أمثلة على تحويل جيب التمام فورييه. شروط كافية لتمثيل دالة بواسطة تكامل فورييه. خيارات لمهام التسوية والأعمال الرسومية

I. فورييه يتحول.

التعريف 1.دور

اتصل تحويل فورييهالمهام .

يُفهم التكامل هنا بمعنى القيمة الأساسية

ويعتقد أنه موجود.

إذا كانت دالة قابلة للتكامل تمامًا في ℝ ، فمنذ ذلك الحين من أجل ، فإن تحويل فورييه (1) منطقي لأي وظيفة من هذا القبيل ، والتكامل (1) يتقارب بشكل مطلق وموحد فيما يتعلق بالخط الكامل ℝ.

التعريف 2. اذا كان هو تحويل فورييه للدالة
، ثم التكامل المرتبط

يفهم بمعنى المعنى الرئيسي ، يسمى تكامل فورييه للدالة .

مثال 1أوجد تحويل فورييه للدالة

الوظيفة المعينة قابلة للتكامل تمامًا على ، في الواقع ،

التعريف 3.يفهم بمعنى القيمة الأساسية للتكاملات

سميت تبعا لذلك جيب التمام-و وظائف تحويل جيبية فورييه .

بافتراض , , ، نحصل ، جزئيًا ، على العلاقة المألوفة لدينا من سلسلة فورييه

كما يتضح من العلاقات (3) ، (4) ،

توضح الصيغتان (5) و (6) أن تحويلات فورييه محددة تمامًا على السطر بأكمله إذا كانت معروفة فقط للقيم غير السالبة للوسيطة.

مثال 2أوجد جيب التمام - وجيب الجيب - تحويل فورييه للدالة

كما هو موضح في المثال 1 ، فإن الوظيفة المعينة قابلة للتكامل تمامًا في.

لنجد جيب التمام - تحويل فورييه وفقًا للصيغة (3):

وبالمثل ، ليس من الصعب إيجاد تحويل الجيب-فورييه للوظيفة F(x) بالصيغة (4):

باستخدام المثالين 1 و 2 ، من السهل التحقق من ذلك عن طريق الاستبدال المباشر لـ F(x) راضية عن العلاقة (5).

إذا كانت الوظيفة ذات قيمة حقيقية ، فإن الصيغ (5) ، (6) في هذه الحالة تعني ضمنيًا

منذ في هذه الحالة وهي وظائف حقيقية على R ، وهو ما يتضح من تعريفاتهم (3) ، (4). ومع ذلك ، فإن المساواة (7) بشرط يتم الحصول عليها أيضًا مباشرة من التعريف (1) لتحويل فورييه ، إذا أخذنا في الاعتبار أنه يمكن وضع علامة الاقتران تحت علامة التكامل. تسمح لنا الملاحظة الأخيرة باستنتاج أن أي وظيفة ترضي المساواة

من المفيد أيضًا ملاحظة أنه إذا كانت وظيفة حقيقية ومتساوية ، أي ، ومن بعد

إذا كانت دالة حقيقية وغريبة ، أي ، ومن بعد

وإذا كانت وظيفة خيالية بحتة ، أي . ، ومن بعد

لاحظ أنه إذا كانت دالة ذات قيمة حقيقية ، فيمكن أيضًا كتابة تكامل فورييه في النموذج

أين

مثال 3
(على افتراض )

لأننا نعرف قيمة تكامل ديريتشليت

الوظيفة التي تم النظر فيها في المثال ليست قابلة للتكامل تمامًا مع تحويل فورييه الخاص بها به انقطاع. يوضح ما يلي حقيقة أن تحويل فورييه للوظائف القابلة للتكامل تمامًا ليس له انقطاعات

ليما 1. إذا كانت الوظيفة تكامل محليا وتتكامل تماما على ، ومن بعد

أ) تحويل فورييه محددة لأي قيمة

ب)

أذكر ذلك إذاهي وظيفة حقيقية أو معقدة القيمة محددة في مجموعة مفتوحة ، ثم الوظيفة اتصل تكامل محليا على، لو اي نقطةله حي تكون فيه الوظيفة قابلة للتكامل. على وجه الخصوص ، إذا كان من الواضح أن حالة التكامل المحلي للوظيفة تعادل حقيقة ذلك لأي جزء.

مثال 4أوجد تحويل فورييه للدالة :

بالتفريق بين آخر تكامل فيما يتعلق بالمعامل ثم تكامله حسب الأجزاء ، نجد ذلك

أو

وسائل، ، أين هو الثابت الذي ، باستخدام تكامل أويلر-بواسون ، نحصل عليه من العلاقة

لذلك ، وجدنا ذلك ، وفي نفس الوقت أظهرنا ذلك ، و .

التعريف 4.يقولون أن الوظيفة ، المحدد في منطقة مثقوبة من النقطة ، يفي بشروط Dini عند النقطة إذا

أ) كلا الحدين من جانب واحد موجودان عند هذه النقطة

ب) كلا التكاملات

توافق على الاطلاق.

التقارب المطلق للتكامل يعني التقارب المطلق للتكامل على الأقل لبعض قيمة.

شروط كافية لتمثيل دالة بواسطة تكامل فورييه.

نظرية 1.إذا كانت قابلة للتكامل تماما على والوظيفة المستمرة محليًا يرضي في هذه النقطة شروط ديني ، ثم يتقارب تكامل فورييه عند هذه النقطة ، والقيمة

يساوي نصف مجموع الحدين الأيمن والأيسر لقيم الدالة عند هذه النقطة.

النتيجة 1.إذا كانت الوظيفة مستمر ، في كل نقطة مشتقات محدودة من جانب واحد ومتكاملة تمامًا على ، ثم يظهر على شكل مع تكامل فورييه

أين تحويل فورييه للدالة .

يمكن إعادة كتابة تمثيل دالة بواسطة تكامل فورييه على النحو التالي:

تعليق.الشروط المتعلقة بالوظيفة التي تمت صياغتها في النظرية 1 والنتيجة الطبيعية 1 كافية ولكنها ليست ضرورية لإمكانية مثل هذا التمثيل.

مثال 5تمثيل الوظيفة باعتبارها تكامل فورييه إذا

هذه الوظيفة فردية ومستمرة على ℝ ، باستثناء النقطتين ، ،.

بسبب غرابة الوظيفة وواقعيتها ، لدينا:

ومن المساواة (5) و (10) يتبع ذلك

في نقاط استمرارية الوظيفة لدينا:

لكن الوظيفة غريبة ، لذا

حيث يتم حساب التكامل بمعنى القيمة الأساسية.

الوظيفة زوجية ، لذا

إذا ، . من أجل المساواة

على افتراض ، من هنا نجد

إذا وضعنا التعبير الأخير لـ ، إذن

بافتراض أننا نجد هنا

إذا كانت الدالة ذات القيمة الحقيقية متواصلة على أي جزء من الخط الحقيقي ، ويمكن تكاملها تمامًا ولها مشتقات محدودة من جانب واحد في كل نقطة ، فعند نقاط استمرارية الدالة يتم تمثيلها على أنها تكامل فورييه

وعند نقاط انقطاع الوظيفة ، يجب استبدال الجانب الأيسر من المساواة (1) بـ

إذا كانت الدالة المستمرة القابلة للتكامل تمامًا في كل نقطة لها مشتقات محدودة من جانب واحد في كل نقطة ، ففي الحالة التي تكون فيها هذه الوظيفة متساوية ، فإن المساواة

وفي الحالة التي تكون فيها دالة فردية ، المساواة

مثال 5 '. تمثيل الوظيفة باعتبارها تكامل فورييه إذا:

بما أنها دالة زوجية مستمرة ، إذن ، باستخدام الصيغ (13.2) ، (13.2 ") ، لدينا

نشير بالرمز إلى التكامل المفهوم بمعنى القيمة الأساسية

النتيجة 2.لأي وظيفة استيفاء شروط النتيجة الطبيعية 1 ، هناك جميع التحولات , , , وهناك مساواة

مع وضع هذه العلاقات في الاعتبار ، غالبًا ما يُطلق على التحول (14) معكوس تحويل فورييهوبدلاً من ذلك ، اكتب ، وتسمى المساواة (15) نفسها صيغة تحويل فورييه.

مثال 6اسمحوا و

لاحظ أنه إذا كان ، ثم لأي وظيفة

لنأخذ دالة الآن. ثم

إذا أخذنا دالة تكون استمرارًا فرديًا للدالة ، على المحور العددي بأكمله

باستخدام النظرية 1 ، نحصل على ذلك

يتم فهم جميع التكاملات هنا بمعنى القيمة الأساسية ،

بفصل الجزء الحقيقي عن الجزء التخيلي في آخر تكامل ، نجد تكاملات لابلاس

تعريف . دور

سيطلق عليه تحويل فورييه الطبيعي.

تعريف . إذا كان تحويل فورييه الطبيعي للوظيفة ، فإن التكامل المرتبط به

سوف نسمي تكامل فورييه المقيس للدالة.

سننظر في تحويل فورييه الطبيعي (16).

للراحة ، نقدم الترميز التالي:

(أولئك. ).

بالمقارنة مع التدوين السابق ، هذه مجرد إعادة تطبيع: ومن ثم ، على وجه الخصوص ، تسمح لنا العلاقات (15) باستنتاج أن

أو بتدوين أقصر ،

التعريف 5.سيطلق على المشغل اسم تحويل فورييه الطبيعي ، وسيطلق على المشغل تحويل فورييه المقيس العكسي.

في Lemma 1 ، لوحظ أن تحويل فورييه لأي دالة قابلة للتكامل تمامًا على دالة تميل إلى الصفر عند اللانهاية. تنص العبارتان التاليتان على أنه ، مثل معاملات فورييه ، يميل تحويل فورييه إلى الصفر كلما كانت أسرع ، كلما كانت الوظيفة التي يتم أخذها منها أكثر سلاسة (في العبارة الأولى) ؛ هناك حقيقة متبادلة مع هذا وهي أنه كلما زادت سرعة الوظيفة التي يتم أخذ تحويل فورييه منها تميل إلى الصفر ، كلما كان تحويل فورييه أكثر سلاسة (العبارة الثانية).

البيان 1(حول العلاقة بين نعومة الوظيفة ومعدل انخفاض تحويل فورييه الخاص بها). اذا كان وجميع الميزات على الاطلاق تكامل , ومن بعد:

أ) لأي

ب)

البيان 2(حول العلاقة بين معدل اضمحلال الدالة ونعومة تحويل فورييه الخاص بها). إذا كانت دالة محلية قابلة للتكامل : هي مثل هذه الوظيفة قابل للتكامل تماماأ ، ومن بعد:

أ) تحويل فورييه للدالة ينتمي إلى الفصل

ب) هناك عدم مساواة

نقدم خصائص الأجهزة الرئيسية لتحويل فورييه.

ليما 2.يجب أن يكون هناك تحويل فورييه للوظائف و (على التوالي ، تحويل فورييه المعكوس) ، إذن ، مهما كانت الأرقام ، هناك تحويل فورييه (على التوالي ، تحويل فورييه المعكوس) وللوظيفة ، و

(على التوالى ).

تسمى هذه الخاصية الخطية لتحويل فورييه (على التوالي ، معكوس تحويل فورييه).

عاقبة. .

ليما 3.تحويل فورييه ، بالإضافة إلى التحويل العكسي ، هو تحويل واحد لواحد على مجموعة من الوظائف المستمرة القابلة للتكامل التام على المحور بأكمله ، مع وجود مشتقات من جانب واحد في كل نقطة.

هذا يعني أنه إذا كانت هناك وظيفتان من النوع المحدد وإذا كانت (على التوالي ، إذا ) ، ثم على المحور بأكمله.

من تأكيد Lemma 1 ، يمكننا الحصول على lemma التالي.

ليما 4.إذا كان تسلسل وظائف قابلة للتكامل تماما ووظيفة قابلة للتكامل تمامًا هي تلك

ثم يتحول التسلسل بشكل موحد على المحور بأكمله إلى الوظيفة.

دعونا الآن ندرس تحويل فورييه لتلافيف وظيفتين. للراحة ، نقوم بتعديل تعريف الالتواء بإضافة عامل إضافي

نظرية 2.دع الدوال تكون محدودة ومستمرة وقابلة للتكامل تمامًا على المحور الحقيقي ، إذن

أولئك. يساوي تحويل فورييه لالتواء وظيفتين ناتج تحويلات فورييه لهذه الوظائف.

دعنا نجمع جدول ملخص رقم 1 لخصائص تحويل فورييه المقيس ، وهو مفيد في حل المشكلات أدناه.

الجدول 1

دور	تطبيع تحويل فورييه

باستخدام الخصائص 1-4 و 6 ، نحصل على

مثال 7أوجد تحويل فورييه الطبيعي للدالة

أظهر المثال 4 ذلك

كما لو

وفقًا للخاصية 3 ، لدينا:

وبالمثل ، يمكنك تجميع الجدول رقم 2 لمعكوس تحويل فورييه المقيس:

الجدول رقم 2

دور	تحويل فورييه العكسي الطبيعي

كما كان من قبل ، باستخدام الخصائص 1-4 و 6 نحصل على ذلك

المثال 8أوجد معكوس تحويل فورييه المقيس لدالة

على النحو التالي من المثال 6

عندما نمتلك:

تمثيل الوظيفة في النموذج

استخدام الخاصية 6 عندما

خيارات لمهام التسوية والعمل الرسومي

1. أوجد الجيب - تحويل فورييه للدالة

2. أوجد الجيب - تحويل فورييه للدالة

3. أوجد جيب التمام - تحويل فورييه للدالة

4. أوجد جيب التمام - تحويل فورييه للدالة

5. أوجد الجيب - تحويل فورييه للدالة

6- البحث عن جيب التمام - تحويل فورييه للدالة

7. أوجد تحويل الجيب - فورييه للدالة

8. أوجد جيب التمام - تحويل فورييه للدالة

9. أوجد جيب التمام - تحويل فورييه للدالة

10. أوجد الجيب - تحويل فورييه للدالة

11. أوجد الجيب - تحويل فورييه للدالة

12. البحث عن شرط - وظيفة التحول

13. البحث عن شرط - وظيفة التحول

14. البحث عن جيب التمام - تحويل الوظيفة

15. البحث عن جيب التمام - تحويل الوظيفة

16. ابحث عن تحويل فورييه للدالة إذا:

17. أوجد تحويل فورييه للدالة إذا:

18- أوجد تحويل فورييه للدالة إذا:

19. أوجد تحويل فورييه للدالة إذا:

20. أوجد تحويل فورييه للدالة إذا:

21. ابحث عن تحويل فورييه للدالة إذا:

22. أوجد معكوس تحويل فورييه المقيس لدالة

باستخدام الصيغة

24. أوجد معكوس تحويل فورييه المقيس لدالة

باستخدام الصيغة

26. أوجد معكوس تحويل فورييه المقيس لدالة

باستخدام الصيغة

28. أوجد معكوس تحويل فورييه المقيس لدالة

باستخدام الصيغة

30. أوجد معكوس تحويل فورييه المقيس لدالة

باستخدام الصيغة

23. أوجد معكوس تحويل فورييه المقيس لدالة

باستخدام الصيغة

25. أوجد معكوس تحويل فورييه المقيس لدالة

باستخدام الصيغة

27. أوجد معكوس تحويل فورييه المقيس لدالة

باستخدام الصيغة

29. أوجد معكوس تحويل فورييه المقيس لدالة

باستخدام الصيغة

31. أوجد معكوس تحويل فورييه المقيس لدالة

باستخدام الصيغة

32. تمثيل وظيفة باعتبارها جزء لا يتجزأ من فورييه

33. تمثيل وظيفة باعتبارها جزء لا يتجزأ من فورييه

34. تمثيل وظيفة باعتبارها جزء لا يتجزأ من فورييه

35. تمثيل وظيفة كجزء لا يتجزأ من فورييه

36. تمثيل وظيفة باعتبارها جزء لا يتجزأ من فورييه

37. تمثيل وظيفة باعتبارها جزء لا يتجزأ من فورييه

38. تمثيل وظيفة باعتبارها جزء لا يتجزأ من فورييه

39. تمثيل وظيفة باعتبارها جزء لا يتجزأ من فورييه

40. تمثيل وظيفة باعتبارها جزء لا يتجزأ من فورييه

41. تمثيل وظيفة باعتبارها جزء لا يتجزأ من فورييه

42. تمثيل وظيفة باعتبارها جزء لا يتجزأ من فورييه

43. تمثيل الوظيفة باعتبارها تكامل فورييه ، مع تمديدها بطريقة غريبة إلى الفترة الزمنية إذا:

44. تمثيل الوظيفة باعتبارها تكامل فورييه ، مع استمرارها بطريقة غريبة في الفترة الزمنية إذا.

التي سئمت بالفعل. وأشعر أن اللحظة قد حان عندما حان الوقت لاستخراج أطعمة معلبة جديدة من الاحتياطيات الاستراتيجية النظرية. هل من الممكن توسيع الدالة إلى سلسلة بطريقة أخرى؟ على سبيل المثال ، للتعبير عن مقطع مستقيم من حيث الجيب وجيب التمام؟ يبدو الأمر لا يصدق ، لكن مثل هذه الوظائف التي تبدو بعيدة تفسح المجال لذلك
"جمع شمل". بالإضافة إلى الدرجات العلمية المألوفة في النظرية والتطبيق ، هناك طرق أخرى لتوسيع دالة إلى سلسلة.

في هذا الدرس ، سوف نتعرف على سلسلة فورييه المثلثية ، ونتطرق إلى مسألة تقاربها ومجموعها ، وبالطبع سنقوم بتحليل العديد من الأمثلة لتوسيع الدوال في سلسلة فورييه. أردت بصدق تسمية المقال "سلسلة فورييه للدمى" ، لكن هذا سيكون ماكرًا ، لأن حل المشكلات سيتطلب معرفة أقسام أخرى من التحليل الرياضي وبعض الخبرة العملية. لذلك ، فإن الديباجة ستشبه تدريب رواد الفضاء =)

أولاً ، يجب التعامل مع دراسة مواد الصفحة بشكل ممتاز. نعسان وراحة ورصينة. بدون عواطف قوية حول مخلب الهامستر المكسور والأفكار الهوسية حول مصاعب حياة أسماك الزينة. سلسلة فورييه ليست صعبة من وجهة نظر الفهم ، ومع ذلك ، فإن المهام العملية تتطلب ببساطة تركيزًا متزايدًا للانتباه - من الناحية المثالية ، يجب على المرء أن يتخلى تمامًا عن المحفزات الخارجية. تفاقم الوضع بسبب عدم وجود طريقة سهلة للتحقق من الحل والجواب. وبالتالي ، إذا كانت صحتك أقل من المتوسط ​​، فمن الأفضل أن تفعل شيئًا أبسط. حقيقة.

ثانيًا ، قبل الطيران إلى الفضاء ، من الضروري دراسة لوحة أجهزة المركبة الفضائية. لنبدأ بقيم الوظائف التي يجب النقر فوقها على الجهاز:

لأي قيمة طبيعية:

واحد) . وفي الواقع ، "يومض" الجيب الجيبي المحور x عبر كل "pi":
. في حالة القيم السالبة للوسيطة ، ستكون النتيجة بالطبع هي نفسها:.

2). لكن لم يعرف الجميع ذلك. إن جيب التمام "pi en" يعادل "الضوء الوامض":

الحجة السلبية لا تغير الحالة: .

ربما يكفي.

وثالثاً ، أيها رواد الفضاء الأعزاء ، عليكم أن تكونوا قادرين على ... دمج.
على وجه الخصوص ، بالتأكيد إحضار دالة تحت علامة تفاضلية, تكامل الأجزاءويكون على علاقة جيدة مع صيغة نيوتن ليبنيز. لنبدأ التدريبات المهمة قبل الرحلة. لا أوصي بشدة بتخطيها ، حتى لا تتسطح لاحقًا في حالة انعدام الجاذبية:

مثال 1

احسب التكاملات المحددة

حيث تأخذ القيم الطبيعية.

المحلول: يتم التكامل على المتغير "x" وفي هذه المرحلة يعتبر المتغير المنفصل "en" ثابتًا. في كل التكاملات ضع الوظيفة تحت علامة التفاضل:

تبدو نسخة مختصرة من الحل ، والتي سيكون من الجيد تصويرها ، كما يلي:

التعود:

النقاط الأربع المتبقية هي من تلقاء نفسها. حاول التعامل مع المهمة بضمير حي وترتيب التكاملات بطريقة قصيرة. نماذج الحلول في نهاية الدرس.

بعد تمرين الجودة ، نرتدي بدلات الفضاء
والاستعداد للبدء!

توسيع دالة في سلسلة فورييه في الفترة

دعنا نفكر في وظيفة يحددعلى الأقل في الفترة الزمنية (وربما في فترة زمنية أكبر). إذا كانت هذه الوظيفة قابلة للتكامل في المقطع ، فيمكن توسيعها لتصبح مثلثية سلسلة فورييه:
أين هي ما يسمى ب معاملات فورييه.

في هذه الحالة ، يتم استدعاء الرقم فترة التحلل، والرقم تحلل نصف العمر.

من الواضح ، في الحالة العامة ، تتكون سلسلة فورييه من الجيب وجيب التمام:

في الواقع ، دعنا نكتبها بالتفصيل:

عادة ما يتم كتابة المصطلح الصفري من السلسلة كـ.

تُحسب معاملات فورييه باستخدام الصيغ التالية:

أفهم جيدًا أن المصطلحات الجديدة لا تزال غامضة بالنسبة للمبتدئين لدراسة الموضوع: فترة التحلل, نصف دورة, معاملات فورييهوغيرهم. لا داعي للذعر ، فهو لا يقارن بالإثارة قبل السير في الفضاء. دعنا نكتشف كل شيء في أقرب مثال ، قبل التنفيذ الذي من المنطقي طرح أسئلة عملية ملحة:

ماذا عليك أن تفعل في المهام التالية؟

وسّع الدالة إلى سلسلة فورييه. بالإضافة إلى ذلك ، غالبًا ما يكون مطلوبًا رسم رسم بياني لوظيفة ، رسم بياني لمجموع سلسلة ، ومجموع جزئي ، وفي حالة التخيلات الأكاديمية المعقدة ، افعل شيئًا آخر.

كيف توسع دالة إلى سلسلة فورييه؟

في الأساس ، عليك أن تجد معاملات فورييه، أي ، يؤلف ويحسب ثلاثة تكاملات محددة.

يرجى نسخ النموذج العام لسلسلة فورييه وصيغ العمل الثلاث في دفتر ملاحظاتك. أنا سعيد جدًا لأن بعض زوار الموقع لديهم حلم طفولتهم في أن يصبحوا رائد فضاء يتحقق أمام عيني مباشرةً =)

مثال 2

قم بتوسيع الدالة في سلسلة فورييه على الفترة. أنشئ رسمًا بيانيًا ، ورسمًا بيانيًا لمجموع سلسلة ومجموع جزئي.

المحلول: الجزء الأول من المهمة هو توسيع الوظيفة إلى سلسلة فورييه.

البداية قياسية ، تأكد من كتابة ما يلي:

في هذه المشكلة ، فترة التوسع ، نصف الفترة.

نقوم بتوسيع الدالة في سلسلة فورييه على الفترة الزمنية:

باستخدام الصيغ المناسبة ، نجد معاملات فورييه. الآن علينا تكوين ثلاثة وحسابها تكاملات محددة. للراحة ، سأقوم بترقيم النقاط:

1) التكامل الأول هو الأبسط ، ولكنه يتطلب بالفعل عينًا وعينًا:

2) نستخدم الصيغة الثانية:

هذا التكامل معروف و يأخذها مجزأة:

عندما وجدت تستخدم طريقة إحضار دالة تحت علامة تفاضلية.

في المهمة قيد النظر ، يكون الاستخدام الفوري أكثر ملاءمة صيغة للتكامل حسب الأجزاء في تكامل محدد :

زوجان من الملاحظات الفنية. أولا ، بعد تطبيق الصيغة يجب وضع التعبير بالكامل بين أقواس كبيرة، حيث يوجد ثابت أمام التكامل الأصلي. دعونا لا نفقدها! يمكن فتح الأقواس في أي خطوة أخرى ، لقد فعلت ذلك في آخر منعطف. في أول "قطعة" نظهر دقة قصوى في الاستبدال ، كما ترى ، الثابت خارج العمل ، ويتم استبدال حدود التكامل في المنتج. تم تمييز هذا الإجراء بأقواس مربعة. حسنًا ، إن تكامل "القطعة" الثانية من الصيغة معروف جيدًا لك من مهمة التدريب ؛-)

والأهم من ذلك - التركيز النهائي للانتباه!

3) نبحث عن معامل فورييه الثالث:

يتم الحصول على قريب من التكامل السابق ، وهو أيضًا متكامل من الأجزاء:

هذا المثال أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، وسأعلق على الخطوات الإضافية خطوة بخطوة:

(1) التعبير بأكمله محاط بأقواس كبيرة.. لم أكن أريد أن أبدو مثل التجويف ، فهم يفقدون الثابت كثيرًا.

(2) في هذه الحالة ، قمت على الفور بتوسيع تلك الأقواس الكبيرة. انتباه خاصنكرس "القطعة" الأولى: الدخان المستمر على الهامش ولا يشارك في استبدال حدود التكامل (و) في المنتج. في ضوء الفوضى في السجل ، يُنصح مرة أخرى بتسليط الضوء على هذا الإجراء بين قوسين معقوفين. مع "القطعة" الثانية كل شيء أبسط: هنا ظهر الكسر بعد فتح الأقواس الكبيرة ، والثابت - نتيجة دمج التكامل المألوف ؛-)

(3) بين قوسين مربعين ، نقوم بإجراء تحويلات ، وفي التكامل الصحيح ، نعوض بحدود التكامل.

(4) نخرج "المتعري" من الأقواس المربعة: وبعد ذلك نفتح الأقواس الداخلية:.

(5) نقوم بإلغاء 1 و -1 بين قوسين وإجراء التبسيط النهائي.

وجدت أخيرًا جميع معاملات فورييه الثلاثة:

استبدلهم في الصيغة :

لا تنسى أن تنقسم إلى نصفين. في الخطوة الأخيرة ، يتم إخراج الثابت ("ناقص اثنين") ، الذي لا يعتمد على "en" ، من المجموع.

وهكذا ، حصلنا على توسيع الدالة في سلسلة فورييه على الفترة الزمنية:

دعونا ندرس مسألة تقارب سلسلة فورييه. سأشرح النظرية على وجه الخصوص نظرية ديريتشليت، حرفيا "على الأصابع" ، لذلك إذا كنت بحاجة إلى صيغ صارمة ، فيرجى الرجوع إلى كتاب مدرسي في حساب التفاضل والتكامل (على سبيل المثال ، المجلد الثاني من Bohan ؛ أو المجلد الثالث من Fichtenholtz ، ولكنه أكثر صعوبة فيه).

في الجزء الثاني من المهمة ، يلزم رسم رسم بياني ، ورسم بياني لمجموع سلسلة ، ورسم بياني لمجموع جزئي.

الرسم البياني للوظيفة هو المعتاد خط مستقيم على متن الطائرة، والتي يتم رسمها بخط أسود منقط:

نحن نتعامل مع مجموع السلسلة. كما تعلم ، تتلاقى السلاسل الوظيفية مع الوظائف. في حالتنا ، سلسلة فورييه المبنية لأي قيمة "x"يتقارب مع الوظيفة الموضحة باللون الأحمر. هذه الوظيفة تخضع ل فواصل من النوع الأولبالنقاط ، ولكن تم تحديدها أيضًا (النقاط الحمراء في الرسم)

في هذا الطريق: . من السهل أن ترى أنها تختلف بشكل ملحوظ عن الوظيفة الأصلية ، وهذا هو السبب في التدوين يتم استخدام التلدة بدلاً من علامة يساوي.

دعونا ندرس خوارزمية يكون من خلالها مناسبًا لبناء مجموع سلسلة.

في الفاصل المركزي ، تتقارب سلسلة فورييه مع الوظيفة نفسها (المقطع الأحمر المركزي يتزامن مع الخط المنقط الأسود للوظيفة الخطية).

لنتحدث الآن قليلاً عن طبيعة التوسع المثلثي المدروس. سلسلة فورييه يتضمن فقط الدوال الدورية (الثابت ، الجيب وجيب التمام) ، وبالتالي فإن مجموع المتسلسلة هي أيضًا وظيفة دورية.

ماذا يعني هذا في مثالنا الخاص؟ وهذا يعني أن مجموع المتسلسلة –دورية بالضرورةويجب أن يتكرر الجزء الأحمر من الفترة الزمنية بلا حدود على اليسار واليمين.

أعتقد أن معنى عبارة "فترة التحلل" أصبح واضحًا الآن. ببساطة ، في كل مرة يكرر الموقف نفسه مرارًا وتكرارًا.

من الناحية العملية ، يكفي عادةً تصوير ثلاث فترات تحلل ، كما هو الحال في الرسم. حسنًا ، والمزيد من "جذوع الأشجار" للفترات المجاورة - لتوضيح أن الرسم البياني مستمر.

ذات أهمية خاصة نقاط الانقطاع من النوع الأول. في مثل هذه النقاط ، تتقارب سلسلة فورييه مع قيم معزولة ، والتي تقع بالضبط في منتصف "قفزة" عدم الاستمرارية (النقاط الحمراء في الرسم). كيف تجد احداثي هذه النقاط؟ أولاً ، لنجد إحداثي "الطابق العلوي": لهذا ، نحسب قيمة الوظيفة في أقصى نقطة على يمين فترة التمدد المركزية:. أسهل طريقة لحساب إحداثيات "الطابق السفلي" هي أخذ القيمة الموجودة في أقصى اليسار لنفس الفترة: . إحداثيات متوسط ​​القيمة هو المتوسط ​​الحسابي لمجموع "أعلى وأسفل":. لطيفة هي حقيقة أنه عند إنشاء رسم ، سترى على الفور ما إذا كان الوسط محسوبًا بشكل صحيح أو غير صحيح.

دعونا نبني مجموعًا جزئيًا للسلسلة ونكرر في نفس الوقت معنى مصطلح "التقارب". الدافع معروف من الدرس حول مجموع سلسلة الأرقام. دعونا نصف ثروتنا بالتفصيل:

للحصول على مجموع جزئي ، عليك كتابة صفر + حدين آخرين من المتسلسلة. هذا هو،

في الرسم ، يظهر الرسم البياني للوظيفة باللون الأخضر ، وكما ترى ، فإنه يلتف حول المجموع الكلي بإحكام شديد. إذا أخذنا في الاعتبار مجموعًا جزئيًا من خمسة حدود من المتسلسلة ، فإن الرسم البياني لهذه الوظيفة سيقارب الخطوط الحمراء بشكل أكثر دقة ، إذا كان هناك مائة حد ، فإن "الثعبان الأخضر" سوف يندمج تمامًا مع المقاطع الحمراء ، إلخ. وهكذا ، تتقارب سلسلة فورييه مع مجموعها.

من المثير للاهتمام أن نلاحظ أن أي مبلغ جزئي هو وظيفة مستمرة، لكن المجموع الإجمالي للسلسلة لا يزال غير مستمر.

من الناحية العملية ، ليس من غير المألوف إنشاء رسم بياني لمجموع جزئي. كيف افعلها؟ في حالتنا ، من الضروري مراعاة الوظيفة الموجودة في المقطع ، وحساب قيمها في نهايات المقطع وعند النقاط الوسيطة (كلما زاد عدد النقاط التي تفكر فيها ، كلما كان الرسم البياني أكثر دقة). ثم يجب عليك تحديد هذه النقاط على الرسم ورسم رسم بياني بعناية على الفترة الزمنية ، ثم "تكرارها" في فترات متجاورة. و إلا كيف؟ بعد كل شيء ، التقريب هو أيضًا وظيفة دورية ... ... الرسم البياني الخاص به يذكرني بطريقة ما بإيقاع قلب منتظم على شاشة جهاز طبي.

بالطبع ، ليس من الملائم جدًا تنفيذ البناء ، حيث يجب أن تكون حذرًا للغاية ، مع الحفاظ على دقة لا تقل عن نصف ملليمتر. ومع ذلك ، سأُرضي القراء الذين يختلفون مع الرسم - في مهمة "حقيقية" ، ليس من الضروري دائمًا إجراء رسم ، في مكان ما في 50٪ من الحالات ، يلزم توسيع الوظيفة إلى سلسلة فورييه وهذا هو هو - هي.

بعد الانتهاء من الرسم نكمل المهمة:

إجابه:

في العديد من المهام ، تعاني الوظيفة تمزق من النوع الأولالحق في فترة التحلل:

مثال 3

توسيع في سلسلة فورييه الدالة المعطاة في الفترة. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة وللمجموع الإجمالي للسلسلة.

يتم إعطاء الوظيفة المقترحة متعدد التعريف (وانتبه لك ، فقط في الجزء)وتحمل تمزق من النوع الأولعند نقطة . هل من الممكن حساب معاملات فورييه؟ لا مشكلة. كلا الجزأين الأيمن والأيسر للدالة قابلين للتكامل في فترات كل منهما ، لذلك يجب تمثيل التكاملات في كل من الصيغ الثلاثة على أنها مجموع تكاملين. لنرى ، على سبيل المثال ، كيف يتم ذلك لمعامل الصفر:

اتضح أن التكامل الثاني يساوي صفرًا ، مما قلل من الشغل ، لكن هذا ليس هو الحال دائمًا.

تمت كتابة معاملين فورييه آخرين بالمثل.

كيفية عرض مجموع سلسلة؟ على الفاصل الزمني الأيسر ، نرسم مقطعًا بخط مستقيم ، وعلى الفاصل - مقطع خط مستقيم (حدد قسم المحور بخط عريض غامق). أي ، في فترة التوسع ، يتطابق مجموع المتسلسلة مع الدالة في كل مكان ، باستثناء ثلاث نقاط "سيئة". عند نقطة انقطاع الوظيفة ، تتقارب سلسلة فورييه مع قيمة معزولة ، والتي تقع بالضبط في منتصف "قفزة" الانقطاع. ليس من الصعب رؤيته شفهيًا: حد اليد اليسرى: الحد الأيمن: ومن الواضح أن إحداثيات نقطة المنتصف هي 0.5.

بسبب دورية المجموع ، يجب "مضاعفة" الصورة في فترات متجاورة ، على وجه الخصوص ، تصور نفس الشيء على فترات و. في هذه الحالة ، عند النقاط ، تتقارب سلسلة فورييه مع القيم المتوسطة.

في الواقع ، لا يوجد شيء جديد هنا.

حاول حل هذه المشكلة بنفسك. نموذج تقريبي للتصميم الجيد والرسم في نهاية الدرس.

توسيع دالة في سلسلة فورييه في فترة عشوائية

بالنسبة لفترة التوسع التعسفي ، حيث يمثل "el" أي رقم موجب ، تختلف الصيغ الخاصة بسلسلة فورييه ومعاملات فورييه في حجة جيب وجيب التمام أكثر تعقيدًا:

إذا ، إذن نحصل على الصيغ للفترة التي بدأنا بها.

تم الحفاظ على الخوارزمية ومبادئ حل المشكلة تمامًا ، لكن التعقيد التقني للحسابات يزداد:

مثال 4

وسّع الدالة إلى سلسلة فورييه وارسم المجموع.

المحلول: في الواقع ، نظير المثال رقم 3 مع تمزق من النوع الأولعند نقطة . في هذه المشكلة ، فترة التوسع ، نصف الفترة. يتم تحديد الوظيفة فقط على نصف الفترة الزمنية ، ولكن هذا لا يغير الأشياء - من المهم أن يكون كلا الجزأين من الوظيفة قابلين للتكامل.

دعنا نوسع الدالة إلى سلسلة فورييه:

نظرًا لأن الوظيفة غير متصلة في الأصل ، فمن الواضح أنه يجب كتابة كل معامل فورييه كمجموع تكاملين:

1) سأكتب أول جزء مفصل قدر الإمكان:

2) انظر بعناية إلى سطح القمر:

التكامل الثاني تأخذ في أجزاء:

ما الذي يجب عليك الانتباه إليه بعد فتح استمرار الحل بعلامة النجمة؟

أولاً ، لا نفقد التكامل الأول ، حيث ننفذ على الفور وضع تحت علامة التفاضل. ثانيًا ، لا تنسَ الثابت المشؤوم قبل الأقواس الكبيرة و لا ترتبك العلاماتعند استخدام الصيغة . الأقواس الكبيرة ، بعد كل شيء ، من الأنسب فتحها على الفور في الخطوة التالية.

الباقي هو مسألة تقنية ، فقط الخبرة غير الكافية في حل التكاملات يمكن أن تسبب صعوبات.

نعم ، لم يكن عبثًا أن زملاء بارزين لعالم الرياضيات الفرنسي فورييه كانوا ساخطين - كيف تجرأ على تحليل الدوال إلى سلاسل مثلثية ؟! =) بالمناسبة ، ربما يكون الجميع مهتمًا بالمعنى العملي للمهمة المعنية. عمل فورييه بنفسه على نموذج رياضي للتوصيل الحراري ، وبعد ذلك بدأ استخدام السلسلة التي سميت باسمه لدراسة العديد من العمليات الدورية ، والتي يبدو أنها غير مرئية في العالم الخارجي. بالمناسبة ، وجدت نفسي أفكر أنه ليس من قبيل المصادفة أن أقارن الرسم البياني للمثال الثاني بإيقاع دوري للقلب. يمكن للمهتمين التعرف على التطبيق العملي فورييه يتحولمن مصادر طرف ثالث. ... على الرغم من أنه من الأفضل عدم القيام بذلك - سيتم تذكره على أنه الحب الأول =)

3) بالنظر إلى الروابط الضعيفة التي ذكرناها مرارًا وتكرارًا ، نتعامل مع المعامل الثالث:

التكامل بالأجزاء:

نعوض بمعاملات فورييه التي تم إيجادها في الصيغة مع عدم نسيان تقسيم معامل الصفر إلى النصف:

دعونا نرسم مجموع المتسلسلة. دعنا نكرر الإجراء لفترة وجيزة: في الفاصل الزمني نبني خطًا ، وفي الفاصل الزمني - خطًا. مع القيمة الصفرية لـ "x" ، نضع نقطة في منتصف "قفزة" الفجوة و "نسخ" المخطط للفترات المجاورة:


عند "تقاطعات" الفترات ، سيكون المجموع أيضًا مساويًا لنقاط منتصف "قفزة" الفجوة.

مستعد. أذكرك أن الوظيفة نفسها محددة بشروط فقط على نصف الفترة ، ومن الواضح أنها تتزامن مع مجموع المتسلسلة على الفترات

إجابه:

في بعض الأحيان ، تكون الدالة المعطاة متعددة التعريف مستمرة أيضًا في فترة التوسع. أبسط مثال: . المحلول (انظر بوهان المجلد 2)هو نفسه كما في المثالين السابقين: بالرغم من استمرارية الوظيفةعند هذه النقطة ، يتم التعبير عن كل معامل فورييه على أنه مجموع تكاملين.

في فترة التفكك نقاط الانقطاع من النوع الأولو / أو نقاط "الوصلات" في الرسم البياني قد تكون أكثر (نقطتان ، ثلاثة ، وبشكل عام أي نهائيمقدار). إذا كانت الوظيفة قابلة للتكامل من كل جزء ، فإنها أيضًا قابلة للتوسيع في سلسلة فورييه. لكن من التجربة العملية ، لا أتذكر مثل هذه القصدير. ومع ذلك ، هناك مهام أكثر صعوبة مما تم النظر فيه فقط ، وفي نهاية المقال توجد روابط لكل شخص بسلسلة فورييه ذات التعقيد المتزايد.

في هذه الأثناء ، دعنا نسترخي ، متكئين على كراسينا ونفكر في المساحات اللانهائية من النجوم:

مثال 5

قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه على الفاصل ورسم مجموع المتسلسلة.

في هذه المهمة ، الوظيفة مستمرعلى فترة التحلل النصفية ، مما يبسط الحل. كل شيء مشابه جدًا للمثال رقم 2. لا مفر من سفينة الفضاء - عليك أن تقرر =) عينة تصميم تقريبية في نهاية الدرس ، الجدول مرفق.

توسيع سلسلة فورييه للوظائف الفردية والزوجية

مع الدوال الزوجية والفردية ، يتم تبسيط عملية حل المشكلة بشكل ملحوظ. وهذا هو السبب. دعنا نعود إلى توسيع الدالة في سلسلة فورييه في فترة "اثنين باي" والفترة التعسفية "two ales" .

لنفترض أن الدالة زوجية. المصطلح العام للسلسلة ، كما ترى ، يحتوي على جيب تمام وجيب فردي. وإذا حللنا دالة EVEN ، فلماذا نحتاج إلى الجيب الفردي ؟! دعنا نعيد ضبط المعامل غير الضروري:.

في هذا الطريق، تتوسع الدالة الزوجية إلى سلسلة فورييه فقط في جيب التمام:

بسبب ال تكاملات التوابع الزوجيةعلى جزء من التكامل المتماثل بالنسبة للصفر يمكن مضاعفته ، ثم يتم أيضًا تبسيط باقي معاملات فورييه.

لامتداد:

لفاصل زمني تعسفي:

تتضمن أمثلة الكتب المدرسية الموجودة في أي كتاب من كتب التفاضل والتكامل تقريبًا توسعات في الوظائف الزوجية . بالإضافة إلى ذلك ، التقوا مرارًا وتكرارًا في ممارستي الشخصية:

مثال 6

إعطاء وظيفة. مطلوب:

1) قم بتوسيع الوظيفة إلى سلسلة فورييه مع نقطة ، حيث يكون رقمًا موجبًا تعسفيًا ؛

2) اكتب التمدد في الفترة ، وقم ببناء دالة ورسم المجموع الكلي للسلسلة بيانيًا.

المحلول: في الفقرة الأولى يقترح حل المشكلة بشكل عام وهذا مناسب جدا! ستكون هناك حاجة - فقط استبدل القيمة الخاصة بك.

1) في هذه المشكلة ، فترة التوسع ، نصف الفترة. في سياق الإجراءات الإضافية ، لا سيما أثناء الاندماج ، تعتبر "el" ثابتة

الوظيفة زوجية ، مما يعني أنها تتوسع إلى سلسلة فورييه فقط في جيب التمام: .

يتم البحث عن معاملات فورييه بواسطة الصيغ . انتبه لمزاياها المطلقة. أولاً ، يتم تنفيذ التكامل على الجزء الموجب من التوسيع ، مما يعني أننا نتخلص من الوحدة بأمان ، مع الأخذ في الاعتبار فقط "x" من قطعتين. وثانيًا ، يتم تبسيط التكامل بشكل ملحوظ.

اثنين:

التكامل بالأجزاء:

في هذا الطريق:
، بينما الثابت ، الذي لا يعتمد على "en" ، يتم حذفه من المجموع.

إجابه:

2) نكتب التوسع على الفترة الزمنية ، لذلك نستبدل القيمة المرغوبة لنصف الفترة بالصيغة العامة:

إحدى الأدوات القوية لدراسة مشاكل الفيزياء الرياضية هي طريقة التحولات المتكاملة. دع الدالة f (x) تُعرّف على الفترة (أ ، 6) ، محدودة أو غير محدودة. التحويل المتكامل للوظيفة f (x) هو الوظيفة حيث K (x، w) هي وظيفة ثابتة لتحويل معين ، يسمى نواة التحويل (من المفترض أن التكامل (*) موجود بمعناه الصحيح أو غير المناسب ). §واحد. تكامل فورييه يمكن تمثيل أي دالة f (x) ، والتي في المقطع [-f، I] تفي بشروط التمدد إلى سلسلة فورييه ، يمكن تمثيلها على هذا المقطع من خلال سلسلة مثلثية. يحول جيب التمام والجيب أطياف الاتساع والطور خصائص التطبيق يمكن كتابة السلسلة على الجانب الأيمن من المعادلة (1) في شكل مختلف. لهذا الغرض ، نقدمه من الصيغ (2) قيم المعامِلات a »و op ، بإدراج التكاملات cos ^ x و sin x (وهو أمر ممكن ، لأن متغير التكامل هو m) O) واستخدام صيغة جيب تمام الاختلاف. سيكون لدينا إذا تم تحديد الوظيفة / (س) في الأصل على الفاصل الزمني للمحور العددي أكبر من الفاصل [-1،1] (على سبيل المثال ، على المحور بأكمله) ، فإن التوسع (3) سيعيد إنتاج القيم من هذه الوظيفة فقط في الفترة [-1 ، 1] والاستمرار على المحور الحقيقي بأكمله كدالة دورية بفترة 21 (الشكل 1). لذلك ، إذا تم تحديد الوظيفة f (x) (بشكل عام ، غير دورية) على المحور الحقيقي بأكمله ، في الصيغة (3) يمكن للمرء محاولة المرور إلى الحد مثل I + oo. في هذه الحالة ، من الطبيعي أن تتطلب استيفاء الشروط التالية: 1. تستوفي f (x) شروط التمدد إلى سلسلة فورييه على أي جزء محدود من محور الثور 2. الوظيفة f (x) مطلقة قابل للتكامل على المحور الحقيقي بأكمله (3) يميل إلى الصفر مثل I - * + oo. في الواقع ، دعونا نحاول تحديد ما سيذهب إليه المجموع الموجود على الجانب الأيمن من (3) في النهاية مثل I + oo. لنفترض أن المجموع الموجود على الجانب الأيمن من (3) سيأخذ الشكل بسبب التقارب المطلق للتكامل ، فإن هذا المجموع الكبير I يختلف قليلاً عن التعبير الذي يشبه المجموع المتكامل لوظيفة متغير £ تم تجميعه للفاصل الزمني (0، + oo) للتغيير. لذلك ، من الطبيعي أن نتوقع أن ينتقل المجموع (5) إلى التكامل С ومن ناحية أخرى ، بالنسبة للثابت) فإنه يتبع من الصيغة (3 ) أننا نحصل أيضًا على المساواة. يتم التعبير عن الشرط الكافي لصحة الصيغة (7) بالنظرية التالية. النظرية 1. إذا كانت الوظيفة f (x) قابلة للتكامل تمامًا على المحور الحقيقي بأكمله ، ولها ، جنبًا إلى جنب مع مشتقها ، عددًا محدودًا من نقاط عدم الاستمرارية من النوع الأول على أي مقطع [a ، 6] ، إذن من النوع الأول للدالة / (س) ، فإن قيمة التكامل على الجانب الأيمن من (7) تساوي الصيغة (7) تسمى صيغة فورييه المتكاملة ، والتكامل الموجود على جانبها الأيمن يسمى تكامل فورييه. إذا استخدمنا صيغة يوم جيب التمام للفرق ، فيمكن كتابة الصيغة (7) على أنها الدوال a (t) ، b (t) هي نظائر لمعاملات فورييه المقابلة an و bn لدوري 2n دالة ، ولكن يتم تعريف الأخيرة للقيم المنفصلة لـ n ، بينما يتم تعريف (0> H O للقيم المستمرة لـ G (-oo ، + oo) الشكل المعقد لتكامل فورييه بافتراض f (x) لكي تكون قابلة للتكامل تمامًا على المحور x بأكمله ، فإننا نعتبر التكامل ، من الواضح أنه دالة فردية لـ ولكن من ناحية أخرى ، التكامل هو دالة زوجية للمتغير ، لذلك ، يمكن كتابة صيغة فورييه المتكاملة على النحو التالي : دعونا نضرب المساواة في الوحدة التخيلية i ونضيف إلى المساواة (10). هذا هو الشكل المعقد لتكامل فورييه. هنا ، يُفهم التكامل الخارجي على t بمعنى قيمة كوشي الأساسية: § 2 تحويل فورييه لجيب التمام وتحويل جيب فورييه يكون الخط f (x) سلسًا على أي جزء محدود من المحور x ويمكن تكامله تمامًا على المحور بأكمله. تعريف. تسمى الوظيفة التي سنحصل عليها ، بحكم صيغة أويلر ، تحويل فورييه للدالة f (r) (الوظيفة الطيفية). هذا هو التحويل المتكامل للدالة / (r) في الفترة (-oo، + oo) مع النواة. باستخدام صيغة فورييه المتكاملة ، نحصل على هذا ما يسمى بتحويل فورييه المعكوس ، والذي يعطي الانتقال من F (t) إلى / (x). في بعض الأحيان ، يتم إعطاء تحويل فورييه المباشر على النحو التالي: ثم يتم تحديد تحويل فورييه المعكوس بواسطة الصيغة. من خصائص تطبيق أطياف السعة والطور للتحويل ، في هذه الحالة ، يكون موضع العامل ^ عشوائيًا إلى حد ما: يمكنه إدخال إما الصيغة (1 ") أو الصيغة (2"). مثال 1. أوجد تحويل فورييه للدالة -4 لدينا هذه المساواة تسمح بالتفاضل فيما يتعلق بـ £ تحت علامة التكامل (التكامل الذي تم الحصول عليه بعد التفاضل يتقارب بشكل موحد عندما (ينتمي إلى أي جزء محدد): التكامل بالأجزاء ، سيكون لدينا يختفي المصطلح خارج التكامل ، ونصل من حيث (C هو ثابت التكامل). ضبط £ = 0 في (4) ، نجد С = F (0). بحكم (3) لدينا من المعروف أننا على وجه الخصوص ، لأننا نحصل على ذلك دعونا ننظر في الوظيفة 4. بالنسبة لأطياف الدالة F (t) ، نحصل على (الشكل 2). شرط التكامل المطلق للدالة f (x) على المحور الحقيقي بأكمله صارم للغاية. فهو يستثني ، على سبيل المثال ، الوظائف الأولية مثل f (x) = e1 ، والتي لا يوجد لها تحويل فورييه (بالشكل الكلاسيكي المدروس هنا). هذه الوظائف فقط لها تحويل فورييه الذي يميل إلى الصفر بسرعة كافية لـ | x | - + + oo (كما في المثالين 1 و 2). 2.1. تحويلات جيب التمام وجيب فورييه باستخدام صيغة جيب التمام ، الاختلاف ، نعيد كتابة صيغة فورييه المتكاملة بالشكل التالي: دع f (x) تكون دالة زوجية. إذن ، من المساواة (5) لدينا في حالة f (x) الفردية ، نحصل بالمثل إذا تم إعطاء f (x) فقط على (0، -foo) ، ثم الصيغة (6) تمتد f (x) إلى محور الثور بأكمله بطريقة متساوية ، والصيغة (7) - فردية. (7) التعريف. تسمى الوظيفة تحويل فورييه لجيب التمام للوظيفة f (x). من (6) يتبع ذلك بالنسبة للدالة الزوجية f (x) وهذا يعني أن f (x) ، بدورها ، هي تحويل جيب التمام لـ Fc (t). بمعنى آخر ، الدالات / و Fc عبارة عن تحويلات متبادلة لجيب التمام. تعريف. تسمى الوظيفة تحويل فورييه الجيب للوظيفة f (x). من (7) نحصل على ذلك للدالة الفردية f (x) ، أي ، f و F هي تحويلات جيبية متبادلة. مثال 3 (نبضة الزاوية اليمنى). لنفترض أن f (t) دالة زوجية معرفة على النحو التالي: (الشكل 3). دعنا نستخدم النتيجة التي تم الحصول عليها لحساب التكامل بحكم الصيغة (9) ، لدينا الشكل 3 0 0 عند النقطة t = 0 ، تكون الوظيفة f (t) متصلة وتساوي واحدًا. لذلك ، من (12 ") نحصل على 2.2. السعة وأطياف الطور لتكامل فورييه دع الدالة f (x) الدورية مع الفترة 2m يتم توسيعها إلى سلسلة فورييه. يمكن كتابة هذه المساواة بالشكل الذي نصل إليه في المفاهيم من أطياف السعة والطور لوظيفة دورية بالنسبة لوظيفة غير دورية f (x) معطاة على (-oo، + oo) ، في ظل ظروف معينة ، اتضح أنه من الممكن تمثيلها بواسطة تكامل فورييه ، الذي يتوسع هذه الوظيفة على جميع الترددات (التوسع في طيف التردد المستمر تعريف الوظيفة الطيفية ، أو الكثافة الطيفية لتكامل فورييه ، هو تعبير (يسمى تحويل فورييه المباشر للوظيفة f طيف الاتساع ، والوظيفة Ф ") \ u003d -argSfc) هو طيف طور الوظيفة / ("). يعمل طيف الاتساع A (t) كمقياس لمساهمة التردد t في الوظيفة / (x). مثال 4. أوجد السعة وأطياف الطور للوظيفة 4 أوجد الوظيفة الطيفية من هنا تظهر الرسوم البيانية لهذه الوظائف في الشكل. 4. §3. خصائص تحويل فورييه 1. الخطية. إذا كانت G (0 هي تحويلات فورييه للوظائف f (x) و q (x) ، على التوالي ، فسيكون تحويل فورييه للدالة f (x) + p g (x) هو الوظيفة لأي ثابت a و p أ باستخدام الخاصية الخطية للتكامل ، وبالتالي ، فإن تحويل فورييه هو عامل خطي. سنكتب الإشارة إليه. إذا كانت F (t) هي تحويل فورييه للدالة f (x) التي يمكن تكاملها تمامًا على الحقيقي بأكمله المحور ، ثم F (t) مقيد للجميع. دع الدالة f (x) قابلة للتكامل تمامًا على المحور بأكمله - تحويل فورييه للدالة f (x). ثم 3 "flts J. دع f (x) تكون دالة ، التسامح الذي هو تحويل فورييه ، L هو عدد الخصائص. تسمى الوظيفة fh (x) \ u003d f (z-h) تحول الوظيفة f (x). باستخدام تعريف تحويل فورييه ، وضح هذه المشكلة. دع الدالة f (z) لها تحويل فورييه F (0> h هو رقم حقيقي. أظهر أن 3. تحويل فورييه وتكوين التفاضل ooeresis. دع الدالة القابلة للتكامل تمامًا f (x) لها مشتق f " (x) ، وهو أيضًا قابل للتكامل تمامًا على المحور بأكمله أوه ، لذلك / (n) يميل إلى الصفر مثل | x | - »+ س س. بافتراض أن f "(x) دالة سلسة ، نكتب التكامل بالأجزاء ، لدينا المصطلح خارج التكامل يتلاشى (نظرًا لأننا نحصل على ذلك ، فإن تمايز الوظيفة / (x) يتوافق مع مضاعفة فورييه image ^ P /] حسب العامل إذا كانت الدالة f (x) تحتوي على مشتقات سلسة تمامًا قابلة للفصل حتى ترتيب m شامل ، وكلها ، مثل الوظيفة f (x) نفسها ، تميل إلى الصفر ، ثم تكاملها بالأجزاء العدد المطلوب من المرات ، نحصل على تحويل فورييه مفيد جدًا على وجه التحديد لأنه يستبدل عملية التمايز بعملية الضرب بقيمة ، وبالتالي يبسط مشكلة دمج أنواع معينة من المعادلات التفاضلية. وظيفة قابلة للتكامل تمامًا f ^ k \ x) هي دالة مقيدة لـ (الخاصية 2) ، من العلاقة (2) نحصل على التقدير التالي لـ: تحويل فورييه فورييه شكل متكامل مجمع فورييه تحويل جيب التمام وتحويلات الجيب السعة وأطياف الطور خصائص التطبيق من هذا التقييم مع ما يلي: كلما زادت مشتقات الدالة f (x) القابلة للتكامل تمامًا ، زادت سرعة تحويل فورييه إلى الصفر عند. تعليق. الحالة طبيعية تمامًا ، نظرًا لأن النظرية المعتادة لتكاملات فورييه تتعامل مع العمليات التي لها بداية ونهايات ، بشكل أو بآخر ، ولكنها لا تستمر إلى ما لا نهاية بنفس الكثافة تقريبًا. 4. العلاقة بين معدل الانحلال للدالة f (x) لـ | z | - »-f oo وسلاسة تحول فورم لها. لنفترض أنه ليس فقط / (x) ، ولكن أيضًا منتجها xf (x) هو دالة قابلة للتكامل تمامًا على المحور x بأكمله. ثم تحويل فورييه) سيكون دالة قابلة للتفاضل. في الواقع ، يؤدي التمايز الرسمي فيما يتعلق بالمعامل £ للتكامل واندماج إلى تكامل متقارب بشكل مطلق وموحد فيما يتعلق بالمعامل. إذا كانت الوظائف ، جنبًا إلى جنب مع الوظيفة f (x) ، قابلة للتكامل تمامًا على محور Ox بأكمله ، فيمكن متابعة عملية التمايز. نحصل على أن الدالة لها مشتقات تصل إلى رتبة m شاملة ، وبالتالي ، كلما انخفضت سرعة الدالة f (x) ، أصبحت الوظيفة أكثر سلاسة. اسمح أن تكون تحويلات فورييه للوظائف / ، (x) ، و f2 (x) ، على التوالي. ثم يتقارب التكامل المزدوج على الجانب الأيمن تمامًا. لنضع x. بعد ذلك ، سيكون لدينا ، أو تغيير ترتيب التكامل ، تسمى الوظيفة التفاف الوظائف ويُشار إليها بالرمز (1) يمكن الآن كتابتها على النحو التالي: من هنا يتضح أن تحويل فورييه للالتواء وظائف f \ ناتج تحويلات فورييه للوظائف القابلة للطي ، ملاحظة. من السهل تحديد الخصائص التالية للالتفاف: 1) الخطية: 2) التبادل: §4. تطبيقات تحويل فورييه 1. لنفترض أن Р (^) عامل تفاضلي خطي من الرتبة m مع معاملات ثابتة. y (x) لها تحويل فورييه y (O. والدالة f (x) لها تحويل / (t) بتطبيق تحويل فورييه على المعادلة (1) ، نحصل عليها بدلاً من المعادلة الجبرية التفاضلية على المحور بالنسبة إلى أين بحيث يشير الرمز رسميًا إلى تحويل فورييه العكسي. الحقيقة: يحتوي حل المعادلة التفاضلية العادية ذات المعاملات الثابتة على وظائف النموذج< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и