متغير عشوائي موزع بشكل موحد. توزيع مستمر موحد في EXCEL. خصائص التوزيع الموحدة

من الناحية العملية ، هناك متغيرات عشوائية يُعرف عنها مسبقًا أنها يمكن أن تأخذ أي قيمة ضمن حدود محددة بدقة ، وضمن هذه الحدود ، فإن جميع قيم المتغير العشوائي لها نفس الاحتمال (لها نفس كثافة الاحتمال).

على سبيل المثال ، إذا تعطلت ساعة ما ، فسيظهر عقرب الدقائق المتوقف باحتمالية متساوية (كثافة الاحتمال) الوقت المنقضي من بداية الساعة المحددة إلى كسر الساعة. هذا الوقت هو متغير عشوائي يأخذ قيمًا بنفس كثافة الاحتمال التي لا تتجاوز الحدود المحددة بمدة ساعة واحدة. ينتمي خطأ التقريب أيضًا إلى هذه المتغيرات العشوائية. يقال إن هذه الكميات موزعة بشكل موحد ، أي أن لها توزيعًا موحدًا.

تعريف. المتغير العشوائي المستمر X له توزيع موحد على الفترة[أ ، في], إذا كانت كثافة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي ثابتة في هذا الجزء ، أي إذا كانت دالة التوزيع التفاضلي و (خ) لديه الشكل التالي:

يسمى هذا التوزيع أحيانًا قانون الكثافة الموحدة. بالنسبة للكمية التي لها توزيع موحد على جزء معين ، سنقول إنها موزعة بشكل موحد على هذا الجزء.

أوجد قيمة الثابت ج. حيث أن المنطقة يحدها منحنى التوزيع والمحور أوه،يساوي 1 ، إذن

أين مع=1/(ب-أ).

الآن الوظيفة و (خ)يمكن تمثيلها كـ

لنقم ببناء دالة التوزيع F (x ), التي نجد التعبير عنها F (x) على الفاصل الزمني [ أ ، ب]:

تبدو الرسوم البيانية للوظائف f (x) و F (x) كما يلي:

دعونا نجد الخصائص العددية.

باستخدام معادلة حساب التوقع الرياضي لولاية نيو ساوث ويلز ، لدينا:

وبالتالي ، فإن التوقع الرياضي لمتغير عشوائي موزع بشكل موحد على الفاصل الزمني [أ ، ب] يتزامن مع منتصف هذا الجزء.

أوجد تباين متغير عشوائي موزع بشكل منتظم:

الذي يتبعه على الفور الانحراف المعياري:

دعونا الآن نجد احتمال أن قيمة متغير عشوائي مع توزيع منتظم تقع في الفترة(أ ، ب) ، تنتمي بالكامل إلى المقطع [أ،ب ]:

خدمة الإنترنت:

كما ذكرنا سابقًا ، أمثلة على التوزيعات الاحتمالية متغير عشوائي مستمر X هي:

• توزيع احتمالي موحد لمتغير عشوائي مستمر ؛
• التوزيع الاحتمالي الأسي لمتغير عشوائي مستمر ؛
• التوزيع الطبيعي احتمالات المتغير العشوائي المستمر.

دعونا نعطي مفهوم قوانين التوزيع الموحد والأسي ، وصيغ الاحتمالات والخصائص العددية للوظائف المدروسة.

فِهرِس	قانون التوزيع العشوائي	القانون الأسي للتوزيع
تعريف	موحد يسمى التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر X ، الذي تظل كثافته ثابتة على الفاصل الزمني وله الشكل	الأسي (الأسي) يسمى التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر X ، والذي يوصف بكثافة لها الشكل
		حيث λ هي قيمة موجبة ثابتة
دالة التوزيع
احتمالا ضرب الفاصل
القيمة المتوقعة
تشتت
الانحراف المعياري

أمثلة على حل المشكلات المتعلقة بموضوع "قوانين التوزيع الموحدة والأسية"

مهمة 1.

تعمل الحافلات بشكل صارم وفقًا للجدول الزمني. الفاصل الزمني للحركة 7 دقائق. أوجد: (أ) احتمال أن ينتظر الراكب القادم الحافلة التالية لأقل من دقيقتين ؛ ب) احتمالية أن الراكب الذي يقترب من المحطة سينتظر الحافلة التالية لمدة ثلاث دقائق على الأقل ؛ ج) التوقع الرياضي والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X - وقت انتظار الراكب.

المحلول. 1. حسب حالة المشكلة ، متغير عشوائي مستمر X = (وقت انتظار الركاب) وزعت بالتساوي بين وصول حافلتين. طول فترة التوزيع للمتغير العشوائي X يساوي b-a = 7 ، حيث a = 0 ، b = 7.

2. سيكون وقت الانتظار أقل من دقيقتين إذا كانت القيمة العشوائية X تقع ضمن الفترة الزمنية (5 ؛ 7). تم العثور على احتمال الوقوع في فترة زمنية معينة من خلال الصيغة: ص (× 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
ص (5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. سيكون وقت الانتظار ثلاث دقائق على الأقل (أي من ثلاث إلى سبع دقائق) إذا كانت القيمة العشوائية X تقع في الفترة الزمنية (0 ؛ 4). تم العثور على احتمال الوقوع في فترة زمنية معينة من خلال الصيغة: ص (× 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
ص (0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي مستمر ومتجانس التوزيع X - وقت انتظار الراكب ، الذي نجده بالصيغة: م (س) = (أ + ب) / 2. M (X) \ u003d (0 + 7) / 2 \ u003d 7/2 \ u003d 3.5.

5. الانحراف المعياري للمتغير العشوائي المستمر الموزع بشكل موحد X - وقت انتظار الراكب ، نجدها بالصيغة: σ (X) = D = (ب-أ) / 2√3. σ (X) = (7-0) /2√3=7/2√3≈2.02.

المهمة 2.

التوزيع الأسي مُعطى لـ x ≥ 0 بالكثافة f (x) = 5e - 5x. مطلوب: أ) كتابة تعبير لوظيفة التوزيع ؛ ب) أوجد الاحتمال ، نتيجة للاختبار ، أن X تقع في الفترة (1 ؛ 4) ؛ ج) أوجد الاحتمال نتيجة للاختبار X ≥ 2 ؛ د) احسب M (X) ، D (X) ، σ (X).

المحلول. 1. منذ ذلك الحين ، حسب الشرط ، التوزيع الأسي ، ثم من صيغة كثافة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X نحصل على λ = 5. ثم ستبدو دالة التوزيع كما يلي:

2. احتمال وقوع نتيجة للاختبار X في الفاصل الزمني (1 ؛ 4) بواسطة الصيغة:
ص (أ< X < b) = e −λa − e −λb .
ص (1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. الاحتمال نتيجة للاختبار X ≥ 2 سيتم إيجاده بواسطة الصيغة: P (a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р (Х≥2) = P (1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. نجد للتوزيع الأسي:

• التوقع الرياضي وفقًا للصيغة M (X) = 1 / λ = 1/5 = 0.2 ؛
• التشتت وفقًا للصيغة D (X) \ u003d 1 / λ 2 \ u003d 1/25 = 0.04 ؛
• الانحراف المعياري وفقًا للصيغة σ (X) = 1 / λ = 1/5 = 1.2.

أذكر تعريف كثافة الاحتمال.

نقدم الآن مفهوم التوزيع الاحتمالي الموحد:

التعريف 2

يسمى التوزيع المنتظم إذا كانت كثافة التوزيع ثابتة في فترة زمنية تحتوي على جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي ، أي:

الصورة 1.

أوجد قيمة الثابت $ \ C $ باستخدام خاصية كثافة التوزيع التالية: $ \ int \ limits ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (\ varphi \ left (x \ right) dx) = 1 $

\ [\ int \ limits ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (\ varphi \ left (x \ right) dx) = \ int \ limits ^ a _ (- \ infty) (0dx) + \ int \ limits ^ b_a (Cdx) + \ int \ limits ^ (+ \ infty) _b (0dx) = 0 + Cb-Ca + 0 = C (b-a) \] \ \

وبالتالي ، فإن دالة كثافة التوزيع المنتظمة لها الشكل:

الشكل 2.

الرسم البياني له الشكل التالي (الشكل 1):

الشكل 3. كثافة التوزيع الاحتمالي الموحد

دالة توزيع احتمالية موحدة

دعونا الآن نجد دالة التوزيع لتوزيع موحد.

للقيام بذلك ، سنستخدم الصيغة التالية: $ F \ left (x \ right) = \ int \ limits ^ x _ (- \ infty) (\ varphi (x) dx) $

1. بالنسبة إلى $ x ≤ a $ ، وفقًا للصيغة ، نحصل على:

1. مقابل $ أ

1. بالنسبة إلى $ x> 2 $ ، وفقًا للصيغة ، نحصل على:

وبالتالي ، فإن دالة التوزيع لها الشكل:

الشكل 4

الرسم البياني له الشكل التالي (الشكل 2):

الشكل 5. دالة توزيع احتمالية موحدة.

احتمال وقوع متغير عشوائي في الفاصل الزمني $ ((\ mathbf \ alpha)، (\ mathbf \ beta)) $ تحت توزيع احتمالي موحد

لإيجاد احتمال وقوع متغير عشوائي في الفترة $ (\ alpha، \ beta) $ مع توزيع احتمالي موحد ، سنستخدم الصيغة التالية:

القيمة المتوقعة:

الانحراف المعياري:

أمثلة على حل المشكلة من أجل توزيع موحد للاحتمالات

مثال 1

الفترة الفاصلة بين حافلات الترولي باص هي 9 دقائق.

قم بتجميع دالة التوزيع وكثافة التوزيع للمتغير العشوائي $ X $ لانتظار ركاب حافلة الترولي.

أوجد احتمال أن الراكب سينتظر الترولي باص في أقل من ثلاث دقائق.

أوجد احتمال انتظار الراكب لعربة الترولي باص خلال 4 دقائق على الأقل.

أوجد التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري

1. بما أن المتغير العشوائي المستمر $ X $ لانتظار عربة الترولي يتم توزيعه بشكل موحد ، فإن $ a = 0 ، \ b = 9 $.

وبالتالي ، فإن كثافة التوزيع ، وفقًا لصيغة دالة الكثافة لتوزيع احتمالي موحد ، لها الشكل:

الشكل 6

وفقًا لصيغة دالة التوزيع الاحتمالي الموحد ، في حالتنا ، يكون لدالة التوزيع الشكل:

الشكل 7

1. يمكن إعادة صياغة هذا السؤال على النحو التالي: أوجد احتمال وقوع متغير عشوائي لتوزيع منتظم في الفاصل الزمني $ \ left (6،9 \ right). $

نحن نحصل:

\}