Kaip apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą naudojant trapecijos metodą? Trapecijos metodas Integralo apskaičiavimas naudojant trapecijos formulę
Šiandien susipažinsime su kitu skaitmeninės integracijos metodu – trapecijos metodu. Su jo pagalba mes apskaičiuosime apibrėžtuosius integralus tam tikru tikslumu. Straipsnyje apibūdinsime trapecijos metodo esmę, išanalizuosime, kaip išvedama formulė, palyginsime trapecijos metodą su stačiakampiu, užrašysime metodo absoliučiosios paklaidos įvertį. Kiekvieną skyrių iliustruosime pavyzdžiais, kad galėtume geriau suprasti medžiagą.
Tarkime, kad reikia apytiksliai apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ∫ a b f (x) d x , kurio integrandas y = f (x) yra tolydis atkarpoje [ a ; b]. Tam padalijame atkarpą [ a ; b ] į kelis vienodus h ilgio intervalus, kurių taškai a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .
Raskime skaidymo žingsnį: h = b - a n . Apibrėžiame mazgus iš lygybės x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n.
Elementariuose intervaluose nagrinėkime integrandą x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . , n.
Be galo padidinus n, visus atvejus sumažiname iki keturių paprasčiausių variantų:
Pasirinkite segmentus x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n. Pakeiskime funkciją y = f (x) kiekviename grafike tiesia atkarpa, kuri eina per taškus, kurių koordinatės x i - 1 ; f x i - 1 ir x i ; f x i . Juos pažymime figūrėlėse mėlyna spalva.
Paimkime išraišką f (x i - 1) + f (x i) 2 h kaip apytikslę integralo ∫ x i - 1 x reikšmę, jei (x) d x . Tie. imkime ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h.
Pažiūrėkime, kodėl mūsų tiriamas skaitmeninės integracijos metodas vadinamas trapecijos metodu. Norėdami tai padaryti, turime išsiaiškinti, ką geometrijos požiūriu reiškia parašyta apytikslė lygybė.
Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, padauginkite pusę jos pagrindų sumos iš aukščio. Pirmuoju atveju kreivinės trapecijos plotas yra maždaug lygus trapecijai, kurios pagrindai f (x i - 1) , f (x i) aukštis h . Ketvirtajame iš mūsų nagrinėjamų atvejų duotasis integralas ∫ x i - 1 x f (x) d x yra maždaug lygus trapecijos plotui su bazėmis - f (x i - 1) , - f (x i) ir aukščiu. h, kuri turi būti paimta su ženklu „-“. Norint apskaičiuoti apytikslę apibrėžtojo integralo ∫ x i - 1 x i f (x) d x reikšmę antruoju ir trečiuoju nagrinėjamu atveju, reikia rasti skirtumą tarp raudonos ir mėlynos srities plotų, kuriuos pažymėjome išsiritęs paveikslėlyje žemiau.
Apibendrinkime. Trapecijos metodo esmė yra tokia: apibrėžtąjį integralą ∫ a b f (x) d x galime pavaizduoti kaip ∫ x i - 1 x i f (x) d x formos integralų sumą kiekviename elementariame segmente ir vėlesniame apytikriame pokytyje ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 val.
Trapecijos formos formulė
Prisiminkite penktąją apibrėžtojo integralo savybę: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Norėdami gauti trapecijos metodo formulę, vietoj integralų ∫ x i - 1 x i f (x) d x pakeiskite jų apytiksles reikšmes: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i – 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n – 1 f (x i) + f (x n)
1 apibrėžimas
Trapecijos formos formulė:∫ x i – 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n – 1 f (x i) + f (x n)
Trapecijos metodo absoliučios paklaidos įvertinimas
Įvertinkime absoliučią trapecijos metodo paklaidą taip:
2 apibrėžimas
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2
Grafinė trapecijos metodo iliustracija parodyta paveikslėlyje:
Skaičiavimo pavyzdžiai
Išanalizuosime trapecijos metodo panaudojimo apytiksliai apibrėžtųjų integralų skaičiavimui pavyzdžius. Ypatingą dėmesį skirsime dviejų tipų užduotims:
- apibrėžtojo integralo apskaičiavimas trapecijos metodu tam tikram atkarpos n atitvarų skaičiui;
- apytikslės tam tikro integralo reikšmės radimas nurodytu tikslumu.
Esant tam tikram n, visi tarpiniai skaičiavimai turi būti atlikti pakankamai tiksliai. Skaičiavimų tikslumas turėtų būti tuo didesnis, kuo didesnis n .
Jei turime tam tikrą apibrėžtojo integralo skaičiavimo tikslumą, visi tarpiniai skaičiavimai turi būti atliekami dviem ar daugiau dydžių kategorijų tiksliau. Pavyzdžiui, jei tikslumas nustatytas 0 .01, tai atliekame tarpinius skaičiavimus 0,0001 arba 0,00001 tikslumu. Esant dideliam n, tarpiniai skaičiavimai turi būti atliekami dar didesniu tikslumu.
Paimkime aukščiau pateiktą taisyklę kaip pavyzdį. Norėdami tai padaryti, lyginame apibrėžtojo integralo reikšmes, apskaičiuotas pagal Niutono-Leibnizo formulę ir gautas trapecijos metodu.
Taigi, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805.
1 pavyzdys
Naudodami trapecijos metodą, apskaičiuojame apibrėžtąjį integralą ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x, kai n lygus 10 .
Sprendimas
Trapecijos metodo formulė yra ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Norint pritaikyti formulę, reikia apskaičiuoti žingsnį h pagal formulę h = b - a n , nustatyti mazgus x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n , apskaičiuokite integrando f (x) = 7 x 2 + 1 reikšmes.
Padalinimo žingsnis apskaičiuojamas taip: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . Apskaičiuoti integrandą mazguose x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n imsime keturis skaitmenis po kablelio:
i \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0, 2692
Skaičiavimų rezultatus įveskime į lentelę:
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 , 5 | 2 | 2 , 5 | 3 | 3 , 5 | 4 | 4 , 5 | 5 |
| f (x i) | 7 | 5 , 6 | 3 , 5 | 2 , 1538 | 1 , 4 | 0 , 9655 | 0 , 7 | 0 , 5283 | 0 , 4117 | 0 , 3294 | 0 , 2692 |
Gautas reikšmes pakeiskite trapecijos metodo formule: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 , 1
Palyginkime savo rezultatus su rezultatais, apskaičiuotais pagal Niutono-Leibnizo formulę. Gautos reikšmės sutampa iki šimtųjų dalių.
Atsakymas:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117
2 pavyzdys
Naudodami trapecijos metodą, apskaičiuojame apibrėžtojo integralo reikšmę ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x 0, 01 tikslumu.
Sprendimas
Pagal uždavinio sąlygą a = 1 ; b = 2, f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60; δn ≤ 0, 01.
Raskite n , lygų integravimo atkarpos skilimo taškų skaičiui, naudodami absoliučios paklaidos nelygybę δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . Darysime taip: rasime reikšmes n, kurioms nelygybė m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . Atsižvelgiant į n, trapecijos formulė duos mums apytikslę tam tikro integralo reikšmę tam tikru tikslumu.
Pirmiausia suraskime didžiausią funkcijos antrosios išvestinės modulio reikšmę intervale [ 1 ; 2].
f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2
Antroji išvestinė funkcija yra kvadratinė parabolė f "" (x) = x 2 . Iš jo savybių žinome, kad jis yra teigiamas ir didėja segmente [1; 2]. Šiuo atžvilgiu m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .
Pateiktame pavyzdyje m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) pasirodė gana paprastas. Sudėtingais atvejais, norėdami atlikti skaičiavimus, galite remtis didžiausia ir mažiausia funkcijos verte. Apsvarstę šį pavyzdį, pateikiame alternatyvų metodą m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .
Gautą reikšmę pakeisime nelygybe m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0, 01
4 (2–1) 3 12 n 2 ≤ 0. 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5. 7735
Elementariųjų intervalų, į kuriuos padalintas integravimo segmentas, skaičius n yra natūralusis skaičius. Skaičiavimo elgsenai imkime n lygų šešiems. Tokia n reikšmė leis minimaliais skaičiavimais pasiekti nurodytą trapecijos metodo tikslumą.
Apskaičiuokime žingsnį: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .
Raskite mazgus x i = a + i h , i = 1 , 0 , . . . , n , mes nustatome integrando reikšmes šiuose mazguose:
i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266. . . i \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 3,
Skaičiavimo rezultatus rašome lentelės pavidalu:
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x i | 1 | 7 6 | 4 3 | 3 2 | 5 3 | 11 6 | 2 |
| f x i | 0 , 4 | 0 , 5266 | 0 , 6911 | 0 , 9052 | 1 , 1819 | 1 , 5359 | 1 , 9833 |
Gautus rezultatus pakeičiame trapecijos formule:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0, 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054
Norėdami palyginti, apskaičiuojame pradinį integralą naudodami Niutono-Leibnizo formulę:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1
Kaip matote, mes pasiekėme gautą skaičiavimų tikslumą.
Atsakymas: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054
Sudėtingiems integrandams ne visada lengva rasti skaičių n iš nelygybės absoliučiai paklaidai įvertinti. Tokiu atveju būtų tinkamas toks metodas.
Apytikslę apibrėžtojo integralo reikšmę, gautą trapecijos metodu n mazgams, pažymėkime kaip I n . Pasirinkime savavališką skaičių n . Naudodami trapecijos metodo formulę, apskaičiuojame pradinį vieno (n = 10) ir dvigubo (n = 20) mazgų skaičiaus integralą ir randame skirtumo tarp dviejų gautų apytikslių verčių absoliučią reikšmę I 20 - aš 10.
Jei absoliuti skirtumo tarp dviejų gautų apytikslių verčių vertė yra mažesnė už reikalaujamą tikslumą I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.
Jei absoliuti skirtumo tarp dviejų gautų apytikslių verčių vertė yra didesnė už reikalaujamą tikslumą, būtina pakartoti veiksmus su dvigubu mazgų skaičiumi (n = 40).
Šis metodas reikalauja daug skaičiavimų, todėl norint sutaupyti laiko, protinga naudoti kompiuterines technologijas.
Išspręskime problemą naudodami aukščiau pateiktą algoritmą. Norėdami sutaupyti laiko, praleidžiame tarpinius skaičiavimus naudojant trapecijos metodą.
3 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ∫ 0 2 x e x d x naudojant trapecijos metodą 0, 001 tikslumu.
Sprendimas
Paimkime n lygų 10 ir 20 . Pagal trapecijos formulę gauname I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906.
I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, todėl reikia atlikti tolesnius skaičiavimus.
Paimkime n lygų 40: I 40 = 8, 3934656.
I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, todėl taip pat reikia atlikti tolesnius skaičiavimus.
Paimkime n lygų 80: I 80 = 8 , 3901585 .
I 80 - I 40 = 8,3901585 - 8,3934656 = 0,0033071 > 0,001, todėl reikia dar kartą padvigubinti mazgų skaičių.
Paimkime n lygų 160: I 160 = 8, 3893317.
I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001
Apytikslę pradinio integralo reikšmę galite gauti apvalindami I 160 = 8 , 3893317 iki tūkstantųjų dalių: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .
Palyginimui apskaičiuojame pradinį apibrėžtąjį integralą naudodami Niutono-Leibnizo formulę: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . Reikalingas tikslumas pasiektas.
Atsakymas: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389
Klaidos
Tarpiniai skaičiavimai apibrėžtojo integralo reikšmei nustatyti dažniausiai atliekami apytiksliai. Tai reiškia, kad n didėjant, pradeda kauptis skaičiavimo paklaida.
Palyginkime trapecijos metodo ir vidutinių stačiakampių metodo absoliučių paklaidų įverčius:
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .
Stačiakampių metodas tam tikram n, atliekant tokį patį skaičiavimo darbą, suteikia pusę paklaidos. Dėl to metodas yra tinkamesnis tais atvejais, kai funkcijos reikšmės yra žinomos elementariųjų segmentų viduriniuose segmentuose.
Tais atvejais, kai integruojamos funkcijos nurodomos ne analitiškai, o kaip reikšmių rinkinys mazguose, galime naudoti trapecijos metodą.
Jei palyginsime trapecijos metodo tikslumą ir dešiniojo bei kairiojo stačiakampių metodą, tai pirmasis metodas pranoksta antrąjį rezultato tikslumu.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Trapecijos metodas yra vienas iš skaitmeninio integravimo metodų. Tai leidžia apskaičiuoti apibrėžtuosius integralus su iš anksto nustatytu tikslumo laipsniu.
Pirmiausia aprašome trapecijos metodo esmę ir išvesime trapecijos formulę. Toliau rašome metodo absoliučios paklaidos įvertinimą ir detaliai analizuojame tipinių pavyzdžių sprendimą. Pabaigoje palyginkime trapecijos metodą su stačiakampių metodu.
Puslapio naršymas.
Trapecijos metodo esmė.
Iškelkime sau tokią užduotį: apytiksliai apskaičiuokime apibrėžtąjį integralą , kur integrandas y=f(x) yra tolydis intervale .
Padalinkime atkarpą į n vienodus h ilgio intervalus su taškais . Šiuo atveju skaidinio žingsnis randamas, kai mazgai nustatomi iš lygybės .
Apsvarstykite elementarių intervalų integrandą 
.
Galimi keturi atvejai (paveikslėlyje parodytas paprasčiausias iš jų, iki kurio viskas sumažėja, nes n didėja be galo):
Kiekviename segmente funkciją y=f(x) pakeiskime tiesės atkarpa, einančia per taškus su koordinatėmis ir . Paveiksle juos pavaizduojame mėlynomis linijomis:
Kaip apytikslę integralo reikšmę imame išraišką 
, tai yra, imkime 
.
Išsiaiškinkime, ką geometrine prasme reiškia parašyta apytikslė lygybė. Tai leis suprasti, kodėl nagrinėjamas skaitmeninės integracijos metodas vadinamas trapecijos metodu.
Žinome, kad trapecijos plotas randamas kaip pusės bazių sumos ir aukščio sandauga. Todėl pirmuoju atveju kreivinės trapecijos plotas yra maždaug lygus trapecijos su bazėmis plotui 
ir aukštis h, pastaruoju atveju apibrėžtasis integralas yra maždaug lygus trapecijos plotui su pagrindais 
o aukštis h paimtas su minuso ženklu. Antruoju ir trečiuoju atveju apytikslė apibrėžtojo integralo reikšmė yra lygi skirtumui tarp raudonos ir mėlynos sritys, parodytos paveikslėlyje žemiau.
Taigi, mes priėjome prie trapecijos metodo esmė, kurį sudaro apibrėžtojo integralo vaizdavimas kaip formos integralų suma kiekviename elementariame intervale ir vėlesnis apytikslis pakeitimas .
Trapecijos formos formulė.
Kaip matote, reikiamas tikslumas pasiekiamas.
Šiek tiek apie klaidas.
Teoriškai apytikslė apibrėžtojo integralo reikšmė, apskaičiuota trapecijos metodu, linksta į tikrąją reikšmę esant . Tačiau reikėtų atsižvelgti į tai, kad dauguma tarpinių skaičiavimų atliekami apytiksliai, o esant dideliam n, skaičiavimo paklaida pradeda kauptis.
Pažvelkime į trapecijos metodo ir vidutinių stačiakampių metodo absoliučių paklaidų įverčius 
.
Galima tikėtis pusės paklaidos duotam n, kai naudojamas stačiakampių metodas, atliekantis tokį patį skaičiavimo darbą, tai yra, naudoti šį metodą yra tarsi geriau. Tai tiesa, kai yra žinomos funkcijos reikšmės elementariųjų atkarpų vidurio taškuose. Tačiau kartais integruojamos funkcijos nurodomos ne analitiškai, o kaip reikšmių rinkinys mazguose. Šiuo atveju negalėsime taikyti vidurinių stačiakampių formulės, bet galėsime naudoti trapecijos metodą.
Dešiniųjų ir kairiųjų stačiakampių metodai yra prastesni už trapecijos metodą rezultato tikslumu tam tikram integravimo segmento skaidinių skaičiui.
Integralų skaičiavimas naudojant stačiakampių, trapecijos ir Simpsono formules. Klaidų įvertinimas.
4.1 temos gairės:
Integralų skaičiavimas stačiakampių formulėmis. Klaidos įvertinimas:
Daugelio techninių problemų sprendimas susiaurinamas iki tam tikrų integralų skaičiavimo, kurių tikslus išreiškimas yra sudėtingas, reikalauja ilgų skaičiavimų ir ne visada pateisinamas praktikoje. Čia jų apytikslė vertė yra gana pakankama. Pavyzdžiui, reikia apskaičiuoti plotą, apribotą tiesės, kurios lygtis nežinoma, ašies X ir dvi ordinatės. Tokiu atveju šią eilutę galite pakeisti paprastesne, kurios lygtis yra žinoma. Taip gautas kreivinės trapecijos plotas imamas kaip apytikslė norimo integralo vertė. Geometriškai apibrėžtojo integralo apskaičiavimo metodo, naudojant stačiakampių formulę, idėja yra ta, kad kreivinės trapecijos plotas A 1 ABB 1 pakeičiamas vienodo ploto stačiakampio plotu A 1 A 2 B 1 B 2, kuri pagal vidutinės reikšmės teoremą yra lygi
Kur f(c)--- stačiakampio aukštis A 1 A 2 B 1 B 2, kuri yra integrando reikšmė kokiame nors tarpiniame taške c (a< c
Tokią vertę rasti praktiškai sunku Su, kuriame (b-a)f (c) būtų lygiai lygus . Norint gauti tikslesnę vertę, kreivinės trapecijos plotas padalijamas į n stačiakampiai, kurių aukščiai lygūs y 0, y 1, y 2, …,y n -1 ir pamatai.
Jei apibendrinsime kreivinės trapecijos plotą dengiančių stačiakampių plotus su trūkumu, funkcija nemažėjanti, tada vietoj formulės naudojama formulė
Jei perteklius, tada
Vertybės randamos iš lygybių. Šios formulės vadinamos stačiakampio formulės ir pateikti apytikslį rezultatą. Su padidėjimu n rezultatas tampa tikslesnis.
1 pavyzdys . Apskaičiuokite pagal stačiakampių formulę
Integravimo intervalą padaliname į 5 dalis. Tada . Naudodami skaičiuotuvą arba lentelę randame integrando reikšmes (4 skaitmenų po kablelio tikslumu):
Pagal stačiakampių formulę (su trūkumu)
Kita vertus, pagal Niutono-Leibnizo formulę
Raskime santykinę skaičiavimo paklaidą naudodami stačiakampių formulę:
Integralų skaičiavimas trapecijos formulėmis. Klaidos įvertinimas:
Šio apytikslio integralų skaičiavimo metodo geometrinė prasmė yra ta, kad reikia rasti maždaug vienodo dydžio „tiesiosios“ trapecijos plotą.
Tegul reikia skaičiuoti plotą A 1 AmBB 1 kreivinė trapecija, išreikšta formule .
Pakeiskime lanką AmB akordas AB ir vietoj kreivinės trapecijos ploto A 1 AmBB 1 apskaičiuokite trapecijos plotą A 1 ABB 1:, kur AA 1 ir BB 1 - trapecijos pagrindas ir A 1 B 1 yra jo aukštis.
Pažymėti f(a) = A 1 A, f (b) = B 1 B. trapecijos aukščio A 1 B 1 \u003d b-a, kvadratas . Todėl arba
Šis vadinamasis maža trapecijos formos formulė.
2 pavyzdys. Upės plotis 26 m, gylio matavimai upės skerspjūvyje kas 2 m davė tokius rezultatus.
Mokymo ir auklėjimo užduotys:
- didaktinis tikslas. Supažindinti studentus su apytiksliai apibrėžtojo integralo skaičiavimo metodais.
- edukacinis tikslas. Šios pamokos tema turi didelę praktinę ir edukacinę vertę. Paprasčiausias požiūris į skaitmeninės integracijos idėją yra pagrįstas apibrėžto integralo, kaip integralinių sumų ribos, apibrėžimu. Pavyzdžiui, jei paimtume pakankamai mažą segmento [ a; b] ir sudaryti jam integralo sumą, tada jos reikšmę galima apytiksliai paimti kaip atitinkamo integralo reikšmę. Tuo pačiu metu svarbu greitai ir teisingai atlikti skaičiavimus naudojant kompiuterines technologijas.
Pagrindinės žinios ir įgūdžiai. Suprasti apytikslius apibrėžtojo integralo skaičiavimo metodus naudojant stačiakampių ir trapecijos formules.
Pamokos užtikrinimas
- Dalomoji medžiaga. Savarankiško darbo užduočių kortelės.
- PSO. Multiprojektorius, PC, nešiojamieji kompiuteriai.
- TCO įranga. Pristatymai: „Geometrinė darinio reikšmė“, „Stačiakampių metodas“, „Trapecijos metodas“. (Pristatymą galima pasiskolinti iš autoriaus).
- Skaičiavimo įrankiai: kompiuteris, mikroskaičiuotuvai.
- Gairės
Klasės tipas. Integruota praktiška.
Mokinių pažintinės veiklos motyvavimas. Labai dažnai tenka skaičiuoti apibrėžtuosius integralus, kuriems neįmanoma rasti antidarinės. Šiuo atveju naudojami apytiksliai apibrėžtųjų integralų skaičiavimo metodai. Kartais apytikslis metodas naudojamas ir integralams "imti", jei skaičiavimas pagal Niutono-Leibnizo formulę nėra racionalus. Apytikslio integralo apskaičiavimo idėja yra ta, kad kreivė pakeičiama nauja kreive, kuri yra pakankamai „arti“ jos. Priklausomai nuo naujos kreivės pasirinkimo, gali būti naudojama vienokia ar kitokia apytikslė integravimo formulė.
Pamokų seka.
- Stačiakampio formulė.
- Trapecijos formos formulė.
- Pratimų sprendimas.
Pamokos planas
- Mokinių pagrindinių žinių kartojimas.
Pakartokite su mokiniais: pagrindinės integravimo formulės, tiriamų integravimo metodų esmė, geometrinė apibrėžtojo integralo reikšmė.
- Praktinių darbų atlikimas.
Daugelio techninių problemų sprendimas susiaurinamas iki tam tikrų integralų skaičiavimo, kurių tikslus išreiškimas yra sudėtingas, reikalauja ilgų skaičiavimų ir ne visada pateisinamas praktikoje. Čia jų apytikslė vertė yra gana pakankama.
Tegu, pavyzdžiui, reikia apskaičiuoti plotą, apribotą tiesės, kurios lygtis nežinoma. Tokiu atveju šią eilutę galite pakeisti paprastesne, kurios lygtis yra žinoma. Taip gautas kreivinės trapecijos plotas imamas kaip apytikslė norimo integralo vertė.
Paprasčiausias apytikslis metodas yra stačiakampių metodas. Geometriniu požiūriu apibrėžtojo integralo apskaičiavimo naudojant stačiakampių formulę idėja yra ta, kad kreivinės trapecijos plotas ABCD pakeičiamas stačiakampių plotų suma, kurių viena pusė yra , o kita yra .
Jei apibendrinsime stačiakampių plotus, parodančius kreivinės trapecijos plotą su trūkumu [1 pav.], tada gausime formulę:
[1 paveikslas]
tada gauname formulę: 
Jei gausu
[2 pav.],
tada 
Vertybės y 0 , y 1 ,..., y n rasti iš lygybių 
,
k = 0, 1..., n.Šios formulės vadinamos stačiakampio formulės ir pateikti apytikslius rezultatus. Su padidėjimu n rezultatas tampa tikslesnis.
Taigi, norint rasti apytikslę integralo vertę, jums reikia:
Norėdami rasti skaičiavimo klaidą, turite naudoti formules:
1 pavyzdys Apskaičiuokite pagal stačiakampių formulę. Raskite absoliučią ir santykinę skaičiavimų paklaidas.
Padalinkime segmentą [ a, b] į kelias (pavyzdžiui, 6) lygias dalis. Tada a = 0, b =
3
,
x k = a + k x
X 0 = 2 + 0
= 2
X 1 = 2 + 1
= 2,5
X 2 = 2 + 2
=3
X 3 = 2 + 3
= 3
X 4 = 2 + 4
= 4
X 5 = 2 + 5
= 4,5
f(x 0) = 2 2 = 4
f
(x
1)
= 2
,5
2
=
6,25
f
(x
2)
=
3 2
=
9
f
(x
3)
=
3,5 2
=
12,25
f
(x
4)
=
4 2
=
16
f
(x
5)
=
4,5 2
=
20,25.
| X | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 |
| adresu | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 | 20,25 |
Pagal (1) formulę:
Norint apskaičiuoti santykinę skaičiavimų paklaidą, reikia rasti tikslią integralo reikšmę:
Skaičiavimai užtruko ilgai ir gavome gana grubų apvalinimą. Norėdami apskaičiuoti šį integralą su mažesniu aproksimavimu, galite naudoti kompiuterio technines galimybes.
Norint rasti apibrėžtą integralą stačiakampių metodu, reikia įvesti integrando reikšmes f(x)į „Excel“ darbalapį diapazone X su duotu žingsniu X= 0,1.
- Duomenų lentelės sudarymas (X ir f(x)). X f(x). Argumentas, o langelyje B1 – žodis Funkcija2 2,1 ). Tada, pasirinkę langelių bloką A2:A3, automatinio užbaigimo būdu gauname visas argumento reikšmes (ištempiame už apatinio dešiniojo bloko kampo iki langelio A32, iki vertės x=5).
- Toliau pristatome integrando vertybes. B2 langelyje turite parašyti jos lygtį. Norėdami tai padaryti, perkelkite lentelės žymeklį į langelį B2 ir klaviatūra įveskite formulę =A2^2(anglų kalbos klaviatūros išdėstymui). Paspauskite klavišą Įeikite. Ląstelėje pasirodo B2 4
. Dabar reikia nukopijuoti funkciją iš langelio B2. Automatinis užbaigimas nukopijuokite šią formulę į diapazoną B2:B32.
Dėl to reikia gauti duomenų lentelę integralui rasti. - Dabar langelyje B33 galima rasti apytikslę integralo reikšmę. Norėdami tai padaryti, langelyje B33 įveskite formulę = 0,1*, tada iškvieskite funkcijų vedlį (paspaudę įrankių juostoje esantį mygtuką Įterpti funkciją (f(x)). Pasirodžiusio dialogo lango Funkcijų vedlio 1 veiksmas iš 2 kairėje esančiame lauke Kategorija pasirinkite Matematika. Dešinėje Funkcijų lauke - funkcija Suma. Paspaudžiame mygtuką GERAI. Pasirodo dialogo langas Suma. Į darbo lauką pele įveskite sumavimo diapazoną B2:B31. Paspaudžiame mygtuką GERAI. Langelyje B33 apytikslė norimo integralo reikšmė atsiranda su trūkumu ( 37,955 ) .
Palyginus gautą apytikslę reikšmę su tikrąja integralo ( 39 ), matyti, kad stačiakampių metodo aproksimacinė paklaida šiuo atveju lygi
=
|39 - 37
,
955| = 1
,045
2 pavyzdys Naudodami stačiakampių metodą, apskaičiuokite nurodytu žingsniu X = 0,05.
Palyginus gautą apytikslę reikšmę su tikrąja integralo reikšme 
, matyti, kad stačiakampių metodo aproksimacinė paklaida šiuo atveju lygi
Trapecijos metodas paprastai suteikia tikslesnę integralo reikšmę nei stačiakampio metodas. Kreivinė trapecija pakeičiama kelių trapecijų suma ir apytikslė apibrėžtojo integralo reikšmė randama kaip trapecijos plotų suma
[3 pav.]
3 pavyzdys Trapecijos formos radimas žingsnis po žingsnio X = 0,1.
- Atidarykite tuščią darbalapį.
- Duomenų lentelės sudarymas (X ir f(x)). Tegul pirmasis stulpelis yra reikšmės X, o antrieji atitinkami rodikliai f(x). Norėdami tai padaryti, langelyje A1 įveskite žodį Argumentas, o langelyje B1 – žodis Funkcija. A2 langelyje įvedama pirmoji argumento reikšmė - kairioji diapazono riba ( 0 ). A3 langelyje įvedama antroji argumento reikšmė - kairioji diapazono riba ir konstravimo žingsnis ( 0,1 ). Tada, pasirinkę langelių bloką A2:A3, automatinio užbaigimo būdu gauname visas argumento reikšmes (išplečiame apatinį dešinįjį bloko kampą iki langelio A33 iki vertės x=3,1).
- Toliau pristatome integrando vertybes. Langelyje B2 turite parašyti jos lygtį (sinuso pavyzdyje). Norėdami tai padaryti, lentelės žymeklį reikia įdėti į langelį B2. Turėtų būti sinuso reikšmė, atitinkanti argumento reikšmę langelyje A2. Norėdami gauti sinuso reikšmę, naudojame specialią funkciją: įrankių juostoje spustelėkite mygtuką Įterpti funkciją f(x). Pasirodžiusio dialogo lango Funkcijų vedlio 1 veiksmas iš 2 kairėje esančiame lauke Kategorija pasirinkite Matematika. Dešinėje Funkcijų lauke – funkcija NUODĖ. Paspaudžiame mygtuką GERAI. Pasirodo dialogo langas NUODĖ. Užvesdami pelės žymeklį virš pilko lango lauko, nuspaudę kairįjį mygtuką, perkelkite lauką į dešinę, kad atidarytumėte duomenų stulpelį ( BET). Nurodykite sinuso argumento reikšmę spustelėdami langelį A2. Paspaudžiame mygtuką GERAI. B2 langelyje pasirodo 0. Dabar reikia nukopijuoti funkciją iš langelio B2. Automatinis užbaigimas nukopijuokite šią formulę į diapazoną B2:B33. Dėl to reikia gauti duomenų lentelę integralui rasti.
- Dabar langelyje B34 galima rasti apytikslę integralo reikšmę trapecijos metodu. Norėdami tai padaryti, langelyje B34 įveskite formulę \u003d 0,1 * ((B2 + B33) / 2+, tada iškvieskite funkcijų vedlį (paspaudę įrankių juostoje esantį mygtuką Įterpti funkciją (f(x)). Pasirodžiusio dialogo lango Funkcijų vedlio 1 veiksmas iš 2 kairėje esančiame lauke Kategorija pasirinkite Matematika. Dešinėje Funkcijų lauke - funkcija Suma. Paspaudžiame mygtuką GERAI. Pasirodo dialogo langas Suma. Į darbo lauką pele įveskite sumavimo diapazoną B3:B32. Paspaudžiame mygtuką Gerai dar kartą GERAI. B34 langelyje apytikslė ieškomo integralo reikšmė rodoma su trūkumu ( 1,997 ) .
Palyginus gautą apytikslę reikšmę su tikrąja integralo reikšme, matyti, kad stačiakampių metodo aproksimacijos paklaida šiuo atveju yra gana priimtina praktikai.
- Pratimų sprendimas.
Kaip apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą
naudojant trapecijos formulę ir Simpsono metodą?
Skaitiniai metodai yra gana didelė aukštosios matematikos dalis, o rimti vadovėliai šia tema turi šimtus puslapių. Praktikoje testuose kai kuriuos uždavinius tradiciškai siūloma spręsti skaitiniais metodais, o viena iš įprastų užduočių yra apytikslis skaičiavimas apibrėžtieji integralai. Šiame straipsnyje apžvelgsiu du apytiksliai apibrėžtojo integralo skaičiavimo metodus trapecijos metodas ir Simpsono metodas.
Ką reikia žinoti norint įvaldyti šiuos metodus? Skamba juokingai, bet galbūt iš viso negalėsite priimti integralų. Ir net nesupranta, kas yra integralai. Iš techninių priemonių jums reikės mikroskaičiuotuvo. Taip, taip, laukiame eilinių mokyklinių skaičiavimų. Dar geriau, atsisiųskite mano pusiau automatinį skaičiuotuvą, skirtą trapecijos metodui ir Simpsono metodui. Skaičiuoklė parašyta Excel programa ir leis dešimteriopai sutrumpinti užduočių sprendimo ir apdorojimo laiką. Pridedamas „Excel“ arbatinukų vaizdo vadovas! Beje, pirmas video su mano balsu.
Pirma, užduokime sau klausimą, kodėl mums apskritai reikia apytikslių skaičiavimų? Atrodo, kad galima rasti funkcijos antidarinį ir panaudoti Niutono-Leibnizo formulę, apskaičiuojant tikslią tam tikro integralo reikšmę. Kaip atsakymą į klausimą, iš karto apsvarstykime demonstracinį pavyzdį su paveikslėliu.
Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą
Viskas būtų gerai, bet šiame pavyzdyje integralas nepaimamas – prieš tave nepaimamas vadinamasis integralinis logaritmas. Ar šis integralas išvis egzistuoja? Pavaizduokime integrando grafiką brėžinyje: 
Viskas gerai. Integralas yra tęstinis intervale, o apibrėžtasis integralas yra skaitiniu požiūriu lygus užtemdytam plotui. Taip, tai tik viena kliūtis – integralas nepaimamas. Ir tokiais atvejais gelbsti skaitiniai metodai. Šiuo atveju problema iškyla dviem formuluotėmis:
1) Apytiksliai apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą , apvalinant rezultatą iki tam tikros dešimtosios dalies. Pavyzdžiui, iki dviejų skaitmenų po kablelio, iki trijų skaičių po kablelio ir pan. Tarkime, apytikslis atsakymas yra 5,347. Tiesą sakant, tai gali būti ne visai teisinga (iš tikrųjų, tarkime, tikslesnis atsakymas yra 5,343). Mūsų užduotis yra tik tame suapvalinti rezultatą iki trijų skaičių po kablelio.
2) Apytiksliai apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą, su tam tikru tikslumu. Pavyzdžiui, apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą apytiksliai 0,001 tikslumu. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad turime rasti tokią apytikslę reikšmę, kuri modulo (vienaip ar kitaip) skiriasi nuo tiesos ne daugiau kaip 0,001.
Yra keli pagrindiniai metodai, kaip apytiksliai apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą, kuris atsiranda problemose:
Integracijos segmentas yra padalintas į keletą dalių ir sukonstruota laiptuota figūra, kuri savo plotu yra artima norimam plotui: 
Griežtai nevertinkite pagal brėžinius, tikslumas nėra tobulas – jie tik padeda suprasti metodų esmę.
Idėja panaši. Integravimo segmentas yra padalintas į keletą tarpinių segmentų ir integravimo metodų grafikas nutrūkusi linija eilutė: 
Taigi mūsų plotas (mėlynas atspalvis) yra apytikslis trapecijos (raudona) plotų suma. Taigi metodo pavadinimas. Nesunku pastebėti, kad trapecijos metodas suteikia daug geresnį aproksimaciją nei stačiakampio metodas (su tuo pačiu skaičiumi skaidinių segmentų). Ir, žinoma, kuo daugiau mažesnių tarpinių segmentų atsižvelgsime, tuo didesnis bus tikslumas. Praktinėse užduotyse retkarčiais susiduriama su trapecijos metodu, o šiame straipsnyje bus išanalizuoti keli pavyzdžiai.
Simpsono metodas (parabolės metodas). Tai tobulesnis būdas – prie integrando grafiko artėja ne laužta linija, o mažos parabolės. Kiek tarpinių segmentų – tiek mažų parabolių. Jei imsime tuos pačius tris segmentus, tai Simpsono metodas duos dar tikslesnį aproksimaciją nei stačiakampio metodas arba trapecijos metodas.
Nematau prasmės kurti brėžinį, nes vizualiai aproksimacija bus uždėta ant funkcijos grafiko (ankstesnės pastraipos laužyta linija - ir net tada ji beveik sutapo).
Užduotis apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą naudojant Simpsono formulę yra pati populiariausia užduotis praktikoje. O parabolių metodui bus skiriamas didelis dėmesys.
Kaip apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą naudojant trapecijos metodą?
Pirma, bendra formulė. Galbūt ne visiems ir ne iš karto bus aišku... Taip, Karlssonas su jumis – praktiniai pavyzdžiai viską paaiškins! Ramus. Tik ramybė.
Apsvarstykite apibrėžtąjį integralą , kur yra funkcija, kuri tęsiasi segmente. Padalinkime segmentą į lygus segmentai:
. Šiuo atveju akivaizdžiai: (apatinė integracijos riba) ir (viršutinė integracijos riba). taškų 
taip pat vadinama mazgai.
Tada galima apytiksliai apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą pagal trapecijos formulę:
, kur:
žingsnis;
yra integrando reikšmės taškuose 
.
1 pavyzdys
Apskaičiuokite apytikslį apibrėžtąjį integralą naudodami trapecijos formulę. Rezultatus suapvalinkite iki trijų skaičių po kablelio.
a) Integravimo segmento padalijimas į 3 dalis.
b) Integracijos segmento padalijimas į 5 dalis.
Sprendimas:
a) Ypač manekenams pirmąją pastraipą pririšau prie brėžinio, kuris aiškiai parodė metodo principą. Jei bus sunku, pažiūrėkite į piešinį komentarų eigoje, čia yra jo dalis: 
Pagal sąlygą integravimo segmentas turi būti padalintas į 3 dalis, ty .
Apskaičiuokite kiekvieno pertvaros segmento ilgį: 
. Parametras, primenu, taip pat vadinamas žingsnis.
Kiek taškų (skirstinių mazgų) bus? Bus dar vieną nei segmentų skaičius:
Na, o bendroji trapecijos formulė sumažinama iki malonaus dydžio: 
Skaičiavimams galite naudoti įprastą mikroskaičiuotuvą: 
Prisimink tai, atsižvelgiant į problemos sąlygą, visi skaičiavimai turi būti suapvalinti iki 3 dešimtųjų.
Pagaliau:
Geometriniu požiūriu apskaičiavome trijų trapecijų plotų sumą (žr. paveikslėlį aukščiau).
b) Integravimo atkarpą padaliname į 5 lygias dalis, tai yra, . Kam to reikia? Kad „Phobos-Grunt“ nepatektų į vandenyną – padidindami segmentų skaičių, padidiname skaičiavimų tikslumą.
Jei , tada trapecijos formulė yra tokia:
Raskime skaidymo veiksmą: 
, tai yra, kiekvieno tarpinio segmento ilgis yra 0,6.
Baigiant užduotį patogu sudaryti visus skaičiavimus su skaičiavimo lentele:
Pirmoje eilutėje rašome "skaitiklis"
Manau, visi mato, kaip susidaro antra eilutė – pirmiausia užrašome apatinę integravimo ribą, likusias reikšmes gauname paeiliui pridėdami žingsnį.
Kokiu principu pildoma ir apatinė eilutė, manau, beveik visi suprato. Pavyzdžiui, jei , tada 
. Kas vadinama, apsvarstykite, netingėkite.
Kaip rezultatas: 
Na, išaiškinimas tikrai yra ir rimtas! Jei 3 skaidinio segmentų apytikslė vertė buvo, tada 5 segmentams . Taigi su dideliu tikrumu galima teigti, kad bent jau .
2 pavyzdys
Apskaičiuokite apytiksliai apibrėžtą integralą naudodami trapecijos formulę dviejų skaitmenų po kablelio tikslumu (iki 0,01).
Sprendimas: Beveik ta pati problema, bet šiek tiek kitokia formuluotė. Esminis skirtumas nuo 1 pavyzdžio yra tas, kad mes mes nežinome, Į KIEK segmentų padalyti integravimo segmentą, kad gautumėte du teisingus skaitmenis po kablelio. Kitaip tariant, mes nežinome vertės.
Yra speciali formulė, leidžianti nustatyti skaidinių segmentų skaičių, kad būtų užtikrintas reikiamas tikslumas, tačiau praktikoje ją dažnai sunku pritaikyti. Todėl naudinga naudoti supaprastintą metodą.
Pirma, integracijos segmentas yra padalintas į keletą didelių segmentų, kaip taisyklė, į 2-3-4-5. Pavyzdžiui, integravimo segmentą padalinkime į tas pačias 5 dalis. Formulė jau žinoma:
Ir žingsnis, žinoma, taip pat žinomas: 
Tačiau kyla kitas klausimas, iki kokio skaitmens reikėtų suapvalinti rezultatus? Sąlyga nieko nesako apie tai, kiek skaičių po kablelio palikti. Bendra rekomendacija yra tokia: Prie reikiamo tikslumo reikia pridėti 2-3 skaitmenis. Šiuo atveju reikalingas tikslumas yra 0,01. Pagal rekomendaciją, po kablelio, dėl ištikimybės paliekame penkis simbolius (galėjo būti keturi):
Kaip rezultatas:
, aproksimaciją žymime .
Po pirminio rezultato – segmentų skaičius dvigubai. Tokiu atveju reikia padalyti į 10 segmentų. O kai segmentų daugėja, tada ateina šviesi mintis, kad kišti pirštus į mikroskaičiuotuvą jau kažkaip pavargo. Todėl dar kartą siūlau atsisiųsti ir naudoti savo pusiau automatinį skaičiuotuvą (nuoroda pamokos pradžioje).
Trapecijos formos formulė yra tokia:
Popierinėje versijoje įrašą galima saugiai perkelti į kitą eilutę.
Apskaičiuokime skaidinio žingsnį: 
Skaičiavimų rezultatai apibendrinti lentelėje: 
Apdailinant sąsiuvinį, pravartu ilgą stalą paversti dviejų aukštų stalu.
Kaip rezultatas:
Dabar apskaičiuojame aproksimacijų neatitikimą:
Čia mes naudojame modulo ženklą, nes mus domina absoliutus skirtumas, o ne kuris rezultatas didesnis, o kuris mažesnis.
Kalbant apie tolesnius veiksmus, aš asmeniškai susidūriau su 2 sprendimais praktikoje:
1) Pirmasis būdas yra „palyginimas vienas nuo kito“. Nuo gauto paklaidos įvertinimo daugiau nei reikalaujamas tikslumas: 
, tada reikia padvigubinti skaidinio segmentų skaičių iki ir skaičiuoti jau . „Excel“ skaičiuoklės pagalba galutinį rezultatą galima gauti per kelias sekundes:. Dabar dar kartą įvertiname klaidą: . Gautas balas mažiau nei reikalaujamas tikslumas: 
, todėl skaičiavimai baigti. Belieka suapvalinti paskutinį (tiksliausią) rezultatą iki dviejų skaičių po kablelio ir pateikti atsakymą.
2) Kitas, efektyvesnis būdas yra pagrįstas vadinamųjų naudojimu Runge taisyklės, pagal kurią klystame, vertindami apibrėžtąjį integralą, tiesą sakant, ne daugiau kaip . Mūsų uždavinyje: , taigi skaičiavimo poreikis išnyksta. Tačiau už sprendimo greitį šiuo atveju turėjome mokėti tiksliai: 
. Nepaisant to, šis rezultatas yra priimtinas, nes mūsų „klaidų riba“ yra lygiai šimtoji dalis.
Ką rinktis? Sutelkite dėmesį į savo mokymo vadovą arba mokytojo pageidavimus.
Atsakymas: 
tikslumas 0,01 (kai naudojate Runge taisyklę).
3 pavyzdys
Apskaičiuokite apytikslį apibrėžtąjį integralą naudodami trapecijos formulę 0,001 tikslumu.
Prieš tave vėl yra nepaimtas integralas (beveik integralus kosinusas). Mėginio tirpale pirmajame etape buvo atliktas padalijimas į 4 segmentus, ty . Pilnas sprendimas ir apytikslis apdailos pavyzdys pamokos pabaigoje.
Kaip apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą naudojant Simpsono formulę?
Jei šiame puslapyje ieškojote tik Simpsono metodo, primygtinai rekomenduoju pirmiausia perskaityti pamokos pradžią ir peržiūrėti bent pirmąjį pavyzdį. Dėl to, kad daugelis idėjų ir metodų bus panašūs į trapecijos metodą.
Vėlgi, pradėkime nuo bendros formulės
Apsvarstykite apibrėžtąjį integralą , kur yra funkcija, kuri tęsiasi segmente. Padalinkime segmentą į net suma lygus segmentai. Lyginis segmentų skaičius žymimas .
Praktiškai segmentai gali būti:
du:
keturi:
aštuoni:
dešimt:
dvidešimt:
Kitų variantų nepamenu.
Dėmesio! Skaičius suprantamas kaip VIENAS SKAIČIUS. Tai yra, TAI UŽDRAUSTA sumažinti, pavyzdžiui, dviem, gauti . Įrašymas tik reiškia kad segmentų skaičius tolygiai. Ir nėra ko kalbėti apie sumažinimus.
Taigi mūsų skaidinys atrodo taip:
Terminai yra panašūs į trapecijos metodo terminus:
Taškai vadinami mazgai.
Simpsono formulė apytiksliai apibrėžiamajam integralui apskaičiuoti yra tokia forma:
, kur:
- kiekvieno mažo segmento ilgis arba žingsnis;
yra integrando reikšmės taškuose.
Detalizuodamas šį krūvą, išsamiau išanalizuosiu formulę:
yra pirmosios ir paskutinės integrando reikšmių suma;
yra narių su net indeksai padauginti iš 2;
yra narių su nelyginis indeksas padauginamas iš 4.
4 pavyzdys
Apskaičiuokite apytikslį integralą naudodami Simpsono formulę 0,001 tikslumu. Padalijimas pradėkite nuo dviejų segmentų 
Integralas, beje, vėlgi nepaimamas.
Sprendimas: Iš karto atkreipiu dėmesį į užduoties tipą – būtina apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą su tam tikru tikslumu. Ką tai reiškia, jau buvo komentuota straipsnio pradžioje, taip pat apie konkrečius ankstesnės pastraipos pavyzdžius. Kalbant apie trapecijos metodą, yra formulė, kuri iš karto leis jums nustatyti reikiamą segmentų skaičių („en“ reikšmę), kad būtų užtikrintas reikiamas tikslumas. Tiesa, turėsime rasti ketvirtą išvestinę ir išspręsti ekstremalią problemą. Kas suprato, ką turiu galvoje, ir įvertino darbo kiekį, nusišypsojo. Tačiau čia nėra ko juoktis, suradus ketvirtą tokio integrando darinį bus nebe megabotanas, o klinikinis psichopatas. Todėl praktikoje beveik visada naudojamas supaprastintas klaidos įvertinimo metodas.
Pradedame spręsti. Jei turime du skaidinio segmentus, tada mazgai bus dar vieną: . Ir Simpsono formulė yra labai kompaktiška: 
Apskaičiuokime skaidinio žingsnį: 
Užpildykime skaičiavimo lentelę:
Dar kartą pakomentuoju, kaip užpildyta lentelė:
Viršutinėje eilutėje rašome indeksų „skaitiklį“.
Antroje eilutėje pirmiausia įrašome apatinę integracijos ribą, o tada iš eilės pridedame žingsnį.
Trečioje eilutėje įvedame integrando reikšmes. Pavyzdžiui, jei , tada . Kiek skaičių po kablelio palikti? Iš tiesų, sąlyga vėl nieko apie tai nesako. Principas toks pat kaip ir trapecijos metodu, žiūrime į reikiamą tikslumą: 0,001. Ir pridėkite papildomus 2–3 skaitmenis. Tai reiškia, kad reikia suapvalinti iki 5–6 skaitmenų po kablelio.
Kaip rezultatas:
Gautas pirmasis rezultatas. Dabar dvigubai segmentų skaičius iki keturių: . Simpsono formulė šiam skaidiniui yra tokia:
Apskaičiuokime skaidinio žingsnį: 
Užpildykime skaičiavimo lentelę: 
Šiuo būdu:
Raskime absoliučią skirtumo tarp aproksimacijų vertę:
Runge'o taisyklė Simpsono metodui yra skani. Jei naudojant Vidutinio stačiakampio metodas ir trapecijos metodu, mums suteikiama trečdalis „atlaidumo“, dabar - net penkioliktoji dalis:
, o tikslumas čia jau nenukenčia: 
Tačiau išsamumo dėlei pateiksiu ir „paprastą“ sprendimą, kur reikia žengti papildomą žingsnį: kadangi yra daugiau nei reikalaujamas tikslumas: 
, tada vėl reikia padvigubinti segmentų skaičių: .
Simpsono formulė auga šuoliais:
Apskaičiuokime žingsnį: 
Dar kartą užpildykime lentelę:
Šiuo būdu: 
Atkreipkite dėmesį, kad čia pageidautina išsamiau apibūdinti skaičiavimus, nes Simpsono formulė yra gana sudėtinga, o jei iškart trenkiate:
, tada šis gėrimas atrodys kaip įsilaužimas. O su detalesniu įrašu dėstytojas susidarys palankų įspūdį, kad gerą valandą sąžiningai trynėte mikroskaičiuoklės klavišus. Išsamūs „sunkių“ atvejų skaičiavimai pateikiami mano skaičiuoklėje.
Mes įvertiname klaidą:
Klaida yra mažesnė už reikalaujamą tikslumą: 
. Belieka paimti tiksliausią aproksimaciją, suapvalinti iki trijų skaičių po kablelio ir parašyti:
Atsakymas: 
tikslumu 0,001
5 pavyzdys
Apskaičiuokite apytikslį integralą naudodami Simpsono formulę 0,0001 tikslumu. Padalijimas pradėkite nuo dviejų segmentų 
Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Grubus darbo užbaigimo pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Paskutinėje pamokos dalyje apžvelgsime dar kelis įprastus pavyzdžius.
6 pavyzdys
Apskaičiuokite apytikslę apibrėžtojo integralo reikšmę 
naudojant Simpsono formulę, padalijant integravimo segmentą į 10 dalių. Skaičiavimai atliekami trijų skaitmenų po kablelio tikslumu.
- Nuo ko priklauso medžiagos lūžio rodiklis?
- Bangos ilgis ir bangos sklidimo greitis
- Kaip rasti funkcijos ekstremumą (minimalų ir maksimalų tašką).
- Dviejų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo dėsnis
- Dalelių ir antidalelių karas Antidalelių atradimo istorija
- Besisukančio kūno kinetinė energija
- Lorenco jėga, apibrėžimas, formulė, fizikinė reikšmė Lorenco jėga si
- vandenyje ištirpusių kietųjų medžiagų
- Žodžio tapatybė reikšmė
- Furjė serijos lyginių ir nelyginių funkcijų išplėtimas Beselio nelygybė parsevalinė lygybė Furjė serijos padidinto sudėtingumo sprendimų pavyzdžiai
- Kiekvienai dienai Išplėskite funkciją Furjė serijoje
- Mažiausias kvadratas „Excel“.
- Būtina sąlyga tiesinei n funkcijų priklausomybei
- Prognozės kūrimas naudojant mažiausių kvadratų metodą
- Kaip išmatuoti paviršiaus įtempimą Kas yra paviršiaus įtempis
- Vienodas nuolatinis paskirstymas EXCEL
- Trapecijos metodas Integralo apskaičiavimas naudojant trapecijos formulę
- Pakankamos sąlygos funkcijai atvaizduoti Furjė integralu
- Kas yra emf kokiais vienetais jis matuojamas
- Kaip dalelės išsidėsto kietose, skysčiuose ir dujose?