Vem upptäckte talet Pi? Datorns historia. Vad är talet "Pi", eller hur svär matematiker? Betydelsen av pi i fysiken

Matematikentusiaster runt om i världen äter en bit paj varje år den fjortonde mars – det är trots allt dagen för Pi, det mest kända irrationella talet. Detta datum är direkt relaterat till numret vars första siffror är 3,14. Pi är förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Eftersom det är irrationellt är det omöjligt att skriva det som ett bråk. Detta är en oändligt lång siffra. Den upptäcktes för tusentals år sedan och har ständigt studerats sedan dess, men har Pi fortfarande några hemligheter? Från forntida ursprung till en osäker framtid, här är några av de mest intressanta fakta om Pi.

Att memorera Pi

Rekordet för att memorera decimaltal tillhör Rajvir Meena från Indien, som lyckades komma ihåg 70 000 siffror – han satte rekordet den 21 mars 2015. Tidigare var rekordhållaren Chao Lu från Kina, som lyckades komma ihåg 67 890 siffror - detta rekord sattes 2005. Den inofficiella rekordhållaren är Akira Haraguchi, som spelade in sig själv på video som upprepade 100 000 siffror 2005 och nyligen publicerade en video där han lyckas komma ihåg 117 000 siffror. Rekordet skulle bli officiellt endast om den här videon spelades in i närvaro av en representant för Guinness Book of Records, och utan bekräftelse förblir det bara ett imponerande faktum, men anses inte vara en prestation. Matematikentusiaster älskar att memorera talet Pi. Många använder olika mnemoniska tekniker, till exempel poesi, där antalet bokstäver i varje ord matchar siffrorna i Pi. Varje språk har sina egna versioner av liknande fraser som hjälper dig att komma ihåg både de första siffrorna och hela hundra.

Det finns ett Pi-språk

Matematiker, passionerade för litteratur, uppfann en dialekt där antalet bokstäver i alla ord motsvarar siffrorna i Pi i exakt ordning. Författaren Mike Keith skrev till och med en bok, Not a Wake, som är helt skriven i Pi. Entusiaster av sådan kreativitet skriver sina verk i full överensstämmelse med antalet bokstäver och betydelsen av siffror. Detta har ingen praktisk tillämpning, men är ett ganska vanligt och välkänt fenomen i kretsar av entusiastiska forskare.

Exponentiell tillväxt

Pi är ett oändligt tal, så per definition kommer människor aldrig att kunna fastställa de exakta siffrorna i detta nummer. Antalet decimaler har dock ökat kraftigt sedan Pi först användes. Babylonierna använde det också, men en bråkdel av tre hela och en åttondel räckte för dem. Kineserna och skaparna av Gamla testamentet var helt begränsade till tre. År 1665 hade Sir Isaac Newton beräknat de 16 siffrorna i Pi. År 1719 hade den franske matematikern Tom Fante de Lagny beräknat 127 siffror. Tillkomsten av datorer har radikalt förbättrat mänsklig kunskap om Pi. Från 1949 till 1967 höjde antalet siffror som människan känner till från 2 037 till 500 000. För inte så länge sedan kunde Peter Trueb, en vetenskapsman från Schweiz, beräkna 2,24 biljoner siffror av Pi! Det tog 105 dagar. Detta är naturligtvis inte gränsen. Det är troligt att med teknikens utveckling kommer det att vara möjligt att fastställa en ännu mer exakt siffra - eftersom Pi är oändlig finns det helt enkelt ingen gräns för noggrannheten, och endast de tekniska egenskaperna hos datorteknik kan begränsa den.

Beräknar Pi för hand

Om du vill hitta numret själv kan du använda den gammaldags tekniken - du behöver en linjal, en burk och lite snöre, eller så kan du använda en gradskiva och en penna. Nackdelen med att använda en burk är att den måste vara rund och noggrannheten avgörs av hur väl en person kan linda repet runt den. Du kan rita en cirkel med en gradskiva, men detta kräver också skicklighet och precision, eftersom en ojämn cirkel allvarligt kan förvränga dina mätningar. En mer exakt metod innebär att man använder geometri. Dela cirkeln i många segment, som en pizza i skivor, och beräkna sedan längden på en rät linje som skulle göra varje segment till en likbent triangel. Summan av sidorna ger det ungefärliga talet Pi. Ju fler segment du använder, desto mer exakt blir siffran. Naturligtvis kommer du inte i dina beräkningar att kunna komma i närheten av resultaten från en dator, men dessa enkla experiment låter dig förstå mer i detalj vad talet Pi är och hur det används i matematik.

Upptäckten av Pi

De gamla babylonierna visste om existensen av talet Pi redan för fyra tusen år sedan. Babyloniska tavlor beräknar Pi som 3,125, och en egyptisk matematisk papyrus visar talet 3,1605. I Bibeln anges Pi i den föråldrade längden av alnar, och den grekiske matematikern Archimedes använde Pythagoras sats, ett geometriskt förhållande mellan längden på sidorna av en triangel och arean av figurerna inom och utanför cirklarna, för att beskriva Pi. Således kan vi med tillförsikt säga att Pi är ett av de äldsta matematiska begreppen, även om det exakta namnet på detta nummer dök upp relativt nyligen.

Ny titt på Pi

Redan innan talet Pi började korreleras med cirklar, hade matematiker redan många sätt att ens namnge detta tal. Till exempel, i forntida matematikläroböcker kan man hitta en fras på latin som grovt kan översättas till "den kvantitet som visar längden när diametern multipliceras med den." Det irrationella talet blev känt när den schweiziska vetenskapsmannen Leonhard Euler använde det i sitt arbete med trigonometri 1737. Den grekiska symbolen för Pi användes dock fortfarande inte - detta hände bara i en bok av en mindre känd matematiker, William Jones. Han använde den redan 1706, men den gick länge obemärkt förbi. Med tiden antog forskare detta namn, och nu är det den mest kända versionen av namnet, även om det tidigare också kallades Ludolf-numret.

Är Pi ett normalt tal?

Pi är definitivt ett konstigt tal, men hur mycket följer det normala matematiska lagar? Forskare har redan löst många frågor relaterade till detta irrationella nummer, men några mysterier kvarstår. Det är till exempel inte känt hur ofta alla siffror används - siffrorna 0 till 9 ska användas i lika stora proportioner. Statistik kan dock spåras från de första biljonerna siffror, men på grund av att antalet är oändligt är det omöjligt att bevisa något säkert. Det finns andra problem som fortfarande undviker forskarna. Det är möjligt att ytterligare utveckling av vetenskapen kommer att bidra till att kasta ljus över dem, men för närvarande ligger det utanför räckvidden för mänsklig intelligens.

Pi låter gudomlig

Forskare kan inte svara på vissa frågor om talet Pi, men varje år förstår de dess väsen bättre och bättre. Redan på sjuttonhundratalet bevisades irrationaliteten i detta nummer. Dessutom har antalet visat sig vara transcendentalt. Det betyder att det inte finns någon specifik formel som gör att du kan beräkna Pi med hjälp av rationella tal.

Missnöje med siffran Pi

Många matematiker är helt enkelt förälskade i Pi, men det finns också de som tror att dessa siffror inte är särskilt signifikanta. Dessutom hävdar de att Tau, som är dubbelt så stor som Pi, är bekvämare att använda som ett irrationellt tal. Tau visar sambandet mellan omkrets och radie, vilket vissa menar representerar en mer logisk beräkningsmetod. Det är dock omöjligt att entydigt bestämma någonting i denna fråga, och det ena och det andra antalet kommer alltid att ha supportrar, båda metoderna har rätt till liv, så detta är bara ett intressant faktum och inte en anledning att tro att du inte borde använd talet Pi.

Doktor i geologiska och mineralogiska vetenskaper, kandidat i fysikaliska och matematiska vetenskaper B. GOROBETS.

Grafer för funktioner y = båge x, invers funktion y = sin x

Graf för funktionen y = arktan x, inversen av funktionen y = tan x.

Normalfördelningsfunktion (gaussisk fördelning). Maximum av dess graf motsvarar det mest sannolika värdet av en slumpmässig variabel (till exempel längden på ett objekt mätt med en linjal), och graden av "spridning" av kurvan beror på parametrarna a och sigma.

Prästerna i det antika Babylon beräknade att solskivan passar på himlen 180 gånger från gryning till solnedgång och introducerade en ny måttenhet - en grad lika med dess vinkelstorlek.

Storleken på naturliga formationer - sanddyner, kullar och berg - ökar för varje steg med i genomsnitt 3,14 gånger.

Vetenskap och liv // Illustrationer

Vetenskap och liv // Illustrationer

Pendeln, som svänger utan friktion eller motstånd, upprätthåller en konstant svängningsamplitud. Uppkomsten av motstånd leder till exponentiell dämpning av svängningar.

I ett mycket trögflytande medium rör sig en avböjd pendel exponentiellt mot sitt jämviktsläge.

Skalorna på kottar och lockarna på skalen på många blötdjur är ordnade i logaritmiska spiraler.

Vetenskap och liv // Illustrationer

Vetenskap och liv // Illustrationer

En logaritmisk spiral skär alla strålar som emanerar från punkt O i samma vinklar.

Förmodligen kommer vilken sökande eller student som helst, på frågan vad siffror och e är, att svara: - detta är ett tal lika med förhållandet mellan omkretsen och dess diameter, och e är basen för naturliga logaritmer. Om du uppmanas att definiera dessa siffror mer strikt och beräkna dem, kommer eleverna att ge formler:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 2,7183...

(kom ihåg att faktoriellt n! =1 x 2x 3x… x n);

3(1+ 1/3x 2 3 + 1x 3/4x 5x 2 5 + .....) 3,14159…

(Newtons serie är den sista, det finns andra serier).

Allt detta är sant, men som du vet ingår siffror och e i många formler inom matematik, fysik, kemi, biologi och även inom ekonomi. Det betyder att de återspeglar några allmänna naturlagar. Vilka exakt? Definitionerna av dessa siffror genom serier, trots deras korrekthet och stringens, lämnar fortfarande en känsla av missnöje. De är abstrakta och förmedlar inte siffrornas koppling till omvärlden genom vardaglig erfarenhet. Det går inte att hitta svar på den fråga som ställs i utbildningslitteraturen.

Samtidigt kan det hävdas att konstanten e är direkt relaterad till homogeniteten av rum och tid, och till rummets isotropi. Således återspeglar de bevarandelagarna: talet e - energi och momentum (momentum), och numret - vridmoment (momentum). Vanligtvis orsakar sådana oväntade uttalanden överraskning, även om det i huvudsak, ur teoretisk fysiks synvinkel, inte finns något nytt i dem. Den djupa innebörden av dessa världskonstanter förblir terra incognita för skolbarn, elever och, uppenbarligen, även för majoriteten av lärare i matematik och allmän fysik, för att inte tala om andra områden inom naturvetenskap och ekonomi.

Under det första året på universitetet kan studenter bli förbryllade av till exempel en fråga: varför visas arctangensen när funktioner av typ 1/(x 2 +1) och cirkulära trigonometriska funktioner av bågtyp integreras, som uttrycker storleken av cirkelbågen? Med andra ord, var "kommer cirklarna ifrån" under integrationen och var försvinner de sedan under den omvända aktionen - särskiljer arctangensen och arcsine? Det är osannolikt att härledningen av motsvarande formler för differentiering och integration kommer att svara på frågan som ställs av sig själv.

Vidare, under det andra året på universitetet, när man studerar sannolikhetsteori, visas talet i formeln för lagen om normalfördelning av slumpvariabler (se "Science and Life" nr 2, 1995); utifrån den kan du till exempel beräkna sannolikheten för att ett mynt kommer att falla på vapenskölden hur många gånger som helst med till exempel 100 kast. Var är cirklarna här? Spelar formen på myntet verkligen någon roll? Nej, formeln för sannolikhet är densamma för ett fyrkantigt mynt. Det är faktiskt inga lätta frågor.

Men karaktären av siffran e är användbar för studenter i kemi och materialvetenskap, biologer och ekonomer att veta djupare. Detta kommer att hjälpa dem att förstå kinetiken för sönderfallet av radioaktiva element, mättnad av lösningar, slitage och förstörelse av material, spridning av mikrober, effekterna av signaler på sinnena, processer av kapitalackumulering, etc. - ett oändligt antal fenomen i levande och livlös natur och mänsklig verksamhet.

Antal och sfärisk symmetri av rymden

Först formulerar vi den första huvuduppsatsen och förklarar sedan dess innebörd och konsekvenser.

1. Siffran återspeglar isotropin av egenskaperna hos det tomma utrymmet i vårt universum, deras likhet i vilken riktning som helst. Lagen om bevarande av vridmoment är förknippad med rymdens isotropi.

Detta leder till välkända konsekvenser som studeras i gymnasiet.

Följd 1. Längden på cirkelbågen i vilken dess radie passar är den naturliga bågen och vinkelenheten radian.

Denna enhet är dimensionslös. För att hitta antalet radianer i en cirkelbåge måste du mäta dess längd och dividera med längden på denna cirkels radie. Som vi vet, längs varje hel cirkel är dess radie ungefär 6,28 gånger. Närmare bestämt är längden på en hel cirkelbåge 2 radianer, och i alla talsystem och längdenheter. När hjulet uppfanns visade det sig vara samma sak bland indianerna i Amerika, nomaderna i Asien och de svarta i Afrika. Endast bågmåttsenheterna var olika och konventionella. Således introducerades våra vinkel- och båggrader av de babyloniska prästerna, som ansåg att solens skiva, som ligger nästan i zenit, passar 180 gånger på himlen från gryning till solnedgång. 1 grad är 0,0175 rad eller 1 rad är 57,3°. Det kan hävdas att hypotetiska främmande civilisationer lätt skulle förstå varandra genom att utbyta ett meddelande där cirkeln är uppdelad i sex delar "med en svans"; detta skulle innebära att "förhandlingspartnern" redan åtminstone har passerat stadiet att uppfinna hjulet på nytt och vet vad numret är.

Följd 2. Syftet med trigonometriska funktioner är att uttrycka förhållandet mellan bågen och linjära dimensioner av objekt, såväl som mellan de rumsliga parametrarna för processer som sker i sfäriskt symmetriska rymd.

Av ovanstående framgår att argumenten för trigonometriska funktioner i princip är dimensionslösa, liksom andra typer av funktioner, d.v.s. dessa är reella tal - punkter på talaxeln som inte behöver gradnotation.

Erfarenheten visar att skolelever, högskole- och universitetsstudenter har svårt att vänja sig vid dimensionslösa argument för sinus, tangent etc. Alla sökande kommer inte att kunna svara på frågan utan en miniräknare vad cos1 (cirka 0,5) eller arctg / 3. Det sista exemplet är särskilt förvirrande. Det sägs ofta att detta är nonsens: "en båge vars arctangens är 60 o." Om vi ​​säger detta exakt, kommer felet att vara i den otillåtna tillämpningen av gradmåttet på funktionens argument. Och det korrekta svaret är: arctg(3.14/3) arctg1 /4 3/4. Tyvärr säger ganska ofta sökande och studenter att = 180 0, varefter de måste korrigera dem: i decimalsystemet = 3,14…. Men vi kan naturligtvis säga att en radian är lika med 180 0.

Låt oss undersöka en annan icke-trivial situation som vi stöter på i sannolikhetsteorin. Det gäller den viktiga formeln för sannolikheten för ett slumpmässigt fel (eller normallagen för sannolikhetsfördelning), som inkluderar talet. Med hjälp av denna formel kan du till exempel beräkna sannolikheten för att ett mynt faller på vapnet 50 gånger med 100 kast. Så, var kom numret i den ifrån? Trots allt verkar inga cirklar eller cirklar vara synliga där. Men poängen är att myntet faller slumpmässigt i ett sfäriskt symmetriskt utrymme, i alla riktningar av vilket slumpmässiga fluktuationer bör beaktas lika. Matematiker gör detta genom att integrera över en cirkel och beräkna den så kallade Poisson-integralen, som är lika med och ingår i den angivna sannolikhetsformeln. En tydlig illustration av sådana fluktuationer är exemplet med att skjuta mot ett mål under konstanta förhållanden. Hålen på målet är utspridda i en cirkel (!) med den högsta tätheten nära målets mitt, och sannolikheten för en träff kan beräknas med samma formel som innehåller talet .

Är tal involverat i naturliga strukturer?

Låt oss försöka förstå fenomenen, vars orsaker är långt ifrån klara, men som kanske inte heller var utan antal.

Den inhemska geografen V.V. Piotrovsky jämförde de genomsnittliga karaktäristiska storlekarna på naturliga reliefer i följande serier: sandriffel på grunda, sanddyner, kullar, bergssystem i Kaukasus, Himalaya, etc. Det visade sig att den genomsnittliga ökningen i storlek är 3,14. Ett liknande mönster verkar nyligen ha upptäckts i månens och Mars topografi. Piotrovsky skriver: "Tektoniska strukturella former som bildas i jordskorpan och uttrycks på dess yta i form av reliefformer utvecklas som ett resultat av några allmänna processer som sker i jordens kropp; de är proportionella mot jordens storlek .” Låt oss förtydliga - de är proportionella mot förhållandet mellan dess linjära och bågdimensioner.

Grunden för dessa fenomen kan vara den så kallade lagen om fördelningen av maxima för slumpmässiga serier, eller "trillinglagen", formulerad redan 1927 av E. E. Slutsky.

Statistiskt, enligt trelagen, bildas havets kustvågor, vilket de gamla grekerna kände till. Var tredje våg är i genomsnitt något högre än sina grannar. Och i serien av dessa tredje maxima är var tredje i sin tur högre än sina grannar. Det är så den berömda nionde vågen bildas. Han är toppen av "andra rangperioden". Vissa forskare föreslår att enligt lagen om trillingar förekommer fluktuationer i sol-, komet- och meteoritaktiviteter också. Intervallet mellan deras maxima är nio till tolv år, eller ungefär 3 2 . Enligt doktor i biologiska vetenskaper G. Rosenberg kan vi fortsätta att konstruera tidssekvenser enligt följande. Perioden i tredje rang 3 3 motsvarar intervallet mellan svåra torka, som i genomsnitt är 27-36 år; period 3 4 - cykel av sekulär solaktivitet (81-108 år); period 3 5 - glaciationscykler (243-324 år). Slumpen kommer att bli ännu bättre om vi avviker från lagen om "rena" trillingar och går vidare till siffror. Förresten, de är väldigt lätta att beräkna, eftersom 2 är nästan lika med 10 (en gång i Indien definierades talet till och med som roten av 10). Du kan fortsätta att anpassa cyklerna för geologiska epoker, perioder och epoker till hela trepotenser (vilket är vad G. Rosenberg gör i synnerhet i samlingen "Eureka-88", 1988) eller siffrorna 3.14. Och du kan alltid ta önsketänkande med varierande grad av noggrannhet. (I samband med justeringarna kommer ett matematiskt skämt att tänka på. Låt oss bevisa att udda tal är primtal. Ta: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, etc., och 9 här är ett experimentfel .) Och ändå tycks idén om talets ouppenbara roll i många geologiska och biologiska fenomen inte vara helt tom, och kanske kommer den att visa sig i framtiden.

Talet e och homogeniteten av tid och rum

Låt oss nu gå vidare till den andra stora världskonstanten - talet e. Den matematiskt felfria bestämningen av talet e med hjälp av serien som ges ovan, klargör i huvudsak inte på något sätt dess samband med fysiska eller andra naturfenomen. Hur närmar man sig detta problem? Frågan är inte lätt. Låt oss kanske börja med standardfenomenet för utbredning av elektromagnetiska vågor i ett vakuum. (Dessutom kommer vi att förstå vakuum som ett klassiskt tomt utrymme, utan att beröra den mest komplexa naturen av fysiskt vakuum.)

Alla vet att en kontinuerlig våg i tiden kan beskrivas med en sinusvåg eller summan av sinus- och cosinusvågor. Inom matematik, fysik och elektroteknik beskrivs en sådan våg (med en amplitud lika med 1) av exponentialfunktionen e iβt =cos βt + isin βt, där β är frekvensen för harmoniska svängningar. En av de mest kända matematiska formlerna är skriven här - Eulers formel. Det var för att hedra den store Leonhard Euler (1707-1783) som siffran e fick sitt namn efter den första bokstaven i hans efternamn.

Denna formel är välkänd för elever, men den måste förklaras för elever i icke-matematiska skolor, eftersom komplexa tal är uteslutna från vanliga skolplaner i vår tid. Det komplexa talet z = x+iy består av två termer - det reella talet (x) och det imaginära talet, vilket är det reella talet y multiplicerat med den imaginära enheten. Reella tal räknas längs den reella axeln O x, och imaginära tal räknas på samma skala längs den imaginära axeln O y, vars enhet är i, och längden på detta enhetssegment är modulen | jag | =1. Därför motsvarar ett komplext tal en punkt på planet med koordinater (x, y). Så den ovanliga formen av talet e med en exponent som bara innehåller imaginära enheter i betyder närvaron av endast odämpade svängningar som beskrivs av en cosinus- och sinusvåg.

Det är tydligt att en odämpad våg visar överensstämmelse med lagen om bevarande av energi för en elektromagnetisk våg i ett vakuum. Denna situation uppstår under den "elastiska" interaktionen av en våg med ett medium utan förlust av dess energi. Formellt kan detta uttryckas på följande sätt: om du flyttar referenspunkten längs tidsaxeln kommer vågens energi att bevaras, eftersom övertonsvågen kommer att behålla samma amplitud och frekvens, det vill säga energienheter, och endast dess fas, den del av perioden som ligger långt från den nya referenspunkten, kommer att ändras. Men fasen påverkar inte energin just på grund av tidens enhetlighet när referenspunkten förskjuts. Så parallell överföring av koordinatsystemet (det kallas översättning) är lagligt på grund av homogeniteten i tiden t. Nu är det förmodligen principiellt klart varför homogenitet i tiden leder till lagen om energibevarande.

Låt oss sedan föreställa oss en våg inte i tiden, utan i rymden. Ett bra exempel på detta är en stående våg (svängningar av en sträng stationär vid flera noder) eller kustsandsvågor. Matematiskt kommer denna våg längs O x-axeln att skrivas som e ix = cos x + isin x. Det är tydligt att i detta fall kommer translation längs x inte att ändra vare sig cosinus eller sinus om utrymmet är homogent längs denna axel. Återigen, bara deras fas kommer att förändras. Det är känt från teoretisk fysik att rummets homogenitet leder till lagen om bevarande av momentum (momentum), det vill säga massa multiplicerad med hastighet. Låt nu rymden vara homogen i tid (och lagen om energibevarande är uppfylld), men inhomogen i koordinat. Då, vid olika punkter av inhomogent rymd, skulle hastigheten också vara annorlunda, eftersom det per enhet av homogen tidsenhet skulle finnas olika värden på längden på segmenten som täcks per sekund av en partikel med en given massa (eller en våg med ett givet momentum).

Så vi kan formulera den andra huvuduppsatsen:

2. Talet e som grund för en funktion av en komplex variabel speglar två grundläggande bevarandelagar: energi - genom tidens homogenitet, momentum - genom rummets homogenitet.

Och ändå, varför just talet e, och inte någon annan, ingick i Eulers formel och visade sig ligga i basen av vågfunktionen? Att hålla sig inom ramen för skolkurser i matematik och fysik är det inte lätt att svara på denna fråga. Författaren diskuterade detta problem med teoretikern, doktor i fysikaliska och matematiska vetenskaper V.D. Efros, och vi försökte förklara situationen enligt följande.

Den viktigaste klassen av processer - linjära och linjäriserade processer - behåller sin linjäritet just på grund av homogeniteten i rum och tid. Matematiskt beskrivs en linjär process av en funktion som fungerar som en lösning på en differentialekvation med konstanta koefficienter (denna typ av ekvationer studeras under första och andra året på universitet och högskolor). Och dess kärna är ovanstående Euler-formel. Så lösningen innehåller en komplex funktion med basen e, precis som vågekvationen. Dessutom är det e, och inte ett annat tal i examensbasen! Eftersom endast funktionen ex inte ändras för hur många differentieringar och integrationer som helst. Och därför, efter substitution i den ursprungliga ekvationen, kommer bara lösningen med basen e att ge en identitet, som en korrekt lösning borde.

Låt oss nu skriva ner lösningen till differentialekvationen med konstanta koefficienter, som beskriver utbredningen av en harmonisk våg i ett medium, med hänsyn till den oelastiska interaktionen med den, vilket leder till förlust av energi eller förvärv av energi från externa källor:

f(t) = e (a+ib)t = e t (cos βt + isin βt).

Vi ser att Eulers formel multipliceras med en reell variabel e αt, vilket är amplituden på vågen som förändras över tiden. Ovan antog vi för enkelhets skull att den är konstant och lika med 1. Detta kan göras vid odämpade övertonssvängningar, med α = 0. I det allmänna fallet med vilken våg som helst beror amplitudens beteende på tecknet av koefficienten a med variabeln t (tid): om α > 0, ökar svängningsamplituden om α< 0, затухает по экспоненте.

Det sista stycket kanske är svårt för utexaminerade från många vanliga skolor. Det bör dock vara förståeligt för studenter vid universitet och högskolor som grundligt studerar differentialekvationer med konstanta koefficienter.

Låt oss nu sätta β = 0, det vill säga vi kommer att förstöra den oscillerande faktorn med nummer i i lösningen som innehåller Eulers formel. Från de tidigare svängningarna kommer endast "amplituden" som avklingar (eller växer) exponentiellt att finnas kvar.

För att illustrera båda fallen, föreställ dig en pendel. I tomt utrymme svänger den utan dämpning. I rymden med ett resistivt medium uppstår svängningar med exponentiellt avtagande i amplituden. Om du böjer en inte alltför massiv pendel i ett tillräckligt visköst medium, kommer den smidigt att röra sig mot jämviktspositionen och sakta ner mer och mer.

Så, från avhandling 2 kan vi härleda följande följd:

Följd 1. I avsaknad av en imaginär, rent vibrationsdel av funktionen f(t), vid β = 0 (det vill säga vid nollfrekvens), beskriver den reella delen av exponentialfunktionen många naturliga processer som fortskrider i enlighet med den grundläggande principen : värdeökningen är proportionell mot själva värdet .

Den formulerade principen ser matematiskt ut så här: ∆I ~ I∆t, där, låt oss säga, I är en signal, och ∆t är ett litet tidsintervall under vilket signalen ∆I ökar. Genom att dividera båda sidor av jämlikheten med I och integrera, får vi lnI ~ kt. Eller: I ~ e kt - lagen för exponentiell ökning eller minskning av signalen (beroende på tecknet för k). Således leder proportionalitetslagen för ökningen av ett värde till själva värdet till en naturlig logaritm och därmed till talet e. (Och här visas detta i en form som är tillgänglig för gymnasieelever som kan integrationens element.)

Många processer fortskrider exponentiellt med ett giltigt argument, utan att tveka, inom fysik, kemi, biologi, ekologi, ekonomi, etc. Vi noterar särskilt den universella psykofysiska lagen om Weber - Fechner (av någon anledning ignorerad i utbildningsprogram för skolor och universitet) . Den lyder: "Känselstyrkan är proportionell mot logaritmen för stimulans styrka."

Syn, hörsel, lukt, känsel, smak, känslor och minne är föremål för denna lag (naturligtvis tills fysiologiska processer plötsligt förvandlas till patologiska, när receptorerna har genomgått modifiering eller förstörelse). Enligt lagen: 1) en liten ökning av irritationssignalen i vilket intervall som helst motsvarar en linjär ökning (med plus eller minus) i känslans styrka; 2) inom området för svaga irritationssignaler är ökningen av känslans styrka mycket brantare än i området för starka signaler. Låt oss ta te som exempel: ett glas te med två sockerbitar uppfattas som dubbelt så sött som te med en sockerbit; men te med 20 sockerbitar verkar inte märkbart sötare än med 10 bitar. Det dynamiska omfånget av biologiska receptorer är kolossalt: signaler som tas emot av ögat kan variera i styrka med ~ 10 10 , och av örat - med ~ 10 12 gånger. Vilda djur har anpassat sig till sådana områden. Den skyddar sig själv genom att ta en logaritm (genom biologisk begränsning) av inkommande stimuli, annars skulle receptorerna dö. Den ofta använda logaritmiska (decibel) ljudintensitetsskalan är baserad på Weber-Fechner-lagen, i enlighet med vilken ljudutrustningens volymkontroller fungerar: deras förskjutning är proportionell mot den upplevda volymen, men inte mot ljudintensiteten! (Känseln är proportionell mot lg/ 0. Tröskeln för hörbarhet antas vara p 0 = 10 -12 J/m 2 s. Vid tröskeln har vi lg1 = 0. En ökning av ljudets styrka (tryck) med 10 gånger motsvarar ungefär känslan av en viskning, som är 1 bel över tröskeln på en logaritmisk skala.Ljudförstärkning en miljon gånger från en viskning till ett skrik (upp till 10 -5 J/m 2 s) på en logaritmisk skala är en ökning med 6 storleksordningar eller 6 Bel.)

Förmodligen är en sådan princip optimalt ekonomisk för utvecklingen av många organismer. Detta kan tydligt observeras i bildandet av logaritmiska spiraler i blötdjursskal, rader av frön i en solroskorg och fjäll i kottar. Avståndet från centrum ökar enligt lagen r = ae kj. I varje ögonblick är tillväxthastigheten linjärt proportionell mot detta avstånd i sig (vilket är lätt att se om vi tar derivatan av den skrivna funktionen). Profilerna på roterande knivar och fräsar är gjorda i en logaritmisk spiral.

Följd 2. Närvaron av endast den imaginära delen av funktionen vid α = 0, β 0 i lösningen av differentialekvationer med konstanta koefficienter beskriver en mängd linjära och linjäriserade processer där odämpade harmoniska svängningar äger rum.

Denna följd för oss tillbaka till modellen som redan diskuterats ovan.

Följd 3. När man implementerar Corollary 2 finns det en "stängning" i en enda formel med tal och e genom Eulers historiska formel i dess ursprungliga form e i = -1.

I denna form publicerade Euler först sin exponent med en imaginär exponent. Det är inte svårt att uttrycka det genom cosinus och sinus på vänster sida. Då kommer den geometriska modellen av denna formel att vara rörelse i en cirkel med en hastighetskonstant i absolut värde, vilket är summan av två övertonssvängningar. Enligt den fysiska essensen återspeglar formeln och dess modell alla tre grundläggande egenskaper hos rumtiden - deras homogenitet och isotropi, och därmed alla tre bevarandelagarna.

Slutsats

Avhandlingen om bevarandelagarnas samband med tidens och rummets homogenitet är utan tvekan korrekt för det euklidiska rummet i klassisk fysik och för det pseudo-euklidiska Minkowski-rummet i den allmänna relativitetsteorin (GR, där tiden är den fjärde koordinaten). Men inom ramen för den allmänna relativitetsteorien uppstår en naturlig fråga: hur är situationen i områden med enorma gravitationsfält, nära singulariteter, i synnerhet nära svarta hål? Fysiker har olika åsikter här: de flesta tror att dessa grundläggande principer förblir sanna under dessa extrema förhållanden. Det finns dock andra synpunkter från auktoritativa forskare. Båda arbetar med att skapa en ny teori om kvantgravitation.

För att kort föreställa oss vilka problem som uppstår här, låt oss citera orden från den teoretiska fysikern akademiker A. A. Logunov: "Det (Minkowski-utrymmet. - Bil.) återspeglar egenskaper som är gemensamma för alla former av materia. Detta säkerställer förekomsten av enhetliga fysiska egenskaper - energi, momentum, vinkelmomentum, lagar för bevarande av energi, momentum. Men Einstein hävdade att detta bara är möjligt under ett villkor - i frånvaro av gravitation<...>. Av detta uttalande av Einstein följde att rum-tid inte blir pseudo-euklidisk, utan mycket mer komplex i sin geometri - Riemannisk. Det senare är inte längre homogent. Det förändras från punkt till punkt. Egenskapen rymdkrökning visas. Den exakta formuleringen av bevarandelagar, som de accepterades i klassisk fysik, försvinner också i den.<...>Strängt taget, i generell relativitetsteori, är det i princip omöjligt att införa lagarna för bevarande av energimomentum; de kan inte formuleras" (se "Science and Life" nr 2, 3, 1987).

De grundläggande konstanterna i vår värld, vars natur vi talade om, är kända inte bara för fysiker utan också för lyriker. Således inspirerade det irrationella talet lika med 3,14159265358979323846 den enastående polska poeten under 1900-talet, Nobelpristagaren 1996 Wisława Szymborska, att skapa dikten "Pi", med ett citat från vilket vi kommer att avsluta dessa anteckningar:

Ett antal värda beundran:
Tre komma ett fyra ett.
Varje nummer ger en känsla
start - fem nio två,
för du kommer aldrig att nå slutet.
Du kan inte förstå alla siffror på ett ögonkast -
sex fem tre fem.
Aritmetiska operationer -
åtta nio -
räcker inte längre och det är svårt att tro -
sju nio -
att du inte kan komma undan med det - tre två tre
åtta -
inte heller en ekvation som inte finns,
inte en skämtsam jämförelse -
du kan inte räkna dem.
Låt oss gå vidare: fyra sex...
(Översättning från polska - B.G.)

Vad är Pi lika med? vi känner och minns från skolan. Det är lika med 3,1415926 och så vidare... Det räcker för en vanlig person att veta att detta tal erhålls genom att dividera en cirkels omkrets med dess diameter. Men många vet att talet Pi dyker upp i oväntade områden, inte bara inom matematik och geometri, utan också inom fysik. Tja, om du fördjupar dig i detaljerna om detta nummers karaktär kommer du att märka många överraskande saker bland den oändliga serien av nummer. Är det möjligt att Pi döljer universums djupaste hemligheter?

Oändligt antal

Själva talet Pi visas i vår värld som längden på en cirkel vars diameter är lika med en. Men trots att segmentet lika med Pi är ganska ändligt, börjar talet Pi som 3,1415926 och går till oändligheten i rader med tal som aldrig upprepas. Det första överraskande faktumet är att detta tal, som används i geometri, inte kan uttryckas som en bråkdel av heltal. Du kan med andra ord inte skriva det som förhållandet mellan två tal a/b. Dessutom är talet Pi transcendentalt. Det betyder att det inte finns någon ekvation (polynom) med heltalskoefficienter vars lösning skulle vara talet Pi.

Att talet Pi är transcendentalt bevisades 1882 av den tyske matematikern von Lindemann. Det var detta bevis som blev svaret på frågan om det är möjligt, med hjälp av en kompass och en linjal, att rita en kvadrat vars area är lika med arean av en given cirkel. Detta problem är känt som sökandet efter att kvadrera en cirkel, vilket har oroat mänskligheten sedan urminnes tider. Det verkade som att detta problem hade en enkel lösning och var på väg att lösas. Men det var just den obegripliga egenskapen hos talet Pi som visade att det inte fanns någon lösning på problemet med att kvadrera cirkeln.

I minst fyra och ett halvt årtusende har mänskligheten försökt få ett allt mer exakt värde för Pi. Till exempel, i Bibeln i Tredje kungaboken (7:23), antas talet Pi vara 3.

Pi-värdet med anmärkningsvärd noggrannhet kan hittas i Giza-pyramiderna: förhållandet mellan pyramidernas omkrets och höjd är 22/7. Denna bråkdel ger ett ungefärligt värde på Pi lika med 3,142... Om inte, naturligtvis, egyptierna satte detta förhållande av misstag. Samma värde erhölls redan i förhållande till beräkningen av talet Pi på 300-talet f.Kr. av den store Arkimedes.

I Papyrus of Ahmes, en forntida egyptisk matematiklärobok som går tillbaka till 1650 f.Kr., beräknas Pi som 3,160493827.

I forntida indiska texter runt 900-talet f.Kr. uttrycktes det mest exakta värdet med siffran 339/108, vilket var lika med 3,1388...

I nästan två tusen år efter Arkimedes försökte människor hitta sätt att beräkna Pi. Bland dem fanns både kända och okända matematiker. Till exempel den romerske arkitekten Marcus Vitruvius Pollio, den egyptiske astronomen Claudius Ptolemaios, den kinesiske matematikern Liu Hui, den indiske vismannen Aryabhata, den medeltida matematikern Leonardo av Pisa, känd som Fibonacci, den arabiska vetenskapsmannen Al-Khwarizmi, från vars namn ordet ordet "algoritm" dök upp. Alla och många andra letade efter de mest exakta metoderna för att beräkna Pi, men fram till 1400-talet fick de aldrig mer än 10 decimaler på grund av beräkningarnas komplexitet.

Till sist, år 1400, beräknade den indiske matematikern Madhava från Sangamagram Pi med en noggrannhet på 13 siffror (även om han fortfarande hade fel i de två sista).

Antal skyltar

På 1600-talet upptäckte Leibniz och Newton analysen av infinitesimala storheter, vilket gjorde det möjligt att beräkna Pi mer progressivt – genom potensserier och integraler. Newton räknade själv med 16 decimaler, men nämnde det inte i sina böcker – detta blev känt efter hans död. Newton hävdade att han beräknade Pi rent av tristess.

Ungefär samtidigt kom även andra mindre kända matematiker fram och föreslog nya formler för att beräkna talet Pi genom trigonometriska funktioner.

Till exempel är detta formeln som användes för att beräkna Pi av astronomiläraren John Machin 1706: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Med hjälp av analytiska metoder härledde Machin talet Pi till hundra decimaler från denna formel.

Förresten, samma 1706 fick numret Pi en officiell beteckning i form av en grekisk bokstav: William Jones använde den i sitt arbete med matematik och tog den första bokstaven i det grekiska ordet "periferi", som betyder "cirkel". .” Den store Leonhard Euler, född 1707, populariserade denna beteckning, nu känd för alla skolbarn.

Före datorernas era fokuserade matematiker på att beräkna så många tecken som möjligt. I detta avseende uppstod ibland roliga saker. Amatörmatematikern W. Shanks beräknade 707 siffror i Pi 1875. Dessa sjuhundra skyltar förevigades på väggen i Palais des Discoverys i Paris 1937. Men nio år senare upptäckte observanta matematiker att endast de första 527 tecknen var korrekt beräknade. Museet fick dra på sig betydande utgifter för att rätta till felet – nu stämmer alla siffror.

När datorer dök upp började antalet siffror i Pi beräknas i helt ofattbara ordningsföljder.

En av de första elektroniska datorerna, ENIAC, skapad 1946, var enorm i storlek och genererade så mycket värme att rummet värmdes upp till 50 grader Celsius, beräknade de första 2037 siffrorna i Pi. Denna beräkning tog maskinen 70 timmar.

Allt eftersom datorerna förbättrades, flyttade vår kunskap om Pi längre och längre in i det oändliga. År 1958 beräknades 10 tusen siffror av antalet. 1987 beräknade japanerna 10 013 395 tecken. År 2011 överskred den japanska forskaren Shigeru Hondo 10 biljoner tecken.

Var annars kan du träffa Pi?

Så, ofta finns vår kunskap om talet Pi kvar på skolnivå, och vi vet med säkerhet att detta nummer är oersättligt främst i geometri.

Förutom formler för längden och arean av en cirkel, används talet Pi i formler för ellipser, sfärer, koner, cylindrar, ellipsoider och så vidare: på vissa ställen är formlerna enkla och lätta att komma ihåg, men i andra innehåller de mycket komplexa integraler.

Då kan vi möta talet Pi i matematiska formler, där geometrin vid första anblicken inte är synlig. Till exempel är den obestämda integralen av 1/(1-x^2) lika med Pi.

Pi används ofta i serieanalys. Till exempel, här är en enkel serie som konvergerar till Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Bland serierna dyker Pi mest oväntat upp i den berömda Riemann zeta-funktionen. Det är omöjligt att prata om det i ett nötskal, låt oss bara säga att en dag kommer talet Pi att hjälpa till att hitta en formel för att beräkna primtal.

Och helt överraskande: Pi förekommer i två av matematikens vackraste "kungliga" formler - Stirlings formel (som hjälper till att hitta det ungefärliga värdet av faktorial- och gammafunktionen) och Eulers formel (som förbinder så många som fem matematiska konstanter).

Men den mest oväntade upptäckten väntade matematiker inom sannolikhetsteorin. Siffran Pi finns också där.

Till exempel är sannolikheten att två tal kommer att vara relativt primtal 6/PI^2.

Pi förekommer i Buffons nålkastningsproblem, formulerat på 1700-talet: vad är sannolikheten att en nål som kastas på ett fodrat papper kommer att korsa en av linjerna. Om nålens längd är L, och avståndet mellan linjerna är L, och r > L, så kan vi ungefär beräkna värdet av Pi med hjälp av sannolikhetsformeln 2L/rPI. Föreställ dig bara - vi kan få Pi från slumpmässiga händelser. Och förresten, Pi är närvarande i den normala sannolikhetsfördelningen, visas i ekvationen för den berömda Gaussiska kurvan. Betyder detta att Pi är ännu mer fundamental än bara förhållandet mellan omkrets och diameter?

Vi kan också möta Pi i fysiken. Pi förekommer i Coulombs lag, som beskriver kraften i växelverkan mellan två laddningar, i Keplers tredje lag, som visar rotationsperioden för en planet runt solen, och uppträder till och med i arrangemanget av väteatomens elektronorbitaler. Och det som återigen är mest otroligt är att talet Pi är gömt i formeln för Heisenbergs osäkerhetsprincip - kvantfysikens grundläggande lag.

Pis hemligheter

I Carl Sagans roman Kontakt, som filmen med samma namn bygger på, berättar utomjordingar för hjältinnan att bland Pi:s tecken finns ett hemligt budskap från Gud. Från en viss position upphör siffrorna i numret att vara slumpmässiga och representerar en kod där alla universums hemligheter är skrivna.

Den här romanen återspeglade faktiskt ett mysterium som har sysselsatt matematiker över hela världen: är Pi ett normalt tal där siffrorna är utspridda med lika frekvens, eller är det något fel med det här talet? Och även om forskare är benägna till det första alternativet (men inte kan bevisa det), ser numret Pi väldigt mystiskt ut. En japansk man beräknade en gång hur många gånger siffrorna 0 till 9 förekommer i de första biljonerna siffrorna i Pi. Och jag såg att siffrorna 2, 4 och 8 var vanligare än de andra. Detta kan vara ett av tipsen om att Pi inte är helt normalt, och att siffrorna i den verkligen inte är slumpmässiga.

Låt oss komma ihåg allt vi läst ovan och fråga oss själva, vilket annat irrationellt och transcendentalt tal finns så ofta i den verkliga världen?

Och det finns fler konstigheter på gång. Till exempel är summan av de första tjugo siffrorna i Pi 20, och summan av de första 144 siffrorna är lika med "ondjurets antal" 666.

Huvudpersonen i den amerikanska TV-serien "Suspekt", professor Finch, sa till eleverna att på grund av talet Pis oändlighet kan alla kombinationer av tal hittas i den, allt från siffrorna på ditt födelsedatum till mer komplexa tal . Till exempel, vid position 762 finns en sekvens av sex nior. Denna position kallas Feynman-punkten efter den berömda fysikern som lade märke till denna intressanta kombination.

Vi vet också att numret Pi innehåller sekvensen 0123456789, men det finns på den 17 387 594 880:e siffran.

Allt detta betyder att man i oändligheten av talet Pi kan hitta inte bara intressanta kombinationer av siffror, utan också den kodade texten "Krig och fred", Bibeln och till och med universums huvudhemlighet, om en sådan finns.

Förresten, om Bibeln. Matematikens berömda populariserare, Martin Gardner, uttalade 1966 att den miljonte siffran i Pi (vid den tiden fortfarande okänd) skulle vara siffran 5. Han förklarade sina beräkningar med det faktum att i den engelska versionen av Bibeln, i den 3:e bok, 14:e kapitel, 16 vers (3-14-16) det sjunde ordet innehåller fem bokstäver. Miljonsiffran nåddes åtta år senare. Det var nummer fem.

Är det värt att efter detta hävda att talet Pi är slumpmässigt?

I många århundraden och till och med, konstigt nog, årtusenden, har människor förstått vikten och värdet för vetenskapen av en matematisk konstant som är lika med förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. talet Pi är fortfarande okänt, men de bästa matematikerna genom vår historia har varit involverade i det. De flesta av dem ville uttrycka det som ett rationellt tal.

1. Forskare och sanna fans av numret Pi har organiserat en klubb för att gå med som du behöver kunna utantill ett ganska stort antal av dess tecken.

2. Sedan 1988 har "Pi Day" firats, som infaller den 14 mars. De förbereder sallader, kakor, kakor och bakverk med hans bild.

3. Nummret Pi har redan satts till musik, och det låter ganska bra. Ett monument restes till och med för honom i Seattle, Amerika, framför stadens konstmuseum.

På den avlägsna tiden försökte de beräkna talet Pi med hjälp av geometri. Det faktum att detta nummer är konstant för en mängd olika cirklar var känt av geometrar i det antika Egypten, Babylon, Indien och antikens Grekland, som i sina verk uppgav att det bara var lite mer än tre.

I en av jainismens heliga böcker (en gammal indisk religion som uppstod på 600-talet f.Kr.) nämns att då ansågs talet Pi vara lika med kvadratroten ur tio, vilket i slutändan ger 3,162... .

Forntida grekiska matematiker mätte en cirkel genom att konstruera ett segment, men för att mäta en cirkel var de tvungna att konstruera en lika stor kvadrat, det vill säga en figur lika stor som den.

När decimalbråken ännu inte var kända, fann den store Arkimedes värdet av Pi med en noggrannhet på 99,9%. Han upptäckte en metod som blev grunden för många efterföljande beräkningar, att skriva in regelbundna polygoner i en cirkel och beskriva den runt den. Som ett resultat beräknade Archimedes värdet av Pi som förhållandet 22/7 ≈ 3,142857142857143.

I Kina, matematiker och hovastronom, Zu Chongzhi på 500-talet f.Kr. e. angav ett mer exakt värde för Pi, beräknade det med sju decimaler och bestämde dess värde mellan siffrorna 3, 1415926 och 3,1415927. Det tog forskare mer än 900 år att fortsätta denna digitala serie.

Medeltiden

Den berömda indiske vetenskapsmannen Madhava, som levde vid 1300-talets början till 1400-talet och blev grundaren av Keralas skola för astronomi och matematik, började för första gången i historien att arbeta med utbyggnaden av trigonometriska funktioner till serier. Det är sant att endast två av hans verk har överlevt, och endast referenser och citat från hans elever är kända för andra. Den vetenskapliga avhandlingen "Mahajyanayana", som tillskrivs Madhava, säger att talet Pi är 3,14159265359. Och i avhandlingen "Sadratnamala" anges ett nummer med ännu mer exakta decimaler: 3,14159265358979324. I de angivna siffrorna motsvarar de sista siffrorna inte det korrekta värdet.

På 1400-talet beräknade Samarkand-matematikern och astronomen Al-Kashi talet Pi med sexton decimaler. Hans resultat ansågs vara det mest exakta under de kommande 250 åren.

W. Johnson, en matematiker från England, var en av de första som betecknade förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter med bokstaven π. Pi är den första bokstaven i det grekiska ordet "περιφέρεια" - cirkel. Men denna beteckning lyckades bli allmänt accepterad först efter att den användes 1736 av den mer kända vetenskapsmannen L. Euler.

Slutsats

Moderna forskare fortsätter att arbeta med ytterligare beräkningar av värdena på Pi. Superdatorer används redan för detta. År 2011 beräknade en vetenskapsman från Shigeru Kondo, som samarbetade med en amerikansk student Alexander Yi, en sekvens på 10 biljoner siffror korrekt. Men det är fortfarande oklart vem som upptäckte talet Pi, som först tänkte på detta problem och gjorde de första beräkningarna av detta verkligen mystiska tal.

Studerar Pi-nummer börjar i lågstadiet när eleverna lär sig om cirkeln, omkretsen och värdet av Pi. Eftersom värdet på Pi är en konstant, vilket betyder förhållandet mellan längden på själva cirkeln och längden på diametern på en given cirkel. Till exempel, om vi tar en cirkel vars diameter är lika med en, då är dess längd lika med Pi-nummer. Detta värde på Pi är oändligt i matematisk fortsättning, men det finns också en allmänt accepterad beteckning. Det kommer från en förenklad stavning av värdet på Pi, det ser ut som 3.14.

Pis historiska födelse

Siffran Pi ska ha fått sina rötter i det antika Egypten. Sedan forntida egyptiska forskare beräknade arean av en cirkel med diameter D, som tog värdet D - D/92. Vilket motsvarade 16/92, eller 256/81, vilket betyder att Pi är 3.160.
Indien på 500-talet f.Kr. berörde också talet Pi, inom jainismens religion hittades register som angav att talet Pi är lika med 10 i kvadratroten, vilket betyder 3,162.

Arkimedes läror om mätningen av cirkeln under det tredje århundradet f.Kr. ledde honom till följande slutsatser:

Senare underbyggde han sina slutsatser med en sekvens av beräkningar med hjälp av exempel på korrekt inskrivna eller beskrivna polygonala former med fördubbling av antalet sidor av dessa figurer. I exakta beräkningar drog Archimedes slutsatsen att förhållandet mellan diameter och omkrets i tal mellan 3 * 10/71 och 3 * 1/7, därför är värdet på Pi 3,1419... Eftersom vi redan har pratat om den oändliga formen av detta värde, det ser ut som 3, 1415927... Och detta är inte gränsen, eftersom matematikern Kashi på 1400-talet beräknade värdet av Pi som ett sextonsiffrigt värde.
Engelske matematikern Johnson W. 1706, började använda symbolen pi för symbolen? (från grekiska är det första bokstaven i ordet cirkel).

Mystisk mening.

Värdet på Pi är irrationellt och kan inte uttryckas i bråkform eftersom bråk använder hela värden. Det kan inte vara en rot i ekvationen, varför det också visar sig vara transcendentalt, det hittas genom att beakta eventuella processer, förfinas på grund av det stora antalet övervägda steg i en given process. Det har gjorts många försök att beräkna det största antalet decimaler i Pi, vilket har resulterat i tiotals biljoner siffror med ett givet decimalvärde.

Intressant faktum: Konstigt nog har värdet av Pi sin egen semester. Den kallas Internationella Pi-dagen. Det firas den 14 mars. Datumet dök upp tack vare själva värdet av Pi 3.14 (mm.yy) och fysikern Larry Shaw, som var den första att fira denna högtid 1987.

Obs: Juridisk hjälp för att få ett frånvarointyg (närvaro) av ett brottsregister för alla medborgare i Ryska federationen. Följ länken till statens tjänsteintyg utan brottsregister (http://conviction certificate.rf/) lagligt, snabbt och utan köer!