Linjära ekvationer. Typer av linjära ekvationer. Linjära ekvationer med en och två variabler, linjära olikheter Hur man förstår en linjär ekvation med två variabler

SAMMANFATTNING AV LEKTIONEN

Klass: 7

UMK: Algebra 7:e klass: lärobok. för allmänbildning organisationer / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk et al.]; redigerad av S.A. Teljakovskij. – 2:a uppl. – M.: Utbildning, 2014

Ämne: Linjära ekvationer i två variabler

Mål: Introducera eleverna till begreppen för en linjär ekvation med två variabler och dess lösning, lär ut hur man uttrycker från ekvationenX genompå ellerpå genomX .

Bildad UUD:

Kognitiv: lägga fram och motivera hypoteser, föreslå sätt att testa dem

Föreskrifter: jämföra metoden och resultatet av ens handlingar med en given standard, upptäcka avvikelser och skillnader från standarden; upprätta en plan och handlingsföljd.

Kommunikativ: upprätta arbetsrelationer; samarbeta effektivt och främja produktivt samarbete.

Personlig: futveckla färdigheter för att organisera analys av ens aktiviteter

Utrustning:dator, multimediaprojektor, duk

Under lektionerna:

jag Att organisera tid

Lyssna på sagan om farfar lika och gissa vad vi ska prata om idag

Sagan "Farfar-jämlik"

En farfar med smeknamnet Ravnyalo bodde i en hydda i utkanten av en skog. Han älskade att skämta med siffror. Farfar kommer att ta siffrorna på båda sidor om sig själv, koppla dem med tecken och sätta de snabbaste inom parentes, men se till att den ena delen är lika med den andra. Och sedan kommer han att gömma ett nummer under masken av "X" och be sitt barnbarn, lilla Ravnyalka, hitta det. Även om Ravnyalka är liten, kan han sin sak: han kommer snabbt att flytta alla siffror utom "X" till andra sidan och kommer inte att glömma att ändra deras tecken till motsatsen. Och siffrorna lyder honom, utför snabbt alla åtgärder på hans order, och "X" är känt. Farfadern ser på hur smart hans barnbarn gör allt och gläds: en bra ersättare för honom växer upp.

Så vad handlar den här berättelsen om?(om ekvationer)

II . Låt oss komma ihåg allt vi vet om linjära ekvationer och försöka dra en parallell mellan det material vi känner till och det nya materialet.

Vilken typ av ekvation känner vi till?(linjär ekvation med en variabel)

Låt oss komma ihåg definitionen av en linjär ekvation med en variabel.

Vad är roten till en linjär ekvation i en variabel?

Låt oss formulera alla egenskaper hos en linjär ekvation med en variabel.

1 del av tabellen är ifylld

ax = b, där x är en variabel, a, b är tal.

Exempel: 3x = 6

Värdet på x vid vilket ekvationen blir sann

1) överföra termer från en del av ekvationen till en annan, ändra deras tecken till det motsatta.

2) multiplicera eller dividera båda sidor av ekvationen med samma tal, inte lika med noll.

Linjär ekvation med två variabler.

ax + vy = c, där x, y är variabler, a, b.c är tal.

Exempel:

x – y = 5

x + y = 56

2x + 6y =68

Värdena på x, y som gör ekvationen sann.

x=8; y=3 (8;3)

x=60; y = -4 (60;-4)

Egenskaperna 1 och 2 är sanna.

3) ekvivalenta ekvationer:

x-y=5 och y=x-5

(8;3) (8;3)

Efter att vi har fyllt i den första delen av tabellen, baserat på analogi, börjar vi fylla i den andra raden i tabellen och lär oss därigenom nytt material.

III . Låt oss gå tillbaka till ämnet:linjär ekvation i två variabler . Själva rubriken på ämnet antyder att du behöver introducera en ny variabel, till exempel y.

Det finns två tal x och y, det ena större än det andra med 5. Hur skriver man sambandet mellan dem? (x – y = 5) detta är en linjär ekvation med två variabler. Låt oss formulera, analogt med definitionen av en linjär ekvation med en variabel, definitionen av en linjär ekvation med två variabler (En linjär ekvation i två variabler är en ekvation av formenyxa + förbi = c , Vara,b Ochc - några siffror, ochx Ochy -variabler).

Ekvationen x – y= 5 med x = 8, y = 3 blir till den korrekta likheten 8 – 3 = 5. De säger att värdeparet av variablerna x = 8, y = 3 är en lösning på denna ekvation.

Formulera definitionen av en lösning till en ekvation med två variabler (En lösning till en ekvation med två variabler är ett par värden av variabler som förvandlar denna ekvation till en sann likhet)

Par av variabelvärden skrivs ibland kortare: (8;3). I en sådan notation skrivs värdet x i första hand och värdet y i andra.

Ekvationer med två variabler som har samma lösningar (eller inga lösningar) kallas ekvivalenta.

Ekvationer med två variabler har samma egenskaper som ekvationer med en variabel:

Om du flyttar någon term i en ekvation från en del till en annan och ändrar dess tecken, får du en ekvation som motsvarar den givna.

Om båda sidor av ekvationen multipliceras eller divideras med samma tal (inte lika med noll), får du en ekvation som motsvarar den givna.

Exempel 1. Betrakta ekvationen 10x + 5y = 15. Med hjälp av ekvationernas egenskaper uttrycker vi en variabel i termer av en annan.

För att göra detta, flytta först 10x från vänster sida till höger, ändra dess tecken. Vi får den ekvivalenta ekvationen 5y = 15 - 10x.

Om vi ​​delar varje del av denna ekvation med talet 5 får vi den ekvivalenta ekvationen

y = 3 - 2x. Således uttryckte vi en variabel i termer av en annan. Med hjälp av denna likhet kan vi för varje värde på x beräkna värdet på y.

Om x = 2, så är y = 3 - 2 2 = -1.

Om x = -2, så är y = 3 - 2· (-2) = 7. Talpar (2; -1), (-2; 7) är lösningar till denna ekvation. Således har denna ekvation oändligt många lösningar.

Från historien. Problemet med att lösa ekvationer i naturliga tal övervägdes i detalj i verk av den berömda grekiske matematikern Diophantus (III-talet). Hans avhandling "Aritmetik" innehåller geniala lösningar i naturliga tal till en mängd olika ekvationer. I detta avseende kallas ekvationer med flera variabler som kräver lösningar i naturliga tal eller heltal diofantiska ekvationer.

Exempel 2. Mjöl förpackas i påsar om 3 kg och 2 kg. Hur många påsar av varje typ ska man ta för att göra 20 kg mjöl?

Låt oss säga att vi måste ta x påsar på 3 kg och y påsar på 2 kg. Då 3x + 2y = 20. Det krävs att man hittar alla par av naturvärden för variablerna x och y som uppfyller denna ekvation. Vi får:

2y = 20 - 3x

y =

Genom att ersätta med denna likhet istället för x successivt alla siffror 1,2,3, etc., finner vi för vilka värden av x, värdena för y är naturliga tal.

Vi får: (2;7), (4;4), (6;1). Det finns inga andra par som uppfyller denna ekvation. Det betyder att du måste ta antingen 2 och 7, eller 4 och 4, eller 6 respektive 1 paket.

IV . Arbeta från läroboken (muntligt) nr 1025, nr 1027 (a)

Självständigt arbete med testning i klassen.

1. Skriv en linjär ekvation med två variabler.

a) 3x + 6y = 5 c) xy = 11 b) x – 2y = 5

2. Är ett talpar en lösning på en ekvation?

2x + y = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).

3. Uttryck från linjär ekvation

4x – 3y = 12 a) x till y b) y till x

4. Hitta tre lösningar till ekvationen.

x + y = 27

V . Så, för att sammanfatta:

Definiera en linjär ekvation med två variabler.

Det som kallas lösningen (roten) av en linjär ekvation med två variabler.

Ange egenskaperna för en linjär ekvation med två variabler.

Betygsättning.

Läxor: paragraf 40, nr 1028, nr 1032

Vi har ofta stött på ekvationer av formen ax + b = 0, där a, b är tal, x är en variabel. Till exempel, bx - 8 = 0, x + 4 = O, - 7x - 11 = 0, etc. Siffrorna a, b (ekvationskoefficienter) kan vara vilka som helst, förutom fallet då a = 0.

Ekvationen ax + b = 0, där a, kallas en linjär ekvation med en variabel x (eller en linjär ekvation med ett okänt x). Vi kan lösa det, det vill säga uttrycka x genom a och b:

Vi noterade det tidigare ganska ofta matematisk modell den verkliga situationen är en linjär ekvation med en variabel eller en ekvation som efter transformationer reduceras till en linjär. Låt oss nu titta på denna verkliga situation.

Från städerna A och B, vars avstånd är 500 km, avgick två tåg mot varandra med var sin konstanta hastighet. Det är känt att det första tåget gick 2 timmar tidigare än det andra. 3 timmar efter att det andra tåget gick möttes de. Vilka är tåghastigheterna?

Låt oss skapa en matematisk modell av problemet. Låt x km/h vara hastigheten för det första tåget, y km/h vara hastigheten för det andra tåget. Den första var på vägen i 5 timmar och tillryggalade därför en sträcka på bx km. Det andra tåget var på väg i 3 timmar, d.v.s. gick en sträcka på 3 km.

Deras möte ägde rum i punkt C. Figur 31 visar en geometrisk modell av situationen. På algebraiskt språk kan det beskrivas på följande sätt:

5x + Zu = 500

eller
5x + Zu - 500 = 0.

Denna matematiska modell kallas en linjär ekvation med två variabler x, y.
Alls,

ax + by + c = 0,

där a, b, c är tal och , är linjär ekvationen med två variabler x och y (eller med två okända x och y).

Låt oss återgå till ekvationen 5x + 3 = 500. Vi noterar att om x = 40, y = 100, så är 5 40 + 3 100 = 500 en korrekt likhet. Det betyder att svaret på frågan om problemet kan vara följande: hastigheten för det första tåget är 40 km/h, hastigheten för det andra tåget är 100 km/h. Ett talpar x = 40, y = 100 kallas en lösning på ekvationen 5x + 3 = 500. Det sägs också att detta värdepar (x; y) uppfyller ekvationen 5x + 3 = 500.

Tyvärr är denna lösning inte den enda (vi älskar alla säkerhet och entydighet). I själva verket är följande alternativ också möjligt: ​​x = 64, y = 60; faktiskt, 5 64 + 3 60 = 500 är en korrekt likhet. Och detta: x = 70, y = 50 (eftersom 5 70 + 3 50 = 500 är en sann likhet).

Men säg, ett par av siffror x = 80, y = 60 är inte en lösning på ekvationen, eftersom en sann likhet inte fungerar med dessa värden:

I allmänhet är en lösning till ekvationen ax + by + c = 0 valfritt talpar (x; y) som uppfyller denna ekvation, det vill säga förvandlar likheten med variablerna ax + by + c = 0 till en sann numerisk jämlikhet. Det finns oändligt många sådana lösningar.

Kommentar. Låt oss återgå till ekvationen 5x + 3 = 500, erhållen i det ovan diskuterade problemet. Bland det oändliga antalet av dess lösningar finns till exempel följande: x = 100, y = 0 (visst är 5 100 + 3 0 = 500 en korrekt numerisk likhet); x = 118, y = - 30 (eftersom 5 118 + 3 (-30) = 500 är en korrekt numerisk likhet). Dock vara lösningar på ekvationen, dessa par kan inte tjäna som lösningar på detta problem, eftersom tågets hastighet inte kan vara lika med noll (då rör det sig inte, utan står stilla); Dessutom kan tågets hastighet inte vara negativ (då går det inte mot ett annat tåg, som det står i problemformuleringen, utan i motsatt riktning).

Exempel 1. Rita lösningar till en linjär ekvation med två variabler x + y - 3 = 0 med punkter i xOy-koordinatplanet.

Lösning. Låt oss välja flera lösningar till en given ekvation, det vill säga flera talpar som uppfyller ekvationen: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5) .

A. V. Pogorelov, Geometri för årskurserna 7-11, Lärobok för utbildningsinstitutioner

Lektionens innehåll lektionsanteckningar stödja frame lektion presentation acceleration metoder interaktiv teknik Öva uppgifter och övningar självtest workshops, utbildningar, fall, uppdrag läxor diskussionsfrågor retoriska frågor från elever Illustrationer ljud, videoklipp och multimedia fotografier, bilder, grafik, tabeller, diagram, humor, anekdoter, skämt, serier, liknelser, ordspråk, korsord, citat Tillägg sammandrag artiklar knep för nyfikna spjälsängar läroböcker grundläggande och ytterligare ordbok över termer andra Förbättra läroböcker och lektionerrätta fel i läroboken uppdatera ett fragment i en lärobok, inslag av innovation i lektionen, ersätta föråldrad kunskap med nya Endast för lärare perfekta lektioner kalenderplan för året, metodologiska rekommendationer, diskussionsprogram Integrerade lektioner

1 § Val av ekvationsrötter i verkliga situationer

Låt oss överväga denna verkliga situation:

Mästaren och lärlingen gjorde tillsammans 400 specialdetaljer. Dessutom arbetade mästaren i 3 dagar och studenten i 2 dagar. Hur många delar gjorde varje person?

Låt oss skapa en algebraisk modell av denna situation. Låt mästaren producera delar på 1 dag. Och studenten är på detaljerna. Sedan kommer mästaren att göra 3 delar på 3 dagar, och studenten kommer att göra 2 delar på 2 dagar. Tillsammans kommer de att producera 3 + 2 delar. Eftersom, enligt villkoret, totalt 400 delar tillverkades, får vi ekvationen:

Den resulterande ekvationen kallas en linjär ekvation i två variabler. Här måste vi hitta ett par av siffror x och y för vilka ekvationen kommer att ha formen av en sann numerisk likhet. Observera att om x = 90, y = 65, så får vi likheten:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Eftersom den korrekta numeriska likheten har erhållits kommer siffrorna 90 och 65 att vara en lösning på denna ekvation. Men lösningen som hittats är inte den enda. Om x = 96 och y = 56, får vi likheten:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Detta är också en sann numerisk likhet, vilket betyder att paret med nummer 96 och 56 också är en lösning på denna ekvation. Men ett talpar x = 73 och y = 23 kommer inte att vara en lösning på denna ekvation. Faktum är att 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 ger oss den felaktiga numeriska likheten 265 = 400. Det bör noteras att om vi betraktar ekvationen i relation till denna verkliga situation, så kommer det att finnas talpar som är en lösning på denna ekvation, kommer inte att vara en lösning på problemet. Till exempel, ett par siffror:

x = 200 och y = -100

är en lösning på ekvationen, men eleven kan inte göra -100 delar, och därför kan ett sådant talpar inte vara svaret på frågan om problemet. Således är det i varje specifik verklig situation nödvändigt att ta ett rimligt tillvägagångssätt för att välja ekvationens rötter.

Låt oss sammanfatta de första resultaten:

En ekvation av formen ax + by + c = 0, där a, b, c är valfria tal, kallas en linjär ekvation med två variabler.

Lösningen till en linjär ekvation i två variabler är ett talpar som motsvarar x och y, för vilka ekvationen förvandlas till en sann numerisk likhet.

§ 2 Graf över en linjär ekvation

Själva registreringen av paret (x;y) får oss att tänka på möjligheten att avbilda det som en punkt med koordinaterna xy y på ett plan. Det betyder att vi kan få fram en geometrisk modell av en specifik situation. Tänk till exempel på ekvationen:

2x + y - 4 = 0

Låt oss välja flera talpar som ska vara lösningar på denna ekvation och konstruera punkter med de hittade koordinaterna. Låt dessa vara punkter:

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(-1; 6).

Observera att alla punkter ligger på samma linje. Denna linje kallas grafen för en linjär ekvation i två variabler. Det är en grafisk (eller geometrisk) modell av en given ekvation.

Om ett talpar (x;y) är en lösning på ekvationen

ax + vy + c = 0, då hör punkten M(x;y) till ekvationens graf. Vi kan säga tvärtom: om punkten M(x;y) tillhör grafen för ekvationen ax + y + c = 0, så är talparet (x;y) en lösning på denna ekvation.

Från geometrikursen vet vi:

För att konstruera en rät linje behöver du 2 punkter, så för att rita en graf av en linjär ekvation med två variabler räcker det att bara veta 2 par lösningar. Men att gissa rötterna är inte alltid en bekväm eller rationell procedur. Du kan agera enligt en annan regel. Eftersom abskissan för en punkt (variabel x) är en oberoende variabel kan du ge den vilket lämpligt värde som helst. Genom att ersätta detta tal i ekvationen hittar vi värdet på variabeln y.

Låt till exempel ekvationen ges:

Låt x = 0, då får vi 0 - y + 1 = 0 eller y = 1. Det betyder att om x = 0, så är y = 1. Ett talpar (0;1) är lösningen på denna ekvation. Låt oss sätta ett annat värde för variabeln x: x = 2. Då får vi 2 - y + 1 = 0 eller y = 3. Talparet (2;3) är också en lösning på denna ekvation. Med hjälp av de två hittade punkterna är det redan möjligt att konstruera en graf av ekvationen x - y + 1 = 0.

Du kan göra detta: tilldela först ett specifikt värde till variabeln y och beräkna först sedan värdet på x.

3 § Ekvationssystem

Hitta två naturliga tal vars summa är 11 och skillnaden är 1.

För att lösa detta problem skapar vi först en matematisk modell (nämligen en algebraisk). Låt det första talet vara x och det andra talet y. Då summan av talen x + y = 11 och skillnaden mellan talen x - y = 1. Eftersom båda ekvationerna handlar om samma tal måste dessa villkor uppfyllas samtidigt. Vanligtvis används i sådana fall ett särskilt register. Ekvationerna är skrivna under varandra och kombinerade med ett lockigt stag.

En sådan post kallas ett ekvationssystem.

Låt oss nu konstruera uppsättningar av lösningar till varje ekvation, dvs. grafer för var och en av ekvationerna. Låt oss ta den första ekvationen:

Om x = 4 är y = 7. Om x = 9 är y = 2.

Låt oss rita en rak linje genom punkterna (4;7) och (9;2).

Låt oss ta den andra ekvationen x - y = 1. Om x = 5, så är y = 4. Om x = 7, då y = 6. Vi ritar också en rät linje genom punkterna (5;4) och (7;6 ). Vi fick en geometrisk modell av problemet. Det talpar vi är intresserade av (x;y) måste vara en lösning på båda ekvationerna. I figuren ser vi en enda punkt som ligger på båda linjerna; detta är skärningspunkten för linjerna.

Dess koordinater är (6;5). Därför kommer lösningen på problemet att vara: det första numret som krävs är 6, det andra är 5.

Lista över använd litteratur:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7:e klass i 2 delar, Del 1, Lärobok för allmänna läroanstalter / A.G. Mordkovich. – 10:e upplagan, reviderad – Moskva, "Mnemosyne", 2007
2. Mordkovich A.G., Algebra 7:e klass i 2 delar, del 2, Problembok för läroanstalter / [A.G. Mordkovich och andra]; redigerad av A.G. Mordkovich - 10:e upplagan, reviderad - Moskva, "Mnemosyne", 2007
3. HENNE. Tulchinskaya, Algebra 7:e klass. Blitzundersökning: en manual för studenter vid allmänna utbildningsinstitutioner, 4:e upplagan, reviderad och utökad, Moskva, "Mnemosyne", 2008
4. Alexandrova L.A., Algebra 7:e klass. Tematiska provuppgifter i ny form för studenter vid allmänna läroanstalter, redigerade av A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011
5. Alexandrova L.A. Algebra 7:e klass. Fristående verk för studenter vid allmänna läroanstalter, redigerad av A.G. Mordkovich - 6:e upplagan, stereotyp, Moskva, "Mnemosyne", 2010

Varje skolbarn börjar studera detta ämne i grundklasserna, när han går igenom tecknen "större än", "mindre än" och "lika med." Denna typ av ojämlikheter och ekvationer är en av de enklaste i hela läroplanen för hela studieperioden för en skolbarn och elev. Lösningen på absolut vilken ekvation eller olikhet som helst handlar om att förenkla den till en linjär form. Hur ser linjära ekvationer och ojämlikheter ut?

I en sådan ekvation är det okända i första graden, vilket gör att du enkelt och snabbt kan separera variabler från konstanter genom att placera dem på motsatta sidor av delningstecknet (likhet eller olikhet). Hur ser en metod ut som hjälper dig att enkelt och enkelt lösa alla linjära ekvationer?

Låt oss säga att det finns en ekvation 3x - 89 = (5x - 32)/2. Det första du ska göra är att förenkla bråkdelen genom att multiplicera hela ekvationen med 2. Då blir resultatet att 6x - 178 = 5x - 32. I själva verket är detta redan en linjär ekvation. Nu måste vi förenkla det genom att flytta alla variabler till vänster och konstanterna till höger. Resultatet är att x = 146. Om faktorn för variabeln är större än en, ska hela den linjära ekvationen divideras med den, och i det här fallet kommer det erforderliga svaret att erhållas.

Detsamma gäller ojämlikheter. Först måste du förenkla den linjära olikheten och sedan flytta variablerna till vänster sida och konstanterna till höger. Efter detta förenklas den linjära olikheten igen så att koefficienten för variabeln är lika med ett. Svaret på ojämlikheten erhålls automatiskt, varefter det bara behöver skrivas ner i önskad form (i form av en olikhet, ett intervall eller ett gap på axeln).

Som du kan förstå av ovanstående är linjära ekvationer och ojämlikheter mycket enkla även för grundskolebarn. Det är dock värt att komma ihåg att denna typ av ekvationer har variationer.

Det finns en sådan typ av dem som linjära ekvationer med två variabler. Hur löser man dem? Detta är en ganska arbetskrävande process. I skolan börjar sådana fall att uppstå, därför kan linjära ekvationer med två variabler klassificeras som mer komplexa ämnen.

Låt oss säga att det finns en ekvation 2x + y = 3x + 17. Det första du ska göra är att uttrycka en okänd storhet i termer av en annan. Detta görs helt enkelt: en variabel flyttas till vänster, alla andra variabler och siffror flyttas till höger; alla linjära ekvationer med två variabler löses på detta sätt. Som ett resultat kommer du att få en ekvation av formen y = x + 17. Svaret uttrycks genom att plotta denna funktion i ett koordinatsystem och har formen av en rät linje. Så här löser man linjära ekvationer med två variabler.

Det är också värt att notera att det förutom ekvationer med två variabler finns liknande olikheter. Till skillnad från ekvationer där svaret är grafen för en funktion, innehåller en olikhet sitt svar i det plan som begränsas av denna graf. Det är värt att överväga: om ojämlikheten är strikt, så ingår inte grafen i svaret!

Så nu har du en idé om hur man löser linjära ekvationer och ojämlikheter. Även om detta ämne är ganska enkelt att studera, är det värt att uppmärksamma, eftersom vissa av subtiliteterna kanske inte är särskilt tydliga, vilket kan leda till obehagliga misstag på kontrolltestet och en minskning av slutresultaten. Linjär ekvation - det är enkelt, huvudsaken - följ de nödvändiga matematiska reglerna, som att dividera eller multiplicera hela ekvationen med valfritt värde, överföra element i en funktion bortom likhetstecknet, konstruera grafer korrekt och skriva svaret korrekt.

Att veta hur man korrekt skriver och löser linjära ekvationer och ojämlikheter hjälper dig att förstå mer komplexa typer av ekvationer och ojämlikheter. Det är därför detta ämne anses så viktigt - nästan hörnstenen i matematik, eftersom principerna för att lösa sådana exempel ligger till grund för lösningen av lejonparten av andra ekvationer, ojämlikheter och problem.