كثافة التوزيع لمجموع كميتين موزعتان بشكل موحد. قانون توزيع مجموع متغيرين عشوائيين. تكوين قانونين للتوزيع. طلبات التأمين

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون من الضروري إيجاد قانون التوزيع لمجموع المتغيرات العشوائية.

يجب ألا يكون هناك نظام (X ب X 2)اثنان s المستمر. في. ومجموعها

دعونا نجد كثافة التوزيع ج. في. ش. وفقًا للحل العام للفقرة السابقة ، نجد منطقة المستوى حيث x + x 2 (الشكل 9.4.1):

عند اشتقاق هذا المقدار بالنسبة إلى y ، نحصل على ap. متغير عشوائي ص \ u003d X + X 2:

بما أن الوظيفة φ (x b x 2) = Xj + x 2 متناظرة فيما يتعلق بحججها ، إذن

إذا كان مع. في. Xو X 2 مستقلة ، ثم تأخذ الصيغتان (9.4.2) و (9.4.3) الشكل:

في حالة مستقلة ج. في. x xو X 2 ،نتحدث عن تكوين قوانين التوزيع. ينتج تكوينقانونين للتوزيع - وهذا يعني إيجاد قانون التوزيع لمجموع جهازي مستقلين. ج. ، موزعة وفق هذه القوانين. يستخدم الترميز الرمزي لتعيين تكوين قوانين التوزيع

والذي يُشار إليه أساسًا بالصيغ (9.4.4) أو (9.4.5).

مثال 1. يعتبر عمل جهازين تقنيين (TD). أولاً ، تعمل TU بعد فشلها (فشلها) في تشغيل TU 2. الجهوزية TU TU TU 2 - x xو X 2 - مستقلة وموزعة وفقًا للقوانين الأسية مع المعلمات A و 1 و X 2.لذلك حان الوقت صتشغيل خالي من المتاعب لـ TU ، والذي يتكون من TU! وسيتم تحديد TU 2 بواسطة الصيغة

مطلوب للعثور على p.r. متغير عشوائي نعم ،أي تكوين قانونين أسي مع معلمات و X 2.

المحلول. بالصيغة (9.4.4) نحصل على (y> 0)

إذا كان هناك تكوين من قانونين أسيين لهما نفس المعلمات (؟ c = X 2 = Y) ، ثم في التعبير (9.4.8) يتم الحصول على عدم يقين من النوع 0/0 ، مع التوسع في ذلك ، نحصل على:

بمقارنة هذا التعبير بالتعبير (6.4.8) ، نحن مقتنعون بأن تكوين قانونين أسيين متطابقين (؟ c = X 2 = x)هو قانون إرلانج من الدرجة الثانية (9.4.9). عند تأليف قانونين أسيين بمعلمات مختلفة x xو A-2 قانون إرلانج المعمم من الدرجة الثانية (9.4.8). ?

المشكلة 1. قانون توزيع الفرق بين اثنين s. في. مع النظام. في. (X و X 2)لديه r.p. / مشترك (x x x 2). ابحث عن p.r. خلافاتهم ص = س - X 2.

المحلول. بالنسبة للنظام ذي في. (X ب - X 2)إلخ. سيكون / (x ب - × 2) ،أي استبدلنا الفرق بالمجموع. لذلك ، أ. المتغير العشوائي U سيكون له الشكل (انظر (9.4.2) ، (9.4.3)):

اذا كان مع. في. X x iX 2 مستقل ، إذن

مثال 2. ابحث عن f.r. الفرق بين اثنين مستقلين موزعين أسيًا. في. مع المعلمات x xو X 2.

المحلول. وفقًا للصيغة (9.4.11) نحصل عليها

أرز. 9.4.2 أرز. 9.4.3

يوضح الشكل 9.4.2 أ. ز(ذ). إذا أخذنا في الاعتبار الاختلاف بين اثنين مستقلين موزعين بشكل أسي. في. بنفس الإعدادات (A-i= X 2 = لكن،)،ومن بعد ز(ص) \ u003d / 2 - مألوف بالفعل

قانون لابلاس (الشكل 9.4.3). ؟

مثال 3. أوجد قانون التوزيع لمجموع اثنين مستقلين c. في. Xو X 2 ،وزعت وفقا لقانون بواسون مع المعلمات فأسو أ 2.

المحلول. أوجد احتمال وقوع حدث (X x + X 2 = ر) (ر = 0, 1,

لذلك ، s. في. ص = س س + X 2 وزعت وفقًا لقانون بواسون مع المعلمة أ × 2) - أ س + أ 2. ?

مثال 4. أوجد قانون التوزيع لمجموع اثنين مستقلين c. في. x xو X 2 ،وزعت وفقا لقوانين ذات الحدين مع المعلمات ص ص ص 2 ، صعلى التوالى.

المحلول. تخيل مع. في. x xكما:

أين X 1) -مؤشر الحدث لكنتجربة wu:

نطاق التوزيع مع. في. X ، - له الشكل

سنقوم بعمل تمثيل مماثل لـ s. في. X 2:حيث X] 2) - مؤشر الحدث لكنفي التجربة y ":

بالتالي،

اين هو X؟ 1) + (2) إذا كان مؤشر الحدث لكن:

وهكذا ، فقد أظهرنا ذلك في. مبلغ والد الزوج (ش + ن 2)مؤشرات الحدث لكن، حيث يتبع ذلك s. في. ^ موزعة وفقًا لقانون ذي الحدين مع معلمات ( ن س + ن 2) ، ص.

لاحظ أنه إذا كانت الاحتمالات رفي سلسلة مختلفة من التجارب مختلفة ، ثم نتيجة إضافة اثنين من المستقلين s. ج. ، موزعة وفق قوانين ذات حدين ، يتبين ج. ج. ، موزعة على غير قانون ذي الحدين. ؟

يمكن تعميم المثالين 3 و 4 بسهولة على عدد تعسفي من المصطلحات. عند تكوين قوانين بواسون بالمعلمات أ ب أ 2 ، ..., فييتم الحصول على قانون بواسون مرة أخرى باستخدام المعلمة أ (ر) \ u003d أ س + أ 2 + ... + و ت.

عند تأليف القوانين ذات الحدين مع المعلمات (ن ص) ؛ (أنا 2 ، ص) , (ن ر ، ع)مرة أخرى نحصل على القانون ذي الحدين مع المعلمات ("(") ، ص) ،أين n (t) \ u003d u + n 2 + ... + إلخ.

لقد أثبتنا الخصائص المهمة لقانون بواسون والقانون ذي الحدين: "خاصية الاستقرار". يسمى قانون التوزيع مستدام،إذا كان تكوين قانونين من نفس النوع ينتج عنه قانون من نفس النوع (تختلف معايير هذا القانون فقط). سنبين في القسم الفرعي 9.7 أن القانون العادي له نفس خاصية الاستقرار.

قد يستخدم صانع القرار التأمين للتخفيف من الآثار المالية السلبية لأنواع معينة من الأحداث العشوائية.

لكن هذا الاعتبار عام جدًا ، نظرًا لأن صانع القرار يمكن أن يعني كلاً من الفرد الذي يسعى إلى الحماية من الأضرار التي تلحق بالممتلكات أو المدخرات أو الدخل ، وأن المنظمة تسعى إلى الحماية من نفس النوع من الضرر.

في الواقع ، قد تكون هذه المنظمة شركة تأمين تبحث عن طرق لحماية نفسها من الخسائر المالية بسبب العديد من الأحداث المؤمنة التي حدثت مع عميل فردي أو مع محفظة التأمين الخاصة به. هذه الحماية تسمى إعادة التأمين.

ضع في اعتبارك أحد النموذجين (أي نموذج المخاطر الفردية) تستخدم على نطاق واسع في تحديد معدلات التأمين والاحتياطيات ، وكذلك في إعادة التأمين.

للدلالة به سمقدار الخسائر العرضية لشركة التأمين عن جزء من مخاطرها. في هذه الحالة سهو متغير عشوائي يتعين علينا تحديد التوزيع الاحتمالي له. تاريخيا ، لتوزيعات r.v. سكانت هناك مجموعتان من المسلمات. يحدد نموذج المخاطر الفردية سبالطريقة الآتية:

حيث r.v. تعني الخسائر التي يسببها موضوع التأمين مع الرقم أنا،أ نيشير إلى العدد الإجمالي لأشياء التأمين.

عادة ما يُفترض أنها متغيرات عشوائية مستقلة ، لأنه في هذه الحالة تكون الحسابات الرياضية أبسط ولا يلزم توفير معلومات حول طبيعة العلاقة بينهما. النموذج الثاني هو نموذج المخاطر الجماعية.

لا يعكس النموذج المدروس للمخاطر الفردية التغيرات في قيمة المال بمرور الوقت. يتم ذلك لتبسيط النموذج ، ولهذا السبب يشير عنوان المقالة إلى فترة زمنية قصيرة.

سننظر فقط في النماذج المغلقة ، أي تلك التي عدد من الأشياء التأمين نفي الصيغة (1.1) معروف ومثبت في بداية الفترة الزمنية المدروسة. إذا قدمنا ​​افتراضات حول وجود الهجرة من أو إلى نظام التأمين ، فإننا نحصل على نموذج مفتوح.

متغيرات عشوائية تصف المدفوعات الفردية

أولاً ، لنتذكر الأحكام الرئيسية المتعلقة بالتأمين على الحياة.

في حالة التأمين على الوفاة لمدة سنة ، يتعهد المؤمن بدفع المبلغ ب، إذا توفي حامل الوثيقة في غضون عام من تاريخ إبرام عقد التأمين ، ولا يدفع أي شيء إذا كان حامل الوثيقة يعيش هذا العام.

يتم الإشارة إلى احتمال وقوع حدث مؤمن عليه خلال السنة المحددة بواسطة.

المتغير العشوائي الذي يصف مدفوعات التأمين له توزيع يمكن تحديده إما بواسطة دالة الاحتمال

(2.1)

أو دالة التوزيع المقابلة

(2.2)

من الصيغة (2.1) ومن تعريف اللحظات نحصل عليها

(2.4)

يمكن أيضًا الحصول على هذه الصيغ عن طريق الكتابة Xكما

حيث هي قيمة ثابتة تُدفع في حالة الوفاة ، وهي متغير عشوائي يأخذ القيمة 1 عند الوفاة و 0 بخلاف ذلك.

وهكذا و ، ومتوسط ​​القيمة والتباين لـ r.v. متساوية وعلى التوالي ، ومتوسط ​​القيمة والتباين لـ r.v. تساوي و ، والتي تتزامن مع الصيغ أعلاه.

يستخدم المتغير العشوائي مع النطاق (0،1) على نطاق واسع في النماذج الاكتوارية.

في الكتب المدرسية حول نظرية الاحتمالات ، يطلق عليه مؤشر, برنولي عشوائيقيمة أو متغير عشوائي ذي الحدينفي تصميم الاختبار الفردي.

سوف نتصل بها مؤشرلأسباب الإيجاز وأيضًا لأنها تشير إلى بداية أو عدم بداية الحدث المعني.

دعنا ننتقل إلى البحث عن نماذج أكثر عمومية تكون فيها قيمة مدفوعات التأمين أيضًا متغيرًا عشوائيًا وقد تحدث العديد من أحداث التأمين في الفترة الزمنية المدروسة.

يقدم التأمين الصحي والتأمين على السيارات والتأمين على الممتلكات والتأمين ضد المسؤولية العديد من الأمثلة على الفور. معادلة التعميم (2.5) ، وضعناها

حيث هو متغير عشوائي يصف مدفوعات التأمين في الفترة الزمنية المدروسة ، r.v. يشير إلى المبلغ الإجمالي للمدفوعات في هذا الفاصل الزمني و r.v. هو مؤشر لحدث وقوع حدث مؤمن عليه واحد على الأقل.

كونه مؤشرا على مثل هذا الحدث ، r.v. يصلح الوجود () أو نقص () الأحداث المؤمن عليها في هذه الفترة الزمنية ، ولكن ليس عدد الأحداث المؤمن عليها فيه.

سيستمر الإشارة إلى الاحتمالية بواسطة.

دعونا نناقش عدة أمثلة ونحدد توزيع المتغيرات العشوائية وفي بعض النماذج.

لنفكر أولاً في تأمين الوفاة لمدة عام واحد ، مع ميزة إضافية إذا كانت الوفاة نتيجة حادث.

للتوضيح ، لنفترض أنه إذا حدثت الوفاة نتيجة حادث ، فسيكون مبلغ الدفع 50000. إذا حدثت الوفاة لأسباب أخرى ، فسيكون مبلغ الدفع 25000.

لنفترض أنه بالنسبة لشخص في عمر وحالة صحية ومهنية معينة ، فإن احتمال الوفاة نتيجة حادث خلال العام هو 0.0005 ، واحتمال الوفاة لأسباب أخرى هو 0.0020. في صيغة الصيغة ، يبدو كالتالي:

تلخيصًا لجميع القيم الممكنة لـ ، نحصل عليها

,

التوزيع الشرطي ج. في. الشرط له الشكل

ضع في اعتبارك الآن تأمين اصطدام السيارة (التعويض المدفوع لمالك السيارة عن الأضرار التي لحقت بسيارته) مع خصم غير مشروط قدره 250 وبدفع أقصى قدره 2000.

من أجل التوضيح ، نفترض أن احتمال حدوث حدث واحد مؤمن عليه في الفترة الزمنية المعتبرة للفرد هو 0.15 ، واحتمال حدوث أكثر من تصادم واحد يساوي صفرًا:

, .

يتم إجراء الافتراض غير الواقعي بأنه لا يمكن حدوث أكثر من حدث واحد مؤمن عليه خلال فترة واحدة من أجل تبسيط توزيع r.v. .

سنقوم بإسقاط هذا الافتراض في القسم التالي بعد أن نفكر في توزيع مجموع مطالبات التأمين المتعددة.

نظرًا لقيمة مدفوعات شركة التأمين ، وليس الضرر الذي لحق بالسيارة ، يمكننا النظر في خاصيتين ، و.

أولاً ، يشمل الحدث تلك الاصطدامات التي يكون فيها الضرر أقل من الخصم غير المشروط ، وهو 250.

ثانياً ، توزيع r.v. سيكون لها "جلطة" من الكتلة الاحتمالية عند نقطة الحد الأقصى لمبلغ أقساط التأمين ، والتي تساوي 2000.

افترض أن الكتلة الاحتمالية المركزة عند هذه النقطة هي 0.1. علاوة على ذلك ، افترض أن قيمة مدفوعات التأمين في الفترة من 0 إلى 2000 يمكن نمذجة من خلال التوزيع المستمر مع دالة كثافة تتناسب مع (من الناحية العملية ، فإن المنحنى المستمر الذي تم اختياره لتمثيل توزيع الأقساط هو نتيجة دراسات الأقساط في الفترة السابقة.)

تلخيص هذه الافتراضات حول التوزيع الشرطي لـ rv. في ظل الشرط ، نصل إلى توزيع مختلط له كثافة موجبة في المدى من 0 إلى 2000 وبعض "الجلطة" من الكتلة الاحتمالية عند النقطة 2000. هذا موضح في الرسم البياني في الشكل. 2.2.1.

تبدو دالة التوزيع لهذا التوزيع الشرطي كما يلي:

الشكل 2.1. وظيفة توزيع r.v. ب تحت الشرط أنا = 1

نحسب التوقع الرياضي والتباين في المثال المدروس مع التأمين على السيارات بطريقتين.

أولاً ، نكتب توزيع r.v. واستخدامها لحساب و. الإشارة من خلال دالة التوزيع الخاصة بـ r.v. ، نملك

إلى عن على x<0

هذا توزيع مختلط. كما يظهر في الشكل. 2.2 ، لها كتلة منفصلة ("كتلة" من الكتلة الاحتمالية عند النقطة 2000) وجزء متصل. تتوافق دالة التوزيع هذه مع مجموعة دالة الاحتمال

أرز. 2.2. وظيفة توزيع r.v. X = IB

والكثافة

على وجه الخصوص ، و . لهذا .

هناك عدد من الصيغ التي تربط بين لحظات المتغيرات العشوائية والتوقعات الرياضية الشرطية. بالنسبة للتوقع الرياضي والتباين ، فإن هذه الصيغ لها الشكل

(2.10)

(2.11)

من المفترض أن التعبيرات الموجودة على الجانب الأيسر من هذه المساواة محسوبة مباشرة من توزيع r.v. . عند حساب التعبيرات الموجودة على الجانب الأيمن ، يتم استخدام التوزيع الشرطي لـ r.v. بقيمة ثابتة من r.v. .

وبالتالي ، فإن هذه التعبيرات هي وظائف لـ r.v. ، ويمكننا حساب لحظاتهم باستخدام توزيع r.v. .

تُستخدم التوزيعات الشرطية في العديد من النماذج الاكتوارية وهذا يسمح بتطبيق الصيغ أعلاه مباشرة. في نموذجنا. النظر في r.v. كما و r.v. كما نحصل عليه

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

والنظر في التوقعات الرياضية الشرطية

(2.16)

(2.17)

يتم تعريف الصيغ (2.16) و (2.17) كدالة لـ r.v. ، والتي يمكن كتابتها بالصيغة التالية:

منذ ذلك الحين في (2.21)

لدينا و (2.22)

يمكن دمج الصيغتين (2.21) و (2.22): (2.23)

وهكذا ، (2.24)

بالتعويض عن (2.21) و (2.20) و (2.24) في (2.12) و (2.13) ، نحصل على

دعنا نطبق الصيغ المستلمة للحساب وفي مثال على التأمين على السيارات (الشكل 2.2). منذ دالة كثافة r.v. في الشرط يتم التعبير عنه بواسطة الصيغة

و ف (ب = 2000 | أنا = 1)= 0.1 لدينا

أخيرا ، على افتراض ف= 0.15 ، من الصيغ (2.25) و (2.26) نحصل على المعادلات التالية:

لوصف حالة تأمينية أخرى ، يمكننا تقديم نماذج أخرى لـ r.v. .

مثال: نموذج لعدد الوفيات الناجمة عن حوادث الطيران

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك نموذجًا لعدد الوفيات الناجمة عن حوادث الطيران على مدار عام واحد من تشغيل شركة طيران.

يمكننا أن نبدأ بمتغير عشوائي يصف عدد الوفيات في رحلة واحدة ، ثم نجمع هذه المتغيرات العشوائية في جميع الرحلات في السنة.

لرحلة واحدة ، سيشير الحدث إلى بداية تحطم الطائرة. سيتم تمثيل عدد الوفيات الناجمة عن هذه الكارثة بحاصل ضرب متغيرين عشوائيين ، وأين عامل حمولة الطائرة ، أي عدد الأشخاص على متن الطائرة وقت وقوع الحادث ، ونسبة الوفيات بين الأشخاص في مجلس.

يتم تقديم عدد الوفيات بهذه الطريقة ، نظرًا لأن الإحصائيات المنفصلة الخاصة بـ r.v. . لذلك ، على الرغم من أن نسبة الوفيات بين الأشخاص على متن السفينة وعدد الأشخاص الموجودين على متنها مرتبطان على الأرجح ، كأول تقدير تقريبي ، يمكن افتراض أن r.v. ومستقلة.

مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة

في نموذج المخاطر الفردية ، يتم تقديم مدفوعات التأمين التي تقوم بها شركة التأمين كمجموع المدفوعات للعديد من الأفراد.

تذكر طريقتين لتحديد توزيع مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة. ضع في اعتبارك أولاً مجموع متغيرين عشوائيين ، تظهر مساحة العينة في الشكل. 3.1.

أرز. 2.3.1. حدث

يمثل الخط والمنطقة الواقعة أسفل هذا الخط حدثًا. لذلك ، فإن دالة التوزيع الخاصة بـ r.v. سله شكل (3.1)

بالنسبة لمتغيرين عشوائيين منفصلين غير سالبين ، يمكننا استخدام صيغة الاحتمال الإجمالي وكتابة (3.1) على النحو التالي

اذا كان Xو صمستقلة ، يمكن إعادة كتابة آخر مبلغ كـ

(3.3)

يمكن العثور على دالة الاحتمال المقابلة لدالة التوزيع هذه بواسطة الصيغة

(3.4)

بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة غير السلبية ، فإن الصيغ المقابلة للصيغ (3.2) و (3.3) و (3.4) لها الشكل

عندما يكون أحد المتغيرات العشوائية أو كليهما Xو صلها نوع توزيع مختلط (وهو نموذجي لنماذج المخاطر الفردية) ، والصيغ متشابهة ، ولكنها أكثر تعقيدًا. بالنسبة للمتغيرات العشوائية التي يمكن أن تأخذ أيضًا قيمًا سالبة ، يتم أخذ المجاميع والتكاملات في الصيغ أعلاه على جميع قيم y من إلى.

في نظرية الاحتمالات ، تسمى العملية في الصيغتين (3.3) و (3.6) التفاف وظيفتي توزيع ويشار إليها بواسطة. يمكن أيضًا تعريف عملية الالتفاف لزوج من وظائف الاحتمال أو الكثافة باستخدام الصيغتين (3.4) و (3.7).

لتحديد توزيع مجموع أكثر من متغيرين عشوائيين ، يمكننا استخدام تكرارات عملية الالتواء. إلى عن على ، حيث تكون المتغيرات العشوائية المستقلة ، تشير إلى دالة التوزيع الخاصة بـ r.v. ، وهي دالة التوزيع الخاصة بـ r.v. ، سوف نحضر

يوضح المثال 3.1 هذا الإجراء لثلاثة متغيرات عشوائية منفصلة.

مثال 3.1.متغيرات عشوائية ومستقلة ولها توزيعات محددة بواسطة الأعمدة (1) و (2) و (3) من الجدول أدناه.

دعونا نكتب دالة الاحتمال ودالة التوزيع الخاصة بـ r.v.

المحلول.يستخدم الجدول الترميز المقدم قبل المثال:

تحتوي الأعمدة (1) - (3) على المعلومات المتاحة.

يتم الحصول على العمود (4) من العمودين (1) و (2) باستخدام (3.4).

يتم الحصول على العمود (5) من العمودين (3) و (4) باستخدام (3.4).

يكمل تعريف العمود (5) تحديد دالة الاحتمال لـ r.v. . دالة التوزيع الخاصة به في العمود (8) هي مجموعة المجاميع الجزئية للعمود (5) ، بدءًا من الأعلى.

للتوضيح ، قمنا بتضمين العمود (6) ، دالة التوزيع للعمود (1) ، العمود (7) ، والتي يمكن الحصول عليها مباشرة من العمودين (1) و (6) باستخدام (2.3.3) ، والعمود (8) ) تم تحديده بالمثل للأعمدة (3) و (7). يمكن تحديد العمود (5) من العمود (8) بالطرح المتتالي.

دعونا ننتقل إلى النظر في مثالين مع المتغيرات العشوائية المستمرة.

مثال 3.2.دع rv. له توزيع موحد على الفترة الزمنية (0،2) ، والسماح لـ r.v. لا تعتمد على r.v. وله توزيع منتظم على الفترة الزمنية (0،3). دعونا نحدد وظيفة التوزيع الخاصة بـ r.v.

المحلول.منذ توزيعات r.v. ومستمر ، نستخدم الصيغة (3.6):

ثم

مساحة عينة من r.v. وهو موضح في الشكل. 3.2 تحتوي المنطقة المستطيلة على جميع القيم الممكنة للزوج و. يتم تصوير الحدث الذي يهمنا في الشكل لخمس قيم س.

لكل قيمة ، يتقاطع الخط مع المحور صفي هذه النقطة سوخط عند نقطة. يتم وصف قيم الوظائف لهذه الحالات الخمس بالصيغة التالية:

أرز. 3.2 التفاف اثنين من التوزيعات المنتظمة

مثال 3.3.دعونا نفكر في ثلاث منصات مستقلة. . لـ r.v. له توزيع أسي و. دعونا نجد دالة كثافة r.v. من خلال تطبيق عملية الالتواء.

المحلول.نملك

باستخدام الصيغة (3.7) ثلاث مرات ، نحصل على

طريقة أخرى لتحديد توزيع مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة تعتمد على تفرد وظيفة توليد اللحظة ، والتي بالنسبة لـ r.v. يتحدد من خلال النسبة .

إذا كان هذا التوقع الرياضي محدودًا للجميع رمن بعض الفترات المفتوحة التي تحتوي على الأصل ، تكون إذن الوظيفة الوحيدة لتوليد لحظات التوزيع الخاصة بـ r.v. بمعنى أنه لا توجد وظيفة أخرى بخلاف ، والتي ستكون وظيفة توليد لحظات التوزيع لـ r.v. .

يمكن استخدام هذا التفرد على النحو التالي: للحصول على المجموع

إذا كانت مستقلة ، فإن توقع المنتج في الصيغة (3.8) يساوي ...، لذا

إن العثور على تعبير صريح للتوزيع الوحيد الذي يتوافق مع وظيفة توليد اللحظات (3.9) سيكمل إيجاد توزيع r.v. . إذا لم يكن من الممكن تحديده بشكل صريح ، فيمكن البحث عنه بالطرق العددية.

مثال 3.4. ضع في اعتبارك المتغيرات العشوائية من المثال 3.3. دعونا نحدد دالة كثافة r.v. ، باستخدام وظيفة توليد لحظات r.v. .

المحلول.حسب المساواة (3.9) ، والتي يمكن كتابتها كـ باستخدام طريقة التحلل إلى كسور بسيطة. الحل . ولكن هي وظيفة توليد لحظات التوزيع الأسي مع المعلمة ، بحيث تكون دالة الكثافة لـ r.v. لديه الشكل

مثال 3.5. في دراسة العمليات العشوائية ، تم تقديم التوزيع الغوسي العكسي. يتم استخدامه كتوزيع r.v. في، مقدار مدفوعات التأمين. يتم إعطاء دالة الكثافة ووظيفة التوليد لحظات التوزيع الغوسي العكسي بواسطة الصيغ

دعونا نجد توزيع r.v. ، حيث r.v. مستقلة ولها نفس توزيعات غاوس المعكوسة.

المحلول.باستخدام الصيغة (3.9) ، نحصل على التعبير التالي لوظيفة توليد لحظات r.v. :

تتوافق وظيفة توليد اللحظات مع توزيع فريد ، ويمكن ملاحظة أن لها توزيع غاوسي معكوس مع المعلمات و.

تقديرات لتوزيع المجموع

تعطي نظرية النهاية المركزية طريقة لإيجاد القيم العددية لتوزيع مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة. عادة ما يتم صياغة هذه النظرية لمجموع المتغيرات العشوائية المستقلة والمتماثلة الموزعة ، حيث .

لأي n ، فإن توزيع r.v. أين = ، له توقع رياضي 0 والتباين 1. كما هو معروف ، فإن تسلسل هذه التوزيعات (لـ ن= 1 ، 2 ، ...) يميل إلى التوزيع الطبيعي القياسي. متي نكبير ، يتم تطبيق هذه النظرية لتقريب توزيع r.v. التوزيع الطبيعي بمتوسط μ والتشتت. وبالمثل ، توزيع المبلغ نيتم تقريب المتغيرات العشوائية من خلال التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​وتباين.

لا تعتمد كفاءة مثل هذا التقريب على عدد المصطلحات فحسب ، بل تعتمد أيضًا على قرب توزيع المصطلحات من المصطلح العادي. تنص العديد من دورات الإحصاء الأولية على أن n يجب أن يكون 30 على الأقل حتى يكون التقريب معقولًا.

ومع ذلك ، فإن أحد البرامج لتوليد المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل طبيعي والمستخدمة في نمذجة المحاكاة يطبق متغيرًا عشوائيًا عاديًا كمتوسط ​​12 متغيرًا عشوائيًا مستقلًا موزعة بشكل موحد على الفاصل الزمني (0،1).

في العديد من نماذج المخاطر الفردية ، لا يتم توزيع المتغيرات العشوائية المدرجة في المجاميع بالتساوي. سيتم توضيح ذلك من خلال الأمثلة في القسم التالي.

تمتد نظرية الحد المركزي أيضًا إلى تسلسل المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل غير متساو.

لتوضيح بعض تطبيقات نموذج المخاطر الفردية ، سنستخدم تقريبًا عاديًا لتوزيع مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة للحصول على حلول عددية. اذا كان ، ومن بعد

و كذلك ، إذا كان r.v. مستقل ، إذن

بالنسبة للتطبيق المعني ، نحتاج فقط إلى:

• إيجاد متوسطات وتباينات المتغيرات العشوائية التي تحاكي الخسائر الفردية ،
• لخصها للحصول على متوسط ​​وتباين خسائر شركة التأمين ككل ،
• استخدم التقريب العادي.

أدناه نوضح هذا التسلسل من الإجراءات.

طلبات التأمين

يوضح هذا القسم استخدام التقريب العادي بأربعة أمثلة.

مثال 5.1.تقدم شركة التأمين على الحياة عقدًا للتأمين على الوفاة لمدة عام واحد مع مدفوعات 1 و 2 للأشخاص الذين تبلغ احتمالية وفاتهم 0.02 أو 0.01. يوضح الجدول أدناه عدد الأشخاص nkفي كل فئة من الفئات الأربع التي تم تشكيلها وفقًا للدفع ب كواحتمال وقوع حدث مؤمن عليه qk:

تريد شركة التأمين أن تجمع من هذه المجموعة المكونة من 1800 فرد مبلغًا يساوي 95 بالمائة من توزيع إجمالي مدفوعات التأمين لهذه المجموعة. بالإضافة إلى ذلك ، تريد أن تكون حصة كل شخص من هذا المبلغ متناسبة مع مدفوعات التأمين المتوقعة للشخص.

يجب أن يكون نصيب الشخص مع الرقم الذي يساوي متوسط ​​أجره. ويترتب على متطلبات المئين 95 أن. القيمة الزائدة ، هي علاوة المخاطرة ، وتسمى علاوة المخاطرة النسبية. دعونا نحسب.

المحلول.يتم تحديد القيمة من خلال النسبة = 0.95 أين S = X 1 + X 2 + ... + X 1800.بيان الاحتمال هذا يعادل ما يلي:

وفقًا لما قيل عن نظرية الحد المركزي في ثانية. 4 ، نقوم بتقريب توزيع r.v. التوزيع الطبيعي القياسي واستخدام النسبة المئوية 95 ، والتي نحصل منها على:

بالنسبة للفئات الأربع التي ينقسم إليها حملة الوثائق ، نحصل على النتائج التالية:

في هذا الطريق،

لذلك ، فإن علاوة المخاطر النسبية هي

مثال 5.2.ينقسم عملاء شركة التأمين على السيارات إلى فئتين:

يتم تعريف التوزيع الأسي المقتطع بواسطة دالة التوزيع

هذا توزيع مختلط ذو دالة كثافة ، و "كتلة" من الكتلة الاحتمالية عند نقطة ما إل. يظهر الرسم البياني لوظيفة التوزيع هذه في الشكل 5.1.

أرز. 5.1 التوزيع الأسي المقطوع

كما كان من قبل ، فإن احتمال أن يتجاوز المبلغ الإجمالي لمدفوعات التأمين المبلغ المحصل من حملة الوثائق يجب أن يساوي 0.05. سنفترض أن علاوة المخاطر النسبية يجب أن تكون هي نفسها في كل فئة من الفئتين قيد الدراسة. دعونا نحسب.

المحلول.هذا المثال مشابه جدًا للمثال السابق. الاختلاف الوحيد هو أن قيم مدفوعات التأمين أصبحت الآن متغيرات عشوائية.

أولاً ، سنحصل على تعبيرات عن لحظات التوزيع الأسي المقتطع. ستكون هذه خطوة تمهيدية لتطبيق الصيغتين (2.25) و (2.26):

باستخدام قيم المعلمات الواردة في الشرط وتطبيق الصيغ (2.25) و (2.26) ، نحصل على النتائج التالية:

لذا، س، المبلغ الإجمالي لمدفوعات التأمين ، لديه لحظات

يظل شرط التعريف كما هو في المثال 5.1 ، وهو:

باستخدام تقريب التوزيع الطبيعي مرة أخرى ، نحصل عليه

مثال 5.3.تشتمل محفظة شركة التأمين على 16000 عقد تأمين على الوفاة لمدة سنة حسب الجدول التالي:

يبلغ احتمال وقوع حدث مؤمن عليه لكل 16000 عميل (يفترض أن تكون هذه الأحداث مستقلة بشكل متبادل) هو 0.02. تريد الشركة تحديد معدل الاحتفاظ بها. بالنسبة لكل حامل بوليصة ، يكون مستوى الاحتفاظ الخاص به هو القيمة التي دونها تقوم هذه الشركة (الشركة المتنازل عنها) بتسديد المدفوعات بشكل مستقل ، ويتم تغطية المدفوعات التي تتجاوز هذه القيمة بموجب عقد إعادة التأمين من قبل شركة أخرى (معيد التأمين).

على سبيل المثال ، إذا كان معدل الاحتفاظ الخاص به هو 200000 ، فإن الشركة تحتفظ بتغطية تصل إلى 20000 لكل مؤمن عليه وتشتري إعادة تأمين لتغطية الفرق بين القسط ومبلغ 20000 لكل من حاملي وثائق التأمين البالغ عددهم 4500 الذين تتجاوز أقساط تأمينهم 20000.

تختار الشركة كمعيار قرار التقليل إلى الحد الأدنى من احتمال أن مطالبات التأمين التي تركتها على الخصم الخاص بها ، بالإضافة إلى المبلغ المدفوع لإعادة التأمين ، سوف تتجاوز مبلغ 8250.000. تكاليف إعادة التأمين 0.025 لكل وحدة تغطية (أي 125٪ من المتوقع قيمة مدفوعات التأمين لكل وحدة 0.02).

نعتقد أن المحفظة المعنية مغلقة: عقود التأمين الجديدة التي تم إبرامها خلال العام الحالي لن تؤخذ في الاعتبار في عملية اتخاذ القرار الموصوفة.

حل جزئي. لنقم بإجراء جميع العمليات الحسابية أولاً ، باختيار 10000 كوحدة دفع. على سبيل المثال ، افترض أن c. في. سهو مقدار المدفوعات المتبقية على الخصم الخاص ، على النحو التالي:

تركت مدفوعات التأمين هذه على الخصم الخاص بك سيتم إضافة مبلغ أقساط إعادة التأمين. في المجموع ، المبلغ الإجمالي للتغطية وفقًا لهذا المخطط هو

المبلغ المتبقي على الخصم الخاص يساوي

وبالتالي ، فإن القيمة الإجمالية لإعادة التأمين هي 35000-24000 = 11000 وتكلفة إعادة التأمين هي

ومن ثم ، عند مستوى الاحتفاظ الخاص الذي يساوي 2 ، تكون مدفوعات التأمين المتبقية عند الاحتفاظ الخاص به بالإضافة إلى تكلفة إعادة التأمين هي. يعتمد معيار القرار على احتمال أن يتجاوز هذا الإجمالي 825 ،

باستخدام التوزيع الطبيعي ، نحصل على أن هذه القيمة تساوي تقريبًا 0.0062.

يمكن تقريب متوسط ​​قيم مدفوعات التأمين للتأمين ضد الخسائر الزائدة ، كأحد أنواع إعادة التأمين ، باستخدام التوزيع العادي كتوزيع إجمالي مدفوعات التأمين.

دع إجمالي مدفوعات التأمين X لها توزيع طبيعي بمتوسط ​​وتباين

مثال 5.4.لنفكر في محفظة التأمين ، كما في المثال 5.3. دعونا نجد التوقع الرياضي لمبلغ مدفوعات التأمين بموجب عقد التأمين للزيادة في عدم الربحية ، إذا

(أ) لا يوجد إعادة تأمين فردي ويتم تحديد الخصم غير المشروط بمبلغ 7،500،000

(ب) تم إنشاء استقطاع شخصي قدره 20.000 على عقود التأمين الفردية والمقتطع غير المشروط للمحفظة هو 5.300.000.

المحلول.

(أ) في حالة عدم وجود إعادة تأمين فردي وفي التحول إلى 10000 كعملة

تطبيق الصيغة (5.2) يعطي

وهو مجموع 43.770 بالوحدات الأصلية.

(ب) في الشكل التوضيحي 5.3 ، نحصل على متوسط ​​وتباين إجمالي الأقساط للفرد المقتطع من 20000 إلى 480 و 784 على التوالي ، باستخدام 10000 كوحدة. وهكذا ، = 28.

تطبيق الصيغة (5.2) يعطي

وهو مجموع 4140 بالوحدات الأصلية.

يجب ألا يكون هناك نظام من متغيرين عشوائيين Xو ص، التي يُعرف توزيعها المشترك. المهمة هي إيجاد توزيع متغير عشوائي. كأمثلة على SV ضيمكنك تحقيق ربح من مؤسستين ؛ عدد الناخبين الذين صوتوا بطريقة معينة من دائرتين مختلفتين ؛ مجموع النقاط على نردتين.

1. حالة اثنين من DSVs.مهما كانت القيم التي تتخذها السير الذاتية المنفصلة (في شكل كسر عشري محدد ، بخطوات مختلفة) ، يمكن دائمًا تقليص الوضع إلى الحالة الخاصة التالية. كميات Xو صيمكن أن تأخذ فقط قيمًا صحيحة ، أي أين . إذا كانت في البداية كسور عشرية ، فيمكن تكوين أعداد صحيحة بضربها في 10 ك. والقيم المفقودة بين الارتفاعات والانخفاضات يمكن تعيين احتمالات صفرية. دع التوزيع الاحتمالي المشترك معروفًا. ثم ، إذا قمنا بترقيم صفوف وأعمدة المصفوفة وفقًا للقواعد: فإن احتمال المجموع هو:

تُضاف عناصر المصفوفة على طول أحد الأقطار.

2. حالة اثنين من نيو ساوث ويلز.دع كثافة توزيع المفصل معروفة. ثم كثافة توزيع المجموع:

اذا كان Xو صمستقل ، أي ، ومن بعد

مثال 1 X ، ص- SW مستقلة وموزعة بشكل موحد:

لنجد كثافة توزيع المتغير العشوائي.

من الواضح أن ,

جنوب غرب ضيمكن أن تأخذ القيم في الفاصل الزمني ( ج + د; أ + ب) ، ولكن ليس للجميع x. خارج هذه الفترة. على مستوى الإحداثيات ( x, ض) نطاق القيم الممكنة للكمية ضهو متوازي أضلاع مع جوانب x=مع; x=أ; ض = س + د; ض = س + ب. في صيغة حدود التكامل سيكون جو أ. ومع ذلك ، يرجع ذلك إلى حقيقة أنه في الاستبدال ص = ض-سلبعض القيم ضوظيفة . على سبيل المثال ، إذا ج ، ثم في ض = س + جوأي xسوف نحصل على: . لذلك ، يجب إجراء حساب التكامل بشكل منفصل لمناطق مختلفة من التغيير في القيمة ض، في كل منها ستكون حدود التكامل مختلفة ، ولكن للجميع xو ض. سنفعل هذا للحالة الخاصة عندما أ + د< b+c . دعونا ننظر في ثلاث مناطق مختلفة للتغيير في الكمية ضولكل منهم نجد.