طريقة المربعات الصغرى أمثلة لحل المشكلة. تطوير التنبؤ باستخدام طريقة المربعات الصغرى. مثال على حل مشكلة حل نظام من المعادلات بطريقة المربعات الصغرى

نقرب الدالة من خلال كثير الحدود من الدرجة الثانية. للقيام بذلك ، نحسب معاملات نظام المعادلات العادي:

, ,

دعونا نؤلف نظامًا عاديًا للمربعات الصغرى ، والذي يكون له الشكل:

من السهل العثور على حل النظام: ، ،.

وهكذا ، تم العثور على كثير الحدود من الدرجة الثانية:.

المرجع النظري

العودة إلى الصفحة<Введение в вычислительную математику. Примеры>

مثال 2. إيجاد الدرجة المثلى لكثيرات الحدود.

العودة إلى الصفحة<Введение в вычислительную математику. Примеры>

مثال 3. اشتقاق نظام معادلات عادي لإيجاد معاملات التبعية التجريبية.

دعونا نشتق نظام المعادلات لتحديد المعاملات والوظائف ، والذي يقوم بإجراء تقريب الجذر التربيعي للدالة المعينة فيما يتعلق بالنقاط. يؤلف وظيفة واكتب لها الشرط الأقصى اللازم لها:

ثم يأخذ النظام العادي الشكل:

لقد حصلنا على نظام خطي من المعادلات لمعلمات غير معروفة ويمكن حلها بسهولة.

المرجع النظري

العودة إلى الصفحة<Введение в вычислительную математику. Примеры>

مثال.

بيانات تجريبية على قيم المتغيرات Xو فيترد في الجدول.

نتيجة محاذاة الوظيفة

استخدام طريقة التربيع الصغرى، تقريب هذه البيانات بالاعتماد الخطي ص = الفأس + ب(ابحث عن الخيارات أو ب). اكتشف أي من الخطين أفضل (بمعنى طريقة المربعات الصغرى) يضبط البيانات التجريبية. جعل الرسم.

جوهر طريقة المربعات الصغرى (LSM).

تكمن المشكلة في إيجاد معاملات التبعية الخطية التي لها دالة متغيرين أو بيأخذ أصغر قيمة. هذا هو ، بالنظر إلى البيانات أو بسيكون مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات التجريبية من الخط المستقيم الموجود هو الأصغر. هذه هي النقطة الكاملة لطريقة المربعات الصغرى.

وبالتالي ، يتم تقليل حل المثال إلى إيجاد الحد الأقصى لدالة من متغيرين.

اشتقاق الصيغ لإيجاد المعاملات.

نظام من معادلتين مع مجهولين يتم تجميعها وحلها. إيجاد المشتقات الجزئية للدوال بالمتغيرات أو ب، فنحن نساوي هذه المشتقات بصفر.

نقوم بحل نظام المعادلات الناتج بأي طريقة (على سبيل المثال طريقة الاستبدالأو طريقة كرامر) والحصول على الصيغ لإيجاد المعاملات باستخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM).

مع البيانات أو بوظيفة يأخذ أصغر قيمة. يتم تقديم دليل على هذه الحقيقة أدناه في النص الموجود في نهاية الصفحة.

هذه هي الطريقة الكاملة للمربعات الصغرى. صيغة البحث عن المعلمة أيحتوي على المجاميع ، و ، والمعلمة نهو مقدار البيانات التجريبية. يوصى بحساب قيم هذه المبالغ بشكل منفصل.

معامل في الرياضيات او درجة بوجدت بعد الحساب أ.

حان الوقت لتذكر المثال الأصلي.

المحلول.

في مثالنا ن = 5. نقوم بملء الجدول لتسهيل حساب المبالغ التي تم تضمينها في صيغ المعاملات المطلوبة.

يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الرابع من الجدول بضرب قيم الصف الثاني في قيم الصف الثالث لكل رقم أنا.

يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الخامس من الجدول بتربيع قيم الصف الثاني لكل رقم أنا.

قيم العمود الأخير في الجدول هي مجاميع القيم عبر الصفوف.

نستخدم معادلات طريقة المربعات الصغرى لإيجاد المعاملات أو ب. نستبدل بها القيم المقابلة من العمود الأخير في الجدول:

بالتالي، ص = 0.165 س + 2.184هو الخط المستقيم التقريبي المطلوب.

يبقى معرفة أي من الخطوط ص = 0.165 س + 2.184أو تقترب بشكل أفضل من البيانات الأصلية ، أي لعمل تقدير باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

تقدير خطأ طريقة المربعات الصغرى.

للقيام بذلك ، تحتاج إلى حساب مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات الأصلية من هذه السطور و ، تتوافق القيمة الأصغر مع السطر الذي يقارب البيانات الأصلية بشكل أفضل من حيث طريقة المربعات الصغرى.

منذ ذلك الحين الخط ص = 0.165 س + 2.184تقرب البيانات الأصلية بشكل أفضل.

رسم توضيحي لطريقة المربعات الصغرى (LSM).

كل شيء يبدو رائعا على الرسوم البيانية. الخط الأحمر هو الخط الموجود ص = 0.165 س + 2.184، الخط الأزرق ، النقاط الوردية هي البيانات الأصلية.

ما هذا ، ولماذا كل هذه التقريبات؟

أنا شخصياً أستخدمه لحل مشاكل تجانس البيانات ومشاكل الاستيفاء والاستقراء (في المثال الأصلي ، قد يُطلب منك العثور على قيمة القيمة المرصودة ذفي س = 3او متى س = 6وفقًا لطريقة MNC). لكننا سنتحدث أكثر عن هذا لاحقًا في قسم آخر من الموقع.

أعلى الصفحة

دليل - إثبات.

لذلك عندما وجدت أو بتأخذ الدالة أصغر قيمة ، فمن الضروري في هذه المرحلة أن تكون مصفوفة الشكل التربيعي للتفاضل من الدرجة الثانية للوظيفة كانت ايجابية مؤكدة. دعونا نظهر ذلك.

فارق الرتبة الثانية له الشكل:

هذا هو

لذلك ، فإن مصفوفة الصيغة التربيعية لها الشكل

وقيم العناصر لا تعتمد على أو ب.

دعونا نظهر أن المصفوفة موجبة محددة. هذا يتطلب أن تكون الزاوية الصغرى موجبة.

الصغرى الزاوي من الدرجة الأولى . عدم المساواة صارم ، لأن النقاط لا تتطابق. سوف يتم تضمين هذا في ما يلي.

الصغرى الزاوي من الدرجة الثانية

دعنا نثبت ذلك طريقة الاستقراء الرياضي.

استنتاج: القيم الموجودة أو بتتوافق مع أصغر قيمة للدالة ، لذلك ، هي المعلمات المطلوبة لطريقة المربعات الصغرى.

هل فهمت؟
اطلب حلاً

أعلى الصفحة

تطوير التنبؤ باستخدام طريقة المربعات الصغرى. مثال على حل المشكلة

استقراء - هذه طريقة للبحث العلمي ، تقوم على نشر الاتجاهات والأنماط والعلاقات الماضية والحاضرة بالتطور المستقبلي لموضوع التنبؤ. تشمل طرق الاستقراء طريقة المتوسط ​​المتحرك ، طريقة التجانس الأسي ، طريقة المربعات الصغرى.

جوهر طريقة المربعات الصغرى يتمثل في تقليل مجموع الانحرافات المربعة بين القيم المرصودة والمحسوبة. تم العثور على القيم المحسوبة وفقًا للمعادلة المحددة - معادلة الانحدار. كلما كانت المسافة بين القيم الفعلية والقيم المحسوبة أصغر ، زادت دقة التنبؤ بناءً على معادلة الانحدار.

يعد التحليل النظري لجوهر الظاهرة قيد الدراسة ، والتغيير الذي يتم عرضه بواسطة سلسلة زمنية ، بمثابة الأساس لاختيار المنحنى. تؤخذ الاعتبارات المتعلقة بطبيعة نمو مستويات السلسلة في الاعتبار أحيانًا. لذلك ، إذا كان نمو الناتج متوقعًا في تقدم حسابي ، فسيتم إجراء التسوية في خط مستقيم. إذا اتضح أن النمو أسي ، فيجب إجراء التسوية وفقًا للدالة الأسية.

صيغة العمل لطريقة المربعات الصغرى : ص ر + 1 = أ * س + ب، حيث t + 1 هي فترة التنبؤ ؛ Уt + 1 - مؤشر متوقع ؛ أ و ب معاملين ؛ X هو رمز الوقت.

يتم حساب المعاملين a و b وفقًا للصيغ التالية:

حيث ، Uf - القيم الفعلية لسلسلة الديناميات ؛ ن هو عدد المستويات في السلسلة الزمنية ؛

يعمل تجانس السلاسل الزمنية بطريقة المربعات الصغرى على عكس أنماط تطور الظاهرة قيد الدراسة. في التعبير التحليلي للاتجاه ، يعتبر الوقت متغيرًا مستقلاً ، وتعمل مستويات السلسلة كدالة لهذا المتغير المستقل.

لا يعتمد تطور الظاهرة على عدد السنوات التي مرت منذ نقطة البداية ، ولكن على العوامل التي أثرت في تطورها وفي أي اتجاه وبأي شدة. من هذا يتضح أن تطور ظاهرة في الوقت المناسب يظهر نتيجة لعمل هذه العوامل.

يعد تحديد نوع المنحنى بشكل صحيح ، ونوع الاعتماد التحليلي على الوقت من أصعب مهام التحليل ما قبل التنبؤي. .

يعتبر اختيار نوع الوظيفة التي تصف الاتجاه ، والتي يتم تحديد معلماتها بواسطة طريقة المربعات الصغرى ، تجريبيًا في معظم الحالات ، من خلال إنشاء عدد من الوظائف ومقارنتها مع بعضها البعض بقيمة متوسط ​​الجذر -مربع الخطأ المحسوب بالصيغة:

حيث Uf - القيم الفعلية لسلسلة الديناميات ؛ Ur - القيم المحسوبة (المتجانسة) للسلسلة الزمنية ؛ ن هو عدد المستويات في السلسلة الزمنية ؛ p هو عدد المعلمات المحددة في الصيغ التي تصف الاتجاه (اتجاه التطوير).

عيوب طريقة المربعات الصغرى :

• عند محاولة وصف الظاهرة الاقتصادية قيد الدراسة باستخدام معادلة رياضية ، سيكون التنبؤ دقيقًا لفترة قصيرة من الوقت ويجب إعادة حساب معادلة الانحدار عند توفر معلومات جديدة ؛
• تعقيد اختيار معادلة الانحدار التي يمكن حلها باستخدام برامج الكمبيوتر القياسية.

مثال على استخدام طريقة المربعات الصغرى لتطوير التنبؤ

مهمة . توجد بيانات تحدد مستوى البطالة في المنطقة ،٪

• بناء توقع لمعدل البطالة في المنطقة لشهور نوفمبر وديسمبر ويناير باستخدام الطرق: المتوسط ​​المتحرك ، التسوية الأسية ، المربعات الصغرى.
• احسب الأخطاء في التنبؤات الناتجة باستخدام كل طريقة.
• قارن النتائج التي تم الحصول عليها واستخلاص النتائج.

حل المربعات الصغرى

بالنسبة للحل ، سنقوم بتجميع جدول نقوم فيه بإجراء الحسابات اللازمة:

ε = 28.63 / 10 = 2.86٪ دقة التنبؤعالي.

استنتاج : مقارنة النتائج التي تم الحصول عليها في الحسابات طريقة المتوسط ​​المتحرك , تجانس الأسي وطريقة المربعات الصغرى ، يمكننا القول أن متوسط ​​الخطأ النسبي في الحسابات بطريقة التسوية الأسية يقع في حدود 20-50٪. هذا يعني أن دقة التنبؤ في هذه الحالة مرضية فقط.

في الحالتين الأولى والثالثة ، تكون دقة التنبؤ عالية ، لأن متوسط ​​الخطأ النسبي أقل من 10٪. لكن طريقة المتوسط ​​المتحرك جعلت من الممكن الحصول على نتائج أكثر موثوقية (التوقعات لشهر نوفمبر - 1.52٪ ، التوقعات لشهر ديسمبر - 1.53٪ ، التوقعات لشهر يناير - 1.49٪) ، نظرًا لأن متوسط ​​الخطأ النسبي عند استخدام هذه الطريقة هو الأصغر - 1 13٪.

طريقة المربعات الصغرى

مقالات أخرى ذات صلة:

قائمة المصادر المستخدمة

1. توصيات علمية ومنهجية حول قضايا تشخيص المخاطر الاجتماعية والتنبؤ بالتحديات والتهديدات والعواقب الاجتماعية. جامعة الدولة الروسية الاجتماعية. موسكو. 2010 ؛
2. فلاديميروفا ل. التنبؤ والتخطيط في ظروف السوق: Proc. مخصص. م: دار النشر "Dashkov and Co" ، 2001 ؛
3. Novikova N.V. ، Pozdeeva O.G. التنبؤ بالاقتصاد الوطني: دليل تعليمي ومنهجي. يكاترينبورغ: دار النشر الأورال. حالة اقتصاد الجامعة ، 2007 ؛
4. Slutskin L.N. دورة ماجستير في إدارة الأعمال في التنبؤ الأعمال. موسكو: Alpina Business Books ، 2006.

برنامج MNE

أدخل البيانات

البيانات والتقريب ص = أ + ب س

أنا- رقم النقطة التجريبية ؛
س ط- قيمة المعلمة الثابتة عند النقطة أنا;
ذ أنا- قيمة المعلمة المقاسة عند النقطة أنا;
ω ط- قياس الوزن عند النقطة أنا;
ذ أنا ، احسب.- الفرق بين القيمة المقاسة والقيمة المحسوبة من الانحدار ذفي هذه النقطة أنا;
S x i (x i)- تقدير الخطأ س طعند القياس ذفي هذه النقطة أنا.

البيانات والتقريب ص = ك س

انقر على الرسم البياني

دليل المستخدم لبرنامج MNC عبر الإنترنت.

في حقل البيانات ، أدخل قيم "x" و "y" في كل سطر منفصل في نقطة تجريبية واحدة. يجب فصل القيم بمسافة بيضاء (مسافة أو علامة جدولة).

يمكن أن تكون القيمة الثالثة هي وزن النقطة "w". إذا لم يتم تحديد وزن النقطة ، فإنه يساوي واحدًا. في الغالبية العظمى من الحالات ، تكون أوزان النقاط التجريبية غير معروفة أو غير محسوبة ؛ تعتبر جميع البيانات التجريبية متكافئة. في بعض الأحيان ، تكون الأوزان في نطاق القيم المدروسة غير مكافئة بالتأكيد ويمكن حتى حسابها نظريًا. على سبيل المثال ، في القياس الطيفي ، يمكن حساب الأوزان باستخدام صيغ بسيطة ، على الرغم من إهمال الجميع لهذا الأمر لتقليل تكاليف العمالة.

يمكن لصق البيانات من خلال الحافظة من جدول بيانات مجموعة Office ، مثل Excel من Microsoft Office أو Calc من Open Office. للقيام بذلك ، في جدول البيانات ، حدد نطاق البيانات المراد نسخها ، ونسخها إلى الحافظة ، والصق البيانات في حقل البيانات في هذه الصفحة.

للحساب بطريقة المربعات الصغرى ، يلزم نقطتان على الأقل لتحديد معاملين "ب" - ظل زاوية ميل الخط المستقيم و "أ" - القيمة المقطوعة بالخط المستقيم على `y `المحور.

لتقدير خطأ معاملات الانحدار المحسوبة ، من الضروري تعيين عدد النقاط التجريبية على أكثر من اثنين.

طريقة المربعات الصغرى (LSM).

كلما زاد عدد النقاط التجريبية ، زادت دقة التقدير الإحصائي للمعاملات (بسبب انخفاض معامل الطالب) وكلما اقترب التقدير من تقدير العينة العامة.

غالبًا ما يرتبط الحصول على القيم في كل نقطة تجريبية بتكاليف العمالة الكبيرة ، وبالتالي ، غالبًا ما يتم تنفيذ عدد من التجارب ، مما يعطي تقديرًا سهل الهضم ولا يؤدي إلى تكاليف العمالة الزائدة. كقاعدة عامة ، يتم اختيار عدد النقاط التجريبية لاعتماد المربعات الصغرى الخطية ذات المعاملين في منطقة 5-7 نقاط.

نظرية موجزة للمربعات الصغرى للاعتماد الخطي

لنفترض أن لدينا مجموعة من البيانات التجريبية في شكل أزواج من القيم [`y_i` ،` x_i`] ، حيث "i" هو رقم قياس تجريبي واحد من 1 إلى "n" ؛ `y_i` - قيمة القيمة المُقاسة عند النقطة` i` ؛ "x_i" - قيمة المعلمة التي حددناها عند النقطة `i`.

مثال على ذلك هو عمل قانون أوم. عن طريق تغيير الجهد (فرق الجهد) بين أقسام الدائرة الكهربائية ، نقيس كمية التيار المار عبر هذا القسم. تعطينا الفيزياء الاعتماد الموجود تجريبيًا:

"أنا = U / R" ،
حيث "أنا" - القوة الحالية ؛ `R` - المقاومة ؛ `U` - الجهد.

في هذه الحالة ، "y_i" هي القيمة الحالية المقاسة ، و "x_i" هي قيمة الجهد.

كمثال آخر ، ضع في اعتبارك امتصاص الضوء بواسطة محلول مادة في محلول. تعطينا الكيمياء الصيغة:

`A = εl C` ،
حيث "أ" هي الكثافة الضوئية للمحلول ؛ "ε" - النفاذية الذائبة ؛ "l" - طول المسار عندما يمر الضوء عبر كفيت بمحلول ؛ "C" هو تركيز المذاب.

في هذه الحالة ، "y_i" هي الكثافة البصرية المقاسة "A" ، و "x_i" هي تركيز المادة التي حددناها.

سننظر في الحالة التي يكون فيها الخطأ النسبي في إعداد "x_i" أقل بكثير من الخطأ النسبي في قياس "y_i". سنفترض أيضًا أن جميع القيم المقاسة لـ "y_i" عشوائية وموزعة بشكل طبيعي ، أي الامتثال لقانون التوزيع العادي.

في حالة الاعتماد الخطي لـ `y` على` x` ، يمكننا كتابة الاعتماد النظري:
`y = a + bx`.

من وجهة نظر هندسية ، يشير المعامل "ب" إلى ظل زاوية ميل الخط إلى المحور "س" ، والمعامل "أ" - قيمة "ص" عند نقطة تقاطع خط مع المحور `y` (لـ` x = 0`).

إيجاد معاملات خط الانحدار.

في إحدى التجارب ، لا يمكن أن تقع القيم المقاسة لـ "y_i" على الخط النظري تمامًا بسبب أخطاء القياس ، والتي تكون دائمًا متأصلة في الحياة الواقعية. لذلك ، يجب تمثيل المعادلة الخطية بنظام المعادلات:
`y_i = a + b x_i + ε_i` (1) ،
حيث "ε_i" هو خطأ القياس غير المعروف لـ "y" في التجربة "الأولى".

الاعتماد (1) يسمى أيضا تراجع، بمعنى آخر. اعتماد الكميتين على بعضهما البعض بدلالة إحصائية.

تتمثل مهمة استعادة التبعية في العثور على المعاملين `a` و` b` من النقاط التجريبية [`y_i` ،` x_i`].

للعثور على المعاملين "أ" و "ب" ، يتم استخدامهما عادةً طريقة التربيع الصغرى(MNK). إنها حالة خاصة لمبدأ الاحتمال الأقصى.

دعنا نعيد كتابة (1) كـ `ε_i = y_i - a - b x_i`.

ثم سيكون مجموع الأخطاء التربيعية
`Φ = sum_ (i = 1) ^ (n) ε_i ^ 2 = sum_ (i = 1) ^ (n) (y_i - a - b x_i) ^ 2`. (2)

مبدأ طريقة المربعات الصغرى هو تقليل المجموع (2) فيما يتعلق بالمعلمات `أ` و` ب`.

يتم الوصول إلى الحد الأدنى عندما تكون المشتقات الجزئية للمبلغ (2) فيما يتعلق بالمعاملات `أ` و` ب` مساوية للصفر:
`frac (جزئي Φ) (جزئي أ) = frac (مجموع جزئي_ (i = 1) ^ (n) (y_i - a - b x_i) ^ 2) (جزئي أ) = 0`
`frac (جزئي Φ) (جزئي ب) = frac (مجموع جزئي_ (i = 1) ^ (n) (y_i - a - b x_i) ^ 2) (جزئي ب) = 0`

بتوسيع المشتقات ، نحصل على نظام من معادلتين مع مجهولين:
`sum_ (i = 1) ^ (n) (2a + 2bx_i - 2y_i) = sum_ (i = 1) ^ (n) (a + bx_i - y_i) = 0`
`sum_ (i = 1) ^ (n) (2bx_i ^ 2 + 2ax_i - 2x_iy_i) = sum_ (i = 1) ^ (n) (bx_i ^ 2 + ax_i - x_iy_i) = 0`

نفتح الأقواس وننقل المجاميع المستقلة عن المعاملات المرغوبة إلى النصف الآخر ، نحصل على نظام المعادلات الخطية:
`sum_ (i = 1) ^ (n) y_i = a n + b sum_ (i = 1) ^ (n) bx_i`
`sum_ (i = 1) ^ (n) x_iy_i = a sum_ (i = 1) ^ (n) x_i + b sum_ (i = 1) ^ (n) x_i ^ 2`

لحل النظام الناتج ، نجد صيغًا للمعاملات `أ` و` ب`:

`a = frac (sum_ (i = 1) ^ (n) y_i sum_ (i = 1) ^ (n) x_i ^ 2 - sum_ (i = 1) ^ (n) x_i sum_ (i = 1) ^ (n ) x_iy_i) (n sum_ (i = 1) ^ (n) x_i ^ 2 - (sum_ (i = 1) ^ (n) x_i) ^ 2) `(3.1)

`b = frac (n sum_ (i = 1) ^ (n) x_iy_i - sum_ (i = 1) ^ (n) x_i sum_ (i = 1) ^ (n) y_i) (n sum_ (i = 1) ^ (ن) x_i ^ 2 - (sum_ (i = 1) ^ (n) x_i) ^ 2) `(3.2)

تحتوي هذه الصيغ على حلول عندما `n> 1` (يمكن رسم الخط باستخدام نقطتين على الأقل) وعندما المحدد` D = n sum_ (i = 1) ^ (n) x_i ^ 2 - (sum_ (i = 1) ) ^ (n) x_i) ^ 2! = 0` ، أي عندما تكون نقاط "x_i" في التجربة مختلفة (أي عندما لا يكون الخط عموديًا).

تقدير الأخطاء في معاملات خط الانحدار

للحصول على تقدير أكثر دقة للخطأ في حساب المعاملين "أ" و "ب" ، من المستحسن استخدام عدد كبير من النقاط التجريبية. عندما يكون `n = 2` ، من المستحيل تقدير خطأ المعاملات ، لأن سيمر الخط التقريبي بشكل فريد من خلال نقطتين.

تم تحديد خطأ المتغير العشوائي `V` قانون تراكم الأخطاء
`S_V ^ 2 = sum_ (i = 1) ^ p (frac (جزئي f) (جزئي z_i)) ^ 2 S_ (z_i) ^ 2` ،
حيث أن `p` هو عدد معلمات` z_i` ذات الخطأ `S_ (z_i)` التي تؤثر على الخطأ `S_V` ؛
`f` هي دالة تبعية لـ` V` في `z_i`.

لنكتب قانون تراكم الأخطاء لخطأ المعاملين `أ` و` ب`
`S_a ^ 2 = sum_ (i = 1) ^ (n) (frac (جزئي a) (جزئي y_i)) ^ 2 S_ (y_i) ^ 2 + sum_ (i = 1) ^ (n) (frac (جزئي a ) (جزئية x_i)) ^ 2 S_ (x_i) ^ 2 = S_y ^ 2 sum_ (i = 1) ^ (n) (frac (جزئي a) (جزئية y_i)) ^ 2 `،
`S_b ^ 2 = sum_ (i = 1) ^ (n) (frac (جزئي b) (جزئي y_i)) ^ 2 S_ (y_i) ^ 2 + sum_ (i = 1) ^ (n) (frac (جزئي ب) ) (جزئية x_i)) ^ 2 S_ (x_i) ^ 2 = S_y ^ 2 sum_ (i = 1) ^ (n) (frac (جزئي b) (جزئي y_i)) ^ 2 `،
لان `S_ (x_i) ^ 2 = 0` (لقد حجزنا سابقًا أن خطأ` x` لا يكاد يذكر).

`S_y ^ 2 = S_ (y_i) ^ 2` - الخطأ (التباين ، الانحراف المعياري التربيعي) في البعد` y` ، بافتراض أن الخطأ موحد لجميع قيم `y`.

نستبدل الصيغ لحساب `أ` و` ب` في التعبيرات الناتجة

`S_a ^ 2 = S_y ^ 2 frac (sum_ (i = 1) ^ (n) (sum_ (i = 1) ^ (n) x_i ^ 2 - x_i sum_ (i = 1) ^ (n) x_i) ^ 2 ) (D ^ 2) = S_y ^ 2 frac ((n sum_ (i = 1) ^ (n) x_i ^ 2 - (sum_ (i = 1) ^ (n) x_i) ^ 2) sum_ (i = 1) ^ (n) x_i ^ 2) (D ^ 2) = S_y ^ 2 frac (sum_ (i = 1) ^ (n) x_i ^ 2) (D) `(4.1)

S_b ^ 2 = S_y ^ 2 frac (sum_ (i = 1) ^ (n) (n x_i - sum_ (i = 1) ^ (n) x_i) ^ 2) (D ^ 2) = S_y ^ 2 frac ( n (n sum_ (i = 1) ^ (n) x_i ^ 2 - (sum_ (i = 1) ^ (n) x_i) ^ 2)) (D ^ 2) = S_y ^ 2 frac (n) (D) "(4.2)

في معظم التجارب الواقعية ، لا يتم قياس قيمة "Sy". للقيام بذلك ، من الضروري إجراء عدة قياسات متوازية (تجارب) في نقطة واحدة أو عدة نقاط من الخطة ، مما يزيد من وقت التجربة (وربما تكلفتها). لذلك ، يُفترض عادةً أن انحراف `y` عن خط الانحدار يمكن اعتباره عشوائيًا. يتم حساب تقدير التباين "y" في هذه الحالة من خلال الصيغة.

`S_y ^ 2 = S_ (y، rest) ^ 2 = frac (sum_ (i = 1) ^ n (y_i - a - b x_i) ^ 2) (n-2)`.

يظهر المقسوم عليه `n-2` لأننا قللنا عدد درجات الحرية بسبب حساب معاملين لنفس عينة البيانات التجريبية.

يسمى هذا التقدير أيضًا التباين المتبقي بالنسبة إلى خط الانحدار `S_ (y ، بقية) ^ 2`.

يتم تقييم أهمية المعاملات وفقًا لمعيار الطالب

"t_a = frac (| a |) (S_a)` ، `t_b = frac (| b |) (S_b)`

إذا كانت المعايير المحسوبة "t_a" ، "t_b" أقل من معايير الجدول "t (P ، n-2)" ، فيُعتبر أن المعامل المقابل لا يختلف كثيرًا عن الصفر مع احتمال معين "P".

لتقييم جودة وصف العلاقة الخطية ، يمكنك مقارنة `S_ (ص ، بقية) ^ 2` و` S_ (شريط ص) `بالنسبة للمتوسط ​​باستخدام معيار فيشر.

`S_ (شريط y) = frac (sum_ (i = 1) ^ n (y_i - شريط y) ^ 2) (n-1) = frac (sum_ (i = 1) ^ n (y_i - (sum_ (i = 1) ^ n y_i) / n) ^ 2) (n-1) `- تقدير عينة لتباين` y` بالنسبة للمتوسط.

لتقييم فعالية معادلة الانحدار لوصف التبعية ، تم حساب معامل فيشر
`F = S_ (شريط y) / S_ (y ، بقية) ^ 2` ،
والتي تتم مقارنتها مع معامل فيشر الجدولي `F (p، n-1، n-2)`.

إذا كان "F> F (P، n-1، n-2)" ، فإن الاختلاف بين وصف الاعتماد `y = f (x)` باستخدام معادلة الانحدار والوصف باستخدام الوسط يعتبر ذو دلالة إحصائية مع الاحتمالية "P". أولئك. يصف الانحدار الاعتماد بشكل أفضل من انتشار `y` حول المتوسط.

انقر على الرسم البياني
لإضافة قيم إلى الجدول

طريقة المربعات الصغرى. طريقة المربعات الصغرى تعني تحديد المعلمات غير المعروفة أ ، ب ، ج ، الاعتماد الوظيفي المقبول

طريقة المربعات الصغرى تعني تحديد المعلمات غير المعروفة أ ، ب ، ج ، ...الاعتماد الوظيفي المقبول

ص = و (س ، أ ، ب ، ج ، ...),

مما يوفر حدًا أدنى من متوسط ​​مربع (تباين) الخطأ

, (24)

حيث x i و y i - مجموعة من أزواج الأرقام التي تم الحصول عليها من التجربة.

نظرًا لأن الشرط الأقصى لدالة متعددة المتغيرات هو شرط أن مشتقاتها الجزئية تساوي صفرًا ، فإن المعلمات أ ، ب ، ج ، ...يتم تحديدها من نظام المعادلات:

; ; ; … (25)

يجب أن نتذكر أنه يتم استخدام طريقة المربعات الصغرى لتحديد المعلمات بعد شكل الوظيفة ص = و (س)مُعرف.

إذا كان من المستحيل من خلال الاعتبارات النظرية استخلاص أي استنتاجات حول ماهية الصيغة التجريبية ، فيجب على المرء أن يسترشد بالتمثيلات المرئية ، وفي المقام الأول تمثيل رسومي للبيانات المرصودة.

في الممارسة العملية ، غالبًا ما يقتصر على الأنواع التالية من الوظائف:

1) خطي ;

2) التربيعية أ.

(انظر الصورة). مطلوب إيجاد معادلة الخط المستقيم

كلما قل الرقم في القيمة المطلقة ، كان اختيار الخط المستقيم (2) أفضل. كخاصية دقة اختيار الخط المستقيم (2) ، يمكننا أخذ مجموع المربعات

الحد الأدنى لشروط S سيكون

	(6)
	(7)

يمكن كتابة المعادلتين (6) و (7) بالصيغة التالية:

	(8)
	(9)

من المعادلتين (8) و (9) ، من السهل إيجاد a و b من القيم التجريبية x i و y i. يُطلق على الخط (2) المحدد بواسطة المعادلتين (8) و (9) الخط الذي تم الحصول عليه بطريقة المربعات الصغرى (يؤكد هذا الاسم على أن مجموع المربعات S له حد أدنى). تسمى المعادلتان (8) و (9) ، التي يتم من خلالها تحديد الخط المستقيم (2) ، بالمعادلات العادية.

من الممكن الإشارة إلى طريقة بسيطة وعامة لتجميع المعادلات العادية. باستخدام النقاط التجريبية (1) والمعادلة (2) ، يمكننا كتابة نظام المعادلات لكل من a و b

نقوم بضرب الجزأين الأيمن والأيسر لكل من هذه المعادلات بالمعامل عند المجهول الأول (أي x 1 ، x 2 ، ... ، x n) ونضيف المعادلات الناتجة ، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة العادية الأولى ( 8).

نضرب الجانبين الأيمن والأيسر لكل من هذه المعادلات بمعامل المجهول الثاني ب ، أي بمقدار 1 ، وأضف المعادلات الناتجة ، مما ينتج عنه المعادلة العادية الثانية (9).

هذه الطريقة في الحصول على المعادلات العادية عامة: فهي مناسبة ، على سبيل المثال ، للدالة

هي قيمة ثابتة ويجب تحديدها من البيانات التجريبية (1).

يمكن كتابة نظام المعادلات لـ k:

أوجد الخط (2) باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

المحلول.نجد:

x i = 21 ، y i = 46.3 ، x i 2 = 91 ، x i y i = 179.1.

نكتب المعادلتين (8) و (9)

من هنا نجد

تقدير دقة طريقة المربعات الصغرى

دعونا نعطي تقديرًا لدقة طريقة الحالة الخطية عند حدوث المعادلة (2).

دع القيم التجريبية x i دقيقة ، والقيم التجريبية y i بها أخطاء عشوائية بنفس التباين لجميع i.

نقدم التدوين

ثم يمكن تمثيل حلول المعادلتين (8) و (9) كـ

	(17)
	(18)
أين
	(19)
من المعادلة (17) نجد
	(20)
وبالمثل ، من المعادلة (18) نحصل عليها
	(21)
لان
	(22)
من المعادلتين (21) و (22) نجد
	(23)

تعطي المعادلتان (20) و (23) تقديرًا لدقة المعاملات المحددة بواسطة المعادلتين (8) و (9).

لاحظ أن المعاملين a و b مترابطان. من خلال التحولات البسيطة ، نجد لحظة ارتباطها.

من هنا نجد

0.072 عند x = 1 و 6 ،

0.041 عند x = 3.5.

المؤلفات

دعم. يا ب. الأساليب الإحصائية للتحليل وضبط الجودة والموثوقية. م: Gosenergoizdat، 1962، p. 552 ، ص 92-98.

هذا الكتاب مخصص لمجموعة واسعة من المهندسين (معاهد البحوث ، ومكاتب التصميم ، ومواقع الاختبار والمصانع) المشاركين في تحديد جودة وموثوقية المعدات الإلكترونية والمنتجات الصناعية الأخرى (بناء الآلات ، وصنع الأدوات ، والمدفعية ، وما إلى ذلك).

يقدم الكتاب تطبيقًا لطرق الإحصاء الرياضي لمعالجة وتقييم نتائج الاختبار ، حيث يتم تحديد جودة وموثوقية المنتجات المختبرة. لراحة القراء ، يتم تقديم المعلومات الضرورية من الإحصائيات الرياضية ، بالإضافة إلى عدد كبير من الجداول الرياضية المساعدة التي تسهل العمليات الحسابية اللازمة.

يتضح العرض من خلال عدد كبير من الأمثلة المأخوذة من مجال الإلكترونيات اللاسلكية وتكنولوجيا المدفعية.

طريقة المربعات الصغرى هي واحدة من أكثر الطرق شيوعًا والأكثر تطورًا بسببها بساطة وكفاءة طرق تقدير معاملات الخطية. في الوقت نفسه ، يجب توخي الحذر عند استخدامه ، لأن النماذج التي تم إنشاؤها باستخدامه قد لا تلبي عددًا من المتطلبات لجودة معلماتها ، ونتيجة لذلك ، لا تعكس "جيدًا" أنماط تطوير العملية.

دعونا نفكر في إجراء تقدير معلمات نموذج الاقتصاد القياسي الخطي باستخدام طريقة المربعات الصغرى بمزيد من التفصيل. يمكن تمثيل هذا النموذج بشكل عام بالمعادلة (1.2):

y t = a 0 + a 1 x 1 t + ... + a n x nt + t.

البيانات الأولية عند تقدير المعلمات a 0 ، a 1 ، ... ، a n هي متجه قيم المتغير التابع ذ= (y 1، y 2، ...، y T) "ومصفوفة قيم المتغيرات المستقلة

حيث يتوافق العمود الأول المكون من الآحاد مع معامل النموذج.

حصلت طريقة المربعات الصغرى على اسمها بناءً على المبدأ الأساسي الذي يجب أن تفي به تقديرات المعلمات التي تم الحصول عليها على أساسها: يجب أن يكون مجموع المربعات لخطأ النموذج ضئيلاً.

أمثلة على حل المشكلات بطريقة المربعات الصغرى

مثال 2.1.تمتلك المؤسسة التجارية شبكة تتكون من 12 متجرًا ، وترد معلومات عن أنشطتها في الجدول. 2.1.

تود إدارة الشركة معرفة كيف يعتمد الحجم السنوي على منطقة المبيعات بالمخزن.

الجدول 2.1

حل المربعات الصغرى.دعونا نحدد - حجم المبيعات السنوي لمتجر -th ، مليون روبل ؛ - مساحة البيع بالمخزن - الالف م 2.

الشكل 2.1. مخطط مبعثر للمثال 2.1

لتحديد شكل العلاقة الوظيفية بين المتغيرات وبناء مخطط مبعثر (الشكل 2.1).

استنادًا إلى الرسم البياني المبعثر ، يمكننا أن نستنتج أن حجم المبيعات السنوي يعتمد بشكل إيجابي على منطقة البيع (أي أن y ستزداد مع نمو). أنسب شكل من أشكال الاتصال الوظيفي - خطي.

يتم عرض معلومات لمزيد من العمليات الحسابية في الجدول. 2.2. باستخدام طريقة المربعات الصغرى ، قمنا بتقدير معاملات النموذج الاقتصادي القياسي الخطي أحادي العامل

الجدول 2.2

في هذا الطريق،

لذلك ، مع زيادة مساحة التجارة بمقدار 1000 متر مربع ، مع تساوي الأشياء الأخرى ، يزداد متوسط ​​حجم التداول السنوي بمقدار 67.8871 مليون روبل.

مثال 2.2.لاحظت إدارة المؤسسة أن حجم المبيعات السنوي لا يعتمد فقط على منطقة مبيعات المتجر (انظر المثال 2.1) ، ولكن أيضًا على متوسط ​​عدد الزوار. المعلومات ذات الصلة معروضة في الجدول. 2.3

الجدول 2.3

المحلول.دلالة - متوسط ​​عدد زوار المتجر في اليوم ، ألف شخص.

لتحديد شكل العلاقة الوظيفية بين المتغيرات وبناء مخطط مبعثر (الشكل 2.2).

استنادًا إلى الرسم التخطيطي المبعثر ، يمكننا أن نستنتج أن معدل الدوران السنوي يرتبط ارتباطًا إيجابيًا بمتوسط ​​عدد الزوار يوميًا (أي أن y ستزداد مع نمو). شكل الاعتماد الوظيفي خطي.

أرز. 2.2. مخطط مبعثر على سبيل المثال 2.2

الجدول 2.4

بشكل عام ، من الضروري تحديد معلمات نموذج الاقتصاد القياسي ذي العاملين

y t \ u003d a 0 + a 1 x 1 t + a 2 x 2 t + t

يتم عرض المعلومات المطلوبة لمزيد من العمليات الحسابية في الجدول. 2.4

دعونا نقدر معلمات نموذج اقتصادي قياسي خطي من عاملين باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

في هذا الطريق،

يُظهر تقييم المعامل = 61.6583 أنه ، مع تساوي الأشياء الأخرى ، مع زيادة منطقة التداول بمقدار 1000 م 2 ، سيزداد حجم التداول السنوي بمعدل 61.6583 مليون روبل.

• الدرس التمهيدي بدون مقابل;
• عدد كبير من المعلمين ذوي الخبرة (الناطقين باللغة الروسية والناطقين باللغة الروسية) ؛
• دورات ليست لفترة محددة (شهر ، ستة أشهر ، سنة) ، ولكن لعدد محدد من الدروس (5 ، 10 ، 20 ، 50) ؛
• أكثر من 10000 عميل راضٍ.
• تكلفة درس واحد مع مدرس يتحدث الروسية - من 600 روبل، مع متحدث أصلي - من 1500 روبل

جوهر طريقة المربعات الصغرى هو في العثور على معلمات نموذج الاتجاه الذي يصف بشكل أفضل اتجاه التطور لبعض الظواهر العشوائية في الزمان أو المكان (الاتجاه هو الخط الذي يميز اتجاه هذا التطور). تتمثل مهمة طريقة المربعات الصغرى (OLS) في العثور ليس فقط على بعض نماذج الاتجاه ، ولكن في العثور على النموذج الأفضل أو الأمثل. سيكون هذا النموذج هو الأمثل إذا كان مجموع الانحرافات التربيعية بين القيم الفعلية المرصودة وقيم الاتجاه المحسوبة المقابلة هو الحد الأدنى (الأصغر):

أين هو الانحراف المعياري بين القيمة الفعلية الملاحظة

وقيمة الاتجاه المحسوبة المقابلة ،

القيمة الفعلية (المرصودة) للظاهرة قيد الدراسة ،

القيمة المقدرة لنموذج الاتجاه ،

عدد مشاهدات الظاهرة قيد الدراسة.

نادرا ما تستخدم MNC من تلقاء نفسها. كقاعدة عامة ، يتم استخدامه في أغلب الأحيان فقط كأسلوب ضروري في دراسات الارتباط. يجب أن نتذكر أن أساس المعلومات لـ LSM لا يمكن إلا أن يكون سلسلة إحصائية موثوقة ، ويجب ألا يقل عدد الملاحظات عن 4 ، وإلا ، فقد تفقد إجراءات التنعيم الخاصة بـ LSM الحس السليم.

تم تقليل مجموعة أدوات OLS إلى الإجراءات التالية:

الإجراء الأول. اتضح ما إذا كان هناك أي ميل على الإطلاق لتغيير السمة الناتجة عندما يتغير العامل المختار ، أو بعبارة أخرى ، ما إذا كان هناك ارتباط بين " في " و " X ».

الإجراء الثاني. يتم تحديد أي خط (مسار) هو الأفضل لوصف أو تمييز هذا الاتجاه.

الإجراء الثالث.

مثال. لنفترض أن لدينا معلومات عن متوسط ​​محصول عباد الشمس للمزرعة قيد الدراسة (الجدول 9.1).

الجدول 9.1

نظرًا لأن مستوى التكنولوجيا في إنتاج عباد الشمس في بلدنا لم يتغير كثيرًا خلال السنوات العشر الماضية ، فهذا يعني ، على الأرجح ، أن التقلبات في الغلة في الفترة التي تم تحليلها تعتمد إلى حد كبير على التقلبات في الظروف الجوية والمناخية. هل هذا صحيح؟

أول إجراء MNC. يتم اختبار الفرضية حول وجود اتجاه في التغير في محصول عباد الشمس اعتمادًا على التغيرات في الظروف الجوية والمناخية على مدى السنوات العشر التي تم تحليلها.

في هذا المثال ، لـ " ذ »يستحب أخذ غلة عباد الشمس ، ولـ«. x »هو رقم السنة المرصودة في الفترة التي تم تحليلها. اختبار الفرضية حول وجود أي علاقة بين " x " و " ذ »يمكن القيام به بطريقتين: يدويا وبمساعدة برامج الكمبيوتر. بالطبع ، مع توافر تكنولوجيا الكمبيوتر ، يتم حل هذه المشكلة من تلقاء نفسها. ولكن من أجل فهم مجموعة أدوات OLS بشكل أفضل ، يُنصح باختبار الفرضية حول وجود علاقة بين " x " و " ذ »يدويًا ، عندما يكون في متناول اليد قلم وآلة حاسبة عادية. في مثل هذه الحالات ، من الأفضل التحقق من فرضية وجود اتجاه بصريًا من خلال موقع الصورة الرسومية للسلسلة الزمنية التي تم تحليلها - حقل الارتباط:

يقع حقل الارتباط في مثالنا حول خط يتزايد ببطء. يشير هذا في حد ذاته إلى وجود اتجاه معين في التغيير في محصول عباد الشمس. من المستحيل التحدث عن وجود أي اتجاه فقط عندما يبدو حقل الارتباط كدائرة أو دائرة أو سحابة رأسية تمامًا أو أفقية تمامًا أو يتكون من نقاط مبعثرة عشوائيًا. في جميع الحالات الأخرى ، من الضروري تأكيد فرضية وجود علاقة بين " x " و " ذ ومواصلة البحث.

إجراء MNC الثاني. يتم تحديد أي خط (مسار) هو الأفضل لوصف أو توصيف الاتجاه في تغيرات محصول عباد الشمس للفترة التي تم تحليلها.

مع توافر تكنولوجيا الكمبيوتر ، يتم اختيار الاتجاه الأمثل تلقائيًا. باستخدام المعالجة "اليدوية" ، يتم اختيار الوظيفة المثلى ، كقاعدة عامة ، بطريقة مرئية - من خلال موقع حقل الارتباط. أي وفقًا لنوع الرسم البياني ، يتم تحديد معادلة الخط ، والتي هي الأنسب للاتجاه التجريبي (للمسار الفعلي).

كما تعلم ، يوجد في الطبيعة مجموعة كبيرة ومتنوعة من التبعيات الوظيفية ، لذلك من الصعب للغاية تحليل حتى جزء صغير منها بصريًا. لحسن الحظ ، في الممارسة الاقتصادية الحقيقية ، يمكن وصف معظم العلاقات بدقة إما بواسطة القطع المكافئ ، أو القطع الزائد ، أو الخط المستقيم. في هذا الصدد ، باستخدام الخيار "اليدوي" لاختيار أفضل وظيفة ، يمكنك قصر نفسك على هذه النماذج الثلاثة فقط.

القطع المكافئ من الدرجة الثانية: :

من السهل أن نرى أنه في مثالنا ، فإن الاتجاه في تغيرات محصول عباد الشمس على مدى السنوات العشر التي تم تحليلها يتميز بشكل أفضل بخط مستقيم ، وبالتالي فإن معادلة الانحدار ستكون معادلة خط مستقيم.

الإجراء الثالث. يتم حساب معلمات معادلة الانحدار التي تميز هذا الخط ، أو بعبارة أخرى ، يتم تحديد صيغة تحليلية تصف أفضل نموذج للاتجاه.

العثور على قيم معلمات معادلة الانحدار ، في حالتنا ، المعلمات و ، هو جوهر LSM. يتم تقليل هذه العملية إلى حل نظام المعادلات العادية.

(9.2)

نظام المعادلات هذا يمكن حله بسهولة بطريقة غاوس. تذكر أنه نتيجة للحل ، في مثالنا ، تم العثور على قيم المعلمات. وبالتالي ، فإن معادلة الانحدار التي تم العثور عليها سيكون لها الشكل التالي:

يستخدم على نطاق واسع في الاقتصاد القياسي في شكل تفسير اقتصادي واضح لمعاييره.

يتم تقليل الانحدار الخطي إلى إيجاد معادلة للصيغة

أو

اكتب المعادلة يسمح بقيم معلمة معينة Xلها قيم نظرية للميزة الفعالة ، لتحل محل القيم الفعلية للعامل فيها X.

يعتمد بناء الانحدار الخطي على تقدير معلماته - أو في.يمكن العثور على تقديرات معامل الانحدار الخطي بطرق مختلفة.

يعتمد النهج الكلاسيكي لتقدير معاملات الانحدار الخطي على المربعات الصغرى(MNK).

يسمح LSM للشخص بالحصول على تقديرات المعلمات هذه أو في،تحتها مجموع الانحرافات التربيعية للقيم الفعلية للسمة الناتجة (ذ)من المحسوب (النظري) الحد الأدنى المصغر:

للعثور على الحد الأدنى للدالة ، من الضروري حساب المشتقات الجزئية فيما يتعلق بكل من المعلمات أو بونعادلها بالصفر.

دلالة بواسطة S ، ثم:

عند تحويل الصيغة ، نحصل على النظام التالي من المعادلات العادية لتقدير المعلمات أو في:

حل نظام المعادلات العادية (3.5) إما بطريقة الحذف المتتالي للمتغيرات أو بطريقة المحددات نجد تقديرات المعلمات المرغوبة أو في.

معامل فييسمى معامل الانحدار. توضح قيمته متوسط ​​التغيير في النتيجة مع تغيير في العامل بمقدار وحدة واحدة.

دائمًا ما يتم استكمال معادلة الانحدار بمؤشر على ضيق العلاقة. عند استخدام الانحدار الخطي ، يعمل معامل الارتباط الخطي كمؤشر. هناك تعديلات مختلفة على معادلة معامل الارتباط الخطي. بعضها مذكور أدناه:

كما تعلم ، فإن معامل الارتباط الخطي يقع ضمن الحدود: -1 ≤ ≤ 1.

لتقييم جودة اختيار دالة خطية ، يتم حساب المربع

يسمى معامل الارتباط الخطي معامل التحديد.معامل التحديد يميز نسبة تباين السمة الفعالة ذيفسره الانحدار ، في التباين الكلي للسمة الناتجة:

وفقًا لذلك ، فإن القيمة 1 - تميز نسبة التشتت ذبسبب تأثير عوامل أخرى لا تؤخذ في الاعتبار في النموذج.

أسئلة لضبط النفس

1. ما هو جوهر طريقة المربعات الصغرى؟

2. كم عدد المتغيرات التي توفر الانحدار الزوجي؟

3. ما المعامل الذي يحدد ضيق الاتصال بين التغييرات؟

4. في أي حدود يتم تحديد معامل التحديد؟

5. تقدير المعامل (ب) في تحليل الارتباط والانحدار؟

1. كريستوفر دوجيرتي. مقدمة في الاقتصاد القياسي. - م: INFRA - M، 2001-402 ص.

2. S.A. بوروديتش. الاقتصاد القياسي. مينسك ذ م م "المعرفة الجديدة" 2001.

3. R.U. دورة قصيرة في الاقتصاد القياسي لرحمتوفا. الدورة التعليمية. ألماتي. 2004. -78 ثانية.

4. I.I. إليسيفا. - م: "المالية والإحصاء" ، 2002

5. مجلة إعلامية وتحليلية شهرية.

النماذج الاقتصادية غير الخطية. نماذج الانحدار غير الخطي. التحويل المتغير.

النماذج الاقتصادية غير الخطية ..

التحويل المتغير.

معامل المرونة.

إذا كانت هناك علاقات غير خطية بين الظواهر الاقتصادية ، فسيتم التعبير عنها باستخدام الوظائف غير الخطية المقابلة: على سبيل المثال ، القطع الزائد المتساوي الأضلاع , القطع المكافئ من الدرجة الثانية ، إلخ.

هناك فئتان من الانحدارات غير الخطية:

1. الانحدارات غير الخطية فيما يتعلق بالمتغيرات التوضيحية المدرجة في التحليل ، ولكنها خطية فيما يتعلق بالمعلمات المقدرة ، على سبيل المثال:

كثيرات الحدود من درجات مختلفة - ، ؛

غلو متساوي الأضلاع - ؛

دالة شبه لوغاريتمية -.

2. الانحدارات غير الخطية في المعلمات المقدرة ، على سبيل المثال:

قوة - ؛

إيضاحي -؛

متسارع - .

المجموع الكلي للانحرافات التربيعية للقيم الفردية للسمة الناتجة فيمن متوسط ​​القيمة ناتج عن تأثير العديد من العوامل. نقسم مجموعة الأسباب بأكملها بشكل مشروط إلى مجموعتين: درس العامل العاشرو عوامل اخرى.

إذا لم يؤثر العامل على النتيجة ، فإن خط الانحدار على الرسم البياني يكون موازيًا للمحور أوهو

ثم يرجع التشتت الكامل للسمة الناتجة إلى تأثير العوامل الأخرى وسيتطابق المجموع الكلي للانحرافات التربيعية مع المتبقي. إذا لم تؤثر العوامل الأخرى على النتيجة ، إذن ش مقيدمع Xوظيفيًا ، ومجموع المربعات المتبقي هو صفر. في هذه الحالة ، يكون مجموع الانحرافات التربيعية التي أوضحها الانحدار هو نفسه المجموع الكلي للمربعات.

نظرًا لأنه لا تقع جميع نقاط مجال الارتباط على خط الانحدار ، فإن تبعثرها يحدث دائمًا بسبب تأثير العامل X، أي الانحدار فيعلى X ،وينتج عن فعل أسباب أخرى (اختلاف غير مفسر). تعتمد ملاءمة خط الانحدار للتنبؤ على أي جزء من التباين الكلي للسمة فيحسابات الاختلاف الموضح

من الواضح ، إذا كان مجموع الانحرافات التربيعية بسبب الانحدار أكبر من المجموع المتبقي للمربعات ، فإن معادلة الانحدار تكون ذات دلالة إحصائية والعامل Xله تأثير كبير على النتيجة. ذ.

, أي مع عدد حرية التباين المستقل للميزة. يرتبط عدد درجات الحرية بعدد وحدات السكان n وعدد الثوابت المحددة منها. فيما يتعلق بالمشكلة قيد الدراسة ، يجب أن يوضح عدد درجات الحرية عدد الانحرافات المستقلة عن ص

يتم تقييم أهمية معادلة الانحدار ككل بمساعدة F- معيار فيشر. في هذه الحالة ، يتم طرح فرضية فارغة مفادها أن معامل الانحدار يساوي صفرًا ، أي ب = 0 ، وبالتالي العامل Xلا يؤثر على النتيجة ذ.

يسبق الحساب المباشر لمعيار F تحليل التباين. محورها هو توسيع المجموع الكلي للانحرافات التربيعية للمتغير فيمن متوسط ​​القيمة فيإلى جزأين - "موضح" و "غير مفسر":

المجموع الكلي للانحرافات التربيعية ؛

شرح مجموع مربعات الانحراف عن طريق الانحدار ؛

المجموع المتبقي للانحراف التربيعي.

يرتبط أي مجموع من الانحرافات التربيعية بعدد درجات الحرية , أي مع عدد حرية التباين المستقل للميزة. عدد درجات الحرية مرتبط بعدد الوحدات السكانية نوبعد تحديد الثوابت منه. فيما يتعلق بالمشكلة قيد الدراسة ، يجب أن يوضح عدد درجات الحرية عدد الانحرافات المستقلة عن صممكن مطلوب لتكوين مجموع معين من المربعات.

التشتت حسب درجة الحريةد.

نسب F (معيار F):

إذا كانت الفرضية الصفرية صحيحة، ثم لا يختلف العامل والفروق المتبقية عن بعضها البعض. بالنسبة لـ H 0 ، يكون التفنيد ضروريًا بحيث يتجاوز تباين العامل المتبقي عدة مرات. طور الإحصائي الإنجليزي Snedecor جداول القيم الحرجة F- العلاقات على مستويات مختلفة من أهمية فرضية العدم وعدد مختلف من درجات الحرية. قيمة الجدول F-المعيار هو القيمة القصوى لنسبة التباينات التي يمكن أن تحدث إذا تباعدت عشوائيًا لمستوى معين من احتمال وجود فرضية فارغة. القيمة المحسوبة F- يتم التعرف على العلاقة على أنها موثوقة إذا كانت o أكبر من تلك الجدولية.

في هذه الحالة ، يتم رفض الفرضية الصفرية حول عدم وجود علاقة سمات ويتم التوصل إلى استنتاج حول أهمية هذه العلاقة: حقيقة F> جدول F.تم رفض H 0.

إذا كانت القيمة أقل من الجدول حقيقة F ‹، جدول F، فإن احتمال الفرضية الصفرية أعلى من مستوى معين ولا يمكن رفضها دون وجود خطر جسيم في استخلاص نتيجة خاطئة حول وجود علاقة. في هذه الحالة ، تعتبر معادلة الانحدار غير ذات دلالة إحصائية. لا لا ينحرف.

الخطأ المعياري لمعامل الانحدار

لتقدير أهمية معامل الانحدار ، يتم مقارنة قيمته بخطئه المعياري ، أي يتم تحديد القيمة الفعلية ر- اختبار الطالب: ويتم مقارنته بعد ذلك بقيمة الجدول عند مستوى معين من الأهمية وعدد درجات الحرية ( ن- 2).

معلمة خطأ معياري أ:

يتم التحقق من أهمية معامل الارتباط الخطي بناءً على حجم الخطأ معامل الارتباط ص:

التباين الكلي للميزة X:

الانحدار الخطي المتعدد

بناء نموذج

الانحدار المتعددهو انحدار لميزة فعالة مع عاملين أو أكثر ، أي نموذج للشكل

يمكن أن يعطي الانحدار نتيجة جيدة في النمذجة إذا كان من الممكن إهمال تأثير العوامل الأخرى التي تؤثر على موضوع الدراسة. لا يمكن التحكم في سلوك المتغيرات الاقتصادية الفردية ، أي أنه ليس من الممكن ضمان المساواة بين جميع الشروط الأخرى لتقييم تأثير عامل واحد قيد الدراسة. في هذه الحالة ، يجب أن تحاول تحديد تأثير العوامل الأخرى عن طريق إدخالها في النموذج ، أي إنشاء معادلة انحدار متعددة: ص = أ + ب 1 س 1 + ب 2 + ... + ب س س ع + .

الهدف الرئيسي من الانحدار المتعدد هو بناء نموذج مع عدد كبير من العوامل ، مع تحديد تأثير كل منها على حدة ، وكذلك تأثيرها التراكمي على المؤشر النموذجي. تتضمن مواصفات النموذج مجالين من الأسئلة: اختيار العوامل واختيار نوع معادلة الانحدار