Фурье цуврал. Өдөр бүр Функцийг Фурье цувралд өргөжүүлнэ үү

Фурьегийн ойролцоо(-π; π) интервал дээрх f (x) функцийг дараах хэлбэрийн тригонометрийн цуваа гэж нэрлэдэг.
, хаана

(-l; l) интервал дээрх f (x) функцийн Фурьегийн цувааг дараах хэлбэрийн тригонометрийн цуваа гэнэ.
, хаана

Уулзалт. Онлайн тооцоолуур нь Фурье цуврал дахь f(x) функцийг өргөжүүлэх зориулалттай.

Модуль функцүүдийн хувьд (жишээ нь |x|) ашиглана уу косинусын тэлэлт.

Функцийг оруулах дүрэм:

Модулийн функцүүдийн хувьд косинусын өргөтгөлийг ашиглана уу. Жишээлбэл, |x|-ийн хувьд модульгүй функцийг нэвтрүүлэх шаардлагатай, i.e. x .

Фурье цуваа хэсэгчлэн-тасралтгүй, хэсэгчлэн-монотон ба интервал дээр хязгаарлагдмал (- л;л) функц нь бүхэл бүтэн бодит тэнхлэгт нийлдэг.

Фурьегийн S(x) цувралын нийлбэр:

• 2 үетэй үечилсэн функц юм л. R домэйны бүх x-ийн хувьд u(x+T)=u(x) бол u(x) функцийг T үетэй (эсвэл T-үе үе) гэж нэрлэдэг.
• интервал дээр (- л;л) функцтэй давхцаж байна е(x), таслах цэгээс бусад тохиолдолд
• функцийн тасалдлын цэгүүдэд (функц нь хязгаарлагдмал тул эхний төрлийн). е(x) ба интервалын төгсгөлд дундаж утгыг авна:

.
Функц нь интервал дээр Фурьегийн цуваа болж өргөждөг гэж тэд хэлдэг (- л;л): .

Хэрвээ е(x) нь тэгш функц бол түүнийг өргөтгөхөд зөвхөн тэгш функцүүд оролцдог, өөрөөр хэлбэл, б н=0.
Хэрвээ е(x) нь сондгой функц бол түүнийг өргөтгөхөд зөвхөн сондгой функцүүд оролцдог, өөрөөр хэлбэл, a n=0

Фурьегийн ойролцоо функцууд е(x) интервал дээр (0; л) олон нумын косинусаар мөр гэж нэрлэдэг:
, хаана
.
Фурьегийн ойролцоо функцууд е(x) интервал дээр (0; л) олон нумын синусаар мөр гэж нэрлэдэг:
, хаана .
Олон нумын косинусын Фурье цувралын нийлбэр нь 2 үетэй тэгш үечилсэн функц юм. л, давхцаж байна е(x) интервал дээр (0; л) тасралтгүй байдлын цэгүүдэд.
Олон нумын синус дээрх Фурье цувралын нийлбэр нь 2 үетэй сондгой үечилсэн функц юм. л, давхцаж байна е(x) интервал дээр (0; л) тасралтгүй байдлын цэгүүдэд.
Өгөгдсөн интервал дээрх өгөгдсөн функцийн Фурье цуврал нь өвөрмөц шинж чанартай байдаг, өөрөөр хэлбэл хэрэв өргөтгөлийг томъёог ашиглахаас өөр аргаар, жишээлбэл, коэффициент сонгох замаар олж авсан бол эдгээр коэффициентүүд нь томъёогоор тооцоолсонтой давхцдаг. .

Жишээ №1. f(x)=1 функцийг өргөжүүлэх:
a) интервал дээрх Фурьегийн бүрэн цувралд(-π ;π);
б) интервал дээрх олон нумын синусуудын дагуу цуваа(0;π); үүссэн Фурьегийн цувралыг зур
Шийдэл:
a) Фурье цуврал дахь (-π; π) интервал дахь тэлэлт нь дараах хэлбэртэй байна.
,
ба бүх коэффициентүүд б н=0, учир нь энэ функц тэгш байна; Тиймээс,

Авбал тэгш байдал хангагдах нь ойлгомжтой
а 0 =2, а 1 =а 2 =а 3 =…=0
Өвөрмөц шинж чанарын ачаар эдгээр нь хүссэн коэффициентүүд юм. Тиймээс шаардлагатай өргөтгөл нь: эсвэл зүгээр л 1=1.
Энэ тохиолдолд цуврал нь функцтэйгээ яг адилхан давхцаж байгаа тохиолдолд Фурье цувралын график нь бүхэл бүтэн бодит шугам дээрх функцийн графиктай давхцдаг.
б) Олон нумын синусуудын хувьд (0;π) интервал дахь тэлэлт нь дараах хэлбэртэй байна.
Тэгш байдал ижил байхын тулд коэффициентүүдийг сонгох боломжгүй нь ойлгомжтой. Коэффициентийг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглана уу.


Тиймээс, жигд n (n=2к) бидэнд байгаа б н=0, сондгой ( n=2к-1) -
Эцэст нь, .
Үр дүнд нь Фурьегийн цувааг шинж чанаруудыг нь ашиглан зурцгаая (дээрхийг харна уу).
Юуны өмнө бид энэ функцийн графикийг өгөгдсөн интервал дээр байгуулдаг. Цаашилбал, цувралын нийлбэрийн сондгой байдлыг ашиглан бид графикийг гарал үүсэлтэй тэгш хэмтэйгээр үргэлжлүүлнэ.

Бид бүх тооны тэнхлэг дээр үе үе үргэлжлүүлнэ.


Эцэст нь, завсарлагааны цэгүүдэд бид дундаж утгыг (баруун ба зүүн хязгаарын хооронд) бөглөнө.

Жишээ №2. Функцийг өргөжүүлэх олон нумын синусуудын дагуу (0;6) интервал дээр.
Шийдэл: Хүссэн өргөтгөл нь дараах хэлбэртэй байна.

Тэгш тэгш байдлын зүүн ба баруун хэсгүүд нь зөвхөн өөр өөр аргументуудын нүгэл функцуудыг агуулдаг тул тэгш байдлын зүүн ба баруун хэсгүүдийн синусуудын аргументууд n (байгалийн!)
эсвэл , эндээс n =18. Энэ нь ийм нэр томъёог баруун талд агуулсан бөгөөд түүний коэффициент нь зүүн талын коэффициенттэй давхцах ёстой гэсэн үг юм. б 18 =1;
эсвэл , эндээс n =4. гэсэн үг, б 4 =-5.
Тиймээс коэффициентүүдийн сонголтыг ашиглан хүссэн өргөтгөлийг олж авах боломжтой болсон.

Бүх утгын хувьд тодорхойлогдсон функц x дуудсан тогтмол хэвлэл, ийм тоо байгаа бол T (T≠ 0), ямар ч үнэ цэнийн хувьд xтэгш байдал f(x + T) = f(x). Тоо ТЭнэ тохиолдолд функцийн хугацаа байна.

Тогтмол функцүүдийн шинж чанарууд:

1) Үе үеийн функцүүдийн нийлбэр, зөрүү, үржвэр, коэффициент Ттухайн үеийн үечилсэн функц юм Т.

2) Хэрэв функц f(x)хугацаатай Т, дараа нь функц f(сүх)хугацаатай

Үнэн хэрэгтээ, аливаа маргааны хувьд X:

(аргументыг тоогоор үржүүлэх нь энэ функцийн графикийг тэнхлэгийн дагуу шахаж эсвэл сунгана гэсэн үг юм. Өө)

Жишээлбэл, функц нь үетэй, функцийн үе нь байдаг

3) Хэрэв f(x)үечилсэн функц Т, тэгвэл энэ функцийн дурын хоёр интеграл нь уртын интервалаар авсан тэнцүү байна Т(эдгээр интегралууд байдаг гэж үздэг).

T= үетэй функцийн Фурье цуваа .

Тригонометрийн цуврал нь дараах хэлбэрийн цуваа юм.

эсвэл товчхондоо,

Энд , , , , , … , , , … нь бодит тоонуудыг цувралын коэффициент гэж нэрлэдэг.

Тригонометрийн цувралын гишүүн бүр нь тухайн үеийн үечилсэн функц юм (учир нь - ямар ч байдаг

үе, мөн үе () нь , улмаар ). Нэр томьёо бүр (), хамт n= 1,2,3… нь энгийн гармоник хэлбэлзлийн аналитик илэрхийлэл бөгөөд энд А- далайц,

эхний үе шат. Дээр дурдсан зүйлсийг харгалзан бид олж авна: хэрэв тригонометрийн цуваа нь хугацааны уртын сегмент дээр нийлдэг бол энэ нь бүх тоон тэнхлэгт нийлдэг бөгөөд түүний нийлбэр нь хугацааны үечилсэн функц юм.

Тригонометрийн цуваа нь хэрчим дээр (тиймээс аль ч сегмент дээр) жигд нийлэх ба түүний нийлбэр нь -тэй тэнцүү байна. Энэ цувралын коэффициентийг тодорхойлохын тулд бид дараахь тэгшитгэлийг ашиглана.

Мөн бид дараах шинж чанаруудыг ашигладаг.

1) Мэдэгдэж байгаагаар тодорхой сегмент дээр жигд нийлдэг тасралтгүй функцуудаас бүрдэх цувралын нийлбэр нь өөрөө энэ сегмент дээрх тасралтгүй функц юм. Үүнийг харгалзан бид сегмент дээр жигд нийлдэг тригонометрийн цувааны нийлбэр нь бүхэл бүтэн бодит тэнхлэг дээрх тасралтгүй функц болохыг олж мэднэ.

2) Цувралын бүх гишүүнийг энэ сегмент дээр үргэлжилсэн функцээр үржүүлбэл сегмент дээрх цувааны жигд нийлэх байдал зөрчигдөхгүй.

Ялангуяа өгөгдсөн тригонометрийн цувааны сегмент дээрх жигд нийлэх нь цувааны бүх гишүүдийг үржүүлж эсвэл үржүүлбэл зөрчигдөхгүй.

Нөхцөлөөр

Нэг жигд нийлсэн цуваа (4.2)-ыг гишүүнээр нь нэгтгэж, дээрх тэгшитгэлүүдийг (4.1) (тригонометрийн функцүүдийн ортогональ) харгалзан үзсэний үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тиймээс коэффициент

Тэгш байдлыг (4.2) -аар үржүүлж, дээрх (4.1) илэрхийллүүдийг харгалзан энэ тэгш байдлыг хооронд нь нэгтгэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тиймээс коэффициент

Үүний нэгэн адил тэгш байдлыг (4.2) -аар үржүүлж, -ээс хүртэлх хязгаарт нэгтгэж, тэгш байдлыг (4.1) харгалзан үзвэл бид:

Тиймээс коэффициент

Тиймээс Фурье цувралын коэффициентүүдийн дараах илэрхийлэлүүдийг олж авна.

Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх хангалттай шалгуур.Гол санааг эргэн санацгаая x o функцийн тасалдал f(x)Хэрэв функцийн баруун болон зүүн талд хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол түүнийг эхний төрлийн тасалдал гэж нэрлэдэг. f(x)цэгийн ойролцоо.

Баруун талд хязгаарлах

Зүүн хязгаар.

Теорем (Дирихлет).Хэрэв функц f(x)үетэй ба сегмент дээр үргэлжилдэг эсвэл эхний төрлийн хязгаарлагдмал тооны тасалдалтай цэгүүдтэй бөгөөд үүнээс гадна сегментийг хязгаарлагдмал тооны сегментүүдэд хувааж болох тул тэдгээрийн дотор f(x)нь монотон, дараа нь функцийн Фурье цуваа f(x)бүх утгын хувьд нийлдэг x. Түүнээс гадна функцийн тасралтгүй байдлын цэгүүдэд f(x)түүний нийлбэр байна f(x), мөн функцийн тасархай цэгүүдэд f(x)түүний нийлбэр нь, өөрөөр хэлбэл. зүүн ба баруун талын хязгаарын утгын арифметик дундаж. Үүнээс гадна функцийн хувьд Фурье цуврал f(x)Төгсгөлийнх нь хамт функцийн тасралтгүй байдлын интервалд хамаарах аливаа сегмент дээр жигд нийлдэг. f(x).

Жишээ: Фурье цуврал дахь функцийг өргөжүүлэх

Нөхцөл байдлыг хангаж байна.

Шийдэл.Чиг үүрэг f(x)Фурье тэлэлтийн нөхцлийг хангасан тул бид дараах зүйлийг бичиж болно.

(4.3) томъёоны дагуу Фурье цувралын коэффициентүүдийн дараах утгыг авч болно.

Фурье цувралын коэффициентийг тооцоолохдоо "хэсгээр нь нэгтгэх" томъёог ашигласан.

Тиймээс

T = үетэй тэгш сондгой функцүүдийн Фурье цуваа.

Бид тэгш хэмийн хувьд интегралын дараах шинж чанарыг ашигладаг x=0зай:

Хэрвээ f(x)- сондгой функц,

хэрэв f(x)тэгш функц юм.

Хоёр тэгш эсвэл сондгой функцийн үржвэр нь тэгш функц, тэгш ба сондгой функцийн үржвэр нь сондгой функц болохыг анхаарна уу. Одоо зөвшөөр f(x)- үетэй үечилсэн функц , Фурье цуврал болгон тэлэх нөхцлийг хангасан. Дараа нь интегралын дээрх шинж чанарыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тиймээс, тэгш функцийн Фурье цуврал нь зөвхөн тэгш функцүүд - косинусуудыг агуулдаг бөгөөд дараах байдлаар бичигдсэн байдаг.

ба коэффициентүүд bn = 0.

Үүнтэй адил маргаж, бид үүнийг олж авна f(x) -Фурье цуваа руу тэлэх нөхцлийг хангасан сондгой үечилсэн функц тул сондгой функцийн Фурье цуваа нь зөвхөн сондгой функц-синусуудыг агуулдаг бөгөөд дараах байдлаар бичигдэнэ.

тэнд an=0цагт n=0, 1,…

Жишээ:үечилсэн функцийг Фурье цувралд өргөжүүлэх

Өгөгдсөн сондгой функцээс хойш f(x)Фурье тэлэлтийн нөхцөлийг хангана

эсвэл ижилхэн,

Мөн энэ функцэд зориулсан Фурье цуврал f(x)ингэж бичиж болно:

Аль ч үеийн T=2 функцүүдийн Фурье цуваа л.

Болъё f(x)- аль ч үеийн үечилсэн функц T=2л(би-хагас үе), хэсэгчлэн гөлгөр эсвэл хэсэгчилсэн монотон [ интервал -л,л]. Таамаглаж байна x=at,функцийг авах f(д)маргаан т,хэний үе вэ . Сонгоцгооё аИнгэснээр функцийн хугацаа f(д)-тэй тэнцүү байсан, өөрөөр хэлбэл. T = 2л

Шийдэл.Чиг үүрэг f(x)- сондгой, Фурье цуваа руу тэлэх нөхцөлийг хангаж байгаа тул (4.12) ба (4.13) томъёонд үндэслэн бид дараах байдалтай байна:

(интегралыг тооцоолохдоо "хэсгээр нь нэгтгэх" томъёог ашигласан).

дараах:

1) график зурах f(x)өгөгдсөн функц нь үе үе гэдгийг харуулахын тулд дор хаяж хоёр хугацааны интервал дээр;

2) график зурах S(x)үүнтэй адил, ингэснээр ямар цэг дээр харагдах болно f(x)¹S(x);

3) Фурье коэффициентийг тооцоолж, Фурьегийн цувааг бичнэ үү.

Даалгаврууд

№1. Фурье цувралаар өргөжүүлэх

Шийдэл.анзаараарай, тэр f(x)уртын интервал дээр өгөгдсөн T=4. Учир нь f(x)үе үе гэж үздэг бол энэ тоо нь түүний хугацаа, дараа нь - l = 2.

1) График f(x):

2) График S(x):

Мөрийн төгсгөлд байгаа сумнууд нь функц нь интервал дээр өгөгдсөн илэрхийллээс тодорхойлсон утгыг интервалын төгсгөлд авдаггүйг харуулж байна. Графикуудыг харьцуулахдаа f(x)болон S(x)тасарсан цэгүүдэд байгаа нь тодорхой харагдаж байна f(x)¹S(x).

3) Фурье коэффициентийг тооцоол. Үүнийг (3*) томъёог ашиглан хийж болно: ; ; . Яг: ; тиймээс,

Задаргаа f(x)Фурье цувралд дараах хэлбэртэй байна.

Тайлбар. 1) Нэгтгэх үед [-1;3] энэ хэсгийг хуваасан болон , учир нь эдгээр сегментүүд дээр f(x)өөр утгуудаар тохируулна.

2) Коэффициентийг тооцоолохдоо интегралыг ашигласан: ба , хаана a = const.

№2 . Фурье цувралаар өргөжүүлэх

Шийдэл.Энд T=2, l = 1.

Фурье цуврал нь дараах хэлбэртэй байна: , энд ; ; , учир нь l = 1.

1) График f(x):

2) График S(x):

№3. Фурье цувралд синусын хувьд тэлэх

Шийдэл.Фурье цувралд зөвхөн сондгой функцуудыг синусын хувьд өргөтгөсөн болохыг анхаарна уу. Учир нь f(x)зөвхөн зориулагдсан x > 0, xн(0;2)И(2;3), тэгвэл энэ нь тэгш хэмийн интервал дээр гэсэн үг юм (-3;-2)È(-2;0) f(x)тэгш байдлыг хангах байдлаар үргэлжлүүлэх ёстой f(-x) = -f(x). Тиймээс, аль дээр интервалын урт f(x)сондгой функцээр өгөгдсөн нь 6-тай тэнцүү. Тиймээс T = 6, l = 3.Фурье цуврал f(x)дараах хэлбэртэй байна: , энд , n = 1, 2, 3, (томъёоны дагуу (5")).

1) График f(x).

График зурахын тулд f(x)сондгой функцийн хувьд бид эхлээд график зурна (0;2)È(2;3), дараа нь сондгой функцийн график нь эхтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдгийг ашиглана. Эдгээрээс бид графикийг олж авдаг f(x)дээр (-3;-2)È(-2;0). Дараа нь бид үргэлжлүүлнэ f(x) T=6.

2) График S(x).

Хуваарь S(x)графикаас ялгаатай f(x)функцийн таслах цэгүүд дээр f(x). Жишээлбэл, т-д. x = 2f(x)тодорхойлогдоогүй, гэхдээ S(x)-д байна x=2функцийн нэг талын хязгаарын нийлбэрийн хагастай тэнцэх утга f(x), яг: , хаана, .

Тэгэхээр, дараа нь задрал f(x)Фурье цувралд дараах хэлбэртэй байна.

№4 . Косинус дахь Фурье цувралыг өргөжүүлэх.

Шийдэл. Косинус дахь Фурье цувралд зөвхөн тэгш функцуудыг өргөжүүлж болно гэдгийг анхаарна уу. Учир нь f(x)зөвхөн зориулагдсан x>0, xн(0;2)И(2;3],тэгвэл энэ нь тэгш хэмийн интервал дээр гэсэн үг юм [-3;-2)È(-2;0) f(x)Бид тэгш байдлыг хангах байдлаар үргэлжлүүлэх хэрэгтэй: f(-x) = f(x).Тиймээс, аль дээр интервалын урт f(x)тэгш функцээр өгөгдсөн бол 6-тай тэнцүү байна T = 6, l = 3.Энэ тохиолдолд Фурье цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.

хаана; ; n=1,2,...(томъёоны дагуу (4")).

1) График f(x).

График зурахын тулд f(x)тэгш функцийн хувьд эхлээд график зурна f(x)дээр (0;2)È(2;3], дараа нь тэгш функцын график нь у тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдгийг ашиглана. Эдгээрээс бид графикийг олж авдаг f(x)дээр [-3;-2)È(-2;0). Дараа нь бид үргэлжлүүлнэ f(x)бүхэл тоон мөрөнд цэг бүхий үечилсэн функц байдлаар T=6.

Энд график байна f(x)функцийн хоёр бүтэн үе дээр зурсан.

2) График S(x).

Хуваарь S(x)графикаас ялгаатай f(x)функцийн таслах цэгүүд дээр f(x). Жишээлбэл, т-д. x = 0 f(x)тодорхойлогдоогүй, гэхдээ S(x)гэсэн утгатай: , тэгэхээр график S(x)тасалддаггүй x=0, графикаас ялгаатай f(x).

Задаргаа f(x)Косинус дахь Фурье цувралд дараах хэлбэртэй байна.

№5. Фурье цувралаар өргөжүүлэх f(x) = |x|, xн(-2;2)..

Шийдэл.Нөхцөлөөр, f(x)нь тэгш функц дээр байна (-2;2) ; тэдгээр. түүний Фурье цуврал нь зөвхөн косинусуудыг агуулдаг T = 4, l = 2, ,

хаана; ; n = 1, 2,

1) График f(x):

2) График S(x):

3), учир нь |x| = xтөлөө x > 0.; .

Дараа нь задрал f(x)Фурье цувралд дараах хэлбэртэй байна. Илэрхийллийг нэгтгэх үед эсвэл хэсэгчлэн нэгтгэх томъёог ашигладаг болохыг анхаарна уу: , хаана u=x; dv = cos(ax)dxэсвэл dv = sin(ax)dx.

№6. Функцийг Фурье цувралд өргөтгөх: a) интервалд (-?,?); б) интервалд (0, 2?); в) синусуудын цувралд (0, ?) интервалд.

Шийдэл. a) 2-той функцийн график? - үечилсэн үргэлжлэл нь хэлбэртэй байна

Функц нь Дирихле теоремын нөхцлийг хангаж байгаа тул үүнийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно.

Фурье коэффициентийг тооцоолъё. Функц тэгш байх тул bn = 0 (n = 0, 1, 2,…) ба (n = 0, 1, 2,…) болно.

Энэ интегралыг тооцоолохдоо тодорхой интеграл дахь хэсгүүдээр интегралдах томъёог ашиглана. Бид авдаг

Энэ функцийн Фурье цуврал нь хэлбэртэй байна. Дирихлет тестийн ачаар энэ цуврал нь (-?,?) интервал дахь x2 функцийг илэрхийлдэг.

b) Интервал (0, 2?) нь эхтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй биш бөгөөд урт нь 2 байна. л= 2?. Бид Фурье коэффициентийг томъёогоор тооцоолно.

Тиймээс Фурье цуврал нь . Дирихлетийн теоремын ачаар цувралууд x?(0,2?) цэгүүд дээр үүсгэгч функц болон нийлдэг ба 0 ба 2? үнэлэх. Цуврал нийлбэрийн график иймэрхүү харагдаж байна

в) Синусын хувьд цуваагаар өргөтгөсөн функц нь сондгой байх ёстой. Тиймээс бид өгөгдсөн x2 функцийг (-π,π) сондгой байдлаар сунгаж, өөрөөр хэлбэл. функцийг авч үзье. Энэ f(x) функцийн хувьд бид = 0 (n = 0, 1, 2,…) ба

Хүссэн өргөтгөл нь хэлбэртэй байна.

Цуврал нийлбэрийн график иймэрхүү харагдаж байна

x = (-π, π) цэгүүдэд Фурье цуваа тэг болж нийлдэг болохыг анхаарна уу.

№7 Графикаар өгөгдсөн функцийг Фурье цувралд өргөжүүлэх:

Шийдэл . Бид f(x)-ийн тодорхой илэрхийлэлийг олж авдаг. Функцийн график нь шулуун шугам бөгөөд бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэлбэрээр ашигладаг. Зургаас харахад, i.e. f(x) = x - 1 (-1< x < 1) и период Т = 2.

Энэ функц нь Дирихлегийн тестийн нөхцлийг хангадаг тул Фурье цуврал болгон өргөжүүлдэг. Фурье коэффициентийг тооцоолъё ( л = 1):

; (n = 1, 2,…);

f(x) функцийн Фурье цуврал нь хэлбэртэй байна

Энэ нь f(x) функцийг -1 дээр илэрхийлнэ< x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.

№8. Функцийг сегмент дээрх тригонометрийн Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүлж, үүссэн цуваа нийлэх функцийг заана уу.

Шийдэл.Функцийн графикийг үе үе эсвэл бүхэл тэнхлэгээр үргэлжлүүлж зур. Үргэлжилсэн функц нь хугацаатай.

Фурьегийн цуваа (Дини-Липшиц, Жордан, Дирихлет) нийлэх хангалттай нөхцлүүдийг шалгана уу.

Функц нь сегмент дээр хэсэгчлэн монотон байна : энэ нь байнга нэмэгддэг . Цэгүүдэд функц нь эхний төрлийн тасалдалтай байдаг.

Функц тэгш эсвэл сондгой эсэхийг олж мэд: Функц тэгш, сондгой ч биш.

a) хэрэв функцийг тохируулсан бол

b) хэрэв функцийг тохируулсан бол

Функцийн Фурье цувралыг зохио: .

Цэгээр нийлэх шалгуурыг ашиглан энэ цуваа нийлэх функцийг зааж өгнө үү: Дирихлегийн шалгуурын дагуу функцийн Фурье цуваа нийлбэрт нийлнэ:

№9. Функцийг синусуудын хувьд Фурьегийн цуврал болгон өргөжүүлж, энэ өргөтгөлийг ашиглан тооны цувааны нийлбэрийг ол.

Шийдэл.Функцийг тэгш (сондгой) байдлаар үргэлжлүүлнэ үү (- х,0) эсвэл (- л,0), дараа нь үе үе 2-р үетэй хэсвэл 2 лфункцийг бүхэлд нь тэнхлэгт үргэлжлүүлнэ.

Бид функцийг сондгой байдлаар үргэлжлүүлж, дараа нь үе үе цэгээр бүх тэнхлэгт үргэлжлүүлнэ.

Үе үе үргэлжилсэн график зур. Бид маягтын функцийг авах болно:

Фурьегийн цуваа (Дини-Липиц, Жордан, Дирихлет) нийлэх хангалттай нөхцлүүдийг шалгана уу.

Функц нь интервалд хэсэгчлэн тогтмол байна: энэ нь -1 дээр ба 1 дээр тэнцүү байна. Цэгүүдэд функц нь эхний төрлийн тасалдалтай байдаг.

Фурье коэффициентийг тооцоолох:

Түүний Фурье коэффициентийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Функцийн Фурье цувралыг зохио. .

Цэгээр нийлэх шалгуурыг ашиглан энэ цуврал нийлэх функцийг зааж өгнө үү.

Дирихлегийн тестийн дагуу функцын Фурье цуврал нь нийлбэрт нийлдэг.

Тиймээс, хэзээ

Утгыг орлуулахдаа өгөгдсөн тооны цувааны нийлбэрийг заана уу.

Үүний үр дүнд үүссэн задралыг бид олж мэдье.

хаанаас, оноос хойш, .

№10. Функцийн Парсевалын тэгшитгэлийг бичээд, энэ тэгшитгэл дээр үндэслэн тооны цувааны нийлбэрийг ол.

Шийдэл.Өгөгдсөн функц нь квадрат интегралдах функц мөн эсэхийг тодорхойлно.

Функц нь тасралтгүй байх тул дээр интегралдах боломжтой. Үүнтэй ижил шалтгаанаар түүний квадрат нь дээр интегралдах боломжтой.

Фурье коэффициентийг дараах томъёогоор тооцоол.

Энэ нь сондгой функц тул Фурье коэффициентийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Интегралыг тооцоолох.

Парсевалын томъёог бичнэ үү:

Тиймээс Парсевалын томъёо нь хэлбэртэй байна

Шаардлагатай бол баруун ба зүүн талд арифметик үйлдлүүдийг хийсний дараа өгөгдсөн тоон цувааны нийлбэрийг авна.

Үүссэн тэгш байдлын хоёр хэсгийг 144-т хуваавал бид: .

№11. Функцийн Фурье интегралыг ол

мөн түүний графикийг байгуулна.

Шийдэл.Функцийг зур.

Фурье интеграл (Дини, Дирихлет-Жордан эсвэл тэдгээрийн үр дагавар) ойртох хангалттай нөхцлүүдийн биелэлтийг шалгана уу.

Функц нь интервалд туйлын интегралдах боломжтой, ба -ын хувьд үргэлжилдэг бөгөөд цэг дээр эхний төрлийн тасалдалтай байдаг. Цаашилбал, for болон функц нь хязгаарлагдмал деривативтай, тэг үед төгсгөлтэй баруун, зүүн деривативууд байдаг. Функц тэгш эсвэл сондгой эсэхийг олж мэд. Функц нь тэгш, сондгой ч биш. ; .

Тэгэхээр, эсвэл,

хуулбар

1 ОХУ-ын БОЛОВСРОЛ, ШИНЖЛЭХ УХААНЫ ЯАМ НОВОСИБИРСК УЛСЫН ИХ СУРГУУЛИЙН ФИЗИКИЙН ФАКУЛЬТ Р.К.Белхеева ФУРЬЕРИЙН ЦУВРАЛ ЖИШЭЭ, ДААЛГАВАР хичээл Новосибирск 211.

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. Fourier цуврал жишээ ба асуудлууд: Сурах бичиг / Новосиб. муж un-t. Новосибирск, с. ISBN Энэхүү заавар нь Фурье цувралын талаархи үндсэн мэдээллийг агуулсан бөгөөд судалсан сэдэв бүрийн жишээг өгдөг. Утасны хөндлөн чичиргээний асуудлыг шийдэхийн тулд Фурье аргыг ашиглах жишээг нарийвчлан шинжилэв. Тайлбар материалыг өгсөн болно. Бие даасан шийдвэрлэх даалгаврууд бий. Энэ нь Новосибирскийн Улсын Их Сургуулийн Физикийн факультетийн багш, оюутнуудад зориулагдсан болно. НСУИС-ийн Физикийн факультетийн арга зүйн комиссын шийдвэрээр хэвлэв. Шүүмжлэгч доктор физик-мате. Шинжлэх ухаан. В.А. Александров ISBN c Новосибирскийн Улсын Их Сургууль, 211 c Белхеева Р. К., 211

3 1. 2π үечилсэн функцийн Фурье цувралын өргөтгөл Тодорхойлолт. f(x) функцийн Фурье цуваа нь a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) функциональ цуваа бөгөөд a n, b n коэффициентүүдийг дараах томъёогоор тооцоолно: a n = 1 π b n = 1 π f. (x) cosnxdx, n =, 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) (2) (3) томъёог Эйлер Фурьегийн томьёо гэнэ. . f(x) функц нь Фурьегийн цуваа (1)-тэй тохирч байгааг f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) томъёогоор бичсэн ба тэд томъёоны баруун тал ( 4) нь Фурье функцийн f(x) албан ёсны цуврал юм. Өөрөөр хэлбэл (4) томъёо нь зөвхөн a n, b n коэффициентүүдийг (2), (3) томъёогоор олдог гэсэн үг юм. 3

4 Тодорхойлолт. [, π] интервал нь хязгаарлагдмал тооны = x цэгүүдийг агуулж байвал 2π-үе үе f(x) функцийг хэсэгчилсэн гөлгөр гэж нэрлэдэг.< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Зураг. 1. f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2 функцийн график, хувьд сондгой n, тэгш n хувьд f(x) sin nxdx = учир f(x) функц тэгш байна. f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2 функцийн хувьд бид Фурьегийн албан ёсны цувааг бичнэ.

6 f(x) функц хэсэгчилсэн гөлгөр эсэхийг олж мэд. Үргэлжилсэн тул бид зөвхөн x = ±π интервалын төгсгөлийн цэгүүд ба x = : хугарлын цэг дэх хязгаарыг (6) тооцоолно, f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Хязгаарууд нь байдаг бөгөөд хязгаарлагдмал байдаг тул функц нь хэсэгчлэн жигд байна. Цэгээр нийлэх теоремоор түүний Фурье цуваа нь цэг бүрт f(x) тоонд нийлдэг, өөрөөр хэлбэл f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) 2 ба 3-р зурагт S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1, функцтэй Fourier цувралын S n (x) хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн ойролцоолсон шинж чанарыг харуулав. [, π] интервалд f(x) . 6

7 Зураг. Зураг 2. S (x) = a 2 ба S 1(x) = a 2 + a 1 cos x хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн давхардсан график бүхий f(x) функцийн график. 3. Хэсэгчилсэн нийлбэр графикийг давхарласан f (x) функцийн график S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 (7)-д х = орлуулбал: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, эндээс бид тооны цувааны нийлбэрийг олох болно: = π2 8. Энэ цувааны нийлбэрийг мэдэж байгаа бол энэ нь дараах байдалтай байна. Дараах нийлбэрийг олоход хялбар Бидэнд: S = ( ) S = ()= π S, тиймээс S = π2 6, өөрөөр хэлбэл 1 n = π Энэ алдартай цувралын нийлбэрийг анх Леонхард Эйлер олсон. Энэ нь ихэвчлэн математик анализ болон түүний хэрэглээнд байдаг. ЖИШЭЭ 2. График зурж, x-ийн хувьд f(x) = x томьёогоор өгөгдсөн функцийн Фурье цувааг ол.< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Зураг. 4. f(x) функцийн график f(x) функц (, π) интервал дээр тасралтгүй дифференциалагдана. x = ±π цэгүүдэд энэ нь хязгаарлагдмал хязгаартай (5): f() =, f(π) = π. Үүнээс гадна хязгаарлагдмал (6) хязгаарууд байдаг: f(+ h) f(+) lim = 1 ба h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Эндээс f(x) байна. хэсэгчилсэн гөлгөр функц. f(x) функц сондгой тул a n = болно. b n илтгэлцүүрүүдийг хэсгүүдээр нэгтгэн олно: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1) )n+ нэг. n 2(1) n+1 f(x) sin nx функцийн Фурьегийн албан ёсны цувааг зохиоё. n 9 cosnxdx ] =

10 Хэсэгчилсэн гөлгөр 2π-үелэх функцийн цэгийн нийлбэрийн теоремын дагуу f(x) функцийн Фурьегийн цуваа нийлбэрт нийлнэ: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x π бол нийлбэр.< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Зураг. Зураг 6. S 2 (x) хэсэгчилсэн нийлбэрийн графикийг түүн дээр давхарласан f(x) функцийн график. 7. S 3 (x) 11 хэсэгчилсэн нийлбэрийн график дээр давхардсан f(x) функцийн график.

12 Зураг. 8. S 99 (x) хэсэгчилсэн нийлбэрийн графикийг давхарласан f(x) функцийн график.Оолсон Фурье цувааг ашиглан хоёр тоон цувааны нийлбэрийг олно. Бид (8) x = π/2-г оруулна. Дараа нь 2 () +... = π 2, эсвэл = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Бид сайн мэдэх Лейбницийн цувралын нийлбэрийг хялбархан олсон. (8)-д x = π/3-ыг тавиад бид () +... = π 2 3, эсвэл (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k-г олно.

13 ЖИШЭЭ 3. График зурж, f(x) = sin x функцийн Фурье цувааг 2π үетэй гэж үзээд 1 тоон 4n 2 цувааны нийлбэрийг тооцоол 1. Шийдэл. f(x) функцийн графикийг зурагт үзүүлэв. 9. f(x) = sin x нь π үетэй тасралтгүй тэгш функц болох нь ойлгомжтой. Гэхдээ 2π нь мөн f(x) функцийн үе юм. Цагаан будаа. 9. f(x) функцийн график Фурьегийн коэффициентүүдийг бодъё. Бүх b n = учир нь функц тэгш байна. Тригонометрийн томъёог ашиглан n 1-ийн хувьд n-ийг тооцоолно: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( n = 2k бол 4 1, n бол = π n 2 1 = 2к

14 Энэ тооцоо нь n = 1 үед хуваагч тэг болж байгаа тул a 1 коэффициентийг олох боломжийг бидэнд олгодоггүй. Тиймээс бид a 1 коэффициентийг шууд тооцоолно: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. f(x) нь (,) ба (, π) дээр тасралтгүй дифференциалагдах ба kπ, (k нь бүхэл тоо) цэгүүдэд хязгаарлагдмал (5) ба (6) хязгаарууд байдаг тул функцийн Фурье цуваа нь нийлдэг. үүнийг цэг бүрт: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. S(x) хэсэгчилсэн нийлбэрийн график дээр давхарласан f(x) функцийн график 14

15 Зураг. Зураг 11. S 1 (x) хэсэгчилсэн нийлбэрийн график дээр давхардсан f(x) функцийн график. Зураг 12. S 2 (x) хэсэгчилсэн нийлбэрийн график дээр давхарласан f(x) функцийн график. 13. S 99 (x) 15 хэсэгчилсэн нийлбэрийн график дээр давхардсан f(x) функцийн график.

16 1 Тооны цувааны нийлбэрийг тооцоол. Үүнийг хийхийн тулд бид 4n 2 1-ийг (9) x =-д оруулна. Дараа нь бүх n = 1, 2,... хувьд cosnx = 1 ба Иймээс 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. ЖИШЭЭ 4. Хэрвээ хэсэгчилсэн гөлгөр тасралтгүй функц f(x) нь бүх x-ийн хувьд f(x π) = f(x) нөхцөлийг хангаж байвал (өөрөөр хэлбэл, π-үе үе) гэдгийг баталцгаая. , тэгвэл a 2n 1 = b 2n 1 = бүх n 1, эсрэгээр, хэрэв a 2n 1 = b 2n 1 = бүх n 1-ийн хувьд f(x) нь π-үе үетэй байна. Шийдэл. f(x) функцийг π-үе үе гэж үзье. Түүний a 2n 1 ба b 2n 1 Фурье коэффициентийг тооцоод үзье: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x ) cos (2n 1)xdx. Эхний интегралд бид x = t π хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийнэ: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t ба f(t π) = f(t) гэсэн баримтыг ашиглан бид: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos()-ийг олж авна. 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Үүнтэй адилаар b 2n 1 = болох нь батлагдсан. Үүний эсрэгээр a 2n 1 = b 2n 1 = байг. f(x) функц тасралтгүй байх тул функцийг Фурье цувралаар илэрхийлэх теоремоор бид f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b) байна. 2н нүгэл 2нх). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), энэ нь f(x) нь π- үечилсэн функц гэсэн үг. ЖИШЭЭ 5. Хэсэгчилсэн гөлгөр функц f(x) нь бүх x-ийн хувьд f(x) = f(x) нөхцлийг хангаж байвал бүх n 1-д a =, a 2n = b 2n = байх ба эсрэгээр гэдгийг баталцгаая. , хэрэв a = a 2n = b 2n = бол бүх x-ийн хувьд f(x π) = f(x) болно. Шийдэл. f(x) функц f(x π) = f(x) нөхцөлийг хангая. Түүний Фурье коэффициентийг тооцоолъё: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. Эхний интегралд бид x = t π хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийнэ. Дараа нь f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. cos n(t π) = (1) n cosnt ба f(t π) = f(t) гэсэн баримтыг ашиглан бид дараахийг олж авна: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = хэрэв n тэгш, = 2 π f(t) cos nt dt, хэрэв n нь сондгой бол. π Үүнтэй адилаар b 2n = болох нь батлагдсан. Үүний эсрэгээр a = a 2n = b 2n =, бүгд n 1 гэж үзье. f(x) функц тасралтгүй байх тул функцийг цэгт дүрслэх тухай теоремоор түүний Фурье цуваа f( тэгшитгэлийг хангана. x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). арван найман

19 Дараа нь = f(x π) = = = f(x). ЖИШЭЭ 6. [, π/2] интервал дээр интегралдах f(x) функцийг [, π] интервалд хэрхэн өргөтгөж, Фурье цуваа нь: a 2n 1 cos(2n 1) хэлбэртэй болохыг судалъя. x. (1) Шийдэл. Функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй болго. 14. (1) цувралд бүх n хувьд a = a 2n = b 2n = байх тул 5-р жишээнээс харахад f(x) функц нь бүх x-ийн хувьд f(x π) = f(x) тэгш байдлыг хангах ёстой. Энэхүү ажиглалт нь f(x) функцийг [, /2] : f(x) = f(x+π) интервалд өргөтгөх арга замыг өгдөг. 15. Цуврал (1) нь зөвхөн косинусуудыг агуулдаг тул бид үргэлжилсэн функц f (x) тэгш байх ёстой (өөрөөр хэлбэл түүний график нь Oy тэнхлэгт тэгш хэмтэй байх ёстой) гэж дүгнэв.

20 Зураг. 14. f(x) функцийн график 15. [, /2] 2 интервал дээрх f(x) функцийн үргэлжлэлийн график.

21 Тэгэхээр хүссэн функц нь зурагт үзүүлсэн хэлбэртэй байна. 16. Зураг. 16. [, π] интервал дээрх f(x) функцийн үргэлжлэлийн график Дүгнэж үзвэл функцийг дараах байдлаар үргэлжлүүлэх ёстой гэж дүгнэж байна: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), өөрөөр хэлбэл [π/2, π] интервал, f(x) функцийн график нь (π/2,) цэгийн ойролцоо төвлөрсөн тэгш хэмтэй, [, π] интервал дээр түүний график нь Ой тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй. 21

22 ЖИШЭЭНИЙ НИЙТЛЭЛТ 3 6 l > гэж үзье. Хоёр нөхцөлийг авч үзье: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. Геометрийн үүднээс авч үзвэл (а) нөхцөл нь f(x) функцийн график босоо шугамтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна x = l/2, нөхцөл (b) f(x) график төвлөрсөн байна. абсцисса тэнхлэг дээрх цэгтэй (l/2;) харьцуулахад тэгш хэмтэй. Дараах өгүүлбэрүүд үнэн байна: 1) хэрэв f(x) функц тэгш, (a) нөхцөл хангагдсан бол b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) f(x) функц тэгш, (b) нөхцөл хангагдсан бол b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) f(x) функц сондгой, (а) нөхцөл хангагдсан бол a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) f(x) функц сондгой, (b) нөхцөл хангагдсан бол a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. БОДЛОГО 1 7-р бодлогод график зурж, функцүүдийн Фурье цувааг олоорой (тэдгээрийг 2π хугацаатай гэж үзвэл: хэрэв< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1 бол /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. [, π] интервалд өгөгдсөн функцийг зөвхөн синусаар эсвэл зөвхөн косинусын хувьд өргөтгөх нь [, π] интервалд f функцийг өгье. Үүнийг энэ интервалаар Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүлэхийн тулд эхлээд f-г [, π] интервал руу дурын аргаар сунгаж, дараа нь Эйлер Фурьегийн томьёог ашигладаг. Функцийн үргэлжлэлд дур зоргоороо байх нь ижил функц f: [, π] R-ийн хувьд бид өөр Фурье цувралыг олж авах боломжтой болоход хүргэдэг. Гэхдээ энэ дур зоргоороо зөвхөн синус эсвэл зөвхөн косинусын тэлэлтийг олж авах байдлаар ашиглах боломжтой: эхний тохиолдолд f-г сондгой байдлаар, хоёр дахь тохиолдолд тэгш байдлаар үргэлжлүүлэхэд хангалттай. Шийдлийн алгоритм 1. (,) дээр функцийг сондгой (тэгш) байдлаар үргэлжлүүлж, дараа нь үе үе 2π хугацаатайгаар функцийг бүхэлд нь тэнхлэгт үргэлжлүүлнэ. 2. Фурьегийн коэффициентийг тооцоол. 3. f(x) функцийн Фурье цувааг зохио. 4. Цувралын нийлэх нөхцөлийг шалга. 5. Энэ цуваа нийлэх функцийг тодорхойл. ЖИШЭЭ 7. f(x) = cosx функцийг өргөжүүл.< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Зураг. 17. Үргэлжлүүлсэн функцийн график f (x) функц хэсэгчлэн жигд байх нь ойлгомжтой. Фурье коэффициентүүдийг тооцоолъё: f (x) функц сондгой тул бүх n-д a n =. Хэрэв n 1 бол b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n болно. 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1 бол n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n) + 1)(n 1) 2 2n хэрэв n = 2k бол. π n 2 1 Өмнөх тооцоонд n = 1-ийн хувьд хуваагч алга болох тул b 1 коэффициентийг шууд тооцоолж болно.

26 Үндсэндээ: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx функцийн Фурье цувааг зохио. f (x) функц нь хэсэгчлэн гөлгөр тул цэгийн нийлэх теоремоор f (x) функцийн Фурье цуваа нь π бол cosx нийлбэрт нийлнэ.< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Зураг. Зураг 18. Үүн дээр давхарласан S 1 (x) хэсэгчилсэн нийлбэрийн график бүхий f (x) функцийн график. 19. Үүн дээр давхарласан S 2 (x) хэсэгчилсэн нийлбэрийн график бүхий f(x) функцийн график 27

28 Зураг. Зураг 2. S 3 (x) хэсэгчилсэн нийлбэрийн графикийг түүн дээр давхарласан f (x) функцийн график. 21-т f (x) функц ба түүний хэсэгчилсэн нийлбэр S 99 (x) -ийн графикуудыг харуулав. Цагаан будаа. 21. Үүн дээр давхарласан S 99 (x) 28 хэсэгчилсэн нийлбэрийн график бүхий f (x) функцийн график.

29 ЖИШЭЭ 8. Фурьегийн цуваа дахь f(x) = e ax, a >, x [, π] функцийг зөвхөн косинусаар өргөтгөж үзье. Шийдэл. Бид функцийг тэгш байдлаар (,) хүртэл үргэлжлүүлнэ (өөрөөр хэлбэл, f(x) = f(x) тэгш байдал нь бүх x (, π) -д биелнэ), дараа нь үе үе 2π-ийн үеийг бүхэлд нь бодит хүртэл хийнэ. тэнхлэг. Бид f (x) функцийг олж авдаг бөгөөд түүний графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 22. Цэгүүд дэх f (x) функц 22. Үргэлжилсэн функцийн график f (x) x = kπ, k нь бүхэл тоо, гулзайлттай. f (x) тэгш байх тул Фурье коэффициентийг тооцоолъё: b n =. Хэсэг хэсгүүдийг нэгтгэснээр бид 29-ийг авна

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πn (eaπ1s) ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 exdx = a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Иймд a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 f (x) тасралтгүй байх тул цэгийн нийлбэрийн теоремын дагуу түүний Фурьегийн цуваа f (x) болж нийлдэг. Эндээс бүх x [, π]-ийн хувьд бид f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π) байна. Өгөгдсөн тасалдалтай функцэд Фурье цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийг аажмаар ойртуулж байгааг зураг харуулж байна. 3

31 Зураг. 23. f (x) ба S (x) функцын графикууд 24. f (x) ба S 1 (x) функцын графикууд 25. f (x) ба S 2 (x) функцын графикууд 26. f (x) ба S 3 (x) функцуудын график 31

32 Зураг. 27. f (x) ба S 4 (x) функцын графикууд 28. f (x) ба S 99 (x) функцүүдийн график АСУУДАЛ 9. Фурье цуваа дахь f (x) = cos x, x π функцийг зөвхөн косинусаар томруулна уу. 1. Фурьегийн цувралд f (x) \u003d e ax, a >, x π функцийг зөвхөн синусын хувьд өргөтгө. 11. Фурье цувааны f (x) \u003d x 2, x π функцийг зөвхөн синус хэлбэрээр өргөжүүл. 12. Фурьегийн цуваа дахь f (x) \u003d sin ax, x π функцийг зөвхөн косинусын хувьд өргөжүүл. 13. Фурье цуваа дахь f (x) \u003d x sin x, x π функцийг зөвхөн синус хэлбэрээр өргөжүүл. Хариултууд 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Хэрэв a бүхэл тоо биш бол sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; хэрэв a = 2m нь тэгш тоо бол sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; хэрэв a = 2m 1 эерэг сондгой тоо бол sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2м 1) 2 (2н) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Дурын үетэй функцийн Фурье цуваа f(x) функц нь [ l, l], l > интервалд тодорхойлогддог гэж үзье. x = ly, y π-г орлуулснаар π [, π] интервалд тодорхойлсон g(y) = f(ly/π) функцийг олж авна. Энэ функц g(y) нь Фурьегийн (албан ёсны) цувралд () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny) тохирно, түүний коэффициентүүд нь Эйлер Фурьегийн томъёогоор олддог: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π l, бид f(x) функцийн хувьд бага зэрэг өөрчлөгдсөн тригонометрийн цувралыг олж авна: Энд f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Томъёо (11) (13) нь дурын үетэй функцийн Фурьегийн цуваа дахь тэлэлтийг тодорхойлдог гэж хэлдэг. ЖИШЭЭ 9. (l, l) интервалд өгөгдсөн функцийн Фурье цувааг ( A if l) илэрхийллээр ол.< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = хэрэв n бол l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cos). πn f (x) функцийн Фурье цувааг зохио: f(x) A + B π (B A cosπn = (1) n тул n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l n = 2k-ийн хувьд бид b n = b 2k =, n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1)-ийг авна.

36 Эндээс f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Цэгэн нийлэх теоремын дагуу f(x) функцийн Фурье цуваа. l бол А нийлбэрт нийлнэ< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Зураг. 29. S (x) = a 2 ба S 1 (x) = b 1 sinx гармоникуудын графикууд дээр давхардсан f (x) функцийн график. Тодорхой болгохын тулд гурван дээд гармоникийн график S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l ба S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx босоо байдлаар шилжсэн байна. дээш l 37

38 Зураг. Зураг 3. S 99 (x) хэсэгчилсэн нийлбэрийн график дээр давхардсан f(x) функцийн график. 31. Fig-ийн хэлтэрхий. 3 өөр масштабаар 38

39 АСУУДАЛ Бодлого дээр Фурье цувралд заасан функцүүдийг өгөгдсөн интервалаар өргөжүүлнэ. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x) ) = sin π x, (1, 1).( 1 бол 2 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2) (2n) l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx син. π 2 (2n 1) 2 л 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Фурье цувралын нийлмэл хэлбэр Задаргаа f(x) = c n e inx, энд c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., Фурье цувралын нийлмэл хэлбэр гэнэ. Функц нь жинхэнэ Фурье цуврал болж өргөжиж байгаа ижил нөхцөлд Фурьегийн цогц цуврал болж өргөжиж байна. дөрөв

41 ЖИШЭЭ 1. [, π/ интервалд f(x) = e ax томьёогоор өгөгдсөн функцийн комплекс хэлбэрээр Фурьегийн цувааг ол, a нь бодит тоо. Шийдэл. Коэффициентийг тооцоолъё: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) f функцийн Фурьегийн комплекс цуваа нь einx дэх f(x) sh aπ π n= (1) n a хэлбэртэй байна. f(x) функц хэсэгчлэн гөлгөр болохыг баталъя: (, π) интервалд тасралтгүй дифференциалагдах ба x = ±π цэгүүдэд (5), (6) lim h + ea() хязгаартай байна. +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Иймд f(x) функцийг einx дэх Фурьегийн sh aπ π n= (1) n a цувралаар дүрсэлж болох бөгөөд энэ нь нийлбэрт нийлдэг: ( e S(x) = ax, хэрэв π бол.< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 ЖИШЭЭ 11. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2 томъёогоор өгөгдсөн функцийн цогц ба бодит хэлбэрийн Фурьегийн цувааг ол.< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 q (q) хуваагчтай хязгааргүй геометр прогрессийн нийлбэр гэдгийг санаарай.< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Одоо Фурьегийн цувааг бодит хэлбэрээр олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид n-ийн хувьд n ба n тоо бүхий гишүүдийг бүлэглэнэ: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx c = 1 тул 2 = 2a n cos nx болно. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Энэ бол f(x) функцийн бодит хэлбэрийн Фурьегийн цуваа юм. Тиймээс бид нэг интегралыг тооцоолохгүйгээр функцийн Фурье цувралыг олсон. Ингэхдээ cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a параметрээс хамаарч хатуу интегралыг тооцоолсон.< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Бид энгийн бутархай тус бүрийг геометр прогрессийн томъёоны дагуу томруулна: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= az = a/z = a учраас энэ нь боломжтой< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, эсвэл товчхондоо c n = 1 2i a n sgnn. Тиймээс Фурьегийн цуваа цогц хэлбэрээр олддог. Нөхцөлүүдийг n ба n тоогоор бүлэглэн бид функцийн Фурье цувралыг бодит хэлбэрээр олж авна: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n=). +) = c n e inx = a n sin nx. Дахин хэлэхэд бид дараах комплекс интегралыг тооцоолж чадсан: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 БОДЛОГО 24. (15) бодит a хувьд cos nxdx 1 2a cosx + a 2, a > ашиглан (16) интеграл sin x sin nxdx бодит a, a > a cosx + a2-ийн интегралыг бодоорой. , функцүүдийн хувьд Фурье цувралыг нийлмэл хэлбэрээр ол. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Ляпуновын тэгш байдлын теорем (Ляпуновын тэгш байдал). f: [, π] R функцийг f 2 (x) dx гэж үзье< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Иймд f(x) функцийн Ляпуновын тэгшитгэл нь 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π хэлбэртэй байна. a π-ийн сүүлчийн тэгшитгэлээс бид sin 2 na n 2 = a(π a) 2-г олно a = π 2 гэж үзвэл n = 2k 1-д sin2 na = 1, n = 2k-ийн хувьд sin 2 na = болно. Иймд k=1 1 (2k 1) 2 = π2 8. ЖИШЭЭ 14. f(x) = x cosx, x [, π] функцийн Ляпуновын тэгшитгэлийг бичиж, түүгээр тооны нийлбэрийг олъё. цуврал (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Шийдэл. Шууд тооцоололд = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx = болно.

49 f(x) нь тэгш функц тул бүх n хувьд бид b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1) байна. )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n) 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n +) 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 бол n = 2k, 2 бол n = 2k + 1. a 1 коэффициентийг тусад нь тооцох ёстой, учир нь n = 1-ийн ерөнхий томъёонд бутархайн хуваагч алга болно. . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Ийнхүү f(x) функцийн Ляпуновын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π АСУУДАЛ 32. Ляпуновын тэгшитгэлийг бич. ( x f(x) = 2 πx бол x функцийн хувьд< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Хариулт + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, энд c n нь f(x)-ийн Фурье коэффициент 2π ба d n. нь Фурье коэффициентийн функцууд g(x). 6. Фурье цувааны дифференциал нь f: R R тасралтгүй дифференциалагдах 2π-үелэх функц гэж үзье. Түүний Фурье цуваа нь f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx) хэлбэртэй байна. Энэ функцийн үүсмэл f (x) нь тасралтгүй ба 2π-үе үетэй функц байх бөгөөд үүнд зориулж Фурьегийн албан ёсны цувааг бичиж болно: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), энд a, a n , b n, n = 1 , 2,... f (x) функцийн Фурье коэффициентүүд. 51

52 Теорем (Фурьегийн цувааг гишүүнээр ялгах тухай). Дээрх таамаглалын дагуу a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 тэгшитгэлүүд үнэн. ЖИШЭЭ 15. Хэсэгчилсэн гөлгөр функц f(x) [, π] интервалд тасралтгүй байг. f(x)dx = нөхцөл хангагдах үед Стекловын тэгш бус байдал гэж нэрлэгддэг 2 dx 2 dx тэгш бус байдал биелэх ба түүн дэх тэгш байдал зөвхөн f(x) = A хэлбэрийн функцэд биелдэг болохыг баталцгаая. cosx. Өөрөөр хэлбэл, Стекловын тэгш бус байдал нь деривативын жижиг (rms) нь функцын жижиг (rms) гэсэн утгатай нөхцөлийг өгдөг. Шийдэл. f(x) функцийг [, ] интервалд жигд сунгаж үзье. Өргөтгөсөн функцийг ижил f(x) тэмдгээр тэмдэглэнэ. Дараа нь үргэлжилсэн функц нь [, π] интервал дээр тасралтгүй бөгөөд хэсэгчлэн жигд байх болно. f(x) функц тасралтгүй байх тул f 2 (x) интервал ба 2 dx дээр тасралтгүй байна< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Үргэлжилсэн функц тэгш байх тул нөхцөлөөр b n =, a = байна. Үүний үр дүнд Ляпуновын тэгш байдал нь 1 π 2 dx = a 2 π n хэлбэртэй байна. (17) f (x) нь Фурье цувралын гишүүн гишүүнээр ялгах теоремын дүгнэлтэд нийцэж байгаа эсэхийг шалгая, өөрөөр хэлбэл a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 байна. f (x) дериватив нь [, π] интервалын x 1, x 2,..., x N цэгүүдэд завсарлага авъя. x =, x N+1 = π гэж тэмдэглэнэ. [, π] интегралын интервалыг N +1 интервалд (x, x 1),..., (x N, x N+1) хуваая, тэдгээр нь тус бүр дээр f(x) тасралтгүй дифференциал болно. Дараа нь интегралын аддитив шинж чанарыг ашиглан, дараа нь хэсгүүдээр интегралдахад бид дараахийг олж авна: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x) ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Үүнтэй адилаар бид n = nb n-ийг авна. [, π] интервал дахь дериватив нь эхний төрлийн тасалдалтай үргэлжилсэн хэсэгчилсэн гөлгөр 2π-үе үеийн функцийн Фурье цувралыг гишүүн гишүүнээр ялгах теорем үнэн болохыг бид харуулсан. Тэгэхээр f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, учир нь a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Учир нь 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 (18) дахь цувааны гишүүн бүр нь (17) дахь цувралын харгалзах гишүүнээс их буюу тэнцүү байх тул 2 dx 2 dx болно. f(x) нь анхны функцийн жигд үргэлжлэл гэдгийг эргэн санавал 2 dx 2 dx байна. Энэ нь Стекловын тэгш байдлыг нотолж байна. Одоо Стекловын тэгш бус байдалд тэгш байдал ямар үүрэг гүйцэтгэдэг болохыг авч үзье. Хэрэв дор хаяж нэг n 2-ийн хувьд a n коэффициент тэгээс ялгаатай бол a 2 n байна< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 БОДЛОГО 37. Хэсэгчилсэн гөлгөр функц f(x) нь [, π] интервал дээр тасралтгүй байг. f() = f(π) = 2 dx 2 dx тэгш бус байдал, өөрөөр хэлбэл Стекловын тэгш бус байдал биелнэ гэдгийг баталж, түүн дэх тэгш байдал нь зөвхөн f(x) = B sin x хэлбэрийн функцүүдэд биелэх эсэхийг шалгаарай. . 38. f функц нь [, π] интервалд тасралтгүй байх ба түүнд (зөвхөн хязгаарлагдмал тооны цэгийг эс тооцвол) квадрат интегралдах f(x) дериватив байна. Хэрэв f() = f(π) ба f(x) dx = нөхцөл хангагдвал Виртингерийн тэгш бус байдал гэж нэрлэгддэг 2 dx 2 dx тэгш бус байдал биелэх ба түүн дэх тэгш байдал нь зөвхөн функцүүдийн хувьд л явагдахыг батал. f(x) = A cosx + B sinx хэлбэр. 56

57 7. Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд Фурьегийн цувралыг ашиглах Бодит объектыг (байгалийн үзэгдэл, үйлдвэрлэлийн үйл явц, удирдлагын систем гэх мэт) судлахад хоёр хүчин зүйл чухал байдаг: судалж буй объектын талаарх хуримтлагдсан мэдлэгийн түвшин ба. математикийн аппаратын хөгжлийн зэрэг. Шинжлэх ухааны судалгааны өнөөгийн шатанд дараахь гинжийг боловсруулсан: үзэгдэл физик загвар, математик загвар. Асуудлын физик томъёолол (загвар) нь дараах байдалтай байна: үйл явцыг хөгжүүлэх нөхцөл, түүнд нөлөөлж буй гол хүчин зүйлсийг тодорхойлсон. Математик томъёолол (загвар) нь физик томъёололд сонгосон хүчин зүйл, нөхцөлийг тэгшитгэлийн систем (алгебр, дифференциал, интеграл гэх мэт) хэлбэрээр дүрслэхээс бүрдэнэ. Тодорхой функциональ орон зайд тухайн асуудлын шийдэл нь анхны болон хилийн нөхцлөөс онцгой бөгөөд тасралтгүй хамааралтай байвал асуудлыг сайн тавигдсан гэж нэрлэдэг. Математик загвар нь авч үзэж буй объекттой ижил биш, харин түүний ойролцоо тайлбар юм.Утасны чөлөөт жижиг хөндлөн чичиргээний тэгшитгэлийг гарган авах Бид сурах бичгийг дагаж мөрдөх болно. Утасны төгсгөлүүд нь бэхлэгдсэн, утас нь өөрөө чангал. Хэрэв утсыг тэнцвэрт байдлаас гаргавал (жишээлбэл, татах эсвэл цохих замаар) утас эхэлнэ 57.

58 эргэлзэж байна. Утасны бүх цэгүүд тэнцвэрийн байрлалдаа перпендикуляр (хөндлөн чичиргээ) хөдөлж, цаг мөч бүрт утас нэг хавтгайд байрладаг гэж бид таамаглах болно. Энэ хавтгайд тэгш өнцөгт координатын системийг авч үзье. Дараа нь, хэрэв эхний үед t = мөр нь Ox тэнхлэгийн дагуу байрлаж байсан бол u нь хэлхээний тэнцвэрийн байрлалаас хазайлтыг, өөрөөр хэлбэл дурын t хугацааны абсцисса х-тэй мөрийн цэгийн байрлалыг илэрхийлнэ. u(x, t) функцийн утгатай тохирч байна. t-ийн тогтмол утга бүрийн хувьд u(x, t) функцийн график нь t цаг үеийн чичиргээт утсан хэлбэрийг илэрхийлнэ (Зураг 32). Х-ийн тогтмол утгад u(x, t) функц нь Оу тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамын дагуу абсцисса х-тэй цэгийн хөдөлгөөний хуулийг, u t дериватив нь энэ хөдөлгөөний хурд, хоёр дахь дериватив 2 u t 2 нь хурдатгал юм. Цагаан будаа. 32. Мөрний хязгааргүй жижиг хэсэгт үйлчлэх хүч u(x, t) функцийг хангах ёстой тэгшитгэлийг бичье. Үүнийг хийхийн тулд бид илүү хялбаршуулсан таамаглал дэвшүүлж байна. Мөр нь туйлын уян хатан гэж бид таамаглах болно.

59 coy, өөрөөр хэлбэл, бид утас нь гулзайлтын эсэргүүцдэггүй гэж үзэх болно; Энэ нь утсанд үүсэх хүчдэл нь түүний агшин зуурын профиль руу үргэлж тангенциал чиглэгддэг гэсэн үг юм. Мөр нь уян харимхай бөгөөд Hooke-ийн хуульд захирагдана гэж үздэг; энэ нь суналтын хүчний өөрчлөлт нь утасны уртын өөрчлөлттэй пропорциональ байна гэсэн үг юм. Мөр нь нэгэн төрлийн байна гэж үзье; энэ нь түүний шугаман нягт ρ тогтмол байна гэсэн үг. Бид гадны хүчийг үл тоомсорлодог. Энэ нь бид чөлөөт хэлбэлзлийг авч үзэж байна гэсэн үг юм. Бид зөвхөн утасны жижиг чичиргээг судлах болно. Хэрэв бид абсцисса тэнхлэг ба мөрний шүргэгчийн хоорондох өнцгийг t үед абсцисса х-тэй цэг дээр ϕ(x, t) гэж тэмдэглэвэл бага хэлбэлзлийн нөхцөл нь ϕ 2 (х, t) ϕ (x, t) -тай харьцуулахад үл тоомсорлож болно, өөрөөр хэлбэл, ϕ 2. Өнцөг ϕ бага тул cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, тиймээс (u x x,) 2 утга нь бас болно. хайхрамжгүй хандах. Эндээс нэн даруй хэлбэлзлийн явцад бид утасны аль ч хэсгийн уртын өөрчлөлтийг үл тоомсорлож болно. Үнэн хэрэгтээ, x 2 = x 1 + x байх х тэнхлэгийн интервалд тусгагдсан M 1 M 2 утасны урт нь l = x 2 x () 2 u dx x-тэй тэнцүү байна. x Бидний таамаглалаар T суналтын хүчний утга бүхэл утсанд тогтмол байх болно гэдгийг харуулъя. Үүнийг хийхийн тулд бид t үед M 1 M 2 (Зураг 32) мөрний зарим хэсгийг авч, хаягдсан хэсгүүдийн үйлдлийг солино.

60 ков суналтын хүчээр T 1 ба T 2. Нөхцөлийн дагуу утаснуудын бүх цэгүүд Оу тэнхлэгтэй параллель хөдөлж, гадны хүч байхгүй тул Ox тэнхлэг дээрх суналтын хүчний проекцуудын нийлбэр. тэгтэй тэнцүү байх ёстой: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Эндээс ϕ 1 = ϕ(x 1, t) ба ϕ 2 = ϕ(x 2, t) өнцгүүдийн жижиг байдлаас шалтгаалан T 1 = T 2 гэж дүгнэв. T 1 = T 2-ийн ерөнхий утгыг тэмдэглэнэ үү. by T. Одоо бид Ou тэнхлэг дээрх ижил хүчний F u проекцуудын нийлбэрийг тооцоолно: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Жижиг өнцгүүдийн хувьд sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t), tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x байх тул (2) тэгшитгэлийг F u T гэж дахин бичиж болно. (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . x 1 цэгийг дур мэдэн сонгосон тул F u T 2 u x2(x, t) x болно. M 1 M 2 хэсэгт үйлчилж буй бүх хүч олдсоны дараа бид Ньютоны хоёр дахь хуулийг хэрэгжүүлдэг бөгөөд үүний дагуу масс ба хурдатгалын үржвэр нь бүх ажиллаж буй хүчний нийлбэртэй тэнцүү байна. M 1 M 2 утасны масс нь m = ρ l ρ x, хурдатгал нь 2 u(x, t)-тэй тэнцүү байна. Ньютоны t 2 тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, α 2 = T ρ нь тогтмол эерэг тоо. 6

61 x-ээр бууруулснаар бид 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t) болно. (21) Үүний үр дүнд бид тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг олж авлаа. Үүнийг утсан чичиргээний тэгшитгэл эсвэл нэг хэмжээст долгионы тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Тэгшитгэл (21) нь үндсэндээ Ньютоны хуулийн шинэчилсэн найруулга бөгөөд мөрний хөдөлгөөнийг дүрсэлдэг. Гэхдээ асуудлын физик томъёололд утаснуудын төгсгөлүүд тогтмол байх ёстой бөгөөд ямар нэгэн цагт мөрний байрлал тодорхой байх ёстой гэсэн шаардлага тавигдсан. Бид эдгээр нөхцлүүдийг тэгшитгэлд дараах байдлаар бичнэ: a) мөрийн төгсгөлүүд x = ба x = l цэгүүд дээр тогтсон байна, өөрөөр хэлбэл бүх t хувьд u(, t) = харьцаа байна гэж үзнэ. , u(l, t ) = ; (22) б) бид t = үед мөрийн байрлал нь f(x) функцийн графиктай давхцаж байна, өөрөөр хэлбэл бүх x [, l]-ийн хувьд u(x, ) = f( x); (23) в) бид t = үед абсцисса x утсан цэгт g(x) хурд өгөгдсөн гэж үзнэ, өөрөөр хэлбэл, бид u (x,) = g (x) гэж үзнэ. (24) t (22) хамаарлыг хилийн нөхцөл, (23) ба (24) харилцааг анхны нөхцөл гэнэ. Чөлөөт жижиг хөндлөн огтлолын математик загвар 61

62 хэлхээний чичиргээ гэдэг нь (21) тэгшитгэлийг хилийн нөхцөл (22) ба анхны нөхцөл (23) ба (24)-тэй тэнцэтгэлийг Фурье аргаар шийдвэрлэх шаардлагатай.< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. (21)-д (25)-ыг орлуулснаар бид: X T = α 2 X T, (26) эсвэл T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) болно. (27) Хувьсагчдыг салгасан гэж ярьдаг. x ба t нь бие биенээсээ хамаарахгүй тул (27)-ийн зүүн тал нь х-ээс хамаарахгүй, харин баруун тал нь t-ээс хамаарахгүй бөгөөд эдгээр харьцааны нийт утга нь 62 байна.

63 нь тогтмол байх ёстой бөгөөд үүнийг бид λ гэж тэмдэглэнэ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Эндээс бид хоёр энгийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авна: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Энэ тохиолдолд (22) хилийн нөхцөл нь X()T(t) = ба X(l)T(t) = хэлбэрийг авна. Эдгээр нь бүх t, t > хувьд биелэх ёстой тул X() = X(l) = болно. (3) Хилийн нөхцөлийг (3) хангасан (28) тэгшитгэлийн шийдийг олъё. Гурван тохиолдлыг авч үзье. Тохиолдол 1: λ >. λ = β 2 гэж тэмдэглэ. (28) тэгшитгэл нь X (x) β 2 X(x) = хэлбэртэй байна. Түүний шинж чанарын тэгшитгэл k 2 β 2 = нь k = ±β үндэстэй. Иймд (28) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь X(x) = C e βx + De βx хэлбэртэй байна. Бид C ба D тогтмолуудыг сонгох ёстой бөгөөд ингэснээр хилийн нөхцөл (3) хангагдсан байх ёстой, өөрөөр хэлбэл X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. β-ээс хойш энэ тэгшитгэлийн систем C = D = өвөрмөц шийдэлтэй байна. Тиймээс X(x) ба 63 байна

64 u(x, t). Тиймээс, 1-р тохиолдолд бид өчүүхэн шийдлийг олж авсан бөгөөд бид цаашид авч үзэхгүй. Тохиолдол 2: λ =. Дараа нь (28) тэгшитгэл нь X (x) = хэлбэрийг авах ба түүний шийдэл нь тодорхой байна: X(x) = C x+d. Энэ шийдлийг хилийн нөхцлөөр (3) орлуулснаар бид X() = D = ба X(l) = Cl =, иймээс C = D = болно. Эндээс X(x) ба u(x, t) ба бид дахин өчүүхэн шийдэлтэй байна. Тохиолдол 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Дараах зүйлд бид n-д зөвхөн эерэг утгуудыг оноох болно n = 1, 2,..., учир нь сөрөг n-ийн хувьд ижил хэлбэрийн (nπ) шийдлүүд гарна.λ n = утгууд нь хувийн утга гэж нэрлэгдэх ба X n (x) = C n sin πnx функцуудыг хилийн нөхцөлтэй (3) дифференциал тэгшитгэлийн (28) хувийн функцууд. Одоо (29) тэгшитгэлийг шийдье. Түүний хувьд шинж чанарын тэгшитгэл нь k 2 α 2 λ = хэлбэртэй байна. (32) l 2 (28) тэгшитгэлийн X(x)-ийн ач холбогдолгүй шийдлүүд нь зөвхөн λ = n2 π 2-тэй тэнцүү сөрөг λ-д оршин байдгийг дээр дурдсан тул бид доор авч үзэх болно. (32) тэгшитгэлийн язгуурууд k = ±iα λ байх ба (29) тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l энд A n ба B n нь дурын тогтмолууд юм. (31) ба (33) томъёог (25)-д орлуулснаар бид (22) хилийн нөхцөлийг хангасан тэгшитгэлийн (21) тодорхой шийдлүүдийг олно: (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n sin pnx. l l l C n хүчин зүйлийг хаалтанд оруулаад C n A n = b n ба B n C n = a n гэсэн тэмдэглэгээг оруулаад бид u n (X, T) -ийг (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt гэж бичнэ. ) sin pnx. (34) л л 65

66 u n (x, t) шийдлүүдтэй харгалзах мөрний чичиргээг утасны байгалийн чичиргээ гэнэ. Тэгшитгэл (21) ба хилийн нөхцөл (22) нь шугаман ба нэгэн төрлийн байх тул (34) шийдүүдийн шугаман хослол (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l нь a болно. (21 ) тэгшитгэлийн шийдэл a n ба b n коэффициентүүдийн тусгай сонголт бүхий хилийн нөхцөлийг (22) хангаж, цувааны жигд нийлэлтийг хангана. Одоо бид (35) уусмалын a n ба b n коэффициентүүдийг сонгох бөгөөд энэ нь зөвхөн хилийн нөхцлүүдийг хангаад зогсохгүй (23) ба (24) анхны нөхцлүүдийг хангадаг бөгөөд f(x), g(x) функцууд ( үүнээс гадна f() = f (l) = g() = g(l) =). f(x) ба g(x) функцууд Фурье тэлэлтийн нөхцлийг хангана гэж бид таамаглаж байна. t = утгыг (35) орлуулснаар u(x,) = a n sin πnx l = f(x) болно. Цуврал (35)-ыг t-д хамааруулан ялгаж, t =-г орлуулснаар бид u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x)-ийг олж авах бөгөөд энэ нь f(x) ба g(x) функцүүдийн өргөтгөл юм. Фурье цуврал болгон. Иймд a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 a n ба b n коэффициентүүдийн илэрхийллүүдийг (35) цувралд орлуулснаар хилийн нөхцөл (22) ба анхны нөхцөл (23) ба (24)-ийг хангасан тэгшитгэлийн (21) шийдийг олж авна. Тиймээс бид утаснуудын чөлөөт жижиг хөндлөн чичиргээний асуудлыг шийдсэн. (34) томьёогоор тодорхойлогдсон хэлхээний чөлөөт чичиргээний бодлогын хувийн функцүүдийн u n (x, t) физик утгыг тодруулъя. Үүнийг u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n гэж дахин бичье. l a n Формула (37) нь утсан дээрх бүх цэгүүд ижил давтамжтай ω n = πnα ба πnα δ n үе шаттайгаар гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг болохыг харуулж байна. Хэлбэлзлийн далайц нь утаснуудын цэгийн l l абсцисса х-ээс хамаарах ба α n sin πnx-тэй тэнцүү байна. Ийм хэлбэлзэлтэй үед утаснуудын бүх цэгүүд нэгэн зэрэг l хамгийн их хазайлтдаа нэг чиглэлд хүрч, тэнцвэрийн байрлалыг нэгэн зэрэг дамжуулдаг. Ийм хэлбэлзлийг байнгын долгион гэж нэрлэдэг. Байнгын долгион нь [, l] интервалд sin πnx = тэгшитгэлийн үндэсээр өгөгдсөн n + 1 тогтмол цэгтэй байна. Тогтмол цэгүүдийг байнгын долгионы зангилаа гэж нэрлэдэг. Зангилааны дундуур - l mi нь хазайлт хамгийн ихдээ хүрэх цэгүүд; ийм цэгүүдийг антинод гэж нэрлэдэг. Мөр бүр өөрийн гэсэн хатуу тодорхойлогдсон давтамжийн хэлбэлзэлтэй байж болно ω n = πnα, n = 1, 2,.... Эдгээр давтамжийг мөрийн натурал давтамж гэж нэрлэдэг. Утаснаас гаргаж чадах хамгийн бага l аяыг өөрөө 67 тодорхойлно

68 бага байгалийн давтамж ω 1 = π T ба утсанд үндсэн аялгуу гэж нэрлэгддэг. l ρ давтамж ω n, n = 2, 3,...-д тохирох үлдсэн аялгууг овертон буюу гармоник гэж нэрлэдэг. Тодорхой болгохын тулд бид үндсэн аялгуу (Зураг 33), эхний өнгө аяс (Зураг 34) ба хоёр дахь өнгө аяс (Зураг 35) ялгаруулдаг утасны ердийн профайлыг дүрслэх болно. Цагаан будаа. Зураг 33. Үндсэн аялгууг ялгаруулж буй чавхдаст профайл. Зураг 34. Анхны өнгө аясыг гаргаж буй утаснуудын дүрслэл. Зураг 35. Хоёрдахь өнгө аяс гаргаж буй утсаны дүрслэл Хэрэв утас нь эхний нөхцлөөр тодорхойлогддог чөлөөт чичиргээг гүйцэтгэвэл u(x, t) функцийг томъёогоор (35) нийлбэрээр илэрхийлнэ. бие даасан гармоник. Тиймээс дурын хэлбэлзэл 68

69-р утас нь тогтсон долгионуудын суперпозиция юм. Энэ тохиолдолд чавхдаст дууны шинж чанар (ая, дууны хүч, тембр) нь бие даасан гармоникуудын далайцын харьцаанаас хамаарна.Дууны хүч, өндөр, тембр Чичиргээт утас нь хүний ​​мэдрэх агаарын чичиргээг өдөөдөг. утаснаас ялгарах дуу чимээ мэт чих. Дууны хүч нь чичиргээний эрч хүч эсвэл далайцаар тодорхойлогддог: энерги их байх тусам дууны хүч илүү их байдаг. Дууны өндөр нь түүний давтамж эсвэл хэлбэлзлийн хугацаанд тодорхойлогддог: давтамж өндөр байх тусам дуу чимээ өндөр байдаг. Дууны тембр нь өнгө аяс байгаа эсэх, гармоник дээр энергийн хуваарилалт, өөрөөр хэлбэл хэлбэлзлийг өдөөх арга замаар тодорхойлогддог. Тонуудын далайц нь ерөнхийдөө үндсэнийн далайцаас бага бөгөөд хэт авианы үе шатууд нь дур зоргоороо байж болно. Бидний чих хэлбэлзлийн үе шатанд мэдрэмтгий байдаггүй. Жишээлбэл, Зураг дээрх хоёр муруйг харьцуул. 36, -аас зээлсэн. Энэ бол кларнет (а) ба төгөлдөр хуур (б) хоёроос гаргаж авсан ижил үндсэн өнгө аястай дууны бичлэг юм. Хоёр дуу чимээ нь энгийн синусоид хэлбэлзэл биш юм. Хоёр тохиолдолд дууны үндсэн давтамж ижил бөгөөд энэ нь ижил аялгуу үүсгэдэг. Гэхдээ үндсэн аялгуун дээр өөр өөр өнгө аястай байдаг тул муруйн хэв маяг өөр өөр байдаг. Нэг ёсондоо эдгээр зургууд нь тембр гэж юу болохыг харуулж байна. 69

Гипербол хэлбэрийн тэгшитгэлүүд. Хязгааргүй ба хагас төгсгөлгүй утаснуудын чичиргээ. Фурье арга Фурье арга Байнгын долгион 4 Лекц 4.1 Гиперболын төрлийн тэгшитгэл. Хязгааргүй ба хагас төгсгөлгүй хэлбэлзэл

МОСКВА УЛСЫН ТЕХНИКИЙН ИРГЭНИЙ НИСЭХИЙН ИХ СУРГУУЛЬ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов

ОХУ-ын БОЛОВСРОЛ, ШИНЖЛЭХ УХААНЫ ЯАМ К.Е.Циолковскийн нэрэмжит Оросын Улсын Технологийн Их Сургууль МАТИ мэргэжлийн дээд боловсролын холбооны улсын төсвийн боловсролын байгууллага

Бүгд Найрамдах Беларусь Улсын Боловсролын Яам Витебскийн Улсын Технологийн Их Сургуулийн Сэдэв. "Мөр" онолын болон хэрэглээний математикийн тэнхим. боловсруулсан Assoc. Э.Б. Дунина. Үндсэн

Холбооны боловсролын агентлаг Дээд мэргэжлийн боловсролын холбооны улсын боловсролын байгууллага ӨМНӨДИЙН ХОЛБООНЫ ИХ СУРГУУЛЬ Р.М.Гаврилова, Г.С.Костецкая арга зүйн

Сэдэв Фурье цуврал Практик хичээл Функцийн ортогональ систем дэх Фурье цуваа Хэсэгчилсэн тасралтгүй функцуудын орон зай Ерөнхийжүүлсэн Фурье цуврал 3 Бесселийн тэгш бус байдал ба Фурье цувралын нэгдэл Сансар огторгуй

ЦУВРАЛЫН ОНОЛ Цувралын онол нь математик шинжилгээний хамгийн чухал бүрэлдэхүүн хэсэг бөгөөд онолын болон олон тооны практик хэрэглээг олдог. Тоон ба функциональ цувааг ялгах.

АГУУЛГА Фурье цуврал 4 Үелэх функцийн тухай ойлголт 4 Тригонометрийн олон гишүүнт 6 3 Функцийн ортогональ систем 4 Тригонометр Фурьегийн цуврал 3 5 Тэгш сондгой функцийн Фурье цуврал 6 6 Задаргаа

Холбооны боловсролын агентлаг Москвагийн Геодези, зураг зүйн их сургууль (MIIGAiK) ДЭЭД МАТЕМАТИКИЙН хичээлийн бие даасан ажлын АРГА ЗҮЙН ЗААВАР, ДААЛГАВАР

Лекц 4. Гармоник анализ. Фурье цуврал Үелэх функцууд. Гармоник шинжилгээ Шинжлэх ухаан, технологийн хувьд үе үе тохиолддог үзэгдлүүд, өөрөөр хэлбэл давтагдах үзэгдлүүдтэй тулгарах шаардлагатай болдог.

СЭДЭВ V ФУРЬЕРИЙН ЦУВРАЛ ЛЕКЦ 6 Фурьегийн цуваа дахь үечилсэн функцийг өргөтгөх Байгаль, технологид тохиолдож буй олон процессууд тодорхой интервалтайгаар давтагдах шинж чанартай байдаг.

ДЭЭД МАТЕМАТИКИЙН ХИЧЭЭЛИЙН ХИЧЭЭЛИЙН ТООЦООНЫ ДААЛГАВАР "Энгийн дифференциал тэгшитгэлийн цуврал давхар интеграл" III ХЭСЭГ СЭДВИЙН ЦУВРАЛ Агуулга Цуврал Тоон цуваа Конвергенц ба дивергенц.

6 Фурье цуваа 6 Функцийн ортогональ системүүд Функцийн ортогональ системийн хувьд Фурьегийн цуваа [, ] хэрчим дээр тодорхойлогдсон, интеграл болох ϕ () ба ψ () функцийг энэ хэрчим дээрх ортогональ гэж нэрлэнэ.

ТОДОРХОЙ ИНТЕГРАЛ. Интеграл нийлбэр ба тодорхой интеграл [, b ] сегмент дээр тодорхойлогдсон y = f () функцийг үзье.< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 Чадлын цуваа 5 Чадлын цуваа: тодорхойлолт, нийлэх муж (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) хэлбэрийн функцийн цувааг чадлын цуваа тоо гэнэ.

БЕЛОРУСИЙН УЛСЫН ИХ СУРГУУЛИЙН ХЭРЭГЛЭЭНИЙ МАТЕМАТИК, МЭДЭЭЛЭЛ ШИНЖЛЭХ УХААНЫ факультет Дээд математикийн тэнхим Хэрэглээний математик, мэдээлэл зүйн факультетийн оюутнуудад зориулсан сургалтын хэрэглэгдэхүүн

Зарим жишээг харцгаая. Жишээ. Хязгааргүй геометр прогрессийн нийлбэрийг олъё Энэ цувааны нийтлэг гишүүний томьёо нь a+aq+...+aq n +... (a). a n = aq n. Түүний хэсэгчилсэн нийлбэрийг тооцоолъё. Хэрэв q = бол

Даалгавар 1.1. Заасан талбайд ижил бус тэг байх дифференциал тэгшитгэлийн y = y(x) шийдлүүдийг олж, өгөгдсөн хилийн нөхцлийг ханга (Штурм-Лиувиллийн бодлого) Шийдэл: Бодвол

Математик анализ Сэдэв: Тодорхой интеграл Бус интеграл Лектор Пахомова Е.Г. 2017 ОН II БҮЛЭГ. Тодорхой интеграл ба түүний хэрэглээ 1. Тодорхой интеграл түүний шинж чанарууд 1. Даалгавар,

Лекц 8 4 Штурм-Лиувиллийн асуудал

Текстийн тайлбар: тэмдгийг "тэнцүү" гэж уншсан бөгөөд тэмдгийн баруун талд, тэмдгийн зүүн талд байгаа тэгшитгэлүүд нь ижил шийдэлтэй, IR тэмдэг нь бодит тоонуудын багц, тэмдгийг илэрхийлдэг. IN

82 4. 4-р хэсэг. Функциональ ба чадлын цуваа 4.2. Хичээл 3 4.2. Хичээл 3 4.2.. Функцийн Тейлорын өргөтгөл ТОДОРХОЙЛОЛТ 4.2.. y = f(x) функц нь зарим хөршид хязгааргүй дифференциал болох байг.

ОХУ УЛСЫН БОЛОВСРОЛ, ШИНЖЛЭХ УХААНЫ ЯАМ "САМАРА УЛСЫН ТЕХНИКИЙН ИХ СУРГУУЛЬ" ДЭЭД МЭРГЭЖЛИЙН БОЛОВСРОЛЫН ТӨСВИЙН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА Хэрэглээний математикийн тэнхим

Холбооны Төмөр замын тээврийн агентлаг Уралын Төмөр замын тээврийн их сургуулийн "Дээд ба хэрэглээний математик" тэнхим Н.П.Чуев Гармоник анализын элементүүд аргачлал

Лекц 3 Тейлор ба Маклаурины цуврал Хүчин чадлын цувралын хэрэглээ Функцийг чадлын цуврал болгон өргөжүүлэх Тейлор ба Маклаурин цувралууд Хэрэглээний хувьд өгөгдсөн функцийг хүчирхэг цуврал болгон өргөжүүлэх чадвартай байх нь чухал.

S A Lavrenchenko wwwwrckoru лекц Фурьегийн хувиргалт Интеграл хувиргалын тухай ойлголт Интеграл хувиргалтын арга нь математик физикийн хүчирхэг аргуудын нэг бөгөөд хүчирхэг шийдэл юм.

Функцийн интеграл (Риманын дагуу) ба тодорхой интеграл Бодлого шийдвэрлэх жишээ 1. Ямар ч хуваалт болон ξ i цэгийн сонголтын хувьд интеграл учраас f(x) = C тогтмол функц нь дээр интеграл болно.

Би мэдээж даалгавар. Риманы функц, хэрэв 0, m m R(), хэрэв, m, m 0, бутархай нь үл буурах, 0, хэрвээ иррационал бол рационал цэг бүрт тасалдалтай, иррациональ бүрт үргэлжилдэг болохыг батал. Шийдэл.

1 2 Агуулгын хүснэгт 1 Фурье цуврал 5 1.1 Тригонометр Фурьегийн цуваа .................. 5 1.2 Зөвхөн sin & cos ............. ............ 7 1.3 Комплекс хэлбэрийн Фурье цуваа............. 11 1.4 f(x) = c k?......... ......

МАТЕМАТИК ФИЗИКИЙН ТЭГШИЛТҮҮД 1. Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл

Лекц 4. Долгионы тэгшитгэл 1. Утасны чичиргээний тэгшитгэлийг гаргах 2. Савааны уртааш чичиргээний тэгшитгэл 3. Анхны нөхцөл, хилийн нөхцөл 4. Бодлого тавих 1. Утасны чичиргээний тэгшитгэлийг гаргах

1. Электростатик 1 1. Электростатик 6-р хичээл Декарт координат дахь хувьсагчдыг салгах 1.1. (Бодлого 1.49) z = хавтгай нь σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy) нягтаар цэнэглэгддэг бөгөөд энд σ, α, β нь тогтмол байна.

Модуль Сэдэв Функцийн дараалал ба цуврал Дараалал ба цувааг жигд нэгтгэх шинж чанарууд Хүчин чадал цуврал Лекц Функцийн дараалал ба цувааны тодорхойлолтууд Нэг төрлийн

Параболик төрлийн тэгшитгэлүүд. Хувьсагчдыг салгах арга Нэг төрлийн хилийн бодлого Эх үүсвэрийн функц Нэг төрлийн бус дулааны тэгшитгэл 7 Лекц 7.1 Параболик төрлийн тэгшитгэл. Тусгаарлах арга

Лекц Тоон цуваа Нийцэх шинж тэмдгүүд Тооны цуваа нийлэх шинж тэмдгүүд Хязгааргүй гишүүдээс бүрдэх + + + + тоон дарааллын хязгааргүй илэрхийллийг тоон цуваа гэнэ.

35 7 Тригонометр Фурьегийн цуврал Т үетэй үечилсэн функцийн Фурье цуврал. f(x) нь T үетэй хэсэгчилсэн тасралтгүй үечилсэн функц байя. Тригонометрийн үндсэн системийг авч үзье.

Металлургийн факультет Дээд математикийн тэнхим

Математик, мэдээлэл зүйн тэнхим Дээд математикийн элементүүд Зайны технологи ашиглан суралцаж буй дунд мэргэжлийн боловсролын оюутнуудад зориулсан сургалт, арга зүйн цогцолбор Модуль Дифференциал тооцоо Эмхэтгэсэн:

9. Эсрэг дериватив ба тодорхойгүй интеграл 9.. I R интервал дээр f() функцийг өгье. F () функцийг I интервалын эсрэг дериватив функц f() гэж нэрлэнэ, хэрэв ямар нэгэн I-ийн хувьд F () = f() бол эсрэг дериватив

НЭГ ХУВЬСАГЧИЙН ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНЫ ЯЛГААН Үүсмэлийн тухай ойлголт, түүний геометрийн болон физикийн утга Деривативын тухай ойлголтод хүргэж буй асуудлууд A x цэгийн y f (x) шулуунд шүргэгч S-ийн тодорхойлолт; f(

Гипербол хэлбэрийн тэгшитгэлүүд. Хязгааргүй ба хагас төгсгөлгүй утаснуудын чичиргээ. d'Alembert-ийн арга Хязгааргүй мөр. d'Alembert томъёо Хагас төгсгөлгүй мөр 3 Лекц 3.1 Гиперболын төрлийн тэгшитгэл.

Гарчгийн танилцуулга. Үндсэн ойлголт.... 4 1. Вольтерра интеграл тэгшитгэл... 5 Гэрийн даалгавар.... 8 2. Вольтерра интеграл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвар. 10 Гэрийн даалгаврын сонголт.... 11

МӨРӨӨ. Тооны шугам. Үндсэн тодорхойлолтууд Хязгааргүй тооны дарааллыг өгье. (хязгааргүй нийлбэр) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= -г a гэж нэрлэдэг. тооны цуврал. Тоонууд

8. Чадлын цуваа 8.. c n (z) n, (8.) n= хэлбэрийн функциональ цуваа энд c n нь тоон дараалал, R нь тогтмол тоо, z R нь c n коэффициенттэй чадлын цуваа гэж нэрлэгддэг. . Хувьсагчдыг өөрчлөх замаар

~ ~ Тодорхой бус ба тодорхойгүй интеграл Эсрэг дериватив ба тодорхойгүй интегралын тухай ойлголт. Тодорхойлолт: Хэрэв эдгээр функцүүд нь дараах байдлаар хамааралтай бол F функцийг f функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг.

3724 ОЛОН БОЛОН муруй шугаман интегралын цуврал 1 БҮЛЭГЛЭЛИЙН АЖЛЫН ХӨТӨЛБӨР "ОЛОХ ба муруй шугаман интегралын цуврал" 11 Тооны цуваа Тооны цувааны тухай ойлголт Тооны цувааны шинж чанар Нэгцүүлэхэд зайлшгүй шаардлагатай шалгуур

ИДЭХ. ХҮДРИЙН МАТЕМАТИК ШИНЖИЛГЭЭ. ТООН, ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНЫ ЦУВРАЛ НОВОСИБИРСК 200 2 ОХУ-ын БОЛОВСРОЛ, ШИНЖЛЭХ УХААНЫ ЯАМ СЭИ ХПЕ "НОВОСИБИРСК УЛСЫН ПЕДАГОГИЙН ИХ СУРГУУЛЬ" Е.М. Рудойн МАТЕМАТИК ШИНЖИЛГЭЭ.

ЛЕКЦ N 7 .Эрчим хүч

Квадрат тэгшитгэл

ҮЗҮҮЛЭЛТТЭЙ ДААЛГЫН ХЭСЭГ Тайлбар Параметр бүхий даалгаврууд нь USE бүтэц дэх уламжлалт нарийн төвөгтэй ажил бөгөөд өргөдөл гаргагчаас янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх бүх арга, техникийг эзэмшихийг шаарддаг.

Дифференциал тооцоо Математик анализын танилцуулга Дараалал ба функцийн хязгаар. Дотор нь тодорхойгүй байдлыг ил тод болгох. Функцийн дериватив. Ялгах дүрэм. Деривативын хэрэглээ

Фурье цувралын ортогональ функцүүдийн системүүд Алгебрийн үүднээс авч үзвэл тухайн ангиллын функц ба R эсвэл C-аас авсан коэффициентүүд болох тэгш байдал нь вектор нь В векторуудын шугаман хослол юм.

1. Тодорхой интеграл 1.1. [, b] R сегмент дээр тодорхойлогдсон f нь хязгаарлагдмал функц байя. [, b] сегментийн хуваалт нь τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b] цэгүүдийн олонлог юм. ] ийм = x< x 1 < < x n 1

Ч Чадлын цуваа a a a a a a a a () хэлбэрийн цувааг чадлын цуваа гэж нэрлэдэг ба энд, a нь тогтмол бөгөөд цувралын коэффициентүүд гэж нэрлэгддэг. Заримдаа илүү ерөнхий хэлбэрийн чадлын цувааг авч үздэг: a a (a) a () a) a (a) (), хаана

2π үетэй үечилсэн функцийн Фурье цуврал.

Фурье цуврал нь үечилсэн функцийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задлах замаар судлах боломжийг олгодог. Хувьсах гүйдэл ба хүчдэл, шилжилт хөдөлгөөн, бүлүүрт механизмын хурд ба хурдатгал ба акустик долгион нь инженерийн тооцоололд үечилсэн функцийг ашиглах ердийн практик жишээ юм.

Фурье цувралын өргөтгөл нь -π ≤ x ≤ π интервал дахь практик ач холбогдолтой бүх функцийг нэгдмэл тригонометрийн цуваа хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн таамаглал дээр суурилдаг (хэрэв гишүүдээс бүрдэх хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нийлдэг бол цувралыг нийлсэн гэж үзнэ) :

Sinx болон cosx-ийн нийлбэрээр дамжуулан стандарт (=ердийн) тэмдэглэгээ

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

Энд a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. нь бодит тогтмолууд, өөрөөр хэлбэл.

Энд -π-аас π хүртэлх мужид Фурье цувралын коэффициентийг дараах томъёогоор тооцоолно.

a o ,a n ба b n коэффициентүүдийг нэрлэнэ Фурье коэффициентүүд, хэрэв тэдгээрийг олох боломжтой бол (1) цувралыг дуудна Фурьегийн ойролцоо, f(x) функцтэй харгалзах. Цуврал (1)-ийн хувьд (a 1 cosx+b 1 sinx) нэр томъёог эхний буюу гэж нэрлэдэг гол гармоник,

Цуврал бичих өөр нэг арга бол acosx+bsinx=csin(x+α) хамаарлыг ашиглах явдал юм.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

a o нь тогтмол бол c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 нь янз бүрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц бөгөөд n \ -тэй тэнцүү байна. u003d arctg a n /b n.

(1) цувралын хувьд (a 1 cosx + b 1 sinx) эсвэл c 1 sin (x + α 1) нэр томъёог эхний буюу гол гармоник,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) эсвэл c 2 sin(2x+α 2)-ийг гэнэ. хоёр дахь гармоникгэх мэт.

Нарийн төвөгтэй дохиог үнэн зөв илэрхийлэхийн тулд ихэвчлэн хязгааргүй тооны нэр томъёо шаардлагатай байдаг. Гэсэн хэдий ч олон практик асуудалд зөвхөн эхний хэдэн нэр томъёог авч үзэх нь хангалттай юм.

2π үетэй үечилсэн бус функцүүдийн Фурье цуваа.

Фурье цуврал дахь үечилсэн бус функцүүдийн өргөтгөл.

Хэрэв f(x) функц нь үечилсэн бус байвал x-ийн бүх утгын хувьд үүнийг Фурье цувралд өргөтгөх боломжгүй. Гэсэн хэдий ч 2π өргөнтэй аль ч муж дахь функцийг илэрхийлэх Фурье цувралыг тодорхойлох боломжтой.

Тогтмол бус функцийн хувьд тодорхой муж доторх f(x) утгуудыг сонгож, энэ мужаас гадуур 2π интервалаар давтах замаар шинэ функц үүсгэж болно. Шинэ функц нь 2π-ийн үетэй үе үе байдаг тул x-ийн бүх утгыг Фурье цувралд өргөжүүлж болно. Жишээлбэл, f(x)=x функц нь үечилсэн биш юм. Гэхдээ 0-ээс 2π хүртэлх интервалаар Фурьегийн цуваа болгон өргөтгөх шаардлагатай бол энэ интервалаас гадуур 2π хугацаатай үечилсэн функцийг байгуулна (доорх зурагт үзүүлэв).

f(x)=x гэх мэт үечилсэн бус функцүүдийн хувьд Фурье цувааны нийлбэр нь өгөгдсөн муж дахь бүх цэг дэх f(x)-ийн утгатай тэнцүү боловч цэгүүдийн хувьд f(x)-тэй тэнцүү биш байна. хүрээнээс гадуур. 2π муж дахь үечилсэн бус функцийн Фурье цувралыг олохын тулд Фурьегийн коэффициентүүдийн ижил томъёог ашиглана.

Тэгш ба сондгой функцууд.

Тэд y=f(x) функцийг хэлдэг. бүрХэрэв x-ийн бүх утгын хувьд f(-x)=f(x) байвал. Тэгш функцүүдийн графикууд нь y тэнхлэгт үргэлж тэгш хэмтэй байдаг (өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь толин тусгалтай байдаг). Тэгш функцүүдийн хоёр жишээ: y=x 2 ба y=cosx.

Тэд y=f(x) функц гэж хэлдэг. хачин,Хэрэв x-ийн бүх утгын хувьд f(-x)=-f(x) байвал. Хачирхалтай функцүүдийн графикууд нь гарал үүслийн хувьд үргэлж тэгш хэмтэй байдаг.

Олон функц тэгш, сондгой ч биш.

Косинус дахь Фурье цувралын өргөтгөл.

2π үетэй тэгш үечилсэн функцийн Фурьегийн цуваа f(x) нь зөвхөн косинусын гишүүн (өөрөөр хэлбэл синус гишүүн агуулаагүй) бөгөөд тогтмол гишүүнийг агуулж болно. Үүний үр дүнд,

Фурье цувралын коэффициентүүд хаана байна,

2π үетэй f(x) сондгой үечилсэн функцийн Фурье цуваа нь зөвхөн синустай гишүүдийг агуулна (өөрөөр хэлбэл косинустай гишүүнчлэлийг агуулаагүй).

Үүний үр дүнд,

Фурье цувралын коэффициентүүд хаана байна,

Хагас мөчлөгийн Фурье цуврал.

Хэрэв функц нь зөвхөн 0-ээс 2π хүртэл биш 0-ээс π хүртэлх мужид тодорхойлогдсон бол түүнийг зөвхөн синусын хувьд эсвэл зөвхөн косинусын хувьд цуврал болгон өргөжүүлж болно. Үр дүнд нь Фурье цуврал гэж нэрлэдэг Хагас мөчлөг дээр Фурьегийн ойролцоо.

Хэрэв та задралыг авахыг хүсч байвал Косинусын хагас цикл дээр Фурье f(x) функц 0-ээс π хүртэлх зайд байвал тэгш үечилсэн функц зохиох шаардлагатай. Зураг дээр. доор f(x)=x функц нь x=0-ээс x=π хүртэлх интервал дээр бүтээгдсэн байна. Тэгш функц нь f(x) тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг тул бид AB шугамыг зурж үзүүлсний дагуу зурна. доор. Хэрэв бид авч үзсэн интервалаас гадуур үүссэн гурвалжин хэлбэр нь 2π үетэй үе үе байна гэж үзвэл эцсийн график нь дэлгэцийн хэлбэртэй байна. Зураг дээр. доор. Косинус дахь Фурье тэлэлтийг авах шаардлагатай тул өмнөх шигээ Фурьегийн a o ба a n коэффициентийг тооцоолно.

Хэрэв та 0-ээс π хүртэлх хүрээнд f (x) функцийг авахыг хүсвэл сондгой үечилсэн функц зохиох хэрэгтэй. Зураг дээр. доор f(x)=x функц нь x=0-ээс x=π хүртэлх интервал дээр бүтээгдсэн байна. Сондгой функц нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй тул бид зурагт үзүүлсэн шиг CD шугамыг байгуулна. Хэрэв бид авч үзсэн интервалаас гадуур хүлээн авсан хөрөөний дохио нь 2π-ийн үетэй үе үе байна гэж үзвэл эцсийн график нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. Фурье тэлэлтийг синусын хувьд хагас мөчлөгт авах шаардлагатай тул өмнөх шигээ Фурьегийн коэффициентийг тооцоолно. б

Дурын интервалд зориулсан Фурье цуврал.

L үетэй үечилсэн функцийг өргөтгөх.

Тогтмол функц f(x) нь x нь L-ээр нэмэгдэхэд давтагдана, i.e. f(x+L)=f(x). Өмнө нь авч үзсэн 2π үетэй функцээс L үетэй функц руу шилжих нь хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан хийх боломжтой тул маш энгийн.

-L/2≤x≤L/2 мужид f(x) функцийн Фурье цувааг олохын тулд f(x) функц нь u-тай харьцуулахад 2π үетэй байхаар u шинэ хувьсагчийг оруулав. u=2πx/L бол u=-π-ийн хувьд x=-L/2, u=π-ийн хувьд x=L/2. Мөн f(x)=f(Lu/2π)=F(u) гэж үзье. Фурье цуврал F(u) хэлбэртэй байна

Фурье цувралын коэффициентүүд хаана байна,

Гэсэн хэдий ч дээрх томъёо нь ихэвчлэн x-ээс хамааралтай байдаг. u=2πх/L тул du=(2π/L)dx байх ба интегралын хязгаар нь -π-аас π биш -L/2-оос L/2 хүртэл байна. Иймд х-ээс хамаарах Фурье цуврал нь хэлбэртэй байна

Энд -L/2-оос L/2 хүртэлх мужид Фурье цувралын коэффициентууд,

(Интеграцийн хязгаарыг L урттай ямар ч интервалаар сольж болно, жишээлбэл, 0-ээс L хүртэл)

L≠2π интервалд өгөгдсөн функцүүдийн хагас мөчлөгийн Фурье цуваа.

u=πx/L орлуулалтын хувьд x=0-ээс x=L хүртэлх интервал нь u=0-ээс u=π хүртэлх интервалтай тохирч байна. Тиймээс функцийг зөвхөн косинусын хувьд эсвэл зөвхөн синусын хувьд цуврал болгон өргөжүүлж болно, i.e. in Хагас цикл дээрх Фурье цуврал.

0-ээс L хүртэлх косинус дахь тэлэлт нь хэлбэртэй байна