Šiandien klasėje apžvelgsime griežta seka Ir griežtas funkcijos ribos apibrėžimas, taip pat išmokti spręsti aktualias teorinio pobūdžio problemas. Straipsnis pirmiausia skirtas gamtos mokslų ir inžinerinių specialybių pirmakursiams, pradėjusiems studijuoti matematinės analizės teoriją ir susidūrusiems su sunkumais suvokiant šią aukštosios matematikos skyrių. Be to, medžiaga yra gana prieinama aukštųjų mokyklų studentams.

Per svetainės gyvavimo metus gavau keliolika laiškų maždaug tokio turinio: „Nelabai suprantu matematinės analizės, ką daryti?“, „Visiškai nesuprantu matematikos, aš galvoju mesti studijas“ ir kt. Ir iš tiesų, būtent matanas dažnai išretina studentų grupę po pirmo užsiėmimo. Kodėl taip yra? Nes tema yra neįsivaizduojamai sudėtinga? Visai ne! Matematinės analizės teorija nėra tokia sudėtinga, kaip savotiška. Ir reikia priimti ir mylėti ją tokią, kokia ji yra =)

Pradėkime nuo pat pradžių sunkus atvejis. Pirmas ir svarbiausias dalykas yra tai, kad jums nereikėtų mesti studijų. Suprask teisingai, mesti gali visada;-) Aišku, jei po metų ar dvejų pykina nuo pasirinktos specialybės, tai taip, reiktų pagalvoti (ir nepyk!) apie veiklos pasikeitimą. Bet kol kas verta tęsti. Ir prašau pamiršti frazę „aš nieko nesuprantu“ – taip neatsitinka, kad VISAI nieko nesupranti.

Ką daryti, jei teorija bloga? Tai, beje, taikoma ne tik matematinei analizei. Jei teorija bloga, tai pirmiausia reikia RIMTAI susikoncentruoti į praktiką. Šiuo atveju iš karto išsprendžiamos dvi strateginės užduotys:

– Pirma, nemaža dalis teorinių žinių atsirado per praktiką. Ir todėl daugelis žmonių teoriją supranta per... – tai tiesa! Ne, ne, tu apie tai negalvoji =)

– Ir, antra, praktiniai įgūdžiai greičiausiai „ištrauks“ per egzaminą, net jei... bet taip nesijaudinkime! Viskas yra tikra ir viską galima „pakelti“ per gana trumpą laiką. Matematinė analizė yra mano mėgstamiausia aukštosios matematikos dalis, todėl aš tiesiog negalėjau ištiesti jums pagalbos rankos:

I semestro pradžioje dažniausiai aprėpiamos sekos ribos ir funkcijų ribos. Nesuprantate, kas tai yra, ir nežinote, kaip jas išspręsti? Pradėkite nuo straipsnio Funkcijų ribos, kuriame „ant pirštų“ nagrinėjama pati sąvoka ir analizuojami paprasčiausi pavyzdžiai. Tada atlikite kitas pamokas šia tema, įskaitant pamoką apie sekų viduje, dėl kurio aš iš tikrųjų jau suformulavau griežtą apibrėžimą.

Kokius simbolius, be nelygybės ženklų ir modulio, žinote?

– ilga vertikali lazda skamba taip: „toks“, „toks“, „toks“ arba „toks“, mūsų atveju, aišku, mes kalbame apie skaičių - vadinasi, „toks tas“;

– visiems „en“ didesnis nei ;

– modulio ženklas reiškia atstumą, t.y. šis įrašas mums sako, kad atstumas tarp reikšmių yra mažesnis nei epsilonas.

Na, ar tai mirtinai sunku? =)

Įvaldęs praktiką, laukiu jūsų kitoje pastraipoje:

Ir iš tikrųjų, šiek tiek pagalvokime – kaip suformuluoti griežtą sekos apibrėžimą? ...Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą pasaulyje praktinė pamoka: „Sekos riba yra skaičius, prie kurio be galo artėja sekos nariai“.

Gerai, užsirašykime seka :

Nesunku tai suprasti seka priartėti prie be galo arti skaičiaus –1, ir lyginiai terminai – į „vieną“.

O gal yra dvi ribos? Bet kodėl tada jokia seka negali turėti dešimties ar dvidešimties? Šiuo keliu galite nueiti toli. Šiuo atžvilgiu logiška manyti, kad jei seka turi ribą, tada ji yra unikali.

Pastaba : seka neturi ribos, tačiau iš jos galima atskirti dvi posekes (žr. aukščiau), kurių kiekviena turi savo ribą.

Taigi pirmiau pateiktas apibrėžimas pasirodo esąs nepagrįstas. Taip, tai veikia tokiais atvejais kaip (kurį ne visai teisingai panaudojau supaprastintuose praktinių pavyzdžių paaiškinimuose), bet dabar turime rasti griežtą apibrėžimą.

Antras bandymas: „Sekos riba yra skaičius, prie kurio artėja VISI sekos nariai, išskyrus galbūt juos galutinis kiekiai." Tai arčiau tiesos, bet vis tiek nėra visiškai tikslu. Taigi, pavyzdžiui, seka pusė terminų visai nesiartina prie nulio - jie tiesiog jam lygūs =) Beje, „mirksi šviesa“ paprastai turi dvi fiksuotas reikšmes.

Išaiškinti formuluotę nesunku, bet tada iškyla kitas klausimas: kaip parašyti apibrėžimą matematiniais simboliais? Mokslo pasaulis su šia problema kovojo ilgą laiką, kol situacija buvo išspręsta garsus maestro, kuri iš esmės formalizavo klasikinę matematinę analizę visu jos griežtumu. Cauchy pasiūlė operaciją aplinka , kuris žymiai patobulino teoriją.

Apsvarstykite tam tikrą dalyką ir jo savavališkas- aplinka:

„Epsilon“ vertė visada yra teigiama, be to, turime teisę patys pasirinkti. Tarkime, kad šioje kaimynystėje yra daug narių (nebūtinai visi) tam tikra seka. Kaip užrašyti tai, kad, pavyzdžiui, dešimtas terminas yra kaimynystėje? Tegul tai yra dešinėje jo pusėje. Tada atstumas tarp taškų ir turėtų būti mažesnis nei „epsilonas“: . Tačiau jei „x dešimtoji“ yra taško „a“ kairėje, skirtumas bus neigiamas, todėl prie jo reikia pridėti ženklą modulis: .

Apibrėžimas: skaičius vadinamas sekos riba, jei bet kuriam jo apylinkes (iš anksto pasirinkta) yra natūralusis skaičius TOKS VISI didesnius skaičius turintys sekos nariai bus kaimynystėje:

Arba trumpai: jei

Kitaip tariant, kad ir kokią mažą „epsilono“ reikšmę beimtume, anksčiau ar vėliau sekos „begalinė uodega“ VISIŠKAI atsidurs šioje kaimynystėje.

Pavyzdžiui, sekos „begalinė uodega“. VISIŠKAI pateks į bet kurią savavališkai mažą taško apylinkę. Taigi ši reikšmė yra sekos riba pagal apibrėžimą. Leiskite jums priminti, kad vadinama seka, kurios riba yra nulis be galo mažas.

Reikėtų pažymėti, kad dėl sekos nebegalima sakyti „begalinė uodega“ įeis„- nariai su nelyginiais skaičiais iš tikrųjų yra lygūs nuliui ir „niekur neiti“ =) Štai kodėl apibrėžime naudojamas veiksmažodis „pasirodys“. Ir, žinoma, tokios sekos nariai taip pat „niekur nedingsta“. Beje, patikrinkite, ar skaičius yra jo riba.

Dabar parodysime, kad seka neturi ribų. Apsvarstykite, pavyzdžiui, taško kaimynystę. Visiškai aišku, kad nėra tokio skaičiaus, po kurio VISI terminai atsidurs tam tikroje kaimynystėje – nelyginiai terminai visada „iššoks“ į „minus vienas“. Dėl panašios priežasties taške nėra ribų.

Sutvirtinkime medžiagą praktika:

1 pavyzdys

Įrodykite, kad sekos riba lygi nuliui. Nurodykite skaičių, po kurio garantuojama, kad visi sekos nariai bus bet kurioje savavališkai mažoje taško kaimynystėje.

Pastaba : Daugeliui sekų reikalingas natūralusis skaičius priklauso nuo reikšmės – taigi ir žymėjimas .

Sprendimas: apsvarstykite savavališkas ar yra koks skaičius – toks, kad VISI nariai, turintys didesnį skaičių, būtų šioje kaimynystėje:

Norėdami parodyti reikiamo skaičiaus egzistavimą, išreiškiame jį per .

Kadangi bet kuriai „en“ vertei modulio ženklas gali būti pašalintas:

Mes naudojame „mokyklinius“ veiksmus su nelygybėmis, kuriuos kartojau klasėje Tiesinės nelygybės Ir Funkcijos domenas. Šiuo atveju svarbi aplinkybė yra ta, kad „epsilon“ ir „en“ yra teigiami:

Kadangi mes kalbame apie natūraliuosius skaičius kairėje, o dešinioji pusė paprastai yra trupmeninė, ją reikia suapvalinti:

Pastaba : kartais prie teisės pridedamas vienetas, kad būtų saugi, tačiau iš tikrųjų tai per daug. Santykinai kalbant, jei susilpninsime rezultatą apvalindami žemyn, artimiausias tinkamas skaičius („trys“) vis tiek patenkins pradinę nelygybę.

Dabar žiūrime į nelygybę ir prisimename, ką iš pradžių svarstėme savavališkas-kaimynystė, t.y. „epsilon“ gali būti lygus bet kas teigiamas skaičius.

Išvada: bet kurio savavališkai mažo taško kaimynystėje vertė buvo rasta . Taigi skaičius pagal apibrėžimą yra sekos riba. Q.E.D.

Beje, iš gauto rezultato aiškiai matomas natūralus modelis: kuo mažesnė kaimynystė, tuo didesnis skaičius, po kurio VISIE sekos nariai bus šioje kaimynystėje. Bet kad ir koks mažas būtų „epsilonas“, viduje visada bus „begalinė uodega“, o išorėje – net jei ji didelė, tačiau galutinis narių skaičius.

Kokie įspūdžiai? =) Sutinku, kad tai šiek tiek keista. Bet griežtai! Perskaitykite dar kartą ir dar kartą viską pagalvokite.

Pažvelkime į panašų pavyzdį ir susipažinkime su kitais techniniais metodais:

2 pavyzdys

Sprendimas: pagal sekos apibrėžimą būtina tai įrodyti (Pasakyk tai garsiai!!!).

Pasvarstykime savavališkas- punkto ir čekio kaimynystė, ar jis egzistuoja natūralusis skaičius – toks, kad visiems didesniems skaičiams galiotų ši nelygybė:

Norėdami parodyti tokio egzistavimą, turite išreikšti „en“ per „epsilon“. Supaprastiname išraišką po modulio ženklu:

Modulis sunaikina minuso ženklą:

Bet kurio „en“ vardiklis yra teigiamas, todėl lazdeles galima nuimti:

Maišyti:

Dabar turime išgauti Kvadratinė šaknis, bet bėda ta, kad kai kuriems „epsilonams“ dešinė pusė bus neigiama. Norėdami išvengti šios bėdos sustiprinkime nelygybė pagal modulį:

Kodėl tai galima padaryti? Jei, santykinai tariant, paaiškės, kad , tada sąlyga taip pat bus įvykdyta. Modulis gali tik padidinti norėjau numerio, ir mums tiks! Grubiai tariant, jei tinka šimtasis, tai tinka ir du šimtasis! Pagal apibrėžimą reikia parodyti pats skaičiaus egzistavimo faktas(bent jau kai kurie), po kurio visi sekos nariai bus kaimynystėje. Beje, dėl to mes nebijome galutinio dešinės pusės apvalinimo į viršų.

Šaknies ištraukimas:

Ir suapvalinti rezultatą:

Išvada: nes reikšmė "epsilon" buvo pasirinkta savavališkai, tada bet kuriai savavališkai mažai taško apylinkei buvo rasta reikšmė , kad visiems didesniems skaičiams galiotų nelygybė . Taigi, a-prior. Q.E.D.

as patariu ypač nelygybių stiprėjimo ir silpnėjimo supratimas yra tipiškas ir labai paplitęs matematinės analizės metodas. Vienintelis dalykas, kurį reikia stebėti, yra vieno ar kito veiksmo teisingumas. Taigi, pavyzdžiui, nelygybė jokiomis aplinkybėmis tai neįmanoma atlaisvinti, atimant, tarkime, vieną:

Vėlgi, sąlyginai: jei skaičius tinka tiksliai, tai ankstesnis gali nebetikti.

Šis nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

3 pavyzdys

Naudodamiesi sekos apibrėžimu, įrodykite tai

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Jei seka be galo didelis, tada ribos apibrėžimas formuluojamas panašiai: taškas vadinamas sekos riba, jei kuriai nors, kokio dydžio norite skaičius, yra toks skaičius, kad visų didesnių skaičių nelygybė bus patenkinta. Skambina numeriu taško „plius begalybė“ kaimynystė:

Kitaip tariant, bet ką didelę reikšmę Kad ir kaip būtų, sekos „begalinė uodega“ tikrai pateks į taško kaimynystę, o kairėje paliks tik baigtinį skaičių terminų.

Standartinis pavyzdys:

Ir sutrumpintas žymėjimas: , jei

Šiuo atveju apibrėžimą užsirašykite patys. Teisinga versija yra pamokos pabaigoje.

Kai išsiaiškinsite praktinius pavyzdžius ir išsiaiškinsite sekos ribos apibrėžimą, galite kreiptis į skaičiavimo literatūrą ir (arba) savo paskaitų sąsiuvinį. Rekomenduoju atsisiųsti Bohan 1 tomą (paprasčiau – neakivaizdiniams studentams) ir Fichtenholtzas (išsamiau ir išsamiau). Tarp kitų autorių rekomenduoju Piskunovą, kurio kursas skirtas technikos universitetams.

Stenkitės sąžiningai išstudijuoti teoremas, susijusias su sekos riba, jų įrodymais, pasekmėmis. Iš pradžių teorija gali atrodyti „debesuota“, tačiau tai normalu – tereikia prie jos priprasti. Ir daugelis net paragaus!

Griežtas funkcijos ribos apibrėžimas

Pradėkime nuo to paties – kaip suformuluoti ši koncepcija? Žodinis funkcijos ribos apibrėžimas suformuluotas daug paprasčiau: „skaičius yra funkcijos riba, jei su „x“ linkęs į (ir kairėje, ir dešinėje), atitinkamos funkcijos reikšmės linkusios » (žr. piešinį). Atrodo, kad viskas yra normalu, bet žodžiai yra žodžiai, prasmė yra prasmė, piktograma yra piktograma, o griežtų matematinių užrašų nėra pakankamai. O antroje pastraipoje susipažinsime su dviem šios problemos sprendimo būdais.

Tegul funkcija yra apibrėžta tam tikru intervalu, išskyrus tašką. IN mokomoji literatūra visuotinai pripažįstama, kad funkcija yra Ne apibrėžta:

Šis pasirinkimas pabrėžia funkcijos ribos esmė: "x" be galo arti požiūriai , o atitinkamos funkcijos reikšmės yra be galo artiĮ . Kitaip tariant, ribos sąvoka nereiškia „tikslaus požiūrio“ į taškus, o būtent be galo artima aproksimacija, nesvarbu, ar funkcija apibrėžta taške, ar ne.

Nenuostabu, kad pirmasis funkcijos ribos apibrėžimas suformuluotas naudojant dvi sekas. Pirma, sąvokos yra susijusios, ir, antra, funkcijų ribos dažniausiai tiriamos po sekų ribos.

Apsvarstykite seką taškų (ne ant brėžinio), priklausantis intervalui ir skiriasi nuo, kuris susiliejaĮ . Tada atitinkamos funkcijos reikšmės taip pat sudaro skaitinę seką, kurios nariai yra ordinačių ašyje.

Funkcijos riba pagal Heine bet kuriam taškų sekos (priklauso ir skiriasi nuo), kuri susilieja į tašką , atitinkama funkcijos reikšmių seka suartėja į .

Eduardas Heine yra vokiečių matematikas. ...Ir nereikia nieko panašaus galvoti, Europoje yra tik vienas gėjus - Gay-Lussac =)

Buvo sukurtas antrasis ribos apibrėžimas... taip, taip, tu teisus. Bet pirmiausia supraskime jo dizainą. Apsvarstykite savavališką taško kaimynystę („juodasis“ rajonas). Remiantis ankstesne pastraipa, įrašas reiškia, kad kažkokia vertybė funkcija yra „epsilon“ kaimynystėje.

Dabar randame -apylinkę, kuri atitinka nurodytą -kaimynystę (protiškai nubrėžkite juodas punktyrines linijas iš kairės į dešinę ir iš viršaus į apačią). Atminkite, kad pasirinkta vertė išilgai mažesnio segmento ilgio, in tokiu atveju– išilgai trumpesnio kairiojo segmento ilgio. Be to, taško „avietinė“ kaimynystė gali būti netgi sumažinta, nes toliau pateiktame apibrėžime svarbus pats egzistavimo faktasši apylinkė. Be to, žymėjimas reiškia, kad tam tikra reikšmė yra „deltos“ kaimynystėje.

Cauchy funkcijos riba: skaičius vadinamas funkcijos riba taške if bet kuriam iš anksto pasirinkta kaimynystėje (tokio mažo, kiek norite), egzistuoja- taško kaimynystė, TOKS, kad: KAIP TIK vertybės (priklauso)įtraukta į šią sritį: (raudonos rodyklės)– TAIGI IŠ KARTOJI atitinkamos funkcijų reikšmės pateks į kaimynystę: (mėlynos rodyklės).

Turiu jus perspėti, kad aiškumo dėlei aš šiek tiek improvizavau, todėl nenaudokite per daug =)

Trumpas įrašas: , jei

Kokia yra apibrėžimo esmė? Vaizdžiai tariant, be galo mažindami kaimynystę, „palydime“ funkcijų reikšmes iki ribos, nepalikdami joms alternatyvos priartėti kur nors kitur. Gana neįprasta, bet vėl griežta! Norėdami visiškai suprasti mintį, dar kartą perskaitykite formuluotę.

! Dėmesio: jei reikia tik suformuluoti Heine apibrėžimas arba tiesiog Koši apibrėžimas prašome nepamiršti reikšmingas preliminarūs komentarai: "Apsvarstykite funkciją, kuri yra apibrėžta tam tikru intervalu, išskyrus tašką". Kartą tai sakiau pačioje pradžioje ir nekartodavau kiekvieną kartą.

Pagal atitinkamą matematinės analizės teoremą Heine ir Cauchy apibrėžimai yra lygiaverčiai, tačiau antrasis variantas yra labiausiai žinomas (dar būtų!), kuris dar vadinamas „kalbos apribojimu“:

4 pavyzdys

Naudodamiesi ribos apibrėžimu, įrodykite tai

Sprendimas: funkcija apibrėžta visoje skaičių eilutėje, išskyrus tašką. Naudodamiesi apibrėžimu, įrodome ribos egzistavimą tam tikrame taške.

Pastaba : „deltos“ kaimynystės vertė priklauso nuo „epsilono“, taigi ir pavadinimo

Pasvarstykime savavališkas- apylinkes. Užduotis yra naudoti šią reikšmę norint patikrinti, ar ar jis egzistuoja- aplinka, TOKS, kuri iš nelygybės seka nelygybė .

Darant prielaidą, kad transformuojame paskutinę nelygybę:
(išplėtė kvadratinį trinarį)

Pateikiamos ribą turinčių skaitinių sekų pagrindinių teoremų ir savybių formuluotės. Pateikiamas sekos apibrėžimas ir jos riba. Nagrinėjami aritmetiniai veiksmai su sekomis, savybės, susijusios su nelygybėmis, konvergencijos kriterijai, be galo mažų ir be galo didelių sekų savybės.

Turinys

Sekų baigtinių ribų savybės

Pagrindinės savybės

Taškas a yra sekos riba tada ir tik tada, kai yra už bet kurios šio taško kaimynystės baigtinis elementų skaičius sekas arba tuščią rinkinį.

Jei skaičius a nėra sekos riba, tada yra taško a kaimynystė, už kurios yra begalinis sekos elementų skaičius.

Skaičių sekos ribos unikalumo teorema. Jei seka turi ribą, ji yra unikali.

Jei seka turi baigtinę ribą, tada ji ribotas.

Jei kiekvienas sekos elementas lygus tam pačiam skaičiui C: tada ši seka turi ribą, lygią skaičiui C.

Jei seka pridėti, atmesti arba pakeisti pirmuosius m elementus, tai neturės įtakos jo konvergencijai.

Pagrindinių savybių įrodymai pateikiami puslapyje
Bazinės baigtinių sekų ribų savybės >>>.

Aritmetiniai veiksmai su ribomis

Tegul yra baigtinės abiejų sekų ribos ir . Ir tegul C yra konstanta, tai yra duotas skaičius. Tada
;
;
;
, Jei.
Dalinio atveju daroma prielaida, kad visiems n.

Jei tada.

Aritmetinių savybių įrodymai pateikiami puslapyje
Sekų baigtinių ribų aritmetinės savybės >>>.

Savybės, susijusios su nelygybėmis

Jei sekos elementai, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, tenkina nelygybę , tai šios sekos riba a tenkina ir nelygybę .

Jeigu sekos elementai, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, priklauso uždaram intervalui (segmentui), tai šiam intervalui priklauso ir riba a: .

Jei ir ir sekų elementai, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, tenkina nelygybę , Tada .

Jei ir, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, , Tada .
Visų pirma, jei, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, , tada
jei tada ;
jei tada .

Jei ir tada.

Tebūnie. Jeigu < b , tada yra natūralusis skaičius N, kad visiems n > N nelygybė galioja.

Savybių, susijusių su nelygybėmis, įrodymai pateikiami puslapyje
Sekos ribų, susijusių su nelygybėmis, savybės >>>.

Be galo didelės ir be galo mažos sekos

Be galo maža seka

Be galo maža seka yra seka, kurios riba lygi nuliui:
.

Suma ir skirtumas iš baigtinio skaičiaus be galo mažų sekų yra be galo maža seka.

Apribotos sekos sandauga iki be galo maža yra be galo maža seka.

Baigtinio skaičiaus sandauga be galo mažos sekos yra be galo maža seka.

Tam, kad seka turėtų ribą a, būtina ir pakanka, kad , kur yra be galo maža seka.

Be galo mažų sekų savybių įrodymai pateikiami puslapyje
Be galo mažos sekos – apibrėžimas ir savybės >>>.

Be galo didelė seka

Be galo didelė seka yra seka, turinti be galo didelę ribą. Tai yra, jei bet kuriam teigiamam skaičiui yra natūralusis skaičius N, priklausomai nuo to, kad visiems natūraliems skaičiams galioja nelygybė
.
Šiuo atveju jie rašo
.
Arba adresu.
Jie sako, kad tai linkusi į begalybę.

Jei, pradedant nuo kurio nors skaičiaus N, tada
.
Jei tada
.

Jei seka yra be galo didelė, tai, pradedant nuo kurio nors skaičiaus N, apibrėžiama seka, kuri yra be galo maža. Jei yra be galo maža seka su nuliniais elementais, tada seka yra be galo didelė.

Jei seka yra be galo didelė ir seka ribota, tada
.

Jeigu absoliučios vertės sekos elementai iš apačios yra apriboti teigiamu skaičiumi () ir yra be galo maži, kai elementai yra nelygūs nuliui, tada
.

Išsamiai be galo didelės sekos apibrėžimas su pavyzdžiais yra pateikta puslapyje
Be galo didelės sekos apibrėžimas >>>.
Be galo didelių sekų savybių įrodymai pateikiami puslapyje
Be galo didelių sekų savybės >>> .

Sekos konvergencijos kriterijai

Monotoniškos sekos

Griežtai didėjanti seka yra seka, kurios visi elementai tenkina šias nelygybes:
.

Panašios nelygybės apibrėžia ir kitas monotonines sekas.

Griežtai mažėjanti seka:
.
Nemažėjanti seka:
.
Nedidėjanti seka:
.

Iš to seka, kad griežtai didėjanti seka taip pat nemažėja. Griežtai mažėjanti seka taip pat yra nedidėjanti.

Monotoninė seka – tai nemažėjanti arba nedidėjanti seka.

Monotoninę seką bent vienoje pusėje riboja vertė . Nemažėjanti seka apribota žemiau: . Nedidėjanti seka ribojama iš viršaus: .

Weierstrasso teorema. Kad nemažėjanti (nedidėjanti) seka turėtų baigtinę ribą, būtina ir pakanka, kad ji būtų ribojama iš viršaus (iš apačios). Čia M yra tam tikras skaičius.

Kadangi bet kuri nemažėjanti (nedidėjanti) seka yra ribojama iš apačios (iš viršaus), Weierstrasso teoremą galima perfrazuoti taip:

Tam, kad monotoninė seka turėtų baigtinę ribą, būtina ir pakanka, kad ji būtų ribojama: .

Monotoniška neribota seka turi begalinę ribą, lygią nemažėjančiai ir nedidėjančiai sekai.

Weierstrasso teoremos įrodymas pateikta puslapyje
Weierstrasso teorema apie monotoninės sekos ribą >>>.

Košio kriterijus sekos konvergencijai

Kauchinė būklė
Nuoseklumas tenkina Kauchinė būklė, jei kuriam nors yra natūralusis skaičius, kad visiems natūraliems skaičiams n ir m, atitinkantiems sąlygą, galioja nelygybė
.

Pagrindinė seka yra seka, kuri tenkina Kauchinė būklė.

Košio kriterijus sekos konvergencijai. Tam, kad seka turėtų baigtinę ribą, būtina ir pakanka, kad ji tenkintų Koši sąlygą.

Koši konvergencijos kriterijaus įrodymas pateikta puslapyje
Košio kriterijus sekos konvergencijai >>>.

Pasekmės

Bolzano-Weierstrasso teorema. Iš bet kurios ribotos sekos galima išskirti konvergentinę poseką. Ir iš bet kokios neapribotos sekos – be galo didelė poseka, susiliejanti į arba į .

Bolzano-Weierstrasso teoremos įrodymas pateikta puslapyje
Bolzano–Weierstrasso teorema >>> .

Pussekių ir dalinių ribų apibrėžimai, teoremos ir savybės aptariamos puslapyje
Sekos ir dalinės sekų ribos >>>.

Nuorodos:
CM. Nikolskis. Matematinės analizės kursas. 1 tomas. Maskva, 1983 m.
L.D. Kudrjavcevas. Matematinės analizės kursas. 1 tomas. Maskva, 2003 m.
V.A. Zorichas. Matematinė analizė. 1 dalis. Maskva, 1997 m.
V.A. Iljinas, E.G. Poznyakas. Matematinės analizės pagrindai. 1 dalis. Maskva, 2005 m.

Taip pat žiūrėkite:

Skaičių seka.
kaip?

Įjungta šią pamoką sužinosime daug įdomių dalykų iš didelės bendruomenės, vadinamos VKontakte, narių gyvenimo skaičių sekos. Nagrinėjama tema susijusi ne tik su matematinės analizės eiga, bet ir paliečia pagrindinius dalykus diskrečiąją matematiką. Be to, medžiaga bus reikalinga norint įvaldyti kitas bokšto dalis, ypač tyrimo metu skaičių serija Ir funkcinė serija. Galima banaliai pasakyti, kad tai svarbu, galima padrąsinančiai pasakyti, kad tai paprasta, galima pasakyti daug daugiau įprastų frazių, bet šiandien pirma, neįprastai tingi savaitė mokykloje, todėl siaubingai glumina rašyti pirmą pastraipą =) Jau išsaugojau failą širdyse ir ruošiausi miegoti, kai staiga... galvą nušvietė mintis apie nuoširdų prisipažinimą, kuri neįtikėtinai praskaidrino sielą ir pastūmėjo toliau baksnoti pirštais į klaviatūrą .

Pailsėkime nuo vasaros prisiminimų ir pažvelkime į šį žavų ir teigiamą naujovės pasaulį Socialinis tinklas:

Skaičių sekos samprata

Pirmiausia pagalvokime apie patį žodį: kas yra seka? Seka yra tada, kai kažkas po ko nors seka. Pavyzdžiui, veiksmų seka, sezonų seka. Arba kai kas nors yra už kažkieno. Pavyzdžiui, žmonių seka eilėje, dramblių seka kelyje į girdyklą.

Iš karto išsiaiškinkime būdingus sekos bruožus. Pirma, sekos nariai randasi griežtai tam tikra tvarka. Taigi, jei du žmonės eilėje bus sukeisti, tai jau bus kitas seka. Antra, visi sekos narys Galite priskirti serijos numerį:

Tas pats ir su skaičiais. Leisti kiekvienam gamtos vertybė pagal kažkokią taisyklę atitinkantis tikras numeris. Tada jie sako, kad pateikiama skaitinė seka.

Taip, matematiniuose uždaviniuose, skirtingai nei gyvenimo situacijose, seka beveik visada apima be galo daug numeriai.

Kur:
paskambino pirmasis narys sekos;
– antrasis narys sekos;
– trečiasis narys sekos;
…
– nth arba bendras narys sekos;
…

Praktikoje dažniausiai pateikiama seka bendra termino formulė, Pavyzdžiui:
– teigiamų lyginių skaičių seka:

Taigi įrašas vienareikšmiškai nustato visus sekos narius – tai yra taisyklė (formulė), pagal kurią gamtos vertybės skaičiai dedami į korespondenciją. Todėl seka dažnai trumpai žymima bendru terminu, o vietoj „x“ gali būti naudojamos kitos lotyniškos raidės, pavyzdžiui:

Teigiamų nelyginių skaičių seka:

Kita įprasta seka:

Kaip daugelis tikriausiai pastebėjo, „en“ kintamasis atlieka savotiško skaitiklio vaidmenį.

Tiesą sakant, su skaičių sekomis nagrinėjome dar vidurinėje mokykloje. Prisiminkime aritmetinė progresija. Apibrėžimo neperrašysiu, paliesime esmę ties konkretus pavyzdys. Tegul pirmasis terminas ir – žingsnis aritmetinė progresija. Tada:
– antrasis šios progresijos terminas;
– trečiasis šios progresijos terminas;
- ketvirtas;
- penktasis;
…
Ir, aišku, duotas n-tasis terminas pasikartojantis formulę

Pastaba : pasikartojančioje formulėje kiekvienas paskesnis terminas išreiškiamas ankstesniu ar net visu ankstesnių terminų rinkiniu.

Gauta formulė praktiškai neduoda naudos – norint patekti, tarkime, į , reikia pereiti visus ankstesnius terminus. O matematikoje buvo išvesta patogesnė aritmetinės progresijos n-ojo nario išraiška: . Mūsų atveju:

Pakeiskite natūraliuosius skaičius į formulę ir patikrinkite aukščiau sudarytos skaitinės sekos teisingumą.

Panašius skaičiavimus galima atlikti geometrinė progresija, kurio n-tasis narys pateikiamas formule , kur yra pirmasis narys, ir – vardiklis progresija. Matematikos užduotyse pirmasis narys dažnai lygus vienetui.

progresija nustato seką ;
progresija nustato seką;
progresija nustato seką ;
progresija nustato seką .

Tikiuosi, visi žino, kad –1 nelyginiam laipsniui yra lygus –1, o lyginiam laipsniui – vienetui.

Progresas vadinamas be galo mažėja, jei (du paskutiniai atvejai).

Į savo sąrašą įtraukime du naujus draugus, iš kurių vienas ką tik pasibeldė į monitoriaus matricą:

Seka matematiniu žargonu vadinama „mirksėliu“:

Taigi, sekos nariai gali būti kartojami. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje seka susideda iš dviejų be galo besikeičiančių skaičių.

Ar pasitaiko, kad seka susideda iš identiškų skaičių? Žinoma. Pavyzdžiui, jis nustato begalinį skaičių „trijų“. Estetams yra atvejis, kai „en“ vis dar formaliai pasirodo formulėje:

Pakvieskime paprastą draugą pašokti:

Kas atsitinka, kai „en“ padidėja iki begalybės? Akivaizdu, kad sekos nariai bus be galo arti priartėti prie nulio. Tai yra šios sekos riba, kuri parašyta taip:

Jei sekos riba lygi nuliui, tada ji vadinama be galo mažas.

Matematinės analizės teorijoje pateikta griežtas sekos ribos apibrėžimas per vadinamąjį epsilonų rajoną. Kitas straipsnis bus skirtas šiam apibrėžimui, bet dabar pažvelkime į jo reikšmę:

Skaičių eilutėje pavaizduokime sekos ir kaimynystės sąlygas, simetriškas nulio atžvilgiu (riba):


Dabar suimkite mėlyną sritį delnų kraštais ir pradėkite ją mažinti, traukdami link ribos (raudonas taškas). Skaičius yra sekos riba, jei JOKIAI iš anksto pasirinktai apylinkei (tokio mažo, kiek norite) bus jo viduje be galo daug sekos nariai, o UŽ jos – tik galutinis narių skaičius (arba iš viso nėra). Tai yra, epsilonų kaimynystė gali būti mikroskopinė ir net mažesnė, tačiau sekos „begalinė uodega“ anksčiau ar vėliau turi būti pilnai patekti į zoną.

Seka taip pat be galo maža: su tuo skirtumu, kad jos nariai nešokinėja pirmyn ir atgal, o artėja prie ribos išskirtinai iš dešinės.

Natūralu, kad riba gali būti lygi bet kuriam kitam baigtiniam skaičiui, elementarus pavyzdys:

Čia trupmena linkusi į nulį, todėl riba yra lygi „du“.

Jei seka yra ribota riba, tada jis vadinamas susiliejantis(ypač be galo mažas adresu ). IN kitaip – skiriasi, šiuo atveju galimi du variantai: arba riba iš viso neegzistuoja, arba ji yra begalinė. Pastaruoju atveju seka vadinama be galo didelis. Pažvelkime į pirmosios pastraipos pavyzdžius:

Sekos yra be galo didelis, kai jų nariai užtikrintai juda link „pliuso begalybės“:

Aritmetinė progresija su pirmuoju nariu ir žingsniu taip pat yra be galo didelė:

Beje, bet kokia aritmetinė progresija taip pat skiriasi, išskyrus atvejį su nuliniu žingsniu - kai . Tokios sekos riba egzistuoja ir sutampa su pirmuoju terminu.

Sekos turi panašų likimą:

Bet kokia be galo mažėjanti geometrinė progresija, kaip aišku iš pavadinimo, be galo mažas:

Jei geometrinės progresijos vardiklis yra , tai seka yra be galo didelė:

Jei, pavyzdžiui, ribos iš viso neegzistuoja, nes nariai nenuilstamai šokinėja arba į „plius begalybę“, arba į „minus begalybę“. O sveikas protas ir Matano teoremos rodo, kad jei kažkas kažkur siekia, tai vienintelė branginama vieta.

Po nedidelio apreiškimo tampa aišku, kad dėl nevaldomo metimo kalta „mirksi šviesa“, kuri, beje, išsiskiria savaime.
Iš tiesų, sekai nesunku pasirinkti -apylinkę, kuri, tarkime, fiksuoja tik skaičių –1. Dėl šios priežasties begalė sekos narių („pliusų vienetų“) liks už šios kaimynystės ribų. Bet pagal apibrėžimą, sekos „begalinė uodega“ nuo tam tikro momento (natūralus skaičius) turi būti pilnai eikite į bet kurią savo ribą. Išvada: dangus yra riba.

Faktorinis yra be galo didelis seka:

Be to, jis auga nepaprastai greitai, todėl tai yra daugiau nei 100 skaitmenų (skaitmenų) skaičius! Kodėl būtent 70? Ant jo mano inžinerinis mikroskaičiuotuvas prašo pasigailėjimo.

Su kontroliniu šūviu viskas yra šiek tiek sudėtingiau, o mes ką tik priėjome prie praktinės paskaitos dalies, kurioje analizuosime kovos pavyzdžius:

Bet dabar jūs turite sugebėti išspręsti funkcijų ribas bent dviejų pagrindinių pamokų lygiu: Ribos. Sprendimų pavyzdžiai Ir Nuostabios ribos. Kadangi daugelis sprendimo būdų bus panašūs. Bet pirmiausia panagrinėkime esminius skirtumus tarp sekos ribos ir funkcijos ribos:

Sekos ribose „dinaminis“ kintamasis „en“ gali būti linkęs tik iki „plius begalybės“– link didėjančių natūraliųjų skaičių .
Funkcijos ribose „x“ gali būti nukreiptas bet kur – į „pliuso/minuso begalybę“ arba į savavališką realųjį skaičių.

Pasekmė diskretus(nepertraukiamas), tai yra, jis susideda iš atskirų izoliuotų narių. Vienas, du, trys, keturi, penki, zuikis išėjo pasivaikščioti. Funkcijos argumentui būdingas tęstinumas, tai yra, „X“ sklandžiai, be incidentų, linksta į vieną ar kitą reikšmę. Ir atitinkamai, funkcijų reikšmės taip pat nuolat artėja prie savo ribos.

Dėl diskretiškumas sekose yra saviti dalykai, tokie kaip faktorialai, „mirksinčios lemputės“, progresijos ir kt. O dabar pabandysiu išanalizuoti ribas, kurios būdingos sekoms.

Pradėkime nuo progreso:

1 pavyzdys

Raskite sekos ribą

Sprendimas: kažkas panašaus į be galo mažėjančią geometrinę progresiją, bet ar tikrai taip? Kad būtų aiškumo, užrašykite keletą pirmųjų terminų:

Nuo tada mes kalbame apie suma be galo mažėjančios geometrinės progresijos, kuri apskaičiuojama pagal formulę, terminai.

Priimkime sprendimą:

Naudojame be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę: . Šiuo atveju: – pirmasis narys, – progresijos vardiklis.

2 pavyzdys

Parašykite pirmuosius keturis sekos narius ir raskite jos ribą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Norėdami pašalinti skaitiklio neapibrėžtumą, turėsite taikyti pirmųjų aritmetinės progresijos narių sumos formulę:
, kur yra pirmasis ir a yra n-tas progresijos narys.

Kadangi sekose „en“ visada linksta į „plius begalybė“, nenuostabu, kad neapibrėžtumas yra vienas populiariausių.
Ir daugelis pavyzdžių išsprendžiami lygiai taip pat, kaip ir funkcijų ribos!

O gal kažkas sudėtingesnio, pavyzdžiui ? Peržiūrėkite straipsnio pavyzdį Nr. 3 Ribų sprendimo būdai.

Formaliu požiūriu skirtumas bus tik vienoje raidėje - čia „x“, o čia „en“.
Technika ta pati - skaitiklis ir vardiklis turi būti padalyti iš „en“ iki didžiausio laipsnio.

Be to, sekų neapibrėžtumas yra gana dažnas. Galite sužinoti, kaip išspręsti ribas iš to paties straipsnio 11–13 pavyzdžių.

Norėdami suprasti ribą, žr. pamokos 7 pavyzdį Nuostabios ribos(antroji žymi riba galioja ir atskiram atvejui). Sprendimas vėl bus tarsi kopija su vienos raidės skirtumu.

Kiti keturi pavyzdžiai (Nr. 3-6) taip pat yra „dvipusiai“, tačiau praktiškai kažkodėl labiau būdingi sekos riboms, o ne funkcijų riboms:

3 pavyzdys

Raskite sekos ribą

Sprendimas: pirmiausia visas sprendimas, tada žingsnis po žingsnio komentarai:

(1) Skaitiklyje formulę naudojame du kartus.

(2) Panašius terminus pateikiame skaitiklyje.

(3) Norėdami pašalinti neapibrėžtumą, padalykite skaitiklį ir vardiklį iš („en“ iki didžiausio laipsnio).

Kaip matote, nieko sudėtingo.

4 pavyzdys

Raskite sekos ribą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, sutrumpintos daugybos formulės padėti.

Per s orientacinis Sekose naudojamas panašus skaitiklio ir vardiklio padalijimo metodas:

5 pavyzdys

Raskite sekos ribą

Sprendimas Sutvarkykime pagal tą pačią schemą:

Panaši teorema, beje, galioja ir funkcijoms: apribotos funkcijos ir be galo mažos funkcijos sandauga yra be galo maža funkcija.

9 pavyzdys

Raskite sekos ribą

Sekos ir funkcijos ribų apibrėžimas, ribų savybės, pirmoji ir antroji žymiosios ribos, pavyzdžiai.

Pastovus skaičius A paskambino riba sekos(x n), jei bet kurio savavališkai mažo teigiamo skaičiaus ε > 0 yra toks skaičius N, kad visos vertės x n, kurio n>N, tenkina nelygybę

Užrašykite taip: arba x n → a.

Nelygybė (6.1) lygi dvigubai nelygybei

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, pradedant nuo kažkokio skaičiaus n>N, yra intervalo viduje (a-ε , a+ε), t.y. patenka į bet kurią mažą taško ε kaimynystę A.

Vadinama seka, turinti ribą susiliejantis, kitaip - skiriasi.

Funkcijos ribos sąvoka yra sekos ribos sampratos apibendrinimas, nes sekos riba gali būti laikoma sveikojo skaičiaus argumento funkcijos x n = f(n) riba. n.

Tegu duota funkcija f(x) ir tegul a - ribinis taškasšios funkcijos apibrėžimo sritis D(f), t.y. toks taškas, kurio bet kurioje kaimynystėje yra aibės D(f) taškai, išskyrus a. Taškas a gali priklausyti arba nepriklausyti aibei D(f).

1 apibrėžimas. Vadinamas pastovus skaičius A riba funkcijas f(x) adresu x → a, jei bet kuriai argumentų reikšmių sekai (x n ) linkusi A, atitinkamos sekos (f(x n)) turi tą pačią ribą A.

Šis apibrėžimas vadinamas funkcijos ribos nustatymas pagal Heine, arba " sekos kalba”.

2 apibrėžimas. Vadinamas pastovus skaičius A riba funkcijas f(x) adresu x→a, jei duotas savavališkas, savavališkai mažas teigiamas skaičius ε, galima rasti tokį δ >0 (priklausomai nuo ε), kad visiems x, esantis skaičiaus ε kaimynystėje A, t.y. Dėl x, tenkinantis nelygybę
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Šis apibrėžimas vadinamas apibrėžiant funkcijos ribą pagal Koši, arba „kalboje ε - δ"

1 ir 2 apibrėžimai yra lygiaverčiai. Jei funkcija f(x) kaip x → a turi riba, lygus A, tai parašyta forma

Tuo atveju, jei seka (f(x n)) didėja (arba mažėja) be jokių aproksimavimo metodų apribojimų x iki jūsų ribos A, tada sakysime, kad funkcija f(x) turi begalinė riba, ir parašykite į formą:

Iškviečiamas kintamasis (t.y. seka arba funkcija), kurio riba lygi nuliui be galo mažas.

Vadinamas kintamasis, kurio riba lygi begalybei be galo didelis.

Norint praktiškai rasti ribą, naudojamos šios teoremos.

1 teorema . Jei yra kiekviena riba

(6.4)

(6.5)

(6.6)

komentuoti. Formos 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ išraiškos yra neapibrėžtos, pavyzdžiui, dviejų be galo mažų arba be galo didelių dydžių santykis, o tokio tipo ribos radimas vadinamas „neapibrėžtumo atskleidimu“.

2 teorema.

tie. galima pereiti prie ribos pagal galią su pastoviu eksponentu, ypač

3 teorema.

(6.11)

Kur e» 2,7 - natūraliojo logaritmo bazė. Formulės (6.10) ir (6.11) vadinamos pirmąja žymia riba ir antrąja žymia riba.

Praktikoje taip pat naudojamos formulės (6.11) pasekmės:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

ypač riba,

Jei x → a ir tuo pačiu metu x > a, tai parašykite x →a + 0. Jei konkrečiai a = 0, tai vietoj simbolio 0+0 parašykite +0. Panašiai, jei x→a ir tuo pačiu x ir atitinkamai vadinami teisinga riba Ir kairioji riba funkcijas f(x) taške A. Kad būtų funkcijos f(x) riba kaip x→ a, būtina ir pakanka to . Iškviečiama funkcija f(x). tęstinis taške x 0, jei riba

(6.15)

Sąlyga (6.15) gali būti perrašyta taip:

tai yra, perėjimas į ribą po funkcijos ženklu yra įmanomas, jei ji yra ištisinė tam tikrame taške.

Jei lygybė (6.15) pažeidžiama, tai ir sakome adresu x = x o funkcija f(x) Tai turi tarpas Apsvarstykite funkciją y = 1/x. Šios funkcijos apibrėžimo sritis yra aibė R, išskyrus x = 0. Taškas x = 0 yra aibės D(f) ribinis taškas, nes bet kurioje jos kaimynystėje, t.y. bet kuriame atvirame intervale, kuriame yra taškas 0, yra taškų iš D(f), bet jis pats nepriklauso šiai aibei. Reikšmė f(x o)= f(0) neapibrėžta, todėl taške x o = 0 funkcija turi netolydumą.

Iškviečiama funkcija f(x). ištisinis dešinėje taške x o jei riba

Ir ištisinis kairėje taške x o, jei riba

Funkcijos tęstinumas taške xo yra lygiavertis jo tęstinumui šioje vietoje tiek dešinėje, tiek kairėje.

Kad funkcija taške būtų ištisinė xo, pavyzdžiui, dešinėje, pirma, būtina, kad būtų baigtinė riba, ir, antra, kad ši riba būtų lygi f(x o). Todėl, jei neįvykdoma bent viena iš šių dviejų sąlygų, funkcija nepertraukiama.

1. Jei riba egzistuoja ir nėra lygi f(x o), tai jie taip sako funkcija f(x) taške x o turi pirmosios rūšies plyšimas, arba šuolis.

2. Jei riba yra +∞ arba -∞ arba jos nėra, tada jie sako, kad in tašką xo funkcija turi pertrūkį antra rūšis.

Pavyzdžiui, funkcija y = ctg x kaip x → +0 turi ribą, lygią +∞, o tai reiškia, kad taške x=0 ji turi antrojo tipo netolydumą. Funkcija y = E(x) (sveikasis skaičius x) taškuose, kuriuose yra visos abscisės, yra pirmos rūšies nutrūkimų arba šuolių.

Funkcija, kuri yra ištisinė kiekviename intervalo taške, vadinama tęstinis V . Ištisinė funkcija pavaizduota vientisa kreive.

Daugelis problemų, susijusių su nuolatiniu tam tikro kiekio augimu, veda prie antrosios nepaprastos ribos. Tokie uždaviniai, pavyzdžiui, apima: indėlių augimą pagal sudėtinių palūkanų dėsnį, šalies gyventojų skaičiaus augimą, radioaktyviųjų medžiagų irimą, bakterijų dauginimąsi ir kt.

Pasvarstykime Ya. I. Perelman pavyzdys, pateikiant skaičiaus interpretaciją e sudėtinių palūkanų problema. Skaičius e yra riba . Taupomosiose kasose prie pagrindinio kapitalo kasmet pridedami palūkanų pinigai. Jei prisijungiama dažniau, kapitalas auga greičiau, nes formuojant palūkanas įtraukiama didesnė suma. Paimkime grynai teorinį, labai supaprastintą pavyzdį. Tegul įneša į banką 100 denų. vienetų remiantis 100% per metus. Jei palūkanų pinigai prie pagrindinio kapitalo pridedami tik po metų, tai iki šio laikotarpio 100 den. vienetų pavirs į 200 piniginių vienetų. Dabar pažiūrėkime, į ką pavirs 100 denizų. vienetų, jei kas šešis mėnesius prie pagrindinio kapitalo pridedami palūkanų pinigai. Po šešių mėnesių 100 den. vienetų padidės 100 × 1,5 = 150, o dar po šešių mėnesių - 150 × 1,5 = 225 (den. vnt.). Jeigu prisijungiama kas 1/3 metų, tai po metų 100 den. vienetų pavirs į 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (den. vnt.). Palūkanų pinigų pridėjimo terminus padidinsime iki 0,1 metų, iki 0,01 metų, iki 0,001 metų ir kt. Tada iš 100 den. vienetų po metų bus:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. vienetai),

100 × (1 + 1/100) 100 ≈ 270 (den. vienetai),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. vienetai).

Neribotai sumažinus palūkanų pridėjimo terminus, sukauptas kapitalas neauga neribotą laiką, o artėja prie tam tikros ribos, lygios maždaug 271. 100% per metus deponuojamas kapitalas negali padidėti daugiau nei 2,71 karto, net jei sukauptos palūkanos buvo pridedami prie sostinės kas sekundę, nes limitas

3.1 pavyzdys. Naudodamiesi skaičių sekos ribos apibrėžimu, įrodykite, kad sekos x n =(n-1)/n riba yra lygi 1.

Sprendimas. Turime įrodyti, kad nesvarbu, kokį ε > 0 imtume, jam yra natūralusis skaičius N, kad visiems n > N nelygybė |x n -1|< ε

Paimkite bet kurį ε > 0. Kadangi x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, tai norint rasti N pakanka išspręsti nelygybę 1/n<ε. Отсюда n>1/ε ir todėl N gali būti laikoma sveikąja 1/ε N = E(1/ε) dalimi. Taip įrodėme, kad riba .

3.2 pavyzdys. Raskite sekos ribą, nurodytą bendruoju terminu .

Sprendimas. Taikykime sumos teoremos ribą ir raskime kiekvieno nario ribą. Kaip n → ∞, kiekvieno nario skaitiklis ir vardiklis yra linkę į begalybę, ir mes negalime tiesiogiai taikyti koeficiento ribos teoremos. Todėl pirmiausia transformuojame x n, padalijus pirmojo nario skaitiklį ir vardiklį iš n 2, o antrasis įjungtas n. Tada, taikydami koeficiento ribą ir sumos teoremos ribą, randame:

3.3 pavyzdys. . Rasti.

Sprendimas.

Čia panaudojome laipsnio ribos teoremą: laipsnio riba lygi pagrindo ribos laipsniui.

3.4 pavyzdys. Rasti ( ).

Sprendimas. Neįmanoma taikyti skirtumo ribos teoremos, nes turime ∞-∞ formos neapibrėžtį. Transformuokime bendrojo termino formulę:

3.5 pavyzdys. Pateikta funkcija f(x)=2 1/x. Įrodykite, kad nėra ribų.

Sprendimas. Naudokime funkcijos ribos apibrėžimą 1 per seką. Paimkime seką ( x n ), konverguojančią į 0, t.y. Parodykime, kad reikšmė f(x n)= skirtingoms sekoms elgiasi skirtingai. Tegu x n = 1/n. Aišku, tada riba Dabar pasirinkime kaip x n seka su bendru terminu x n = -1/n, taip pat linkusi į nulį. Todėl ribų nėra.

3.6 pavyzdys. Įrodykite, kad nėra ribų.

Sprendimas. Tegu x 1 , x 2 ,..., x n ,... yra seka, kuriai
. Kaip seka (f(x n)) = (sin x n) veikia skirtingais x n → ∞

Jei x n = p n, tai sin x n = nuodėmė (p n) = 0 visiems n ir riba Jei
x n =2 p n+ p /2, tada sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 visiems n ir todėl riba. Taigi jis neegzistuoja.

Šiandien klasėje apžvelgsime griežta seka Ir griežtas funkcijos ribos apibrėžimas, taip pat išmokti spręsti aktualias teorinio pobūdžio problemas. Straipsnis pirmiausia skirtas gamtos mokslų ir inžinerinių specialybių pirmakursiams, pradėjusiems studijuoti matematinės analizės teoriją ir susidūrusiems su sunkumais suvokiant šią aukštosios matematikos skyrių. Be to, medžiaga yra gana prieinama aukštųjų mokyklų studentams.

Per svetainės gyvavimo metus gavau keliolika laiškų maždaug tokio turinio: „Nelabai suprantu matematinės analizės, ką daryti?“, „Visiškai nesuprantu matematikos, aš galvoju mesti studijas“ ir kt. Ir iš tiesų, būtent matanas dažnai išretina studentų grupę po pirmo užsiėmimo. Kodėl taip yra? Nes tema yra neįsivaizduojamai sudėtinga? Visai ne! Matematinės analizės teorija nėra tokia sudėtinga, kaip savotiška. Ir reikia priimti ir mylėti ją tokią, kokia ji yra =)

Pradėkime nuo sunkiausio atvejo. Pirmas ir svarbiausias dalykas yra tai, kad jums nereikėtų mesti studijų. Suprask teisingai, mesti gali visada;-) Aišku, jei po metų ar dvejų pykina nuo pasirinktos specialybės, tai taip, reiktų pagalvoti (ir nepyk!) apie veiklos pasikeitimą. Bet kol kas verta tęsti. Ir prašau pamiršti frazę „aš nieko nesuprantu“ – taip neatsitinka, kad VISAI nieko nesupranti.

Ką daryti, jei teorija bloga? Tai, beje, taikoma ne tik matematinei analizei. Jei teorija bloga, tai pirmiausia reikia RIMTAI susikoncentruoti į praktiką. Šiuo atveju iš karto išsprendžiamos dvi strateginės užduotys:

– Pirma, nemaža dalis teorinių žinių atsirado per praktiką. Ir todėl daugelis žmonių teoriją supranta per... – tai tiesa! Ne, ne, tu apie tai negalvoji =)

– Ir, antra, praktiniai įgūdžiai greičiausiai „ištrauks“ per egzaminą, net jei... bet taip nesijaudinkime! Viskas yra tikra ir viską galima „pakelti“ per gana trumpą laiką. Matematinė analizė yra mano mėgstamiausia aukštosios matematikos dalis, todėl aš tiesiog negalėjau ištiesti jums pagalbos rankos:

I semestro pradžioje dažniausiai aprėpiamos sekos ribos ir funkcijų ribos. Nesuprantate, kas tai yra, ir nežinote, kaip jas išspręsti? Pradėkite nuo straipsnio Funkcijų ribos, kuriame „ant pirštų“ nagrinėjama pati sąvoka ir analizuojami paprasčiausi pavyzdžiai. Tada atlikite kitas pamokas šia tema, įskaitant pamoką apie sekų viduje, dėl kurio aš iš tikrųjų jau suformulavau griežtą apibrėžimą.

Kokius simbolius, be nelygybės ženklų ir modulio, žinote?

– ilga vertikali lazda skamba taip: „toks“, „toks“, „toks“ arba „toks“, mūsų atveju, aišku, mes kalbame apie skaičių - vadinasi, „toks tas“;

– visiems „en“ didesnis nei ;

– modulio ženklas reiškia atstumą, t.y. šis įrašas mums sako, kad atstumas tarp reikšmių yra mažesnis nei epsilonas.

Na, ar tai mirtinai sunku? =)

Įvaldęs praktiką, laukiu jūsų kitoje pastraipoje:

Ir iš tikrųjų, šiek tiek pagalvokime – kaip suformuluoti griežtą sekos apibrėžimą? ...Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą pasaulyje praktinė pamoka: „Sekos riba yra skaičius, prie kurio be galo artėja sekos nariai“.

Gerai, užsirašykime seka :

Nesunku tai suprasti seka priartėti prie be galo arti skaičiaus –1, ir lyginiai terminai – į „vieną“.

O gal yra dvi ribos? Bet kodėl tada jokia seka negali turėti dešimties ar dvidešimties? Šiuo keliu galite nueiti toli. Šiuo atžvilgiu logiška manyti, kad jei seka turi ribą, tada ji yra unikali.

Pastaba : seka neturi ribos, tačiau iš jos galima atskirti dvi posekes (žr. aukščiau), kurių kiekviena turi savo ribą.

Taigi pirmiau pateiktas apibrėžimas pasirodo esąs nepagrįstas. Taip, tai veikia tokiais atvejais kaip (kurį ne visai teisingai panaudojau supaprastintuose praktinių pavyzdžių paaiškinimuose), bet dabar turime rasti griežtą apibrėžimą.

Antras bandymas: „Sekos riba yra skaičius, prie kurio artėja VISI sekos nariai, išskyrus galbūt juos galutinis kiekiai." Tai arčiau tiesos, bet vis tiek nėra visiškai tikslu. Taigi, pavyzdžiui, seka pusė terminų visai nesiartina prie nulio - jie tiesiog jam lygūs =) Beje, „mirksi šviesa“ paprastai turi dvi fiksuotas reikšmes.

Išaiškinti formuluotę nesunku, bet tada iškyla kitas klausimas: kaip parašyti apibrėžimą matematiniais simboliais? Mokslo pasaulis su šia problema kovojo ilgą laiką, kol situacija buvo išspręsta garsus maestro, kuri iš esmės formalizavo klasikinę matematinę analizę visu jos griežtumu. Cauchy pasiūlė operaciją aplinka , kuris žymiai patobulino teoriją.

Apsvarstykite tam tikrą dalyką ir jo savavališkas- aplinka:

„Epsilon“ vertė visada yra teigiama, be to, turime teisę patys pasirinkti. Tarkime, kad šioje kaimynystėje yra daug narių (nebūtinai visi) tam tikra seka. Kaip užrašyti tai, kad, pavyzdžiui, dešimtas terminas yra kaimynystėje? Tegul tai yra dešinėje jo pusėje. Tada atstumas tarp taškų ir turėtų būti mažesnis nei „epsilonas“: . Tačiau jei „x dešimtoji“ yra taško „a“ kairėje, skirtumas bus neigiamas, todėl prie jo reikia pridėti ženklą modulis: .

Apibrėžimas: skaičius vadinamas sekos riba, jei bet kuriam jo apylinkes (iš anksto pasirinkta) yra natūralusis skaičius TOKS VISI didesnius skaičius turintys sekos nariai bus kaimynystėje:

Arba trumpai: jei

Kitaip tariant, kad ir kokią mažą „epsilono“ reikšmę beimtume, anksčiau ar vėliau sekos „begalinė uodega“ VISIŠKAI atsidurs šioje kaimynystėje.

Pavyzdžiui, sekos „begalinė uodega“. VISIŠKAI pateks į bet kurią savavališkai mažą taško apylinkę. Taigi ši reikšmė yra sekos riba pagal apibrėžimą. Leiskite jums priminti, kad vadinama seka, kurios riba yra nulis be galo mažas.

Reikėtų pažymėti, kad dėl sekos nebegalima sakyti „begalinė uodega“ įeis„- nariai su nelyginiais skaičiais iš tikrųjų yra lygūs nuliui ir „niekur neiti“ =) Štai kodėl apibrėžime naudojamas veiksmažodis „pasirodys“. Ir, žinoma, tokios sekos nariai taip pat „niekur nedingsta“. Beje, patikrinkite, ar skaičius yra jo riba.

Dabar parodysime, kad seka neturi ribų. Apsvarstykite, pavyzdžiui, taško kaimynystę. Visiškai aišku, kad nėra tokio skaičiaus, po kurio VISI terminai atsidurs tam tikroje kaimynystėje – nelyginiai terminai visada „iššoks“ į „minus vienas“. Dėl panašios priežasties taške nėra ribų.

Sutvirtinkime medžiagą praktika:

1 pavyzdys

Įrodykite, kad sekos riba lygi nuliui. Nurodykite skaičių, po kurio garantuojama, kad visi sekos nariai bus bet kurioje savavališkai mažoje taško kaimynystėje.

Pastaba : Daugeliui sekų reikalingas natūralusis skaičius priklauso nuo reikšmės – taigi ir žymėjimas .

Sprendimas: apsvarstykite savavališkas ar yra koks skaičius – toks, kad VISI nariai, turintys didesnį skaičių, būtų šioje kaimynystėje:

Norėdami parodyti reikiamo skaičiaus egzistavimą, išreiškiame jį per .

Kadangi bet kuriai „en“ vertei modulio ženklas gali būti pašalintas:

Mes naudojame „mokyklinius“ veiksmus su nelygybėmis, kuriuos kartojau klasėje Tiesinės nelygybės Ir Funkcijos domenas. Šiuo atveju svarbi aplinkybė yra ta, kad „epsilon“ ir „en“ yra teigiami:

Kadangi mes kalbame apie natūraliuosius skaičius kairėje, o dešinioji pusė paprastai yra trupmeninė, ją reikia suapvalinti:

Pastaba : kartais prie teisės pridedamas vienetas, kad būtų saugi, tačiau iš tikrųjų tai per daug. Santykinai kalbant, jei susilpninsime rezultatą apvalindami žemyn, artimiausias tinkamas skaičius („trys“) vis tiek patenkins pradinę nelygybę.

Dabar žiūrime į nelygybę ir prisimename, ką iš pradžių svarstėme savavališkas-kaimynystė, t.y. „epsilon“ gali būti lygus bet kas teigiamas skaičius.

Išvada: bet kurio savavališkai mažo taško kaimynystėje vertė buvo rasta . Taigi skaičius pagal apibrėžimą yra sekos riba. Q.E.D.

Beje, iš gauto rezultato aiškiai matomas natūralus modelis: kuo mažesnė kaimynystė, tuo didesnis skaičius, po kurio VISIE sekos nariai bus šioje kaimynystėje. Bet kad ir koks mažas būtų „epsilonas“, viduje visada bus „begalinė uodega“, o išorėje – net jei ji didelė, tačiau galutinis narių skaičius.

Kokie įspūdžiai? =) Sutinku, kad tai šiek tiek keista. Bet griežtai! Perskaitykite dar kartą ir dar kartą viską pagalvokite.

Pažvelkime į panašų pavyzdį ir susipažinkime su kitais techniniais metodais:

2 pavyzdys

Sprendimas: pagal sekos apibrėžimą būtina tai įrodyti (Pasakyk tai garsiai!!!).

Pasvarstykime savavališkas- punkto ir čekio kaimynystė, ar jis egzistuoja natūralusis skaičius – toks, kad visiems didesniems skaičiams galiotų ši nelygybė:

Norėdami parodyti tokio egzistavimą, turite išreikšti „en“ per „epsilon“. Supaprastiname išraišką po modulio ženklu:

Modulis sunaikina minuso ženklą:

Bet kurio „en“ vardiklis yra teigiamas, todėl lazdeles galima nuimti:

Maišyti:

Dabar reikia išgauti kvadratinę šaknį, bet svarbiausia yra tai, kad kai kuriems „epsilonams“ dešinė pusė bus neigiama. Norėdami išvengti šios bėdos sustiprinkime nelygybė pagal modulį:

Kodėl tai galima padaryti? Jei, santykinai tariant, paaiškės, kad , tada sąlyga taip pat bus įvykdyta. Modulis gali tik padidinti norėjau numerio, ir mums tiks! Grubiai tariant, jei tinka šimtasis, tai tinka ir du šimtasis! Pagal apibrėžimą reikia parodyti pats skaičiaus egzistavimo faktas(bent jau kai kurie), po kurio visi sekos nariai bus kaimynystėje. Beje, dėl to mes nebijome galutinio dešinės pusės apvalinimo į viršų.

Šaknies ištraukimas:

Ir suapvalinti rezultatą:

Išvada: nes reikšmė "epsilon" buvo pasirinkta savavališkai, tada bet kuriai savavališkai mažai taško apylinkei buvo rasta reikšmė , kad visiems didesniems skaičiams galiotų nelygybė . Taigi, a-prior. Q.E.D.

as patariu ypač nelygybių stiprėjimo ir silpnėjimo supratimas yra tipiškas ir labai paplitęs matematinės analizės metodas. Vienintelis dalykas, kurį reikia stebėti, yra vieno ar kito veiksmo teisingumas. Taigi, pavyzdžiui, nelygybė jokiomis aplinkybėmis tai neįmanoma atlaisvinti, atimant, tarkime, vieną:

Vėlgi, sąlyginai: jei skaičius tinka tiksliai, tai ankstesnis gali nebetikti.

Šis nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

3 pavyzdys

Naudodamiesi sekos apibrėžimu, įrodykite tai

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Jei seka be galo didelis, tada ribos apibrėžimas formuluojamas panašiai: taškas vadinamas sekos riba, jei kuriai nors, kokio dydžio norite skaičius, yra toks skaičius, kad visų didesnių skaičių nelygybė bus patenkinta. Skambina numeriu taško „plius begalybė“ kaimynystė:

Kitaip tariant, nesvarbu, kokią reikšmę imtume, sekos „begalinė uodega“ būtinai pateks į taško kaimynystę, o kairėje paliks tik baigtinį skaičių terminų.

Standartinis pavyzdys:

Ir sutrumpintas žymėjimas: , jei

Šiuo atveju apibrėžimą užsirašykite patys. Teisinga versija yra pamokos pabaigoje.

Kai išsiaiškinsite praktinius pavyzdžius ir išsiaiškinsite sekos ribos apibrėžimą, galite kreiptis į skaičiavimo literatūrą ir (arba) savo paskaitų sąsiuvinį. Rekomenduoju atsisiųsti Bohan 1 tomą (paprasčiau – neakivaizdiniams studentams) ir Fichtenholtzas (išsamiau ir išsamiau). Tarp kitų autorių rekomenduoju Piskunovą, kurio kursas skirtas technikos universitetams.

Stenkitės sąžiningai išstudijuoti teoremas, susijusias su sekos riba, jų įrodymais, pasekmėmis. Iš pradžių teorija gali atrodyti „debesuota“, tačiau tai normalu – tereikia prie jos priprasti. Ir daugelis net paragaus!

Griežtas funkcijos ribos apibrėžimas

Pradėkime nuo to paties – kaip suformuluoti šią sąvoką? Žodinis funkcijos ribos apibrėžimas suformuluotas daug paprasčiau: „skaičius yra funkcijos riba, jei su „x“ linkęs į (ir kairėje, ir dešinėje), atitinkamos funkcijos reikšmės linkusios » (žr. piešinį). Atrodo, kad viskas yra normalu, bet žodžiai yra žodžiai, prasmė yra prasmė, piktograma yra piktograma, o griežtų matematinių užrašų nėra pakankamai. O antroje pastraipoje susipažinsime su dviem šios problemos sprendimo būdais.

Tegul funkcija yra apibrėžta tam tikru intervalu, išskyrus tašką. Mokomojoje literatūroje visuotinai priimta, kad funkcija ten Ne apibrėžta:

Šis pasirinkimas pabrėžia funkcijos ribos esmė: "x" be galo arti požiūriai , o atitinkamos funkcijos reikšmės yra be galo artiĮ . Kitaip tariant, ribos sąvoka nereiškia „tikslaus požiūrio“ į taškus, o būtent be galo artima aproksimacija, nesvarbu, ar funkcija apibrėžta taške, ar ne.

Nenuostabu, kad pirmasis funkcijos ribos apibrėžimas suformuluotas naudojant dvi sekas. Pirma, sąvokos yra susijusios, ir, antra, funkcijų ribos dažniausiai tiriamos po sekų ribos.

Apsvarstykite seką taškų (ne ant brėžinio), priklausantis intervalui ir skiriasi nuo, kuris susiliejaĮ . Tada atitinkamos funkcijos reikšmės taip pat sudaro skaitinę seką, kurios nariai yra ordinačių ašyje.

Funkcijos riba pagal Heine bet kuriam taškų sekos (priklauso ir skiriasi nuo), kuri susilieja į tašką , atitinkama funkcijos reikšmių seka suartėja į .

Eduardas Heine yra vokiečių matematikas. ...Ir nereikia nieko panašaus galvoti, Europoje yra tik vienas gėjus - Gay-Lussac =)

Buvo sukurtas antrasis ribos apibrėžimas... taip, taip, tu teisus. Bet pirmiausia supraskime jo dizainą. Apsvarstykite savavališką taško kaimynystę („juodasis“ rajonas). Remiantis ankstesne pastraipa, įrašas reiškia, kad kažkokia vertybė funkcija yra „epsilon“ kaimynystėje.

Dabar randame -apylinkę, kuri atitinka nurodytą -kaimynystę (protiškai nubrėžkite juodas punktyrines linijas iš kairės į dešinę ir iš viršaus į apačią). Atminkite, kad pasirinkta vertė išilgai mažesnio segmento ilgio, šiuo atveju - išilgai trumpesnio kairiojo segmento ilgio. Be to, taško „avietinė“ kaimynystė gali būti netgi sumažinta, nes toliau pateiktame apibrėžime svarbus pats egzistavimo faktasši apylinkė. Be to, žymėjimas reiškia, kad tam tikra reikšmė yra „deltos“ kaimynystėje.

Cauchy funkcijos riba: skaičius vadinamas funkcijos riba taške if bet kuriam iš anksto pasirinkta kaimynystėje (tokio mažo, kiek norite), egzistuoja- taško kaimynystė, TOKS, kad: KAIP TIK vertybės (priklauso)įtraukta į šią sritį: (raudonos rodyklės)– TAIGI IŠ KARTOJI atitinkamos funkcijų reikšmės pateks į kaimynystę: (mėlynos rodyklės).

Turiu jus perspėti, kad aiškumo dėlei aš šiek tiek improvizavau, todėl nenaudokite per daug =)

Trumpas įrašas: , jei

Kokia yra apibrėžimo esmė? Vaizdžiai tariant, be galo mažindami kaimynystę, „palydime“ funkcijų reikšmes iki ribos, nepalikdami joms alternatyvos priartėti kur nors kitur. Gana neįprasta, bet vėl griežta! Norėdami visiškai suprasti mintį, dar kartą perskaitykite formuluotę.

! Dėmesio: jei reikia tik suformuluoti Heine apibrėžimas arba tiesiog Koši apibrėžimas prašome nepamiršti reikšmingas preliminarūs komentarai: "Apsvarstykite funkciją, kuri yra apibrėžta tam tikru intervalu, išskyrus tašką". Kartą tai sakiau pačioje pradžioje ir nekartodavau kiekvieną kartą.

Pagal atitinkamą matematinės analizės teoremą Heine ir Cauchy apibrėžimai yra lygiaverčiai, tačiau antrasis variantas yra labiausiai žinomas (dar būtų!), kuris dar vadinamas „kalbos apribojimu“:

4 pavyzdys

Naudodamiesi ribos apibrėžimu, įrodykite tai

Sprendimas: funkcija apibrėžta visoje skaičių eilutėje, išskyrus tašką. Naudodamiesi apibrėžimu, įrodome ribos egzistavimą tam tikrame taške.

Pastaba : „deltos“ kaimynystės vertė priklauso nuo „epsilono“, taigi ir pavadinimo

Pasvarstykime savavališkas- apylinkes. Užduotis yra naudoti šią reikšmę norint patikrinti, ar ar jis egzistuoja- aplinka, TOKS, kuri iš nelygybės seka nelygybė .

Darant prielaidą, kad transformuojame paskutinę nelygybę:
(išplėtė kvadratinį trinarį)