Raskite serijos sumą naudodami diferenciaciją arba integraciją. Galios eilutė Abelio teorema Maclaurino eilutė. Savęs patikrinimo klausimai

GALIOS SERIJA Abelio teorema. Laipsnių eilutės intervalas ir konvergencijos spindulys Vienoda laipsnių eilutės konvergencija ir jos sumos tęstinumas Laipsnių eilučių integravimas Laipsnių eilučių diferenciacija Teiloro eilutės funkcijos išskaidomumo Tailoro elementariųjų funkcijų serijoje sąlygos Laipsnio plėtimų lentelė serija (Maclaurin serija) pagrindinių elementariųjų funkcijų.

Abelio teorema. Laipsnių eilutės intervalas ir konvergencijos spindulys Laipsnių eilutė yra formos (o arba tipo (2) funkcinė eilutė, kurioje koeficientai yra konstantos. Eilė (2) formaliuoju pakeitimu x - x<> ant x sumažina iki serijos (1). Laipsnių eilutė (1) visada konverguoja taške x = 0, o eilutė (2) taške x0, o jų suma šiuose taškuose yra lygi ω. Pavyzdys. Eilės yra išdėstytos eilėmis. Išsiaiškinkime laipsnių eilutės konvergencijos srities formą. 1 teorema (Abelis). Jei laipsnių eilutė konverguoja ties, tada ji absoliučiai konverguoja visiems x taip, kad jei laipsnių eilutė skiriasi ties x = xi, tada ji skiriasi ties bet kuriuo x, kurio laipsnių eilutė KONVERGUOJA. skaičių eilutės konverguoja POWER SERIES Abelio teorema. Laipsnių eilutės intervalas ir konvergencijos spindulys Vienoda laipsnių eilutės konvergencija ir jos sumos tęstinumas Laipsnių eilučių integravimas Laipsnių eilučių diferenciacija Teiloro eilutės funkcijos išskaidomumo Tailoro elementariųjų funkcijų serijoje sąlygos Laipsnio plėtimų lentelė serija (Maclaurin serija) pagrindinių elementariųjų funkcijų. Iš to išplaukia, kad a reiškia, kad yra toks skaičius, kad M visų n. Apsvarstykite eilutę kur ir įvertinkite jos bendrą narį. Mes turime kur = . Tačiau seriją sudaro geometrinės progresijos terminai su vardikliu q, kur tai reiškia, kad ji susilieja. Remiantis palyginimo kriterijumi, 2 eilutė |с„:гп| susilieja bet kuriame taške x, kuriam. Vadinasi, laipsnių eilutė yra absoliučiai konvergencinė FOR Tegul dabar laipsnių eilutė yra taškai O), kurie skiria divergencijos intervalus nuo konvergencijos intervalo. Galioja sekanti teorema. 2 teorema. Tegul laipsnių eilutė konverguojasi taške x Φ 0. Tada arba ši eilutė suartėja absoliučiai kiekviename skaičių tiesės taške, arba yra skaičius R > O, kad serija absoliučiai konverguoja ir skiriasi ties Diverge. Abs. susilieja diverga d pav. 1 Apibrėžimas. Laipsnių eilutės konvergencijos intervalas yra intervalas (-R, R), kur R > 0, kad kiekviename taške x € (-R, R) eilutė suartėtų absoliučiai, o taškuose x taip, kad |i| > R, serija skiriasi. Skaičius R vadinamas laipsnių eilučių konvergencijos spinduliu. komentuoti. Kalbant apie konvergencijos intervalo galus (-R, R), galimi šie trys atvejai: i) laipsnių eilutė konverguoja ir taške x = -R, ir taške x = R, 2) laipsnių eilutė skiriasi abiejuose taškuose 3) laipsnių eilutė suartėja viename konvergencijos intervalo gale, o diverga kitame. komentuoti. Laipsnių eilutė, kurioje hof 0 turi tokį patį konvergencijos spindulį kaip ir serija. Norėdami įrodyti (3) formulę, apsvarstykite eilutę, sudarytą iš absoliučių šios eilutės terminų verčių. Taikant D'Alemberto testą šiai serijai, Iš to seka, kad serija (4) suartės , jei ir skirsis, jei. Galios eilutė absoliučiai suartėja visiems x taip, kad ji skiriasi ties. Nustačius konvergencijos spindulį, matome, kad laipsnių eilutės konvergencijos spindulį taip pat galima rasti naudojant formulę, jei yra baigtinė riba.(5) formulę galima lengvai gauti naudojant Koši kriterijų. Jei laipsnių eilutė konverguoja tik taške x = 0, tai sakome, kad jos konvergencijos spindulys yra R = 0 (tai įmanoma, pavyzdžiui, kai lim L^D = oo arba Jei laipsnių eilutė konverguoja visuose tikroji ašis, tada darome prielaidą, kad R = + oo (tai atsitinka, pavyzdžiui, kai lim n^p = 0 arba Laipsnių eilutės konvergencijos sritis gali būti intervalas ( arba atkarpa [, arba viena iš pusių -intervalai (x0 - R, x0 + D) arba [. Jei R = + oo, tada serijos konvergencijos sritis bus visa skaitinė ašis, t. y. intervalas (-oo, +oo). Norėdami rasti laipsnių eilutės konvergencijos sritį, pirmiausia turite apskaičiuoti jos konvergencijos spindulį R (pavyzdžiui, naudodamiesi viena iš aukščiau pateiktų formulių) ir taip rasti taško O konvergencijos intervalą, kuris atskiria divergencijos intervalus nuo intervalo. konvergencijos. Galioja tokia teorema. 2 teorema. Tegul laipsnių eilutė suartėja taške x Ф 0. Tada arba ši eilutė suartėja absoliučiai kiekviename skaičių tiesės taške, arba yra skaičius R > O, kad eilutė konverguotų visiškai ir skiriasi | Skiriasi. Abs. susilieja diverges Apibrėžimas. Laipsnių eilutės konvergencijos intervalas yra intervalas (-R, R), kur R > 0, kad kiekviename taške x € (-R, R) eilutė suartėtų absoliučiai, o taškuose x taip, kad |i| > R, serija skiriasi. Skaičius R vadinamas laipsnių eilučių konvergencijos spinduliu. komentuoti. Kalbant apie konvergencijos intervalo galus (-R, R), galimi šie trys atvejai: i) laipsnių eilutė konverguoja ir taške x = -R, ir taške x = R, 2) laipsnių eilutė skiriasi abiejuose taškuose 3) laipsnių eilutė suartėja viename konvergencijos intervalo gale, o diverga kitame. komentuoti. Laipsnių eilutė, kurioje hof 0 turi tokį patį konvergencijos spindulį kaip ir serija. Norėdami įrodyti (3) formulę, apsvarstykite eilutę, sudarytą iš absoliučių šios eilutės terminų verčių. Taikant D'Alemberto testą šiai serijai, Iš to seka, kad eilutė (4) susilieja , jei \, ir skirsis, jei, tai yra, laipsnių eilutė absoliučiai konverguoja visiems x taip, kad skiriasi \. Apibrėžę konvergencijos spindulį, gauname, kad R = £, t.y. GALIOS EILA Abelio teorema. Laipsnių eilutės intervalas ir konvergencijos spindulys Vienoda laipsnių eilutės konvergencija ir jos sumos tęstinumas Laipsnių eilučių integravimas Laipsnių eilučių diferenciacija Teiloro eilutės funkcijos išskaidomumo Tailoro elementariųjų funkcijų serijoje sąlygos Laipsnio plėtimų lentelė serija (Maclaurin serija) pagrindinių elementariųjų funkcijų. Laipsninės eilutės konvergencijos spindulį taip pat galima rasti naudojant formulę, jei yra baigtinė riba. (5) formulę galima lengvai gauti naudojant Cauchy testą. Jei laipsnių eilutė konverguoja tik taške x = 0, tai sakome, kad jos konvergencijos spindulys yra R = 0 (tai įmanoma, pvz., kai lim b^D = oo arba. Jei laipsnių eilutė konverguoja visuose taškuose tikrosios ašies, tada darome prielaidą, kad R = +oo (tai atsitinka, pavyzdžiui, kai laipsnių eilutės konvergencijos sritis gali būti intervalas ( arba atkarpa ]), arba vienas iš pusintervalų (x0 - R,x0 + D) arba [. Jei R = +oo, tai eilučių konvergencijos sritis bus visa skaitinė ašis, ty intervalas (-oo, +oo). Norėdami rasti laipsnio konvergencijos sritį seriją, pirmiausia turite apskaičiuoti jos konvergencijos spindulį R (pavyzdžiui, naudodami vieną iš aukščiau pateiktų formulių) ir taip rasti konvergencijos intervalą, kuriame eilutė absoliučiai suartėja, tada ištirti eilučių konvergenciją konvergencijos intervalo galuose. - taškuose x = xo - R, x = xq + R. 1 pavyzdys. Raskite laipsnių eilutės M konvergencijos sritį 1) Norint rasti šios eilutės konvergencijos spindulį R, patogu taikyti formulę ( 3).Taigi kažkaip turėsime Eilutės absoliučiai konverguoja intervale 2) Ištirkime eilučių (6) konvergenciją konvergencijos intervalo galuose. Pateikę x = -1, gauname skaičių eilutę, kurios divergencija yra akivaizdi (netenkinama būtinas konvergencijos kriterijus: . Jei x - 1, gauname skaičių eilutę, kuriai nėra, vadinasi, ši eilutė skiriasi. Taigi, eilučių (6) konvergencijos sritis yra intervalas 2 pavyzdys. Raskite eilutės konvergencijos sritį M 1) Surandame konvergencijos spindulį naudodami formulę (3). Turime seriją (7) absoliučiai konverguoja į intervalą, iš kur gauname skaitinę eilutę, kuri skiriasi (harmoninė eilutė). Esant x = 0, turėsime skaičių eilutę, kuri yra sąlygiškai konvergentiška. Taigi, serija (7) konverguoja srityje 3 pavyzdys. Raskite serijos Nuo = konvergencijos intervalą, tada konvergencijos spinduliui rasti taikome formulę Tai reiškia, kad ši eilutė konverguoja visoms x reikšmėms, t.y. konvergencijos sritis yra intervalas 4 pavyzdys. Raskite eilučių konvergencijos intervalą, tada gauname Lygybė R = 0 reiškia, kad eilutė (8) konverguoja tik taške. Tai yra, tam tikros laipsnių eilutės konvergencijos sritis susideda iš vieno taško §2. Tolygi laipsnių eilutės konvergencija ir jos sumos tęstinumas 1 teorema. Laipsnių eilutė absoliučiai ir tolygiai konverguoja į bet kurią atkarpą, esančią eilutės Let konvergencijos intervale. Tada visiems w, atitinkantiems sąlygą, ir bet kuriam n =. turėsiu. Bet kadangi skaičių eilutė suartėja, tai pagal Weierstrass kriterijų ši galių eilutė absoliučiai ir tolygiai susilieja segmente. 2 teorema. Laipsnių eilutės suma yra tolydi kiekviename jos konvergencijos intervalo taške x (4) Bet kuris taškas x iš konvergencijos intervalo (-D, R) gali būti uždarytas į tam tikrą atkarpą, kurioje duotoji eilutė konverguoja tolygiai. Kadangi eilutės sąlygos yra tolydžios, tai jos suma S(x) bus tolydi intervale [-a, a], taigi ir taške x. Laipsninių eilučių integravimas 3 teorema (dėl integravimo po termino Laipsnių eilutė gali būti integruota po termino jos konvergencijos intervale (-R, R ), R > O, o eilučių konvergencijos spindulys, gautas integruojant po terminą, taip pat yra lygus R. Visų pirma, bet kuriam x iš intervalo (-R, R) galioja ši formulė: Bet kuris taškas x iš konvergencijos intervalo (-D, R) gali būti įtrauktas į tam tikrą atkarpą [-a, a], kur Šiame atkarpoje ši eilutė susilies tolygiai, o kadangi eilutės sąlygos yra ištisinės, ją galima integruoti po terminą, pavyzdžiui, diapazone nuo 0 iki x. Tada pagal XVIII skyriaus 4 teoremą, tegul randame gautos serijos POWER SERIES Abelio teoremos konvergencijos spindulį R". Laipsnių eilutės intervalas ir konvergencijos spindulys Vienoda laipsnių eilutės konvergencija ir jos sumos tęstinumas Laipsnių eilučių integravimas Laipsnių eilučių diferenciacija Teiloro eilutės funkcijos išskaidomumo Tailoro elementariųjų funkcijų serijoje sąlygos Laipsnio plėtimų lentelė serija (Maclaurin serija) pagrindinių elementariųjų funkcijų. esant papildomai egzistavimo sąlygai galutinė riba R. Ime Taigi laipsnių eilučių konvergencijos spindulys integravimo metu nekinta. komentuoti. Teoremos teiginys lieka galioti R = +oo. §4. Laipsnių eilučių diferenciacija 4 teorema (dėl laipsnių eilučių diferencijavimo pagal terminą). Laipsnių eilutę galima diferencijuoti pagal terminą bet kuriame jos konvergencijos intervalo taške x. 4 Tegul R yra eilutės konvergencijos spindulys, o R" yra eilutės konvergencijos spindulys. Tarkime, kad yra (baigtinis arba begalinis) ribą Raskime eilučių, kur Turime, spindulį B! Taigi, eilučių (1) ir (2) konvergencijos spinduliai yra lygūs. Eilučių (2) sumą pažymėkime serijomis (1) ir ( 2) tolygiai konverguoja į bet kurį atkarpą [-a, a|, kur Be to, visi (2) serijos nariai yra ištisiniai ir yra atitinkamų serijos (1) narių išvestiniai. Todėl pagal XVIII skyriaus 5 teoremą , lygybė galioja intervale [-a, a). Dėl a savavališkumo paskutinė lygybė galioja ir intervale Sledspie. Laipsninės eilės apibrėžimas. Sakysime, kad funkcija /(x) išsiplečia į laipsnių eilutę ]G) SpXn intervale, jei šiame intervale nurodytos eilutės susilieja ir jos suma lygi /(x): Pirmiausia įrodykime, kad funkcija /(x) negali turėti dviejų skirtingų plėtinių laipsnių eilutėje, kurios formos teorema 5. Jei funkcija f(x) intervale (-R, R) išplečiama į laipsnių eilutę (1), tai ši plėtra yra unikali, t.y., serijos (1) koeficientai nustatomi vienareikšmiškai iš jos sumos. Tegul funkcija intervale išplečiama į konvergencinę laipsnių eilutę Diferencijuodami šią eilutę n kartų, randame Kai x = 0 gauname iš kur Taigi (2) laipsnių eilučių (1) koeficientai nustatomi vienareikšmiškai. komentuoti. Jei funkcija /(x) išplečiama į laipsnių eilutę skirtumo x-zq laipsniais, tai šios serijos koeficientai c„ nustatomi pagal formules. Tegul funkcija / turi visų eilių išvestinius, t.y. yra be galo diferencijuotas taške w. Sudarykite šios funkcijos formalią laipsnių eilutę, apskaičiuodami jos koeficientus pagal (3) formulę. §5. Apibrėžimas. Funkcijos /(x) Teiloro eilutė taško x0 atžvilgiu vadinama formos laipsnių eilute (čia. Šios serijos... koeficientai vadinami funkcijos Teiloro koeficientais. Jei xo = 0, Taylor serija vadinama Maclaurin eilute. Iš 5 teoremos išplaukia toks teiginys. Teorema b. Jei intervale funkcija /(x) išsiplečia į laipsnių eilutę, tai ši eilutė yra funkcijos /(x) Teiloro eilutė. Pavyzdys 1. Apsvarstykite funkciją ir raskite jos išvestines. z O ši funkcija turi visų eilių išvestines, kurios randamos pagal įprastas taisykles ir, apskritai, kur Pjn (i) yra 3n laipsnio daugianario atžvilgiu j. Dabar parodykime, kad taške 2 = 0 ši funkcija taip pat turi bet kokios eilės išvestines, ir visos jos lygios nuliui. Remdamiesi išvestinės apibrėžimu, turime (skaičiuodami ribą taikėme Hapital taisyklę). Panašiu būdu galima įrodyti, kad Taigi duotoji funkcija turi visų skaičių ašies eilių išvestines. Sukurkime formalią Taylor eilutę pradinės funkcijos taško z0 = Turime atžvilgiu. Akivaizdu, kad šios eilutės suma yra identiškai lygi nuliui, o pati funkcija f(x) nėra identiškai lygi nuliui. ^ Šį pavyzdį verta prisiminti aptariant sudėtingą analizę (analitiškumą): funkcija, išoriškai visiškai tinkama, realioje ašyje turi kaprizingą charakterį, o tai yra įsivaizduojamos ašies problemų pasekmė. Pavyzdyje formaliai sukonstruota serija duotai be galo diferencijuojamai funkcijai suartėja, tačiau jos suma nesutampa su šios funkcijos reikšmėmis x Φ 0. Šiuo atžvilgiu kyla natūralus klausimas: kokiomis sąlygomis turi būti funkcija f( x) patenkinti intervalą (xo - R, xo + R), kad jį būtų galima išplėsti į Teiloro eilutę, susiliejančią su juo? Funkcijos išskaidomumo Taylor serijoje sąlygos Paprastumo dėlei nagrinėsime formos laipsnių eilutę, t.y. Maclaurino eilutę. 7 teorema. Kad funkcija f(x) būtų išplėsta į laipsnių eilutę intervale (-R, R), būtina ir pakanka, kad šiame intervale funkcija f(x) turėtų visų eilių išvestines ir kad jos Teiloro formulėje likutinė Rn(x) terminas buvo linkęs į nulį visiems m Būtinybei. Tegu intervale (funkcija f(x) išplečiama į laipsnių eilutę, t. y. serija (2) suartėja ir jos suma lygi f(x). Tada pagal 4 teoremą ir jos išvadą funkcija f(x) turi intervale (-R , R) visų eilių išvestines /(n^(x) Pagal 5 teoremą ((2) formulę) serijos (2) koeficientai turi formą t.y. galime parašyti lygybę Dėl šios eilutės konvergencija intervale (-R, R ) jos liekana 0 linkusi į nulį kaip oo visiems x Pakankamumas: Tegul funkcija f(r) intervale (-R, R) turi visų eilių išvestines ir jos Teiloro formulė liekana Rn(x) 0 at oo bet kuriam x € (-D, R). Kadangi n -» oo. Kadangi laužtiniuose skliaustuose rašoma n-oji dalinė Teiloro eilutės suma, tada formulė (4) reiškia, kad funkcijos f(x) Teilorio eilutė suartėja su intervalu (-D, R), o jos suma yra funkcija f(x). Pakankamos sąlygos funkcijai išplėsti į galios eilutę, patogios praktinis pritaikymas , aprašomi tokia teorema. 8 teorema. Kad funkcija f(x) intervale (-R, R) būtų išplėsta į laipsnių eilutę, pakanka, kad funkcija f(x) turėtų visų eilių išvestines šiame intervale ir egzistuoja konstanta M > O tokia, kad Kas. Tegul funkcija f(x) turi visų eilių išvestines intervale (-D, R). Tada galime formaliai parašyti jai Teiloro eilutę Įrodykime, kad ji konverguoja į funkciją f(x). Norėdami tai padaryti, pakanka parodyti, kad Teiloro formulės (1) likutis yra lygus nuliui kaip n oo visiems x € (-Δ, R). Iš tiesų, atsižvelgiant į tai). Skaičių eilutė suartėja pagal D'Alemberto kriterijų: pagal būtiną konvergencijos kriterijų. Iš nelygybės (3) gauname!Nors funkcija M, iš § b. Taylor elementariųjų funkcijų serija Panagrinėkime pagrindinių elementariųjų funkcijų eilinius išplėtimus. 6 Ši funkcija turi visų intervalo eilių išvestines (- bet koks skaičius, todėl eksponentinė funkcija ex gali būti išplėsta į Teiloro eilutę bet kuriame intervale (-a, a) ir, vadinasi, visoje Ox ašyje. , tada gauname eilutę Jei plėtinyje (1) pakeisime x į -a*, tada turime Ši funkcija turi bet kokios eilės išvestines, todėl pagal 8 teoremą funkcija sin x išplečiama į Teiloro eilutę, kuri konverguoja į ją intervale (-oo, +oo). Kadangi ši eilutė turi tokią formą: Eilučių konvergencijos spindulys Panašiai gauname, kad - bet koks realusis skaičius Ši funkcija tenkina ryšį ir sąlygą. Ieškosime laipsnių eilutės, kurios suma 5 (x) tenkina santykį (4) ir sąlygą 5(0) = 1. Iš čia randame Pakeičiant santykius (5) ir (6) į formulę (4), turėsime lyginti koeficientus tų pačių galių x kairėje ir dešinėje lygybės pusėse, gauname iš kur randame TAIPSNIŲ SERIJĄ Abelio teorema Laipsnių eilutės konvergencijos intervalas ir spindulys Vienoda laipsnių eilutės konvergencija ir jos sumos tęstinumas Laipsnių eilučių integravimas Laipsnių eilučių diferenciacija Taylor serija Funkcijos skaidomumo sąlygos Teiloro elementariųjų funkcijų serijoje Pagrindinių elementariųjų funkcijų laipsnių eilučių (Maklaurino serijos) išplėtimų lentelė. Pakeitę šias koeficientų reikšmes į santykį (5), gauname eilutę. Raskite eilučių (7) konvergencijos spindulį tuo atveju, kai a nėra natūralusis skaičius. Turime Taigi, serija (7) susilieja. e. intervale Įrodykime, kad intervalo (-1,1) serijos (7) suma 5(g) yra lygi (1 + g)°. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite ryšį Kadangi 5(x) tenkina ryšį (tada funkcijos φ(x) išvestinei gauname: už. Tai seka. Visų pirma, jei x = 0, mes turime ir, todėl arba Gauta eilutė vadinama dvinariu, o jos koeficientai vadinami dvejetainiais koeficientais. komentuoti. Jei a yra natūralusis skaičius (o = z), funkcija (1 + z)a bus daugianario n-asis laipsnis, o Dn(x) = 0 visiems n > a. Atkreipkime dėmesį į dar du išplėtimus. Jei a = -1 turėsime. Paskutinėje lygybėje w pakeitę -z, gauname šios funkcijos išplėtimą Taylor eilėje laipsniais w. Lygybę (9) integruosime į o Lygybė (11) galioja intervale. Jame x pakeitę -z, gauname eilutę. Galima įrodyti, kad lygybė (11) galioja ir x = 1: Pagrindinių elementariųjų funkcijų laipsnių eilučių plėtinių (Maklaurino eilės) lentelė. Naudodami šią lentelę galite gauti sudėtingesnių funkcijų galios eilučių išplėtimus. Parodykime pavyzdžiais, kaip tai daroma. 1 pavyzdys. Išplėskite funkciją 4 į laipsnių eilutę, esančią šalia taško xq = 2, ty skirtumo z -2 laipsniais. Transformuokime šią funkciją kad galėtume naudoti seriją (10) funkcijai, kurią turime. Formulės (10) x pakeitimas ^. gauname I I Šis išplėtimas galioja, kai tenkinama kuri nors ekvivalentinė nelygybė 2 pavyzdys. Išplėskite funkciją x laipsniais naudodami (10) formulę. 4 Išplėsdami vardiklį į veiksnius, šią racionaliąją funkciją pateikiame kaip dviejų paprastųjų trupmenų skirtumą. Po paprastų transformacijų gauname 1 Kiekvienam nariui dešinėje lygybės (13) pusėje pritaikome formulę (10), todėl gauname laipsnių eilutes (14) konverguoja \, o seka (15) konverguoja 2. Abi eilutės (14) ir (15) suartės vienu metu \. Kadangi eilutės (14) ir (15) susilieja intervale (-1,1), jas galima atimti po termino. Dėl to gauname norimą laipsnių eilutę, kurios konvergencijos spindulys lygus R = 1. Ši seka absoliučiai konverguoja 3 pavyzdyje. Išplėskite funkciją arcsin x į Teiloro eilutę, esančią šalia taško xo = 0. 4 Yra žinoma, kad Apply funkcijai (formulė (8), pakeičiant x joje -x2. Dėl to gauname Integruojant abi paskutinės lygybės puses nuo nulio iki x (integracija po termino yra teisėta). , kadangi laipsnių eilutė konverguoja tolygiai bet kurioje atkarpoje, kurios galiniai taškai yra taškuose 0 ir x, esantys intervale (-1,1)), randame arba Taigi galiausiai gauname, kad Pastaba: Laipsnių eilučių plėtimas gali būti naudojamas apskaičiuoti integralai, kurie negali būti išreikšti galutine forma per elementariąsias funkcijas Pateikime kelis pavyzdžius 4 pavyzdys Apskaičiuokite integralą (integralą sinusą), Yra žinoma, kad funkcijos ^ antiišvestinė neišreiškiama elementariomis funkcijomis Išplėskime integrandą į laipsnių eilutę, naudojant faktą, kad Iš lygybės (16) randame Atkreipkite dėmesį, kad eilutę (16) padalinti iš t, kai t φ O yra teisėta. Lygybė (17) taip pat išsaugoma, jei darome prielaidą, kad t = O santykis yra - = 1. Taigi, serija (17) suartėja visoms reikšmėms.. Integruodami ją po terminą, gauname Gauta eilutė yra kintamo ženklo, todėl paklaida pakeičiant jos sumą daline suma yra lengvai įvertinama. 5 pavyzdys. Apskaičiuokite integralą Čia integrando e antidarinė taip pat nėra elementari funkcija. Norėdami apskaičiuoti integralą, pakeičiame formule Gauname Mes integruojame abi šios lygybės puses diapazone nuo 0 iki x: Ši eilutė konverguoja bet kuriam r (jos konvergencijos spindulys R = +oo) ir yra kintamo ženklo pratimams Raskite laipsnių eilučių konvergencijos sritį: Išplėskite šias funkcijas į eilutę Macloreia ir nurodykite gautų eilučių konvergencijos sritis: Instrukcija. Naudokite lentelę. Naudodami lentelę sutvarkykite nurodytas funkcijasį Taylor eilutę laipsniais x - x0 ir nurodykite gautų eilučių konvergencijos intervalus.

Apsvarstykite funkcinę seriją $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+u_(3) (x) ) +...$, kurios nariai yra vieno nepriklausomo kintamojo x funkcijos. Pirmųjų n serijos $S_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+...+u_(n) (x)$ narių suma yra dalinė šios funkcinės serijos suma. Bendrasis terminas $u_(n) (x)$ yra x funkcija, apibrėžta tam tikroje srityje. Panagrinėkime funkcines eilutes taške $x=x_(0) $. Jei atitinkama skaičių serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x_(0))$ susilieja, t.y. yra šios serijos dalinių sumų limitas$\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_(n) (x_(0))=S(x_(0))$(kur $S( x_(0) )

2 apibrėžimas

Konvergencijos sritis Funkcinės serijos $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ yra visų x reikšmių, kurių funkcinė eilutė suartėja, rinkinys. Konvergencijos regionas, susidedantis iš visų konvergencijos taškų, žymimas $D(x)$. Atkreipkite dėmesį, kad $D(x)\pogrupis $R.

Funkcijų serija konverguoja domene $D(x)$, jei bet kuriai $x\in D(x)$ ji suartėja kaip skaičių eilutė, o jos suma yra kokia nors funkcija $S(x)$. Tai yra vadinamasis ribinė funkcija sekos $\left\(S()_(n) (x)\right\)$: $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_(n) (x)=S(x) $.

Kaip rasti funkcinės eilutės $D(x)$ konvergencijos sritį? Galite naudoti ženklą, panašų į d'Alemberto ženklą. Serijai $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ sudarome $u_(n+1) (x)$ ir atsižvelgiame į fiksuoto x limitą: $ \mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right|=\left|l(x) )\right| $. Tada $D(x)$ yra nelygybės $\left|l(x)\right| sprendimas

1 pavyzdys

Raskite eilučių $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $ konvergencijos sritį.

Sprendimas. Pažymime $u_(n) (x)=\frac(x^(n) )(n) $, $u_(n+1) (x)=\frac(x^(n+1) )(n +1) $. Sudarykime ir apskaičiuokime ribą $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right| =\ mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(x^(n+1) \cdot n)(x^(n) \cdot (n+1)) \right| =\ left|x\right|$, tada eilutės konvergencijos sritis nustatoma pagal nelygybę $\left|x\right|

jei $x=1$, $u_(n) (1)=\frac(1)(n) $, tada gauname skirtingą eilutę $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac (1) (n)\, $;

jei $x=-1$, $u_(n) (-1)=\frac((-1)^(n) )(n) $, tada serija $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\frac((-1)^(n) )(n) \, \, $ konverguoja sąlygiškai (naudojant Leibnizo kriterijų).

Taigi, serijos $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $ konvergencijos sritis $D(x)$ turi forma:$- 1\le x

Galios eilučių savybės

Apsvarstykite laipsnių eilutę $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $, kurios konvergencijos intervalas yra $(-R;\, R)$, tada suma laipsnių eilutė $ S(x)$ yra apibrėžta visiems $x\in (-R;R)$ ir galime parašyti lygybę $S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^ (n)$.

1 nuosavybė. Laipsnių eilutė $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $ konverguoja absoliučiai bet kuriame intervale $\, \, \pogrupis \, (-R;R)$ , esantis konvergencijos intervale, o laipsnių eilutės $S(x)$ suma yra ištisinė funkcija visoms $x\in $.

2 nuosavybė. Jei segmentas yra $\, \, \pogrupis \, (-R;R)$, tai laipsnių eilutę galima integruoti terminais nuo a iki b, t.y. Jeigu

$S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) =a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2 ) +...$, tada

$\int \limits _(a)^(b)S(x)\, (\rm d)x =\sum \limits _(n=0)^(\infty )\int \limits _(a)^ (b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x=\int \limits _(a)^(b)a_(0) (\rm d)x +\int \limits _( a)^(b)a_(1) x\, (\rm d)x +...+\int \limits _(a)^(b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x +...$.

Šiuo atveju konvergencijos spindulys nesikeičia:

kur $a"_(n) =\frac(a_(n) )(n+1) $ yra integruotų serijų koeficientai.

3 nuosavybė. Laipsnių eilutės suma yra funkcija, turinti bet kokios eilės išvestines konvergencijos intervale. Laipsnių eilučių sumos išvestinės bus eilučių sumos, gautos iš tam tikros laipsnių eilutės diferencijuojant atitinkamą skaičių kartų, o tokių eilučių konvergencijos spinduliai bus tokie patys kaip ir originali serija.

Jei $S(x)=a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2) +...+a_(n) x^(n) +...=\sum \limits _(n=0)^(\infty )\, a_(n) \cdot x^(n) $, tada $S"(x)=a_(1) +2a_(2) x+...+na_( n) x^(n-1) +...=\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, n\cdot a_(n) \cdot x^(n-1) $,$ S""(x)=2a_(2) +6a_(3) x+...+n(n-1)a_(n) x^(n-2) +...=\sum \limits _(n) =2)^(\infty )\, n\cdot (n-1)\cdot a_(n) \cdot x^(n-2) $, ... ir kt.

Pavyzdžiai

Serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )n!\; x^(n) $ konverguoja tik taške $x=0$; serija skiriasi visuose kituose taškuose. $V:\left\(0\right\).$

Serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(x^(n) )(n $ сходится во всех точках оси, $V=R$.!}

Serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) x^(n) )(n) $ konverguoja srityje $V=(-1, \, 1]$.

Serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(1)(n+\cos x) $ skiriasi visuose $V=$$\emptyset$ ašies taškuose.

Semantinės struktūros elementai

Semantinė sakinio struktūra.

(šis klausimas yra savarankiškas mokymasis!)

Šio tipo analizė sieja semantinį sakinio organizavimą su jo formalia organizacija. Ši kryptis iškėlė sakinio semantinės struktūros sampratą (pirmiausia N.Yu. Shvedova).

Struktūrinė diagrama turi savo semantiką, kurią sukuria formalios komponentų reikšmės, jų leksinio turinio taisyklės ir komponentų tarpusavio santykis (nevienkomponentėse schemose).

Konkretaus sakinio, sukonstruoto pagal vieną ar kitą pavyzdį, kalbinę reikšmę formuoja šio modelio semantikos ir tų žodžių, kurie užėmė jo komponentų pozicijas, leksinės semantikos abipusis veikimas: Mokinys rašo; vaikas džiaugiasi bendra MSS semantika („santykis tarp subjekto ir jo predikatyvinio požymio - veiksmas ar procedūrinė būsena“) pirmuoju atveju reikšmė yra „santykis tarp subjekto ir jo konkretaus veiksmo“, antruoju. atvejis - „santykis tarp subjekto ir jo emocinės būsenos“.

Funkcinės eilutės, kurių formos (eilės koeficientai) ir (eilės centras) yra konstantos, kintamasis, vadinamos galios serija. Akivaizdu, kad jei išmoksime skaičiuoti laipsnių eilučių (su centru) konvergencijos sritį, tai nesunkiai rasime pradinės eilutės konvergencijos sritį, todėl nuo šiol, jei nenurodyta kitaip, laikysime laipsnių eilutes. formos.

Abelio teorema.Jei laipsnių eilutė konverguoja taške, tai ji konverguoja absoliučiai ir intervale. Bet kuriame atkarpoje nurodytos eilutės konverguoja tolygiai.

Įrodymas. Kadangi eilutė konverguoja, jos bendras terminas yra ribojamas, t.y. yra nuolatinis toks

Tebūnie dabar. Tada turėsime

Kadangi geometrinė progresija konverguoja (), tai pagal pirmą palyginimo teoremą seka taip pat suartėja.Įrodyta pirmoji teoremos dalis.

Kadangi, remiantis tuo, kas buvo įrodyta, serija suartėja ir ji didinama kaip (žr.) seriją, tai pagal Weierstrass teoremą paskutinė eilutė suartėja tolygiai ties teorema yra visiškai įrodyta.

Iš Abelio teoremos išplaukia, kad intervalą galime išplėsti tol, kol ateis momentas, kai serija taške nukrypsta (arba toks momentas visai neateina, t.y.). Tada nurodytas intervalas bus eilutės konvergencijos sritis, todėl bet kurios laipsninės eilutės konvergencijos sritis turi ne savavališką aibę, o būtent intervalą. Pateiksime tikslesnį konvergencijos intervalo apibrėžimą.

2 apibrėžimas. Skambina numeriu konvergencijos spindulys serija, jei intervale ši eilutė suartėja absoliučiai, o už segmento ribų jis skiriasi. Šiuo atveju intervalas vadinamas konvergencijos intervalas eilė.

Atkreipkite dėmesį, kad nurodytoje laipsninėje eilutė konverguoja tik taške, o jame – visai realiai. Šie pavyzdžiai rodo, kad šie atvejai nėra atmesti: Eilučių, kurių baigtinis konvergencijos spindulys nėra nulis, pavyzdys gali būti geometrinė progresija. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad ties konvergencijos intervalo riba galios eilutė gali ir suartėti, ir išsiskirti. Pavyzdžiui, serija sąlyginai konverguoja taške ir skiriasi taške

Iš tolygiai konverguojančių funkcinių eilučių savybių (1-3 teoremos) nesunkiai išvedamos šios laipsnių eilučių savybės.

4 teorema.Leisti būti laipsnio eilutės konvergencijos spindulys. Tada galioja šie teiginiai:

1. Duotosios laipsnių eilutės suma yra tolydi konvergencijos intervale;

2. Jei yra laipsnių eilutės konvergencijos spindulys, tai išvestinių serijų konvergencijos spindulys bus toks pat. Iš to seka, kad laipsnių eilutes galima diferencijuoti tiek kartų, kiek norima (t. y. jos suma yra be galo diferencijuojama konvergencijos intervalas), ir lygybė galioja

3. Galios eilutę galima integruoti į bet kurį segmentą, esantį jos konvergencijos intervale, t.y.

Įrodymas, pavyzdžiui, pirmoji nuosavybė bus tokia. Tegul savavališkas konvergencijos intervalo taškas . Apjuoskime šį tašką simetriška atkarpa.Pagal Abelio teoremą, seka tolygiai konverguoja į atkarpą, todėl jos suma nurodytoje atkarpoje yra tolydi, taigi tolydi, ypač taške. Įrodyta 1 savybė. Likusios mūsų teoremos savybės įrodomos panašiai.

Dabar apskaičiuokime laipsnių eilutės konvergencijos spindulį pagal jos koeficientus.

4 teorema . Tegul tenkinama bent viena iš šių sąlygų:

a) yra (baigtinė arba begalinė) riba

b) yra (baigtinė arba begalinė) riba (manoma, kad yra toks skaičius).

Tada skaičius yra eilutės konvergencijos spindulys.

Įrodymas Padarykime tai a) atveju. Modulinei serijai pritaikykime Koši testą: Pagal nurodytą testą, serija absoliučiai suartėja, jei skaičius t.y. jei Jei t.y. jei tada nurodytos serijos skiriasi. Todėl serijos konvergencijos spindulys. Teorema įrodyta.

1 pastaba. 1-4 teoremą galima praktiškai nekeičiant formuluotės perkelti į formos laipsnius (su nedideliu pataisymu, kad šiuo atveju konvergencijos sritis yra intervalas).

1 pavyzdys. Raskite serijos konvergencijos sritį ( 10 užduotis, T. R., Kuznecovas L.A.)

Sprendimas. Taikykime a) Koši teoremos analogą: duotosios eilutės konvergencijos spindulį. Tai reiškia, kad serija visiškai susilieja regione

Išnagrinėkime eilučių konvergenciją intervalo galuose. Mes turime

skiriasi, nes

skiriasi, nes

Vadinasi, pradinės serijos konvergencijos sritis yra intervalas.

Apibrėžimas. Funkcinė formos serija

Kur … – realūs skaičiai, vadinamas laipsnio eilute.

Eilučių absoliučios konvergencijos sritis yra intervalas , kur numeris R– konvergencijos spindulys.

Tegul laipsnio eilutė turi konvergencijos spindulį R> 0. Tada teisingi šie teiginiai:

1. Eilučių suma yra ištisinė funkcija x per visą konvergencijos intervalą.

2. Serija tolygiai konverguoja į bet kurį atkarpą, kur .

3. Serija gali būti integruojama po termino per bet kurį segmentą, esantį intervale.

4. Serija gali būti diferencijuojama pagal terminą bet kuriame taške tiek kartų, kiek norite.

Pastabos:

1. Integruojant ar diferencijuojant laipsnių eilutes pagal terminą, gaunamos naujos laipsnių eilutės, kurių konvergencijos spindulys išlieka toks pat.

2. Laipsninės eilutės konvergencijos spindulį galima rasti naudojant vieną iš formulių:

, (10)

(11)

su sąlyga, kad nurodytos ribos egzistuoja, yra serijos koeficientas.

17.31 uždavinys

Raskite serijos sumą .

Sprendimas:

I metodas. Raskime eilučių konvergencijos intervalą:

, , .

Supaprastinkime racionaliąją trupmeną , .

Tada seriją galima pavaizduoti dviejų serijų skirtumu:

Kiekvieno iš jų konvergencija išlieka tokia pati (patikrinkite tai patys). Todėl lygybė atsiranda. Eilučių sumas pažymėkime atitinkamai ir , o reikiamą sumą , .

Raskime pirmosios eilutės sumą:

Diferencijuodami eilutes pagal terminus konvergencijos intervale, gauname: ; yra geometrinė progresija su vardikliu .

Kai progresija susilieja, , , o suma yra: ; . Dabar, integruodami į segmentą, esantį konvergencijos intervale, gauname:

.

Raskime antros eilutės sumą:

Atlikime konvertavimą:

Pažymėkime skliausteliuose esančių serijų sumą ir diferencijuokime intervalą:

– tai irgi geometrinė progresija.

, , ;

.

Taigi, originalios serijos suma yra:

arba
Dėl .

II metodas. Nekartodami pirmojo metodo detalių, susijusių su šios serijos konvergencijos intervalu, siūlome antrą problemos sprendimo variantą. Pažymėkime serijos sumą: .

Padauginkite iš šios serijos: . Gautas eilutes atskirkime du kartus:

,

Reiškia geometrinę progresiją su vardikliu , Tada . Integruokime į segmentą:

Integruodami dalimis gauname:

Dėl .

18.31 uždavinys

Raskite serijos sumą .

Sprendimas:

Ši serija susilieja intervale (patikrinkite tai patys). Perrašykime jį kaip trijų eilučių sumą:

Tai įmanoma, nes kiekviena serija turi tą pačią konvergencijos sritį - intervalą. Trijų eilučių sumas pažymėkime atitinkamai , , , o reikiamą sumą – .

kaip geometrinės progresijos su vardikliu narių suma

Atlikime konvertavimą:

Pažymėkime eilutės suma.

Integruodami šios serijos terminą į segmentą konvergencijos intervale, gauname:

Norėdami rasti, turite atskirti trupmeną:

.

Vadinasi, .

Dabar suraskime:

Išdėkime jį iš skliaustų:

Pažymėkime skliausteliuose pateiktų eilučių suma. Tada

Šiuose skliausteliuose yra serija, kurios suma randama: . Mes gauname: .

Bet , . Tada pradinės serijos suma

Taigi, Dėl .

Taylor serija

Apibrėžimas. Eilė

funkcijai vadinama Teiloro galių eilute.

Funkciją galima išplėsti į Teiloro eilutę, jei nagrinėjamame taške ji turi visų eilių išvestines ir jei taške likusi dalis yra lygi nuliui. Taylor serija kartais vadinama Maclaurin serija.

Teorema

Jei funkcija išplečiama į galios eilutę, tai jai ši serija yra unikali ir yra Taylor serija.

Pastaba. Suradę nuoseklias funkcijos išvestines ir jų reikšmes taške, galime parašyti Teiloro eilutę. Tačiau likusio termino tyrimas kelia didelių sunkumų. Todėl jie dažnai eina kitu keliu: jie naudoja paruoštus pagrindinių elementariųjų funkcijų išplėtimus į laipsnių eilutes kartu su eilių sudėties, atimties, daugybos taisyklėmis ir jų integravimo bei diferencijavimo teoremomis, kaip, pavyzdžiui, buvo parodyta. uždaviniuose 17.31 ir 18.31.

19.31 uždavinys

Išplėskite funkciją Taylor serijoje galiose.

Sprendimas:

X 0 = 0. Panaudokime pastabą. Nes

tada funkcija supaprastinama, jei taikome neapibrėžtų koeficientų metodą:

.

Geometrinės progresijos su vardikliu narių suma yra lygi: . Mūsų atveju . – šios eilutės konvergencijos spindulys. Terminas

Sudėjus eilutes, gauname: arba , kur yra bendroji konvergencijos sritis. visiškai yra eilutės konvergencijos srityje.

Norėdami apskaičiuoti šį integralą 0,001 tikslumu, gautoje eilutėje turite paimti du jo narius (0,0005<0,001) (см. задачу 9.31).

Taigi,

Savęs patikrinimo klausimai

Skaičių serija

1. Pateikite konvergentinių ir divergentinių eilučių apibrėžimus.

2. Suformuluokite reikiamą eilučių konvergencijos kriterijų.

3. Suformuluokite pakankamus eilučių su teigiamais nariais konvergencijos požymius: palyginkite eilutes su teigiamais nariais; d'Alemberto ženklas; radikalus Koši testas, integralus Koši testas.

4. Pateikite absoliučiai konvergentinės eilutės apibrėžimą. Nurodykite absoliučiai konvergentinių eilučių savybes.

5. Suformuluokite Leibnizo kriterijų.

Funkcinė serija

6. Apibrėžkite funkcinės eilutės konvergencijos sritį.

7. Kuri eilutė vadinama tolygiai konvergentine?

8. Suformuluokite Weierstrass testą.

9. Taylor serijos funkcijos išskaidomumo sąlygos.

10. Suformuluokite laipsnių eilučių integravimo ir diferenciacijos teoremas.

11. Paaiškinkite apytikslių apibrėžtųjų integralų skaičiavimo naudojant eilutes metodą.

1. Kudryavtsev L.D. Trumpas matematinės analizės kursas. – M.: Nauka, 1989. – 736 p.

2. Bugrovas Y.S. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas / Ya.S. Bugrovas, S.M. Nikolskis. – M.: Nauka, 1984. – 432 p.

3. Shmelev P.A. Serijų teorija uždaviniuose ir pratybose. – M.: Aukštoji mokykla, 1983. – 176 p.

4. Piskunov N.S. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas kolegijoms. T. 2. – M.: Nauka, 1985. – 576 p.

5. Fikhtengolts G.M. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas. T. 2. – M.: Fizmatgiz, 1962. – 808 p.

6. Zaporožecas G.I. Matematinės analizės problemų sprendimo vadovas. – M.: Aukštoji mokykla, 1966. – 460 p.

7. Kuznecovas L.A. Aukštosios matematikos (TR) užduočių rinkinys. – M.: Aukštoji mokykla, 1983. – 174 p.

8. Danko P.E. Aukštoji matematika pratimuose ir uždaviniuose. 2 dalis /P.E. Danko, A.G. Popovas, T.Ya. Koževnikova. – M.: Aukštoji mokykla, 1986. – 415 p.

9. Bronšteinas I.N. Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams / I.N. Bronšteinas, K.A. Semendiajevas. – M.: Nauka, 1986. – 544 p.

Mokomasis leidimas

Borodinas Nikolajus Pavlovičius

Girnų akmuo Varvara Viktorovna

Šumetova Liudmila Viktorovna

Šorkinas Vladimiras Sergejevičius

REZULTATAI

Mokomasis ir metodinis vadovas

Redaktorius T.D. Vasiljeva

Techninis redaktorius T.P. Prokudina

Oryol valstybinis technikos universitetas

2000-05-01 licencijos Nr.00670

Pasirašyta publikavimui 2004 m. rugpjūčio 26 d. Formatas 60 x 84 1/16.

Ofsetinė spauda. Akademinis leid. l. 1.9. Sąlyginis orkaitė l. 2.4. Tiražas 500 egz.

Užsakymo Nr.____

Atspausdinta iš baigto originalaus maketo

Orelio valstybinio technikos universiteto spausdinimo bazėje,

302030, Orel, g. Moskovskaja, 65 m.