Egenskaper för logaritmer och exempel på deras lösningar. The Comprehensive Guide (2019). Grundläggande egenskaper för logaritmer 8 logaritmer deras egenskaper

När samhället utvecklades och produktionen blev mer komplex utvecklades också matematiken. Rörelse från enkel till komplex. Från vanlig redovisning med metoden för addition och subtraktion, med deras upprepade upprepning, kom vi till begreppet multiplikation och division. Att minska den upprepade operationen av multiplikation blev begreppet exponentiering. De första tabellerna över talens beroende av basen och antalet exponentiering sammanställdes redan på 800-talet av den indiske matematikern Varasena. Från dem kan du räkna tidpunkten för förekomsten av logaritmer.

Historisk skiss

Väckelsen av Europa på 1500-talet stimulerade också mekanikens utveckling. T krävde en stor mängd beräkningar relaterat till multiplikation och division av flersiffriga tal. De gamla borden var till stor tjänst. De gjorde det möjligt att ersätta komplexa operationer med enklare - addition och subtraktion. Ett stort steg framåt var matematikern Michael Stiefels arbete, publicerat 1544, där han förverkligade idén om många matematiker. Detta gjorde det möjligt att använda tabeller inte bara för potenser i form av primtal, utan också för godtyckliga rationella sådana.

År 1614 introducerade skotten John Napier, som utvecklade dessa idéer, den nya termen "logaritm av ett tal." Nya komplexa tabeller sammanställdes för att beräkna logaritmerna för sinus och cosinus, samt tangenter. Detta minskade kraftigt astronomernas arbete.

Nya tabeller började dyka upp, som framgångsrikt användes av forskare i tre århundraden. Det gick mycket tid innan den nya operationen i algebra fick sin färdiga form. Definitionen av logaritmen gavs och dess egenskaper studerades.

Först på 1900-talet, med tillkomsten av räknaren och datorn, övergav mänskligheten de antika tabellerna som hade fungerat framgångsrikt under 1200-talet.

Idag kallar vi logaritmen för b för att basera a för talet x som är makten av a för att göra b. Detta skrivs som en formel: x = log a(b).

Till exempel skulle log 3(9) vara lika med 2. Detta är uppenbart om du följer definitionen. Om vi ​​höjer 3 till 2 får vi 9.

Den formulerade definitionen sätter alltså bara en begränsning: talen a och b måste vara reella.

Typer av logaritmer

Den klassiska definitionen kallas den verkliga logaritmen och är egentligen lösningen på ekvationen a x = b. Alternativ a = 1 är på gränsen och är inte av intresse. Observera: 1 till valfri potens är lika med 1.

Verkligt värde på logaritmen definieras endast när basen och argumentet är större än 0, och basen får inte vara lika med 1.

Särskild plats inom området matematik spela logaritmer, som kommer att namnges beroende på storleken på deras bas:

Regler och begränsningar

Den grundläggande egenskapen hos logaritmer är regeln: logaritmen för en produkt är lika med den logaritmiska summan. log abp = log a(b) + log a(p).

Som en variant av detta påstående kommer det att finnas: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvotfunktionen är lika med skillnaden mellan funktionerna.

Från de två föregående reglerna är det lätt att se att: log a(b p) = p * log a(b).

Andra fastigheter inkluderar:

Kommentar. Det finns inget behov av att göra ett vanligt misstag - logaritmen för en summa är inte lika med summan av logaritmerna.

Under många århundraden var operationen att hitta en logaritm en ganska tidskrävande uppgift. Matematiker använde den välkända formeln för den logaritmiska teorin om polynomexpansion:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), där n är ett naturligt tal större än 1, vilket bestämmer beräkningens noggrannhet.

Logaritmer med andra baser beräknades med hjälp av satsen om övergången från en bas till en annan och egenskapen hos produktens logaritm.

Eftersom denna metod är mycket arbetskrävande och när man löser praktiska problem svåra att implementera använde vi förkompilerade tabeller med logaritmer, vilket avsevärt snabbade upp allt arbete.

I vissa fall användes specialdesignade grafer av logaritmer, vilket gav mindre noggrannhet, men avsevärt snabbade upp sökningen efter det önskade värdet. Kurvan för funktionen y = log a(x), konstruerad över flera punkter, låter dig använda en vanlig linjal för att hitta värdet på funktionen vid vilken annan punkt som helst. Under lång tid använde ingenjörer så kallat millimeterpapper för dessa ändamål.

På 1600-talet uppträdde de första extra analoga beräkningsvillkoren, som på 1800-talet fick en komplett form. Den mest framgångsrika enheten kallades skjutregeln. Trots enhetens enkelhet påskyndade dess utseende avsevärt processen för alla tekniska beräkningar, och detta är svårt att överskatta. För närvarande är det få människor som känner till den här enheten.

Tillkomsten av miniräknare och datorer gjorde användningen av andra enheter meningslös.

Ekvationer och ojämlikheter

För att lösa olika ekvationer och olikheter med logaritmer används följande formler:

• Att flytta från en bas till en annan: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Som en konsekvens av det föregående alternativet: log a(b) = 1 / log b(a).

För att lösa ojämlikheter är det användbart att veta:

• Värdet på logaritmen kommer att vara positivt endast om basen och argumentet är både större eller mindre än ett; om minst ett villkor överträds kommer logaritmvärdet att vara negativt.
• Om logaritmfunktionen appliceras på höger och vänster sida av en olikhet, och basen för logaritmen är större än ett, så bevaras olikhetens tecken; annars ändras det.

Provproblem

Låt oss överväga flera alternativ för att använda logaritmer och deras egenskaper. Exempel på att lösa ekvationer:

Tänk på alternativet att placera logaritmen i en potens:

• Uppgift 3. Beräkna 25^log 5(3). Lösning: i förhållande till problemet liknar posten följande (5^2)^log5(3) eller 5^(2 * log 5(3)). Låt oss skriva det annorlunda: 5^log 5(3*2), eller kvadraten på ett tal som funktionsargument kan skrivas som kvadraten på själva funktionen (5^log 5(3))^2. Med hjälp av logaritmers egenskaper är detta uttryck lika med 3^2. Svar: som ett resultat av beräkningen får vi 9.

Praktisk användning

Eftersom det är ett rent matematiskt verktyg, verkar det långt ifrån det verkliga livet som logaritmen plötsligt fick stor betydelse för att beskriva objekt i den verkliga världen. Det är svårt att hitta en vetenskap där den inte används. Detta gäller fullt ut inte bara för naturliga, utan också för humanitära kunskapsområden.

Logaritmiska beroenden

Här är några exempel på numeriska beroenden:

Mekanik och fysik

Historiskt sett har mekanik och fysik alltid utvecklats med hjälp av matematiska forskningsmetoder och samtidigt tjänat som ett incitament för utvecklingen av matematik, inklusive logaritmer. Teorin om de flesta fysikens lagar är skriven på matematikens språk. Låt oss bara ge två exempel på att beskriva fysiska lagar med logaritmen.

Problemet med att beräkna en så komplex kvantitet som hastigheten på en raket kan lösas genom att använda Tsiolkovsky-formeln, som lade grunden för teorin om rymdutforskning:

V = I * In (M1/M2), där

• V är flygplanets sluthastighet.
• I – specifik impuls av motorn.
• M 1 – raketens initiala massa.
• M 2 – slutmassa.

Ett annat viktigt exempel- detta används i formeln för en annan stor vetenskapsman Max Planck, som tjänar till att utvärdera jämviktstillståndet i termodynamiken.

S = k * ln (Ω), där

• S – termodynamisk egenskap.
• k – Boltzmann konstant.
• Ω är den statistiska vikten av olika tillstånd.

Kemi

Mindre uppenbart är användningen av formler i kemi som innehåller förhållandet mellan logaritmer. Låt oss bara ge två exempel:

• Nernst-ekvationen, tillståndet för mediets redoxpotential i förhållande till ämnens aktivitet och jämviktskonstanten.
• Beräkningen av sådana konstanter som autolysindex och lösningens surhet kan inte heller göras utan vår funktion.

Psykologi och biologi

Och det är inte alls klart vad psykologi har med det att göra. Det visar sig att känslans styrka beskrivs väl av denna funktion som det omvända förhållandet mellan stimulansintensitetsvärdet och det lägre intensitetsvärdet.

Efter ovanstående exempel är det inte längre förvånande att ämnet logaritmer används i stor utsträckning inom biologin. Hela volymer skulle kunna skrivas om biologiska former som motsvarar logaritmiska spiraler.

Andra områden

Det verkar som om världens existens är omöjlig utan samband med denna funktion, och den styr alla lagar. Speciellt när naturlagarna är förknippade med geometrisk progression. Det är värt att vända sig till MatProfi-webbplatsen, och det finns många sådana exempel inom följande verksamhetsområden:

Listan kan vara oändlig. Efter att ha bemästrat de grundläggande principerna för denna funktion kan du kasta dig in i en värld av oändlig visdom.

Låt oss börja med egenskaper hos en logaritm. Dess formulering är som följer: logaritmen för enhet är lika med noll, det vill säga, logga en 1=0 för vilken som helst a>0, a≠1. Beviset är inte svårt: eftersom a 0 =1 för varje a som uppfyller ovanstående villkor a>0 och a≠1, så följer den likhetslog a 1=0 som ska bevisas omedelbart av definitionen av logaritmen.

Låt oss ge exempel på tillämpningen av den aktuella egenskapen: log 3 1=0, log1=0 och .

Låt oss gå vidare till nästa fastighet: logaritmen för ett tal lika med basen är lika med ett, det är, log a a=1 för a>0, a≠1. Faktum är att eftersom a 1 =a för vilket a som helst, då logaritmen log a a = 1 enligt logaritmen.

Exempel på användning av denna egenskap hos logaritmer är likheterna log 5 5=1, log 5,6 5,6 och lne=1.

Till exempel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 och .

Logaritm av produkten av två positiva tal x och y är lika med produkten av logaritmerna av dessa tal: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Låt oss bevisa egenskapen hos en produkts logaritm. På grund av gradens egenskaper a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, och eftersom av den logaritmiska huvudidentiteten a log a x =x och en log a y =y, sedan a log a x ·a log a y =x·y. Således, en log a x+log a y =x·y, från vilken, enligt definitionen av en logaritm, den likhet som bevisas följer.

Låt oss visa exempel på hur man använder egenskapen för logaritmen för en produkt: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 och .

Egenskapen för en produkts logaritm kan generaliseras till produkten av ett ändligt antal n av positiva tal x 1 , x 2 , …, x n som log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . Denna jämlikhet kan bevisas utan problem.

Till exempel kan produktens naturliga logaritm ersättas med summan av tre naturliga logaritmer av talen 4, e och.

Logaritm av kvoten av två positiva tal x och y är lika med skillnaden mellan logaritmerna för dessa tal. Egenskapen för logaritmen för en kvot motsvarar en formel av formen , där a>0, a≠1, x och y är några positiva tal. Giltigheten av denna formel är bevisad liksom formeln för logaritmen för en produkt: sedan , då per definition av en logaritm.

Här är ett exempel på hur du använder denna egenskap hos logaritmen: .

Låt oss gå vidare till egenskapen hos potensens logaritm. Logaritmen för en grad är lika med produkten av exponenten och logaritmen av modulen för basen för denna grad. Låt oss skriva denna egenskap hos en potenss logaritm som en formel: log a b p =p·log a |b|, där a>0, a≠1, b och p är tal så att graden b p är vettig och b p >0.

Först bevisar vi denna egenskap för positiv b. Den grundläggande logaritmiska identiteten tillåter oss att representera talet b som en log a b , sedan b p =(a log a b) p , och det resulterande uttrycket, på grund av egenskapen makt, är lika med en p·log a b . Så vi kommer till likheten b p =a p·log a b, av vilken vi, genom definitionen av en logaritm, drar slutsatsen att log a b p = p·log a b.

Det återstår att bevisa denna egenskap för negativ b. Här noterar vi att uttrycket log a b p för negativt b är vettigt bara för jämna exponenter p (eftersom värdet på graden b p måste vara större än noll, annars kommer logaritmen inte att vara vettig), och i detta fall b p =|b| sid. Sedan b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, varifrån log a b p =p·log a |b| .

Till exempel, och ln(-3)4=4·ln|-3|=4·ln3.

Det följer av den tidigare fastigheten egenskapen för logaritmen från roten: logaritmen för den n:te roten är lika med produkten av bråket 1/n med logaritmen för det radikala uttrycket, det vill säga, , där a>0, a≠1, n är ett naturligt tal större än ett, b>0.

Beviset är baserat på likheten (se), som är giltig för alla positiva b, och egenskapen hos potensens logaritm: .

Här är ett exempel på hur du använder den här egenskapen: .

Nu ska vi bevisa formel för att flytta till en ny logaritmbas snäll . För att göra detta räcker det med att bevisa giltigheten av likhetsloggen c b=log a b·log c a. Den grundläggande logaritmiska identiteten tillåter oss att representera talet b som en log a b , sedan log c b=log c a log a b . Det återstår att använda egenskapen för gradens logaritm: log c a log a b =log a b log c a. Detta bevisar likhetsloggen c b=log a b·log c a, vilket betyder att formeln för övergång till en ny bas av logaritmen också har bevisats.

Låt oss visa ett par exempel på hur du använder denna egenskap hos logaritmer: och .

Formeln för att flytta till en ny bas låter dig gå vidare till att arbeta med logaritmer som har en "bekväm" bas. Till exempel kan den användas för att gå till naturliga eller decimala logaritmer så att du kan beräkna värdet på en logaritm från en tabell med logaritmer. Formeln för att flytta till en ny logaritmbas tillåter också, i vissa fall, att hitta värdet på en given logaritm när värdena för vissa logaritmer med andra baser är kända.

Ett specialfall av formeln för övergång till en ny logaritmbas för c=b av formen används ofta . Detta visar att log a b och log b a – . T.ex, .

Formeln används också ofta , vilket är praktiskt för att hitta logaritmvärden. För att bekräfta våra ord kommer vi att visa hur det kan användas för att beräkna värdet av en logaritm av formen . Vi har . För att bevisa formeln det räcker med att använda formeln för övergång till en ny bas av logaritmen a: .

Det återstår att bevisa egenskaperna för jämförelse av logaritmer.

Låt oss bevisa att för alla positiva tal b 1 och b 2, b 1 log a b 2 , och för a>1 – ojämlikheten log a b 1

Slutligen återstår det att bevisa den sista av de listade egenskaperna hos logaritmer. Låt oss begränsa oss till beviset för dess första del, det vill säga vi kommer att bevisa att om en 1 >1, en 2 >1 och en 1 1 är sant log a 1 b>log a 2 b . De återstående påståendena om denna egenskap hos logaritmer bevisas enligt en liknande princip.

Låt oss använda den motsatta metoden. Antag att för en 1 >1, en 2 >1 och en 1 1 är sann log a 1 b≤log a 2 b . Baserat på egenskaperna hos logaritmer kan dessa olikheter skrivas om som Och respektive, och av dem följer att log b a 1 ≤log b a 2 respektive log b a 1 ≥log b a 2. Sedan, enligt egenskaperna hos potenser med samma bas, måste likheterna b log b a 1 ≥b log b a 2 och b log b a 1 ≥b log b a 2 hålla, det vill säga a 1 ≥a 2 . Så vi kom till en motsägelse till villkoret en 1

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra och analysens början: Lärobok för årskurserna 10 - 11 på allmänna läroanstalter.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual för dem som går in på tekniska skolor).

Logaritm av ett tal N baserat på A kallas exponent X , som du behöver bygga till A för att få numret N

Förutsatt att
,
,

Av definitionen av logaritm följer det
, dvs.
- denna jämlikhet är den grundläggande logaritmiska identiteten.

Logaritmer till bas 10 kallas decimallogaritmer. Istället för
skriva
.

Logaritmer till basen e kallas naturliga och betecknas
.

Grundläggande egenskaper hos logaritmer.

Logaritmen för ett är lika med noll för vilken bas som helst.

Produktens logaritm är lika med summan av logaritmerna för faktorerna.

3) Kvotens logaritm är lika med skillnaden mellan logaritmerna

Faktor
kallas övergångsmodulen från logaritmer till basen a till logaritmer vid basen b .

Med hjälp av egenskaperna 2-5 är det ofta möjligt att reducera logaritmen för ett komplext uttryck till resultatet av enkla aritmetiska operationer på logaritmer.

Till exempel,

Sådana transformationer av en logaritm kallas logaritmer. Transformationer omvända till logaritmer kallas potentiering.

Kapitel 2. Element i högre matematik.

1. Gränser

Funktionens gräns
är ett ändligt tal A om, som xx 0 för varje förutbestämt
, det finns ett sådant nummer
det så snart
, Den där
.

En funktion som har en gräns skiljer sig från den med en oändlig mängd:
, där- b.m.v., dvs.
.

Exempel. Tänk på funktionen
.

När man strävar
, funktion y tenderar till noll:

1.1. Grundläggande satser om gränser.

Gränsen för ett konstant värde är lika med detta konstanta värde

.

Gränsen för summan (skillnaden) av ett ändligt antal funktioner är lika med summan (skillnaden) av gränserna för dessa funktioner.

Gränsen för produkten av ett ändligt antal funktioner är lika med produkten av gränserna för dessa funktioner.

Gränsen för kvoten för två funktioner är lika med kvoten för gränserna för dessa funktioner om gränsen för nämnaren inte är noll.

Underbara gränser

,
, Var

1.2. Exempel på gränsberäkning

Men alla gränser beräknas inte så lätt. Oftare kommer beräkningen av gränsen ner på att avslöja en osäkerhet av typen: eller .

.

2. Derivata av en funktion

Låt oss ha en funktion
, kontinuerlig på segmentet
.

Argument fått någon ökning
. Då kommer funktionen att få en ökning
.

Argumentvärde motsvarar funktionsvärdet
.

Argumentvärde
motsvarar funktionsvärdet.

Därav, .

Låt oss hitta gränsen för detta förhållande vid
. Om denna gräns finns, kallas den derivatan av den givna funktionen.

Definition 3 Derivata av en given funktion
genom argument kallas gränsen för förhållandet mellan ökningen av en funktion och ökningen av argumentet, när ökningen av argumentet godtyckligt tenderar mot noll.

Derivata av en funktion
kan betecknas enligt följande:

; ; ; .

Definition 4 Operationen att hitta derivatan av en funktion kallas differentiering.

2.1. Mekanisk betydelse av derivata.

Låt oss överväga den rätlinjiga rörelsen hos någon stel kropp eller materialpunkt.

Låt någon gång i tiden rörlig punkt
var på avstånd från startpositionen
.

Efter en tid
hon flyttade sig en bit
. Attityd =- medelhastighet för en materialpunkt
. Låt oss hitta gränsen för detta förhållande, med hänsyn till det
.

Följaktligen reduceras bestämning av den momentana rörelsehastigheten för en materialpunkt till att hitta derivatan av banan med avseende på tid.

2.2. Geometriskt värde för derivatan

Låt oss ha en grafiskt definierad funktion
.

Ris. 1. Geometrisk betydelse av derivata

Om
, peka sedan
, kommer att röra sig längs kurvan och närma sig punkten
.

Därav
, dvs. värdet av derivatan för ett givet värde av argumentet numeriskt lika med tangenten för vinkeln som bildas av tangenten vid en given punkt med axelns positiva riktning
.

2.3. Tabell över grundläggande differentieringsformler.

Power funktion

Exponentiell funktion

Logaritmisk funktion

Trigonometrisk funktion

Omvänd trigonometrisk funktion

2.4. Regler för differentiering.

Derivat av

Derivata av summan (skillnaden) av funktioner

Derivat av produkten av två funktioner

Derivat av kvoten av två funktioner

2.5. Derivat av en komplex funktion.

Låt funktionen ges
så att den kan representeras i formen

Och
, där variabeln är alltså ett mellanargument

Derivatan av en komplex funktion är lika med produkten av derivatan av den givna funktionen med avseende på det mellanliggande argumentet och derivatan av det mellanliggande argumentet med avseende på x.

Exempel 1.

Exempel 2.

3. Differentialfunktion.

Låt det finnas
, differentierbar på något intervall
släpp det på denna funktion har en derivata

,

då kan vi skriva

(1),

Var - en oändlig mängd,

sen när

Multiplicera alla termer av jämlikhet (1) med
vi har:

Var
- b.m.v. högre ordning.

Magnitud
kallas funktionens differential
och är utsedd

.

3.1. Geometriskt värde för differentialen.

Låt funktionen ges
.

Fig.2. Geometrisk betydelse av differential.

.

Uppenbarligen skillnaden mellan funktionen
är lika med inkrementet av tangentens ordinata vid en given punkt.

3.2. Derivat och differentialer av olika ordningsföljder.

Om det
, Då
kallas förstaderivatan.

Derivatan av den första derivatan kallas andra ordningens derivata och skrivs
.

Derivat av funktionens n:e ordning
kallas (n-1):e ordningens derivata och skrivs:

.

Differentialen för differentialen för en funktion kallas den andra differentialen eller andra ordningens differential.

.

.

3.3 Att lösa biologiska problem med hjälp av differentiering.

Uppgift 1. Studier har visat att tillväxten av en koloni av mikroorganismer följer lagen
, Var N – antal mikroorganismer (i tusentals), t – tid (dagar).

b) Kommer befolkningen i kolonin att öka eller minska under denna period?

Svar. Storleken på kolonin kommer att öka.

Uppgift 2. Vattnet i sjön testas periodiskt för att övervaka innehållet av patogena bakterier. Genom t dagar efter testning bestäms koncentrationen av bakterier av förhållandet

.

När kommer sjön att ha en lägsta koncentration av bakterier och kommer det att vara möjligt att bada i den?

Lösning: En funktion når max eller min när dess derivata är noll.

,

Låt oss bestämma max eller min kommer om 6 dagar. För att göra detta, låt oss ta den andra derivatan.

Svar: Efter 6 dagar kommer det att finnas en lägsta koncentration av bakterier.

Logaritmer, som alla tal, kan läggas till, subtraheras och transformeras på alla sätt. Men eftersom logaritmer inte är exakt vanliga tal finns det regler här som kallas huvudsakliga egenskaper.

Du behöver definitivt känna till dessa regler - utan dem kan inte ett enda allvarligt logaritmiskt problem lösas. Dessutom är det väldigt få av dem – du kan lära dig allt på en dag. Så låt oss börja.

Addera och subtrahera logaritmer

Betrakta två logaritmer med samma baser: log a x och logga a y. Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

1. logga a x+ logg a y=logg a (x · y);
2. logga a x− logg a y=logg a (x : y).

Så summan av logaritmer är lika med produktens logaritm, och skillnaden är lika med logaritmen för kvoten. Observera: nyckelpunkten här är identiska grunder. Om orsakerna är olika fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper dig att beräkna ett logaritmiskt uttryck även när dess enskilda delar inte beaktas (se lektionen "Vad är en logaritm"). Ta en titt på exemplen och se:

Logg 6 4 + log 6 9.

Eftersom logaritmer har samma baser använder vi summaformeln:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 2 48 − log 2 3.

Baserna är desamma, vi använder skillnadsformeln:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 3 135 − log 3 5.

Återigen är grunderna desamma, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se är de ursprungliga uttrycken uppbyggda av "dåliga" logaritmer, som inte beräknas separat. Men efter omvandlingarna erhålls helt normala tal. Många tester är baserade på detta faktum. Ja, testliknande uttryck erbjuds på fullt allvar (ibland med praktiskt taget inga ändringar) på Unified State Examination.

Extrahera exponenten från logaritmen

Låt oss nu komplicera uppgiften lite. Vad händer om basen eller argumentet för en logaritm är en potens? Sedan kan exponenten för denna grad tas ut ur logaritmens tecken enligt följande regler:

Det är lätt att se att den sista regeln följer de två första. Men det är bättre att komma ihåg det ändå - i vissa fall kommer det att minska mängden beräkningar avsevärt.

Naturligtvis är alla dessa regler vettiga om ODZ för logaritmen observeras: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Och en sak till: lär dig att tillämpa alla formler inte bara från vänster till höger, utan också vice versa, d.v.s. Du kan ange siffrorna före logaritmetecknet i själva logaritmen. Detta är vad som oftast krävs.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 7 49 6 .

Låt oss bli av med graden i argumentet med den första formeln:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Uppgift. Hitta innebörden av uttrycket:

[Bildtext till bilden]

Observera att nämnaren innehåller en logaritm, vars bas och argument är exakta potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:

[Bildtext till bilden]

Jag tror att det sista exemplet kräver ett förtydligande. Var har logaritmerna tagit vägen? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren. Vi presenterade basen och argumentet för logaritmen som stod där i form av potenser och tog ut exponenterna - vi fick en "tre våningar" bråkdel.

Låt oss nu titta på huvudfraktionen. Täljaren och nämnaren innehåller samma nummer: log 2 7. Eftersom log 2 7 ≠ 0 kan vi minska bråket - 2/4 kommer att finnas kvar i nämnaren. Enligt aritmetikens regler kan de fyra överföras till täljaren, vilket är vad som gjordes. Resultatet blev svaret: 2.

Övergång till en ny stiftelse

På tal om reglerna för att addera och subtrahera logaritmer, betonade jag specifikt att de bara fungerar med samma baser. Vad händer om orsakerna är olika? Vad händer om de inte är exakta potenser av samma tal?

Formler för övergång till en ny stiftelse kommer till undsättning. Låt oss formulera dem i form av ett teorem:

Låt logaritmloggen ges a x. Sedan för vilket nummer som helst c Så att c> 0 och c≠ 1, likheten är sann:

[Bildtext till bilden]

I synnerhet om vi sätter c = x, vi får:

[Bildtext till bilden]

Av den andra formeln följer att basen och argumentet för logaritmen kan bytas, men i det här fallet "vänds hela uttrycket om", dvs. logaritmen visas i nämnaren.

Dessa formler finns sällan i vanliga numeriska uttryck. Det är möjligt att utvärdera hur bekväma de är endast när man löser logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock problem som inte alls går att lösa förutom genom att flytta till en ny stiftelse. Låt oss titta på ett par av dessa:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 5 16 log 2 25.

Observera att argumenten för båda logaritmerna innehåller exakta potenser. Låt oss ta ut indikatorerna: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Låt oss nu "vända om" den andra logaritmen:

[Bildtext till bilden]

Eftersom produkten inte förändras vid omarrangering av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och två och tog sedan tag i logaritmer.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 9 100 lg 3.

Basen och argumentet för den första logaritmen är exakta potenser. Låt oss skriva ner detta och bli av med indikatorerna:

[Bildtext till bilden]

Låt oss nu bli av med decimallogaritmen genom att flytta till en ny bas:

[Bildtext till bilden]

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta i lösningsprocessen är det nödvändigt att representera ett tal som en logaritm till en given bas. I det här fallet kommer följande formler att hjälpa oss:

I det första fallet, numret n blir en indikator på graden stående i argumentationen. siffra n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara är ett logaritmvärde.

Den andra formeln är faktiskt en omskriven definition. Det är vad det kallas: den grundläggande logaritmiska identiteten.

I själva verket, vad kommer att hända om antalet b höja till sådan makt att antalet b till denna makt anger numret a? Det stämmer: du får samma nummer a. Läs det här stycket noggrant igen - många fastnar för det.

Liksom formler för att flytta till en ny bas är den grundläggande logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

Uppgift. Hitta innebörden av uttrycket:

[Bildtext till bilden]

Observera att log 25 64 = log 5 8 - tog helt enkelt kvadraten från basen och argumentet för logaritmen. Med hänsyn till reglerna för att multiplicera potenser med samma bas får vi:

[Bildtext till bilden]

Om någon inte vet så var detta en riktig uppgift från Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Avslutningsvis kommer jag att ge två identiteter som knappast kan kallas egenskaper – snarare är de konsekvenser av definitionen av logaritmen. De dyker ständigt upp i problem och skapar överraskande problem även för "avancerade" elever.

1. logga a a= 1 är en logaritmisk enhet. Kom ihåg en gång för alla: logaritm till valfri bas a från just denna bas är lika med en.
2. logga a 1 = 0 är logaritmisk noll. Bas a kan vara vad som helst, men om argumentet innehåller en är logaritmen lika med noll! Därför att a 0 = 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla egenskaper. Se till att träna på att omsätta dem i praktiken! Ladda ner fuskbladet i början av lektionen, skriv ut det och lös problemen.