Apakah kamu disini: Muskuloskeletal

Hari ini di kelas kita akan melihat urutan yang ketat Dan definisi ketat dari limit suatu fungsi, dan juga belajar memecahkan masalah relevan yang bersifat teoritis. Artikel ini ditujukan terutama untuk mahasiswa tahun pertama ilmu alam dan spesialisasi teknik yang mulai mempelajari teori analisis matematika dan mengalami kesulitan dalam memahami bagian matematika yang lebih tinggi ini. Selain itu, materinya cukup mudah diakses oleh siswa SMA.

Selama bertahun-tahun keberadaan situs ini, saya telah menerima selusin surat dengan isi kira-kira sebagai berikut: “Saya kurang memahami analisis matematika, apa yang harus saya lakukan?”, “Saya tidak memahami matematika sama sekali, saya berpikir untuk berhenti studi,” dll. Dan memang matanlah yang kerap menipiskan kelompok siswa setelah sesi pertama. Mengapa hal ini terjadi? Karena subjeknya sangat rumit? Sama sekali tidak! Teori analisis matematis tidak sesulit dan aneh. Dan kamu harus menerima dan mencintainya apa adanya =)

Mari kita mulai dari awal kasus yang parah. Hal pertama dan terpenting adalah Anda tidak harus berhenti belajar. Pahami dengan benar, Anda selalu bisa berhenti ;-) Tentu saja, jika setelah satu atau dua tahun Anda merasa sakit karena spesialisasi pilihan Anda, maka ya, Anda harus memikirkannya (dan jangan marah!) tentang perubahan aktivitas. Namun untuk saat ini, hal ini layak untuk dilanjutkan. Dan tolong lupakan kalimat "Saya tidak mengerti apa-apa" - bukan berarti Anda tidak mengerti apa-apa.

Apa yang harus dilakukan jika teorinya buruk? Omong-omong, ini tidak hanya berlaku untuk analisis matematis. Jika teorinya buruk, pertama-tama Anda harus SERIUS fokus pada praktiknya. Dalam hal ini, dua tugas strategis diselesaikan sekaligus:

– Pertama, sebagian besar pengetahuan teoretis muncul melalui praktik. Dan itulah mengapa banyak orang memahami teori ini melalui... – benar! Tidak, tidak, kamu tidak memikirkan hal itu =)

– Dan kedua, keterampilan praktis kemungkinan besar akan “menarik” Anda melewati ujian, meskipun... tapi jangan terlalu bersemangat! Semuanya nyata dan semuanya bisa “dibangkitkan” dalam waktu yang cukup singkat. Analisis matematika adalah bagian favorit saya dalam matematika tingkat tinggi, dan oleh karena itu saya tidak bisa tidak memberikan bantuan kepada Anda:

Pada awal semester 1 biasanya dibahas limit barisan dan limit fungsi. Tidak mengerti apa itu dan tidak tahu cara mengatasinya? Mulailah dengan artikel Batasan fungsi, di mana konsep itu sendiri diperiksa “dengan jari” dan contoh-contoh paling sederhana dianalisis. Berikutnya, kerjakan pelajaran lain mengenai topik tersebut, termasuk pelajaran tentang dalam urutan, yang sebenarnya sudah saya rumuskan definisi tegasnya.

Simbol apa saja selain tanda pertidaksamaan dan modulus yang anda ketahui?

– tongkat vertikal panjang berbunyi seperti ini: “sehingga”, “sehingga”, “sehingga” atau “sehingga”, dalam kasus kami, tentu saja, kami berbicara tentang angka - oleh karena itu “sedemikian rupa”;

– untuk semua “en” yang lebih besar dari ;

– tanda modulus berarti jarak, yaitu. entri ini memberi tahu kita bahwa jarak antar nilai lebih kecil dari epsilon.

Nah, apakah ini sangat sulit? =)

Setelah menguasai latihan, saya berharap dapat bertemu Anda di paragraf berikutnya:

Dan sebenarnya, mari kita berpikir sedikit - bagaimana merumuskan definisi barisan yang ketat? ...Hal pertama yang terlintas dalam pikiran di dunia pelajaran praktis: “limit suatu barisan adalah bilangan yang mendekati tak terhingga anggota barisan tersebut.”

Oke, mari kita tuliskan selanjutnya :

Tidak sulit untuk memahami hal itu selanjutnya pendekatannya sangat dekat dengan angka –1, dan suku-suku genap - untuk satu".

Atau mungkin ada dua batasan? Tapi mengapa tidak ada urutan yang memiliki sepuluh atau dua puluh? Anda bisa melangkah jauh dengan cara ini. Dalam hal ini, masuk akal untuk berasumsi demikian jika suatu barisan mempunyai limit maka barisan tersebut unik.

Catatan : barisan tersebut tidak mempunyai limit, tetapi dua barisan dapat dibedakan dari barisan tersebut (lihat di atas), yang masing-masing mempunyai limitnya sendiri.

Dengan demikian, definisi di atas tidak dapat dipertahankan. Ya, ini berfungsi untuk kasus-kasus seperti (yang tidak saya gunakan dengan benar dalam penjelasan contoh praktis yang disederhanakan), tapi sekarang kita perlu menemukan definisi yang tegas.

Percobaan kedua: “limit suatu barisan adalah bilangan yang didekati SEMUA anggota barisan, kecuali mungkin anggotanya terakhir jumlah." Hal ini lebih mendekati kebenaran, namun masih belum sepenuhnya akurat. Jadi, misalnya urutannya setengah dari suku-sukunya tidak mendekati nol sama sekali - mereka sama saja =) Omong-omong, "lampu berkedip" biasanya mengambil dua nilai tetap.

Rumusannya tidak sulit untuk dijelaskan, namun kemudian muncul pertanyaan lain: bagaimana cara menuliskan definisi tersebut dalam simbol matematika? Dunia ilmiah telah lama bergelut dengan masalah ini hingga situasinya terselesaikan maestro terkenal, yang, pada intinya, memformalkan analisis matematika klasik dengan segala ketelitiannya. Cauchy menyarankan operasi lingkungan , yang secara signifikan memajukan teori tersebut.

Pertimbangkan beberapa hal dan itu sewenang-wenang-lingkungan:

Nilai "epsilon" selalu positif, dan terlebih lagi, kita berhak memilihnya sendiri. Mari kita asumsikan bahwa di lingkungan ini terdapat banyak anggota (belum tentu semua) beberapa urutan. Bagaimana cara menuliskan fakta bahwa, misalnya, suku kesepuluh ada di lingkungan tersebut? Biarkan itu berada di sisi kanannya. Maka jarak antar titik dan harus kurang dari “epsilon”: . Namun jika “x persepuluh” terletak di sebelah kiri titik “a”, maka selisihnya negatif, sehingga harus ditambah tandanya. modul: .

Definisi: suatu bilangan disebut limit suatu barisan jika untuk apa pun lingkungannya (dipilih sebelumnya) ada bilangan asli SEPERTI itu SEMUA anggota barisan dengan angka lebih tinggi akan berada di dalam lingkungan:

Atau singkatnya: jika

Dengan kata lain, sekecil apa pun nilai “epsilon” yang kita ambil, cepat atau lambat “ekor tak terbatas” dari barisan tersebut akan SEPENUHNYA berada di lingkungan ini.

Misalnya, “ekor tak terbatas” dari rangkaian tersebut akan SEPENUHNYA memasuki lingkungan kecil mana pun pada titik tersebut. Jadi nilai ini adalah limit barisan menurut definisi. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa barisan yang limitnya nol disebut kecil sekali.

Perlu dicatat bahwa untuk suatu sequence tidak mungkin lagi dikatakan “ekor tak berujung” akan masuk“- anggota yang bilangan ganjil sebenarnya sama dengan nol dan “tidak kemana-mana” =) Itulah sebabnya kata kerja “akan muncul” digunakan dalam definisi tersebut. Dan, tentu saja, anggota rangkaian seperti ini juga “tidak kemana-mana”. Ngomong-ngomong, periksa apakah angka tersebut merupakan batasnya.

Sekarang kita akan menunjukkan bahwa barisan tersebut tidak mempunyai limit. Misalkan saja lingkungan suatu titik. Sangat jelas bahwa tidak ada angka yang setelahnya SEMUA suku akan berakhir di lingkungan tertentu - suku ganjil akan selalu “melompat” ke “minus satu”. Untuk alasan serupa, tidak ada batasan pada saat itu.

Mari kita konsolidasikan materi dengan latihan:

Contoh 1

Buktikan bahwa limit barisan tersebut adalah nol. Tentukan nomor setelah semua anggota barisan dijamin berada di dalam lingkungan kecil mana pun dari titik tersebut.

Catatan : Untuk banyak barisan, bilangan asli yang diperlukan bergantung pada nilainya - oleh karena itu notasinya .

Larutan: mempertimbangkan sewenang-wenang Apakah ada nomor – sehingga SEMUA anggota dengan nomor lebih tinggi akan berada dalam lingkungan ini:

Untuk menunjukkan keberadaan bilangan yang diperlukan, kita nyatakan melalui .

Karena untuk setiap nilai “en”, tanda modulusnya dapat dihilangkan:

Kami menggunakan tindakan “sekolah” dengan ketidaksetaraan yang saya ulangi di kelas Ketimpangan linier Dan Domain Fungsi. Dalam hal ini, keadaan penting adalah bahwa “epsilon” dan “en” adalah positif:

Karena kita berbicara tentang bilangan asli di sebelah kiri, dan ruas kanan umumnya pecahan, maka perlu dibulatkan:

Catatan : terkadang satu unit ditambahkan ke kanan agar aman, namun kenyataannya hal ini berlebihan. Secara relatif, jika kita melemahkan hasilnya dengan membulatkan ke bawah, maka bilangan terdekat (“tiga”) akan tetap memenuhi pertidaksamaan awal.

Sekarang kita melihat kesenjangan dan mengingat apa yang kita pertimbangkan pada awalnya sewenang-wenang-lingkungan, mis. "epsilon" bisa sama dengan siapa pun angka positif.

Kesimpulan: untuk setiap lingkungan kecil yang sewenang-wenang dari suatu titik, nilainya ditemukan . Jadi, suatu bilangan adalah limit suatu barisan menurut definisi. Q.E.D.

Ngomong-ngomong, dari hasil yang didapat pola alami terlihat jelas: semakin kecil lingkungannya, semakin besar jumlahnya, setelah itu SEMUA anggota barisan akan berada di lingkungan tersebut. Tapi tidak peduli seberapa kecil “epsilon” itu, akan selalu ada “ekor tak terbatas” di dalam dan di luar – bahkan jika itu besar, namun terakhir jumlah anggota.

Bagaimana kesan Anda? =) Saya setuju bahwa ini agak aneh. Tapi tegasnya! Silakan baca kembali dan pikirkan semuanya lagi.

Mari kita lihat contoh serupa dan berkenalan dengan teknik teknis lainnya:

Contoh 2

Larutan: menurut definisi suatu barisan, hal itu perlu dibuktikan (ucapkan dengan lantang!!!).

Mari kita pertimbangkan sewenang-wenang-lingkungan titik dan periksa, apakah itu ada bilangan asli – sehingga untuk semua bilangan yang lebih besar berlaku pertidaksamaan berikut:

Untuk menunjukkan adanya , Anda perlu menyatakan “en” melalui “epsilon”. Kami menyederhanakan ekspresi di bawah tanda modulus:

Modul ini menghancurkan tanda minus:

Penyebutnya positif untuk sembarang “en”, oleh karena itu, tongkatnya dapat dihilangkan:

Acak:

Sekarang kita perlu mengekstraknya Akar pangkat dua, namun yang menarik adalah untuk beberapa “epsilon” sisi kanannya akan menjadi negatif. Untuk menghindari masalah ini mari kita perkuat pertidaksamaan berdasarkan modulus:

Mengapa hal ini bisa dilakukan? Jika secara relatif ternyata , maka kondisinya juga akan terpenuhi. Modulnya bisa hanya meningkat nomor yang diinginkan, dan itu cocok untuk kita juga! Secara kasar, jika yang keseratus cocok, maka yang ke dua ratus juga cocok! Menurut definisi, Anda perlu menunjukkannya fakta keberadaan nomor tersebut(setidaknya beberapa), setelah itu semua anggota urutan akan berada di lingkungan -. Ngomong-ngomong, inilah mengapa kita tidak takut dengan pembulatan terakhir dari sisi kanan ke atas.

Mengekstrak akarnya:

Dan bulatkan hasilnya:

Kesimpulan: Karena nilai “epsilon” dipilih secara sewenang-wenang, kemudian untuk setiap lingkungan kecil yang sewenang-wenang dari titik tersebut, nilai tersebut ditemukan , sehingga untuk semua bilangan yang lebih besar, ketimpangan tetap berlaku . Dengan demikian, a-priori. Q.E.D.

saya menyarankan khususnya memahami penguatan dan pelemahan ketidaksetaraan adalah teknik yang khas dan sangat umum dalam analisis matematis. Satu-satunya hal yang perlu Anda pantau adalah kebenaran tindakan ini atau itu. Misalnya saja ketimpangan dalam keadaan apa pun hal itu tidak mungkin terjadi melonggarkan, mengurangi, katakanlah, satu:

Sekali lagi, dengan syarat: jika nomornya pas, maka nomor sebelumnya mungkin tidak muat lagi.

Contoh berikut untuk solusi independen:

Contoh 3

Dengan menggunakan definisi barisan, buktikan bahwa

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Jika urutannya sangat besar, maka definisi limit dirumuskan dengan cara yang sama: suatu titik disebut limit suatu barisan jika untuk sembarang, sebesar yang kamu suka suatu bilangan, terdapat suatu bilangan sedemikian rupa sehingga untuk semua bilangan yang lebih besar, pertidaksamaannya terpenuhi. Nomor tersebut dipanggil sekitar titik “plus tak terhingga”:

Dengan kata lain, terserah sangat penting Apa pun yang terjadi, “ekor tak terhingga” dari barisan tersebut pasti akan masuk ke lingkungan titik, hanya menyisakan sejumlah suku terbatas di sebelah kiri.

Contoh standar:

Dan notasi singkatnya: , jika

Untuk kasusnya, tuliskan sendiri definisinya. Versi yang benar ada di akhir pelajaran.

Setelah Anda memahami contoh-contoh praktis dan mengetahui definisi limit suatu barisan, Anda dapat membuka literatur tentang kalkulus dan/atau buku catatan kuliah Anda. Saya sarankan mengunduh Bohan volume 1 (lebih sederhana - untuk siswa korespondensi) dan Fichtenholtz (lebih detail dan detail). Di antara penulis lain, saya merekomendasikan Piskunov, yang kursusnya ditujukan untuk universitas teknik.

Cobalah untuk mempelajari dengan cermat teorema-teorema yang berkaitan dengan limit barisan, bukti-buktinya, konsekuensinya. Pada awalnya, teorinya mungkin tampak “mendung”, tetapi ini normal - Anda hanya perlu membiasakan diri. Dan banyak orang bahkan akan mencicipinya!

Definisi yang ketat tentang limit suatu fungsi

Mari kita mulai dengan hal yang sama - bagaimana merumuskannya konsep ini? Definisi verbal limit suatu fungsi dirumuskan lebih sederhana: “suatu bilangan adalah limit suatu fungsi jika “x” cenderung (kiri dan kanan), nilai fungsi yang bersangkutan cenderung » (lihat gambar). Segalanya tampak normal, tetapi kata tetaplah kata, makna tetaplah makna, ikon tetaplah ikon, dan notasi matematika yang ketat saja tidak cukup. Dan di paragraf kedua kita akan mengenal dua pendekatan untuk memecahkan masalah ini.

Biarkan fungsi tersebut terdefinisi pada interval tertentu, dengan kemungkinan pengecualian pada titik. DI DALAM literatur pendidikan secara umum diterima bahwa fungsinya ada Bukan didefinisikan:

Pilihan ini menekankan inti dari limit suatu fungsi: "X" sangat dekat pendekatan , dan nilai fungsi yang sesuai adalah sangat dekat Ke . Dengan kata lain, konsep limit tidak berarti “pendekatan eksak” terhadap suatu titik, melainkan perkiraan yang sangat dekat, tidak masalah apakah fungsinya terdefinisi pada titik tersebut atau tidak.

Definisi pertama limit suatu fungsi, tidak mengherankan, dirumuskan dengan menggunakan dua barisan. Pertama, konsep-konsepnya saling berhubungan, dan kedua, limit fungsi biasanya dipelajari setelah limit barisan.

Pertimbangkan urutannya poin (tidak pada gambar), termasuk dalam interval dan berbeda dari, yang menyatu Ke . Kemudian nilai-nilai fungsi yang bersesuaian juga membentuk barisan numerik, yang anggota-anggotanya terletak pada sumbu ordinat.

Batas suatu fungsi menurut Heine untuk apa pun urutan poin (milik dan berbeda dari), yang konvergen ke titik , barisan nilai fungsi yang bersesuaian konvergen ke .

Eduard Heine adalah seorang matematikawan Jerman. ...Dan tidak perlu memikirkan hal seperti itu, hanya ada satu gay di Eropa - Gay-Lussac =)

Definisi limit yang kedua telah dibuat... ya, ya, Anda benar. Tapi pertama-tama, mari kita pahami desainnya. Pertimbangkan -lingkungan titik yang berubah-ubah (lingkungan (lingkungan "hitam"). Berdasarkan paragraf sebelumnya, entri berarti demikian beberapa nilai fungsi terletak di dalam lingkungan "epsilon".

Sekarang kita menemukan -lingkungan yang sesuai dengan -lingkungan yang diberikan (secara mental gambar garis putus-putus hitam dari kiri ke kanan lalu dari atas ke bawah). Perhatikan bahwa nilainya dipilih sepanjang segmen yang lebih kecil, in pada kasus ini– sepanjang ruas kiri yang lebih pendek. Selain itu, lingkungan “raspberry” suatu titik bahkan dapat dikurangi, seperti pada definisi berikut fakta keberadaan itu penting lingkungan ini. Demikian pula, notasi tersebut berarti bahwa beberapa nilai berada dalam lingkungan “delta”.

Batas fungsi Cauchy: suatu bilangan disebut limit suatu fungsi di suatu titik jika untuk apa pun telah dipilih sebelumnya lingkungan (sekecil yang Anda suka), ada-lingkungan titik, SEPERTI, itu: SEBAGAI nilai HANYA (milik) termasuk dalam bidang ini: (panah merah)– JADI SEGERA nilai fungsi yang bersangkutan dijamin masuk ke -neighborhood: (panah biru).

Saya harus memperingatkan Anda bahwa demi kejelasan, saya melakukan sedikit improvisasi, jadi jangan berlebihan =)

Entri singkat: , jika

Apa inti dari definisi tersebut? Secara kiasan, dengan mengurangi -neighborhood secara tak terhingga, kita “menemani” nilai-nilai fungsi hingga batasnya, sehingga tidak ada alternatif lain untuk mendekatinya di tempat lain. Sangat tidak biasa, tapi sekali lagi ketat! Untuk memahami sepenuhnya gagasan tersebut, baca kembali kata-katanya.

! Perhatian: jika Anda hanya perlu merumuskan Definisi Heine atau hanya Definisi Cauchy tolong jangan lupakan penting komentar awal: "Pertimbangkan suatu fungsi yang didefinisikan pada interval tertentu, dengan kemungkinan pengecualian suatu titik". Saya menyatakan ini sekali di awal dan tidak mengulanginya setiap saat.

Menurut teorema analisis matematis yang sesuai, definisi Heine dan Cauchy adalah setara, tetapi opsi kedua adalah yang paling terkenal. (masih akan!), yang juga disebut "batas bahasa":

Contoh 4

Dengan menggunakan definisi limit, buktikan bahwa

Larutan: fungsi terdefinisi pada seluruh garis bilangan kecuali titik. Dengan menggunakan definisi tersebut, kita membuktikan adanya limit pada suatu titik tertentu.

Catatan : nilai lingkungan “delta” bergantung pada “epsilon”, oleh karena itu dinamakan demikian

Mari kita pertimbangkan sewenang-wenang-lingkungan. Tugasnya adalah menggunakan nilai ini untuk memeriksa apakah apakah itu ada-lingkungan, SEPERTI, yang mana dari pertidaksamaan ketimpangan menyusul .

Dengan asumsi , kita mentransformasikan pertidaksamaan terakhir:
(memperluas trinomial kuadrat)

Diberikan rumusan teorema utama dan sifat-sifat barisan bilangan yang mempunyai limit. Berisi definisi barisan dan limitnya. Operasi aritmatika dengan barisan, sifat-sifat yang berkaitan dengan pertidaksamaan, kriteria konvergensi, sifat-sifat barisan yang sangat kecil dan besar tak terhingga dipertimbangkan.

Isi

Sifat-sifat batas barisan yang berhingga

Properti dasar

Suatu titik a merupakan limit suatu barisan jika dan hanya jika terdapat di luar lingkungan titik tersebut jumlah elemen yang terbatas barisan atau himpunan kosong.

Jika bilangan a bukan merupakan limit barisan tersebut, maka terdapat lingkungan dari titik a yang diluarnya terdapat lingkungan elemen barisan yang jumlahnya tak terhingga.

Teorema keunikan limit suatu barisan bilangan. Jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut unik.

Jika suatu barisan mempunyai limit yang berhingga, maka barisan tersebut terbatas.

Jika setiap elemen barisan sama dengan angka yang sama C : maka barisan ini mempunyai limit sama dengan bilangan C .

Jika urutannya menambah, membuang, atau mengubah m elemen pertama, maka hal ini tidak akan mempengaruhi konvergensinya.

Bukti sifat dasar diberikan di halaman
Sifat dasar barisan barisan berhingga >>>.

Operasi aritmatika dengan limit

Misalkan ada limit berhingga untuk barisan dan . Dan misalkan C adalah suatu konstanta, yaitu suatu bilangan tertentu. Kemudian
;
;
;
, Jika .
Dalam kasus hasil bagi, diasumsikan bahwa untuk semua n.

Jika kemudian.

Bukti sifat aritmatika diberikan di halaman
Sifat aritmatika batas barisan berhingga >>>.

Properti yang terkait dengan kesenjangan

Jika unsur-unsur suatu barisan yang dimulai dari suatu bilangan tertentu memenuhi pertidaksamaan, maka limit a barisan tersebut juga memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Jika unsur-unsur barisan yang dimulai dari suatu bilangan tertentu termasuk dalam suatu interval (ruas) tertutup, maka limit a juga termasuk dalam interval tersebut: .

Jika dan dan unsur-unsur barisan yang dimulai dari suatu bilangan tertentu memenuhi pertidaksamaan , maka .

Jika dan, dimulai dari suatu bilangan, , maka .
Khususnya, jika, dimulai dari suatu bilangan, , maka
jika kemudian ;
jika kemudian .

Jika dan, maka.

Biarlah. Jika sebuah < b , maka ada bilangan asli N sehingga untuk semua n > N ketimpangan tetap terjadi.

Bukti sifat-sifat yang berhubungan dengan pertidaksamaan diberikan di halaman
Sifat-sifat batas barisan yang berhubungan dengan pertidaksamaan >>>.

Urutan yang sangat besar dan sangat kecil

Urutan yang sangat kecil

Barisan yang sangat kecil adalah barisan yang limitnya nol:
.

Jumlah dan selisihnya dari sejumlah barisan yang sangat kecil adalah barisan yang sangat kecil.

Produk dari barisan berbatas hingga sangat kecil adalah barisan yang sangat kecil.

Produk dari bilangan terbatas barisan yang sangat kecil adalah barisan yang sangat kecil.

Agar suatu barisan mempunyai limit a, maka perlu dan cukup bahwa , dimana adalah barisan yang sangat kecil.

Bukti sifat-sifat barisan yang sangat kecil diberikan di halaman
Barisan yang sangat kecil - definisi dan properti >>>.

Urutan yang sangat besar

Barisan yang besarnya tak terhingga adalah barisan yang mempunyai limit yang tak terhingga besarnya. Artinya, jika untuk sembarang bilangan positif terdapat bilangan asli N, bergantung pada sedemikian rupa sehingga untuk semua bilangan asli pertidaksamaan tersebut berlaku
.
Dalam hal ini mereka menulis
.
Atau di .
Mereka bilang itu cenderung tak terhingga.

Jika, dimulai dari suatu bilangan N, maka
.
Jika kemudian
.

Jika suatu barisan sangat besar, maka dimulai dari suatu bilangan N, maka suatu barisan didefinisikan sangat kecil. Jika suatu barisan sangat kecil dengan unsur-unsur yang bukan nol, maka barisan tersebut besarnya tak terhingga.

Jika barisan tersebut besarnya tak terhingga dan barisan tersebut terbatas, maka
.

Jika nilai absolut unsur-unsur barisan tersebut dibatasi dari bawah oleh bilangan positif (), dan sangat kecil jika unsur-unsurnya tidak sama dengan nol, maka
.

Secara detail definisi barisan yang sangat besar beserta contohnya diberikan di halaman
Definisi barisan yang sangat besar >>>.
Bukti sifat-sifat barisan yang sangat besar diberikan di halaman
Sifat-sifat barisan yang sangat besar >>> .

Kriteria konvergensi urutan

Urutan monoton

Barisan yang meningkat ketat adalah barisan yang semua elemennya memenuhi pertidaksamaan berikut:
.

Pertidaksamaan serupa menentukan barisan monotonik lainnya.

Urutan menurun secara ketat:
.
Urutan yang tidak menurun:
.
Urutan yang tidak meningkat:
.

Oleh karena itu, barisan yang meningkat secara ketat juga tidak menurun. Urutan yang sangat menurun juga tidak meningkat.

Barisan monotonik adalah barisan yang tidak bertambah atau tidak bertambah.

Barisan monotonik dibatasi pada setidaknya satu sisinya oleh nilai . Barisan tak menurun dibatasi di bawah ini: . Barisan tak bertambah dibatasi dari atas: .

teorema Weierstrass. Agar suatu barisan yang tidak menurun (tidak bertambah) mempunyai limit yang berhingga, maka barisan tersebut perlu dan cukup dibatasi dari atas (dari bawah). Di sini M adalah suatu angka.

Karena barisan tidak menurun (tidak bertambah) dibatasi dari bawah (dari atas), teorema Weierstrass dapat diutarakan ulang sebagai berikut:

Agar suatu barisan monotonik mempunyai limit yang berhingga, maka barisan tersebut perlu dan cukup dibatasi: .

Urutan tak terbatas yang monoton mempunyai limit yang tak terhingga, sama untuk barisan yang tidak bertambah dan tidak bertambah.

Bukti teorema Weierstrass diberikan di halaman
Teorema Weierstrass tentang limit barisan monoton >>>.

Kriteria Cauchy untuk konvergensi barisan

Kondisi Cauchy
Konsistensi memuaskan Kondisi Cauchy, jika untuk suatu bilangan terdapat bilangan asli sehingga untuk semua bilangan asli n dan m yang memenuhi syarat, pertidaksamaan tetap berlaku
.

Barisan fundamental adalah barisan yang memenuhi Kondisi Cauchy.

Kriteria Cauchy untuk konvergensi barisan. Agar suatu barisan mempunyai limit yang berhingga, maka barisan tersebut perlu dan cukup memenuhi syarat Cauchy.

Bukti kriteria konvergensi Cauchy diberikan di halaman
Kriteria Cauchy untuk konvergensi barisan >>>.

Selanjutnya

Teorema Bolzano-Weierstrass. Dari barisan berbatas mana pun seseorang dapat mengekstrak barisan yang konvergen. Dan dari barisan tak terbatas mana pun - barisan berikutnya yang sangat besar dan konvergen ke atau ke .

Bukti teorema Bolzano-Weierstrass diberikan di halaman
Teorema Bolzano–Weierstrass >>> .

Definisi, teorema dan sifat-sifat barisan dan limit parsial dibahas pada halaman ini
Barisan berikutnya dan batas parsial >>>.

Referensi:
CM. Nikolsky. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 2003.
V.A. Zorich. Analisis matematis. Bagian 1. Moskow, 1997.
V.A. Ilyin, mis. Poznyak. Dasar-dasar analisis matematika. Bagian 1. Moskow, 2005.

Lihat juga:

Urutan nomor.
Bagaimana ?

Pada pelajaran ini kita akan belajar banyak hal menarik dari kehidupan anggota komunitas besar bernama VKontakte urutan angka. Topik yang dibahas tidak hanya berkaitan dengan mata kuliah analisis matematis, tetapi juga menyentuh dasar-dasarnya matematika diskrit. Selain itu, materi tersebut akan dibutuhkan untuk menguasai bagian lain menara, khususnya selama penelitian seri angka Dan seri fungsional. Anda dapat mengatakan dengan klise bahwa ini penting, Anda dapat mengatakan dengan semangat bahwa ini sederhana, Anda dapat mengatakan lebih banyak frasa rutin, tetapi hari ini adalah minggu pertama sekolah yang sangat malas, jadi sangat menyakitkan bagi saya untuk menulis paragraf pertama =) I Aku sudah menyimpan file itu di hatiku dan bersiap-siap untuk tidur, ketika tiba-tiba... kepalaku diterangi oleh gagasan pengakuan yang tulus, yang luar biasa meringankan jiwaku dan mendorongku untuk terus mengetukkan jariku di keyboard. .

Mari kita istirahat sejenak dari kenangan musim panas dan melihat dunia baru yang menarik dan positif ini jaringan sosial:

Konsep barisan bilangan

Pertama, mari kita pikirkan tentang kata itu sendiri: apa itu urutan? Urutan adalah ketika sesuatu mengikuti sesuatu. Misalnya rangkaian tindakan, rangkaian musim. Atau ketika seseorang berada di belakang seseorang. Misalnya rangkaian orang yang sedang mengantri, rangkaian gajah dalam perjalanan menuju sumber air.

Mari kita segera memperjelas ciri-ciri barisan tersebut. Pertama, anggota urutan berada secara ketat dalam urutan tertentu. Jadi, jika dua orang dalam antrian ditukar, maka ini sudah terjadi lainnya selanjutnya. Kedua, semuanya anggota urutan Anda dapat menetapkan nomor seri:

Sama halnya dengan angka. Membiarkan untuk masing-masing nilai alami menurut beberapa aturan patuh bilangan real. Kemudian mereka mengatakan bahwa urutan numerik diberikan.

Ya, dalam masalah matematika, tidak seperti situasi kehidupan, barisan hampir selalu mengandung sangat banyak angka.

Di mana:
ditelepon anggota pertama urutan;
– anggota kedua urutan;
– anggota ketiga urutan;
…
– ke-n atau anggota biasa urutan;
…

Dalam praktiknya, urutannya biasanya diberikan rumus suku umum, Misalnya:
– barisan bilangan genap positif:

Jadi, catatan secara unik mendefinisikan semua anggota barisan - ini adalah aturan (rumus) yang menentukan nilai-nilai alami nomor dimasukkan ke dalam korespondensi. Oleh karena itu, barisan tersebut sering kali dilambangkan secara singkat dengan istilah umum, dan sebagai pengganti “x” dapat digunakan huruf Latin lainnya, misalnya:

Barisan bilangan ganjil positif :

Urutan umum lainnya:

Seperti yang mungkin telah diketahui banyak orang, variabel “en” berperan sebagai semacam penghitung.

Faktanya, kami pernah berurusan dengan urutan angka di sekolah menengah. Mari kita ingat perkembangan aritmatika. Saya tidak akan menulis ulang definisinya, mari kita bahas intinya di contoh spesifik. Biarlah suku pertama, dan – melangkah perkembangan aritmatika. Kemudian:
– periode kedua dari perkembangan ini;
– suku ketiga dari perkembangan ini;
- keempat;
- kelima;
…
Dan, tentu saja, suku ke-n diberikan berulang rumus

Catatan : dalam rumus berulang, setiap suku berikutnya dinyatakan dalam suku sebelumnya atau bahkan dalam himpunan keseluruhan suku sebelumnya.

Rumus yang dihasilkan tidak banyak berguna dalam praktiknya - untuk mendapatkan, katakanlah, ke , Anda harus melalui semua suku sebelumnya. Dan dalam matematika, ekspresi yang lebih tepat untuk suku ke-n dari suatu perkembangan aritmatika telah diturunkan: . Dalam kasus kami:

Gantikan bilangan asli ke dalam rumus dan periksa kebenaran barisan numerik yang dibuat di atas.

Perhitungan serupa dapat dilakukan untuk perkembangan geometri, suku ke-n diberikan dengan rumus , dimana suku pertama, dan – penyebut kemajuan. Dalam tugas matematika, suku pertama sering kali sama dengan satu.

perkembangan menentukan urutannya ;
kemajuan mengatur urutannya;
kemajuan mengatur urutannya ;
kemajuan mengatur urutannya .

Saya harap semua orang tahu bahwa –1 pangkat ganjil sama dengan –1, dan pangkat genap – satu.

Kemajuan disebut menurun tanpa batas, jika (dua kasus terakhir).

Mari tambahkan dua teman baru ke daftar kita, salah satunya baru saja mengetuk matriks monitor:

Urutan dalam jargon matematika disebut “blinker”:

Dengan demikian, anggota urutan dapat diulang. Jadi, dalam contoh yang dibahas, barisan tersebut terdiri dari dua bilangan yang berselang-seling tak terhingga.

Apakah suatu barisan terdiri dari bilangan-bilangan yang identik? Tentu. Misalnya, ia menetapkan jumlah “tiga” yang tak terhingga. Untuk estetika, ada kalanya “en” masih muncul secara formal dalam rumus:

Mari kita ajak teman sederhana untuk menari:

Apa yang terjadi jika "en" bertambah hingga tak terhingga? Jelas sekali, anggota barisan itu adalah sangat dekat mendekati nol. Inilah limit barisan tersebut, yang dituliskan sebagai berikut:

Jika limit suatu barisan adalah nol, maka barisan tersebut disebut kecil sekali.

Dalam teori analisis matematis hal itu diberikan definisi ketat dari batas urutan melalui apa yang disebut lingkungan epsilon. Artikel selanjutnya akan membahas definisi ini, tetapi untuk saat ini mari kita lihat maknanya:

Mari kita gambarkan pada garis bilangan suku-suku barisan dan lingkungan yang simetris terhadap nol (batas):

Sekarang cubit area biru dengan tepi telapak tangan dan mulailah mengecilkannya, tarik ke arah batas (titik merah). Angka adalah batas suatu urutan jika UNTUK -lingkungan APAPUN yang telah dipilih sebelumnya (sekecil yang Anda suka) akan berada di dalamnya sangat banyak anggota urutan, dan DI LUARnya - saja terakhir jumlah anggota (atau tidak sama sekali). Artinya, lingkungan epsilon bisa berukuran mikroskopis, dan bahkan lebih kecil, tetapi “ekor tak terbatas” dari rangkaian tersebut cepat atau lambat harus sepenuhnya memasuki area tersebut.

Urutannya juga sangat kecil: dengan perbedaan bahwa anggotanya tidak melompat maju mundur, tetapi mendekati batas secara eksklusif dari kanan.

Tentu saja, limitnya bisa sama dengan bilangan berhingga lainnya, contoh dasar:

Di sini pecahannya cenderung nol, dan karenanya, limitnya sama dengan “dua”.

Jika urutannya ada batas yang terbatas, lalu disebut konvergen(secara khusus, kecil sekali pada ). DI DALAM jika tidak – berbeda, dalam hal ini, ada dua pilihan yang mungkin: batasnya tidak ada sama sekali, atau tidak terbatas. Dalam kasus terakhir, urutannya disebut sangat besar. Mari kita lihat contoh paragraf pertama:

Urutan adalah sangat besar, saat anggotanya dengan percaya diri bergerak menuju “plus infinity”:

Perkembangan aritmatika dengan suku dan langkah pertama juga sangat besar:

Omong-omong, setiap perkembangan aritmatika juga menyimpang, kecuali kasus dengan langkah nol - ketika . Limit barisan tersebut ada dan berimpit dengan suku pertama.

Urutannya memiliki nasib serupa:

Setiap perkembangan geometri yang menurun tak terhingga, seperti namanya, sangat kecil:

Jika penyebut suatu barisan geometri adalah , maka barisan tersebut besarnya tak terhingga:

Jika, misalnya, limitnya tidak ada sama sekali, karena anggotanya tanpa kenal lelah melompat ke “plus tak terhingga” atau ke “minus tak terhingga”. Dan akal sehat serta teorema Matan menyatakan bahwa jika ada sesuatu yang berjuang di suatu tempat, maka ini adalah satu-satunya tempat yang disayangi.

Setelah sedikit wahyu menjadi jelas bahwa "lampu kilat" adalah penyebab lemparan yang tidak terkendali, yang, bagaimanapun, menyimpang dengan sendirinya.
Memang benar, untuk suatu barisan, mudah untuk memilih -lingkungan yang, katakanlah, hanya menjepit angka –1. Akibatnya, jumlah anggota barisan (“plus satu”) yang jumlahnya tak terhingga akan tetap berada di luar lingkungan ini. Namun menurut definisi, “ekor tak terhingga” dari barisan dari momen tertentu (bilangan asli) haruslah sepenuhnya pergilah ke wilayah APAPUN dari batas Anda. Kesimpulan: langit adalah batasnya.

Faktorial adalah sangat besar urutan:

Apalagi berkembang pesat, sehingga merupakan bilangan yang memiliki lebih dari 100 digit (digit)! Kenapa tepatnya 70? Di atasnya mikrokalkulator teknik saya memohon belas kasihan.

Dengan tembakan kontrol, semuanya menjadi sedikit lebih rumit, dan kita baru saja sampai pada bagian praktis dari kuliah ini, di mana kita akan menganalisis contoh pertempuran:

Namun sekarang Anda harus mampu menyelesaikan batasan fungsi, setidaknya pada tingkat dua pelajaran dasar: Batasan. Contoh solusi Dan Batasan yang Luar Biasa. Karena banyak metode solusi yang serupa. Namun, pertama-tama, mari kita analisis perbedaan mendasar antara limit suatu barisan dan limit suatu fungsi:

Pada limit barisan, variabel “dinamis” “en” dapat cenderung hanya untuk “plus tak terhingga”– menuju peningkatan bilangan asli .
Dalam limit fungsi, “x” dapat diarahkan ke mana saja – ke “plus/minus tak terhingga” atau ke bilangan real sembarang.

Selanjutnya terpisah(terputus-putus), yaitu terdiri dari anggota-anggota yang terisolasi secara individu. Satu, dua, tiga, empat, lima, kelinci keluar jalan-jalan. Argumentasi suatu fungsi bercirikan kontinuitas, yaitu “X” mulus, tanpa insiden, cenderung ke satu nilai atau lainnya. Dan karenanya, nilai fungsi juga akan terus mendekati batasnya.

Karena kebijaksanaan di dalam barisan terdapat ciri khasnya sendiri, seperti faktorial, “lampu berkedip”, perkembangan, dll. Dan sekarang saya akan mencoba menganalisis batasan yang khusus untuk barisan.

Mari kita mulai dengan perkembangan:

Contoh 1

Temukan limit barisan tersebut

Larutan: sesuatu yang mirip dengan perkembangan geometri yang menurun tak terhingga, tapi benarkah demikian? Agar lebih jelas, mari kita tuliskan beberapa istilah pertama:

Sejak itu, kita sedang membicarakannya jumlah suku-suku barisan geometri yang menurun tak terhingga, yang dihitung dengan rumus.

Mari kita ambil keputusan:

Kami menggunakan rumus untuk jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga: . Dalam hal ini: – suku pertama, – penyebut barisan tersebut.

Contoh 2

Tuliskan empat suku pertama barisan tersebut dan tentukan limitnya

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Untuk menghilangkan ketidakpastian pada pembilangnya, Anda perlu menerapkan rumus jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika:
, dimana adalah suku pertama dan a adalah suku ke-n dari barisan tersebut.

Karena dalam barisan "en" selalu cenderung "plus tak terhingga", tidak mengherankan jika ketidakpastian adalah salah satu yang paling populer.
Dan banyak contoh diselesaikan dengan cara yang persis sama seperti batas fungsi!

Atau mungkin sesuatu yang lebih rumit seperti ? Lihat Contoh No. 3 artikel tersebut Metode untuk memecahkan batasan.

Dari sudut pandang formal, perbedaannya hanya pada satu huruf - “x” di sini, dan “en” di sini.
Tekniknya sama - pembilang dan penyebut harus dibagi dengan “en” sampai pangkat tertinggi.

Selain itu, ketidakpastian dalam suatu rangkaian cukup umum terjadi. Anda dapat mempelajari cara menyelesaikan limit dari Contoh No. 11-13 di artikel yang sama.

Untuk memahami batasannya, lihat Contoh No. 7 pelajaran Batasan yang Luar Biasa(batas luar biasa kedua juga berlaku untuk kasus diskrit). Solusinya lagi-lagi akan seperti salinan karbon dengan perbedaan satu huruf.

Empat contoh berikutnya (No. 3-6) juga “bermuka dua”, namun dalam praktiknya karena alasan tertentu mereka lebih merupakan karakteristik batas barisan daripada batas fungsi:

Contoh 3

Temukan limit barisan tersebut

Larutan: pertama solusi lengkapnya, lalu komentar langkah demi langkah:

(1) Pada pembilangnya kita menggunakan rumus dua kali.

(2) Kami menyajikan suku-suku serupa pada pembilangnya.

(3) Untuk menghilangkan ketidakpastian, bagilah pembilang dan penyebutnya dengan (“en” sampai derajat tertinggi).

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit.

Contoh 4

Temukan limit barisan tersebut

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri, rumus perkalian yang disingkat untuk membantu.

Dalam s indikatif Barisan menggunakan cara yang sama dalam membagi pembilang dan penyebutnya:

Contoh 5

Temukan limit barisan tersebut

Larutan Mari kita atur sesuai dengan skema yang sama:

Teorema serupa juga berlaku untuk fungsi: hasil kali fungsi terbatas dan fungsi yang sangat kecil adalah fungsi yang sangat kecil.

Contoh 9

Temukan limit barisan tersebut

Pengertian limit barisan dan fungsi, sifat-sifat limit, limit luar biasa pertama dan kedua, contoh.

Angka konstan A ditelepon membatasi urutan(x n), jika untuk sembarang bilangan positif kecil ε > 0 terdapat bilangan N sehingga semua nilai xn, yang mana n>N, memenuhi pertidaksamaan

Tuliskan sebagai berikut: atau x n → a.

Ketimpangan (6.1) setara dengan ketimpangan ganda

sebuah - ε< x n < a + ε которое означает, что точки xn, dimulai dari suatu bilangan n>N, terletak di dalam interval (a-ε , a+ε), yaitu. jatuh ke lingkungan ε kecil mana pun dari titik tersebut A.

Barisan yang mempunyai limit disebut konvergen, jika tidak - berbeda.

Konsep limit suatu fungsi merupakan generalisasi dari konsep limit suatu barisan, karena limit suatu barisan dapat dianggap sebagai limit suatu fungsi x n = f(n) dari argumen bilangan bulat N.

Biarkan fungsi f(x) diberikan dan biarkan A - titik batas domain definisi fungsi ini D(f), yaitu suatu titik, setiap lingkungannya memuat titik-titik himpunan D(f) selain A. Dot A mungkin termasuk dalam himpunan D(f) atau tidak.

Definisi 1. Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→ a, jika untuk sembarang barisan (x n ) nilai argumen cenderung A, barisan-barisan yang bersesuaian (f(x n)) mempunyai limit A yang sama.

Definisi ini disebut menentukan limit suatu fungsi menurut Heine, atau " dalam bahasa urutan”.

Definisi 2. Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→a, jika, diberi bilangan positif kecil ε yang sembarang dan sembarang, kita dapat menemukan δ >0 (bergantung pada ε) sehingga untuk semua X, terletak di lingkungan ε dari nomor tersebut A, yaitu. Untuk X, memuaskan ketimpangan
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Definisi ini disebut dengan mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Cauchy, atau “dalam bahasa ε - δ"

Definisi 1 dan 2 setara. Jika fungsi f(x) sebagai x → a dimiliki membatasi, sama dengan A, ditulis dalam bentuk

Jika barisan (f(x n)) bertambah (atau berkurang) tanpa batas untuk metode pendekatan apa pun X sampai batasmu A, maka kita akan mengatakan bahwa fungsi tersebut f(x) miliki batas tak terbatas, dan tuliskan dalam bentuk:

Variabel (yaitu barisan atau fungsi) yang limitnya nol disebut sangat kecil.

Variabel yang limitnya sama dengan tak terhingga disebut sangat besar.

Untuk mencari limit dalam prakteknya digunakan teorema berikut.

Teorema 1 . Jika setiap batasan ada

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar. Ekspresi dalam bentuk 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ tidak pasti, misalnya rasio dua besaran yang sangat kecil atau sangat besar, dan menemukan limit jenis ini disebut “pengungkapan ketidakpastian”.

Teorema 2.

itu. seseorang dapat mencapai batas berdasarkan pangkat dengan eksponen konstan, khususnya,

Teorema 3.

(6.11)

Di mana e» 2.7 - basis logaritma natural. Rumus (6.10) dan (6.11) disebut limit luar biasa pertama dan limit luar biasa kedua.

Konsekuensi dari rumus (6.11) juga digunakan dalam praktik:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

khususnya batasnya,

Jika x → a dan pada saat yang sama x > a, maka tulislah x →a + 0. Jika, khususnya, a = 0, maka alih-alih simbol 0+0 tulislah +0. Demikian pula jika x→a dan pada saat yang sama x dan dipanggil sesuai dengan itu batas yang tepat Dan batas kiri fungsi f(x) pada intinya A. Agar terdapat limit dari fungsi f(x) sebagai x→ a maka hal tersebut perlu dan cukup . Fungsi f(x) dipanggil kontinu pada intinya x 0 jika batas

(6.15)

Kondisi (6.15) dapat ditulis ulang menjadi:

yaitu, perjalanan menuju limit di bawah tanda suatu fungsi dimungkinkan jika fungsi tersebut kontinu pada suatu titik tertentu.

Jika persamaan (6.15) dilanggar, maka kami katakan demikian pada x = x o fungsi f(x) Memiliki celah Perhatikan fungsi y = 1/x. Daerah definisi fungsi ini adalah himpunan R, kecuali x = 0. Titik x = 0 adalah titik limit himpunan D(f), karena di lingkungan mana pun, mis. dalam setiap interval terbuka yang memuat titik 0, terdapat titik-titik dari D(f), tetapi titik itu sendiri tidak termasuk dalam himpunan ini. Nilai f(xo)= f(0) tidak terdefinisi, sehingga pada titik x o = 0 fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas.

Fungsi f(x) dipanggil kontinu di sebelah kanan pada titik tersebut x o jika batasnya

Dan kontinu di sebelah kiri pada titik tersebut x o, jika batasnya

Kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik xo setara dengan kontinuitasnya pada titik ini baik ke kanan maupun ke kiri.

Agar fungsinya kontinu di suatu titik xo, misalnya, di sebelah kanan, pertama, harus ada limit yang berhingga, dan kedua, limit tersebut harus sama dengan f(xo). Oleh karena itu, jika setidaknya salah satu dari kedua kondisi tersebut tidak terpenuhi, maka fungsi tersebut akan mengalami diskontinuitas.

1. Jika limitnya ada dan tidak sama dengan f(xo), maka dikatakan demikian fungsi f(x) pada intinya x o punya pecahnya jenis pertama, atau melompat.

2. Jika limitnya +∞ atau -∞ atau tidak ada, maka dikatakan demikian titik xo fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas jenis kedua.

Misalnya fungsi y = ctg x sebagai x → +0 mempunyai limit sama dengan +∞, artinya pada titik x=0 mempunyai diskontinuitas jenis kedua. Fungsi y = E(x) (bagian bilangan bulat dari X) pada titik-titik yang absisnya utuh mempunyai diskontinuitas jenis pertama, atau lompatan.

Suatu fungsi yang kontinu pada setiap titik dalam interval disebut kontinu V . Fungsi kontinu diwakili oleh kurva padat.

Banyak masalah yang terkait dengan pertumbuhan kuantitas tertentu yang terus-menerus mengarah pada batas luar biasa kedua. Tugas-tugas tersebut, misalnya, meliputi: pertumbuhan simpanan menurut hukum bunga majemuk, pertumbuhan penduduk suatu negara, peluruhan zat radioaktif, perkembangbiakan bakteri, dan lain-lain.

Mari kita pertimbangkan contoh Ya.I. Perelman, memberikan interpretasi nomor tersebut e dalam masalah bunga majemuk. Nomor e ada batasnya . Di bank tabungan, uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap tahunnya. Jika aksesi dilakukan lebih sering, maka modal tumbuh lebih cepat, karena jumlah yang lebih besar terlibat dalam pembentukan bunga. Mari kita ambil contoh yang murni teoretis dan sangat disederhanakan. Biarkan 100 penyangkal disetorkan ke bank. unit berdasarkan 100% per tahun. Jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap hanya setelah satu tahun, maka pada periode ini 100 den. unit akan berubah menjadi 200 unit moneter. Sekarang mari kita lihat 100 denize akan berubah menjadi apa. unit, jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap enam bulan. Setelah enam bulan, 100 sarang. unit akan tumbuh sebesar 100 × 1,5 = 150, dan setelah enam bulan berikutnya - sebesar 150 × 1,5 = 225 (den. unit). Jika aksesi dilakukan setiap 1/3 tahun, maka setelah satu tahun 100 sarang. unit akan berubah menjadi 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (satuan ruang). Kami akan menambah ketentuan penambahan uang bunga menjadi 0,1 tahun, menjadi 0,01 tahun, menjadi 0,001 tahun, dan seterusnya. Kemudian dari 100 ruang kerja. unit setelah satu tahun akan menjadi:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (satuan ruang),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (satuan ruang),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (satuan ruang).

Dengan pengurangan yang tidak terbatas dalam syarat penambahan bunga, akumulasi modal tidak tumbuh tanpa batas, tetapi mendekati batas tertentu yang setara dengan sekitar 271. Modal yang disetorkan sebesar 100% per tahun tidak dapat meningkat lebih dari 2,71 kali lipat, bahkan jika bunga yang masih harus dibayar ditambahkan ke modal setiap detik karena batasnya

Contoh 3.1. Dengan menggunakan definisi limit suatu barisan bilangan, buktikan bahwa barisan x n =(n-1)/n mempunyai limit sama dengan 1.

Larutan. Kita perlu membuktikan bahwa, berapapun ε > 0 yang kita ambil, karena bilangan tersebut terdapat bilangan asli N sehingga untuk semua n > N pertidaksamaan |x n -1|< ε

Ambil ε > 0. Karena x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, maka untuk mencari N cukup menyelesaikan pertidaksamaan 1/n<ε. Отсюда n>1/ε dan oleh karena itu, N dapat dianggap sebagai bagian bilangan bulat dari 1/ε N = E(1/ε). Dengan demikian kami telah membuktikan bahwa batasnya.

Contoh 3.2. Temukan limit suatu barisan yang diberikan oleh suku yang sama

Larutan. Mari kita terapkan limit teorema penjumlahan dan temukan limit setiap suku. Karena n → ∞, pembilang dan penyebut tiap suku cenderung tak terhingga, dan kita tidak bisa langsung menerapkan teorema batas hasil bagi. Oleh karena itu, pertama-tama kita bertransformasi xn, membagi pembilang dan penyebut suku pertama dengan n 2, dan yang kedua aktif N. Kemudian, dengan menerapkan limit hasil bagi dan limit teorema penjumlahan, kita peroleh:

Contoh 3.3. . Menemukan .

Larutan.

Di sini kita menggunakan teorema limit derajat: limit suatu derajat sama dengan derajat limit alasnya.

Contoh 3.4. Menemukan ( ).

Larutan. Tidak mungkin menerapkan teorema limit selisih, karena kita mempunyai ketidakpastian dalam bentuk ∞-∞. Mari kita ubah rumus suku umum:

Contoh 3.5. Fungsi f(x)=2 1/x diberikan. Buktikan bahwa tidak ada batasan.

Larutan. Mari kita gunakan definisi 1 dari limit suatu fungsi melalui suatu barisan. Mari kita ambil barisan ( x n ) yang konvergen ke 0, yaitu. Mari kita tunjukkan bahwa nilai f(x n)= berperilaku berbeda untuk barisan yang berbeda. Misalkan x n = 1/n. Jelas, itulah batasnya Sekarang mari kita pilih sebagai xn barisan yang sukunya sama x n = -1/n, juga cenderung nol. Oleh karena itu tidak ada batasan.

Contoh 3.6. Buktikan bahwa tidak ada batasan.

Larutan. Misalkan x 1 , x 2 ,..., x n ,... adalah barisan yang
. Bagaimana perilaku barisan (f(x n)) = (sin x n) untuk x n → ∞ yang berbeda

Jika x n = p n, maka sin x n = sin (hal n) = 0 untuk semua N dan batas Jika
xn =2 p n+ p /2, maka sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 untuk semua N dan karena itu batasnya. Jadi itu tidak ada.

Mari kita mulai dengan kasus tersulit. Hal pertama dan terpenting adalah Anda tidak harus berhenti belajar. Pahami dengan benar, Anda selalu bisa berhenti ;-) Tentu saja, jika setelah satu atau dua tahun Anda merasa sakit karena spesialisasi pilihan Anda, maka ya, Anda harus memikirkannya (dan jangan marah!) tentang perubahan aktivitas. Namun untuk saat ini, hal ini layak untuk dilanjutkan. Dan tolong lupakan kalimat "Saya tidak mengerti apa-apa" - bukan berarti Anda tidak mengerti apa-apa.

– Pertama, sebagian besar pengetahuan teoretis muncul melalui praktik. Dan itulah mengapa banyak orang memahami teori ini melalui... – benar! Tidak, tidak, kamu tidak memikirkan hal itu =)

Simbol apa saja selain tanda pertidaksamaan dan modulus yang anda ketahui?

– untuk semua “en” yang lebih besar dari ;

– tanda modulus berarti jarak, yaitu. entri ini memberi tahu kita bahwa jarak antar nilai lebih kecil dari epsilon.

Nah, apakah ini sangat sulit? =)

Setelah menguasai latihan, saya berharap dapat bertemu Anda di paragraf berikutnya:

Oke, mari kita tuliskan selanjutnya :

Tidak sulit untuk memahami hal itu selanjutnya pendekatannya sangat dekat dengan angka –1, dan suku-suku genap - untuk satu".

Catatan : barisan tersebut tidak mempunyai limit, tetapi dua barisan dapat dibedakan dari barisan tersebut (lihat di atas), yang masing-masing mempunyai limitnya sendiri.