Kaip išspręsti ekstremalių taškų lygtis. Kaip rasti funkcijos ekstremumą (minimalų ir maksimalų tašką). Mažėja funkcijos apibrėžimas

Iškviečiama funkcija y = f(x). didėja (silpsta) tam tikru intervalu, jei x 1< x 2 выполняется неравенство(f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Jei atkarpoje diferencijuojama funkcija y = f(x) didėja (sumažėja), tai jos išvestinė šiame segmente f "(x) > 0, (f "(x)< 0).

Taškas xapie paskambino vietinis maksimalus taškas (minimumas) funkcijos f(x), jei yra taško kaimynystė x o, visuose taškuose, kurių nelygybė f(x) ≤ f(x o), (f(x) ≥f(x o)) yra teisinga.

Vadinami didžiausi ir mažiausi taškai ekstremalūs taškai, o funkcijos reikšmės šiuose taškuose yra jos ekstremalumas.

ekstremalūs taškai

Būtinos sąlygos ekstremumui. Jei taškas xapie yra funkcijos f (x) ekstremumo taškas, tada arba f "(x o) \u003d 0, arba f (x o) neegzistuoja. Tokie taškai vadinami kritiškas, kur pati funkcija apibrėžiama kritiniame taške. Funkcijos kraštutinumo reikia ieškoti tarp jos kritinių taškų.

Pirma pakankama sąlyga. Leisti xapie- kritinis taškas. Jei f "(x), kai eina per tašką xapie pakeičia pliuso ženklą į minusą, tada taške x o funkcija turi maksimumą, kitu atveju turi minimumą. Jei išvestinė nekeičia ženklo, eidama per kritinį tašką, tai taške xapie nėra ekstremumo.

Antra pakankama sąlyga. Tegul funkcija f(x) turi f " (x) taško kaimynystėje xapie o antroji išvestinė f "" (x 0) pačiame taške x o. Jei f "(x o) \u003d 0, f "" (x 0)> 0, (f "" (x 0)<0), то точкаx o yra funkcijos f(x) lokalus minimumas (maksimalus) taškas. Jei f "" (x 0) = 0, tuomet turite naudoti pirmąją pakankamą sąlygą arba įtraukti aukštesnes.

Atkarpoje funkcija y =f(x) gali pasiekti mažiausią arba didžiausią reikšmę kritiniuose taškuose arba atkarpos galuose.

3.22 pavyzdys. Raskite funkcijos f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ekstremalumą.

Sprendimas. Kadangi f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), tada kritiniai funkcijos taškai x 1 \u003d 2 ir x 2 \u003d 3. Kraštutiniai taškai gali būti būti tik šiuose taškuose. Taigi, kai eina per tašką x 1 \u003d 2, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, tai šiuo metu funkcija turi maksimumą. Einant per tašką x 2 \u003d 3, išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą, todėl taške x 2 \u003d 3 funkcija turi minimumą. Apskaičiavę funkcijos reikšmes taškuose x 1 = 2 ir x 2 = 3, randame funkcijos ekstremumai: maksimalus f (2) = 14 ir minimalus f (3) = 13.

Funkcijos ekstremumo radimo užduotys

3.23 pavyzdys.a

Sprendimas. x ir y. Svetainės plotas lygus S =xy. Leisti y yra kraštinės, esančios greta sienos, ilgis. Tada pagal sąlygą lygybė 2x + y = a turi galioti. Todėl y = a - 2x ir S =x(a - 2x), kur 0 ≤x ≤a/2 (trinkelės ilgis ir plotis negali būti neigiami). S " = a - 4x, a - 4x = 0, jei x = a/4, iš kur y = a - 2×a/4 = a/2. Kadangi x = a/4 yra vienintelis kritinis taškas, patikrinkite, ar ženklas keičia išvestinę, kai praeiname per šį tašką, kai x< a/4, S " >0, o jei x > a/4, S "< 0, значит, в точке x = a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24 pavyzdys.

Sprendimas.
R = 2, H = 16/4 = 4.

3.22 pavyzdys. Raskite funkcijos f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ekstremalumą.

Sprendimas. Kadangi f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), tada kritiniai funkcijos taškai x 1 \u003d 2 ir x 2 \u003d 3. Kraštutiniai taškai gali būti būti tik šiuose taškuose. Taigi, kai eina per tašką x 1 \u003d 2, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, tai šiuo metu funkcija turi maksimumą. Einant per tašką x 2 \u003d 3, išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą, todėl taške x 2 \u003d 3 funkcija turi minimumą. Apskaičiavę funkcijos reikšmes taškuose x 1 = 2 ir x 2 = 3, randame funkcijos ekstremumai: maksimalus f (2) = 14 ir minimalus f (3) = 13.

3.23 pavyzdys. Prie akmeninės sienos būtina pastatyti stačiakampį plotą, kad ji iš trijų pusių būtų aptverta vielos tinkleliu, o iš ketvirtos pusės priglustų prie sienos. Tam yra a tinklelio linijiniai metrai. Kokiu formatu svetainė turės didžiausią plotą?

Sprendimas. Pažymėkite svetainės puses per x ir y. Svetainės plotas S = xy. Leisti y yra kraštinės, esančios greta sienos, ilgis. Tada pagal sąlygą lygybė 2x + y = a turi galioti. Todėl y = a - 2x ir S = x(a - 2x), kur
0 ≤x ≤a/2 (svetainės ilgis ir plotis negali būti neigiami). S "= a - 4x, a - 4x = 0, jei x = a/4, iš kur
y = a - 2a/4 = a/2. Kadangi x = a/4 yra vienintelis kritinis taškas, patikrinkime, ar pereinant per šį tašką keičiasi išvestinės ženklas. Prie x< a/4, S " >0, o x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24 pavyzdys. Reikia pagaminti uždarą cilindrinę talpą V=16p ≈ 50 m 3 . Kokie turi būti bako išmatavimai (spindulys R ir aukštis H), kad jo gamybai būtų sunaudojama kuo mažiau medžiagų?

Sprendimas. Bendras cilindro paviršiaus plotas yra S = 2pR(R+H). Žinome cilindro tūrį V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Vadinasi, S(R) = 2p(R2 +16/R). Mes randame šios funkcijos išvestinę:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 R 3 \u003d 8, todėl
R = 2, H = 16/4 = 4.

Apsvarstykite du gerai žinomo pjūklo profilio dantis. Ašį nukreipkime išilgai plokščiosios pjūklo pusės, o ašį – statmenai jai. Gaukime tam tikros funkcijos grafiką, parodytą Fig. vienas.

Visiškai akivaizdu, kad tiek taške, tiek taške funkcijos reikšmės yra didžiausios, palyginti su reikšmėmis gretimuose taškuose dešinėje ir kairėje, o taške - mažiausias, palyginti su kaimyniniais taškais. Taškai vadinami funkcijos ekstremumo taškais (iš lotyniško ekstremumo - „ekstremumas“), taškai ir yra didžiausi taškai, o taškas yra mažiausias taškas (iš lotyniško maksimumo ir minimumo - „didžiausias“ ir „mažiausias“ “).

Patikslinkime ekstremumo apibrėžimą.

Teigiama, kad funkcija taške turi maksimumą, jei yra intervalas, kuriame yra taškas ir kuris priklauso funkcijos sričiai, todėl visiems šio intervalo taškams ji pasirodo esanti . Atitinkamai, funkcija taške turi minimumą, jei sąlyga tenkinama visuose tam tikro intervalo taškuose.

Ant pav. 2 ir 3 paveiksluose pavaizduoti funkcijų, kurių taške yra ekstremumas, grafikai.

Atkreipkime dėmesį į tai, kad pagal apibrėžimą ekstremumo taškas turi būti funkcijos nustatymo intervale, o ne jo gale. Todėl funkcijai, parodytai Fig. 1, negalima daryti prielaidos, kad taške jis turi minimumą.

Jei šiame funkcijos maksimumo (minimalumo) apibrėžime griežtą nelygybę pakeisime negriežta , tada gauname negriežto maksimumo (negriežto minimumo) apibrėžimą. Apsvarstykite, pavyzdžiui, kalno viršūnės profilį (4 pav.). Kiekvienas plokščios srities taškas – atkarpa yra negriežtas maksimalus taškas.

Diferencialiniame skaičiavime ekstremalių funkcijos tyrimas yra labai efektyvus ir gana paprastai atliekamas naudojant išvestinę. Viena iš pagrindinių diferencialinio skaičiavimo teoremų, kuri nustato būtiną diferencialiosios funkcijos ekstremumo sąlygą, yra Ferma teorema (žr. Ferma teoremą). Tegul funkcija taške turi ekstremumą. Jei šiame taške yra išvestinė, tada ji lygi nuliui.

Geometrinėje kalboje Ferma teorema reiškia, kad ekstremumo taške funkcijos grafiko liestinė yra horizontali (5 pav.). Žinoma, atvirkštinis teiginys nėra teisingas, o tai rodo, pavyzdžiui, grafikas Fig. 6.

Teorema pavadinta prancūzų matematiko P. Ferma vardu, kuris vienas pirmųjų išsprendė daugybę ekstremalių uždavinių. Jis dar nedisponavo išvestinės sąvokos, tačiau tyrime naudojo metodą, kurio esmė išreikšta teoremos teiginyje.

Pakankama diferencijuojamos funkcijos ekstremumo sąlyga yra išvestinės ženklo pasikeitimas. Jeigu taške išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą, t.y. jo sumažėjimas pakeičiamas padidėjimu, tada taškas bus minimalus taškas. Priešingai, taškas bus maksimalus taškas, jei išvestinė pakeis ženklą iš pliuso į minusą, t.y. eina nuo kylančios iki mažėjančios.

Taškas, kuriame funkcijos išvestinė lygi nuliui, vadinamas stacionariuoju. Jei tiriama ekstremumo diferencijuojama funkcija, tuomet reikia rasti visus jo stacionarius taškus ir išvesties ženklus apžvelgti kairėje ir dešinėje nuo jų.

Mes tiriame ekstremumo funkciją.

Raskime jo išvestinę: .

Prieš mokantis rasti funkcijos ekstremumą, būtina suprasti, kas yra ekstremumas. Bendriausias ekstremumo apibrėžimas yra toks, kad tai yra mažiausia arba didžiausia funkcijos reikšmė, naudojama matematikoje tam tikroje skaičių eilutės ar grafiko rinkinyje. Toje vietoje, kur yra minimumas, atsiranda minimumo ekstremumas, o kur maksimumas – maksimumo ekstremumas. Taip pat tokioje disciplinoje kaip matematinė analizė išskiriami lokalūs funkcijos ekstremumai. Dabar pažiūrėkime, kaip rasti ekstremumus.

Matematikos kraštutinumai yra vienos iš svarbiausių funkcijos savybių, jos parodo didžiausią ir mažiausią jos reikšmę. Ekstremalai randami daugiausia kritiniuose rastų funkcijų taškuose. Verta paminėti, kad būtent ekstremaliame taške funkcija radikaliai pakeičia savo kryptį. Jei apskaičiuosime ekstremumo taško išvestinę, tai pagal apibrėžimą jis turi būti lygus nuliui arba jo visai nebus. Taigi, norėdami sužinoti, kaip rasti funkcijos ekstremumą, turite atlikti dvi nuoseklias užduotis:

• rasti funkcijos išvestinę, kurią reikia nustatyti pagal užduotį;
• raskite lygties šaknis.

Ekstremo radimo seka

1. Užrašykite pateiktą funkciją f(x). Raskite jos pirmosios eilės išvestinę f "(x). Gautą išraišką prilyginkite nuliui.
2. Dabar jūs turite išspręsti lygtį, kuri pasirodė. Gauti sprendiniai bus lygties šaknys, taip pat apibrėžiamos funkcijos kritiniai taškai.
3. Dabar nustatome, kurie kritiniai taškai (maksimalus ar minimumas) yra rastos šaknys. Kitas žingsnis, kai sužinojome, kaip rasti funkcijos ekstremumo taškus, yra rasti antrąją norimos funkcijos išvestinę f "(x). Reikės pakeisti rastų kritinių taškų reikšmes. į konkrečią nelygybę ir tada apskaičiuokite, kas atsitiks.Jei taip atsitiks, kad antroji išvestinė kritiniame taške pasirodys didesnė už nulį, tai bus minimalus taškas, o kitu atveju – maksimalus taškas.
4. Belieka apskaičiuoti pradinės funkcijos reikšmę reikiamame funkcijos maksimaliame ir minimaliame taške. Norėdami tai padaryti, gautas reikšmes pakeičiame funkcija ir apskaičiuojame. Tačiau reikia pažymėti, kad jei kritinis taškas pasirodė esantis maksimumas, tada ekstremumas bus maksimalus, o jei jis yra minimumas, tada pagal analogiją jis bus minimalus.

Algoritmas ieškant ekstremumo

Norėdami apibendrinti įgytas žinias, padarykite trumpą algoritmą, kaip rasti ekstremalių taškų.

1. Randame duotosios funkcijos sritį ir jos intervalus, kurie tiksliai nustato, kokiais intervalais funkcija yra tęstinė.
2. Randame funkcijos f "(x) išvestinę.
3. Apskaičiuojame lygties y = f (x) kritinius taškus.
4. Analizuojame funkcijos f (x) krypties pokyčius, taip pat išvestinės f "(x) ženklą, kur kritiniai taškai atskiria šios funkcijos apibrėžimo sritį.
5. Dabar nustatome, ar kiekvienas grafiko taškas yra maksimalus ar minimumas.
6. Funkcijos reikšmes randame tuose taškuose, kurie yra ekstremumai.
7. Fiksuojame šio tyrimo rezultatą – monotoniškumo ekstremumus ir intervalus. Tai viskas. Dabar mes svarstėme, kaip rasti ekstremumą bet kuriame intervale. Jei tam tikrame funkcijos intervale reikia rasti ekstremumą, tai daroma panašiai, būtinai atsižvelgiama tik į atliekamo tyrimo ribas.

Taigi, mes svarstėme, kaip rasti funkcijos kraštutinius taškus. Naudodami paprastus skaičiavimus, taip pat žiniomis apie išvestinių elementų radimą, galite rasti bet kurį ekstremumą ir jį apskaičiuoti, taip pat grafiškai pažymėti. Ieškoti kraštutinumų yra viena svarbiausių matematikos sekcijų tiek mokykloje, tiek aukštojoje mokykloje, todėl išmokus juos teisingai nustatyti, mokytis bus daug lengviau ir įdomiau.

Funkcijų kraštutinumai

2 apibrėžimas

Taškas $x_0$ vadinamas funkcijos $f(x)$ maksimumo tašku, jei yra šio taško kaimynystė, kad visiems $x$ iš šios apylinkės nelygybė $f(x)\le f(x_0 )$ patenkintas.

3 apibrėžimas

Taškas $x_0$ vadinamas funkcijos $f(x)$ maksimumo tašku, jei yra šio taško kaimynystė, kad visiems $x$ iš šios apylinkės nelygybė $f(x)\ge f(x_0 )$ patenkintas.

Funkcijos ekstremumo sąvoka glaudžiai susijusi su funkcijos kritinio taško samprata. Leiskite mums pristatyti jo apibrėžimą.

4 apibrėžimas

$x_0$ vadinamas kritiniu funkcijos $f(x)$ tašku, jei:

1) $x_0$ - vidinis apibrėžimo srities taškas;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ arba neegzistuoja.

Ekstremo sąvokai galima suformuluoti teoremas dėl pakankamų ir būtinų jo egzistavimo sąlygų.

2 teorema

Pakankama ekstremalių būklė

Tegul taškas $x_0$ yra svarbus funkcijai $y=f(x)$ ir yra intervale $(a,b)$. Tegul kiekviename intervale $\left(a,x_0\right)\ ir\ (x_0,b)$ egzistuoja išvestinė $f"(x)$ ir laikykite pastovų ženklą. Tada:

1) Jei intervale $(a,x_0)$ išvestinė $f"\left(x\right)>0$, o intervale $(x_0,b)$ išvestinė $f"\left(x\ dešinėje)

2) Jei išvestinė $f"\left(x\right)0$ yra intervale $(a,x_0)$, tai taškas $x_0$ yra mažiausias šios funkcijos taškas.

3) Jei tiek intervale $(a,x_0)$, tiek intervale $(x_0,b)$ išvestinė $f"\left(x\right) >0$ arba išvestinė $f"\left(x \dešinė)

Ši teorema pavaizduota 1 paveiksle.

1 pav. Pakankama sąlyga ekstremumams egzistuoti

Kraštutinybių pavyzdžiai (2 pav.).

2 pav. Ekstremumo taškų pavyzdžiai

Ekstremo funkcijos tyrimo taisyklė

2) Raskite išvestinę $f"(x)$;

7) Pagal 2 teoremą padarykite išvadas apie maksimumų ir minimumų buvimą kiekviename intervale.

Funkcija didėjanti ir mažėjanti

Pirmiausia supažindinkime su didėjančių ir mažėjančių funkcijų apibrėžimais.

5 apibrėžimas

Funkcija $y=f(x)$, apibrėžta intervale $X$, vadinama didėjančia, jei bet kuriuose $x_1 taškuose $x_1,x_2\in X$

6 apibrėžimas

Funkcija $y=f(x)$, apibrėžta intervale $X$, vadinama mažėjančia, jei bet kuriuose $x_1f(x_2)$ taškuose $x_1,x_2\in X$.

Didinimo ir mažinimo funkcijos tyrimas

Galite ištirti didinimo ir mažinimo funkcijas naudodami išvestinę.

Norėdami ištirti didėjimo ir mažėjimo intervalų funkciją, turite atlikti šiuos veiksmus:

1) Raskite funkcijos $f(x)$ sritį;

2) Raskite išvestinę $f"(x)$;

3) Raskite taškus, kur lygybė $f"\left(x\right)=0$;

4) Raskite taškus, kuriuose $f"(x)$ nėra;

5) Koordinačių tiesėje pažymėkite visus rastus taškus ir duotosios funkcijos sritį;

6) Nustatykite išvestinės $f"(x)$ ženklą kiekviename gautame intervale;

7) Padarykite išvadą: intervaluose, kur $f"\left(x\right)0$ funkcija didėja.

Didinimo, mažėjimo ir ekstremalių taškų buvimo funkcijų tyrimo problemų pavyzdžiai

1 pavyzdys

Ištirkite didinimo ir mažėjimo funkciją bei maksimumų ir minimumų taškų buvimą: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Kadangi pirmieji 6 taškai yra vienodi, juos ištrauksime pirmiausia.

1) Apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ egzistuoja visuose apibrėžimo srities taškuose;

5) Koordinačių linija:

3 pav

6) Nustatykite išvestinės $f"(x)$ ženklą kiekviename intervale:

\ \}