كيفية حل معادلات النقطة القصوى. كيفية إيجاد الحد الأقصى (الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط) للدالة. تقليل تعريف الوظيفة

يتم استدعاء الوظيفة y = f (x) في ازدياد (يتضاءل) في بعض الفواصل الزمنية إذا كانت لـ x 1< x 2 выполняется неравенство(f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >و (x2)).

إذا زادت دالة قابلة للتفاضل y = f (x) على مقطع ما (تنقص) ، فإن مشتقها في هذا المقطع f "(x)> 0 ، (f" (x)< 0).

نقطة xحولاتصل أقصى نقطة محلية (الحد الأدنى) للوظيفة f (x) إذا كان هناك منطقة مجاورة للنقطة س س، لجميع النقاط التي تكون فيها المتباينة f (x) ≤ f (x o)، (f (x) ≥f (x o)) صحيحة.

يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط النقاط القصوى، وقيم الوظيفة في هذه النقاط هي النهايات.

النقاط القصوى

الشروط اللازمة لأقصى حد. إذا كانت النقطة xحولهي نقطة قصوى للدالة f (x) ، فإما أن f "(x o) \ u003d 0 ، أو f (x o) غير موجود. تسمى هذه النقاط حرج،حيث يتم تعريف الوظيفة نفسها عند النقطة الحرجة. يجب البحث عن الحد الأقصى لوظيفة ما بين نقاطها الحرجة.

الشرط الأول الكافي.يترك xحول- نقطة حرجة. إذا كانت f "(x) عند المرور عبر نقطة xحوليغير علامة الجمع إلى ناقص ، ثم عند النقطة س سالوظيفة لها حد أقصى ، وإلا فسيكون لها حد أدنى. إذا لم يغير المشتق الإشارة عند المرور بنقطة حرجة ، فعندئذٍ عند هذه النقطة xحوللا يوجد حد أقصى.

الشرط الثاني الكافي.دع الدالة f (x) لها f "(x) في منطقة مجاورة للنقطة xحولوالمشتق الثاني f "(x 0) عند النقطة ذاتها س س. إذا كانت f "(x o) \ u003d 0 ، f" "(x 0)> 0 ، (f" "(x 0)<0), то точкаس سهي نقطة دنيا (قصوى) محلية للدالة f (x). إذا كانت f "" (x 0) = 0 ، فيجب عليك إما استخدام الشرط الأول الكافي ، أو تضمين الشرط الأعلى.

في مقطع ما ، يمكن أن تصل الوظيفة y = f (x) إلى قيمتها الدنيا أو القصوى إما في النقاط الحرجة أو في نهايات المقطع.

المثال 3.22.أوجد القيمة القصوى للدالة f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

المحلول.بما أن f "(x) \ u003d 6x 2-30x +36 \ u003d 6 (x - 2) (x - 3) ، فإن النقاط الحرجة للوظيفة x 1 \ u003d 2 و x 2 \ u003d 3. يمكن للنقاط القصوى تكون فقط عند هذه النقاط. فكما هو الحال عند المرور عبر النقطة x 1 \ u003d 2 ، يتغير المشتق من زائد إلى ناقص ، ثم عند هذه النقطة يكون للوظيفة حد أقصى. عند المرور عبر النقطة x 2 \ u003d 3 ، التغييرات المشتقة تشير من سالب إلى زائد ، لذلك عند النقطة x 2 \ u003d 3 ، يكون للوظيفة حد أدنى. بعد حساب قيم الوظيفة عند النقطتين x 1 = 2 و x 2 = 3 ، نجد القيمة القصوى للدالة: الحد الأقصى f (2) = 14 والحد الأدنى f (3) = 13.

مهام لإيجاد الحد الأقصى للدالة

المثال 3.23.أ

المحلول. xو ذ. مساحة الموقع تساوي S = xy. يترك ذهو طول الضلع المجاور للجدار. ثم ، حسب الشرط ، يجب أن تستمر المساواة 2x + y = a. لذلك ، y = a - 2x و S = x (a - 2x) ، حيث 0 ≤x ≤a / 2 (لا يمكن أن يكون طول وعرض الوسادة سالبين). S "= a - 4x ، a - 4x = 0 لـ x = a / 4 ، حيث y = a - 2 × a / 4 = a / 2. نظرًا لأن x = a / 4 هي النقطة الحرجة الوحيدة ، تحقق مما إذا كانت العلامة يغير المشتق أثناء مرورنا بهذه النقطة ، من أجل x< a/4, S " >0 ، و x> a / 4 ، S "< 0, значит, в точке x = a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

المثال 3.24.

المحلول.
R = 2 ، H = 16/4 = 4.

المثال 3.22.أوجد القيمة القصوى للدالة f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

المحلول.بما أن f "(x) \ u003d 6x 2-30x +36 \ u003d 6 (x - 2) (x - 3) ، فإن النقاط الحرجة للوظيفة x 1 \ u003d 2 و x 2 \ u003d 3. يمكن للنقاط القصوى تكون فقط عند هذه النقاط. فكما هو الحال عند المرور عبر النقطة x 1 \ u003d 2 ، يتغير المشتق من زائد إلى ناقص ، ثم عند هذه النقطة يكون للوظيفة حد أقصى. عند المرور عبر النقطة x 2 \ u003d 3 ، التغييرات المشتقة تشير من سالب إلى زائد ، لذلك عند النقطة x 2 \ u003d 3 ، يكون للوظيفة حد أدنى. بعد حساب قيم الوظيفة عند النقطتين x 1 = 2 و x 2 = 3 ، نجد الحد الأقصى للدالة: الحد الأقصى f (2) = 14 والحد الأدنى f (3) = 13.

المثال 3.23.من الضروري بناء منطقة مستطيلة بالقرب من الجدار الحجري بحيث يتم تسييجها بشبكة سلكية من ثلاث جهات ، وتجاور الجدار من الجانب الرابع. لهذا هناك أمتر خطي للشبكة. ما هي نسبة العرض إلى الارتفاع التي سيشغل بها الموقع أكبر مساحة؟

المحلول.دلالة على جوانب الموقع من خلال xو ذ. مساحة الموقع S = xy. يترك ذهو طول الضلع المجاور للجدار. ثم ، حسب الشرط ، يجب أن تستمر المساواة 2x + y = a. لذلك ص = أ - 2 س و س = س (أ - 2 س) ، أين
0 ≤x ≤a / 2 (لا يمكن أن يكون طول الموقع وعرضه سالبًا). S "= a - 4x ، a - 4x = 0 لـ x = a / 4 ، من أين
ص = أ - 2 أ / 4 = أ / 2. نظرًا لأن x = a / 4 هي النقطة الحرجة الوحيدة ، فلنتحقق مما إذا كانت علامة المشتق تتغير عند المرور عبر هذه النقطة. في x< a/4, S " >0 ، وللحالة x> a / 4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

المثال 3.24.مطلوب عمل خزان اسطواني مغلق بسعة V = 16p ≈ 50 m 3. ما هي أبعاد الخزان (نصف القطر R والارتفاع H) من أجل استخدام أقل كمية من المواد لتصنيعها؟

المحلول.تبلغ مساحة السطح الإجمالية للأسطوانة S = 2pR (R + H). نحن نعلم حجم الأسطوانة V = pR 2 H Þ H = V / pR 2 = 16p / pR 2 = 16 / R 2. ومن ثم ، S (R) = 2p (R 2 + 16 / R). نجد مشتق هذه الوظيفة:
S "(R) \ u003d 2p (2R- 16 / R 2) \ u003d 4p (R- 8 / R 2). S" (R) \ u003d 0 لـ R 3 \ u003d 8 ، لذلك ،
R = 2 ، H = 16/4 = 4.

ضع في اعتبارك سنين من ملف المنشار المعروف. دعنا نوجه المحور على طول الجانب المسطح للمنشار ، والمحور - عمودي عليه. دعنا نحصل على رسم بياني لبعض الوظائف ، كما هو موضح في الشكل. واحد.

من الواضح تمامًا أنه عند النقطة وعند النقطة ، تصبح قيم الوظيفة هي الأكبر مقارنة بالقيم الموجودة في النقاط المجاورة على اليمين واليسار ، وعند النقطة - الأصغر مقارنة بالنقاط المجاورة. تسمى النقاط بالنقاط القصوى للدالة (من الطرف اللاتيني - "المتطرف") ، والنقاط والنقاط القصوى ، والنقطة هي النقطة الدنيا (من الحد الأقصى والأدنى اللاتيني - "الأكبر" و "الأصغر" ").

دعونا نحسن تعريف الحد الأقصى.

يقال أن الوظيفة في نقطة ما لها حد أقصى إذا كان هناك فاصل يحتوي على النقطة وينتمي إلى مجال الوظيفة ، بحيث يتبين أنه بالنسبة لجميع نقاط هذه الفترة الزمنية. وفقًا لذلك ، يكون للوظيفة عند نقطة ما حد أدنى إذا تم استيفاء الشرط لجميع النقاط في فترة زمنية معينة.

على التين. يوضح الشكلان 2 و 3 الرسوم البيانية للوظائف التي لها حد أقصى عند نقطة ما.

دعونا ننتبه إلى حقيقة أنه ، بحكم التعريف ، يجب أن تقع النقطة القصوى داخل الفترة الفاصلة لتعيين الوظيفة ، وليس في نهايتها. لذلك ، بالنسبة للوظيفة الموضحة في الشكل. 1 ، لا يمكن افتراض أن لديها حدًا أدنى عند هذه النقطة.

إذا كان في هذا التعريف للحد الأقصى (الأدنى) للدالة ، فإننا نستبدل المتباينة الصارمة بأخرى غير صارمة ، ثم نحصل على تعريف حد أقصى غير صارم (حد أدنى غير صارم). تأمل ، على سبيل المثال ، ملف تعريف قمة جبل (الشكل 4). كل نقطة في منطقة مسطحة - المقطع هو نقطة قصوى غير صارمة.

في حساب التفاضل والتكامل ، تكون دراسة دالة للقيمة القصوى فعالة جدًا ويتم تنفيذها ببساطة باستخدام مشتق. إحدى النظريات الرئيسية في حساب التفاضل والتكامل ، والتي تؤسس شرطًا ضروريًا للحد الأقصى لوظيفة قابلة للتفاضل ، هي نظرية فيرمات (انظر نظرية فيرما). دع الوظيفة عند نقطة ما لها حد أقصى. إذا كان هناك مشتق عند هذه النقطة ، فهو يساوي صفرًا.

في اللغة الهندسية ، تعني نظرية فيرما أنه عند النقطة القصوى يكون الظل للرسم البياني للوظيفة أفقيًا (الشكل 5). العبارة العكسية ، بالطبع ، ليست صحيحة ، والتي تظهر ، على سبيل المثال ، من خلال الرسم البياني في الشكل. 6.

تمت تسمية النظرية على اسم عالم الرياضيات الفرنسي ب. فيرمات ، الذي كان من أوائل من حلوا عددًا من المشكلات القصوى. لم يكن لديه بعد مفهوم المشتق تحت تصرفه ، ولكن في تحقيقه استخدم طريقة يتم التعبير عن جوهرها في بيان النظرية.

الشرط الكافي للدالة القابلة للتفاضل هو التغيير في علامة المشتق. إذا تغير المشتق عند نقطة ما من سالب إلى موجب ، أي يتم استبدال انخفاضها بزيادة ، ثم تكون النقطة هي النقطة الدنيا. على العكس من ذلك ، ستكون النقطة هي الحد الأقصى للنقطة إذا تغير المشتق من علامة زائد إلى ناقص ، أي ينتقل من تصاعدي إلى تنازلي.

تسمى النقطة التي يكون فيها مشتق الوظيفة مساويًا للصفر ثابتًا. إذا تم التحقيق في دالة قابلة للتفاضل من أجل حد أقصى ، فيجب العثور على جميع نقاطها الثابتة ويجب مراعاة علامات المشتق إلى اليسار واليمين.

نحن نحقق في وظيفة الطرف الأقصى.

لنجد مشتقها: .

قبل تعلم كيفية العثور على الحد الأقصى للدالة ، من الضروري فهم ماهية الحد الأقصى. يقول التعريف الأكثر عمومية للقيمة القصوى أنها أصغر أو أكبر قيمة للدالة المستخدمة في الرياضيات على مجموعة معينة من خط الأعداد أو الرسم البياني. في المكان الذي يكون فيه الحد الأدنى ، يظهر الطرف الأقصى من الحد الأدنى ، وحيث يكون الحد الأقصى ، يظهر الطرف الأقصى من الحد الأقصى. أيضًا في مثل هذا التخصص مثل التحليل الرياضي ، يتم تمييز القيم القصوى المحلية للوظيفة. الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية إيجاد الأطراف القصوى.

تعتبر الحدود القصوى في الرياضيات من بين أهم خصائص الوظيفة ، فهي تُظهر أكبر وأصغر قيمة لها. تم العثور على القيم القصوى بشكل رئيسي في النقاط الحرجة للوظائف الموجودة. تجدر الإشارة إلى أن الوظيفة تغير اتجاهها بشكل جذري في أقصى نقطة. إذا قمنا بحساب مشتق النقطة القصوى ، فوفقًا للتعريف ، يجب أن تكون مساوية للصفر أو ستكون غائبة تمامًا. وبالتالي ، لمعرفة كيفية العثور على الحد الأقصى لوظيفة ما ، تحتاج إلى إجراء مهمتين متتاليتين:

• أوجد مشتق الوظيفة التي يجب أن تحددها المهمة ؛
• أوجد جذور المعادلة.

تسلسل إيجاد الحد الأقصى

1. اكتب الدالة f (x) المعطاة. أوجد مشتقها من الدرجة الأولى f "(x). مساواة التعبير الناتج بالصفر.
2. الآن عليك حل المعادلة التي ظهرت. ستكون الحلول الناتجة هي جذور المعادلة ، بالإضافة إلى النقاط الحرجة للوظيفة التي يتم تحديدها.
3. الآن نحدد النقاط الحرجة (القصوى أو الدنيا) التي تم العثور عليها. الخطوة التالية ، بعد أن تعلمنا كيفية إيجاد النقاط القصوى للدالة ، هي إيجاد المشتق الثاني للدالة المرغوبة f "(x). سيكون من الضروري استبدال قيم النقاط الحرجة التي تم العثور عليها إلى متباينة محددة ، ثم احسب ما يحدث ، فإذا حدث ذلك ، تبين أن المشتق الثاني أكبر من الصفر عند النقطة الحرجة ، فسيكون عندئذ النقطة الصغرى ، وبخلاف ذلك ستكون النقطة العظمى.
4. يبقى حساب قيمة الوظيفة الأولية عند الحد الأقصى والحد الأدنى المطلوب من نقاط الوظيفة. للقيام بذلك ، نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في الدالة ونحسبها. ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أنه إذا كانت النقطة الحرجة هي الحد الأقصى ، فسيكون الحد الأقصى هو الحد الأقصى ، وإذا كان الحد الأدنى ، فسيكون الحد الأدنى عن طريق القياس.

خوارزمية لإيجاد أقصى حد

لتلخيص المعرفة المكتسبة ، دعنا نصنع خوارزمية موجزة لكيفية إيجاد النقاط القصوى.

1. نجد مجال الدالة المعطاة وفتراتها ، والتي تحدد بالضبط الفترات التي تكون فيها الدالة متصلة.
2. نوجد مشتق الدالة f "(x).
3. نحسب النقاط الحرجة للمعادلة y = f (x).
4. نقوم بتحليل التغييرات في اتجاه الوظيفة f (x) ، وكذلك علامة المشتق f "(x) حيث تفصل النقاط الحرجة مجال تعريف هذه الوظيفة.
5. نحدد الآن ما إذا كانت كل نقطة على الرسم البياني هي الحد الأقصى أم الحد الأدنى.
6. نجد قيم الدالة عند تلك النقاط القصوى.
7. نصلح نتيجة هذه الدراسة - القصوى وفترات الرتابة. هذا كل شئ. درسنا الآن كيفية إيجاد الحد الأقصى في أي فترة. إذا كنت بحاجة إلى العثور على حد أقصى في فترة زمنية معينة من الوظيفة ، فسيتم ذلك بطريقة مماثلة ، حيث يتم أخذ حدود البحث الذي يتم إجراؤه فقط في الاعتبار.

إذن ، فكرنا في كيفية إيجاد النقاط القصوى للدالة. بمساعدة العمليات الحسابية البسيطة ، بالإضافة إلى المعرفة حول إيجاد المشتقات ، يمكنك إيجاد أي قيمة قصوى وحسابها ، وكذلك تحديدها بيانياً. يعد العثور على المتطرفين أحد أهم أقسام الرياضيات ، سواء في المدرسة أو في مؤسسة التعليم العالي ، لذلك ، إذا تعلمت كيفية تحديدها بشكل صحيح ، فسيصبح التعلم أسهل وأكثر إثارة للاهتمام.

وظيفة متطرفة

التعريف 2

تسمى النقطة $ x_0 $ نقطة الحد الأقصى للدالة $ f (x) $ إذا كان هناك منطقة مجاورة لهذه النقطة بحيث تكون المتباينة لكل $ x $ من هذا الحي $ f (x) \ le f (x_0 ) $ راضي.

التعريف 3

تسمى النقطة $ x_0 $ نقطة الحد الأقصى للدالة $ f (x) $ إذا كان هناك منطقة مجاورة لهذه النقطة بحيث تكون المتباينة لكل $ x $ من هذا الحي $ f (x) \ ge f (x_0 ) $ راضي.

يرتبط مفهوم الحد الأقصى للوظيفة ارتباطًا وثيقًا بمفهوم النقطة الحرجة للدالة. دعونا نقدم تعريفه.

التعريف 4

يُطلق على $ x_0 $ النقطة الحرجة للوظيفة $ f (x) $ إذا:

1) $ x_0 $ - النقطة الداخلية لمجال التعريف ؛

2) $ f "\ left (x_0 \ right) = 0 $ أو غير موجود.

بالنسبة لمفهوم الحد الأقصى ، يمكن للمرء أن يصوغ نظريات حول الشروط الكافية والضرورية لوجوده.

نظرية 2

حالة كافية من الحالات القصوى

اجعل النقطة $ x_0 $ مهمة للدالة $ y = f (x) $ وتقع في الفترة $ (a، b) $. اترك في كل فترة $ \ left (a، x_0 \ right) \ و \ (x_0، b) $ المشتق $ f "(x) $ موجود واحتفظ بعلامة ثابتة. ثم:

1) في الفاصل الزمني $ (a، x_0) $ المشتق $ f "\ left (x \ right)> 0 $ ، وعلى الفاصل $ (x_0، b) $ المشتق $ f" \ left (x \ حقا)

2) إذا كان المشتق $ f "\ left (x \ right) 0 $ على الفاصل $ (a، x_0) $ ، فإن النقطة $ x_0 $ هي النقطة الدنيا لهذه الدالة.

3) في حالة $ (a، x_0) $ وفي الفاصل الزمني $ (x_0، b) $ المشتق $ f "\ left (x \ right)> 0 $ أو المشتق $ f" \ left (x \حقا)

هذه النظرية موضحة في الشكل 1.

الشكل 1. شرط كاف لوجود القيم القصوى

أمثلة على التطرف (الشكل 2).

الشكل 2. أمثلة على النقاط القصوى

قاعدة فحص دالة للنقطة القصوى

2) أوجد المشتق $ f "(x) $؛

7) استخلص استنتاجات حول وجود الحدود القصوى والدنيا في كل فترة باستخدام النظرية 2.

الوظيفة تصاعديا وتناقصا

دعنا أولاً نقدم تعريفات الزيادة والنقصان للوظائف.

التعريف 5

تسمى الدالة $ y = f (x) $ المعرفة على فاصل زمني $ X $ زيادة إذا كانت لأي نقطة $ x_1، x_2 \ in X $ مقابل $ x_1

التعريف 6

تسمى الدالة $ y = f (x) $ المحددة على فاصل زمني $ X $ متناقصة إذا كانت لأي نقطة $ x_1 ، x_2 \ in X $ مقابل $ x_1f (x_2) $.

فحص وظيفة الزيادة والنقصان

يمكنك استقصاء دوال الزيادة والنقصان باستخدام المشتق.

لفحص دالة لفترات الزيادة والنقصان ، يجب عليك القيام بما يلي:

1) أوجد مجال الوظيفة $ f (x) $؛

2) أوجد المشتق $ f "(x) $؛

3) أوجد النقاط التي تكون فيها المساواة $ f "\ left (x \ right) = 0 $؛

4) ابحث عن النقاط التي لا يوجد فيها $ f "(x) $ ؛

5) ضع علامة على جميع النقاط التي تم العثور عليها ومجال الوظيفة المحددة على خط الإحداثيات ؛

6) حدد علامة المشتق $ f "(x) $ على كل فترة ناتجة ؛

7) استنتج: في الفترات الزمنية التي تزيد فيها الدالة $ f "\ left (x \ right) 0 $.

أمثلة على مشاكل دراسة وظائف الزيادة والنقصان ووجود النقاط القصوى

مثال 1

تحقق من دالة الزيادة والنقصان ، ووجود نقاط الحد الأقصى والحد الأدنى: $ f (x) = (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

نظرًا لأن النقاط الست الأولى هي نفسها ، فسنرسمها أولاً.

1) مجال التعريف - جميع الأعداد الحقيقية ؛

2) $ f "\ left (x \ right) = 6x ^ 2-30x + 36 $ ؛

3) $ f "\ left (x \ right) = 0 $ ؛

\ \ \

4) $ f "(x) $ موجود في جميع نقاط مجال التعريف ؛

5) خط التنسيق:

الشكل 3

6) حدد علامة المشتق $ f "(x) $ على كل فترة زمنية:

\ \}