كيفية حساب التكامل المحدد باستخدام الطريقة شبه المنحرفة؟ طريقة شبه منحرف حساب التكامل باستخدام صيغة شبه منحرف
اليوم سوف نتعرف على طريقة أخرى للتكامل العددي، وهي الطريقة شبه المنحرفة. وبمساعدتها، سوف نقوم بحساب التكاملات المحددة بدرجة معينة من الدقة. سنصف في المقالة جوهر الطريقة شبه المنحرفة، ونحلل كيفية اشتقاق الصيغة، ونقارن الطريقة شبه المنحرفة بالطريقة المستطيلة، ونكتب تقديرًا للخطأ المطلق للطريقة. وسنوضح كل قسم بأمثلة لفهم المادة بشكل أعمق.
لنفترض أننا بحاجة إلى حساب التكامل المحدد تقريبيًا ∫ a b f (x) d x ، الذي تكامله y = f (x) مستمر على الفترة [ a ; ب ] . للقيام بذلك، قم بتقسيم الجزء [أ؛ b ] إلى عدة فترات متساوية الطول h مع النقاط a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .
لنجد خطوة التقسيم: h = b - a n. دعونا نحدد العقد من المساواة x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . ، ن.
في الأجزاء الأولية نعتبر الدالة التكاملية x i - 1 ; س ط، ط = 1، 2، . . ، ن.
مع زيادة n إلى ما لا نهاية، فإننا نقوم بتقليل جميع الحالات إلى أبسط الخيارات الأربعة:
دعونا نختار المقاطع x i - 1 ; س ط، ط = 1، 2، . . . ، ن. دعونا نستبدل الدالة y = f (x) في كل من الرسوم البيانية بقطعة مستقيمة تمر عبر النقاط ذات الإحداثيات x i - 1 ؛ و س ط - 1 و س ط ; و س ط . لنضع علامة عليها باللون الأزرق في الصور.
دعونا نأخذ التعبير f (x i - 1) + f (x i) 2 · h كقيمة تقريبية للتكامل ∫ x i - 1 x i f (x) d x. أولئك. لنأخذ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h .
دعونا نرى لماذا تسمى طريقة التكامل العددي التي ندرسها بالطريقة شبه المنحرفة. للقيام بذلك، علينا معرفة ما تعنيه المساواة التقريبية المكتوبة من وجهة نظر هندسية.
من أجل حساب مساحة شبه المنحرف، من الضروري ضرب نصف مجموع قاعدتيه في ارتفاعه. في الحالة الأولى، مساحة شبه منحرف منحني تساوي تقريبا شبه منحرف مع قواعد f (x i - 1)، f (x i) ارتفاع h. في الحالة الرابعة التي ندرسها، التكامل المعطى ∫ x i - 1 x f (x) d x يساوي تقريبًا مساحة شبه المنحرف مع القواعد - f (x i - 1)، - f (x i) والارتفاع h، والتي يجب أن تؤخذ بعلامة "-". من أجل حساب القيمة التقريبية للتكامل المحدد ∫ x i - 1 x i f (x) d x في الحالتين الثانية والثالثة من الحالات قيد النظر، نحتاج إلى إيجاد الفرق في مساحات المنطقتين الحمراء والزرقاء، التي وضعنا علامة عليها الفقس في الشكل أدناه.
دعونا نلخص. جوهر الطريقة شبه المنحرفة هو كما يلي: يمكننا تمثيل تكامل محدد ∫ a b f (x) d x كمجموع تكاملات النموذج ∫ x i - 1 x i f (x) d x في كل قطعة أولية وفي الاستبدال التقريبي اللاحق ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.
صيغة طريقة شبه منحرف
دعونا نتذكر الخاصية الخامسة للتكامل المحدد: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . للحصول على صيغة الطريقة شبه المنحرفة، من الضروري استبدال قيمها التقريبية بالتكاملات ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
التعريف 1
صيغة الطريقة شبه المنحرفة:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
تقدير الخطأ المطلق للطريقة شبه المنحرفة
دعونا نقدر الخطأ المطلق للطريقة شبه المنحرفة كما يلي:
التعريف 2
δ n ≥ م أ س س ∈ [ أ ; ب ] و "" (س) · ن · ح 3 12 = م أ س س ∈ [ أ ; ب ] و "" (خ) ب - أ 3 12 ن 2
يظهر الرسم التوضيحي للطريقة شبه المنحرفة في الشكل:
أمثلة الحساب
دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام الطريقة شبه المنحرفة للحساب التقريبي للتكاملات المحددة. انتباه خاصسنركز على نوعين من المهام:
- حساب التكامل المحدد بالطريقة شبه المنحرفة لرقم قسم معين للمقطع n؛
- إيجاد قيمة تقريبية للتكامل المحدد بدقة محددة.
بالنسبة لـ n معين، يجب إجراء جميع الحسابات الوسيطة بدرجة عالية من الدقة بدرجة كافية. يجب أن تكون دقة الحسابات أعلى، كلما زاد n.
إذا كانت لدينا دقة معينة في حساب تكامل معين، فيجب إجراء جميع الحسابات الوسيطة بدقة أكبر بأمرين أو أكثر. على سبيل المثال، إذا تم ضبط الدقة على 0.01، فإننا نجري حسابات وسيطة بدقة 0.0001 أو 0.00001. بالنسبة إلى n الكبيرة، يجب إجراء الحسابات المتوسطة بدقة أعلى.
دعونا نلقي نظرة على القاعدة المذكورة أعلاه مع مثال. للقيام بذلك، قارن قيم التكامل المحدد المحسوبة باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز والتي تم الحصول عليها باستخدام الطريقة شبه المنحرفة.
إذن، ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805.
مثال 1
باستخدام الطريقة شبه المنحرفة، نحسب التكامل المحدد ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x لـ n يساوي 10.
حل
صيغة الطريقة شبه المنحرفة هي ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
من أجل تطبيق الصيغة، نحتاج إلى حساب الخطوة h باستخدام الصيغة h = b - a n، وتحديد العقد x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . ، n، احسب قيم الدالة المتكاملة f (x) = 7 x 2 + 1.
يتم حساب خطوة التقسيم على النحو التالي: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0. 5 . لحساب التكامل في العقد x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . ، ن سنأخذ أربع منازل عشرية:
أنا = 0: س 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ و (x 0) = و (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ و (س 1) = و (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. . . ط = 10: × 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ و (x 10) = و (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0, 2692
دعنا ندخل نتائج الحساب في الجدول:
| أنا | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| × ط | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 , 5 | 2 | 2 , 5 | 3 | 3 , 5 | 4 | 4 , 5 | 5 |
| و (خ ط) | 7 | 5 , 6 | 3 , 5 | 2 , 1538 | 1 , 4 | 0 , 9655 | 0 , 7 | 0 , 5283 | 0 , 4117 | 0 , 3294 | 0 , 2692 |
دعونا نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في صيغة الطريقة شبه المنحرفة: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5.6 + 3.5 + 2.1538 + 1.4 + 0.9655 + 0.7 + 0.5283 + 0.4117 + 0.3294 + 0.2692 = 9.6117
دعونا نقارن نتائجنا بالنتائج المحسوبة باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز. القيم التي تم الحصول عليها تتطابق مع المئات.
إجابة:∫ 0 5 7 د س س 2 + 1 = 9 , 6117
مثال 2
باستخدام الطريقة شبه المنحرفة، نحسب قيمة التكامل المحدد ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x بدقة 0.01.
حل
وفقا لحالة المشكلة أ = 1؛ ب = 2 , و (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δن ≥ 0.01.
دعونا نجد n، التي تساوي عدد نقاط تقسيم مقطع التكامل، باستخدام المتراجحة لتقدير الخطأ المطلق δ n ≥ m a x x ∈ [ a ; ب ] و "" (خ) · (ب - أ) 3 12 ن 2 . سنفعل ذلك على النحو التالي: سنجد قيم n التي يكون لها المتباينة m a x x ∈ [ a ; ب ] و "" (خ) · (ب - أ) 3 12 ن 2 ≥ 0.01. بالنظر إلى n، فإن الصيغة شبه المنحرفة ستعطينا قيمة تقريبية للتكامل المحدد بدقة معينة.
أولا، دعونا نجد أعلى قيمةمعامل المشتق الثاني للدالة على الفترة [ 1 ; 2].
و " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2
دالة المشتقة الثانية هي القطع المكافئ التربيعي f "" (x) = x 2 . ومن خصائصه نعرف أنه موجب ويزداد على الفترة [1؛ 2]. في هذا الصدد، m a x x ∈ [ a ; ب ] و "" (x) = و "" (2) = 2 2 = 4 .
في المثال المذكور، عملية البحث عن m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) تبين أنه بسيط للغاية. في الحالات المعقدة، يمكنك استخدام القيم الأكبر والأصغر للدالة لإجراء العمليات الحسابية. بعد النظر في هذا المثال، سنقدم طريقة بديلة لإيجاد m a x x ∈ [ a ; ب ] و "" (خ) .
دعونا نعوض بالقيمة الناتجة في المتراجحة m a x x ∈ [ a ; ب ] و "" (خ) · (ب - أ) 3 12 ن 2 ≥ 0.01
4 (2 - 1) 3 12 ن 2 ≥ 0.01 ⇒ ن 2 ≥ 100 3 ⇒ ن ≥ 5.7735
عدد الفترات الأولية التي تنقسم إليها قطعة التكامل n هو عدد طبيعي. بالنسبة لسلوك الحساب، نأخذ n يساوي ستة. ستسمح لنا قيمة n هذه بتحقيق الدقة المحددة للطريقة شبه المنحرفة بأقل عدد من الحسابات.
لنحسب الخطوة: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .
دعونا نجد العقد x i = a + i · h, i = 1, 0, . . . ن نحدد قيم التكامل في هذه العقد:
i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0.5266. . . ط = 6: × 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1.9833
نكتب نتائج الحساب على شكل جدول:
| أنا | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| × ط | 1 | 7 6 | 4 3 | 3 2 | 5 3 | 11 6 | 2 |
| و س ط | 0 , 4 | 0 , 5266 | 0 , 6911 | 0 , 9052 | 1 , 1819 | 1 , 5359 | 1 , 9833 |
لنستبدل النتائج التي تم الحصول عليها في الصيغة شبه المنحرفة:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0.5266 + 0.6911 + 0.9052 + 1.1819 + 1.5359 + 1.9833 ≈ 1.0054
لإجراء المقارنة، نحسب التكامل الأصلي باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1
كما ترون، لقد حققنا دقة الحساب التي تم الحصول عليها.
الإجابة: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1.0054
للتكاملات نوع معقدإن العثور على الرقم n من المتراجحة لتقدير الخطأ المطلق ليس بالأمر السهل دائمًا. في هذه الحالة، ستكون الطريقة التالية مناسبة.
دعونا نشير إلى القيمة التقريبية للتكامل المحدد، والتي تم الحصول عليها باستخدام الطريقة شبه المنحرفة للعقد n، كما I n. دعونا نختار رقمًا تعسفيًا n. باستخدام صيغة الطريقة شبه المنحرفة ، نحسب التكامل الأولي لعدد فردي (ن = 10) ومزدوج (ن = 20) من العقد ونجد القيمة المطلقة للفرق بين القيمتين التقريبيتين اللتين تم الحصول عليهما أنا 20 - أنا 10.
إذا كانت القيمة المطلقة للفرق بين القيمتين التقريبيتين المتحصلتين أقل من الدقة المطلوبة ط 20 - ط 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.
إذا كانت القيمة المطلقة للفرق بين القيمتين التقريبيتين اللتين تم الحصول عليهما أكبر من الدقة المطلوبة فمن الضروري تكرار الخطوات مع ضعف عدد العقد (ن = 40).
تتطلب هذه الطريقة قدرًا كبيرًا من الحسابات، لذا من الحكمة استخدام تكنولوجيا الكمبيوتر لتوفير الوقت.
دعونا نحل المشكلة باستخدام الخوارزمية المذكورة أعلاه. لتوفير الوقت، سنحذف الحسابات الوسيطة باستخدام الطريقة شبه المنحرفة.
مثال 3
من الضروري حساب التكامل المحدد ∫ 0 2 x e x d x باستخدام الطريقة شبه المنحرفة بدقة 0.001.
حل
لنأخذ n يساوي 10 و20. باستخدام الصيغة شبه المنحرفة، نحصل على I 10 = 8.4595380، I 20 = 8.4066906.
أنا 20 - أنا 10 = 8، 4066906 - 8، 4595380 = 0، 0528474 > 0، 001، الأمر الذي يتطلب المزيد من الحسابات.
لنأخذ n يساوي 40: I 40 = 8، 3934656.
أنا 40 - أنا 20 = 8، 3934656 - 8، 4066906 = 0، 013225 > 0، 001، الأمر الذي يتطلب أيضًا حسابات مستمرة.
لنأخذ n يساوي 80: I 80 = 8، 3901585.
I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001، الأمر الذي يتطلب مضاعفة عدد العقد مرة أخرى.
لنأخذ n يساوي 160: أنا 160 = 8، 3893317.
أنا 160 - أنا 80 = 8.3893317 - 8.3901585 = 0.0008268< 0 , 001
يمكن الحصول على القيمة التقريبية للتكامل الأصلي عن طريق تقريب I 160 = 8,3893317 إلى أجزاء من الألف: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389.
للمقارنة، دعونا نحسب التكامل الأصلي المحدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8, 3890561. لقد تم تحقيق الدقة المطلوبة.
الإجابة: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389
أخطاء
يتم إجراء الحسابات الوسيطة لتحديد قيمة التكامل المحدد تقريبًا. وهذا يعني أنه مع زيادة n، يبدأ الخطأ الحسابي في التراكم.
دعونا نقارن تقديرات الأخطاء المطلقة للطريقة شبه المنحرفة وطريقة المستطيل المتوسط:
δ n ≥ م أ س س ∈ [ أ ; ب ] و "" (س) ن · ح 3 12 = م أ س س ∈ [ أ ; ب ] و "" (س) · ب - أ 3 12 ن 2 δ ن ≥ م أ س س ∈ [ أ ; ب ] و "" (س) ن · ح 3 24 = م أ س س ∈ [ أ ; ب ] و "" (خ) · ب - أ 3 24 ن 2 .
طريقة المستطيل لـ n معين مع نفس القدر من العمل الحسابي تعطي نصف الخطأ. وهذا يجعل الطريقة أكثر تفضيلاً في الحالات التي تكون فيها قيم الوظيفة في الأجزاء الوسطى من الأجزاء الأولية معروفة.
في الحالات التي لا يتم فيها تحديد الوظائف المراد تكاملها بشكل تحليلي، ولكن كمجموعة من القيم عند العقد، يمكننا استخدام الطريقة شبه المنحرفة.
وإذا قارنا دقة طريقة شبه المنحرف وطريقة المستطيل الأيمن والأيسر فإن الطريقة الأولى تتفوق على الثانية في دقة النتيجة.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
طريقة شبه منحرفهي إحدى طرق التكامل العددي. يسمح لك بحساب التكاملات المحددة بدرجة محددة من الدقة.
أولاً، نصف جوهر الطريقة شبه المنحرفة ونشتق الصيغة شبه المنحرفة. بعد ذلك، سنكتب تقديرًا للخطأ المطلق للطريقة ونحلل بالتفصيل حل الأمثلة النموذجية. في الختام، دعونا نقارن طريقة شبه المنحرف مع طريقة المستطيل.
التنقل في الصفحة.
جوهر الطريقة شبه المنحرفة.
دعونا نحدد لأنفسنا المهمة التالية: دعونا نحسب تقريبًا تكاملًا محددًا، حيث تكون الدالة التكاملية y=f(x) متصلة على القطعة.
دعونا نقسم القطعة إلى n فترات متساوية الطول h بالنقاط. في هذه الحالة نجد خطوة التقسيم وكذلك تحديد العقد من المساواة .
دعونا نفكر في التكامل على الأجزاء الأولية 
.
هناك أربع حالات محتملة (يوضح الشكل أبسطها، والتي يتلخص فيها كل شيء مع زيادة n إلى ما لا نهاية):
على كل شريحة لنستبدل الدالة y=f(x) بقطعة مستقيمة تمر عبر النقاط ذات الإحداثيات و . دعونا نصورهم في الشكل بخطوط زرقاء:
كقيمة تقريبية للتكامل، نأخذ التعبير 
أي لنقبل 
.
دعونا نتعرف على معنى المساواة التقريبية المكتوبة بالمعنى الهندسي. وهذا سيجعل من الممكن فهم سبب تسمية طريقة التكامل العددي قيد النظر بالطريقة شبه المنحرفة.
نحن نعلم أن مساحة شبه المنحرف هي حاصل ضرب نصف مجموع القواعد والارتفاع. لذلك، في الحالة الأولى، مساحة شبه المنحرف المنحني تساوي تقريبًا مساحة شبه المنحرف ذي القواعد 
والارتفاع h، في الحالة الأخيرة التكامل المحدد يساوي تقريبًا مساحة شبه المنحرف مع القواعد 
والارتفاع h، مأخوذ بعلامة الطرح. وفي الحالتين الثانية والثالثة تكون القيمة التقريبية للتكامل المحدد تساوي الفرق في مساحات المنطقتين الحمراء والزرقاء الموضحة في الشكل أدناه.
وهكذا نأتي إلى جوهر الطريقة شبه المنحرفة، والذي يتكون من تمثيل تكامل محدد كمجموع تكاملات النموذج في كل جزء أولي وفي الاستبدال التقريبي اللاحق .
صيغة طريقة شبه منحرف.
وكما ترون، فقد تم تحقيق الدقة المطلوبة.
قليلا عن الأخطاء.
من الناحية النظرية، فإن القيمة التقريبية للتكامل المحدد، المحسوبة باستخدام الطريقة شبه المنحرفة، تميل إلى القيمة الحقيقية عند . ومع ذلك، ينبغي للمرء أن يأخذ في الاعتبار حقيقة أن معظم الحسابات الوسيطة يتم إجراؤها تقريبًا، وبصورة عامة، يبدأ الخطأ الحسابي في التراكم.
دعونا نلقي نظرة على تقديرات الأخطاء المطلقة لطريقة شبه المنحرف وطريقة المستطيل المتوسط 
.
يمكنك توقع نصف الخطأ لـ n معين عند استخدام طريقة المستطيل بنفس مقدار العمل الحسابي، أي أن استخدام هذه الطريقة هو الأفضل. وهذا صحيح عندما تكون قيم الدالة عند منتصف الأجزاء الأولية معروفة. لكن في بعض الأحيان لا يتم تحديد الوظائف المراد تكاملها بشكل تحليلي، بل كمجموعة من القيم عند العقد. في هذه الحالة، لن نتمكن من تطبيق صيغة المستطيلات المتوسطة، لكن يمكننا استخدام طريقة شبه المنحرف.
تعد طريقتا المستطيل الأيمن والأيسر أدنى من طريقة شبه المنحرف في دقة النتيجة لعدد معين من أقسام مقطع التكامل.
حساب التكاملات باستخدام صيغ المستطيلات وشبه المنحرف وصيغة سيمبسون. تقدير الخطأ.
القواعد الارشاديةحول الموضوع 4.1:
حساب التكاملات باستخدام صيغ المستطيل. تقدير الخطأ:
يتلخص حل العديد من المشكلات الفنية في حساب تكاملات معينة، والتي يكون التعبير الدقيق عنها معقدًا، ويتطلب حسابات طويلة وليس له ما يبرره دائمًا في الممارسة العملية. هنا قيمتها التقريبية كافية تمامًا. على سبيل المثال، من الضروري حساب المساحة التي يحدها خط مجهول معادلته، وهو المحور Xواثنين من الإحداثيات. وفي هذه الحالة يمكنك استبدال هذا الخط بخط أبسط تعرف به المعادلة. يتم أخذ مساحة شبه المنحرف المنحني التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة كقيمة تقريبية للتكامل المطلوب. هندسياً، فكرة طريقة حساب التكامل المحدد باستخدام صيغة المستطيل هي أن مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع أ1 أ ب ج1يتم استبدالها بمساحة مستطيل متساوي أ 1 أ 2 ب 1 ب 2، والتي تساوي نظرية القيمة المتوسطة
أين و (ج) --- ارتفاعمستطيل أ 1 أ 2 ب 1 ب 2،تمثل قيمة التكامل عند نقطة متوسطة ما ج(أ< c
يكاد يكون من الصعب العثور على مثل هذه القيمة مع، الذي (ب-أ) و (ج)سيكون مساويا تماما ل . للحصول على قيمة أكثر دقة، يتم تقسيم مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع إلى نمستطيلات متساوية الارتفاع ص 0 , ص 1 , ص 2 , …, ص ن -1وأسباب.
إذا قمنا بجمع مساحات المستطيلات التي تغطي مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع مع عيب، تكون الدالة غير تناقصية، فبدلاً من الصيغة نستخدم الصيغة
إذا كان في الزائدة، ثم
تم العثور على القيم من المساواة. تسمى هذه الصيغ صيغ المستطيلوإعطاء نتيجة تقريبية. مع زيادة نوتصبح النتيجة أكثر دقة.
مثال 1 . احسب باستخدام صيغة المستطيل
دعونا نقسم فترة التكامل إلى 5 أجزاء. ثم . باستخدام الآلة الحاسبة أو الجدول، سنجد قيم التكامل (دقيقة حتى 4 منازل عشرية):
حسب صيغة المستطيلات (مع العيوب)
ومن ناحية أخرى، وفقا لصيغة نيوتن-لايبنتز
دعونا نجد الخطأ الحسابي النسبي باستخدام صيغة المستطيل:
حساب التكاملات باستخدام الصيغ شبه المنحرفة. تقدير الخطأ:
المعنى الهندسي للطريقة التالية للحساب التقريبي للتكاملات هو إيجاد مساحة شبه منحرف "مستقيم" متساوي الحجم تقريبًا.
فليكن من الضروري حساب المنطقة أ1 أم بي بي 1شبه منحرف منحني الأضلاع، معبرًا عنه بالصيغة.
دعونا نستبدل القوس آمبوتر أ.بوبدلا من مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع أ1 أم بي بي 1حساب مساحة شبه المنحرف أ1 ايه بي بي 1: ، أين أأ 1و ب 1 - قواعد شبه منحرف، و أ1 ب 1- ارتفاعه.
دعونا نشير و(أ)=أ 1 أ,و(ب)=ب 1 ب.ارتفاع شبه منحرف أ 1 ب 1 = ب-أ،مربع . لذلك أو
هذا هو ما يسمى صيغة شبه منحرف صغيرة.
مثال 2. عرض النهر 26 م، قياسات العمق في المقطع العرضي للنهر كل 2 مأعطى النتائج التالية.
المهام التعليمية:
- الغرض التعليمي. تعريف الطلاب بطرق الحساب التقريبي للتكامل المحدد.
- الغرض التعليمي. موضوع هذا الدرس له أهمية عملية وتعليمية كبيرة. إن أبسط طريقة للتعامل مع فكرة التكامل العددي هي الاعتماد على تعريف التكامل المحدد باعتباره نهاية المجاميع التكاملية. على سبيل المثال، إذا أخذنا أي قسم صغير بما فيه الكفاية من المقطع [ أ; ب] وقم ببناء مجموع متكامل له، ثم يمكن أخذ قيمته تقريبًا كقيمة التكامل المقابل. في الوقت نفسه، من المهم إجراء العمليات الحسابية بسرعة وبشكل صحيح باستخدام تكنولوجيا الكمبيوتر.
المعرفة والمهارات الأساسية. فهم الطرق التقريبية لحساب التكامل المحدد باستخدام صيغ المستطيلات وشبه المنحرف.
توفير الفصول
- مذكرة. بطاقات المهام للعمل المستقل.
- تسو. أجهزة عرض متعددة، وأجهزة الكمبيوتر، وأجهزة الكمبيوتر المحمولة.
- معدات تسو. العروض التقديمية: "المعنى الهندسي للمشتقات"، "طريقة المستطيلات"، "طريقة شبه المنحرف". (يمكن الحصول على العروض التقديمية من المؤلف).
- المعدات الحاسوبية: أجهزة الكمبيوتر، الآلات الحاسبة الدقيقة.
- القواعد الارشادية
نوع الدرس. عملي متكامل.
الدافع للنشاط المعرفي للطلاب. في كثير من الأحيان يكون من الضروري حساب التكاملات المحددة التي من المستحيل العثور على مشتق عكسي لها. في هذه الحالة، يتم استخدام الطرق التقريبية لحساب التكاملات المحددة. في بعض الأحيان يتم استخدام الطريقة التقريبية أيضًا للتكاملات "المأخوذة"، إذا كانت الحسابات باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز غير منطقية. فكرة الحساب التقريبي للتكامل هي استبدال المنحنى بمنحنى جديد "قريب" منه بدرجة كافية. اعتمادا على اختيار المنحنى الجديد، يمكن استخدام صيغة تكامل تقريبية أو أخرى.
تسلسل الدرس.
- صيغة المستطيل.
- صيغة شبه منحرف.
- حل التمارين .
خطة الدرس
- تكرار المعرفة الأساسية للطلاب.
كرر مع الطلاب: الصيغ الأساسية للتكامل، وجوهر طرق التكامل المدروسة، والمعنى الهندسي للتكامل المحدد.
- القيام بالأعمال العملية.
يتلخص حل العديد من المشكلات الفنية في حساب تكاملات معينة، والتي يكون التعبير الدقيق عنها معقدًا، ويتطلب حسابات طويلة وليس له ما يبرره دائمًا في الممارسة العملية. هنا قيمتها التقريبية كافية تمامًا.
لنفترض، على سبيل المثال، أنك بحاجة إلى حساب المساحة التي يحدها خط معادلته غير معروفة. في هذه الحالة يمكنك استبدال هذا الخط بخط أبسط تكون معادلته معروفة. يتم أخذ مساحة شبه المنحرف المنحني التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة كقيمة تقريبية للتكامل المطلوب.
أبسط طريقة تقريبية هي طريقة المستطيل. هندسياً، فكرة طريقة حساب التكامل المحدد باستخدام صيغة المستطيل هي أن مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع ا ب ت ثيتم استبداله بمجموع مساحات المستطيلات، أحد أضلاعها يساوي ، والآخر - .
إذا قمنا بجمع مساحات المستطيلات التي تبين مساحة شبه منحرف منحني مع وجود عيب [الشكل 1]، نحصل على الصيغة:
[الصورة 1]
ثم نحصل على الصيغة: 
إذا كانت زائدة
[الشكل 2]،
الذي - التي 
قيم ذ 0، ص 1،...، ذ نوجدت من المساواة 
,
ك = 0، 1...، ن.وتسمى هذه الصيغ صيغ المستطيلوإعطاء نتيجة تقريبية. مع زيادة نوتصبح النتيجة أكثر دقة.
لذلك، للعثور على القيمة التقريبية للتكامل، تحتاج إلى:
للعثور على خطأ الحساب، تحتاج إلى استخدام الصيغ:
مثال 1. احسب باستخدام صيغة المستطيل. أوجد الأخطاء المطلقة والنسبية للحسابات.
دعونا نقسم المقطع [ أ، ب] إلى عدة (على سبيل المثال، 6) أجزاء متساوية. ثم أ = 0، ب =
3
,
س ك = أ + ك س
X 0 = 2 + 0
= 2
X 1 = 2 + 1
= 2,5
X 2 = 2 + 2
=3
X 3 = 2 + 3
= 3
X 4 = 2 + 4
= 4
X 5 = 2 + 5
= 4,5
F(س 0) = 2 2 = 4
F
(س
1)
= 2
,5
2
=
6,25
F
(س
2)
=
3 2
=
9
F
(س
3)
=
3,5 2
=
12,25
F
(س
4)
=
4 2
=
16
F
(س
5)
=
4,5 2
=
20,25.
| X | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 |
| في | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 | 20,25 |
حسب الصيغة (1):
من أجل حساب الخطأ النسبي للحسابات، من الضروري العثور على القيمة الدقيقة للتكامل:
استغرقت الحسابات وقتًا طويلاً وانتهى بنا الأمر بتقريب تقريبي إلى حد ما. لحساب هذا التكامل بتقريب أصغر، يمكنك استخدام القدرات التقنية لجهاز الكمبيوتر.
للعثور على التكامل المحدد باستخدام طريقة المستطيل، يجب عليك إدخال قيم التكامل و (خ)إلى ورقة عمل Excel في النطاق Xمع خطوة معينة X= 0,1.
- عمل جدول بيانات (xو و (خ)). X و (خ). دعوىوفي الخلية B1 - الكلمة وظيفة2 2,1 ). بعد ذلك، عن طريق تحديد كتلة الخلايا A2:A3، باستخدام الملء التلقائي، نحصل على جميع قيم الوسيطة (نسحب الزاوية اليمنى السفلية للكتلة إلى الخلية A32، إلى القيمة س = 5).
- بعد ذلك، ندخل قيم التكامل. في الخلية B2 تحتاج إلى كتابة معادلتها. للقيام بذلك، ضع مؤشر الجدول في الخلية B2 وأدخل الصيغة من لوحة المفاتيح =أ2^2(مع تخطيط لوحة المفاتيح الإنجليزية). اضغط على المفتاح يدخل. في الخلية B2 تظهر 4
. أنت الآن بحاجة إلى نسخ الوظيفة من الخلية B2. باستخدام الملء التلقائي، انسخ هذه الصيغة إلى النطاق B2:B32.
يجب أن تكون النتيجة جدول بيانات لإيجاد التكامل. - الآن في الخلية B33 يمكن العثور على القيمة التقريبية للتكامل. للقيام بذلك، أدخل الصيغة في الخلية B33 = 0,1*, ثم اتصل بمعالج الوظائف (بالنقر فوق الزر "إدراج وظيفة" الموجود على شريط الأدوات (و(خ)). في مربع الحوار الذي يظهر، معالج الدالة - الخطوة 1 من 2، على الجانب الأيسر في حقل الفئة، حدد الرياضيات. على اليمين في حقل الوظيفة توجد دالة Sum. اضغط الزر نعم.يظهر مربع الحوار المبالغ. باستخدام الماوس، أدخل نطاق الجمع B2:B31 في حقل العمل. اضغط الزر نعم.في الخلية B33، تظهر قيمة تقريبية للتكامل المطلوب مع وجود عيب ( 37,955 ) .
مقارنة القيمة التقريبية التي تم الحصول عليها مع القيمة الحقيقية للتكامل ( 39 )، يمكن ملاحظة أن خطأ التقريب لطريقة المستطيل في هذه الحالة يساوي
=
|39 - 37
,
955| = 1
,045
مثال 2. باستخدام طريقة المستطيل، احسب بخطوة معينة X = 0,05.
مقارنة القيمة التقريبية التي تم الحصول عليها مع القيمة الحقيقية للتكامل 
يمكن ملاحظة أن خطأ التقريب لطريقة المستطيل في هذه الحالة يساوي
عادةً ما تعطي الطريقة شبه المنحرفة قيمة تكاملية أكثر دقة من الطريقة المستطيلة. يتم استبدال شبه المنحرف المنحني بمجموع عدة شبه منحرف ويتم العثور على القيمة التقريبية للتكامل المحدد كمجموع مساحات شبه المنحرف
[الشكل 3]
مثال 3. ابحث عن استخدام الطريقة شبه المنحرفة في الخطوات X = 0,1.
- افتح ورقة عمل فارغة.
- عمل جدول بيانات (xو و (خ)).دع العمود الأول هو القيم Xوالثاني مع المؤشرات المقابلة و (خ).للقيام بذلك، أدخل الكلمة في الخلية A1 دعوىوفي الخلية B1 - الكلمة وظيفة. يتم إدخال القيمة الأولى للوسيطة في الخلية A2 - الحد الأيسر للنطاق ( 0 ). يتم إدخال القيمة الثانية للوسيطة في الخلية A3 - الحد الأيسر للنطاق بالإضافة إلى خطوة البناء ( 0,1 ). بعد ذلك، عن طريق تحديد كتلة الخلايا A2:A3، باستخدام الملء التلقائي، نحصل على جميع قيم الوسيطة (نسحب الركن الأيمن السفلي من الكتلة إلى الخلية A33، إلى القيمة س=3.1).
- بعد ذلك، ندخل قيم التكامل. في الخلية B2 تحتاج إلى كتابة معادلتها (في مثال الجيب). للقيام بذلك، يجب وضع مؤشر الجدول في الخلية B2. هنا يجب أن تكون هناك قيمة جيبية مطابقة لقيمة الوسيطة في الخلية A2. للحصول على قيمة الجيب، سنستخدم وظيفة خاصة: انقر فوق الزر "إدراج دالة" الموجود على شريط الأدوات و (خ). في مربع الحوار الذي يظهر، معالج الدالة - الخطوة 1 من 2، على الجانب الأيسر في حقل الفئة، حدد الرياضيات. على اليمين في حقل الوظيفة - الوظيفة خطيئة. اضغط الزر نعم.يظهر مربع حوار خطيئة. من خلال وضع مؤشر الماوس فوق الحقل الرمادي للنافذة، مع الضغط على الزر الأيسر، قم بتحريك الحقل إلى اليمين لفتح عمود البيانات ( أ). نشير إلى قيمة وسيطة الجيب من خلال النقر على الخلية A2. اضغط الزر نعم.يظهر 0 في الخلية B2.أنت الآن بحاجة إلى نسخ الدالة من الخلية B2. باستخدام الملء التلقائي، انسخ هذه الصيغة إلى النطاق B2:B33. يجب أن تكون النتيجة جدول بيانات لإيجاد التكامل.
- الآن في الخلية B34 يمكن العثور على القيمة التقريبية للتكامل باستخدام الطريقة شبه المنحرفة. للقيام بذلك، أدخل الصيغة في الخلية B34 = 0.1*((B2+B33)/2+،ثم اتصل بمعالج الوظائف (بالنقر فوق الزر "إدراج وظيفة" الموجود على شريط الأدوات (و(خ)). في مربع الحوار الذي يظهر، معالج الدالة - الخطوة 1 من 2، على الجانب الأيسر في حقل الفئة، حدد الرياضيات. على اليمين في حقل الوظيفة توجد دالة Sum. اضغط الزر نعم.يظهر مربع الحوار المبالغ. أدخل نطاق الجمع B3:B32 في حقل العمل باستخدام الماوس. اضغط الزر نعممرة اخرى نعم.في الخلية B34، تظهر قيمة تقريبية للتكامل المطلوب مع وجود عيب ( 1,997 ) .
وبمقارنة القيمة التقريبية التي تم الحصول عليها مع القيمة الحقيقية للتكامل، يمكن للمرء أن يرى أن خطأ التقريب لطريقة المستطيل في هذه الحالة مقبول تمامًا للممارسة.
- حل التمارين .
كيفية حساب التكامل المحدد
باستخدام الصيغة شبه المنحرفة وطريقة سيمبسون؟
تعد الطرق العددية قسمًا كبيرًا إلى حد ما من الرياضيات العليا وتحتوي الكتب المدرسية الجادة حول هذا الموضوع على مئات الصفحات. من الناحية العملية، تقترح أوراق الاختبار تقليديًا حل بعض المشكلات باستخدام الطرق العددية، وإحدى المشكلات الشائعة هي الحساب التقريبي تكاملات محددة. في هذه المقالة سوف ألقي نظرة على طريقتين لحساب تقريبي للتكامل المحدد - طريقة شبه منحرفو طريقة سمبسون.
ما الذي تحتاج إلى معرفته لإتقان هذه الأساليب؟ قد يبدو الأمر مضحكًا، لكن قد لا تتمكن من أخذ التكاملات على الإطلاق. وأنت لا تفهم حتى ما هي التكاملات. من الوسائل التقنية سوف تحتاج إلى آلة حاسبة صغيرة. نعم، نعم، الحسابات المدرسية الروتينية تنتظرنا. والأفضل من ذلك، قم بتنزيل الآلة الحاسبة شبه الأوتوماتيكية للطريقة شبه المنحرفة وطريقة سيمبسون. الآلة الحاسبة مكتوبة بلغة Excel وستؤدي إلى تقليل الوقت اللازم لحل المشكلات وإكمالها بعشرات المرات. بالنسبة لدمى Excel، يتم تضمين دليل فيديو! بالمناسبة أول فيديو تسجيل بصوتي.
أولا، دعونا نسأل أنفسنا: لماذا نحتاج إلى حسابات تقريبية على الإطلاق؟ يبدو أنه يمكنك العثور على المشتق العكسي للدالة واستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز لحساب القيمة الدقيقة للتكامل المحدد. للإجابة على السؤال، دعونا ننظر على الفور إلى مثال تجريبي مع صورة.
حساب التكامل المحدد
سيكون كل شيء على ما يرام، ولكن في هذا المثال لم يتم أخذ التكامل - أمامك تكامل غير مأخوذ، ما يسمى لوغاريتم متكامل. هل هذا التكامل موجود أصلاً؟ دعونا نرسم في الرسم البياني للدالة التكاملية: 
كل شيء على ما يرام. التكامل مستمر على القطعة والتكامل المحدد يساوي عدديا المساحة المظللة. هناك مشكلة واحدة فقط: لا يمكن أخذ التكامل. وفي مثل هذه الحالات، تأتي الأساليب العددية للإنقاذ. في هذه الحالة، تحدث المشكلة في صيغتين:
1) احسب التكامل المحدد تقريبيا ، تقريب النتيجة إلى منزلة عشرية معينة. على سبيل المثال، ما يصل إلى منزلتين عشريتين، وما يصل إلى ثلاث منازل عشرية، وما إلى ذلك. لنفترض أن الإجابة التقريبية هي 5.347. في الواقع، قد لا يكون صحيحًا تمامًا (في الواقع، على سبيل المثال، الإجابة الأكثر دقة هي 5.343). مهمتنا هي هذا فقطلتقريب النتيجة إلى ثلاث منازل عشرية.
2) احسب التكامل المحدد تقريبًا، بدقة معينة. على سبيل المثال، قم بحساب تكامل محدد تقريبًا بدقة 0.001. ماذا يعني ذلك؟ وهذا يعني أننا يجب أن نجد قيمة تقريبية لذلك modulo (بطريقة او بأخرى)يختلف عن الحقيقة بما لا يزيد عن 0.001.
هناك عدة طرق أساسية لحساب تقريبي للتكامل المحدد الذي يحدث في المسائل:
ينقسم جزء التكامل إلى عدة أجزاء ويتم إنشاء شكل متدرج قريب من المنطقة المطلوبة: 
لا تحكم بدقة من خلال الرسومات، فالدقة ليست مثالية - فهي تساعد فقط على فهم جوهر الأساليب.
الفكرة مشابهة. ينقسم مقطع التكامل إلى عدة أجزاء وسيطة، ويقترب الرسم البياني للدالة التكاملية خط متقطعخط: 
وبالتالي، يتم تقريب مساحتنا (التظليل الأزرق) بمجموع مساحات شبه المنحرف (الأحمر). ومن هنا اسم الطريقة. من السهل أن نرى أن طريقة شبه المنحرف تعطي تقريبًا أفضل بكثير من طريقة المستطيل (مع نفس عدد مقاطع القسم). وبطبيعة الحال، كلما زاد حجم المقاطع الوسيطة الأصغر التي نأخذها في الاعتبار، زادت الدقة. يتم العثور على طريقة شبه المنحرف من وقت لآخر في المهام العملية، وسيتم مناقشة عدة أمثلة في هذه المقالة.
طريقة سيمبسون (طريقة القطع المكافئ). هذه طريقة أكثر تقدمًا - لا يتم تقريب الرسم البياني للتكامل بخط متقطع، بل بقطع مكافئة صغيرة. يوجد عدد من القطع المكافئة الصغيرة بقدر ما توجد شرائح وسيطة. إذا أخذنا نفس الأجزاء الثلاثة، فإن طريقة سيمبسون ستعطي تقريبًا أكثر دقة من طريقة المستطيل أو طريقة شبه المنحرف.
لا أرى أي معنى في إنشاء رسم، حيث سيتم فرض التقريب البصري على الرسم البياني للوظيفة (الخط المتقطع في الفقرة السابقة - وحتى ذلك الحين تزامن تقريبًا).
تعد مشكلة حساب التكامل المحدد باستخدام صيغة سيمبسون هي المهمة الأكثر شيوعًا في الممارسة العملية. وسوف تحظى طريقة القطع المكافئ باهتمام كبير.
كيفية حساب التكامل المحدد باستخدام الطريقة شبه المنحرفة؟
أولا، الصيغة العامة. ربما لن يكون الأمر واضحًا للجميع على الفور... نعم، كارلسون معك - الأمثلة العملية ستوضح كل شيء! هادئ. السلام فقط.
دعونا نفكر في التكامل المحدد، حيث تكون الدالة مستمرة على الفترة. دعونا نقسم المقطع إلى متساويالقطاعات:
. وفي هذه الحالة يتضح: (الحد الأدنى للتكامل) و (الحد الأعلى للتكامل). نقاط 
أيضا يسمى العقد.
ومن ثم يمكن حساب التكامل المحدد تقريبًا وفقا للصيغة شبه المنحرفة:
، أين:
خطوة;
- قيم التكامل عند النقاط 
.
مثال 1
احسب التكامل المحدد تقريبًا باستخدام الصيغة شبه المنحرفة. قم بتقريب النتائج إلى ثلاث منازل عشرية.
أ) تقسيم جزء التكامل إلى 3 أجزاء.
ب) تقسيم جزء التكامل إلى 5 أجزاء.
حل:
أ) خاصة بالنسبة للدمى، قمت بربط النقطة الأولى برسم يوضح مبدأ الطريقة بوضوح. إذا كان الأمر صعبًا، فانظر إلى الرسم أثناء تعليقك، إليك جزء منه: 
وفقا للشرط، يجب تقسيم جزء التكامل إلى 3 أجزاء، أي.
دعونا نحسب طول كل مقطع قسم: 
. أذكرك أن المعلمة تسمى أيضًا خطوة.
كم عدد النقاط (عقد التقسيم) ستكون؟ سيكون هنالك مرة اخرىمن عدد الأجزاء:
حسنًا، تم تقليل الصيغة العامة لشبه المنحرف إلى حجم لطيف: 
لإجراء العمليات الحسابية، يمكنك استخدام حاسبة صغيرة عادية: 
لاحظ أن، وفقا لشروط المشكلة، ينبغي تقريب جميع الحسابات إلى المنزلة العشرية الثالثة.
أخيراً:
من وجهة نظر هندسية، قمنا بحساب مجموع مساحات ثلاثة شبه منحرف (انظر الصورة أعلاه).
ب) لنقسم قطعة التكامل إلى 5 أجزاء متساوية، أي. لماذا هذا ضروري؟ ولمنع سقوط Phobos-Grunt في المحيط، من خلال زيادة عدد الأجزاء، فإننا نزيد من دقة الحسابات.
إذا كانت الصيغة شبه المنحرفة تأخذ الشكل التالي:
لنجد خطوة التقسيم: 
أي أن طول كل قطعة متوسطة هو 0.6.
عند الانتهاء من المهمة، من المناسب إضفاء الطابع الرسمي على جميع الحسابات باستخدام جدول الحسابات:
في السطر الأول نكتب "العداد"
أعتقد أنه يمكن للجميع رؤية كيفية تشكيل السطر الثاني - نكتب أولاً الحد الأدنى للتكامل، ويتم الحصول على القيم المتبقية عن طريق إضافة الخطوة على التوالي.
أعتقد أن الجميع تقريبًا فهموا المبدأ الذي يتم من خلاله ملء النتيجة النهائية. على سبيل المثال، إذا، ثم 
. كما يقولون، عد، لا تكن كسولاً.
نتيجة ل: 
حسنًا، هناك بالفعل توضيح، وتوضيح جدي! إذا كانت القيمة التقريبية لثلاثة أجزاء من القسم، فعندئذٍ لخمسة أجزاء. وهكذا، وبدرجة عالية من الثقة، يمكننا أن نقول ذلك، على الأقل.
مثال 2
احسب تكاملًا محددًا تقريبًا باستخدام الصيغة شبه المنحرفة بدقة لمنزلتين عشريتين (حتى 0.01).
حل:نفس المهمة تقريبًا، لكن بصيغة مختلفة قليلاً. والفرق الأساسي عن المثال 1 هو أننا نحن لا نعرفما هو عدد المقاطع التي يجب أن نقسم قطعة التكامل إليها للحصول على منزلتين عشريتين صحيحتين؟ وبعبارة أخرى، نحن لا نعرف معنى .
هناك صيغة خاصة تسمح لك بتحديد عدد أجزاء القسم لضمان الدقة المطلوبة، ولكن من الناحية العملية غالبًا ما يكون من الصعب تطبيقها. ولذلك، فمن المفيد استخدام نهج مبسط.
أولا، يتم تقسيم شريحة التكامل إلى عدة قطاعات كبيرة، عادة 2-3-4-5. دعونا نقسم قطعة التكامل، على سبيل المثال، إلى نفس الأجزاء الخمسة. الصيغة مألوفة بالفعل:
والخطوة بالطبع معروفة أيضًا: 
ولكن هناك سؤال آخر يطرح نفسه: إلى أي رقم يجب تقريب النتائج؟ لا يذكر الشرط شيئًا عن عدد المنازل العشرية التي يجب تركها. التوصية العامة هي: تحتاج إلى إضافة 2-3 أرقام إلى الدقة المطلوبة. في هذه الحالة، الدقة المطلوبة هي 0.01. حسب التوصية، بعد العلامة العشرية سنترك خمسة أحرف بعد العلامة العشرية (أربعة ممكنة):
نتيجة ل:
، دعونا نشير إلى التقريب بواسطة .
بعد النتيجة الأولية، عدد الشرائح مزدوج. في هذه الحالة، من الضروري تقسيمها إلى 10 أجزاء. وعندما ينمو عدد الشرائح، تتبادر إلى ذهني فكرة مشرقة مفادها أنني سئمت بطريقة أو بأخرى من دس أصابعي في الآلة الحاسبة الدقيقة. لذلك، أقترح مرة أخرى تنزيل واستخدام الآلة الحاسبة شبه الآلية (الرابط في بداية الدرس).
بالنسبة لصيغة شبه المنحرف تأخذ الشكل التالي:
في النسخة الورقية، يمكن نقل الإدخال بأمان إلى السطر التالي.
لنحسب خطوة التقسيم: 
دعونا نلخص نتائج الحساب في جدول: 
عند الانتهاء من دفتر الملاحظات، من المفيد تحويل الطاولة الطويلة إلى طاولة من طابقين.
نتيجة ل:
الآن دعونا نحسب التناقض بين التقريبات:
هنا نستخدم علامة المعامل، لأننا مهتمون بها الفرق المطلقوليس أي نتيجة أكبر وأيها أقل.
أما بالنسبة لمزيد من الإجراءات، فقد واجهت شخصيا حلين في الممارسة العملية:
1) الطريقة الأولى هي "المقارنة المباشرة". منذ تقدير الخطأ الناتج أكثرمن الدقة المطلوبة: 
، فمن الضروري مرة أخرى مضاعفة عدد مقاطع القسم وحسابها. باستخدام حاسبة Excel، يمكنك الحصول على النتيجة النهائية في غضون ثوانٍ: . الآن نقوم بتقدير الخطأ مرة أخرى: . النتيجة المستلمة أقلمن الدقة المطلوبة: 
وبذلك تكون الحسابات قد اكتملت. كل ما تبقى هو تقريب النتيجة الأخيرة (الأكثر دقة) إلى منزلتين عشريتين وإعطاء الإجابة.
2) طريقة أخرى أكثر فعالية تعتمد على استخدام ما يسمى ب قواعد رونج، والتي بموجبها نحن مخطئون في تقدير التكامل المحدد بما لا يزيد عن . وفي مشكلتنا: فلا داعي للحساب. ومع ذلك، فإن سرعة الحل في هذه الحالة جاءت على حساب الدقة: 
. ومع ذلك، فإن هذه النتيجة مقبولة، لأن "حد الخطأ" لدينا هو بالضبط جزء من مائة.
ماذا تختار؟ ركز على طريقة التدريس الخاصة بك أو تفضيلات المعلم.
إجابة: 
دقيقة إلى 0.01 (باستخدام قاعدة رونج).
مثال 3
احسب التكامل المحدد تقريبًا باستخدام الصيغة شبه المنحرفة بدقة 0.001.
هنا مرة أخرى تكامل لا يتجزأ (جيب التمام لا يتجزأ تقريبا). في نموذج الحل، يتم تقسيم الخطوة الأولى إلى 4 أجزاء، أي. حل كامل وعينة تقريبية للتصميم النهائي في نهاية الدرس.
كيفية حساب التكامل المحدد باستخدام صيغة سيمبسون؟
إذا كنت تبحث فقط عن طريقة سيمبسون في هذه الصفحة، فإنني أنصحك بشدة أن تقرأ أولاً بداية الدرس وأن تنظر على الأقل إلى المثال الأول. وذلك لأن العديد من الأفكار والتقنيات ستكون مشابهة لطريقة شبه المنحرف.
مرة أخرى، لنبدأ بالصيغة العامة
دعونا نفكر في التكامل المحدد، حيث تكون الدالة مستمرة على الفترة. دعونا نقسم المقطع إلى حتىكمية متساويشرائح. يتم الإشارة إلى عدد زوجي من الأجزاء بواسطة .
ومن الناحية العملية، يمكن أن تكون القطاعات:
اثنين:
أربعة:
ثمانية:
عشرة:
عشرين:
لا أتذكر أي خيارات أخرى.
انتباه!يُفهم الرقم على أنه رقم فردي. إنه، ممنوعتقليل، على سبيل المثال، بمقدار اثنين، والحصول على . سِجِلّ فقط تمثل، أن عدد القطاعات حتى. وليس هناك حديث عن أي تخفيضات
لذلك، يبدو التقسيم لدينا كما يلي:
المصطلحات مشابهة لتلك الخاصة بالطريقة شبه المنحرفة:
يتم استدعاء النقاط العقد.
صيغة سيمبسونللحساب التقريبي للتكامل المحدد له النموذج التالي:
، أين:
- طول كل قطعة صغيرة أو خطوة;
– قيم التكامل عند النقاط .
بتفصيل هذه الكومة، سأقوم بتحليل الصيغة بمزيد من التفصيل:
- مجموع القيمتين الأولى والأخيرة للتكامل؛
- مجموع المصطلحات مع حتىيتم ضرب الفهارس بـ 2؛
- مجموع المصطلحات مع غريبيتم ضرب الفهارس في 4.
مثال 4
احسب التكامل المحدد تقريبًا باستخدام صيغة سمبسون بدقة 0.001. ابدأ بالتقسيم إلى جزأين 
بالمناسبة، التكامل غير قابل للذوبان مرة أخرى.
حل:ألفت انتباهك على الفور إلى نوع المهمة - من الضروري حساب تكامل محدد بدقة معينة. وقد سبق أن تم التعليق على ما يعنيه هذا في بداية المقال، بالإضافة إلى استخدام أمثلة محددة في الفقرة السابقة. كما هو الحال مع طريقة شبه المنحرف، هناك صيغة تسمح لك على الفور بتحديد العدد المطلوب من المقاطع (القيمة "en") لضمان الدقة المطلوبة. صحيح أنه سيتعين عليك إيجاد المشتق الرابع وحل المسألة القصوى. ابتسم أولئك الذين فهموا ما قصدته وقدروا حجم العمل. ومع ذلك، فإن هذا ليس أمرًا مضحكًا؛ فالعثور على المشتق الرابع لمثل هذه الدالة التكاملية لن يعد أمرًا مهووسًا، بل مريضًا نفسيًا سريريًا. لذلك، من الناحية العملية، يتم استخدام طريقة مبسطة لتقدير الخطأ دائمًا تقريبًا.
لنبدأ في اتخاذ القرار. إذا كان لدينا قسمين من القسم، فستكون هناك عقد مرة اخرى: . وتأخذ صيغة سيمبسون شكلًا مضغوطًا للغاية: 
لنحسب خطوة التقسيم: 
دعونا نملأ جدول الحساب:
اسمحوا لي أن أعلق مرة أخرى على كيفية ملء الجدول:
في السطر العلوي نكتب "عداد" الفهارس
في السطر الثاني، نكتب أولاً الحد الأدنى للتكامل، ثم نضيف الخطوة تباعًا.
في السطر الثالث ندخل قيم التكامل. على سبيل المثال، إذا، ثم. كم عدد المنازل العشرية التي يجب أن أتركها؟في الواقع، الشرط مرة أخرى لا يقول شيئا عن هذا. المبدأ هو نفسه كما في الطريقة شبه المنحرفة، ننظر إلى الدقة المطلوبة: 0.001. وأضف 2-3 أرقام إضافية. أي أنك تحتاج إلى التقريب إلى 5-6 منازل عشرية.
نتيجة ل:
تم استلام النتيجة الأولية. الآن مزدوجعدد الأجزاء يصل إلى أربعة: . صيغة سيمبسون لهذا القسم تأخذ الشكل التالي:
لنحسب خطوة التقسيم: 
دعونا نملأ جدول الحساب: 
هكذا:
لنجد القيمة المطلقة للفرق بين التقريبات:
قاعدة Runge لطريقة Simpson لذيذة جدًا. إذا عند الاستخدام طريقة المستطيل الأوسطوفي الطريقة شبه المنحرفة، يُمنح لنا "تساهل" بمقدار الثلث، ولكن الآن - بقدر الخمس عشرة:
، ولم تعد الدقة هنا تعاني: 
ولكن لإكمال الصورة، سأقدم أيضًا حلاً "بسيطًا"، حيث يتعين عليك اتخاذ خطوة إضافية: حيث أن هناك حاجة إلى مزيد من الدقة: 
فمن الضروري مضاعفة عدد المقاطع مرة أخرى: .
صيغة سيمبسون تنمو بسرعة فائقة:
دعونا نحسب الخطوة: 
واملأ جدول الحساب مرة أخرى:
هكذا: 
يرجى ملاحظة أنه من المستحسن وصف الحسابات هنا بمزيد من التفصيل، لأن صيغة سيمبسون مرهقة للغاية، وإذا فرقت على الفور:
، فإن هذا الخمر سيبدو وكأنه عمل خارق. ومع ملاحظة أكثر تفصيلا، سيكون لدى المعلم انطباع جيد بأنك قمت بمسح مفاتيح الحاسبة الدقيقة بضمير حي لمدة ساعة جيدة. الحسابات التفصيلية للحالات "الصعبة" متوفرة في الآلة الحاسبة الخاصة بي.
نحن نقدر الخطأ:
الخطأ أقل من الدقة المطلوبة: 
. كل ما تبقى هو أخذ التقريب الأكثر دقة وتقريبه إلى ثلاث منازل عشرية وكتابة:
إجابة: 
دقيقة إلى 0.001
مثال 5
احسب التكامل المحدد تقريبًا باستخدام صيغة سمبسون بدقة 0.0001. ابدأ بالتقسيم إلى جزأين 
هذا مثال لك لحله بنفسك. نموذج تقريبي للتصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس.
في الجزء الأخير من الدرس، سنلقي نظرة على بضعة أمثلة أكثر شيوعًا.
مثال 6
حساب القيمة التقريبية للتكامل المحدد 
باستخدام صيغة سمبسون، تقسيم جزء التكامل إلى 10 أجزاء. يجب إجراء الحسابات بدقة حتى المنزلة العشرية الثالثة.
- البحرية الروسية في القرن الحادي والعشرين: السفن والأسلحة الواعدة
- كم يبعد زحل عنا؟
- لماذا لا توجد أجناس نقية
- ملامح قصيدة "فاسيلي تيركين"
- يقتبس Ushinsky عن تربية الأطفال
- أنواع المركبات الخاصة
- الموضوع المعجمي: "الخريف
- لماذا أنت هادئ مثل يوم عاصف؟
- كم مرة في اليوم يحق لجامعي الديون الاتصال بموجب القانون؟
- أصبحت مواعيد نشر نتائج الامتحانات معروفة
- كيفية برمجة الحلم الذي تريد رؤيته
- في مقصورات الحرب الباردة
- كوكب خارج المجموعة الشمسية - ما هو؟
- فئة الحروف الهجائية أنواع الحروف الهجائية في العالم
- لن يكون النوع الأول "المُبعث" ماموثًا، بل طائرًا منقرضًا
- الأبجدية. أنواع الحروف الهجائية. الأبجدية الأكثر تعقيدا في العالم أنواع الحروف الهجائية في العالم
- كيف يتم التقاط الصور الفضائية صورة تم التقاطها بواسطة مركبة فضائية
- القمر – مجلة "كل شيء عن الفضاء" مجال جاذبية القمر
- ناسا: كويكب ضخم يتجه نحو الأرض
- الإحساس: تم اكتشاف موجات الجاذبية من النجوم النيوترونية لأول مرة في الكون