Trijų vektorių tiesinės priklausomybės geometrinis kriterijus. Būtina sąlyga tiesinei n funkcijų priklausomybei. Tiesiškai priklausomų vektorių savybės

Atkreipkite dėmesį, kad toliau, neprarasdami bendrumo, nagrinėsime vektorių atvejį trimatėje erdvėje. Plokštumoje vektorių svarstymas atliekamas panašiai. Kaip minėta pirmiau, visi rezultatai, žinomi iš tiesinės algebros eigos algebriniams vektoriams, gali būti perkelti į konkretų geometrinių vektorių atvejį. Taigi padarykime tai.

Tegul vektoriai būna fiksuoti.

Apibrėžimas. Suma, kur yra keletas skaičių, vadinama tiesine vektorių kombinacija. Šiuo atveju šie skaičiai bus vadinami tiesinės kombinacijos koeficientais.

Mus domins tiesinio derinio lygybės su nuliniu vektoriumi galimybės klausimas. Atsižvelgiant į vektorių erdvių savybes ir aksiomas, tampa akivaizdu, kad bet kuriai vektorių sistemai yra trivialus (nulinis) koeficientų rinkinys, kuriam galioja ši lygybė:

Kyla klausimas, ar tam tikrai vektorių sistemai egzistuoja netrivialus koeficientų rinkinys (tarp kurių yra bent vienas nenulinis koeficientas), kuriam galioja minėta lygybė. Pagal tai skirsime tiesiškai priklausomas ir nepriklausomas sistemas.

Apibrėžimas. Vektorių sistema vadinama tiesiškai nepriklausoma, jei yra tokia skaičių aibė, tarp kurių yra bent vienas nulinis vienetas, kad atitinkama tiesinė kombinacija būtų lygi nuliniam vektoriui:

Vektorių sistema vadinama tiesiškai nepriklausoma, jei lygybė

galima tik esant trivialiam koeficientų rinkiniui:

Išvardinkime pagrindines tiesiškai priklausomų ir nepriklausomų sistemų savybes, įrodytas tiesinės algebros metu.

1. Bet kuri vektorių sistema, turinti nulinį vektorių, yra tiesiškai priklausoma.

2. Tegul vektorių sistemoje yra tiesiškai priklausoma posistemė. Tada visa sistema taip pat yra tiesiškai priklausoma.

3. Jei vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, tai bet kuri jos posistemė taip pat yra tiesiškai nepriklausoma.

4. Jeigu vektorių sistemoje yra du vektoriai, kurių vienas gaunamas iš kito padauginus iš tam tikro skaičiaus, tai visa sistema yra tiesiškai priklausoma.

Teorema (tiesinės priklausomybės kriterijus). Vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai vienas iš šios sistemos vektorių gali būti pavaizduotas kaip tiesinis kitų sistemos vektorių derinys.

Atsižvelgiant į dviejų vektorių kolineariškumo kriterijų, galima teigti, kad jų tiesinės priklausomybės kriterijus yra jų kolineariškumas. Trims erdvėje esantiems vektoriams teisingas šis teiginys.

Teorema (trijų geometrinių vektorių tiesinės priklausomybės kriterijus). Trys vektoriai , ir yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie yra vienodi.

Įrodymas.

Reikia. Tegul vektoriai , ir būti tiesiškai priklausomi. Įrodykime jų panašumą. Tada pagal bendrąjį algebrinių vektorių tiesinės priklausomybės kriterijų tvirtiname, kad vienas iš šių vektorių gali būti pavaizduotas kaip tiesinė kitų vektorių kombinacija. Tegu pvz.

Jei visi trys vektoriai , ir taikomi bendrai pradžiai, vektorius sutaps su lygiagretainio įstrižainiu, pastatytu ant vektorių ir . Bet tai reiškia, kad vektoriai , ir yra toje pačioje plokštumoje, t.y. koplanarinis.

Tinkamumas. Tegul vektoriai , Ir būti lygiagrečiai. Parodykime, kad jie yra tiesiškai priklausomi. Pirmiausia apsvarstykite atvejį, kai bet kuri nurodytų vektorių pora yra kolinearinė. Šiuo atveju, pagal ankstesnę teoremą, vektorių sistemoje , yra tiesiškai priklausoma posistemė, todėl ji pati yra tiesiškai priklausoma pagal tiesiškai priklausomų ir nepriklausomų vektorių sistemų savybę 2. Tegul dabar nė viena nagrinėjamų vektorių pora nėra kolinearinė. Visus tris vektorius perkeliame į vieną plokštumą ir suvedame į bendrą pradžią. Nubrėžkite per vektoriaus linijų pabaigą lygiagrečiai vektoriams ir . Raidė žymi vektoriui lygiagrečios tiesės susikirtimo tašką su tiese, ant kurios guli vektorius, o raide – vektoriui lygiagrečios tiesės ir tiesės, ant kurios guli vektorius, susikirtimo tašką. Apibrėždami vektorių sumą, gauname:

.

Kadangi vektorius yra kolinearinis su nuliniu vektoriumi , egzistuoja realusis skaičius toks, kad

Panašūs svarstymai reiškia tikrojo skaičiaus egzistavimą, kad

Dėl to turėsime:

Tada iš bendrojo algebrinių vektorių tiesinės priklausomybės kriterijaus gauname, kad vektoriai , , yra tiesiškai priklausomi. ■

Teorema (keturių vektorių tiesinė priklausomybė). Bet kurie keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi.

Įrodymas. Pirmiausia apsvarstykite atvejį, kai bet kuris nurodytų keturių vektorių trigubas yra lygiagretus. Šiuo atveju šis trigubas yra tiesiškai priklausomas pagal ankstesnę teoremą. Todėl, atsižvelgiant į 2 tiesiškai priklausomų ir nepriklausomų vektorių sistemų savybę, ir visas ketvertukas yra tiesiškai priklausomas.

Tegul dabar tarp nagrinėjamų vektorių joks vektorių trigubas nėra lygiagretus. Suveskime visus keturis vektorius , , į bendrą pradžią ir per vektoriaus galą nubrėžkime plokštumas, lygiagrečias vektorių poromis apibrėžtoms plokštumoms ; , ; , . Nurodytų plokštumų susikirtimo taškai su linijomis, ant kurių vektoriai , ir guli, žymimi atitinkamai raidėmis , ir . Iš vektorių sumos apibrėžimo išplaukia, kad

kuri, atsižvelgiant į bendrąjį algebrinių vektorių tiesinės priklausomybės kriterijų, sako, kad visi keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi. ■

Def. Elementų sistema x 1 ,…,x m lin. produkcija V vadinama tiesiškai priklausoma, jei ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0), kad λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ .

Def. Elementų sistema x 1 ,…,x m ∈ V vadinama tiesiškai nepriklausoma, jei nuo lygybės λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0.

Def. Elementas x ∈ V vadinamas tiesine elementų x 1 ,…,x m ∈ V deriniu, jei ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ taip, kad x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m .

Teorema (tiesinės priklausomybės kriterijus): Sistema vektorių x 1 ,…,x m ∈ V yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai bent vienas sistemos vektorius yra tiesiškai išreikštas kitais.

Dok. Reikia: Tegul x 1 ,…,x m yra tiesiškai priklausomi ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0), kad λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 + λ m x m = θ. Tarkime, λ m ≠ 0, tada

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Tinkamumas: Tegul bent vienas iš vektorių yra tiesiškai išreikštas kitais vektoriais: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1,…,x m - yra tiesiškai nepriklausomi.

Ven. tiesinės priklausomybės sąlyga:

Jei sistemoje yra nulinis elementas arba tiesiškai priklausoma posistemė, tada ji yra tiesiškai priklausoma.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – tiesiškai priklausoma sistema

1) Tegu x 1 = θ, tada ši lygybė galioja λ 1 =1 ir λ 1 =…= λ m =0.

2) Tegul λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 yra tiesiškai priklausoma posistemė ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0. Tada λ 1 =0 taip pat gauname |λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 yra tiesiškai priklausoma sistema.

Linijinės erdvės pagrindas. Vektorinės koordinatės duotame pagrinde. Vektorių sumų koordinatės ir vektoriaus sandauga iš skaičiaus. Būtina ir pakankama vektorių sistemos tiesinės priklausomybės sąlyga.

Apibrėžimas: Sutvarkyta tiesinės erdvės V elementų e 1, ..., e n sistema vadinama šios erdvės pagrindu, jei:

A) e 1 ... e n yra tiesiškai nepriklausomi

B) ∀ x ∈ α 1 … α n taip, kad x= α 1 e 1 +…+ α n e n

x= α 1 e 1 +…+ α n e n – elemento x išplėtimas bazėje e 1, …, e n

α 1 … α n ∈ ℝ yra elemento x koordinatės bazėje e 1, …, e n

Teorema: Jei pagrindas e 1, …, e n duotas tiesinėje erdvėje V, tai ∀ x ∈ V koordinačių x stulpelis bazėje e 1, …, e n yra vienareikšmiškai nustatytas (koordinatės nustatomos vienareikšmiškai)

Įrodymas: Tegu x=α 1 e 1 +…+ α n e n ir x=β 1 e 1 +…+β n e n

x= ⇔ = Θ, ty e 1, …, e n yra tiesiškai nepriklausomi, tada - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.

Teorema: tegul e 1, …, e n yra tiesinės erdvės V pagrindas; x, y yra savavališki erdvės V elementai, λ ∈ ℝ yra savavališkas skaičius. Sudėjus x ir y, pridedamos jų koordinatės, x padauginus iš λ, x koordinatės taip pat dauginamos iš λ.

Įrodymas: x= (e 1, …, e n) ir y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

λx= λ ) = (e 1, …, e n)

Lemma1: (būtina ir pakankama vektorių sistemos tiesinės priklausomybės sąlyga)

Tegul e 1 …e n yra erdvės V pagrindas. Elementų sistema f 1 , …, f k ∈ V yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai šių elementų koordinačių stulpeliai bazėje e 1, …, e n yra tiesiškai priklausomas

Įrodymas: išplėsti f 1 , …, f k bazėje e 1, …, e n

f m =(e 1, …, e n) m = 1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] t.y. λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = kaip reikia.

13. Tiesinės erdvės matmenys. Teorema apie dimensijos ir pagrindo ryšį.
Apibrėžimas: Tiesinė erdvė V vadinama n-mačių erdve, jei V yra n tiesiškai nepriklausomų elementų, o bet kurių n + 1 erdvės V elementų sistema yra tiesiškai priklausoma. Šiuo atveju n vadinamas tiesinės erdvės V matmeniu ir žymimas dimV=n.

Tiesinė erdvė vadinama begaline, jei ∀N ∈ ℕ erdvėje V egzistuoja tiesiškai nepriklausoma sistema, turinti N elementų.

Teorema: 1) Jei V yra n matmenų tiesinė erdvė, tai bet kuri sutvarkyta n tiesiškai nepriklausomų šios erdvės elementų sistema sudaro pagrindą. 2) Jeigu tiesinėje erdvėje V yra pagrindas, susidedantis iš n elementų, tai V matmuo lygus n (dimV=n).

Įrodymas: 1) Tegul dimV=n ⇒ V ∃ n tiesiškai nepriklausomų elementų e 1, …,e n . Įrodome, kad šie elementai sudaro pagrindą, tai yra, įrodome, kad ∀ x ∈ V gali būti išplėstas e 1, …,e n atžvilgiu. Prie jų pridėkime x: e 1, …,e n , x – šioje sistemoje yra n+1 vektorių, vadinasi, ji yra tiesiškai priklausoma. Kadangi e 1, …,e n yra tiesiškai nepriklausomas, tai pagal 2 teoremą x tiesiškai išreiškiama per e 1, …,e n t.y. ∃ ,…, kad x= α 1 e 1 +…+ α n e n . Taigi e 1, …,e n yra erdvės V pagrindas. 2) Tegul e 1, …,e n yra V pagrindas, taigi V ∃ n yra n tiesiškai nepriklausomų elementų. Paimkite savavališkus f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 elementus. Parodykime jų tiesinę priklausomybę. Suskirstykime juos taip:

f m =(e 1, …,e n) = kur m = 1,…,n Sukurkime koordinačių stulpelių matricą: A= Matricoje yra n eilučių ⇒ RgA≤n. Stulpelių skaičius n+1 > n ≥ RgA ⇒ Matricos A stulpeliai (ty koordinačių f 1 ,…, f n , f n +1 stulpeliai) yra tiesiškai priklausomi. Iš 1 lemos ⇒ ,…,f n ,f n +1 yra tiesiškai priklausomi ⇒ dimV=n.

Pasekmė: Jei bet kuriame pagrinde yra n elementų, tai bet kuriame kitame šios erdvės pagrinde yra n elementų.

2 teorema: Jei vektorių x 1 ,… ,x m -1 , x m sistema yra tiesiškai priklausoma, o jos posistemė x 1 ,… ,x m -1 yra tiesiškai nepriklausoma, tai x m - yra tiesiškai išreikšta per x 1 ,… ,x m -1

Įrodymas: Nes x 1 ,… ,x m -1 , x m yra tiesiškai priklausomas, tada ∃ , …, , ,

, …, | , | toks kad. Jei , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 yra tiesiškai nepriklausomi, o tai negali būti. Taigi m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.

Toliau pateikiami keli vektorių sistemų tiesinės priklausomybės ir atitinkamai tiesinės nepriklausomybės kriterijai.

Teorema. (Būtina ir pakankama vektorių tiesinės priklausomybės sąlyga.)

Vektorių sistema yra priklausoma tada ir tik tada, kai vienas iš sistemos vektorių yra tiesiškai išreikštas kitais šios sistemos vektoriais.

Įrodymas. Reikia. Tegul sistema yra tiesiškai priklausoma. Tada pagal apibrėžimą jis nulinį vektorių vaizduoja ne trivialiu būdu, t.y. yra ne trivialus šios vektorių sistemos derinys, lygus nuliniam vektoriui:

kur bent vienas iš šios tiesinės kombinacijos koeficientų nėra lygus nuliui. Leisti , .

Padalinkite abi ankstesnės lygybės dalis iš šio nenulinio koeficiento (ty padauginkite iš:

Pažymėkite: , kur .

tie. vienas iš sistemos vektorių yra tiesiškai išreikštas kitais šios sistemos vektoriais ir kt.

Tinkamumas. Tegul vienas iš sistemos vektorių yra tiesiškai išreikštas kitais šios sistemos vektoriais:

Perkelkime vektorių į dešinę nuo šios lygybės:

Kadangi vektoriaus koeficientas yra , tai mes turime netrivialų nulio atvaizdavimą vektorių sistema , o tai reiškia, kad ši vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ir pan.

Teorema įrodyta.

Pasekmė.

1. Vektorių sistema vektorių erdvėje yra tiesiškai nepriklausoma tada ir tik tada, kai nė vienas sistemos vektorius nėra tiesiškai išreikštas kitais šios sistemos vektoriais.

2. Vektorių sistema, turinti nulinį vektorių arba du lygius vektorius, yra tiesiškai priklausoma.

Įrodymas.

1) Būtinybė. Tegul sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Tarkime priešingai ir yra sistemos vektorius, kuris yra tiesiškai išreikštas kitais šios sistemos vektoriais. Tada pagal teoremą sistema yra tiesiškai priklausoma, ir mes pasiekiame prieštaravimą.

Tinkamumas. Tegul nė vienas sistemos vektorius nėra išreikštas kitais. Tarkime, priešingai. Tegul sistema yra tiesiškai priklausoma, bet tada iš teoremos išplaukia, kad yra sistemos vektorius, kuris yra tiesiškai išreikštas kitais šios sistemos vektoriais, ir mes vėl pasiekiame prieštaravimą.

2a) Tegul sistemoje yra nulinis vektorius. Tikslumui tarkime, kad vektorius :. Tada lygybė

tie. vienas iš sistemos vektorių yra tiesiškai išreikštas kitais šios sistemos vektoriais. Iš teoremos išplaukia, kad tokia vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ir t.t.

Atkreipkite dėmesį, kad šį faktą galima įrodyti tiesiogiai iš tiesiškai priklausomos vektorių sistemos.

Kadangi , tokia lygybė yra akivaizdi

Tai yra ne trivialus nulinio vektoriaus vaizdas, o tai reiškia, kad sistema yra tiesiškai priklausoma.

2b) Tegul sistema turi du vienodus vektorius. Leiskite už. Tada lygybė

Tie. pirmasis vektorius yra tiesiškai išreikštas kitais tos pačios sistemos vektoriais. Iš teoremos išplaukia, kad duotoji sistema yra tiesiškai priklausoma ir pan.

Panašiai kaip ir ankstesnis, šį teiginį taip pat galima įrodyti tiesiogiai iš tiesiškai priklausomos sistemos apibrėžimo.

Būtina ir pakankama dviejų tiesinės priklausomybės sąlyga

vektoriai yra jų kolineariškumas.

2. Skaliarinis produktas- operacija dviem vektoriais, kurios rezultatas yra skaliaras (skaičius), nepriklausomas nuo koordinačių sistemos ir apibūdinantis daugiklio vektorių ilgius ir kampą tarp jų. Ši operacija atitinka dauginimą ilgio duotas vektorius x projekcija kitas vektorius y duotam vektoriui x. Ši operacija paprastai vertinama kaip komutacinė ir linijinė kiekviename veiksnyje.

Taškinio produkto savybės:

3. Iššaukiami trys vektoriai (ar daugiau). koplanarinis jei jie, redukuoti į bendrą kilmę, yra toje pačioje plokštumoje.

Būtina ir pakankama trijų vektorių tiesinės priklausomybės sąlyga yra jų koplanarumas.Bet kurie keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi. pagrindas erdvėje vadinamas bet koks tvarkingas nevienaplanių vektorių trigubas. Pagrindas erdvėje leidžia su kiekvienu vektoriumi vienareikšmiškai susieti sutvarkytą skaičių trigubą – šio vektoriaus vaizdavimo koeficientus tiesiniame pagrindo vektorių derinyje. Atvirkščiai, pagrindo pagalba su kiekvienu tvarkingu skaičių tripletu susiesime vektorių, jei sudarysime tiesinę kombinaciją Stačiakampis pagrindas vadinamas ortonormalus , jei jo vektoriai lygūs vienetui. Ortonormaliam pagrindui erdvėje dažnai naudojamas žymėjimas. Teorema: Ortonormaliu pagrindu vektorių koordinatės yra atitinkamos stačiakampės šio vektoriaus projekcijos į koordinačių vektorių kryptis. Nevienaplanių vektorių trigubas a, b, c paskambino teisingai, jei stebėtojas iš jų bendros kilmės aplenkia vektorių galus a, b, c tokia tvarka, atrodo, vyksta pagal laikrodžio rodyklę. Priešingu atveju a, b, c - kairysis trigubas. Vadinami visi dešinieji (arba kairieji) vektorių trigubai vienodai orientuoti. Stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje sudaro dvi viena kitai statmenos koordinačių ašys JAUTIS ir OY. Koordinačių ašys susikerta taške O, kuri vadinama pradžia, kiekviena ašis turi teigiamą kryptį. AT dešinė ranka koordinačių sistema, teigiama ašių kryptis parenkama taip, kad su ašies kryptimi OY aukštyn, ašis JAUTISžiūrėjo į dešinę.

Keturi kampai (I, II, III, IV), sudaryti iš koordinačių ašių X"X ir Y"Y, vadinami koordinačių kampais arba kvadrantai(žr. 1 pav.).

jei vektoriai ir ortonormalaus pagrindo atžvilgiu plokštumoje turi koordinates ir atitinkamai, tada šių vektorių skaliarinė sandauga apskaičiuojama pagal formulę

4. Dviejų vektorių a ir b vektorinė sandauga yra operacija su jais, apibrėžta tik trimatėje erdvėje, kurios rezultatas yra vektorius su šiais

savybės:

Vektorių kryžminės sandaugos geometrinė reikšmė yra lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotas. Nenulinio vektoriaus ir vektoriaus kolineariškumo būtina ir pakankama sąlyga yra lygybę tenkinančio skaičiaus buvimas .

Jei du vektoriai ir yra apibrėžti jų stačiakampėmis Dekarto koordinatėmis, tiksliau, jie pavaizduoti vortonormalizuotu pagrindu

ir koordinačių sistema yra teisinga, tada jų vektorinė sandauga turi formą

Norint prisiminti šią formulę, patogu naudoti determinantą:

5. Mišrus produktas vektoriai – vektoriaus skaliarinė sandauga ir vektorių kryžminė sandauga ir :

Kartais tai vadinama trigubas skaliarinis produktas vektoriai, matyt, dėl to, kad rezultatas yra skaliarinis (tiksliau pseudoskalaras).

Geometrinis pojūtis: Mišriosios sandaugos modulis skaitine prasme lygus vektorių suformuoto gretasienio tūriui .

Kai pakeičiami du veiksniai, mišrus produktas pakeičia ženklą į priešingą:

Dėl ciklinės (apvalios) veiksnių permutacijos mišrus produktas nesikeičia:

Sumaišytas produktas yra linijinis bet kokiu veiksniu.

Mišrus sandauga lygus nuliui tada ir tik tada, kai vektoriai yra vienodi.

1. Lyginimo sąlyga vektoriams: trys vektoriai yra vienodi tada ir tik tada, kai jų mišrus sandauga yra nulis.

§ Trigubas vektorių, turinčių kolinearinių vektorių porą, yra koplanarinis.

§ Mišri plokštumos vektorių sandauga. Tai yra trijų vektorių koplanarumo kriterijus.

§ Bendraplaniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Tai taip pat yra koplanarumo kriterijus.

§ Yra realieji skaičiai, tokie, kad koplanariniams , išskyrus arba . Tai yra ankstesnės savybės formuluotė ir taip pat yra lygiagretumo kriterijus.

§ Trimatėje erdvėje 3 nevienaplaniai vektoriai sudaro pagrindą. Tai yra, bet kuris vektorius gali būti pavaizduotas kaip: . Tada bus nurodytos bazės koordinatės.

Mišrus sandauga dešinėje Dekarto koordinačių sistemoje (stačianormalioje bazėje) yra lygus matricos determinantui, sudarytai iš vektorių ir :

§6. Bendroji plokštumos lygtis (visa).

kur ir yra konstantos, be to, ir tuo pačiu metu nėra lygios nuliui; vektorine forma:

kur yra taško spindulio vektorius , vektorius yra statmenas plokštumai (normalus vektorius). Krypties kosinusai vektorius:

Jei vienas iš plokštumos lygties koeficientų lygus nuliui, lygtis vadinama Nebaigtas. Kai plokštuma eina per koordinačių pradžią, kai (arba , ) P. yra lygiagreti ašiai (atitinkamai arba ). Jei ( , arba ), plokštuma yra lygiagreti plokštumai (arba atitinkamai).

§ Plokštumos atkarpomis lygtis:

kur , , yra segmentai, nupjauti plokštuma ant ašių ir .

§ Plokštumos, einančios per tašką, lygtis statmenai normaliajam vektoriui :

vektorine forma:

(mišrus vektorių sandauga), kitaip

§ Normalios (normalizuotos) plokštumos lygtis

§ Kampas tarp dviejų plokštumų. Jeigu P. lygtys pateiktos (1) forma, tai

Jei vektorinė forma, tada

§ Plokštumos lygiagrečios, jei

Arba (vektorinis produktas)

§ Plokštumos statmenos, jei

Arba . (Skaliarinis produktas)

7. Plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtis , guli ne ant tos pačios linijos:

8. Atstumas nuo taško iki plokštumos yra mažiausias iš atstumų tarp šio taško ir plokštumos taškų. Yra žinoma, kad atstumas nuo taško iki plokštumos yra lygus statmeno, nukritusio iš šio taško į plokštumą, ilgiui.

§ Taško nuokrypis iš normalizuotos lygties pateiktos plokštumos

Jei ir kilmė yra priešingose ​​plokštumos pusėse, kitaip . Atstumas nuo taško iki plokštumos yra

§ Atstumas nuo taško iki plokštumos, pateiktos pagal lygtį, apskaičiuojamas pagal formulę:

9. Lėktuvo ryšulėlis- bet kurio P., einančio per dviejų plokštumų susikirtimo liniją, lygtis

kur α ir β yra bet kurie skaičiai, kurie vienu metu nėra lygūs nuliui.

Kad trys plokštumos, apibrėžtos jų bendrosiomis lygtimis A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 PDSC atžvilgiu priklausė vienam pluoštui, tinkamam ar netinkamam, būtina ir pakanka, kad matricos rangas būtų lygus arba dviem, arba vienam.
2 teorema. Tegul dvi plokštumos π 1 ir π 2 PDSC atžvilgiu pateikiamos pagal jų bendrąsias lygtis: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z +D 2 = 0. Kad π 3 plokštuma, pateikta PDSC atžvilgiu pagal jos bendrąją lygtį A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0, priklausytų pluoštui, kurį sudaro π 1 ir π 2 plokštumos, ji yra būtinas ir pakankamas, kad kairioji plokštumos π 3 lygties pusė būtų pavaizduota kaip tiesinis plokštumų π 1 ir π 2 lygčių kairiųjų dalių derinys.

10.Vektorinė parametrinė tiesės lygtis kosmose:

kur yra kurio nors fiksuoto taško spindulio vektorius M 0, esantis tiesioje linijoje, yra nulinis vektorius, esantis kolineje su šia tiese, yra savavališko tiesės taško spindulio vektorius.

Parametrinė tiesės lygtis kosmose:

M

Kanoninė tiesės lygtis kosmose:

kur yra kokio nors pastovaus taško koordinatės M 0 gulint ant tiesios linijos; - vektoriaus koordinatės su šia linija.

Bendroji tiesės vektorinė lygtis kosmose:

Kadangi linija yra dviejų skirtingų nelygiagrečių plokštumų susikirtimo taškas, atitinkamai nurodytas pagal bendrąsias lygtis:

tada tiesės lygtis gali būti pateikta šių lygčių sistema:

Kampas tarp krypties vektorių ir bus lygus kampui tarp linijų. Kampas tarp vektorių randamas naudojant skaliarinę sandaugą. cosA=(ab)/IaI*IbI

Kampas tarp tiesės ir plokštumos randamas pagal formulę:

čia (A; B; C;) yra plokštumos normaliojo vektoriaus koordinatės
(l;m;n;) nukreipiančios tiesės vektorines koordinates

Dviejų linijų lygiagretumo sąlygos:

a) Jei tiesės pateiktos lygtimis (4) su nuolydžiu, tai būtina ir pakankama jų lygiagretumo sąlyga yra jų nuolydžių lygybė:

k 1 = k 2 . (8)

b) Tuo atveju, kai tiesės pateiktos bendrosios formos (6) lygtimis, būtina ir pakankama jų lygiagretumo sąlyga yra ta, kad koeficientai atitinkamose srovės koordinatėse jų lygtyse būtų proporcingi, t.y.

Dviejų linijų statmenumo sąlygos:

a) Tuo atveju, kai tiesės pateiktos lygtimis (4) su nuolydžiu, būtina ir pakankama jų statmenumo sąlyga yra ta, kad jų nuolydžiai būtų abipusio dydžio ir priešingi pagal ženklą, t.y.

b) Jei tiesių lygtys pateiktos bendra forma (6), tai jų statmenumo sąlyga (būtina ir pakankama) yra įvykdyti lygybę

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

Sakoma, kad tiesė yra statmena plokštumai, jei ji yra statmena bet kuriai tos plokštumos tiesei. Jei tiesė yra statmena kiekvienai iš dviejų susikertančių plokštumos tiesių, tada ji yra statmena tai plokštumai. Kad tiesė ir plokštuma būtų lygiagrečios, būtina ir pakanka, kad normalusis vektorius plokštumai ir tiesės krypties vektorius būtų statmeni. Tam būtina, kad jų skaliarinė sandauga būtų lygi nuliui.

Kad tiesė ir plokštuma būtų statmenos, būtina ir pakanka, kad normalusis vektorius plokštumai ir tiesės krypties vektorius būtų kolinijiniai. Ši sąlyga įvykdyta, jei šių vektorių kryžminė sandauga buvo lygi nuliui.

12. Erdvėje atstumas nuo taško iki tiesės, nurodytas parametrine lygtimi

galima rasti kaip mažiausią atstumą nuo nurodyto taško iki savavališko tiesės taško. Koeficientas tšį tašką galima rasti pagal formulę

Atstumas tarp susikertančių linijų yra jų bendro statmens ilgis. Jis lygus atstumui tarp lygiagrečių plokštumų, einančių per šias linijas.

Būtina sąlyga tiesinei n funkcijų priklausomybei.

Tegul funkcijos turi ribos (n-1) išvestines.

Apsvarstykite determinantą: (1)

W(x) paprastai vadinamas funkcijų Wronsky determinantu.

1 teorema. Jei funkcijos yra tiesiškai priklausomos intervale (a,b), tai jų Vronskio W(x) šiame intervale yra identiškai lygus nuliui.

Įrodymas. Pagal teoremos sąlygą santykis

, (2) kur ne visi lygūs nuliui. Leisti . Tada

(3). Atskirkite šią tapatybę n-1 kartus ir

vietoj gautų verčių pakeičiant Vronskio determinantą,

mes gauname:

Wronsky determinanto paskutinis stulpelis yra tiesinis ankstesnių n-1 stulpelių derinys, todėl visuose intervalo (a, b) taškuose yra lygus nuliui.

2 teorema. Jei funkcijos y 1 ,..., y n yra tiesiškai nepriklausomi lygties L[y] = 0 sprendiniai, kurių visi koeficientai yra tolydūs intervale (a,b), tai šių sprendinių Vronskis yra nelygus nuliui. taško intervalas (a,b).

Įrodymas. Tarkime, priešingai. Yra X 0 , kur W(X 0)=0. Sudarome n lygčių sistemą

Akivaizdu, kad sistema (5) turi nulinį sprendimą. Leiskite (6).

Sudarykime tiesinę sprendinių y 1 ,..., y n kombinaciją.

Y(x) yra lygties L[y] = 0 sprendinys. Be to, . Remiantis unikalumo teorema, lygties L[y] = 0 sprendinys su nulinėmis pradinėmis sąlygomis turi būti tik nulis, ᴛ.ᴇ. .

Gauname tapatybę , kur ne visi lygūs nuliui, o tai reiškia, kad y 1 ,..., y n yra tiesiškai priklausomi, o tai prieštarauja teoremos sąlygai. Todėl tokio taško, kur W(X 0)=0, nėra.

Remdamiesi 1 ir 2 teorema, galime suformuluoti tokį teiginį. Kad n lygties L[y] = 0 sprendinių intervale (a,b) būtų tiesiškai nepriklausomi, nepaprastai svarbu ir pakanka, kad jų Vronskio reikšmė neišnyktų jokiame šio intervalo taške.

Iš įrodytų teoremų taip pat išplaukia šios akivaizdžios Vronskio savybės.

1. Jei lygties L[y] = 0 n sprendinių Vronskis yra lygus nuliui viename taške x = x 0 iš intervalo (a,b), kuriame visi koeficientai p i (x) yra tolydūs, tai yra lygus nuliui visuose šio intervalo ex taškuose.
2. Jei lygties L[y] = 0 n sprendinių Vronskis yra nelygus nuliui viename taške x = x 0 iš intervalo (a,b), tai jis yra ne nulis visuose šio intervalo taškuose.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, lygties L[y] = 0 n nepriklausomų sprendinių tiesiškumui intervale (a,b), kuriame lygties p i (x) koeficientai yra tolydūs, nepaprastai svarbu ir pakanka, kad jie Wronskian skiriasi nuo nulio net viename šio intervalo taške.

Būtina sąlyga tiesinei n funkcijų priklausomybei. - koncepcija ir rūšys. Kategorijos „Būtina n funkcijų tiesinės priklausomybės sąlyga“ klasifikacija ir ypatumai. 2017 m., 2018 m.

-

Laivų krovos įranga (Krovinių krovos įranga laive) Paskaita Nr. 6 Tema: Krovinių įranga (Krovinių krovimo įranga) 6.1. Laivų krovos įranga (Krovinių krovos įranga). 6.2. Krovininiai kranai. 6.3. Rampa. Perkrova – tai krovinių judėjimas į transporto priemonę arba iš jos. Daug... .

- Krovininiai kranai

Sertifikatai Užduočių pasiskirstymas Patikrinimai, atestavimas ir atsakomybė skirstoma taip: &... .

- Ar tu jį pažįsti? Lo conoces?

Ten - allá Čia - aqui Kavinėje - en el cafe Darbe - en el trabajo Jūroje - en el mar 1. Ar žinote, kur yra kavinė? 2. Ar žinai kur yra Sasha? 3. Ar žinote, kur yra biblioteka? 4. Ar žinai, kur dabar yra Olya? 5. Ar žinai, kur dabar yra Nataša? Laba diena! Aš... .

- Zmin ir Xmin nustatymas pagal sąlygą, kad nėra sumažinimo

5.9 pav. Apie ratų dantų pjovimą. Panagrinėkime, kaip stovo šlyties koeficientas x yra susijęs su dantų, kuriuos gali nupjauti rato stelažas, skaičiumi. Tegul bėgis sumontuotas 1 padėtyje (5.9 pav.). Tokiu atveju tiesi stovo galvutė kirs įjungimo liniją N-N, įskaitant ...