Косинусын Фурье хувиргах жишээ. Функцийг Фурье интегралаар илэрхийлэх хангалттай нөхцөл. Тооцооны болон график ажилд зориулсан даалгаврын сонголтууд

I. Фурье хувиргах.

Тодорхойлолт 1.Чиг үүрэг

дуудсан Фурье хувиргалтфункцууд.

Энд интеграл гэдэг нь үндсэн үнэ цэнэ гэсэн утгаар ойлгогдоно

байдаг гэж үздэг.

Хэрэв ℝ дээр үнэмлэхүй интегралдах функц байвал, оноос хойш -ийн хувьд Фурье хувиргалт (1) нь ямар ч ийм функцийн хувьд утга учиртай бөгөөд интеграл (1) нь ℝ бүхэл шулуунд үнэмлэхүй, жигд нийлдэг.

Тодорхойлолт 2. Хэрвээ функцийн Фурье хувиргалт юм
, дараа нь холбогдох интеграл

Үндсэн утгаар нь ойлгосон, гэж нэрлэдэг Функцийн Фурье интеграл .

Жишээ 1Функцийн Фурье хувирлыг ол

Өгөгдсөн функц нь дээр үнэхээр интегралдах боломжтой.

Тодорхойлолт 3.Интегралын үндсэн утга гэдэг утгаараа ойлгодог

Үүний дагуу нэрлэсэн косинус-болон синус Фурье хувиргах функцууд .

Таамаглаж байна , , , бид Фурье цувралаас бидэнд аль хэдийн танил болсон харилцааг хэсэгчлэн олж авдаг

(3), (4) харилцаанаас харж болно.

Формула (5), (6) нь Фурье хувиргалтыг зөвхөн аргументийн сөрөг бус утгуудын хувьд мэддэг бол бүх мөрөнд бүрэн тодорхойлогддог болохыг харуулж байна.

Жишээ 2Функцийн косинус - ба синус - Фурье хувирлыг ол

Жишээ 1-д үзүүлснээр өгөгдсөн функц нь дээр бүрэн интегралдах боломжтой.

(3) томъёоны дагуу түүний косинус - Фурье хувирлыг олцгооё.

Үүний нэгэн адил функцийн синус - Фурье хувиргалтыг олоход хэцүү биш юм е(x) томъёогоор (4):

Жишээ 1 ба 2-ыг ашиглан шууд орлуулах замаар үүнийг шалгахад хялбар байдаг е(x) хамаарал (5) хангагдсан байна.

Хэрэв функц бодит утгатай бол энэ тохиолдолд (5), (6) томъёог илэрхийлнэ

Энэ тохиолдолд R дээрх бодит функцууд байгаа нь тэдгээрийн тодорхойлолтоос тодорхой харагдаж байна (3), (4). Гэсэн хэдий ч, нөхцөлийн дагуу тэгш байдал (7). Хэрэв бид нэгтгэх тэмдгийг интеграл тэмдгийн доор байрлуулж болохыг харгалзан үзвэл Фурье хувиргалтын тодорхойлолтоос (1) шууд олж авна. Сүүлийн ажиглалт нь аливаа функц нь тэгш байдлыг хангадаг гэж дүгнэх боломжийг олгодог

if нь бодит бөгөөд тэгш функц юм гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. , дараа нь

хэрэв бол бодит ба сондгой функц, өөрөөр хэлбэл, , дараа нь

Мөн хэрэв энэ нь цэвэр төсөөллийн функц бол, i.e. . , дараа нь

Хэрэв бодит утгатай функц бол Фурье интегралыг мөн хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг анхаарна уу.

Хаана

Жишээ 3
(болов )

Учир нь бид Дирихлетийн интегралын утгыг мэддэг

Жишээн дээр авч үзсэн функц нь бүрэн интегралч биш бөгөөд түүний Фурье хувиргалт нь тасалдалтай байна. Үнэмлэхүй интегралдах функцүүдийн Фурье хувиргалт нь тасалдалгүй болохыг дараах байдлаар харуулав.

Лемма 1. Хэрэв функц локал байдлаар интегралчлах ба туйлын интегралдах боломжтой , дараа нь

а) түүний Фурье хувиргалт ямар ч утгын хувьд тодорхойлогдсон

б)

Хэрэв гэдгийг санаарайнь нээлттэй олонлог дээр тодорхойлогдсон бодит эсвэл нийлмэл утгатай функц юм. дараа нь функц дуудсан локал интегралдах боломжтой, хэрэв байгаа бол цэгфункцийг нэгтгэх боломжтой хөрштэй. Тодруулбал, хэрэв , функцийн орон нутгийн интегралчлах нөхцөл нь дараахтай тэнцүү байх нь ойлгомжтой. аль ч сегментийн хувьд.

Жишээ 4Функцийн Фурье хувирлыг ол :

Сүүлчийн интегралыг параметрийн дагуу ялгаж, дараа нь хэсгүүдээр интегралдахад бид үүнийг олж мэднэ.

эсвэл

гэсэн үг, , Эйлер-Пуассоны интегралыг ашиглан бид хамаарлаас олдог тогтмол нь хаана байна

Тиймээс бид үүнийг олж, тэр үед үүнийг харуулсан, мөн .

Тодорхойлолт 4.Тэд функц гэж хэлдэг , цэгийн цоорсон орчимд тодорхойлогдсон , хэрэв цэг дээрх Dini нөхцөлийг хангана.

a) нэг талт хязгаар нь тухайн цэг дээр байдаг

б) интеграл хоёулаа

туйлын санал нэг байна.

Интегралын үнэмлэхүй нийлэлт гэдэг нь интегралын үнэмлэхүй нийлэлтийг дор хаяж -ын зарим утгын хувьд илэрхийлнэ.

Функцийг Фурье интегралаар илэрхийлэх хангалттай нөхцөл.

Теорем 1.Хэрэв туйлын интегралдах боломжтой бол ба орон нутгийн хэсэгчилсэн тасралтгүй функц цэг дээр сэтгэл хангалуун байна Dini нөхцөл, дараа нь түүний Фурье интеграл энэ цэг дээр нийлж, утга

Энэ цэг дэх функцийн утгуудын зүүн ба баруун хязгаарын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Үр дагавар 1.Хэрэв функц тасралтгүй, цэг бүрт байдаг хязгаарлагдмал нэг талт дериватив ба абсолют интегралдах боломжтой , дараа нь энэ нь гарч ирнэ түүний Фурье интегралтай

хаана Функцийн Фурье хувиргалт .

Функцийн Фурье интегралаар дүрслэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Сэтгэгдэл.Теорем 1 ба Үр дүн 1-д томъёолсон функцийн нөхцөл нь ийм дүрслэлийг бий болгоход хангалттай боловч шаардлагатай биш юм.

Жишээ 5Функцийг Фурье интегралаар илэрхийлнэ үү

Энэ функц нь , , цэгүүдээс бусад тохиолдолд ℝ дээр сондгой ба тасралтгүй байна.

Функцийн хачирхалтай, бодит байдлаас шалтгаалан бидэнд:

ба (5) ба (10) тэгшитгэлээс дараах нь гарна

Функцийн тасралтгүй байдлын цэгүүдэд бид дараах байдалтай байна.

Гэхдээ функц нь хачирхалтай, тиймээс

интегралыг үндсэн утгын утгаар тооцдог тул.

Функц нь тэгш, тиймээс

хэрэв ,. Учир нь тэгш байдал

Эндээс бид олдог гэж бодъё

Хэрэв бид -ийн сүүлчийн илэрхийлэлийг оруулбал, дараа нь

Эндээс үзвэл бид олдог

Хэрэв бодит утгатай функц нь бодит шугамын аль ч сегмент дээр хэсэгчлэн тасралтгүй, дээр нь үнэмлэхүй интегралдах боломжтой бөгөөд цэг бүрт хязгаарлагдмал нэг талт деривативтай бол функцийн тасралтгүй байдлын цэгүүдэд Фурье интеграл хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ.

функцийн тасалдалтай цэгүүдэд тэгш байдлын зүүн талыг (1) -ээр солино

Хэрэв цэг бүр дээрх тасралтгүй, абсолют интегралдах функц нь цэг бүрт хязгаарлагдмал нэг талт деривативтай бол энэ функц тэгш байх үед тэгш байдал үүснэ.

мөн сондгой функц байх тохиолдолд тэгш байдал

Жишээ 5'. Функцийг Фурье интегралаар илэрхийлнэ:

Үргэлжилсэн тэгш функц учраас (13.2), (13.2’) томъёог ашиглан бидэнд байна

Бид үндсэн утгын утгаараа ойлгосон интегралыг тэмдэгээр тэмдэглэдэг

Үр дагавар 2.Аливаа функцийн хувьд Үр дүн 1-ийн нөхцлийг хангаснаар бүх өөрчлөлтүүд байна , , , мөн тэгш байдал бий

Эдгээр харилцааг харгалзан, өөрчлөлтийг (14) ихэвчлэн гэж нэрлэдэг урвуу Фурье хувиргалтба оронд нь гэж бичих ба тэнцүү (15) өөрөө дуудагдана Фурье хувиргах инверцийн томъёо.

Жишээ 6 Let and

гэдгийг анхаарна уу , дараа нь дурын функцийн хувьд

Одоо функцийг авч үзье. Дараа нь

Хэрэв бид функцийн сондгой үргэлжлэл болох функцийг авбал , бүхэл тоон тэнхлэг дээр, дараа нь

Теорем 1-ийг ашигласнаар бид үүнийг олж авна

Энд байгаа бүх интеграл нь үндсэн үнэ цэнэ гэсэн утгаараа ойлгогддог.

Сүүлийн хоёр интеграл дахь бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг салгаснаар бид Лапласын интегралуудыг олно.

Тодорхойлолт . Чиг үүрэг

нормчлогдсон Фурье хувиргалт гэж нэрлэгдэх болно.

Тодорхойлолт . Хэрэв функцийн нормчлогдсон Фурье хувиргалт бол холбогдох интеграл болно

Бид функцийн нормчлогдсон Фурье интеграл гэж нэрлэнэ.

Нормалжуулсан Фурье хувиргалтыг авч үзэх болно (16).

Тохиромжтой болгох үүднээс бид дараах тэмдэглэгээг танилцуулж байна.

(тэдгээр. ).

Өмнөх тэмдэглэгээтэй харьцуулахад энэ нь зүгээр л дахин хэвийн байдал юм: Тиймээс, ялангуяа харилцаа (15) нь дараах дүгнэлтийг хийх боломжийг бидэнд олгодог.

эсвэл богино тэмдэглэгээгээр,

Тодорхойлолт 5.Операторыг нормчлогдсон Фурье хувиргалт гэж нэрлэх ба операторыг урвуу нормчлогдсон Фурье хувиргалт гэж нэрлэнэ.

Лемма 1-д функц дээрх ямар ч үнэмлэхүй интегралдах функцийн Фурье хувиргалт нь хязгааргүйд тэг рүү чиглэдэг болохыг тэмдэглэсэн. Дараагийн хоёр мэдэгдэлд Фурьегийн коэффициентүүдийн нэгэн адил Фурьегийн хувиргалт нь илүү хурдан тэг болох хандлагатай байдаг бөгөөд үүнийг авсан функц нь илүү жигд байх болно (эхний мэдэгдэлд); Үүний харилцан баримт бол Фурье хувиргалтыг авах функц нь тэг болох тусам түүний Фурье хувиргалт илүү жигд байх болно (хоёр дахь мэдэгдэл).

Мэдэгдэл 1(функцийн гөлгөр байдал ба түүний Фурье хувирлын бууралтын хурд хоорондын холболтын тухай). Хэрвээ болон бүх онцлог дээр бүрэн нэгтгэх боломжтой , тэгээд:

а) ямар ч хувьд

б)

Мэдэгдэл 2(функцийн задралын хурд ба түүний Фурье хувиргалтын жигд байдлын хоорондын хамаарлын тухай). Хэрэв локал интегралдах функц бол : функц нь ийм байна туйлын нэгтгэх боломжтойа, тэгээд:

а) Функцийн Фурье хувиргалт ангилалд багтдаг

б) тэгш бус байдал бий

Бид Фурье хувиргалтын үндсэн техник хангамжийн шинж чанаруудыг танилцуулж байна.

Лемма 2.Функцуудын хувьд Фурьегийн хувиргалт байг (тус тусад нь урвуу Фурье хувиргалт), дараа нь ямар ч тоонууд ба -аас үл хамааран Фурьегийн хувиргалт (тус бүр нь урвуу Фурьегийн хувиргалт) болон функцийн хувьд байна. , ба

(тус тусад нь).

Энэ шинж чанарыг Фурье хувирлын шугаман чанар гэж нэрлэдэг (тус бүр нь урвуу Фурье хувиргалт).

Үр дагавар. .

Лемма 3.Фурье хувиргалт ба урвуу хувирал нь цэг бүрт нэг талт деривативтай, бүх тэнхлэг дээрх тасралтгүй абсолют интегралчлах функцуудын багц дээр нэгийг харьцах нэг хувиргалт юм.

Энэ нь if ба нь заасан төрлийн болон if гэсэн хоёр функц байна гэсэн үг юм (хэрэв тус тусад нь ), дараа нь бүх тэнхлэг дээр.

Лемма 1-ийн мэдэгдлээс бид дараах леммийг олж авч болно.

Лемма 4.Хэрэв үнэмлэхүй интегралдах функцуудын дараалал ба туйлын интегралдах функц нь ийм байна

дараа нь бүх тэнхлэг дээр жигд дараалал нь функцэд нийлдэг.

Одоо хоёр функцийн эргэлтийн Фурье хувирлыг судалцгаая. Тохиромжтой болгохын тулд бид нэмэлт хүчин зүйл нэмснээр эргэлтийн тодорхойлолтыг өөрчилдөг

Теорем 2.Функцууд нь бодит тэнхлэг дээр хязгаарлагдмал, тасралтгүй, абсолют интеграл болно

тэдгээр. Хоёр функцийн эргэлтийн Фурье хувиргалт нь эдгээр функцүүдийн Фурье хувиргалтын үржвэртэй тэнцүү байна.

Доорх асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэг болох Фурьегийн нормчлогдсон хувиргалтын шинж чанаруудын хураангуй хүснэгт No1-ийг эмхэтгэе.

Хүснэгт №1

Чиг үүрэг	Нормалжуулсан Фурье хувиргалт

1-4 ба 6-р шинж чанаруудыг ашиглан бид олж авна

Жишээ 7Функцийн нормчлогдсон Фурье хувирлыг ол

4-р жишээ үүнийг харуулсан

шиг

3-р өмчийн дагуу бид:

Үүний нэгэн адил та нормчлогдсон урвуу Фурье хувиргалтанд зориулж 2-р хүснэгтийг эмхэтгэж болно.

Хүснэгтийн дугаар 2

Чиг үүрэг	Нормалжсан урвуу Фурье хувиргалт

Өмнөхтэй адил 1-4 ба 6-р шинж чанарыг ашигласнаар бид үүнийг олж авдаг

Жишээ 8Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

6-р жишээний дагуу

Бидэнд байгаа үед:

Функцийг хэлбэрээр илэрхийлнэ

өмчийг ашиглах 6 үед

Тооцооны болон график ажилд зориулсан даалгаврын сонголтууд

1. Функцийн синус - Фурье хувиргалтыг ол

2. Синусыг ол - Функцийн Фурье хувиргалт

3. Косинусыг ол - Функцийн Фурье хувиргалт

4. Косинусыг ол - Функцийн Фурье хувиргалт

5. Синусыг ол - Функцийн Фурье хувиргалт

6.Косинусыг ол - Функцийн Фурье хувиргалт

7. Функцийн синус - Фурье хувиргалтыг ол

8. Косинусыг ол - Функцийн Фурье хувиргалт

9. Косинусыг ол - Функцийн Фурье хувиргалт

10. Синусыг ол - Функцийн Фурье хувиргалт

11. Синусыг ол - Функцийн Фурье хувиргалт

12. Синусыг ол - функцийн хувиргалт

13. Синус - функцийн хувиргалтыг ол

14. Косинусыг ол - функцийн хувиргалт

15. Косинусыг ол - функцийн хувиргалт

16. Функцийн Фурье хувиргалтыг ол, хэрэв:

17. Функцийн Фурье хувирлыг ол:

18. Функцийн Фурье хувиргалтыг ол, хэрэв:

19. Функцийн Фурье хувиргалтыг ол, хэрэв:

20. Функцийн Фурье хувиргалтыг ол, хэрэв:

21. Функцийн Фурье хувиргалтыг ол, хэрэв:

22. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

24. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

26. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

28. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

30. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

23. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

25. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

27. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

29. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

31. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

32. Функцийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийл

33. Функцийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийл

34. Функцийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийл

35. Функцийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийл

36. Функцийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийл

37. Функцийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийл

38. Функцийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийл

39. Функцийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийл

40. Функцийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийл

41. Функцийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийл

42. Функцийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийл

43. Функцийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийлж, интервал руу сондгой байдлаар өргөтгөнө, хэрэв:

44. Функцийг хэрэв интервал хүртэл сондгойгоор үргэлжлүүлж Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийл.

Аль хэдийн нэлээд залхсан. Мөн онолын стратегийн нөөцөөс шинэ лаазалсан хүнс гаргаж авах цаг ирсэн гэдгийг би мэдэрч байна. Функцийг өөр аргаар цуврал болгон өргөжүүлэх боломжтой юу? Жишээлбэл, шулуун шугамын сегментийг синус ба косинусаар илэрхийлэх үү? Гайхалтай мэт санагдаж байгаа ч ийм алслагдсан мэт санагдах функцууд нь өөрсдийгөө зээлдүүлдэг
"дахин нэгдэх". Онол, практикийн сайн мэддэг зэрэглэлээс гадна функцийг цуврал болгон өргөжүүлэх өөр аргууд байдаг.

Энэ хичээлээр бид тригонометрийн Фурье цувралтай танилцаж, түүний нийлбэр ба нийлбэрийн асуудлыг хөндөж, мэдээжийн хэрэг функцийг Фурьегийн цуврал болгон өргөжүүлэх олон жишээнд дүн шинжилгээ хийх болно. Би нийтлэлийг "Даммигийн Фурье цуврал" гэж нэрлэхийг чин сэтгэлээсээ хүсч байсан ч энэ нь зальтай байх болно, учир нь асуудлыг шийдвэрлэхэд математикийн шинжилгээний бусад хэсгүүдийн мэдлэг, зарим практик туршлага шаардлагатай болно. Тиймээс оршил нь сансрын нисгэгчдийн сургалттай төстэй байх болно =)

Нэгдүгээрт, хуудасны материалыг судлахдаа маш сайн хэлбэрээр хандах хэрэгтэй. Нойрмог, амарч, сэрүүн. Шишүүхэйний хугарсан сарвууны тухай хүчтэй сэтгэл хөдлөл, аквариумын загасны амьдралын бэрхшээлийн талаархи хэт их бодол санаагүйгээр. Фурье цуврал нь ойлгох үүднээс тийм ч хэцүү биш боловч практик даалгаврууд нь анхаарал төвлөрүүлэхийг шаарддаг - хамгийн тохиромжтой нь гадны өдөөгчийг бүрэн орхих хэрэгтэй. Шийдэл, хариултыг шалгах хялбар арга байхгүй нь нөхцөл байдлыг улам хүндрүүлж байна. Тиймээс, хэрэв таны эрүүл мэнд дунджаас доогуур байвал илүү энгийн зүйл хийх нь дээр. Үнэн.

Хоёрдугаарт, сансарт нисэхээсээ өмнө хөлгийн багажны самбарыг судлах шаардлагатай. Машин дээр дарах ёстой функцүүдийн утгуудаас эхэлье.

Аливаа байгалийн үнэ цэнийн хувьд:

нэг). Үнэн хэрэгтээ синусоид нь "pi" бүрээр дамжуулан x тэнхлэгийг "анивчдаг":
. Аргументийн сөрөг утгуудын хувьд үр дүн нь мэдээж ижил байх болно: .

2). Гэхдээ хүн бүр үүнийг мэддэггүй байсан. "Pi en" косинус нь "анивчсан гэрэл"-тэй тэнцүү байна:

Сөрөг аргумент нь хэргийг өөрчлөхгүй: .

Магадгүй хангалттай.

Гуравдугаарт, эрхэм сансрын нисгэгчдийн корпус, та чадвартай байх хэрэгтэй ... нэгтгэх.
Ялангуяа, мэдээжийн хэрэг дифференциал тэмдгийн дор функцийг авчрах, хэсгүүдээр нэгтгэхмөн сайн харилцаатай байх Ньютон-Лейбницийн томъёо. Нислэгийн өмнөх чухал дасгалуудыг эхлүүлцгээе. Би үүнийг алгасахыг зөвлөдөггүй, ингэснээр та таталцлын хүчгүй байдалд дараа нь тэгшлэхгүй байх болно.

Жишээ 1

Тодорхой интегралыг тооцоолох

байгалийн үнэт зүйлсийг хаана авдаг.

Шийдэл: интеграцчлалыг "x" хувьсагч дээр гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ үе шатанд "en" дискрет хувьсагчийг тогтмол гэж үзнэ. Бүх интегралд функцийг дифференциалын тэмдгийн доор оруул:

Буудахад тохиромжтой шийдлийн богино хувилбар дараах байдалтай байна.

Дассан:

Үлдсэн дөрвөн оноо нь дангаараа. Даалгаврыг ухамсартайгаар хийж, интегралуудыг богино хугацаанд зохион байгуулахыг хичээ. Хичээлийн төгсгөлд шийдлийн жишээ.

ЧАНАРТАЙ дасгал хийсний дараа скафандр өмслөө
мөн эхлэхэд бэлдэж байна!

Фурье цуврал дахь функцийг интервал дээр өргөтгөх

Ийм функцийг авч үзье тодорхойлсоннаад зах нь интервал дээр (мөн магадгүй илүү том интервал дээр). Хэрэв энэ функц сегмент дээр интегралдах боломжтой бол үүнийг тригонометр болгон өргөжүүлж болно Фурье цуврал:
, гэж нэрлэгддэг зүйл хаана байна Фурье коэффициентүүд.

Энэ тохиолдолд дугаарыг дуудна задралын хугацаа, мөн тоо нь байна хагас задралын задрал.

Мэдээжийн хэрэг, ерөнхий тохиолдолд Фурье цуврал нь синус ба косинусуудаас бүрддэг.

Үнэхээр үүнийг дэлгэрэнгүй бичье:

Цувралын тэг гишүүнийг ихэвчлэн гэж бичдэг.

Фурье коэффициентийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Шинэ нэр томьёо нь эхлэгчдэд энэ сэдвийг судлахад бүрхэг хэвээр байгааг би маш сайн ойлгож байна. задралын хугацаа, хагас мөчлөг, Фурье коэффициентүүдболон бусад.Сандрах хэрэггүй, энэ нь сансарт гарахын өмнөх догдлолтой зүйрлэшгүй юм. Хамгийн ойрын жишээн дээр бүх зүйлийг олж мэдье, гүйцэтгэхээсээ өмнө практик асуултуудыг асуух нь логик юм.

Дараах ажлуудад юу хийх хэрэгтэй вэ?

Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүл. Нэмж дурдахад функцийн график, цувралын нийлбэрийн график, хэсэгчилсэн нийлбэр зурах, профессорын нарийн уран зөгнөлийн хувьд өөр зүйл хийх шаардлагатай байдаг.

Функцийг Фурье цуврал болгон хэрхэн өргөжүүлэх вэ?

Үндсэндээ та олох хэрэгтэй Фурье коэффициентүүд, өөрөөр хэлбэл гурвыг зохиож, тооцоол тодорхой интеграл.

Фурье цувралын ерөнхий хэлбэр болон ажлын гурван томьёог дэвтэртээ хуулж авна уу. Сайтын зарим зочдод сансрын нисгэгч болох хүүхэд насны мөрөөдөл миний нүдэн дээр биелж байгаад маш их баяртай байна =)

Жишээ 2

Функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүл. График, цувааны нийлбэрийн график, хэсэгчилсэн нийлбэрийг байгуул.

Шийдэл: даалгаврын эхний хэсэг нь функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх явдал юм.

Эхлэл нь стандарт тул дараах зүйлийг бичихээ мартуузай.

Энэ асуудалд тэлэлтийн үе , хагас .

Бид функцийг Фурье цувралын интервал дээр өргөжүүлнэ.

Тохирох томъёог ашиглан бид олдог Фурье коэффициентүүд. Одоо бид гурвыг зохиож, тооцоолох хэрэгтэй тодорхой интеграл. Тохиромжтой болгох үүднээс би оноог дугаарлах болно:

1) Эхний интеграл нь хамгийн энгийн боловч нүд, нүдийг аль хэдийн шаарддаг.

2) Бид хоёр дахь томьёог ашигладаг:

Энэ интеграл нь сайн мэддэг бөгөөд тэр үүнийг хэсэгчлэн авдаг:

Ашигласан олдвол функцийг дифференциал тэмдгийн дор оруулах арга.

Харж байгаа ажилд нэн даруй ашиглах нь илүү тохиромжтой тодорхой интегралд хэсгүүдээр нэгтгэх томъёо :

Хэд хэдэн техникийн тэмдэглэл. Нэгдүгээрт, томъёог хэрэглэсний дараа илэрхийлэл бүхэлдээ том хаалтанд байх ёстой, анхны интегралын өмнө тогтмол байдаг тул. Үүнийг алдахгүй байцгаая! Цаашид аль ч алхамд хаалт нээх боломжтой, би үүнийг хамгийн сүүлчийн ээлжинд хийсэн. Эхний "хэсэгт" Бид орлуулахдаа туйлын нарийвчлалыг харуулж байна, таны харж байгаагаар тогтмол нь ажиллахгүй, интеграцийн хязгаарыг бүтээгдэхүүнд орлуулж байна. Энэ үйлдлийг дөрвөлжин хаалтаар тэмдэглэв. За тэгээд томьёоны хоёр дахь "хэсэг"-ийн салшгүй хэсэг нь сургалтын даалгавраас танд сайн мэдэгдэж байна ;-)

Хамгийн чухал нь - анхаарлын хамгийн дээд төвлөрөл!

3) Бид гурав дахь Фурье коэффициентийг хайж байна.

Өмнөх интегралын харьцангуйг олж авсан бөгөөд энэ нь мөн хэсгүүдээр нэгтгэсэн:

Энэ жишээ нь арай илүү төвөгтэй тул би дараагийн алхамуудыг алхам алхмаар тайлбарлах болно:

(1) Илэрхийлэл бүхэлдээ том хаалтанд байна.. Би уйтгартай мэт санагдахыг хүсээгүй, тэд байнга тогтмол байдлаа алддаг.

(2) Энэ тохиолдолд би тэр даруй том хаалтуудыг өргөжүүлсэн. Онцгой анхааралБид эхний "хэсэг" -д зориулдаг: байнгын тамхи татдаг бөгөөд бүтээгдэхүүнд нэгтгэх ( ба ) хязгаарыг орлуулахад оролцдоггүй. Бичлэгийн эмх замбараагүй байдлыг харгалзан энэ үйлдлийг дөрвөлжин хаалтанд дахин тэмдэглэхийг зөвлөж байна. Хоёр дахь "хэсэг" -ээр Бүх зүйл илүү энгийн: энд том хаалт нээгдсэний дараа бутархай гарч ирсэн ба тогтмол нь танил болсон интегралыг нэгтгэсний үр дүнд гарч ирэв ;-)

(3) Дөрвөлжин хаалтанд бид хувиргалтыг хийж, баруун интегралд интегралын хязгаарыг орлуулна.

(4) Бид дөрвөлжин хаалтаас "гэрэлтүүлэгч" -ийг гаргаж авсны дараа дотоод хаалтыг нээнэ: .

(5) Бид хаалтанд байгаа 1 ба -1-ийг цуцалж, эцсийн хялбаршуулалтыг хийдэг.

Эцэст нь бүх гурван Фурье коэффициентийг олсон:

Тэдгээрийг томъёонд орлуулна уу :

Хагас хувахаа бүү мартаарай. Сүүлийн шатанд "en" -ээс хамаарахгүй тогтмол ("хасах хоёр") нийлбэрээс хасагдана.

Тиймээс бид Фурье цуврал дахь функцийн өргөтгөлийг дараах интервал дээр олж авлаа.

Фурье цувралын нийлмэл байдлын асуултыг судалж үзье. Би онолыг ялангуяа тайлбарлах болно Дирихлетийн теорем, шууд утгаараа "хуруунд" гэсэн утгатай тул хэрэв танд хатуу томъёолол хэрэгтэй бол тооцооллын сурах бичигт хандана уу. (жишээлбэл, Боханы 2-р боть эсвэл Фихтенхольцын 3-р боть, гэхдээ энэ нь илүү хэцүү байдаг).

Даалгаврын хоёр дахь хэсэгт график, цуврал нийлбэрийн график, хэсэгчилсэн нийлбэрийн график зурах шаардлагатай.

Функцийн график нь ердийнх юм хавтгай дээрх шулуун шугам, хар тасархай шугамаар зурсан:

Бид цувралын нийлбэрийг авч үздэг. Чиний мэдэж байгаагаар функциональ цуваа функцүүдэд нийлдэг. Манай тохиолдолд баригдсан Фурье цуврал "x"-ийн дурын утгын хувьдулаанаар харуулсан функцэд нийлдэг. Энэ функцэд хамаарна 1-р төрлийн завсарлагацэгээр , гэхдээ тэдгээрт тодорхойлогдсон (зураг дээрх улаан цэгүүд)

Энэ замаар: . Энэ нь анхны функцээс эрс ялгаатай болохыг хялбархан харж болно, тиймээс тэмдэглэгээнд байна Тэнцүү тэмдгийн оронд тильд ашигладаг.

Цувралын нийлбэрийг бүтээхэд тохиромжтой алгоритмыг судалцгаая.

Төвийн интервал дээр Фурье цуврал нь функцтэй нийлдэг (төв улаан сегмент нь шугаман функцийн хар тасархай шугамтай давхцдаг).

Одоо тригонометрийн тэлэлтийн шинж чанарын талаар бага зэрэг яръя. Фурье цуврал зөвхөн үечилсэн функцийг (тогтмол, синус ба косинус) багтаасан тул цувралын нийлбэр мөн үечилсэн функц юм.

Энэ нь бидний жишээн дээр юу гэсэн үг вэ? Мөн энэ нь цувралын нийлбэр гэсэн үг юм –заавал үе үемөн интервалын улаан сегмент зүүн ба баруун талд хязгааргүй давтагдах ёстой.

Одоо "задралын үе" гэсэн хэллэгийн утга нь эцэстээ тодорхой болсон гэж би бодож байна. Энгийнээр хэлэхэд нөхцөл байдал дахин дахин давтагдах бүртээ.

Практикт зураг дээр үзүүлсэн шиг гурван задралын үеийг дүрслэх нь ихэвчлэн хангалттай байдаг. За, мөн хөрш зэргэлдээ үеийн "хожуул" - график үргэлжилж байгааг тодорхой болгохын тулд.

Ялангуяа сонирхолтой байдаг 1-р төрлийн тасалдлын цэгүүд. Ийм цэгүүдэд Фурье цуврал нь тусгаарлагдсан утгууд руу нийлдэг бөгөөд тэдгээр нь тасалдал "үсрэлт" (зураг дээрх улаан цэгүүд) яг дунд хэсэгт байрладаг. Эдгээр цэгүүдийн ординатыг хэрхэн олох вэ? Эхлээд "дээд давхрын" ординатыг олъё: үүний тулд бид төвийн тэлэлтийн үеийн хамгийн баруун цэг дэх функцийн утгыг тооцоолно: . "Доод давхрын" ординатыг тооцоолохын тулд хамгийн хялбар арга бол тухайн үеийн хамгийн зүүн талын утгыг авах явдал юм. . Дундаж утгын ординат нь "дээд ба доод"-ын нийлбэрийн арифметик дундаж юм: . Зургийг бүтээхдээ дунд нь зөв эсвэл буруу тооцоолсон эсэхийг шууд харах болно гэдэг сайхан хэрэг юм.

Цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийг бүтээж, нэгэн зэрэг "нийцэх" гэсэн нэр томъёоны утгыг давтъя. Хичээлээс сэдэл нь мэдэгддэг тооны цувралын нийлбэр. Бид өөрсдийн баялгийг дэлгэрэнгүй тайлбарлая:

Хэсэгчилсэн нийлбэр гаргахын тулд та тэг + цувралын өөр хоёр гишүүнийг бичих хэрэгтэй. Тэр бол,

Зураг дээр функцийн графикийг ногоон өнгөөр ​​харуулсан бөгөөд таны харж байгаагаар энэ нь нийт нийлбэрийг нэлээд нягт ороосон байна. Хэрэв бид цувралын таван гишүүний хэсэгчилсэн нийлбэрийг авч үзвэл энэ функцийн график нь улаан шугамыг илүү нарийвчлалтай ойртуулах болно, хэрэв зуун гишүүн байвал "ногоон могой" нь улаан хэсгүүдтэй бүрэн нийлнэ. гэх мэт. Ийнхүү Фурье цуваа нийлбэртээ нийлдэг.

Аливаа хэсэгчилсэн нийлбэр нь гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм тасралтгүй функц, гэхдээ цувралын нийт нийлбэр тасархай хэвээр байна.

Практикт хэсэгчилсэн нийлбэрийн график байгуулах нь ердийн зүйл биш юм. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Манай тохиолдолд сегмент дээрх функцийг авч үзэх, сегментийн төгсгөл ба завсрын цэгүүдэд түүний утгыг тооцоолох шаардлагатай (илүү олон оноо авч үзэх тусам график илүү нарийвчлалтай байх болно). Дараа нь та эдгээр цэгүүдийг зураг дээр тэмдэглэж, графикийг үе шатанд болгоомжтой зурж, дараа нь зэргэлдээх интервалд "хуулбарлах" хэрэгтэй. Өөр яаж? Эцсийн эцэст ойртох нь бас үечилсэн функц юм ... ... түүний график нь эмнэлгийн төхөөрөмжийн дэлгэц дээрх зүрхний жигд хэмнэлийг ямар нэгэн байдлаар санагдуулдаг.

Мэдээжийн хэрэг, барилгын ажлыг гүйцэтгэх нь тийм ч тохиромжтой биш юм, учир нь та хагас миллиметрээс багагүй нарийвчлалыг хадгалахын тулд маш болгоомжтой байх хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч би зураг зурахтай зөрчилдөж буй уншигчдад таалагдах болно - "бодит" даалгаварт зураг зурах нь үргэлж шаардлагагүй байдаг, хаа нэгтээ 50% тохиолдолд функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх шаардлагатай байдаг. тэр.

Зургийг дуусгасны дараа бид даалгаврыг гүйцэтгэнэ.

Хариулах:

Олон үүрэг даалгаврын хувьд функц нь зовдог 1-р төрлийн хагаралшууд задралын хугацаанд:

Жишээ 3

Интервал дээр өгөгдсөн функцийг Фурьегийн цувралд өргөжүүл. Функцийн график болон цувралын нийт нийлбэрийг зур.

Санал болгож буй функцийг хэсэгчлэн өгнө (зөвхөн сегмент дээр анхаараарай)мөн тэвчих 1-р төрлийн хагаралцэг дээр. Фурье коэффициентийг тооцоолох боломжтой юу? Асуудалгүй. Функцийн зүүн ба баруун хэсэг хоёулаа интервалаараа интегралдах боломжтой тул гурван томьёо тус бүрийн интегралыг хоёр интегралын нийлбэрээр илэрхийлэх ёстой. Жишээлбэл, тэг коэффициентийн хувьд үүнийг хэрхэн хийхийг харцгаая.

Хоёр дахь интеграл нь тэгтэй тэнцүү болж, энэ нь ажлыг багасгасан боловч энэ нь үргэлж тийм биш юм.

Бусад хоёр Фурье коэффициентийг ижил төстэй байдлаар бичсэн.

Цувралын нийлбэрийг хэрхэн харуулах вэ? Зүүн интервал дээр бид шулуун шугамын сегментийг зурж, интервал дээр - шулуун шугамын сегментийг (тэнхлэгийн хэсгийг тод, тодоор тодруулна). Өөрөөр хэлбэл, өргөтгөлийн интервал дээр цувралын нийлбэр нь гурван "муу" цэгээс бусад бүх функцтэй давхцдаг. Функцийн тасалдлын цэг дээр Фурье цуваа нь тусгаарлагдсан утгад нийлдэг бөгөөд энэ нь тасалдлын "үсрэлт"-ийн яг дунд байрладаг. Үүнийг амаар харахад хэцүү биш: зүүн талын хязгаар:, баруун гар талын хязгаар: дунд цэгийн ординат нь 0.5 байх нь ойлгомжтой.

Нийлбэрийн үечилсэн байдлаас шалтгаалан зургийг зэргэлдээх үеүүдэд "үржүүлж", тухайлбал, ижил зүйлийг интервал дээр дүрсэлсэн байх ёстой. Энэ тохиолдолд цэгүүд дээр Фурье цуваа медиан утгуудад нийлдэг.

Үнэндээ энд шинэ зүйл алга.

Энэ асуудлыг өөрөө шийдэхийг хичээ. Хичээлийн төгсгөлд нарийн дизайн, зургийн ойролцоо жишээ.

Фурье цуврал дахь функцийг дурын хугацаанд өргөтгөх

Дурын тэлэлтийн хугацаанд "el" нь эерэг тоо байх үед Фурье цуврал ба Фурье коэффициентүүдийн томъёо нь арай илүү төвөгтэй синус ба косинусын аргументаар ялгаатай байна.

Хэрэв бол бид эхэлсэн интервалын томъёог авна.

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм, зарчмууд бүрэн хадгалагдан үлдсэн боловч тооцооллын техникийн нарийн төвөгтэй байдал нэмэгддэг.

Жишээ 4

Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлж, нийлбэрийг зур.

Шийдэл: үнэн хэрэгтээ жишээ No3-ын аналог 1-р төрлийн хагаралцэг дээр. Энэ асуудалд тэлэлтийн үе , хагас . Функц нь зөвхөн хагас интервалаар тодорхойлогддог, гэхдээ энэ нь ямар ч зүйлийг өөрчлөхгүй - функцийн хоёр хэсэг нь интегралдах боломжтой байх нь чухал юм.

Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлье.

Функц нь эхэнд тасархай тул Фурье коэффициент бүрийг хоёр интегралын нийлбэрээр бичих нь ойлгомжтой.

1) Би эхний интегралыг аль болох нарийвчлан бичих болно.

2) Сарны гадаргуу руу анхааралтай ажигла:

Хоёр дахь интеграл хэсэгчлэн авна:

Уусмалын үргэлжлэлийг одоор нээсний дараа та юуг анхаарах ёстой вэ?

Нэгдүгээрт, бид эхний интегралыг алдахгүй , бид нэн даруй гүйцэтгэх газар дифференциалын тэмдгийн дор авчрах. Хоёрдугаарт, том хаалт болон өмнө нь муу хувь заяаны тогтмол бүү март тэмдгүүдэд бүү андууртомъёог ашиглах үед . Эцсийн эцэст том хаалт нь дараагийн алхамд нэн даруй нээхэд илүү тохиромжтой.

Үлдсэн хэсэг нь техникийн асуудал, зөвхөн интегралыг шийдвэрлэх туршлага хангалтгүй байх нь хүндрэл үүсгэдэг.

Тийм ээ, Францын математикч Фурьегийн нэр хүндтэй хамтрагчид уурлаж бухимдсан нь дэмий хоосон байсангүй - тэр яаж функцүүдийг тригонометрийн цуврал болгон задалж зүрхэлсэн бэ? =) Дашрамд хэлэхэд, хүн бүр тухайн ажлын практик утгыг сонирхож байгаа байх. Фурье өөрөө дулаан дамжуулалтын математик загвар дээр ажиллаж байсан бөгөөд дараа нь түүний нэрээр нэрлэгдсэн цуврал нь гадаад ертөнцөд үл үзэгдэх олон үечилсэн процессуудыг судлахад ашиглагдаж эхэлсэн. Одоо, дашрамд хэлэхэд, би хоёр дахь жишээний графикийг үе үе зүрхний хэмнэлтэй харьцуулсан нь тохиолдлын зүйл биш байсан гэж өөрийгөө барьж авав. Сонирхсон хүмүүс практик хэрэглээтэй танилцах боломжтой Фурье хувиргахгуравдагч талын эх сурвалжаас. ... Хэдий тэгээгүй нь дээр ч гэсэн анхны хайр гэж дурсагдах болно =)

3) Дахин дурдсан сул холбоосуудыг харгалзан бид гурав дахь коэффициентийг авч үздэг.

Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх:

Бид олсон Фурье коэффициентийг томъёонд орлуулна , тэг коэффициентийг хагасаар хувахаа мартаж болохгүй.

Цувралын нийлбэрийг зуръя. Процедурыг товчхон давтъя: интервал дээр бид шугам, интервал дээр шугамыг барина. "Х"-ийн тэг утгаараа бид завсарын "үсрэлт" -ийн дунд цэг тавьж, хөрш зэргэлдээх үеүүдийн графикийг "хуулбарлана".


Үеүүдийн "уулзвар" дээр нийлбэр нь мөн ялгааны "үсрэлтийн" дунд цэгүүдтэй тэнцүү байх болно.

Бэлэн. Функц нь өөрөө зөвхөн хагас интервал дээр нөхцөлт байдлаар тодорхойлогддог бөгөөд мэдээжийн хэрэг интервал дээрх цувралын нийлбэртэй давхцаж байгааг би танд сануулж байна.

Хариулах:

Заримдаа хэсэгчлэн өгөгдсөн функц нь өргөтгөлийн хугацаанд үргэлжилдэг. Хамгийн энгийн жишээ: . Шийдэл (Бохан 2-р ботийг үзнэ үү)өмнөх хоёр жишээтэй ижил байна: үл хамааран функцын тасралтгүй байдалцэг дээр Фурье коэффициент бүрийг хоёр интегралын нийлбэрээр илэрхийлнэ.

Салалтын интервалд 1-р төрлийн тасалдлын цэгүүдба / эсвэл графикийн "уулзвар" цэгүүд нь илүү байж болно (хоёр, гурав, ерөнхийдөө аль ч эцсийнхэмжээ). Хэрэв функц хэсэг бүр дээр интегралдах боломжтой бол энэ нь Фурье цувралд мөн нэмэгдэх боломжтой. Гэхдээ практик туршлагаас харахад би ийм цагаан тугалга санахгүй байна. Гэсэн хэдий ч зүгээр л авч үзэхээс илүү хэцүү даалгаварууд байдаг бөгөөд нийтлэлийн төгсгөлд хүн бүрт зориулсан Фурье цувралын нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлэх холбоосууд байдаг.

Энэ хооронд тайвширч, сандал дээрээ тулан, оддын төгсгөлгүй далайг эргэцүүлэн бодоцгооё:

Жишээ 5

Функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүлж, цувааны нийлбэрийг зур.

Энэ даалгаварт функц Үргэлжилсэншийдлийг хялбаршуулдаг задралын хагас интервал дээр. Бүх зүйл жишээ №2-тэй маш төстэй. Сансрын хөлгөөс зугтах боломжгүй - та шийдэх ёстой =) Хичээлийн төгсгөлд дизайны ойролцоо загвар, хуваарийг хавсаргав.

Тэгш ба сондгой функцүүдийн Фурье цувралын өргөтгөл

Тэгш ба сондгой функцүүдийн тусламжтайгаар асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц мэдэгдэхүйц хялбаршсан болно. Тийм учраас л. "Хоёр пи" хугацааны Фурье цуврал дахь функцийн өргөтгөл рүү буцъя. болон дурын хугацаа "хоёр але" .

Бидний функц тэгш байна гэж бодъё. Цувралын ерөнхий нэр томъёо нь таны харж байгаагаар тэгш косинус, сондгой синусыг агуулдаг. Хэрэв бид ТЭГШ функцийг задлах юм бол яагаад сондгой синусууд хэрэгтэй вэ?! Шаардлагагүй коэффициентийг дахин тохируулъя: .

Энэ замаар, тэгш функц нь зөвхөн косинусаар Фурьегийн цуваа болж өргөждөг:

Учир нь тэгш функцүүдийн интегралуудТэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй интеграцийн сегментийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх боломжтой бол Фурьегийн бусад коэффициентийг мөн хялбаршуулна.

Хүрээний хувьд:

Дурын интервалын хувьд:

Тооцооллын бараг бүх сурах бичигт байдаг сурах бичгийн жишээнд тэгш функцүүдийн өргөтгөлүүд багтсан болно . Нэмж дурдахад тэд миний хувийн практик дээр олон удаа уулзаж байсан.

Жишээ 6

Функц өгсөн. Шаардлагатай:

1) функцийг үетэй Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх, энд дурын эерэг тоо;

2) тэлэлтийг интервал дээр бичиж, функц байгуулж, цувралын нийт нийлбэрийн графикийг зур.

Шийдэл: эхний догол мөрөнд асуудлыг ерөнхий байдлаар шийдэхийг санал болгож байгаа бөгөөд энэ нь маш тохиромжтой! Хэрэгцээ бий болно - өөрийнхөө үнэ цэнийг орлуулахад л хангалттай.

1) Энэ асуудалд тэлэлтийн үе , хагас үе . Цаашдын үйл ажиллагааны явцад, ялангуяа интеграцийн үед "el" нь тогтмол гэж тооцогддог

Функц нь тэгш бөгөөд энэ нь зөвхөн косинусуудаар Фурьегийн цуврал болж өргөждөг гэсэн үг юм: .

Фурье коэффициентийг томъёогоор хайж байна . Тэдний үнэмлэхүй давуу талыг анхаарч үзээрэй. Нэгдүгээрт, интеграци нь өргөтгөлийн эерэг сегмент дээр хийгддэг бөгөөд энэ нь бид модулийг аюулгүйгээр арилгана гэсэн үг юм. , хоёр хэсгээс зөвхөн "x"-г авч үзвэл. Хоёрдугаарт, интеграци нь мэдэгдэхүйц хялбаршуулсан.

Хоёр:

Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх:

Энэ замаар:
, харин "en"-ээс хамаарахгүй тогтмол нь нийлбэрээс хасагдсан.

Хариулах:

2) Бид өргөтгөлийг интервал дээр бичдэг бөгөөд үүний тулд хагас хугацааны хүссэн утгыг ерөнхий томъёонд орлуулна.

Математик физикийн асуудлыг судлах хүчирхэг хэрэгслийн нэг бол интеграл хувиргалтын арга юм. f(x) функцийг (a, 6), төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервал дээр тодорхойлъё. f (x) функцийн интеграл хувиргалт нь K (x, w) нь хувиргах цөм гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн хувиргалтанд зориулагдсан функц юм (интеграл (*) нь зөв эсвэл буруу утгаараа байдаг гэж үздэг. ). §нэг. Фурье интеграл [-f, I] сегмент дээр Фурье цуваа руу тэлэх нөхцөлийг хангасан ямар ч f(x) функцийг энэ сегмент дээр тригонометрийн цуваагаар дүрсэлж болно. Косинус ба синусын хувиргалт Далайц ба фазын спектр Хэрэглээний шинж чанарууд (1) тэгшитгэлийн баруун талд байгаа цувааг өөр хэлбэрээр бичиж болно. Үүний тулд бид (2) томъёоноос a» ба op коэффициентүүдийн утгыг cos ^ x ба sin x интегралуудыг нэгтгэн оруулав (энэ нь интеграцийн хувьсагч нь m) O тул боломжтой) ба ашиглана. ялгааны косинусын томъёо. Хэрэв бид /(x) функцийг анх [-1,1] интервалаас их (жишээ нь, бүх тэнхлэг дээр) тоон тэнхлэгийн интервал дээр тодорхойлсон бол өргөтгөл (3) нь утгуудыг дахин гаргах болно. ​энэ функцийг зөвхөн [-1, 1] интервал дээр авч, бүхэл бүтэн бодит тэнхлэг дээр 21 үетэй үечилсэн функц хэлбэрээр үргэлжилнэ (Зураг 1). Тиймээс, хэрэв f(x) функц (ерөнхийдөө, үечилсэн бус) бүхэл бүтэн бодит тэнхлэгт тодорхойлогддог бол (3) томъёонд I + oo гэж хязгаарт шилжихийг оролдож болно. Энэ тохиолдолд дараах нөхцлүүдийг биелүүлэхийг шаардах нь зүйн хэрэг: 1. f(x) нь Ox\ тэнхлэгийн дурын төгсгөлтэй сегмент дээр Фурьегийн цуваа руу тэлэх нөхцөлийг хангана 2. f(x) функц нь туйлын байна. бүхэл бүтэн бодит тэнхлэгт интегралдах боломжтой.(3) I -* + oo үед тэг рүү чиглэдэг. Үнэн хэрэгтээ, (3) -ын баруун талд байгаа нийлбэр нь I + oo гэж хязгаарт ямар хэмжээнд очихыг тогтоохыг хичээцгээе. Дараа нь (3)-ын баруун талд байгаа нийлбэр нь интегралын үнэмлэхүй нийлбэрийн улмаас хэлбэрийг авна гэж бодъё. Энэ их I нийлбэр нь функцийн интеграл нийлбэртэй төстэй илэрхийллээс бага зэрэг ялгаатай байна. хувьсагч £ өөрчлөлтийн интервалд (0, + oo) эмхэтгэсэн.Тиймээс -ийн хувьд нийлбэр (5) нь интеграл С руу шилжинэ гэж хүлээх нь зүйн хэрэг. ) бид мөн адил тэгш байдлыг олж авна (7) томьёоны хүчинтэй байх хангалттай нөхцөлийг дараах теоремоор илэрхийлнэ. Теорем 1. Хэрэв f(x) функц нь бүхэл бүтэн бодит тэнхлэгт абсолют интеграл болох ба түүний уламжлалын хамт дурын хэрчим [a, 6] дээр эхний төрлийн хязгаарлагдмал тооны тасалдалтай цэгүүд байвал 3-р төрлийн байна. /(x) функцийн хувьд (7)-ийн баруун талын интегралын утгыг Формула (7)-тай тэнцүү бол Фурьегийн интеграл, баруун талд байгаа интегралыг Фурье интеграл гэнэ. Хэрэв бид ялгааны косинусын өдрийн томъёог ашиглавал (7) томъёог a(t), b(t) функцууд нь 2n үечилсэн давтамжийн харгалзах Фурьегийн a ба bn коэффициентүүдийн аналог юм гэж бичиж болно. функц, гэхдээ сүүлийнх нь n-ийн салангид утгуудад тодорхойлогддог бол a(0> HO нь G(-oo, +oo) тасралтгүй утгуудад тодорхойлогддог. f(x) гэж үзвэл Фурье интегралын цогц хэлбэр. Бүх x тэнхлэг дээр үнэмлэхүй интеграл болохын тулд бид интегралыг авч үзэх нь тодорхой сондгой функц Гэхдээ нөгөө талаас интеграл нь хувьсагчийн тэгш функц тул Фурье интеграл томъёог дараах байдлаар бичиж болно. : Тэгш байдлыг төсөөллийн i нэгжээр үржүүлээд (10) тэгшитгэл дээр нэмье.Энэ бол Фурье интегралын нийлмэл хэлбэр юм.Энд t-ийн гаднах интеграл нь Кошигийн үндсэн утгын утгаар ойлгогдоно: § 2 Фурьегийн хувиргалт Косинус ба синус Фурьегийн хувиргалт Функийг үзье f(x) шугам нь х тэнхлэгийн аль ч төгсгөлтэй сегмент дээр хэсэг хэсгээрээ гөлгөр бөгөөд бүх тэнхлэгт бүрэн интегралдах боломжтой. Тодорхойлолт. Эйлерийн томъёоны дагуу бидэнд байх функцийг f(r) функцийн Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг (спектр функц). Энэ нь (-oo, + oo) интервал дээрх / (r) функцийг цөмтэй интеграл хувиргах явдал юм. Фурьегийн интеграл томьёог ашигласнаар бид F-ээс шилжилтийг өгдөг урвуу Фурье хувирал гэж нэрлэгддэг. (t) -ээс / (x). Заримдаа Фурьегийн шууд хувиргалтыг дараах байдлаар өгдөг: Дараа нь урвуу Фурье хувирлыг томъёогоор тодорхойлно /(g) функцийн Фурьегийн хувиргалтыг мөн дараах байдлаар тодорхойлно: ФУРЬЕИЙН ХӨРЧИЛГӨН Фурьегийн интеграл Фурьегийн интегралын нийлмэл хэлбэр Фурьегийн хувиргалт Косинус ба синус. хувиргах далайц ба фазын спектр Хэрэглээний шинж чанар Дараа нь эргээд, Энэ тохиолдолд хүчин зүйлийн байрлал нь дур зоргоороо байдаг: энэ нь томьёо (1") эсвэл (2") аль алиныг нь оруулж болно. Жишээ 1. Функцийн Фурье хувиргалтыг ол -4 Бидэнд байна Энэ тэгшитгэл нь интеграл тэмдгийн дор £-д хамаарах дифференциалыг хүлээн зөвшөөрдөг (дифференциалын дараа олж авсан интеграл (ямар ч төгсгөлтэй сегментэд хамаарах) үед жигд нийлдэг): Хэсгээр интегралцвал бид дараах байдалтай болно. бид хаанаас авдаг (C нь интегралын тогтмол). (4)-д £ = 0 гэж тохируулснаар бид С = F(0)-ийг олно. (3)-ын ачаар бид үүнийг олж авдаг 4-р функцийг авч үзье. F(t) функцийн спектрийн хувьд эндээс (Зураг 2) олж авна. Бүхэл бүтэн бодит тэнхлэг дээрх f(x) функцийн үнэмлэхүй интегралч байдлын нөхцөл маш хатуу. Энэ нь жишээлбэл, Фурье хувиргалт (энд авч үзсэн сонгодог хэлбэрээр) байхгүй f(x) = e1 гэх мэт энгийн функцуудыг оруулаагүй болно. Зөвхөн тэдгээр функцууд нь |x|-д хангалттай хурдан тэг болох хандлагатай Фурье хувиргалттай байдаг -+ +oo (1 ба 2-р жишээн дээрх шиг). 2.1. Косинус ба синус Фурьегийн хувиргалт Косинусын томьёо буюу зөрүүг ашиглан Фурьегийн интеграл томьёог дараах хэлбэрээр дахин бичнэ: f(x) тэгш функц байя. Тэгэхлээр (5) тэгшитгэлээс бид сондгой f(x)-ын хувьд ижилхэн олж авна. Хэрэв f(x) нь зөвхөн (0, -foo) дээр өгөгдсөн бол (6) томъёо f(x)-ийг өргөтгөнө. Үхрийн тэнхлэгийг бүхэлд нь тэгш байдлаар, томъёо (7) - сондгой. (7) Тодорхойлолт. Функцийг f(x) функцийн косинусын Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг. (6)-аас харахад тэгш функцийн хувьд f(x) Энэ нь f(x) нь эргээд Fc(t)-ийн косинусын хувирал гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл / ба Fc функцууд нь харилцан косинусын хувиргалт юм. Тодорхойлолт. Функцийг f(x) функцийн синусын Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг. (7) -аас бид сондгой f(x) функцийн хувьд олж авна, өөрөөр хэлбэл, f ба Fs нь харилцан синусын хувиргалт юм. Жишээ 3 (баруун өнцгийн импульс). Дараах байдлаар тодорхойлогдсон f(t) тэгш функц байя: (Зураг 3). Олж авсан үр дүнг интегралыг тооцоолъё (9) томьёоны дагуу 3-р зураг 0 0 t = 0 цэгт f(t) функц тасралтгүй бөгөөд нэгтэй тэнцүү байна. Иймд (12")-аас бид 2.2-ыг олж авна. Фурье интегралын далайц ба фазын спектрүүд 2м үетэй f(x) функцийг Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүлье. Энэхүү тэгшитгэлийг бидний ойлголтуудад ирсэн хэлбэрээр бичиж болно. үечилсэн функцийн далайц ба фазын спектрийн тодорхой нөхцлөөр (-oo, +oo) дээр өгөгдсөн үечилсэн бус f(x) функцийн хувьд үүнийг тэлдэг Фурье интегралаар илэрхийлэх боломжтой болж байна. бүх давтамж дээрх энэ функц (тасралтгүй давтамжийн спектр дэх өргөтгөл Тодорхойлолт Спектрийн функц буюу Фурье интегралын спектрийн нягтрал нь илэрхийлэл юм (f функцийн Фурьегийн шууд хувиргалтыг далайцын спектр гэж нэрлэдэг ба функц Ф ") \u003d -argSfc) нь функцийн фазын спектр юм / ("). A(t) далайцын спектр нь /(x) функцэд t давтамжийн хувь нэмрийг хэмжих хэмжүүр болдог. Жишээ 4. Функцийн далайц ба фазын спектрийг олоорой 4 Спектрийн функцийг эндээс олно уу Эдгээр функцийн графикийг зурагт үзүүлэв. 4. §3. Фурье хувиргах шинж чанарууд 1. Шугаман чанар. Хэрэв ба G(0) нь f(x) ба q(x) функцүүдийн Фурье хувиргалт юм бол дурын a ба p тогтмолуудын хувьд a f(x) + p g(x) функцийн Фурье хувиргалт нь функц болно. a Интегралын шугаман шинж чанарыг ашиглавал Фурье хувиргалт нь шугаман оператор юм.Үүнийг тэмдэглээд бид бичнэ.Хэрэв F(t) нь бүх бодит дээр абсолют интегралдах f(x) функцийн Фурье хувиргалт юм. тэнхлэг, тэгвэл F(t) нь бүгдэд нь хязгаарлагдана. f(x) функц нь бүхэл тэнхлэгт абсолют интеграл болох - f (x) функцийн Фурьегийн хувиргалт. Дараа нь 3 "flts J. f (x) гэж үзье. функц, хүлцэл нь Фурье хувиргалт, L нь шинж чанаруудын тоо юм. fh (x) \u003d f (z-h) функцийг f(x) функцийн шилжилт гэж нэрлэдэг. Фурье хувиргалтын тодорхойлолтыг ашиглан. , Бодлого үзүүл. f(z) функц нь Фурьегийн хувиргалттай F(0> h нь бодит тоо. 3. Фурье хувиргалт ба дифференциал ooeresis гэдгийг харуул. Туйлын интегралдах f (x) функц нь f (x) деривативтай байг. (x), энэ нь мөн бүх тэнхлэгт бүрэн нэгдмэл байх боломжтой Өө, тэгэхээр /(n) нь |x| байдлаар тэг болох хандлагатай байна -» +oo. f "(x) функцийг гөлгөр функц гэж үзвэл бид хэсгүүдээр интегралчлах гэж бичвэл интегралын гаднах нэр томъёо алга болно (үүнээс хойш, мөн бид олж авна. Тиймээс / (x) функцийн ялгарал нь түүний Фурьегийн үржвэртэй тохирч байна. image ^ P /] хүчин зүйлээр Хэрэв f (x) функц нь m зэрэглэлийг багтаасан гөлгөр үнэмлэхүй салшгүй деривативтай бөгөөд тэдгээр нь f(x) функцтэй адил тэг рүү чиглэж, дараа нь хэсгүүдээр интегралдах хандлагатай байна. Шаардлагатай тооны удаад бид Фурье хувиргалтыг олж авах нь маш ашигтай, учир нь энэ нь дифференциалын үйлдлийг утгаар үржүүлэх үйлдлээр орлуулж, улмаар тодорхой төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх асуудлыг хялбаршуулдаг. туйлын интегралдах функц f^k\x) нь (2-р шинж чанар) хязгаарлагдмал функц бөгөөд (2) хамаарлаас бид дараах тооцоог олж авна: Фурьегийн хувиргалт Фурьегийн интеграл Комплекс интеграл Фурьегийн хувиргалт Косинус ба синусын хувиргалт Далайц ба фазын спектр Хэрэглээний шинж чанарууд Энэхүү үнэлгээнээс Дараах нь: f(x) функц нь абсолют интегралдах деривативтай байх тусам түүний Фурье хувиргалт тэг болох хандлагатай байдаг. Сэтгэгдэл. Фурье интегралын ердийн онол нь нэг утгаараа эхлэл, төгсгөлтэй боловч ойролцоогоор ижил эрчимтэй үргэлжилдэггүй процессуудыг авч үздэг тул нөхцөл байдал нь нэлээд байгалийн юм. 4. |z|-ийн f(x) функцийн задралын хурд хоорондын хамаарал -» -f oo ба түүний Fourm хувиргалтын жигд байдал. Зөвхөн /(x) төдийгүй түүний үржвэр нь xf(x) нь бүхэлдээ х тэнхлэгт бүрэн интегралдах функц байна гэж үзье. Дараа нь Фурье хувиргалт) нь дифференциалагдах функц болно. Үнэн хэрэгтээ, интегралын £ параметрийн хувьд албан ёсны ялгаа нь параметрийн хувьд үнэмлэхүй бөгөөд жигд нийлдэг интегралд хүргэдэг. Хэрэв f(x) функцтэй хамт функцүүд нь бүхэл Окс тэнхлэгт үнэмлэхүй интегралчлах боломжтой бол ялгах процессыг үргэлжлүүлж болно. Функц нь m-ийг багтаасан дараалалтай деривативтай болохыг олж мэдсэн бөгөөд f(x) функц хэдий чинээ хурдан буурна төдий чинээ жигд гөлгөр болно.Теорем 2 (өрөмийн тухай). /,(x), f2(x) функцүүдийн Фурье хувиргалтыг тус тус авч үзье. Дараа нь баруун талын давхар интеграл туйлын нийлдэг. x-г тавьцгаая. Дараа нь бид байх болно, эсвэл, интегралчлалын дарааллыг өөрчлөх, Функцийг функцүүдийн эргэлт гэж нэрлэдэг ба тэмдэгтээр тэмдэглэсэн Формула (1) Одоо дараах байдлаар бичиж болно: Эндээс харахад Фурьегийн хувиргалт нь . функцууд f \ нугалах функцүүдийн Фурье хувиргалтын үржвэр, Тайлбар. Эргэлтийн дараах шинж чанаруудыг тогтооход хялбар байдаг: 1) шугаман байдал: 2) шилжих чадвар: §4. Фурье хувиргалтын хэрэглээ 1. Р(^) нь тогтмол коэффициенттэй m дарааллын шугаман дифференциал оператор байг.y(x) нь Фурье хувиргалт y (O. ба f(x) функц нь /(t) хувиралттай байна. (1) тэгшитгэлд Фурье хувиргалтыг ашигласнаар бид хаана хамаарах тэнхлэг дээр дифференциал алгебрийн тэгшитгэлийн оронд олж авдаг бөгөөд албан ёсоор тэмдэглэгээ нь урвуу Фурье хувиргалтыг илэрхийлдэг. Энэ аргын хэрэглээний гол хязгаарлалт нь дараахтай холбоотой юм. баримт: Тогтмол коэффициент бүхий энгийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь хэлбэрийн функцуудыг агуулна< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и