Tolygiai paskirstytas atsitiktinis dydis. Vienodas nuolatinis paskirstymas EXCEL. Vienodo pasiskirstymo charakteristikos

Praktikoje yra atsitiktinių dydžių, apie kuriuos iš anksto žinoma, kad jie gali įgyti bet kokią reikšmę griežtai apibrėžtose ribose, o šiose ribose visos atsitiktinio dydžio reikšmės turi tą pačią tikimybę (turi tą patį tikimybės tankį).

Pavyzdžiui, sugedus laikrodžiui, sustabdyta minučių rodyklė su vienoda tikimybe (tikimybių tankiu) parodys laiką, praėjusį nuo nurodytos valandos pradžios iki laikrodžio sugedimo. Šis laikas yra atsitiktinis kintamasis, kurio dydžiai su tokiu pačiu tikimybės tankiu neperžengia vienos valandos trukmės nustatytų ribų. Tokiems atsitiktiniams dydžiams priklauso ir apvalinimo paklaida. Teigiama, kad tokie kiekiai yra tolygiai pasiskirstę, tai yra, jų pasiskirstymas yra vienodas.

Apibrėžimas. Nuolatinis atsitiktinis dydis X turi tolygų pasiskirstymą intervale[a, in], jei šiame segmente atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo tankis yra pastovus, t.y., jei diferencinio pasiskirstymo funkcija f(x) turi tokią formą:

Šis paskirstymas kartais vadinamas vienodo tankio dėsnis. Apie dydį, kuris yra vienodai pasiskirstęs tam tikrame segmente, sakysime, kad jis tolygiai pasiskirsto šiame segmente.

Raskite konstantos c reikšmę. Kadangi plotas, ribojamas pasiskirstymo kreivės ir ašies Oi, tada lygus 1

kur Su=1/(b-a).

Dabar funkcija f(x)gali būti pavaizduotas kaip

Sukonstruokime paskirstymo funkciją F(x ), kuriam rasime išraišką F (x ) intervale [ a, b]:

F (x) ir F (x) funkcijų grafikai atrodo taip:

Raskime skaitines charakteristikas.

Naudodami NSW matematinių lūkesčių skaičiavimo formulę, turime:

Taigi, matematinė atsitiktinio dydžio, vienodai paskirstyto intervale [a, b] sutampa su šio segmento viduriu.

Raskite tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio dispersiją:

iš kurio iš karto išplaukia, kad standartinis nuokrypis:

Dabar suraskime tikimybę, kad atsitiktinio dydžio, turinčio vienodą pasiskirstymą, reikšmė patenka į intervalą(a , b ), visiškai priklausantis segmentui [a,b ]:

Paslauga internetu:

Kaip minėta anksčiau, tikimybių skirstinių pavyzdžiai nuolatinis atsitiktinis dydis X yra:

• tolygus ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys;
• ištisinio atsitiktinio dydžio eksponentinis tikimybių skirstinys;
• normalus skirstinys nuolatinio atsitiktinio dydžio tikimybės.

Pateikiame vienodo ir eksponentinio skirstinio dėsnių sampratą, tikimybių formules ir nagrinėjamų funkcijų skaitines charakteristikas.

Indeksas	Atsitiktinio paskirstymo dėsnis	Eksponentinis skirstymo dėsnis
Apibrėžimas	Uniforma vadinama ištisinio atsitiktinio dydžio X, kurio tankis intervale išlieka pastovus ir turi formą, tikimybių skirstinys	Vadinamas eksponentinis (eksponentinis). ištisinio atsitiktinio dydžio X, kuris apibūdinamas tankiu, turinčiu formą, tikimybių skirstinys
		kur λ yra pastovi teigiama reikšmė
paskirstymo funkcija
Tikimybė pataikyti į intervalą
Tikėtina vertė
Sklaida
Standartinis nuokrypis

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Vienodieji ir eksponentiniai pasiskirstymo dėsniai“

1 užduotis.

Autobusai važiuoja griežtai pagal tvarkaraštį. Judesių intervalas 7 min. Raskite: a) tikimybę, kad keleivis, atvykęs į stotelę, lauks kito autobuso mažiau nei dvi minutes; b) tikimybę, kad keleivis, artėjantis prie stotelės, lauks kito autobuso mažiausiai tris minutes; c) atsitiktinio dydžio X matematinis lūkestis ir standartinis nuokrypis – keleivio laukimo laikas.

Sprendimas. 1. Pagal problemos sąlygą nuolatinis atsitiktinis dydis X=(keleivių laukimo laikas) tolygiai paskirstytas tarp dviejų autobusų atvykimo. Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo intervalo ilgis lygus b-a=7, kur a=0, b=7.

2. Laukimo laikas bus trumpesnis nei dvi minutės, jei atsitiktinė reikšmė X patenka į intervalą (5;7). Tikimybė patekti į tam tikrą intervalą randama pagal formulę: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Laukimo laikas bus mažiausiai trys minutės (tai yra nuo trijų iki septynių minučių), jei atsitiktinė reikšmė X patenka į intervalą (0; 4). Tikimybė patekti į tam tikrą intervalą randama pagal formulę: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Nepertraukiamo, tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio X matematinis lūkestis – keleivio laukimo laikas, randame pagal formulę: M(X)=(a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3,5.

5. Ištisinio, tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio X - keleivio laukimo trukmės standartinį nuokrypį randame pagal formulę: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

2 užduotis.

Eksponentinis pasiskirstymas x ≥ 0 pateikiamas pagal tankį f(x) = 5e – 5x. Reikalinga: a) parašyti paskirstymo funkcijos išraišką; b) raskite tikimybę, kad dėl testo X pateks į intervalą (1; 4); c) rasti tikimybę, kad testo rezultatas X ≥ 2; d) apskaičiuokite M(X), D(X), σ(X).

Sprendimas. 1. Kadangi pagal sąlygą eksponentinis pasiskirstymas , tada iš atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo tankio formulės gauname λ = 5. Tada pasiskirstymo funkcija atrodys taip:

2. Tikimybę, kad atlikus testą X pateks į intervalą (1; 4), rasime pagal formulę:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Tikimybė, kad bandymo rezultatas X ≥ 2 bus rasta pagal formulę: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Randame eksponentinį skirstinį:

• matematinis lūkestis pagal formulę M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
• dispersija pagal formulę D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0,04;
• standartinis nuokrypis pagal formulę σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1.2.

Prisiminkite tikimybių tankio apibrėžimą.

Dabar pristatome vienodo tikimybių pasiskirstymo sąvoką:

2 apibrėžimas

Pasiskirstymas vadinamas vienodu, jei intervale, kuriame yra visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, pasiskirstymo tankis yra pastovus, tai yra:

1 paveikslas.

Raskite konstantos $\ C$ reikšmę naudodami šią pasiskirstymo tankio savybę: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=1$

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Taigi vienodo pasiskirstymo tankio funkcija yra tokia:

2 pav.

Grafikas turi tokią formą (1 pav.):

3 pav. Tolygaus tikimybių skirstinio tankis

Vienodo tikimybių pasiskirstymo funkcija

Dabar suraskime vienodo skirstinio paskirstymo funkciją.

Norėdami tai padaryti, naudosime šią formulę: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. Jei $x ≤ a$, pagal formulę gauname:

1. Už $a

1. Už $x> 2$ pagal formulę gauname:

Taigi paskirstymo funkcija turi tokią formą:

4 pav

Grafikas turi tokią formą (2 pav.):

5 pav. Vienodo tikimybių pasiskirstymo funkcija.

Tikimybė, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ esant vienodam tikimybių pasiskirstymui

Norėdami rasti tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis pateks į intervalą $(\alpha ,\beta)$ su vienodu tikimybės pasiskirstymu, naudosime šią formulę:

Tikėtina vertė:

Standartinis nuokrypis:

Vienodo tikimybių pasiskirstymo uždavinio sprendimo pavyzdžiai

1 pavyzdys

Tarpas tarp troleibusų – 9 minutės.

Sudarykite troleibuso keleivių laukiančio atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo funkciją ir pasiskirstymo tankį.

Raskite tikimybę, kad keleivis troleibuso lauks greičiau nei per tris minutes.

Raskite tikimybę, kad keleivis troleibuso lauks mažiausiai 4 minutes.

Raskite matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį

1. Kadangi troleibuso laukimo nenutrūkstamas atsitiktinis dydis $X$ pasiskirsto tolygiai, tai $a=0,\ b=9$.

Taigi pasiskirstymo tankis pagal vienodo tikimybių skirstinio tankio funkcijos formulę turi tokią formą:

6 pav

Pagal vienodo tikimybių pasiskirstymo funkcijos formulę mūsų atveju pasiskirstymo funkcija yra tokia:

7 pav

1. Šį klausimą galima performuluoti taip: raskite tikimybę, kad tolygaus pasiskirstymo atsitiktinis kintamasis patenka į intervalą $\left(6,9\right).$

Mes gauname:

\}