Pengurangan pecahan biasa. Cara belajar mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda. Ringkasan: skema perhitungan umum

Artikel ini memulai studi tentang operasi dengan pecahan aljabar: kita akan membahas secara rinci operasi seperti penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar. Mari kita menganalisis skema penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar baik yang penyebutnya sama maupun berbeda. Mari pelajari cara menjumlahkan pecahan aljabar dengan polinomial dan cara mengurangkannya. Dengan menggunakan contoh spesifik, kami akan menjelaskan setiap langkah dalam mencari solusi masalah.

Yandex.RTB RA-339285-1

Operasi penjumlahan dan pengurangan dengan penyebut yang sama

Skema penjumlahan pecahan biasa juga berlaku untuk pecahan aljabar. Kita tahu bahwa saat menjumlahkan atau mengurangkan pecahan biasa yang penyebutnya sama, pembilangnya harus dijumlahkan atau dikurangi, tetapi penyebutnya tetap sama.

Contoh: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 dan 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

Oleh karena itu, aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar yang penyebutnya sama ditulis dengan cara yang sama:

Definisi 1

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan aljabar yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan atau mengurangkan masing-masing pembilang pecahan aslinya, dan menuliskan penyebutnya tanpa perubahan.

Aturan ini memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa hasil penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar adalah pecahan aljabar baru (dalam kasus tertentu: polinomial, monomial, atau bilangan).

Mari kita tunjukkan contoh penerapan aturan yang dirumuskan.

Contoh 1

Pecahan aljabar yang diberikan adalah: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 dan 3 - x · y x 2 · y - 2 . Kita perlu menambahkannya.

Larutan

Pecahan asal mempunyai penyebut yang sama. Menurut aturan, kita akan melakukan penjumlahan pembilang dari pecahan yang diberikan, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah.

Menjumlahkan polinomial yang merupakan pembilang pecahan asal, kita memperoleh: x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

Maka jumlah yang dibutuhkan akan ditulis sebagai: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

Dalam praktiknya, seperti dalam banyak kasus, penyelesaian diberikan melalui rantai persamaan, yang dengan jelas menunjukkan semua tahapan penyelesaian:

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

Menjawab: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

Hasil penjumlahan atau pengurangan dapat berupa pecahan yang dapat direduksi, dalam hal ini sebaiknya dikurangi secara optimal.

Contoh 2

Pecahan 2 · y x 2 - 4 · y 2 harus dikurangkan dari pecahan aljabar x x 2 - 4 · y 2 .

Larutan

Penyebut pecahan asal adalah sama. Mari kita lakukan operasi dengan pembilang, yaitu: kurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, lalu tulis hasilnya, biarkan penyebutnya tidak berubah:

x x 2 - 4 kamu 2 - 2 kamu x 2 - 4 kamu 2 = x - 2 kamu x 2 - 4 kamu 2

Kita melihat bahwa pecahan yang dihasilkan dapat direduksi. Mari kita kurangi dengan mengubah penyebutnya menggunakan rumus selisih kuadrat:

x - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

Menjawab: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

Dengan menggunakan prinsip yang sama, tiga atau lebih pecahan aljabar dengan penyebut yang sama dijumlahkan atau dikurangkan. Misalnya:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

Operasi penjumlahan dan pengurangan dengan penyebut berbeda

Mari kita lihat kembali skema operasi pecahan biasa: untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan biasa yang penyebutnya berbeda, Anda perlu membawanya ke penyebut yang sama, lalu menjumlahkan pecahan yang dihasilkan dengan penyebut yang sama.

Misalnya, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 atau 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

Selain itu, dengan analogi, kami merumuskan aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar dengan penyebut berbeda:

Definisi 2

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan aljabar yang penyebutnya berbeda, Anda harus:

• membawa pecahan asli ke penyebut yang sama;
• melakukan penjumlahan atau pengurangan hasil pecahan yang penyebutnya sama.

Jelas, kuncinya di sini adalah keterampilan mereduksi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama. Mari kita lihat lebih dekat.

Mengurangi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama

Untuk membawa pecahan aljabar ke penyebut yang sama, perlu dilakukan transformasi identik dari pecahan-pecahan tersebut, sehingga penyebut pecahan aslinya menjadi sama. Di sini optimal untuk menggunakan algoritma berikut untuk mereduksi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama:

• pertama kita menentukan penyebut pecahan aljabar;
• kemudian kita mencari faktor tambahan untuk setiap pecahan dengan membagi penyebutnya dengan penyebut pecahan aslinya;
• Tindakan terakhir adalah mengalikan pembilang dan penyebut pecahan aljabar tertentu dengan faktor tambahan yang sesuai.

Pecahan aljabar diberikan: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a dan a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Penting untuk membawa mereka ke kesamaan.

Larutan

Kami bertindak sesuai dengan algoritma di atas. Mari kita tentukan penyebut pecahan asal. Untuk tujuan ini, kita memfaktorkan penyebut pecahan berikut: 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2), 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) dan 4 a 5 − 16 a 3 = 4 a 3 (a − 2) (a + 2). Dari sini kita dapat menulis penyebut yang sama: 12 a 3 (a − 2) (a + 2).

Sekarang kita harus mencari faktor tambahan. Mari kita bagi, menurut algoritma, penyebut persekutuan yang ditemukan menjadi penyebut pecahan asli:

• untuk pecahan pertama: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a − 2)) = 6 · a · (a + 2) ;
• untuk pecahan kedua: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (3 · a · (a − 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
• untuk pecahan ketiga: 12 a 3 (a − 2) (a + 2) : (4 a 3 (a − 2) (a + 2)) = 3 .

Langkah selanjutnya adalah mengalikan pembilang dan penyebut pecahan tertentu dengan faktor tambahan yang ditemukan:

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a = (a + 3) 4 a 2 ( a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = (a + 1) · 3 (4 · a 5 - 16 · a 3) · 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 (a - 2) (a + 2)

Menjawab: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 3 3 · a 2 - 6 · a = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) .

Jadi, kami telah mereduksi pecahan asli menjadi penyebut yang sama. Jika perlu, Anda kemudian dapat mengubah hasil yang dihasilkan menjadi bentuk pecahan aljabar dengan mengalikan polinomial dan monomial pada pembilang dan penyebutnya.

Mari kita perjelas juga poin ini: yang terbaik adalah membiarkan penyebut yang ditemukan dalam bentuk produk jika pecahan akhir perlu dikurangi.

Kita telah mengkaji secara detail skema pengurangan pecahan aljabar awal menjadi penyebut yang sama, sekarang kita dapat mulai menganalisis contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut yang berbeda.

Contoh 4

Pecahan aljabar yang diberikan adalah: 1 - 2 x x 2 + x dan 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Penting untuk melakukan tindakan penambahan mereka.

Larutan

Pecahan asal memiliki penyebut yang berbeda, jadi langkah pertama yang harus dilakukan adalah membawanya ke penyebut yang sama. Kita faktorkan penyebutnya: x 2 + x = x · (x + 1) , dan x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) , Karena akar trinomial persegi x 2 + 3 x + 2 angka-angka tersebut adalah: - 1 dan - 2. Kami menentukan penyebut yang sama: x (x + 1) (x + 2), maka faktor tambahannya adalah: x+2 Dan -X untuk pecahan pertama dan kedua.

Jadi: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) dan 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Sekarang mari kita jumlahkan pecahan yang telah kita bawa ke penyebut yang sama:

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

Pecahan yang dihasilkan dapat dikurangi dengan faktor persekutuan x+1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

Dan terakhir, kita tuliskan hasil yang diperoleh dalam bentuk pecahan aljabar, ganti hasil kali penyebutnya dengan polinomial:

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Mari kita tuliskan solusinya secara singkat dalam bentuk rantai persamaan:

1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2 ) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Menjawab: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

Perhatikan detail ini: sebelum menjumlahkan atau mengurangkan pecahan aljabar, jika memungkinkan, disarankan untuk mengubahnya terlebih dahulu untuk menyederhanakannya.

Contoh 5

Anda perlu mengurangkan pecahan: 2 1 1 3 · x - 2 21 dan 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Larutan

Mari kita ubah pecahan aljabar asli untuk menyederhanakan penyelesaian selanjutnya. Mari kita keluarkan koefisien numerik dari variabel-variabel dalam penyebutnya:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 dan 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

Transformasi ini jelas memberi kita keuntungan: kita melihat dengan jelas adanya faktor yang sama.

Mari kita hilangkan koefisien numerik pada penyebutnya. Untuk melakukan ini, kita menggunakan sifat utama pecahan aljabar: kita mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 3 4, dan pecahan kedua dengan - 1 2, maka kita mendapatkan:

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 dan 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

Mari kita lakukan tindakan yang memungkinkan kita menghilangkan koefisien pecahan: kalikan pecahan yang dihasilkan dengan 14:

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 dan - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .

Terakhir, mari lakukan tindakan yang diperlukan dalam rumusan masalah – pengurangan:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

Menjawab: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar dan polinomial

Tindakan ini juga mencakup penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar: polinomial asli perlu direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut 1.

Contoh 6

Perlu menambahkan polinomial x 2 − 3 dengan pecahan aljabar 3 x x + 2.

Larutan

Mari kita tulis polinomial sebagai pecahan aljabar dengan penyebut 1: x 2 - 3 1

Sekarang kita dapat melakukan penjumlahan sesuai aturan penjumlahan pecahan yang penyebutnya berbeda:

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

Menjawab: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Pecahan adalah bilangan biasa yang juga dapat dijumlahkan dan dikurangkan. Namun karena bilangan bulat mempunyai penyebut, maka bilangan tersebut memerlukan aturan yang lebih rumit dibandingkan bilangan bulat.

Mari kita perhatikan kasus paling sederhana, ketika ada dua pecahan yang penyebutnya sama. Kemudian:

Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tidak berubah.

Untuk mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah.

Dalam setiap ekspresi, penyebut pecahannya sama. Berdasarkan definisi penjumlahan dan pengurangan pecahan kita peroleh:

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit: kita cukup menambah atau mengurangi pembilangnya dan selesai.

Namun bahkan dalam tindakan sederhana seperti itu, orang masih bisa melakukan kesalahan. Yang paling sering dilupakan adalah penyebutnya tidak berubah. Misalnya, ketika mereka dijumlahkan, mereka juga mulai bertambah, dan ini pada dasarnya salah.

Menghilangkan kebiasaan buruk menjumlahkan penyebut cukup sederhana. Cobalah hal yang sama saat mengurangi. Akibatnya, penyebutnya menjadi nol, dan pecahan tersebut (tiba-tiba!) kehilangan maknanya.

Oleh karena itu, ingatlah sekali dan untuk selamanya: saat menjumlahkan dan mengurangi, penyebutnya tidak berubah!

Banyak orang juga melakukan kesalahan saat menjumlahkan beberapa pecahan negatif. Ada kebingungan dengan tanda-tandanya: di mana harus memberi tanda minus dan di mana harus memberi tanda plus.

Masalah ini juga sangat mudah untuk diatasi. Perlu diingat bahwa minus sebelum tanda pecahan selalu dapat dipindahkan ke pembilangnya - dan sebaliknya. Dan tentu saja, jangan lupakan dua aturan sederhana:

1. Ditambah dengan minus menghasilkan minus;
2. Dua hal negatif menjadi afirmatif.

Mari kita lihat semua ini dengan contoh spesifik:

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Dalam kasus pertama, semuanya sederhana, tetapi dalam kasus kedua, mari tambahkan minus pada pembilang pecahan:

Apa yang harus dilakukan jika penyebutnya berbeda

Anda tidak dapat menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda secara langsung. Setidaknya, metode ini tidak saya ketahui. Namun pecahan asal selalu dapat ditulis ulang sehingga penyebutnya menjadi sama.

Ada banyak cara untuk mengkonversi pecahan. Tiga di antaranya dibahas dalam pelajaran “Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama”, jadi kami tidak akan membahasnya di sini. Mari kita lihat beberapa contoh:

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Dalam kasus pertama, kita mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama menggunakan metode “saling silang”. Yang kedua kita akan mencari NOC. Perhatikan bahwa 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Faktor terakhir pada pemuaian ini adalah sama, dan faktor pertama relatif prima. Jadi KPK(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Apa yang harus dilakukan jika pecahan mempunyai bagian bilangan bulat

Saya dapat menyenangkan Anda: penyebut pecahan yang berbeda bukanlah kejahatan terbesar. Lebih banyak kesalahan terjadi ketika seluruh bagian disorot dalam pecahan penjumlahan.

Tentu saja, terdapat algoritma penjumlahan dan pengurangan sendiri untuk pecahan tersebut, tetapi algoritma tersebut cukup rumit dan memerlukan studi yang panjang. Lebih baik gunakan diagram sederhana di bawah ini:

1. Ubah semua pecahan yang mengandung bagian bilangan bulat menjadi pecahan biasa. Kami memperoleh suku-suku normal (meskipun dengan penyebut berbeda), yang dihitung menurut aturan yang dibahas di atas;
2. Sebenarnya menghitung jumlah atau selisih pecahan yang dihasilkan. Hasilnya, secara praktis kita akan menemukan jawabannya;
3. Jika hanya ini yang diperlukan dalam soal, kami melakukan transformasi terbalik, yaitu. Kita menghilangkan pecahan biasa dengan menyorot seluruh bagiannya.

Aturan untuk berpindah ke pecahan biasa dan menyorot seluruh bagian dijelaskan secara rinci dalam pelajaran “Apa itu pecahan numerik”. Jika Anda tidak ingat, pastikan untuk mengulanginya. Contoh:

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Semuanya sederhana di sini. Penyebut dalam setiap ekspresi adalah sama, jadi yang tersisa hanyalah mengubah semua pecahan menjadi pecahan biasa dan menghitungnya. Kita punya:

Untuk menyederhanakan perhitungan, saya telah melewatkan beberapa langkah yang jelas pada contoh terakhir.

Catatan kecil tentang dua contoh terakhir, di mana pecahan dengan bagian bilangan bulat yang disorot akan dikurangi. Tanda minus sebelum pecahan kedua berarti seluruh pecahan yang dikurangi, dan bukan hanya sebagian saja.

Baca kembali kalimat ini, lihat contohnya - dan pikirkanlah. Di sinilah para pemula membuat banyak kesalahan. Mereka senang memberikan soal seperti itu dalam ujian. Anda juga akan menemukannya beberapa kali dalam tes untuk pelajaran ini, yang akan segera diterbitkan.

Ringkasan: skema perhitungan umum

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan algoritma umum yang akan membantu Anda menemukan jumlah atau selisih dua pecahan atau lebih:

1. Jika satu atau lebih pecahan mempunyai bagian bilangan bulat, ubahlah pecahan tersebut menjadi pecahan biasa;
2. Bawa semua pecahan ke penyebut yang sama dengan cara apa pun yang nyaman bagi Anda (kecuali, tentu saja, penulis soal melakukan ini);
3. Menambah atau mengurangi bilangan yang dihasilkan sesuai dengan aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya sama;
4. Jika memungkinkan, persingkat hasilnya. Jika pecahannya salah, pilih seluruh bagiannya.

Ingatlah bahwa lebih baik menyorot seluruh bagian di akhir tugas, tepat sebelum menuliskan jawabannya.

Pelajaran ini akan membahas penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar yang penyebutnya berbeda. Kita sudah mengetahui cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan biasa yang penyebutnya berbeda. Untuk melakukan ini, pecahan harus direduksi menjadi penyebut yang sama. Ternyata pecahan aljabar mengikuti aturan yang sama. Pada saat yang sama, kita sudah mengetahui cara mereduksi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama. Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda merupakan salah satu topik yang paling penting dan sulit dalam mata pelajaran kelas 8. Apalagi topik ini akan muncul di banyak topik pada mata kuliah aljabar yang akan Anda pelajari kedepannya. Sebagai bagian dari pelajaran, kita akan mempelajari aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar dengan penyebut berbeda, dan juga menganalisis sejumlah contoh umum.

Mari kita lihat contoh paling sederhana untuk pecahan biasa.

Contoh 1. Tambahkan pecahan: .

Larutan:

Mari kita ingat aturan penjumlahan pecahan. Untuk memulai, pecahan harus direduksi menjadi penyebut yang sama. Penyebut pecahan biasa adalah kelipatan persekutuan terkecil(KPK) dari penyebut aslinya.

Definisi

Bilangan asli terkecil yang habis dibagi bilangan dan .

Untuk mencari KPK, Anda perlu memfaktorkan penyebutnya menjadi faktor prima, lalu memilih semua faktor prima yang termasuk dalam perluasan kedua penyebutnya.

; . Maka KPK dari bilangan tersebut harus mencakup dua angka dua dan dua angka tiga: .

Setelah menemukan penyebut yang sama, Anda perlu mencari faktor tambahan untuk setiap pecahan (sebenarnya, bagilah penyebut yang sama dengan penyebut pecahan yang bersangkutan).

Setiap pecahan kemudian dikalikan dengan faktor tambahan yang dihasilkan. Kita mendapatkan pecahan dengan penyebut yang sama, yang kita pelajari tentang penjumlahan dan pengurangan pada pelajaran sebelumnya.

Kita mendapatkan: .

Menjawab:.

Sekarang mari kita perhatikan penjumlahan pecahan aljabar yang penyebutnya berbeda. Pertama, mari kita lihat pecahan yang penyebutnya adalah angka.

Contoh 2. Tambahkan pecahan: .

Larutan:

Algoritma solusinya sangat mirip dengan contoh sebelumnya. Sangat mudah untuk menemukan penyebut persekutuan dari pecahan-pecahan ini: dan faktor tambahan untuk masing-masing pecahan tersebut.

.

Menjawab:.

Jadi, mari kita rumuskan algoritma penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar yang penyebutnya berbeda:

1. Temukan penyebut terkecil dari pecahan.

2. Temukan faktor tambahan untuk setiap pecahan (dengan membagi penyebut yang sama dengan penyebut pecahan yang diberikan).

3. Kalikan pembilangnya dengan faktor tambahan yang bersesuaian.

4. Penjumlahan atau pengurangan pecahan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya sama.

Sekarang mari kita perhatikan contoh pecahan yang penyebutnya berisi ekspresi huruf.

Contoh 3. Tambahkan pecahan: .

Larutan:

Karena ekspresi huruf pada kedua penyebutnya sama, Anda harus mencari penyebut yang sama untuk angka-angka tersebut. Penyebut umum terakhir akan terlihat seperti: . Jadi, solusi untuk contoh ini terlihat seperti :.

Menjawab:.

Contoh 4. Kurangi pecahan: .

Larutan:

Jika Anda tidak bisa “menipu” saat memilih penyebut yang sama (Anda tidak bisa memfaktorkannya atau menggunakan rumus perkalian yang disingkat), maka Anda harus mengambil hasil kali penyebut kedua pecahan sebagai penyebut yang sama.

Menjawab:.

Secara umum, ketika menyelesaikan contoh-contoh seperti itu, tugas yang paling sulit adalah menemukan penyebut yang sama.

Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.

Contoh 5. Sederhanakan: .

Larutan:

Saat mencari penyebut yang sama, Anda harus terlebih dahulu mencoba memfaktorkan penyebut pecahan aslinya (untuk menyederhanakan penyebut yang sama).

Dalam kasus khusus ini:

Maka mudah untuk menentukan penyebutnya: .

Kami menentukan faktor tambahan dan menyelesaikan contoh ini:

Menjawab:.

Sekarang mari kita tentukan aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda.

Contoh 6. Sederhanakan: .

Larutan:

Menjawab:.

Contoh 7. Sederhanakan: .

Larutan:

.

Menjawab:.

Sekarang mari kita perhatikan contoh di mana bukan dua, tetapi tiga pecahan yang dijumlahkan (bagaimanapun juga, aturan penjumlahan dan pengurangan untuk jumlah pecahan yang lebih besar tetap sama).

Contoh 8. Sederhanakan: .

Catatan! Sebelum menulis jawaban akhir Anda, lihat apakah Anda dapat mempersingkat pecahan yang Anda terima.

Pengurangan pecahan yang penyebutnya sama, contoh:

,

,

Mengurangi pecahan biasa dari satu.

Jika suatu pecahan perlu dikurangkan dari suatu satuan yang wajar, maka satuan tersebut diubah menjadi bentuk pecahan biasa, penyebutnya sama dengan penyebut pecahan yang dikurangi tersebut.

Contoh mengurangkan pecahan biasa dari satu:

Penyebut pecahan yang akan dikurangkan = 7 , yaitu, kita menyatakan satu sebagai pecahan biasa 7/7 dan mengurangkannya sesuai dengan aturan pengurangan pecahan yang penyebutnya sama.

Mengurangi pecahan biasa dari suatu bilangan bulat.

Aturan pengurangan pecahan - benar dari bilangan bulat (bilangan asli):

• Kami mengubah pecahan tertentu yang mengandung bagian bilangan bulat menjadi pecahan biasa. Kami memperoleh suku-suku normal (tidak masalah jika penyebutnya berbeda), yang kami hitung sesuai dengan aturan yang diberikan di atas;
• Selanjutnya kita hitung selisih pecahan yang kita terima. Hasilnya, kita hampir akan menemukan jawabannya;
• Kami melakukan transformasi terbalik, yaitu, kami menghilangkan pecahan biasa - kami memilih seluruh bagian dalam pecahan.

Kurangi pecahan biasa dari bilangan bulat: nyatakan bilangan asli sebagai bilangan campuran. Itu. Kita mengambil satuan bilangan asli dan mengubahnya menjadi bentuk pecahan biasa, penyebutnya sama dengan pecahan hasil pengurangan.

Contoh pengurangan pecahan:

Dalam contoh ini, kita mengganti satu dengan pecahan biasa 7/7 dan sebagai pengganti 3, kita menuliskan bilangan campuran dan mengurangkan pecahan dari bagian pecahannya.

Pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda.

Atau, dengan kata lain, mengurangkan pecahan yang berbeda.

Aturan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda. Untuk mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda, pertama-tama pecahan tersebut harus direduksi menjadi penyebut terkecil (LCD), dan baru setelah itu, lakukan pengurangan seperti pada pecahan dengan penyebut yang sama.

Penyebut yang sama dari beberapa pecahan adalah KPK (kelipatan persekutuan terkecil) bilangan asli yang merupakan penyebut pecahan tersebut.

Perhatian! Jika pada pecahan akhir pembilang dan penyebutnya mempunyai faktor persekutuan, maka pecahan tersebut harus dikurangi. Pecahan biasa paling baik direpresentasikan sebagai pecahan campuran. Membiarkan hasil pengurangan tanpa mengurangi pecahan jika memungkinkan adalah penyelesaian contoh yang tidak lengkap!

Tata cara mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda.

• temukan KPK untuk semua penyebut;
• masukkan faktor tambahan untuk semua pecahan;
• kalikan semua pembilang dengan faktor tambahan;
• Kami menulis hasil perkalian ke dalam pembilangnya, menandatangani penyebut yang sama di bawah semua pecahan;
• kurangi pembilang pecahan, tandatangani penyebut yang sama di bawah selisihnya.

Demikian pula penjumlahan dan pengurangan pecahan dilakukan jika pembilangnya ada huruf.

Pengurangan pecahan, contoh:

Pengurangan pecahan campuran.

Pada mengurangkan pecahan campuran (angka) secara terpisah, bagian bilangan bulat dikurangi dari bagian bilangan bulat, dan bagian pecahan dikurangi dari bagian pecahan.

Opsi pertama untuk mengurangkan pecahan campuran.

Jika bagian pecahan sama penyebut dan pembilang bagian pecahan dari pengurang (kita kurangi) ≥ pembilang bagian pecahan dari pengurang (kita kurangi).

Misalnya:

Pilihan kedua untuk mengurangkan pecahan campuran.

Ketika bagian pecahan berbeda penyebut. Pertama, kita bawa bagian pecahan ke penyebut yang sama, lalu kurangi bagian bilangan bulat dari bagian bilangan bulat, dan bagian pecahan dari bagian pecahan.

Misalnya:

Pilihan ketiga untuk mengurangkan pecahan campuran.

Bagian pecahan dari minuend lebih kecil dari bagian pecahan dari pengurangnya.

Contoh:

Karena Bagian pecahan mempunyai penyebut yang berbeda-beda, artinya, seperti pada pilihan kedua, pertama-tama kita bawa pecahan biasa ke penyebut yang sama.

Pembilang bagian pecahan dari pengurangannya lebih kecil dari pembilang bagian pecahan dari pengurangnya.3 < 14. Artinya kita mengambil satuan dari seluruh bagian dan mereduksi satuan tersebut menjadi pecahan biasa yang penyebut dan pembilangnya sama. = 18.

Pada pembilang sebelah kanan kita tulis jumlah pembilangnya, kemudian kita buka tanda kurung pada pembilang sebelah kanan, yaitu kita mengalikan semuanya dan memberikan yang serupa. Kami tidak membuka tanda kurung pada penyebutnya. Merupakan kebiasaan untuk membiarkan hasil kali dalam penyebutnya. Kita mendapatkan:

Penyebut beberapa pecahan adalah KPK (kelipatan persekutuan terkecil) dari bilangan asli penyebut pecahan tersebut.

Untuk pembilang pecahan tertentu, Anda perlu menambahkan faktor tambahan yang sama dengan rasio KPK dan penyebutnya.

Pembilang pecahan tertentu dikalikan dengan faktor tambahannya, sehingga menghasilkan pembilang pecahan dengan satu penyebut yang sama. Tanda tindakan (“+” atau “-”) dalam pencatatan pecahan yang direduksi menjadi penyebut yang sama disimpan sebelum setiap pecahan. Untuk pecahan dengan penyebut yang sama, tanda tindakan dipertahankan sebelum setiap pembilang yang dikurangi.

Hanya sekarang Anda dapat menjumlahkan atau mengurangi pembilang dan menandatangani penyebut yang sama di bawah hasilnya.

Perhatian! Jika pada pecahan yang dihasilkan pembilang dan penyebutnya mempunyai faktor persekutuan, maka pecahan tersebut harus dikurangi. Sebaiknya pecahan biasa diubah menjadi pecahan campuran. Membiarkan hasil penjumlahan atau pengurangan tanpa menghilangkan pecahan jika memungkinkan adalah penyelesaian contoh yang tidak lengkap!

Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda. Aturan. Ke menjumlahkan atau mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda, Anda harus menguranginya terlebih dahulu ke penyebut terkecil, lalu melakukan penjumlahan atau pengurangan seperti pecahan dengan penyebut yang sama.

Tata cara penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda

1. temukan KPK dari semua penyebut;
2. tambahkan faktor tambahan ke setiap pecahan;
3. kalikan setiap pembilang dengan faktor tambahan;
4. ambil hasil perkalian sebagai pembilang, tanda tangani penyebut yang sama di bawah setiap pecahan;
5. menjumlahkan atau mengurangi pembilang pecahan dengan menandatangani penyebut yang sama di bawah jumlah atau selisihnya.

Pecahan juga dapat dijumlahkan dan dikurangkan jika pembilangnya terdapat huruf.