг багцаас гадуур бүх цэгүүд эсвэл бүх цэгүүдэд нэгдэхийг хэлж болно. Эдгээр асуултын хариулт нь нийлмэл байдал гэж тооцогдохгүй байгаа олонлогийн шинж чанараас үндсэндээ хамаарна.
Дараахь нэр томъёо бий болсон. Олон нэрс. өвөрмөц байдлын багцэсвэл U-тохируулна уу, T. r-ийн нийлбэрээс. олонлогийн цэгүүдээс бусад тохиолдолд хаа сайгүй тэг болно Э,Энэ цувралын бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байна. Үгүй бол Эназ. М багц.
G. Cantor (1872) харуулсанчлан, түүнчлэн аливаа хязгаарлагдмал нь U олонлогууд юм. Дурын зүйл нь мөн U багц юм (W. Jung, 1909). Нөгөө талаас эерэг хэмжүүрийн багц бүр нь М багц юм.
М хэмжүүрийн олонлог байгааг Д.Е.Меньшов (1916) тогтоосон бөгөөд тэрээр эдгээр шинж чанаруудтай төгс багцын анхны жишээг бүтээжээ. Энэ үр дүн нь өвөрмөц байдлын асуудалд чухал ач холбогдолтой юм. Тэг хэмжигдэхүүний M багцууд байдгаас харахад бараг хаа сайгүй нийлдэг T. R.-ийн функцүүдийн дүрслэлд эдгээр цуваа нь хоёрдмол утгатай тодорхойлогддог.
Төгс иж бүрдэл нь U хэлбэрийн багц байж болно (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Тэг хэмжүүрийн маш нарийн шинж чанарууд нь өвөрмөц байдлын асуудалд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Хэмжилтийн багцыг ангилах ерөнхий асуулт бол тэг дээр М-болон U багцууд (1984) нээлттэй хэвээр байна. Энэ нь төгс багцын хувьд ч шийдэгддэггүй.
Дараахь асуудал нь өвөрмөц байдлын асуудалтай холбоотой юм. Хэрэв T. r. функцэд нийлдэг дараа нь энэ цуваа функцийн Фурье цуврал байх ёстой эсэх /. Хэрэв f нь Риманы утгаар интеграл болох ба цуваа бүх цэг дээр f(x) болж нийлдэг бол энэ асуултад П.Дюбуа-Реймонд (P. Du Bois-Reymond, 1877) эерэг хариулт өгсөн. Үр дүнгээс III. Ж.Валли Пуссин (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) тоолж болох олон тооны цэгээс бусад тохиолдолд цуваа хаа сайгүй нийлж, нийлбэр нь төгсгөлтэй байсан ч хариулт эерэг байна гэсэн санааг илэрхийлж байна.
Хэрэв T. p нь x 0 цэгт туйлын нийлдэг бол энэ цувралын нийлэх цэгүүд, түүнчлэн түүний үнэмлэхүй нийлэх цэгүүд нь x 0 цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрлана. (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
дагуу Дэнжой - Лузин теорем T. r-ийн үнэмлэхүй нэгдэлээс. (1) эерэг хэмжүүрийн багц дээр цуваа нийлдэг ба үүний үр дүнд (1) цувралын үнэмлэхүй нийлбэр нь бүгдэд зориулагдсан болно X.Энэ өмчийг мөн хоёрдугаар ангиллын багцууд, мөн тэг хэмжүүрийн тодорхой багцууд эзэмшдэг.
Энэхүү судалгаа нь зөвхөн нэг хэмжээст T. r. (нэг). Ерөнхий T. p-тэй холбоотой тусдаа үр дүн байдаг. хэд хэдэн хувьсагчаас. Энд олон тохиолдолд байгалийн асуудлын мэдэгдлийг олох шаардлагатай хэвээр байна.

Гэрэл.: Bari N. K., Trigonometric series, M., 1961; Зигмунд А., Тригонометрийн цуврал, транс. Англи хэлнээс, 1-2-р боть, М., 1965; Luzin N. N., Integral and trigonometric series, M.-L., 1951; Riemann B., Works, trans. Германаас, M.-L., 1948, х. 225-61.
С.А.Теляковский.

Математикийн нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. I. M. Виноградов. 1977-1985 он.

Шинжлэх ухаан, технологийн хувьд хүн үе үе тохиолддог үзэгдэлтэй байнга тулгардаг, жишээлбэл. тодорхой хугацааны дараа дахин үрждэг хүмүүс Түе гэж нэрлэдэг. Тогтмол функцүүдийн хамгийн энгийн нь (тогтмолоос бусад) нь синусоид утга юм. шиг(x+ ), харьцаагаар үетэй холбоотой “давтамж” байгаа гармоник хэлбэлзэл: . Ийм энгийн үечилсэн функцуудаас илүү нарийн төвөгтэй функцүүдийг үүсгэж болно. Ижил давтамжийн синусоид хэмжигдэхүүнүүдийг нэмснээр ижил давтамжтай синусоид хэмжигдэхүүн үүсдэг тул бүрдүүлэгч синусоид хэмжигдэхүүнүүд өөр өөр давтамжтай байх ёстой. Хэрэв бид маягтын хэд хэдэн утгыг нэмбэл

Жишээлбэл, бид энд гурван синусоид хэмжигдэхүүнийг нэмсэнийг хуулбарлаж байна: . Энэ функцийн графикийг авч үзье

Энэ график нь синусын долгионоос эрс ялгаатай. Энэ төрлийн нөхцлөөс бүрдсэн хязгааргүй цувралын нийлбэрийн хувьд энэ нь бүр ч үнэн юм. Энэ нь тухайн үеийн үечилсэн функцийн хувьд боломжтой юу гэсэн асуултыг тавьцгаая Тхязгаарлагдмал эсвэл ядаж хязгааргүй синусоид хэмжигдэхүүний нийлбэрээр илэрхийлэх үү? Том хэмжээний функцүүдийн хувьд энэ асуултыг эерэгээр хариулж болох юм, гэхдээ бид ийм нэр томъёоны хязгааргүй дарааллыг яг нарийн оруулсан тохиолдолд л болно. Геометрийн хувьд энэ нь үе үе функцийн графикийг синусоидуудын цувааг давхарлаж гаргана гэсэн үг юм. Хэрэв бид синусоид утга бүрийг тодорхой гармоник хэлбэлзлийн хөдөлгөөн гэж үзвэл энэ нь функцээр эсвэл түүний гармоник (эхний, хоёр дахь гэх мэт) тодорхойлогддог нарийн төвөгтэй хэлбэлзэл гэж хэлж болно. Тогтмол функцийг гармоник болгон задлах процессыг нэрлэдэг гармоник шинжилгээ.

Ийм өргөтгөлүүд нь зөвхөн тодорхой хязгаарлагдмал интервалд өгөгдсөн бөгөөд ямар ч хэлбэлзлийн үзэгдлээс огт үүсдэггүй функцийг судлахад ихэвчлэн хэрэгтэй байдаг гэдгийг анхаарах нь чухал юм.

Тодорхойлолт.Тригонометрийн цуврал нь дараах хэлбэрийн цуваа юм.

Эсвэл (1).

Бодит тоонуудыг тригонометрийн цувааны коэффициент гэж нэрлэдэг. Энэ цувралыг мөн дараах байдлаар бичиж болно.

Хэрэв дээр дурдсан төрлийн цуваа нийлдэг бол түүний нийлбэр нь 2p үетэй үечилсэн функц болно.

Тодорхойлолт.Тригонометрийн цувралын Фурье коэффициентийг дараах байдлаар нэрлэнэ. (2)

(3)

(4)

Тодорхойлолт.Функцийн хувьд Фурьегийн ойролцоо f(x)коэффициентүүд нь Фурье коэффициентүүд болох тригонометрийн цуваа гэж нэрлэгддэг.

Хэрэв функцийн Фурье цуваа f(x)үүнтэй тасралтгүй байдлын бүх цэгүүдэд нийлдэг бол бид функц гэж хэлнэ f(x)Фурье цувралаар өргөжин тэлдэг.

Теорем.(Дирихлетийн теорем) Хэрэв функц нь 2p-ийн хугацаатай бөгөөд хэрчим дээр үргэлжилсэн эсвэл эхний төрлийн хязгаарлагдмал тооны тасалдлын цэгүүдтэй бол сегментийг хязгаарлагдмал тооны сегментүүдэд хувааж, функц тус бүрийн дотор монотон байх болно. Үүний дараа функцийн Фурье цуваа бүх утгуудад нийлдэг X, мөн функцийн тасралтгүй байдлын цэгүүдэд түүний нийлбэр S(x)-тэй тэнцүү ба тасархайн цэгүүдэд түүний нийлбэр нь -тэй тэнцүү, i.e. зүүн ба баруун талын хязгаарын утгын арифметик дундаж.

Энэ тохиолдолд функцийн Фурье цуврал f(x)функцийн тасралтгүй байдлын интервалд хамаарах дурын интервалд жигд нийлдэг.

Энэ теоремын нөхцлийг хангасан функцийг интервал дээр хэсэгчилсэн гөлгөр гэж нэрлэдэг.

Фурье цуврал дахь функцийг өргөтгөх жишээг авч үзье.

Жишээ 1. Фурье цуврал дахь функцийг өргөжүүлэх f(x)=1-xхугацаатай 2хмөн сегмент дээр өгөгдсөн.

Шийдэл. Энэ функцийг зурцгаая

Энэ функц нь сегмент дээр, өөрөөр хэлбэл хугацааны урттай сегмент дээр үргэлжилдэг тул энэ сегментийн цэг бүрт нийлдэг Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно. Томъёо (2) ашиглан бид энэ цувралын коэффициентийг олно: .

Бид хэсэг тус бүрээр нь нэгтгэх томъёог хэрэглэж, (3) ба (4) томъёог олж, ашиглана:

Коэффициентийг (1) томъёонд орлуулснаар бид олж авна эсвэл .

Энэ тэгш байдал нь цэгүүд болон (графикийн наалт) цэгүүдээс бусад бүх цэгүүдэд явагдана. Эдгээр цэг бүрт цувралын нийлбэр нь баруун ба зүүн талын хязгаарын утгуудын арифметик дундажтай тэнцүү байна.

Функцийг өргөтгөх алгоритмыг танилцуулъяФурье цувралд.

Асуудлыг шийдвэрлэх ерөнхий журам нь дараах байдалтай байна.