Dviejų tolygiai paskirstytų dydžių sumos pasiskirstymo tankis. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo dėsnis. Dviejų paskirstymo dėsnių sudėtis. Paraiškos draudimui

Praktikoje dažnai reikia rasti sumos paskirstymo dėsnį atsitiktiniai dydžiai.

Tegul būna sistema (Хь Х 2) du ištisiniai s. V. ir jų suma

Raskime pasiskirstymo tankį c. V. U. Pagal bendras sprendimas Ankstesnėje pastraipoje randame plokštumos plotą, kuriame x+ x 2 (9.4.1 pav.):

Diferencijuodami šią išraišką y atžvilgiu, gauname p.r. atsitiktinis kintamasis Y = X + X 2:

Kadangi funkcija φ (x b x 2) = Xj + x 2 yra simetriška savo argumentų atžvilgiu, tada

Jei su. V. X Ir X 2 yra nepriklausomi, tada (9.4.2) ir (9.4.3) formulės bus tokios formos:

Tuo atveju, kai nepriklausomi s. V. X x Ir X 2, kalbėti apie paskirstymo dėsnių sudėtį. Gaminti kompozicija du skirstymo dėsniai – tai reiškia dviejų nepriklausomų s sumos pasiskirstymo dėsnio radimą. c., platinami pagal šiuos įstatymus. Pasiskirstymo dėsnių sudėčiai žymėti naudojamas simbolinis žymėjimas

kuri iš esmės žymi (9.4.4) arba (9.4.5) formules.

1 pavyzdys. Apsvarstykite dviejų darbą techniniai prietaisai(TAI). Iš pradžių TU veikia, po jo gedimo (gedimo) įtraukiamas į TU 2 veiklą. Veikimo laikas be gedimų TU L TU 2 - X x Ir X 2 - nepriklausomi ir paskirstyti pagal eksponentinių dėsnių parametrus A,1 ir X 2. Todėl laikas Y techninio įrenginio, susidedančio iš techninės įrangos, veikimas be problemų! ir TU 2, bus nustatyta pagal formulę

Būtina rasti p.r. atsitiktinis kintamasis Y, y., dviejų eksponentinių dėsnių sudėtis su parametrais ir X 2.

Sprendimas. Naudodami formulę (9.4.4) gauname (y > 0)

Jei yra dviejų eksponentinių dėsnių su tais pačiais parametrais sudėtis (?ts = X 2 = Y), tada išraiškoje (9.4.8) gauname 0/0 tipo neapibrėžtį, kurią atskleidžiant gauname:

Palyginus šią išraišką su išraiška (6.4.8), esame įsitikinę, kad dviejų identiškų eksponentinių dėsnių sudėtis (?ts = X 2 = X) reprezentuoja Erlango antrosios eilės dėsnį (9.4.9). Sujungus du eksponentinį dėsnį su skirtingais parametrais X x ir A-2 gauti apibendrino Erlango antrosios eilės dėsnį (9.4.8). ?

1 uždavinys. Dviejų s skirtumo pasiskirstymo dėsnis. V. Sistemos s. V. (X ir X 2) turi jungtį p.r./(x b x 2). Rasti p.r. jų skirtumai Y = X - X 2.

Sprendimas. Sistemai su. V. (X b – X 2) ir tt bus/(x b - x 2), y., skirtumą pakeitėme suma. Todėl p.r. Atsitiktinis kintamasis turės tokią formą (žr. (9.4.2), (9.4.3)):

Jeigu Su. V. X x iX 2 tada yra nepriklausomi

2 pavyzdys. Rasti p.r. skirtumas tarp dviejų nepriklausomų eksponentiškai pasiskirstytų s. V. su parametrais X x Ir X 2.

Sprendimas. Naudodami (9.4.11) formulę gauname

Ryžiai. 9.4.2 Ryžiai. 9.4.3

9.4.2 paveiksle pavaizduotas p.r. g(y). Jei nagrinėsime dviejų nepriklausomų eksponentiškai pasiskirstytų s skirtumą. V. su tais pačiais parametrais (A-i= X 2 = A,), Tai g(y) = /2 – jau pažįstamas

Laplaso dėsnis (9.4.3 pav.). ?

3 pavyzdys. Raskite dviejų nepriklausomų s sumos pasiskirstymo dėsnį. V. X Ir X 2, paskirstytas pagal Puasono dėsnį su parametrais a x Ir a 2.

Sprendimas. Raskime įvykio tikimybę (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Todėl s. V. Y = X x + X 2 paskirstytas pagal Puasono dėsnį su parametru a x2) - a x + a 2. ?

4 pavyzdys. Raskite dviejų nepriklausomų s sumos pasiskirstymo dėsnį. V. X x Ir X 2, paskirstytas pagal dvinarius dėsnius su parametrais p x ri p 2, p atitinkamai.

Sprendimas. Įsivaizduokime s. V. X x kaip:

Kur X 1) -įvykio indikatorius A Wu patirtis:

Platinimo serija p. V. X,- turi formą

Panašiai pateiksime s. V. X 2: kur X] 2) – įvykio indikatorius A y-oje patirtyje:

Vadinasi,

kur X? 1)+(2), jei įvykio indikatorius A:

Taigi, mes parodėme, kad s. V. Išbandykite sumą (u + n 2)įvykių rodikliai A, iš kurio išplaukia, kad s. V. ^paskirstytas pagal dvinario dėsnį su parametrais ( p x + p 2), r.

Atkreipkite dėmesį, kad jei tikimybės R skirtingose ​​eksperimentų serijose skiriasi, tada pridėjus du nepriklausomus s. in., paskirstytas pagal dvinario dėsnius, pasirodo, c. c., paskirstytas ne pagal dvinario dėsnį. ?

3 ir 4 pavyzdžiai lengvai apibendrinami iki savavališko skaičiaus terminų. Sujungus Puasono dėsnius su parametrais a b a 2, ..., a t vėl gauname Puasono dėsnį su parametru a (t) = a x + a 2 + ... + ir t.

Sudarant dvinario dėsnius su parametrais (p p p); (aš 2, R) , (p t, p) vėl gauname dvinarį dėsnį su parametrais („(“), R), Kur n (t) = n + n 2 + ... + p t.

Mes įrodėme svarbios savybės Puasono dėsnis ir dvinario dėsnis: „stabilumo savybė“. Pasiskirstymo dėsnis vadinamas tvarus, jeigu dviejų to paties tipo dėsnių sudėtis lemia to paties tipo dėsnį (skiriasi tik šio dėsnio parametrai). 9.7 poskyryje parodysime, kad normalus dėsnis turi tą pačią stabilumo savybę.

Sprendimų priėmėjas gali pasinaudoti draudimu, kad sumažintų tam tikrų rūšių atsitiktinių įvykių neigiamą finansinį poveikį.

Tačiau šis svarstymas yra labai bendras, nes sprendimus priimantis asmuo gali reikšti asmenį, ieškantį apsaugos nuo žalos turtui, santaupoms ar pajamoms, arba organizaciją, siekiančią apsisaugoti nuo tos pačios rūšies žalos.

Tiesą sakant, tokia organizacija gali pasirodyti Draudimo bendrovė, kuri ieško būdų apsisaugoti nuo finansinių nuostolių dėl per daug draudimo išmokų, patiriamų individualiam klientui ar jo draudimo portfeliui. Šis apsaugos tipas vadinamas perdraudimas.

Panagrinėkime vieną iš dviejų modelių (būtent individualus rizikos modelis) plačiai naudojamas nustatant draudimo įkainius ir rezervus, taip pat perdraudime.

Pažymėkime pagal S draudimo bendrovės netyčinių nuostolių suma už tam tikrą jos rizikos dalį. Tokiu atveju S yra atsitiktinis dydis, kurio tikimybių skirstinį turime nustatyti. Istoriškai už platinimus r.v. S buvo du postulatų rinkiniai. Individualus rizikos modelis lemia S tokiu būdu:

kur r.v. numeriu pažymėto draudimo objekto padarytus nuostolius aš, A nžymi bendrą draudimo objektų skaičių.

Paprastai daroma prielaida, kad tai yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, nes tokiu atveju matematiniai skaičiavimai yra paprastesni ir informacijos apie jų tarpusavio ryšio pobūdį nereikia. Antrasis modelis yra kolektyvinės rizikos modelis.

Nagrinėjamas individualios rizikos modelis neatspindi pinigų vertės pokyčių laikui bėgant. Tai daroma siekiant supaprastinti modelį, todėl straipsnio pavadinimas nurodo trumpą laiko intervalą.

Laikysime tik uždarus modelius, t.y. tie, kuriuose draudimo objektų skaičius n formulėje (1.1) yra žinomas ir fiksuotas pačioje nagrinėjamo laiko intervalo pradžioje. Jei pateikiame prielaidas dėl migracijos iš draudimo sistemos arba į ją, gauname atvirą modelį.

Atsitiktiniai kintamieji, apibūdinantys atskirus mokėjimus

Pirmiausia prisiminkime pagrindines gyvybės draudimo nuostatas.

Drausdamas mirties atveju vienerių metų laikotarpiui, draudikas įsipareigoja sumokėti sumą b, jei draudėjas miršta per metus nuo draudimo sutarties sudarymo dienos, ir nieko nemoka, jei draudėjas gyvena š.m.

Atsiradimo tikimybė draudiminis įvykis per tam tikrus metus žymimas .

Atsitiktinis kintamasis aprašomas draudimo išmokos, turi pasiskirstymą, kurį galima nurodyti tikimybių funkcija

(2.1)

arba atitinkama paskirstymo funkcija

(2.2)

Iš (2.1) formulės ir momentų apibrėžimo gauname

(2.4)

Šias formules galima gauti ir rašant X kaip

kur yra pastovi vertė, mokama mirties atveju, ir yra atsitiktinis dydis, kurio reikšmė yra 1 mirties atveju ir 0 kitu atveju.

Taigi, ir , o r.v vidurkis ir dispersija. yra lygūs ir atitinkamai, o r.v vidutinė vertė ir dispersija. yra lygūs ir , o tai sutampa su aukščiau parašytomis formulėmis.

Aktuariniuose modeliuose plačiai naudojamas atsitiktinis dydis su verčių diapazonu (0,1).

Tikimybių teorijos vadovėliuose ji vadinama indikatorius, Bernoulli atsitiktinis dydis arba binominis atsitiktinis dydis viename bandomajame projekte.

Mes jai paskambinsime indikatorius dėl trumpumo, taip pat dėl ​​to, kad tai rodo atitinkamo įvykio įvykį arba neįvykimą.

Pereikime prie paieškos daugiau bendrieji modeliai, kuriame draudimo įmokos dydis taip pat yra atsitiktinis dydis ir nagrinėjamu laiko intervalu gali įvykti keli draudiminiai įvykiai.

Sveikatos draudimas, automobilių ir kito turto draudimas bei draudimas civilinė atsakomybė iš karto pateikite daug pavyzdžių. Apibendrindami formulę (2.5), įdedame

kur yra atsitiktinis dydis, apibūdinantis draudimo išmokas per nagrinėjamą laiko intervalą, r.v. žymi bendrą šio intervalo mokėjimų sumą ir r.v. yra įvykio, kai įvyko bent vienas draudiminis įvykis, rodiklis.

Būdamas tokio įvykio rodikliu, r.v. registruoja buvimą () arba trūkumas () draudžiamieji įvykiai šiame laiko intervale, bet ne draudžiamųjų įvykių skaičius jame.

Tikimybė vis tiek bus pažymėta .

Aptarkime kelis pavyzdžius ir nustatykime atsitiktinių dydžių pasiskirstymą tam tikrame modelyje.

Pirmiausia pagalvokime apie draudimą nuo mirties vienerių metų laikotarpiui su papildoma išmoka, jei mirtis įvyktų dėl nelaimingo atsitikimo.

Norėdami įsitikinti, tarkime, kad jei mirtis įvyko dėl nelaimingo atsitikimo, mokėjimo suma bus 50 000. Jei mirtis įvyksta dėl kitų priežasčių, mokėjimo suma bus 25 000.

Tarkime, kad tam tikro amžiaus, sveikatos būklės ir profesijos asmeniui tikimybė mirti dėl nelaimingo atsitikimo per metus yra 0,0005, o mirties nuo kitų priežasčių tikimybė yra 0,0020. Pagal formulę tai atrodo taip:

Susumavus visas įmanomas vertes, gauname

,

Sąlyginis paskirstymas c. V. su sąlyga, kad ji turi formą

Dabar pasvarstykime apie draudimą nuo susidūrimo (automobilio savininkui išmokama kompensacija už jo automobilio apgadinimą) su besąlygine franšizija 250, o maksimali išmoka – 2000.

Aiškumo dėlei tarkime, kad vieno draudiminio įvykio tikimybė per nagrinėjamą laikotarpį asmeniui yra 0,15, o daugiau nei vieno susidūrimo tikimybė lygi nuliui:

, .

Nereali prielaida, kad per vieną laikotarpį negali įvykti daugiau nei vienas draudiminis įvykis, daroma siekiant supaprastinti r.v. .

Atsisakome šios prielaidos kitame skyriuje, kai pažvelgsime į kelių pretenzijų pasiskirstymą.

Kadangi tai yra draudiko įmokų suma, o ne automobiliui padaryta žala, galime atsižvelgti į dvi charakteristikas ir .

Pirma, įvykis apima tuos susidūrimus, kurių metu padaryta žala yra mažesnė už besąlyginę išskaitą, kuri yra 250.

Antra, platinant r.v. taške turės tikimybinės masės „gumbelį“. maksimalus dydis draudimo įmokų, kuri yra lygi 2000 m.

Tarkime, kad šiame taške sukoncentruota tikimybė masė yra 0,1. Darykime prielaidą, kad draudimo išmokų vertė intervale nuo 0 iki 2000 gali būti modeliuojama ištisiniu skirstiniu su tankio funkcija, proporcinga (Praktikoje ištisinė kreivė, kuri pasirenkama parodyti draudimo išmokų pasiskirstymą, yra ankstesnio laikotarpio išmokų lygio tyrimų rezultatas.)

Apibendrinant šias prielaidas apie sąlyginį r.v. su sąlyga , gauname mišraus tipo pasiskirstymą, kurio teigiamas tankis yra intervale nuo 0 iki 2000 ir tam tikras tikimybinės masės „gumbelis“ taške 2000. Tai iliustruoja grafikas Fig. 2.2.1.

Šio sąlyginio skirstinio paskirstymo funkcija atrodo taip:

2.1 pav. Paskirstymo funkcija r.v. Esant sąlygai I = 1

Paskaičiuokime tikėtina vertė ir mūsų automobilio draudimo pavyzdžio dispersija dviem būdais.

Pirmiausia išrašome paskirstymą r.v. ir naudokite jį apskaičiuoti ir . Pasiskirstymo funkcija žymimas r.v. , mes turime

Dėl x<0

Tai mišrus paskirstymas. Kaip parodyta pav. 2.2, jis turi ir diskrečiąją (tikimybinės masės „gumbelį“ taške 2000), ir ištisinę dalį. Tokia pasiskirstymo funkcija atitinka tikimybės funkcijos derinį

Ryžiai. 2.2. Paskirstymo funkcija r.v. X = IB

ir tankio funkcijos

Visų pirma, ir . Štai kodėl .

Yra daugybė formulių, jungiančių atsitiktinių dydžių momentus su sąlyginiais matematiniais lūkesčiais. Dėl matematinių lūkesčių ir dispersijos šios formulės turi formą

(2.10)

(2.11)

Suprantama, kad šių lygčių kairėje pusėje esančios išraiškos apskaičiuojamos tiesiogiai iš Rv skirstinio. . Skaičiuojant išraiškas dešinėse pusėse, būtent ir, naudojamas sąlyginis r.v. fiksuota r.v verte. .

Taigi šios išraiškos yra r.v funkcijos. , o jų momentus galime apskaičiuoti naudodami r.v. pasiskirstymą. .

Sąlyginiai skirstiniai naudojami daugelyje aktuarinių modelių, todėl aukščiau pateiktas formules galima taikyti tiesiogiai. Mūsų modelyje. Atsižvelgiant į r.v. kokybe ir r.v. kaip , mes gauname

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

ir apsvarstykite sąlyginius matematinius lūkesčius

(2.16)

(2.17)

Formulės (2.16) ir (2.17) apibrėžiamos kaip r.v funkcija. , kurią galima parašyti tokia formule:

Nuo , tada (2.21)

Nes mes turime ir (2.22)

Formules (2.21) ir (2.22) galima sujungti: (2.23)

Taigi (2.24)

Pakeitę (2.21), (2.20) ir (2.24) į (2.12) ir (2.13), gauname

Gautas formules pritaikykime skaičiavimams automobilio draudimo pavyzdyje (2.2 pav.). Kadangi tankio funkcija r.v. Pateikta sąlyga išreiškiama formule

ir P(B=2000|I=1)= 0,1, mes turime

Pagaliau tikėjimas q= 0,15, iš (2,25) ir (2,26) formulių gauname tokias lygybes:

Norėdami apibūdinti kitokią draudimo situaciją, galime pasiūlyti kitus r.v. modelius. .

Pavyzdys: žuvusiųjų dėl aviacijos avarijų skaičiaus modelis

Kaip pavyzdį apsvarstykite aviacijos avarijų mirčių skaičiaus modelį per vienerių metų oro linijų veiklos laikotarpį.

Galime pradėti nuo atsitiktinio dydžio, apibūdinančio mirčių skaičių vienam skrydžiui, o tada tokius atsitiktinius dydžius susumuoti per visus metų skrydžius.

Vieno skrydžio atveju įvykis nurodys lėktuvo katastrofą. Žuvusiųjų dėl šios nelaimės skaičius bus pavaizduotas dviejų atsitiktinių dydžių sandauga, kur yra orlaivio apkrovos koeficientas, t. y. žmonių skaičius lėktuve avarijos metu ir žuvusiųjų dalis tarp tų laive.

Mirčių skaičius pateikiamas tokiu būdu, nes atskira kiekių statistika ir yra prieinamesnė nei r.v. . Taigi, nors tikėtina, kad žuvusiųjų dalis tarp laive esančių asmenų ir laive esančių asmenų yra susiję, pirmiausia galima daryti prielaidą, kad r.v. ir nepriklausomas.

Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos

Individualios rizikos modelyje draudimo bendrovės atliekamos draudimo išmokos vaizduojamos kaip išmokų daugeliui asmenų suma.

Prisiminkime du nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos skirstinio nustatymo metodus. Pirmiausia panagrinėkime dviejų atsitiktinių dydžių sumą, kurių imties erdvė parodyta fig. 3.1.

Ryžiai. 2.3.1. Renginys

Tiesi linija ir plotas po tiesia linija reiškia įvykį. Todėl r.v. paskirstymo funkcija S turi formą (3.1)

Dviem diskretiesiems neneigiamiems atsitiktiniams dydžiams galime naudoti bendrosios tikimybės formulę ir įrašyti (3.1) formoje

Jeigu X Ir Y nepriklausomas, paskutinę sumą galima perrašyti kaip

(3.3)

Šią pasiskirstymo funkciją atitinkančią tikimybių funkciją galima rasti naudojant formulę

(3.4)

Ištisiniams neneigiamiems atsitiktiniams dydžiams formulės, atitinkančios (3.2), (3.3) ir (3.4) formules, turi tokią formą

Kai vienas arba abu atsitiktiniai dydžiai X Ir Y turi mišrų pasiskirstymą (tai būdinga atskiriems rizikos modeliams), formulės panašios, bet sudėtingesnės. Atsitiktinių dydžių, kurie taip pat gali turėti neigiamas reikšmes, sumos ir integralai pirmiau pateiktose formulėse perimamos visos y reikšmės nuo iki .

Tikimybių teorijoje veiksmas (3.3) ir (3.6) formulėse vadinamas dviejų pasiskirstymo funkcijų konvoliucija ir ir žymimas . Konvoliucijos operacija taip pat gali būti apibrėžta tikimybės funkcijų arba tankio funkcijų porai naudojant (3.4) ir (3.7) formules.

Norėdami nustatyti daugiau nei dviejų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymą, galime naudoti konvoliucijos proceso iteracijas. Dėl , kur yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, žymi r.v. pasiskirstymo funkciją ir yra r.v. pasiskirstymo funkcija. , sulauksime

3.1 pavyzdys iliustruoja šią procedūrą trims atskiriems atsitiktiniams dydžiams.

3.1 pavyzdys. Atsitiktiniai dydžiai , , ir yra nepriklausomi ir jų skirstiniai nustatomi pagal toliau pateiktos lentelės (1), (2) ir (3) stulpelius.

Užrašykime tikimybės funkciją ir R.v. pasiskirstymo funkciją.

Sprendimas. Lentelėje naudojamas prieš pavyzdį įvestas žymėjimas:

1–3 stulpeliuose pateikiama turima informacija.

Stulpelis (4) gaunamas iš (1) ir (2) stulpelių naudojant (3.4).

Stulpelis (5) gaunamas iš (3) ir (4) stulpelių, naudojant (3.4).

5 stulpelio apibrėžimas užbaigia r.v tikimybės funkcijos nustatymą. . Jo paskirstymo funkcija (8) stulpelyje yra 5 stulpelio dalinių sumų rinkinys, pradedant nuo viršaus.

Aiškumo dėlei įtraukėme (6) stulpelį, (1), (7) stulpelio paskirstymo funkciją, kurią galima gauti tiesiogiai iš (1) ir (6) stulpelių naudojant (2.3.3), ir stulpelį (8). ), panašiai apibrėžta 3 ir 7 stulpeliams. Stulpelį (5) galima nustatyti iš (8) stulpelio nuosekliai atimant.

Pereikime prie dviejų pavyzdžių su nuolatiniais atsitiktiniais dydžiais.

3.2 pavyzdys. Tegul r.v. turi tolygų pasiskirstymą intervale (0,2), ir tegul r.v. nepriklauso nuo r.v. ir turi tolygų pasiskirstymą per intervalą (0,3). Apibrėžkime r.v. pasiskirstymo funkciją.

Sprendimas. Kadangi platinimai r.v. ir tęstinis, naudojame formulę (3.6):

Tada

Pavyzdinė erdvė r.v. ir yra iliustruotas fig. 3.2. Stačiakampėje srityje yra visos galimos poros ir reikšmės. Mus dominantis įvykis, , pavaizduotas paveiksle su penkiomis reikšmėmis s.

Kiekvienai vertei tiesi linija kerta ašį Y taške s ir tiesi taške . Šių penkių atvejų funkcijos reikšmės apibūdinamos šia formule:

Ryžiai. 3.2. Dviejų vienodų skirstinių konvoliucija

3.3 pavyzdys. Panagrinėkime tris nepriklausomus r.v. . Dėl r.v. turi eksponentinį pasiskirstymą ir . Raskime Rv tankio funkciją. , naudojant konvoliucijos operaciją.

Sprendimas. Mes turime

Naudodami (3.7) formulę tris kartus, gauname

Kitas nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo nustatymo metodas yra pagrįstas momentų generavimo funkcijos unikalumu, kuris r.v. yra nulemtas santykio .

Jei šis matematinis lūkestis yra baigtinis visiems t iš kurio nors atviro intervalo, kuriame yra kilmė, tada yra vienintelė r.v. pasiskirstymo momentų generavimo funkcija. ta prasme, kad nėra kitos funkcijos, išskyrus , kuri būtų r.v. pasiskirstymo momentų generavimo funkcija. .

Šį unikalumą galima panaudoti taip: sumai

Jei nepriklausomas, tada (3.8) formulės sandaugos matematinis lūkestis yra lygus ..., Taigi

Radus aiškią vienintelio skirstinio, atitinkančio momento generavimo funkciją (3.9), išraišką, būtų baigtas r.v. skirstinio radimas. . Jei neįmanoma to aiškiai nurodyti, galite jo ieškoti skaitiniais metodais.

3.4 pavyzdys. Panagrinėkime atsitiktinius dydžius iš 3.3 pavyzdžio. Apibrėžkime Rv tankio funkciją. , naudojant momentų generavimo funkciją r.v. .

Sprendimas. Pagal lygybę (3.9), kurią galima parašyti formoje naudojant skaidymo į paprastas trupmenas metodą. Sprendimas yra . Bet ar eksponentinio skirstinio momentų generavimo funkcija su parametru, taigi r.v tankio funkcija. atrodo kaip

3.5 pavyzdys. Tiriant atsitiktinius procesus, buvo įvestas atvirkštinis Gauso skirstinys. Jis naudojamas kaip r.v. paskirstymas. IN, draudimo įmokų suma. Atvirkštinio Gauso skirstinio momentų tankio funkcija ir generavimo funkcija pateikiamos formulėmis

Raskime r.v pasiskirstymą. , kur r.v. yra nepriklausomi ir turi tokius pat atvirkštinius Gauso skirstinius.

Sprendimas. Naudodami (3.9) formulę, gauname tokią r.v momentų generavimo funkcijos išraišką. :

Momentų generavimo funkcija atitinka unikalų skirstinį, ir mes galime patikrinti, ar jis turi atvirkštinį Gauso skirstinį su parametrais ir .

Sumos paskirstymo aproksimacijos

Centrinė ribinė teorema pateikia metodą, kaip rasti nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo skaitines reikšmes. Paprastai ši teorema formuluojama nepriklausomų ir vienodai paskirstytų atsitiktinių dydžių sumai, kur .

Bet kurio n atveju R.v. pasiskirstymas kur = , matematinė tikėtis 0 ir dispersija 1. Kaip žinoma, tokių skirstinių seka (už n= 1, 2, ...) yra linkęs į standartinį normalųjį skirstinį. Kada n Iš esmės ši teorema taikoma apytiksliai r.v pasiskirstymui. normalusis skirstinys su vidurkiu μ ir dispersija. Panašiai ir sumos paskirstymas n atsitiktiniai dydžiai aproksimuojami normaliuoju skirstiniu su vidurkiu ir dispersija.

Tokio aproksimavimo efektyvumas priklauso ne tik nuo terminų skaičiaus, bet ir nuo terminų skirstinio artumo normaliajam. Daugelis pradinės statistikos kursų rodo, kad n turi būti bent 30, kad aproksimacija būtų pagrįsta.

Tačiau viena iš normaliai paskirstytų atsitiktinių dydžių generavimo programų, naudojamų modeliuojant, realizuoja normalųjį atsitiktinį dydį kaip 12 nepriklausomų atsitiktinių dydžių, tolygiai paskirstytų per intervalą (0,1), vidurkį.

Daugelyje atskirų rizikos modelių atsitiktiniai dydžiai, įtraukti į sumas, nėra pasiskirstę tolygiai. Tai bus iliustruota pavyzdžiais kitame skyriuje.

Centrinė ribinė teorema taip pat taikoma netolygiai paskirstytų atsitiktinių dydžių sekoms.

Norėdami iliustruoti kai kuriuos individualaus rizikos modelio pritaikymus, skaitiniams sprendimams gauti naudojame nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo įprastą aproksimaciją. Jeigu , Tai

ir toliau, jei r.v. tada yra nepriklausomi

Aptariamai programai mums reikia tik:

• rasti atsitiktinių dydžių, modeliuojančių individualius nuostolius, vidurkius ir dispersijas,
• juos susumavus, kad būtų gautas visos draudimo bendrovės nuostolių vidurkis ir dispersija,
• naudokite įprastą aproksimaciją.

Žemiau iliustruojame šią veiksmų seką.

Paraiškos draudimui

Šiame skyriuje keturiais pavyzdžiais iliustruojamas normalaus aproksimavimo naudojimas.

5.1 pavyzdys. Gyvybės draudimo bendrovė asmenims, kurių mirties tikimybė yra 0,02 arba 0,01, siūlo vienerių metų mirties draudimo polisą su 1 ir 2 vienetų išmokėjimu. Žemiau esančioje lentelėje parodytas asmenų skaičius nk kiekvienoje iš keturių klasių, suformuotų pagal mokėjimą b k ir draudžiamojo įvykio tikimybę qk:

Draudimo bendrovė iš šios 1800 asmenų grupės nori išieškoti sumą, lygią visos šios grupės draudimo išmokų pasiskirstymo 95 procentilei. Be to, ji nori, kad kiekvienam asmeniui tenkanti šios sumos dalis būtų proporcinga asmens numatomai draudimo išmokai.

Skaičius turinčio asmens, kurio vidutinė išmoka yra lygi, dalis turėtų būti . Iš 95 procentilio reikalavimo matyti, kad . Pertekliaus suma, , yra rizikos premija ir vadinama santykine rizikos premija. Paskaičiuokime.

Sprendimas. Vertė nustatoma pagal ryšį = 0,95, kur S = X 1 + X 2 + ... + X 1800.Šis tikimybių teiginys yra lygiavertis:

Pagal tai, kas buvo pasakyta apie centrinės ribos teoremą sekcijoje. 4, mes apytiksliai apskaičiuojame Rv pasiskirstymą. standartinį normalųjį skirstinį ir naudokite jo 95 procentilį, iš kurio gauname:

Dėl keturių klasių, į kurias suskirstyti draudėjai, gauname šiuos rezultatus:

Taigi,

Todėl santykinė rizikos premija yra

5.2 pavyzdys. Automobilių draudimo bendrovės klientai skirstomi į dvi klases:

Sutrumpintas eksponentinis skirstinys apibrėžiamas pasiskirstymo funkcija

Tai mišraus tipo pasiskirstymas su tankio funkcija , o tikimybinės masės „gumstas“ taške L. Šios pasiskirstymo funkcijos grafikas parodytas 5.1 pav.

Ryžiai. 5.1. Sutrumpintas eksponentinis skirstinys

Kaip ir anksčiau, tikimybė, kad bendra draudimo įmokų suma viršys iš draudėjų išieškotą sumą, turėtų būti lygi 0,05. Darysime prielaidą, kad santykinė rizikos premija turėtų būti vienoda kiekvienoje iš dviejų nagrinėjamų klasių. Paskaičiuokime.

Sprendimas.Šis pavyzdys labai panašus į ankstesnį. Vienintelis skirtumas yra tas, kad draudimo išmokų sumos dabar yra atsitiktiniai dydžiai.

Pirmiausia gauname sutrumpinto eksponentinio skirstinio momentų išraiškas. Tai bus paruošiamasis veiksmas taikant (2.25) ir (2.26) formules:

Naudodami sąlygoje pateiktas parametrų reikšmes ir taikydami formules (2.25) ir (2.26), gauname tokius rezultatus:

Taigi, S, bendra draudimo įmokų suma, turi momentų

Apibrėžimo sąlyga išlieka tokia pati kaip ir 5.1 pavyzdyje, būtent,

Dar kartą naudodamiesi normaliojo skirstinio aproksimacija, gauname

5.3 pavyzdys. Draudimo bendrovės portfelyje yra 16 000 draudimo nuo mirties sutarčių vienerių metų laikotarpiui pagal šią lentelę:

Draudžiamojo įvykio q tikimybė kiekvienam iš 16 000 klientų (laikoma, kad šie įvykiai yra vienas nuo kito nepriklausomi) yra 0,02. Bendrovė nori nustatyti savo išlaikymo rodiklį. Kiekvienam draudėjui nuosavo išlaikymo lygis yra vertė, žemiau kurios ši įmonė (perdraudėjas) moka savarankiškai, o šią vertę viršijantys mokėjimai pagal perdraudimo sutartį yra apdrausti kitos įmonės (perdraudiko).

Pavyzdžiui, jei franšizės lygis yra 200 000, tai įmonė pasilieka iki 20 000 draudimą kiekvienam draudėjui ir perka perdraudimą skirtumui tarp draudimo išmokos ir 20 000 sumos padengti kiekvienam iš 4 500 draudėjų, kurių draudimo išmokos viršija draudimo išmoką. 20 000 .

Kaip sprendimo kriterijų įmonė pasirenka iki minimumo sumažinti tikimybę, kad išlaikytos draudimo išmokos ir sumokėta suma už perdraudimą viršys 8 250 000. Perdraudimo išlaidos 0,025 už draudimo vienetą (t. y. 125 % numatomos draudimo išmokų sumos vienam vienetui yra 0,02).

Manome, kad svarstomas portfelis yra uždarytas: per einamuosius metus sudarytos naujos draudimo sutartys nebus įtrauktos į aprašytą sprendimų priėmimo procesą.

Dalinis sprendimas. Pirmiausia atlikime visus skaičiavimus, mokėjimo vienetu pasirinkdami 10 000. Pavyzdžiui, tarkime, kad c. V. S yra mokėjimų suma, likusi iš savo atskaitymo, turi tokią formą:

Iš šių draudimo įmokų, likusių iš savo atskaitymo, S, pridedama perdraudimo įmokų suma. Iš viso bendra draudimo suma pagal šią schemą yra

Iš savo atskaitymo likusi suma lygi

Taigi bendra perdraudimo vertė yra 35 000-24 000 = 11 000, o perdraudimo kaina yra

Tai reiškia, kad išskaitymo lygis lygus 2, išskaičiuojant likusias draudimo išmokas ir perdraudimo išlaidas sudaro . Sprendimo kriterijus grindžiamas tikimybe, kad ši suma viršys 825,

Naudodamiesi normaliuoju skirstiniu, mes nustatome, kad ši reikšmė yra maždaug 0,0062.

Vidutinės draudimo išmokų vertės už viršyto nuostolių draudimą, kaip vieną iš perdraudimo rūšių, gali būti apytikslės, naudojant įprastą pasiskirstymą kaip visų draudimo išmokų pasiskirstymą.

Tegul visos draudimo išmokos X turi normalųjį pasiskirstymą su vidurkiu ir dispersija

5.4 pavyzdys. Panagrinėkime draudimo portfelį, kaip parodyta 5.3 pavyzdyje. Raskime matematinį draudimo įmokų sumos lūkestį pagal perviršio draudimo sutartį, jei

a) nėra individualaus perdraudimo, o besąlyginė franšizė yra 7 500 000

(b) individualioms draudimo sutartims nustatyta 20 000 nuosavos išskaitos suma, o portfelio besąlyginės išskaitos suma yra 5 300 000 eurų.

Sprendimas.

a) nesant individualaus perdraudimo ir pereinant prie 10 000 kaip piniginio vieneto

taikant formulę (5.2) gaunama

o tai sudaro 43 770 originalių vienetų.

(b) 5.3 pavyzdyje mes gavome visų įmokų vidurkį ir dispersiją, kai individualus atskaitomas lygis yra 20 000, kad būtų atitinkamai 480 ir 784, naudojant 10 000 kaip vienetą. Taigi =28.

taikant formulę (5.2) gaunama

kuri sudaro 4140 pradiniais vienetais.

Tegul yra dviejų atsitiktinių dydžių sistema X Ir Y, kurių bendras pasiskirstymas žinomas. Užduotis – rasti atsitiktinio dydžio skirstinį. Pavyzdžiui, SV Z galite atnešti pelno iš dviejų įmonių; rinkėjų iš dviejų skirtingų rinkimų apylinkių, balsavusių tam tikru būdu, skaičius; dviejų kauliukų taškų suma.

1. Dviejų DSV atvejis. Nepriklausomai nuo to, kokias reikšmes turi diskretieji SV (baigtinės dešimtainės trupmenos pavidalu, su skirtingais žingsniais), situaciją beveik visada galima sumažinti iki sekančio ypatingo atvejo. Kiekiai X Ir Y gali imti tik sveikąsias reikšmes, t.y. Kur . Jei iš pradžių tai buvo dešimtainės trupmenos, tada jas galima paversti sveikaisiais skaičiais padauginus iš 10 k. O trūkstamoms reikšmėms tarp maksimumų ir minimumų gali būti priskirta nulinė tikimybė. Tegu žinomas bendras tikimybių skirstinys. Tada, jei sunumeruosime matricos eilutes ir stulpelius pagal taisykles: , tada sumos tikimybė yra:

Matricos elementai pridedami išilgai vienos iš įstrižainių.

2. Dviejų NSV atvejis. Tegul jungties pasiskirstymo tankis yra žinomas. Tada sumos pasiskirstymo tankis:

Jeigu X Ir Y nepriklausomas, t.y. , Tai

1 pavyzdys. X, Y– nepriklausomi, tolygiai paskirstyti SV:

Raskime atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankį.

Tai akivaizdu ,

NE Z gali priimti vertes intervale ( c+d; a+b), bet ne visiems x. Už šio intervalo ribų. Koordinačių plokštumoje ( x, z) galimų kiekio verčių diapazonas z yra lygiagretainis su kraštinėmis x=Su; x=a; z=x+d; z=x+b. Integracijos ribų formulėje bus c Ir a. Tačiau dėl to, kad keičiamas y=z-x, kai kurioms vertybėms z funkcija . Pavyzdžiui, jei c , tada kada z=x+c ir bet koks x turėsiu: . Todėl integralas turėtų būti skaičiuojamas atskirai skirtingoms vertės kitimo sritims z, kurių kiekvienoje integracijos ribos bus skirtingos, tačiau visų akivaizdoje x Ir z. Padarykime tai ypatingu atveju, kai a+d< b+c . Panagrinėkime tris skirtingas vertės kitimo sritis z ir kiekvienam iš jų randame .