Subtrahera vanliga bråk. Hur man lär sig att subtrahera bråk med olika nämnare. Sammanfattning: allmänt beräkningsschema

Den här artikeln börjar studien av operationer med algebraiska fraktioner: vi kommer att överväga i detalj sådana operationer som addition och subtraktion av algebraiska fraktioner. Låt oss analysera schemat för att addera och subtrahera algebraiska bråk med både samma och olika nämnare. Låt oss lära oss hur man lägger till en algebraisk bråkdel med ett polynom och hur man subtraherar dem. Med hjälp av specifika exempel kommer vi att förklara varje steg för att hitta lösningar på problem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Additions- och subtraktionsoperationer med lika nämnare

Schemat för att lägga till vanliga bråk är också tillämpligt på algebraiska. Vi vet att när du adderar eller subtraherar vanliga bråk med lika nämnare måste du addera eller subtrahera deras täljare, men nämnaren förblir densamma.

Till exempel: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 och 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

Följaktligen skrivs regeln för att addera och subtrahera algebraiska bråk med liknande nämnare på liknande sätt:

Definition 1

För att addera eller subtrahera algebraiska bråk med liknande nämnare, måste du addera eller subtrahera täljarna för de ursprungliga bråken respektive, och skriva nämnaren oförändrad.

Denna regel gör det möjligt att dra slutsatsen att resultatet av att addera eller subtrahera algebraiska bråk är en ny algebraisk bråkdel (i ett särskilt fall: ett polynom, monomial eller tal).

Låt oss ange ett exempel på tillämpningen av den formulerade regeln.

Exempel 1

De angivna algebraiska bråken är: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 och 3 - x · y x 2 · y - 2 . Det är nödvändigt att lägga till dem.

Lösning

De ursprungliga bråken innehåller samma nämnare. Enligt regeln kommer vi att lägga till täljarna för de givna bråken och lämna nämnaren oförändrad.

Lägger vi till polynomen som är täljare för de ursprungliga bråken får vi: x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

Sedan kommer det nödvändiga beloppet att skrivas som: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

I praktiken, som i många fall, ges lösningen av en kedja av jämlikheter, som tydligt visar alla stadier av lösningen:

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

Svar: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

Resultatet av addition eller subtraktion kan vara en reducerbar bråkdel, i vilket fall det är optimalt att reducera det.

Exempel 2

Det är nödvändigt att subtrahera bråkdelen 2 · y x 2 - 4 · y 2 från den algebraiska bråkdelen x x 2 - 4 · y 2 .

Lösning

De ursprungliga bråkens nämnare är lika. Låt oss utföra operationer med täljare, nämligen: subtrahera täljaren för den andra från täljaren för den första bråkdelen, och skriv sedan resultatet och lämna nämnaren oförändrad:

x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y x 2 - 4 y 2

Vi ser att den resulterande fraktionen är reducerbar. Låt oss minska det genom att transformera nämnaren med kvadratskillnaden:

x - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

Svar: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

Med samma princip adderas eller subtraheras tre eller flera algebraiska bråk med samma nämnare. T.ex:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

Additions- och subtraktionsoperationer med olika nämnare

Låt oss återigen titta på operationsschemat med vanliga bråk: för att lägga till eller subtrahera vanliga bråk med olika nämnare måste du föra dem till en gemensam nämnare och sedan lägga till de resulterande bråken med samma nämnare.

Till exempel, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 eller 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

I analogi formulerar vi också regeln för att addera och subtrahera algebraiska bråk med olika nämnare:

Definition 2

För att lägga till eller subtrahera algebraiska bråk med olika nämnare måste du:

• föra de ursprungliga bråken till en gemensam nämnare;
• utföra addition eller subtraktion av resulterande bråk med samma nämnare.

Uppenbarligen kommer nyckeln här att vara förmågan att reducera algebraiska bråk till en gemensam nämnare. Låt oss ta en närmare titt.

Reducera algebraiska bråk till en gemensam nämnare

För att få algebraiska bråk till en gemensam nämnare är det nödvändigt att utföra en identisk transformation av de givna bråken, vilket resulterar i att nämnarna för de ursprungliga bråken blir desamma. Här är det optimalt att använda följande algoritm för att reducera algebraiska bråk till en gemensam nämnare:

• först bestämmer vi den gemensamma nämnaren för algebraiska bråk;
• sedan hittar vi ytterligare faktorer för vart och ett av bråken genom att dividera den gemensamma nämnaren med nämnarna för de ursprungliga bråken;
• Den sista åtgärden är att multiplicera täljarna och nämnarna för de givna algebraiska bråken med motsvarande ytterligare faktorer.

De algebraiska bråken ges: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a och a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Det är nödvändigt att föra dem till en gemensam nämnare.

Lösning

Vi agerar enligt ovanstående algoritm. Låt oss bestämma den gemensamma nämnaren för de ursprungliga bråken. För detta ändamål faktoriserar vi nämnarna för de givna bråken: 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2), 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) och 4 a 5 − 16 a 3 = 4 a 3 (a − 2) (a + 2). Härifrån kan vi skriva den gemensamma nämnaren: 12 a 3 (a − 2) (a + 2).

Nu måste vi hitta ytterligare faktorer. Låt oss, enligt algoritmen, dela upp den hittade gemensamma nämnaren i de ursprungliga bråkens nämnare:

• för den första bråkdelen: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a − 2)) = 6 · a · (a + 2) ;
• för den andra fraktionen: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (3 · a · (a − 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
• för den tredje fraktionen: 12 a 3 (a − 2) (a + 2) : (4 a 3 (a − 2) (a + 2)) = 3 .

Nästa steg är att multiplicera täljarna och nämnarna för de givna bråken med de ytterligare faktorerna:

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a = (a + 3) 4 a 2 ( a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = (a + 1) · 3 (4 · a 5 - 16 · a 3) · 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 (a - 2) (a + 2)

Svar: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2); a + 3 3 · a 2 - 6 · a = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2); a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) .

Så vi har reducerat de ursprungliga bråken till en gemensam nämnare. Om det behövs kan du sedan omvandla det resulterande resultatet till formen av algebraiska bråk genom att multiplicera polynom och monomer i täljare och nämnare.

Låt oss också klargöra denna punkt: det är optimalt att lämna den hittade gemensamma nämnaren i form av en produkt om det är nödvändigt att reducera den slutliga fraktionen.

Vi har undersökt i detalj schemat för att reducera initiala algebraiska bråk till en gemensam nämnare; nu kan vi börja analysera exempel på att addera och subtrahera bråk med olika nämnare.

Exempel 4

De angivna algebraiska bråken är: 1 - 2 x x 2 + x och 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Det är nödvändigt att utföra åtgärden av deras tillägg.

Lösning

De ursprungliga bråken har olika nämnare, så det första steget är att föra dem till en gemensam nämnare. Vi faktoriserar nämnarna: x 2 + x = x · (x + 1) , och x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) , därför att rötter av ett kvadratiskt trinomium x 2 + 3 x + 2 dessa nummer är: - 1 och - 2. Vi bestämmer den gemensamma nämnaren: x (x + 1) (x + 2), kommer de ytterligare faktorerna att vara: x+2 Och – x för de första respektive andra fraktionerna.

Alltså: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) och 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Låt oss nu lägga till bråken som vi har fört till en gemensam nämnare:

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

Den resulterande fraktionen kan reduceras med en gemensam faktor x+1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

Och slutligen skriver vi resultatet som erhålls i form av en algebraisk bråkdel, och ersätter produkten i nämnaren med ett polynom:

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Låt oss kortfattat skriva ner lösningsprocessen i form av en kedja av jämlikheter:

1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2 ) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Svar: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

Var uppmärksam på denna detalj: innan du lägger till eller subtraherar algebraiska bråk, om möjligt, är det lämpligt att transformera dem för att förenkla.

Exempel 5

Det är nödvändigt att subtrahera bråk: 2 1 1 3 · x - 2 21 och 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Lösning

Låt oss omvandla de ursprungliga algebraiska bråken för att förenkla den ytterligare lösningen. Låt oss ta de numeriska koefficienterna för variablerna i nämnaren inom parentes:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 och 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

Denna omvandling gav oss helt klart en fördel: vi ser tydligt närvaron av en gemensam faktor.

Låt oss helt och hållet bli av med numeriska koefficienter i nämnarna. För att göra detta använder vi huvudegenskapen för algebraiska bråk: vi multiplicerar täljaren och nämnaren för den första bråkdelen med 3 4 och den andra med - 1 2, då får vi:

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 och 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

Låt oss utföra en åtgärd som gör att vi kan bli av med bråkkoefficienter: multiplicera de resulterande bråken med 14:

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 och - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .

Slutligen, låt oss utföra den åtgärd som krävs i problemformuleringen - subtraktion:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

Svar: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

Addera och subtrahera algebraiska bråk och polynom

Denna åtgärd handlar också om att lägga till eller subtrahera algebraiska bråk: det är nödvändigt att representera det ursprungliga polynomet som ett bråk med en nämnare 1.

Exempel 6

Det är nödvändigt att lägga till ett polynom x 2 − 3 med den algebraiska bråkdelen 3 x x + 2.

Lösning

Låt oss skriva polynomet som en algebraisk bråkdel med nämnaren 1: x 2 - 3 1

Nu kan vi utföra addition enligt regeln för att addera bråk med olika nämnare:

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

Svar: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Bråk är vanliga tal och kan även adderas och subtraheras. Men eftersom de har en nämnare kräver de mer komplexa regler än för heltal.

Låt oss överväga det enklaste fallet, när det finns två bråk med samma nämnare. Sedan:

För att lägga till bråk med samma nämnare måste du lägga till deras täljare och lämna nämnaren oförändrad.

För att subtrahera bråk med samma nämnare måste du subtrahera täljaren för den andra från täljaren för det första bråket och återigen lämna nämnaren oförändrad.

Inom varje uttryck är bråkens nämnare lika. Som definition av att addera och subtrahera bråk får vi:

Som du kan se är det inget komplicerat: vi lägger bara till eller subtraherar täljarna och det är det.

Men även i så enkla handlingar lyckas människor göra misstag. Det som oftast glöms bort är att nämnaren inte ändras. Till exempel, när de lägger till dem börjar de också läggas ihop, och det är i grunden fel.

Att bli av med den dåliga vanan att lägga till nämnare är ganska enkelt. Prova samma sak när du subtraherar. Som ett resultat blir nämnaren noll, och bråket kommer (plötsligt!) att förlora sin betydelse.

Kom därför ihåg en gång för alla: när man adderar och subtraherar ändras inte nämnaren!

Många gör också misstag när de lägger till flera negativa bråk. Det finns förvirring med tecknen: var man ska sätta ett minus och var man ska sätta ett plus.

Detta problem är också mycket lätt att lösa. Det räcker med att komma ihåg att minus före tecknet på ett bråk alltid kan överföras till täljaren - och vice versa. Och naturligtvis, glöm inte två enkla regler:

1. Plus för minus ger minus;
2. Två negativa ger ett jakande.

Låt oss titta på allt detta med specifika exempel:

Uppgift. Hitta betydelsen av uttrycket:

I det första fallet är allt enkelt, men i det andra, låt oss lägga till minus till täljarna av bråken:

Vad ska man göra om nämnarna är olika

Du kan inte lägga till bråk med olika nämnare direkt. Åtminstone är denna metod okänd för mig. De ursprungliga bråken kan dock alltid skrivas om så att nämnarna blir desamma.

Det finns många sätt att omvandla bråk. Tre av dem diskuteras i lektionen "Reducera bråk till en gemensam nämnare", så vi ska inte uppehålla oss vid dem här. Låt oss titta på några exempel:

Uppgift. Hitta betydelsen av uttrycket:

I det första fallet reducerar vi bråken till en gemensam nämnare med hjälp av "kors-kors"-metoden. I den andra kommer vi att leta efter NOC. Observera att 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. De sista faktorerna i dessa expansioner är lika, och de första är relativt prime. Därför är LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Vad ska man göra om ett bråk har en heltalsdel

Jag kan glädja dig: olika nämnare i bråktal är inte det största onda. Mycket fler fel uppstår när hela delen är markerad i addendbråken.

Naturligtvis finns det egna additions- och subtraktionsalgoritmer för sådana bråk, men de är ganska komplexa och kräver en lång studie. Använd bättre det enkla diagrammet nedan:

1. Konvertera alla bråk som innehåller en heltalsdel till felaktiga. Vi får normala termer (även med olika nämnare), som beräknas enligt reglerna som diskuterats ovan;
2. Faktiskt, beräkna summan eller skillnaden av de resulterande bråken. Som ett resultat kommer vi praktiskt taget att hitta svaret;
3. Om detta är allt som krävdes i problemet utför vi den omvända transformationen, dvs. Vi blir av med en oegentlig bråkdel genom att markera hela delen.

Reglerna för att flytta till oegentliga bråk och markera hela delen beskrivs i detalj i lektionen "Vad är ett numeriskt bråktal". Om du inte kommer ihåg, se till att upprepa det. Exempel:

Uppgift. Hitta betydelsen av uttrycket:

Allt är enkelt här. Nämnarna inuti varje uttryck är lika, så det enda som återstår är att omvandla alla bråk till oegentliga och räkna. Vi har:

För att förenkla beräkningarna har jag hoppat över några självklara steg i de sista exemplen.

En liten notering om de två sista exemplen, där bråk med heltalsdelen markerad subtraheras. Minus före det andra bråket betyder att hela bråket subtraheras, och inte bara hela dess del.

Läs den här meningen igen, titta på exemplen - och tänk efter. Det är här nybörjare gör ett stort antal misstag. De älskar att ge sådana problem på tester. Du kommer också att stöta på dem flera gånger i testerna för den här lektionen, som kommer att publiceras inom kort.

Sammanfattning: allmänt beräkningsschema

Sammanfattningsvis kommer jag att ge en allmän algoritm som hjälper dig att hitta summan eller skillnaden mellan två eller flera bråk:

1. Om en eller flera bråk har en heltalsdel, konvertera dessa bråk till oegentliga;
2. Ta alla bråk till en gemensam nämnare på något sätt som är lämpligt för dig (såvida inte problemförfattarna naturligtvis gjorde detta);
3. Addera eller subtrahera de resulterande talen enligt reglerna för att addera och subtrahera bråk med samma nämnare;
4. Om möjligt, förkorta resultatet. Om bråktalet är felaktigt, välj hela delen.

Kom ihåg att det är bättre att markera hela delen alldeles i slutet av uppgiften, omedelbart innan du skriver ner svaret.

Den här lektionen kommer att behandla att addera och subtrahera algebraiska bråk med olika nämnare. Vi vet redan hur man adderar och subtraherar vanliga bråk med olika nämnare. För att göra detta måste bråken reduceras till en gemensam nämnare. Det visar sig att algebraiska bråk följer samma regler. Samtidigt vet vi redan hur man reducerar algebraiska bråk till en gemensam nämnare. Att addera och subtrahera bråk med olika nämnare är ett av de viktigaste och svåraste ämnena i årskurs 8. Dessutom kommer detta ämne att dyka upp i många ämnen i algebrakursen som du kommer att studera i framtiden. Som en del av lektionen kommer vi att studera reglerna för att addera och subtrahera algebraiska bråk med olika nämnare, och även analysera ett antal typiska exempel.

Låt oss titta på det enklaste exemplet för vanliga bråk.

Exempel 1. Lägg till bråk: .

Lösning:

Låt oss komma ihåg regeln för att lägga till bråk. Till att börja med måste bråk reduceras till en gemensam nämnare. Den gemensamma nämnaren för vanliga bråk är minsta gemensamma nämnare(LCM) av de ursprungliga nämnarna.

Definition

Det minsta naturliga talet som är delbart med både tal och .

För att hitta LCM måste du faktorisera nämnare till primtalsfaktorer och sedan välja alla primtalsfaktorer som ingår i expansionen av båda nämnarna.

; . Sedan måste LCM för siffror innehålla två tvåor och två treor: .

Efter att ha hittat den gemensamma nämnaren måste du hitta ytterligare en faktor för varje bråktal (i själva verket dividera den gemensamma nämnaren med nämnaren för motsvarande bråk).

Varje bråkdel multipliceras sedan med den resulterande ytterligare faktorn. Vi får bråk med samma nämnare, som vi lärt oss att addera och subtrahera i tidigare lektioner.

Vi får: .

Svar:.

Låt oss nu överväga additionen av algebraiska bråk med olika nämnare. Låt oss först titta på bråk vars nämnare är tal.

Exempel 2. Lägg till bråk: .

Lösning:

Lösningsalgoritmen liknar absolut det föregående exemplet. Det är lätt att hitta den gemensamma nämnaren för dessa bråk: och ytterligare faktorer för var och en av dem.

.

Svar:.

Så, låt oss formulera algoritm för att addera och subtrahera algebraiska bråk med olika nämnare:

1. Hitta den lägsta gemensamma nämnaren för bråk.

2. Hitta ytterligare faktorer för vart och ett av bråken (genom att dividera den gemensamma nämnaren med nämnaren för det givna bråket).

3. Multiplicera täljarna med motsvarande ytterligare faktorer.

4. Addera eller subtrahera bråk med hjälp av reglerna för att addera och subtrahera bråk med samma nämnare.

Låt oss nu betrakta ett exempel med bråk vars nämnare innehåller bokstavsuttryck.

Exempel 3. Lägg till bråk: .

Lösning:

Eftersom bokstavsuttrycken i båda nämnarna är desamma bör du hitta en gemensam nämnare för talen. Den sista gemensamma nämnaren kommer att se ut så här: . Lösningen på detta exempel ser således ut:.

Svar:.

Exempel 4. Subtrahera bråk: .

Lösning:

Om du inte kan "fuska" när du väljer en gemensam nämnare (du kan inte faktorisera den eller använda förkortade multiplikationsformler), då måste du ta produkten av nämnare för båda bråken som den gemensamma nämnaren.

Svar:.

I allmänhet, när man löser sådana exempel, är den svåraste uppgiften att hitta en gemensam nämnare.

Låt oss titta på ett mer komplext exempel.

Exempel 5. Förenkla: .

Lösning:

När du hittar en gemensam nämnare måste du först försöka faktorisera de ursprungliga bråkens nämnare (för att förenkla den gemensamma nämnaren).

I det här specifika fallet:

Då är det lätt att bestämma den gemensamma nämnaren: .

Vi bestämmer ytterligare faktorer och löser detta exempel:

Svar:.

Låt oss nu fastställa reglerna för att addera och subtrahera bråk med olika nämnare.

Exempel 6. Förenkla: .

Lösning:

Svar:.

Exempel 7. Förenkla: .

Lösning:

.

Svar:.

Låt oss nu betrakta ett exempel där inte två utan tre bråk läggs till (trots allt förblir reglerna för addition och subtraktion för ett större antal bråk desamma).

Exempel 8. Förenkla: .

Notera! Innan du skriver ditt slutliga svar, se om du kan förkorta bråkdelen du fick.

Subtrahera bråk med lika nämnare, exempel:

,

,

Subtrahera en riktig bråkdel från en.

Om det är nödvändigt att subtrahera ett bråk från en enhet som är korrekt, omvandlas enheten till formen av ett oegentligt bråk, dess nämnare är lika med nämnaren för det subtraherade bråket.

Ett exempel på att subtrahera en egen bråkdel från en:

Nämnare för bråket som ska subtraheras = 7 , d.v.s. vi representerar ett som ett oegentligt bråk 7/7 och subtraherar det enligt regeln för att subtrahera bråk med lika nämnare.

Subtrahera en egen bråkdel från ett heltal.

Regler för att subtrahera bråk - rätt från ett heltal (naturligt nummer):

• Vi omvandlar givna bråk som innehåller en heltalsdel till oegentliga. Vi får normala termer (det spelar ingen roll om de har olika nämnare), som vi beräknar enligt reglerna ovan;
• Därefter beräknar vi skillnaden mellan fraktionerna som vi fick. Som ett resultat kommer vi nästan att hitta svaret;
• Vi utför den inversa transformationen, det vill säga vi blir av med den felaktiga fraktionen - vi väljer hela delen i fraktionen.

Subtrahera en egen bråkdel från ett heltal: representera det naturliga talet som ett blandat tal. De där. Vi tar en enhet i ett naturligt tal och omvandlar den till formen av ett oegentligt bråk, där nämnaren är densamma som den för det subtraherade bråket.

Exempel på att subtrahera bråk:

I exemplet ersatte vi ett med det oegentliga bråket 7/7 och istället för 3 skrev vi ner ett blandat tal och subtraherade ett bråk från bråkdelen.

Subtrahera bråk med olika nämnare.

Eller, för att uttrycka det på ett annat sätt, subtrahera olika bråk.

Regel för att subtrahera bråk med olika nämnare. För att subtrahera bråk med olika nämnare är det nödvändigt att först reducera dessa bråk till den lägsta gemensamma nämnaren (LCD), och först efter detta, utför subtraktionen som med bråk med samma nämnare.

Den gemensamma nämnaren för flera bråk är LCM (minst gemensamma multipel) naturliga tal som är nämnare för dessa bråk.

Uppmärksamhet! Om täljaren och nämnaren i det sista bråket har gemensamma faktorer, måste bråket reduceras. En oegentlig fraktion representeras bäst som en blandad fraktion. Att lämna subtraktionsresultatet utan att reducera bråket där det är möjligt är en ofullständig lösning på exemplet!

Procedur för att subtrahera bråk med olika nämnare.

• hitta LCM för alla nämnare;
• sätt ytterligare faktorer för alla fraktioner;
• multiplicera alla täljare med ytterligare en faktor;
• Vi skriver in de resulterande produkterna i täljaren, undertecknar den gemensamma nämnaren under alla bråk;
• subtrahera täljarna av bråk, underteckna den gemensamma nämnaren under skillnaden.

På samma sätt utförs addition och subtraktion av bråk om det finns bokstäver i täljaren.

Subtrahera bråk, exempel:

Subtrahera blandade fraktioner.

På subtrahera blandade bråk (tal) separat subtraheras heltalsdelen från heltalsdelen och bråkdelen subtraheras från bråkdelen.

Det första alternativet för att subtrahera blandade bråk.

Om de bråkdelar det samma nämnare och täljare för bråkdelen av minuend (vi subtraherar den från den) ≥ täljare för bråkdelen av subtrahend (vi subtraherar den).

Till exempel:

Det andra alternativet för att subtrahera blandade bråk.

När bråkdelar annorlunda nämnare. Till att börja med tar vi bråkdelen till en gemensam nämnare, och efter det subtraherar vi hela delen från hela delen och bråkdelen från bråkdelen.

Till exempel:

Det tredje alternativet för att subtrahera blandade bråk.

Bråkdelen av minuend är mindre än bråkdel av subtrahend.

Exempel:

Därför att Bråkdelar har olika nämnare, vilket innebär att vi, liksom i det andra alternativet, först för vanliga bråk till en gemensam nämnare.

Täljaren för bråkdelen av minuend är mindre än täljaren för bråkdelen av subtrahenden.3 < 14. Det betyder att vi tar en enhet från hela delen och reducerar denna enhet till formen av ett oegentligt bråk med samma nämnare och täljare = 18.

I täljaren på höger sida skriver vi summan av täljarna, sedan öppnar vi parenteserna i täljaren på höger sida, det vill säga vi multiplicerar allt och ger liknande. Vi öppnar inte parentesen i nämnaren. Det är vanligt att lämna produkten i nämnare. Vi får:

Den gemensamma nämnaren för flera bråk är LCM (minsta gemensamma multipel) av de naturliga tal som är nämnare för de givna bråken.

Till täljarna för de givna bråken måste du lägga till ytterligare faktorer lika med förhållandet mellan LCM och motsvarande nämnare.

Täljarna för givna bråk multipliceras med deras ytterligare faktorer, vilket resulterar i täljare av bråk med en gemensam nämnare. Åtgärdstecken (“+” eller “-”) i inspelningen av bråk reducerade till en gemensam nämnare lagras före varje bråk. För bråk med en gemensam nämnare bevaras åtgärdstecken före varje reducerad täljare.

Först nu kan du addera eller subtrahera täljarna och signera den gemensamma nämnaren under resultatet.

Uppmärksamhet! Om täljaren och nämnaren i det resulterande bråket har gemensamma faktorer, måste bråket reduceras. Det är tillrådligt att omvandla en felaktig fraktion till en blandad fraktion. Att lämna resultatet av en addition eller subtraktion utan att ta bort bråket där det är möjligt är en ofullständig lösning på exemplet!

Addera och subtrahera bråk med olika nämnare. Regel. Till addera eller subtrahera bråk med olika nämnare, måste du först reducera dem till den minsta gemensamma nämnaren och sedan utföra addition eller subtraktion som med bråk med samma nämnare.

Procedur för att addera och subtrahera bråk med olika nämnare

1. hitta LCM för alla nämnare;
2. lägg till ytterligare faktorer till varje fraktion;
3. multiplicera varje täljare med ytterligare en faktor;
4. ta de resulterande produkterna som täljare, underteckna den gemensamma nämnaren under varje bråk;
5. addera eller subtrahera täljarna av bråk genom att signera den gemensamma nämnaren under summan eller skillnaden.

Bråk kan också läggas till och subtraheras om det finns bokstäver i täljaren.