ஒரு மூலத்திலிருந்து மற்றொரு மூலத்தைக் கழிப்பது எப்படி. சதுர வேர்களைச் சேர்ப்பதற்கான விதி. ரூட் சூத்திரங்கள். சதுர வேர்களின் பண்புகள்

ரூட் சூத்திரங்கள். சதுர வேர்களின் பண்புகள்.

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555ல் உள்ள பொருள்.
"மிகவும் இல்லை..." என்று வலுவாக இருப்பவர்களுக்கு
மேலும் "மிக அதிகம்...")

முந்தைய பாடத்தில், வர்க்கமூலம் என்றால் என்ன என்பதைக் கண்டுபிடித்தோம். என்னவென்று கண்டுபிடிக்க வேண்டிய நேரம் இது வேர்களுக்கான சூத்திரங்கள், என்ன வேர் பண்புகள்மற்றும் அனைத்திற்கும் என்ன செய்ய முடியும்.

ரூட் ஃபார்முலாக்கள், ரூட் பண்புகள் மற்றும் ரூட்ஸுடனான செயல்களுக்கான விதிகள்- இது அடிப்படையில் அதே விஷயம். சதுர வேர்களுக்கு வியக்கத்தக்க சில சூத்திரங்கள் உள்ளன. எது, நிச்சயமாக, தயவுசெய்து! மாறாக, நீங்கள் அனைத்து வகையான சூத்திரங்களையும் எழுதலாம், ஆனால் வேர்களுடன் நடைமுறை மற்றும் நம்பிக்கையான வேலைக்கு மூன்று மட்டுமே போதுமானது. மற்ற அனைத்தும் இந்த மூன்றிலிருந்து பாய்கின்றன. வேர்களின் மூன்று சூத்திரங்களில் பலர் வழி தவறினாலும், ஆம் ...

எளிமையானவற்றுடன் ஆரம்பிக்கலாம். இதோ அவள்:

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றல் - ஆர்வத்துடன்!)

நீங்கள் செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களை அறிந்து கொள்ளலாம்.

நான் மீண்டும் தட்டைப் பார்த்தேன் ... மேலும், போகலாம்!

எளிமையான ஒன்றைத் தொடங்குவோம்:

கொஞ்சம் பொறு. இது, அதாவது நாம் இதை இப்படி எழுதலாம்:

அறிந்துகொண்டேன்? உங்களுக்கான அடுத்தது இதோ:

இதன் விளைவாக வரும் எண்களின் வேர்கள் சரியாக பிரித்தெடுக்கப்படவில்லையா? கவலைப்பட வேண்டாம், இதோ சில உதாரணங்கள்:

ஆனால் இரண்டு பெருக்கிகள் இல்லை, ஆனால் இன்னும் என்ன? அதே! மூல பெருக்கல் சூத்திரம் பல காரணிகளுடன் செயல்படுகிறது:

இப்போது முற்றிலும் சுதந்திரமானது:

பதில்கள்:சபாஷ்! ஒப்புக்கொள், எல்லாம் மிகவும் எளிதானது, முக்கிய விஷயம் பெருக்கல் அட்டவணையை அறிந்து கொள்வது!

வேர் பிரிவு

வேர்களின் பெருக்கத்தை நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம், இப்போது பிரிவின் சொத்துக்கு செல்லலாம்.

பொதுவாக சூத்திரம் இப்படித்தான் இருக்கும் என்பதை நினைவூட்டுகிறேன்:

என்று அர்த்தம் விகுதியின் மூலமானது வேர்களின் விகுதிக்கு சமம்.

சரி, உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

அதெல்லாம் அறிவியல். மற்றும் இங்கே ஒரு உதாரணம்:

முதல் எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல எல்லாம் மென்மையாக இல்லை, ஆனால் நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சிக்கலான எதுவும் இல்லை.

வெளிப்பாடு இப்படி இருந்தால் என்ன செய்வது:

நீங்கள் சூத்திரத்தை தலைகீழாகப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

மற்றும் இங்கே ஒரு உதாரணம்:

இந்த வெளிப்பாட்டையும் நீங்கள் பார்க்கலாம்:

எல்லாம் ஒன்றுதான், பின்னங்களை எவ்வாறு மொழிபெயர்ப்பது என்பதை இங்கே மட்டுமே நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும் (உங்களுக்கு நினைவில் இல்லை என்றால், தலைப்பைப் பார்த்து திரும்பி வாருங்கள்!). நினைவிருக்கிறதா? இப்போது நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம்!

நீங்கள் எல்லாவற்றையும், எல்லாவற்றையும் சமாளித்தீர்கள் என்று நான் நம்புகிறேன், இப்போது ஒரு பட்டத்தில் வேர்களை உருவாக்க முயற்சிப்போம்.

விரிவடைதல்

வர்க்கமூலம் சதுரமாக இருந்தால் என்ன நடக்கும்? இது எளிதானது, ஒரு எண்ணின் வர்க்க மூலத்தின் அர்த்தத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள் - இது வர்க்க மூலத்திற்கு சமமான எண்.

எனவே, வர்க்கமூலம் சமமாக இருக்கும் எண்ணை நாம் வர்க்கம் செய்தால், நமக்கு என்ன கிடைக்கும்?

சரி, நிச்சயமாக,!

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

எல்லாம் எளிது, இல்லையா? மற்றும் ரூட் வேறு பட்டத்தில் இருந்தால்? அது பரவாயில்லை!

அதே தர்க்கத்தில் ஒட்டிக்கொண்டு, டிகிரிகளுடன் பண்புகள் மற்றும் சாத்தியமான செயல்களை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

"" என்ற தலைப்பில் உள்ள கோட்பாட்டைப் படியுங்கள், எல்லாம் உங்களுக்கு மிகவும் தெளிவாகிவிடும்.

உதாரணமாக, இங்கே ஒரு வெளிப்பாடு உள்ளது:

இந்த எடுத்துக்காட்டில், பட்டம் சமமானது, ஆனால் அது ஒற்றைப்படையாக இருந்தால் என்ன செய்வது? மீண்டும், சக்தி பண்புகள் மற்றும் காரணி அனைத்தையும் பயன்படுத்தவும்:

இதனுடன், எல்லாம் தெளிவாகத் தெரிகிறது, ஆனால் ஒரு பட்டத்தில் உள்ள எண்ணிலிருந்து மூலத்தை எவ்வாறு பிரித்தெடுப்பது? இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக, இது:

மிகவும் எளிமையானது, இல்லையா? பட்டம் இரண்டுக்கு மேல் இருந்தால் என்ன செய்வது? டிகிரிகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி அதே தர்க்கத்தை நாங்கள் பின்பற்றுகிறோம்:

சரி, எல்லாம் தெளிவாக இருக்கிறதா? பின்னர் உங்கள் சொந்த உதாரணங்களைத் தீர்க்கவும்:

மற்றும் பதில்கள் இங்கே:

வேரின் அடையாளத்தின் கீழ் அறிமுகம்

நாம் என்ன செய்ய கற்றுக்கொள்ளவில்லை வேர்கள்! ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் எண்ணை உள்ளிடுவதற்கு மட்டுமே இது உள்ளது!

இது மிகவும் எளிதானது!

நம்மிடம் ஒரு எண் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்

அதை வைத்து நாம் என்ன செய்ய முடியும்? சரி, நிச்சயமாக, டிரிபிள் என்பதை ரூட்டின் கீழ் மறைக்கவும், அதே நேரத்தில் டிரிபிள் என்பதன் வர்க்கமூலம்!

நமக்கு அது ஏன் தேவை? ஆம், உதாரணங்களைத் தீர்க்கும் போது எங்கள் திறன்களை விரிவாக்குவதற்கு:

வேர்களின் இந்த சொத்தை நீங்கள் எப்படி விரும்புகிறீர்கள்? வாழ்க்கையை மிகவும் எளிதாக்குகிறதா? என்னைப் பொறுத்தவரை, அது சரி! மட்டுமே வர்க்கமூலக் குறியின் கீழ் நேர்மறை எண்களை மட்டுமே உள்ளிட முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

இந்த உதாரணத்தை நீங்களே முயற்சிக்கவும்:
சமாளித்தாயா? நீங்கள் எதைப் பெற வேண்டும் என்பதைப் பார்ப்போம்:

சபாஷ்! ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் எண்ணை உள்ளிட முடிந்தது! சமமான முக்கியமான ஒன்றிற்குச் செல்வோம் - வர்க்க மூலத்தைக் கொண்ட எண்களை எவ்வாறு ஒப்பிடுவது என்பதைக் கவனியுங்கள்!

ரூட் ஒப்பீடு

வர்க்கமூலத்தைக் கொண்ட எண்களை ஏன் ஒப்பிடக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்?

மிக எளிய. பெரும்பாலும், தேர்வில் எதிர்கொள்ளும் பெரிய மற்றும் நீண்ட வெளிப்பாடுகளில், நாம் ஒரு பகுத்தறிவற்ற பதிலைப் பெறுகிறோம் (அது என்ன என்பதை நினைவில் கொள்க? இதைப் பற்றி நாங்கள் ஏற்கனவே பேசினோம்!)

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க எந்த இடைவெளி பொருத்தமானது என்பதைத் தீர்மானிக்க, பெறப்பட்ட பதில்களை ஒருங்கிணைப்பு வரியில் வைக்க வேண்டும். இங்குதான் சிக்கல் எழுகிறது: தேர்வில் கால்குலேட்டர் இல்லை, அது இல்லாமல், எந்த எண் பெரியது, எது சிறியது என்று கற்பனை செய்வது எப்படி? அவ்வளவுதான்!

எடுத்துக்காட்டாக, எது பெரியது என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்: அல்லது?

நீங்கள் மட்டையிலிருந்து வெளியேறுங்கள் என்று சொல்ல மாட்டீர்கள். சரி, மூல அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு எண்ணைச் சேர்க்கும் பாகுபடுத்தப்பட்ட சொத்தைப் பயன்படுத்தலாமா?

பின்னர் முன்னோக்கி:

நன்றாக, வெளிப்படையாக, ரூட் அடையாளம் கீழ் பெரிய எண், பெரிய ரூட் தன்னை!

அந்த. என்றால் .

இதிலிருந்து நாம் உறுதியாக முடிவு செய்கிறோம் மற்றபடி யாரும் நம்மை நம்ப வைக்க மாட்டார்கள்!

பெரிய எண்ணிக்கையில் இருந்து வேர்களை பிரித்தெடுத்தல்

அதற்கு முன், ரூட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு காரணியை அறிமுகப்படுத்தினோம், ஆனால் அதை எப்படி வெளியே எடுப்பது? நீங்கள் அதை காரணியாக்கி, பிரித்தெடுக்கப்பட்டதைப் பிரித்தெடுக்க வேண்டும்!

வேறு வழியில் சென்று மற்ற காரணிகளாக சிதைவது சாத்தியம்:

மோசமாக இல்லை, இல்லையா? இந்த அணுகுமுறைகளில் ஏதேனும் சரியானது, நீங்கள் எப்படி வசதியாக உணர்கிறீர்கள் என்பதை முடிவு செய்யுங்கள்.

இது போன்ற தரமற்ற பணிகளைத் தீர்க்கும் போது காரணியாக்கம் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்:

நாங்கள் பயப்பட மாட்டோம், செயல்படுவோம்! ஒவ்வொரு காரணியையும் ரூட்டின் கீழ் தனித்தனி காரணிகளாக சிதைக்கிறோம்:

இப்போது அதை நீங்களே முயற்சிக்கவும் (கால்குலேட்டர் இல்லாமல்! இது தேர்வில் இருக்காது):

இது முடிவா? நாங்கள் பாதியில் நிறுத்தவில்லை!

அவ்வளவுதான், அது அவ்வளவு பயமாக இல்லை, இல்லையா?

நடந்ததா? நல்லது, நீங்கள் சொல்வது சரிதான்!

இப்போது இந்த உதாரணத்தை முயற்சிக்கவும்:

மற்றும் ஒரு உதாரணம் ஒரு கடினமான நட்டு, எனவே அதை எப்படி அணுகுவது என்பதை உடனடியாக கண்டுபிடிக்க முடியாது. ஆனால் நாம், நிச்சயமாக, பற்களில் இருக்கிறோம்.

சரி, காரணியாக்கத்தை ஆரம்பிக்கலாம், இல்லையா? உடனடியாக, நீங்கள் ஒரு எண்ணை இதன் மூலம் வகுக்க முடியும் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம் (வகுத்தலின் அறிகுறிகளை நினைவுகூருங்கள்):

இப்போது, ​​அதை நீங்களே முயற்சிக்கவும் (மீண்டும், கால்குலேட்டர் இல்லாமல்!):

சரி, அது வேலை செய்ததா? நல்லது, நீங்கள் சொல்வது சரிதான்!

சுருக்கமாகக்

1. எதிர்மில்லாத எண்ணின் வர்க்கமூலம் (எண்கணித வர்க்கமூலம்) என்பது வர்க்கம் சமமாக இருக்கும் எதிர்மில்லாத எண்ணாகும்.
   .
2. நாம் ஒன்றின் வர்க்கமூலத்தை மட்டும் எடுத்துக் கொண்டால், நமக்கு எப்போதும் ஒரு எதிர்மறையான முடிவு கிடைக்கும்.
3. எண்கணித மூல பண்புகள்:
4. சதுர வேர்களை ஒப்பிடும் போது, ​​ரூட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் பெரிய எண், பெரிய ரூட் தானே என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

நீங்கள் எப்படி வர்க்க மூலத்தை விரும்புகிறீர்கள்? அனைத்தும் தெளிவாக?

வர்க்க மூலத்தைப் பற்றி தேர்வில் நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய அனைத்தையும் தண்ணீரின்றி உங்களுக்கு விளக்க முயற்சித்தோம்.

இது உங்கள் முறை. இந்த தலைப்பு உங்களுக்கு கடினமாக இருக்கிறதா இல்லையா என்பதை எங்களுக்கு எழுதுங்கள்.

நீங்கள் புதிதாக ஏதாவது கற்றுக்கொண்டீர்களா அல்லது எல்லாம் ஏற்கனவே தெளிவாக இருந்தது.

கருத்துகளில் எழுதுங்கள் மற்றும் தேர்வுகளில் நல்ல அதிர்ஷ்டம்!

வணக்கம் பூனைக்குட்டிகள்! கடைசியாக வேர்கள் என்ன என்பதை நாங்கள் விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்தோம் (உங்களுக்கு நினைவில் இல்லை என்றால், படிக்க பரிந்துரைக்கிறேன்). அந்த பாடத்தின் முக்கிய முடிவு: வேர்களுக்கு ஒரே ஒரு உலகளாவிய வரையறை உள்ளது, அதை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். மீதமுள்ளவை முட்டாள்தனம் மற்றும் நேரத்தை வீணடிக்கும்.

இன்று நாம் மேலும் செல்கிறோம். நாம் வேர்களைப் பெருக்கக் கற்றுக்கொள்வோம், பெருக்கத்துடன் தொடர்புடைய சில சிக்கல்களைப் படிப்போம் (இந்த சிக்கல்கள் தீர்க்கப்படாவிட்டால், அவை தேர்வில் ஆபத்தானவை) மற்றும் நாங்கள் சரியாகப் பயிற்சி செய்வோம். எனவே பாப்கார்னை சேமித்து வைத்துக் கொள்ளுங்கள், உங்களுக்கு வசதியாக இருங்கள் - நாங்கள் தொடங்குவோம். :)

நீங்கள் இன்னும் புகைபிடிக்கவில்லை, இல்லையா?

பாடம் மிகவும் பெரியதாக மாறியது, எனவே நான் அதை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரித்தேன்:

1. முதலில், பெருக்கத்திற்கான விதிகளைப் பார்ப்போம். தொப்பி குறிப்பதாகத் தெரிகிறது: இது இரண்டு வேர்கள் இருக்கும்போது, ​​அவற்றுக்கிடையே ஒரு "பெருக்கல்" அடையாளம் உள்ளது - மேலும் நாங்கள் அதைச் செய்ய விரும்புகிறோம்.
2. பின்னர் நாம் தலைகீழ் நிலைமையை பகுப்பாய்வு செய்வோம்: ஒரு பெரிய வேர் உள்ளது, மேலும் அதை இரண்டு வேர்களின் தயாரிப்பாக எளிமையான முறையில் முன்வைக்க நாங்கள் பொறுமையிழந்தோம். எந்த அச்சத்துடன் அது அவசியம் என்பது ஒரு தனி கேள்வி. நாங்கள் அல்காரிதத்தை மட்டுமே பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

பகுதி 2 க்கு குதிக்க காத்திருக்க முடியாதவர்களுக்கு, உங்களை வரவேற்கிறோம். மீதமுள்ளவற்றை வரிசையில் தொடங்குவோம்.

அடிப்படை பெருக்கல் விதி

எளிமையான - கிளாசிக்கல் சதுர வேர்களுடன் ஆரம்பிக்கலாம். $\sqrt(a)$ மற்றும் $\sqrt(b)$ என குறிப்பிடப்பட்டவை. அவர்களுக்கு, எல்லாம் பொதுவாக தெளிவாக உள்ளது:

பெருக்கல் விதி. ஒரு வர்க்க மூலத்தை மற்றொன்றால் பெருக்க, நீங்கள் அவற்றின் தீவிர வெளிப்பாடுகளை பெருக்கி, பொதுவான தீவிரத்தின் கீழ் முடிவை எழுத வேண்டும்:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

வலது அல்லது இடதுபுறத்தில் உள்ள எண்களுக்கு கூடுதல் கட்டுப்பாடுகள் விதிக்கப்படவில்லை: பெருக்கி வேர்கள் இருந்தால், தயாரிப்பும் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டுகள். ஒரே நேரத்தில் எண்களுடன் நான்கு எடுத்துக்காட்டுகளைக் கவனியுங்கள்:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \முடிவு(சீரமைப்பு)\]

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த விதியின் முக்கிய பொருள் பகுத்தறிவற்ற வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்துவதாகும். முதல் எடுத்துக்காட்டில் புதிய விதிகள் ஏதுமின்றி 25 மற்றும் 4 இலிருந்து வேர்களை பிரித்தெடுத்திருந்தால், தகரம் தொடங்குகிறது: $\sqrt(32)$ மற்றும் $\sqrt(2)$ தாங்களாகவே கணக்கிடப்படாது, ஆனால் அவற்றின் தயாரிப்பு ஒரு சரியான சதுரமாக மாறும், எனவே அதன் வேர் விகிதமுறு எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும்.

தனித்தனியாக, கடைசி வரியை நான் கவனிக்க விரும்புகிறேன். அங்கு, இரண்டு தீவிர வெளிப்பாடுகளும் பின்னங்கள். தயாரிப்புக்கு நன்றி, பல காரணிகள் ரத்துசெய்யப்படுகின்றன, மேலும் முழு வெளிப்பாடும் போதுமான எண்ணாக மாறும்.

நிச்சயமாக, எல்லாம் எப்போதும் மிகவும் அழகாக இருக்காது. சில நேரங்களில் வேர்களின் கீழ் முழுமையான முட்டாள்தனம் இருக்கும் - அதை என்ன செய்வது, பெருக்கத்திற்குப் பிறகு எப்படி மாற்றுவது என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. சிறிது நேரம் கழித்து, நீங்கள் பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் படிக்கத் தொடங்கும் போது, ​​பொதுவாக அனைத்து வகையான மாறிகள் மற்றும் செயல்பாடுகள் இருக்கும். மற்றும் பெரும்பாலும், சிக்கல்களின் தொகுப்பாளர்கள் நீங்கள் சில ஒப்பந்த விதிமுறைகள் அல்லது காரணிகளைக் கண்டுபிடிப்பீர்கள் என்ற உண்மையை எண்ணிக்கொண்டிருக்கிறார்கள், அதன் பிறகு பணி பெரிதும் எளிமைப்படுத்தப்படும்.

கூடுதலாக, சரியாக இரண்டு வேர்களை பெருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. நீங்கள் ஒரே நேரத்தில் மூன்று, நான்கு - ஆம் பத்து கூட பெருக்கலாம்! இதனால் விதி மாறாது. பாருங்கள்:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \முடிவு(சீரமைப்பு)\]

இரண்டாவது உதாரணத்தில் மீண்டும் ஒரு சிறிய கருத்து. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மூன்றாவது பெருக்கி, ரூட் கீழ் ஒரு தசம பின்னம் உள்ளது - கணக்கீடுகள் செயல்பாட்டில், நாம் அதை வழக்கமான ஒரு பதிலாக, பின்னர் எல்லாம் எளிதாக குறைக்கப்படும். எனவே: எந்தவொரு பகுத்தறிவற்ற வெளிப்பாடுகளிலும் தசம பின்னங்களை அகற்ற நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன் (அதாவது, குறைந்தபட்சம் ஒரு தீவிர ஐகானையாவது கொண்டுள்ளது). இது எதிர்காலத்தில் உங்களுக்கு நிறைய நேரத்தையும் நரம்புகளையும் மிச்சப்படுத்தும்.

ஆனால் அது ஒரு பாடல் வரியாக மாறியது. இப்போது ஒரு பொதுவான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம் - ரூட் அடுக்கு ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணைக் கொண்டிருக்கும் போது $n$, மற்றும் "கிளாசிக்கல்" இரண்டை மட்டும் அல்ல.

தன்னிச்சையான காட்டி வழக்கு

எனவே, சதுர வேர்களைக் கண்டுபிடித்தோம். மற்றும் க்யூப்ஸ் என்ன செய்ய? அல்லது பொதுவாக தன்னிச்சையான பட்டத்தின் வேர்கள் $n$? ஆம், எல்லாம் ஒன்றுதான். விதி அப்படியே உள்ளது:

பட்டம் $n$ இன் இரண்டு வேர்களை பெருக்க, அவற்றின் தீவிர வெளிப்பாடுகளை பெருக்க போதுமானது, அதன் பிறகு முடிவு ஒரு தீவிரத்தின் கீழ் எழுதப்படும்.

பொதுவாக, சிக்கலான எதுவும் இல்லை. கணக்கீடுகளின் அளவு அதிகமாக இருக்கும் வரை. ஓரிரு உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டுகள். தயாரிப்புகளை கணக்கிடுங்கள்:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt((\இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \முடிவு(சீரமைப்பு)\]

இரண்டாவது வெளிப்பாட்டிற்கு மீண்டும் கவனம் செலுத்துங்கள். நாம் கனசதுர வேர்களைப் பெருக்கி, தசமப் பகுதியை அகற்றி, அதன் விளைவாக 625 மற்றும் 25 எண்களின் பெருக்கத்தை வகுப்பில் பெறுகிறோம். இது ஒரு பெரிய எண் - தனிப்பட்ட முறையில், இது என்ன சமம் என்பதை நான் உடனடியாக கணக்கிட மாட்டேன். செய்ய.

எனவே, எண் மற்றும் வகுப்பில் சரியான கனசதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து, $n$வது பட்டத்தின் மூலத்தின் முக்கிய பண்புகளில் ஒன்றை (அல்லது, நீங்கள் விரும்பினால், வரையறை) பயன்படுத்தினோம்:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((அ)^(2n)))=\இடது| ஒரு\வலது|. \\ \முடிவு(சீரமைப்பு)\]

இத்தகைய "மோசடிகள்" பரீட்சை அல்லது சோதனையில் உங்களுக்கு நிறைய நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும், எனவே நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

தீவிர வெளிப்பாட்டில் எண்களை பெருக்க அவசரப்பட வேண்டாம். முதலில், சரிபார்க்கவும்: எந்த வெளிப்பாட்டின் சரியான அளவு அங்கு "குறியாக்கம்" செய்யப்பட்டிருந்தால் என்ன செய்வது?

இந்தக் குறிப்பின் அனைத்து வெளிப்படைத்தன்மையுடன், பெரும்பாலான ஆயத்தமில்லாத மாணவர்கள் சரியான பட்டங்களைக் காணவில்லை என்பதை நான் ஒப்புக்கொள்ள வேண்டும். அதற்கு பதிலாக, அவர்கள் முன்னால் உள்ள அனைத்தையும் பெருக்கி, பின்னர் ஆச்சரியப்படுகிறார்கள்: அவர்கள் ஏன் இத்தகைய மிருகத்தனமான எண்களைப் பெற்றனர்? :)

இருப்பினும், இப்போது நாம் படிப்பதை ஒப்பிடும்போது இவை அனைத்தும் குழந்தைகளின் விளையாட்டு.

வெவ்வேறு அடுக்குகளுடன் வேர்களின் பெருக்கல்

சரி, இப்போது நாம் அதே அடுக்குகளுடன் வேர்களை பெருக்கலாம். மதிப்பெண்கள் வித்தியாசமாக இருந்தால் என்ன செய்வது? சொல்லுங்கள், ஒரு சாதாரண $\sqrt(2)$ ஐ $\sqrt(23)$ போன்ற சில தந்திரங்களால் எப்படி பெருக்குவது? இதைச் செய்வது கூட சாத்தியமா?

ஆம், நிச்சயமாக உங்களால் முடியும். எல்லாம் இந்த சூத்திரத்தின் படி செய்யப்படுகிறது:

வேர் பெருக்கல் விதி. $\sqrt[n](a)$ ஐ $\sqrt[p](b)$ ஆல் பெருக்க, பின்வரும் மாற்றத்தைச் செய்யுங்கள்:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

இருப்பினும், இந்த சூத்திரம் இருந்தால் மட்டுமே செயல்படும் தீவிர வெளிப்பாடுகள் எதிர்மறையானவை அல்ல. இது மிக முக்கியமான கருத்து, சிறிது நேரம் கழித்து திரும்புவோம்.

இப்போதைக்கு, இரண்டு உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625) \\ \முடிவு(சீரமைப்பு)\]

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சிக்கலான எதுவும் இல்லை. எதிர்மறை இல்லாத தேவை எங்கிருந்து வந்தது, அதை மீறினால் என்ன நடக்கும் என்பதை இப்போது கண்டுபிடிப்போம். :)

தீவிர வெளிப்பாடுகள் ஏன் எதிர்மறையாக இருக்க வேண்டும்?

நிச்சயமாக, நீங்கள் பள்ளி ஆசிரியர்களைப் போல ஆகலாம் மற்றும் ஒரு சிறந்த தோற்றத்துடன் பாடப்புத்தகத்தை மேற்கோள் காட்டலாம்:

எதிர்மின்மையின் தேவை சம மற்றும் ஒற்றைப்படை அளவுகளின் வேர்களின் வெவ்வேறு வரையறைகளுடன் தொடர்புடையது (முறையே, அவற்றின் வரையறையின் களங்களும் வேறுபட்டவை).

சரி, அது தெளிவாகிவிட்டது? தனிப்பட்ட முறையில், நான் 8 ஆம் வகுப்பில் இந்த முட்டாள்தனத்தைப் படித்தபோது, ​​இதைப் போன்ற ஒன்றை நான் புரிந்துகொண்டேன்: "எதிர்மறையின் தேவை *#&^@(*#@^#)~% உடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது" - சுருக்கமாக, நான் அப்போதெல்லாம் புரியவில்லை. :)

எனவே இப்போது நான் எல்லாவற்றையும் சாதாரணமாக விளக்குகிறேன்.

முதலில், மேலே உள்ள பெருக்கல் சூத்திரம் எங்கிருந்து வருகிறது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, ரூட்டின் ஒரு முக்கியமான சொத்தை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ரூட் எக்ஸ்ப்ரெஷனை எந்த இயற்கை சக்தியான $k$ ​​க்கும் பாதுகாப்பாக உயர்த்தலாம் - இந்த விஷயத்தில், ரூட் குறியீட்டை அதே சக்தியால் பெருக்க வேண்டும். எனவே, எந்தவொரு வேர்களையும் ஒரு பொதுவான குறிகாட்டியாக எளிதாகக் குறைக்கலாம், அதன் பிறகு நாம் பெருக்கலாம். இங்கிருந்து பெருக்கல் சூத்திரம் வருகிறது:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

ஆனால் இந்த அனைத்து சூத்திரங்களின் பயன்பாட்டையும் கடுமையாக கட்டுப்படுத்தும் ஒரு சிக்கல் உள்ளது. இந்த எண்ணைக் கவனியுங்கள்:

இப்போது கொடுக்கப்பட்டுள்ள பார்முலாவின் படி, எந்த பட்டத்தையும் சேர்க்கலாம். $k=2$ ஐ சேர்க்க முயற்சிப்போம்:

\[\sqrt(-5)=\sqrt((\இடது(-5 \வலது))^(2))=\sqrt(((5)^(2)))\]

சதுரம் மைனஸை எரிப்பதால் (வேறு எந்த சீரான பட்டத்தையும் போல) மைனஸைத் துல்லியமாக அகற்றினோம். இப்போது தலைகீழ் மாற்றத்தைச் செய்வோம்: அடுக்கு மற்றும் பட்டத்தில் இரண்டையும் "குறைக்கவும்". எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எந்த சமத்துவத்தையும் இடமிருந்து வலமாக மற்றும் வலமிருந்து இடமாக படிக்கலாம்:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](அ); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \முடிவு(சீரமைப்பு)\]

ஆனால் பின்னர் பைத்தியக்காரத்தனமான ஒன்று நடக்கிறது:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

இது $\sqrt(-5) \lt 0$ மற்றும் $\sqrt(5) \gt 0$ ஆக இருக்க முடியாது. இதன் பொருள், சக்திகள் மற்றும் எதிர்மறை எண்களுக்கு, எங்கள் சூத்திரம் இனி வேலை செய்யாது. அதன் பிறகு எங்களுக்கு இரண்டு விருப்பங்கள் உள்ளன:

1. "சில விதிகள் உள்ளன, ஆனால் இது தவறானது" என்று கணிதம் ஒரு முட்டாள் அறிவியல் என்று சுவருக்கு எதிராகப் போராடுவது;
2. சூத்திரம் 100% வேலை செய்யும் கூடுதல் கட்டுப்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்துங்கள்.

முதல் விருப்பத்தில், நாம் தொடர்ந்து "வேலை செய்யாத" வழக்குகளைப் பிடிக்க வேண்டும் - இது கடினமானது, நீண்டது மற்றும் பொதுவாக ஃபூ. எனவே, கணிதவியலாளர்கள் இரண்டாவது விருப்பத்தை விரும்பினர். :)

ஆனால் கவலைப்படாதே! நடைமுறையில், இந்த கட்டுப்பாடு கணக்கீடுகளை எந்த வகையிலும் பாதிக்காது, ஏனென்றால் விவரிக்கப்பட்ட அனைத்து சிக்கல்களும் ஒற்றைப்படை பட்டத்தின் வேர்களை மட்டுமே பாதிக்கின்றன, மேலும் அவற்றில் இருந்து கழித்தல்களை எடுக்க முடியும்.

எனவே, வேர்களைக் கொண்ட அனைத்து செயல்களுக்கும் பொதுவாகப் பொருந்தும் மற்றொரு விதியை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்:

வேர்களை பெருக்குவதற்கு முன், தீவிர வெளிப்பாடுகள் எதிர்மறையானவை அல்ல என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்.

உதாரணமாக. $\sqrt(-5)$ என்ற எண்ணில், ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து மைனஸை எடுக்கலாம் - பிறகு எல்லாம் சரியாகிவிடும்:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

வித்தியாசத்தை உணருங்கள்? நீங்கள் ரூட்டின் கீழ் ஒரு கழித்தலை விட்டால், தீவிர வெளிப்பாடு சதுரமாக இருக்கும்போது, ​​​​அது மறைந்துவிடும், மேலும் முட்டாள்தனம் தொடங்கும். நீங்கள் முதலில் மைனஸை எடுத்தால், உங்கள் முகத்தில் நீல நிறமாக இருக்கும் வரை ஒரு சதுரத்தை உயர்த்தலாம் / அகற்றலாம் - எண் எதிர்மறையாகவே இருக்கும். :)

எனவே, வேர்களை பெருக்க மிகவும் சரியான மற்றும் நம்பகமான வழி பின்வருமாறு:

1. தீவிரவாதிகள் கீழ் இருந்து அனைத்து minuses நீக்க. மைனஸ்கள் ஒற்றைப்படை பெருக்கத்தின் வேர்களில் மட்டுமே உள்ளன - அவை வேரின் முன் வைக்கப்படலாம், தேவைப்பட்டால், குறைக்கப்படலாம் (உதாரணமாக, இந்த இரண்டு கழித்தல்கள் இருந்தால்).
2. இன்றைய பாடத்தில் மேலே விவாதிக்கப்பட்ட விதிகளின்படி பெருக்கல் செய்யவும். வேர்களின் குறியீடுகள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், மூல வெளிப்பாடுகளை வெறுமனே பெருக்கவும். அவை வேறுபட்டால், தீய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. முடிவு மற்றும் நல்ல மதிப்பெண்களை நாங்கள் அனுபவிக்கிறோம். :)

சரி? நாம் பயிற்சி செய்வோமா?

எடுத்துக்காட்டு 1. வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ சதுரம்(64)=-4; \end(align)\]

இது எளிமையான விருப்பம்: வேர்களின் குறிகாட்டிகள் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் ஒற்றைப்படை, பிரச்சனை இரண்டாவது பெருக்கியின் கழித்தல் மட்டுமே. இந்த மைனஸ் நாஃபிக்கை நாங்கள் தாங்குகிறோம், அதன் பிறகு எல்லாவற்றையும் எளிதாகக் கருதுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2. வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( சீரமை)\]

இங்கே, வெளியீடு ஒரு விகிதாசார எண்ணாக மாறியதால் பலர் குழப்பமடைவார்கள். ஆம், அது நடக்கும்: எங்களால் வேரை முழுவதுமாக அகற்ற முடியவில்லை, ஆனால் குறைந்தபட்சம் நாங்கள் வெளிப்பாட்டை கணிசமாக எளிதாக்கினோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3. வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((((\)) a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

இதுவே உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்புகிறேன். இங்கே இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன:

1. ரூட்டின் கீழ் ஒரு குறிப்பிட்ட எண் அல்லது பட்டம் இல்லை, ஆனால் மாறி $a$. முதல் பார்வையில், இது சற்று அசாதாரணமானது, ஆனால் உண்மையில், கணித சிக்கல்களை தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் பெரும்பாலும் மாறிகளை சமாளிக்க வேண்டியிருக்கும்.
2. இறுதியில், மூல அடுக்கு மற்றும் தீவிர வெளிப்பாட்டின் பட்டத்தை "குறைக்க" முடிந்தது. இது அடிக்கடி நடக்கும். நீங்கள் முக்கிய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தாவிட்டால் கணக்கீடுகளை கணிசமாக எளிதாக்குவது சாத்தியமாகும் என்பதே இதன் பொருள்.

உதாரணமாக, நீங்கள் இதைச் செய்யலாம்:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((\left(((a)^) 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\முடிவு(சீரமை)\]

உண்மையில், அனைத்து மாற்றங்களும் இரண்டாவது தீவிரத்துடன் மட்டுமே செய்யப்பட்டன. நீங்கள் அனைத்து இடைநிலை படிகளையும் விரிவாக சித்தரிக்கவில்லை என்றால், இறுதியில் கணக்கீடுகளின் அளவு கணிசமாகக் குறையும்.

உண்மையில், $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ உதாரணத்தைத் தீர்க்கும் போது, ​​மேலே உள்ள இதேபோன்ற பணியை நாங்கள் ஏற்கனவே சந்தித்துள்ளோம். இப்போது அதை மிகவும் எளிதாக எழுதலாம்:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt((( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

சரி, வேர்களின் பெருக்கத்தை நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம். இப்போது தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்: ரூட்டின் கீழ் ஒரு வேலை இருக்கும்போது என்ன செய்வது?

கணிதத்தில், எந்தவொரு செயலுக்கும் அதன் சொந்த ஜோடி-எதிர்நிலை உள்ளது - சாராம்சத்தில், இது இயங்கியலின் ஹெகலிய சட்டத்தின் வெளிப்பாடுகளில் ஒன்றாகும்: "எதிர்களின் ஒற்றுமை மற்றும் போராட்டம்." அத்தகைய "ஜோடி" செயல்களில் ஒன்று எண்ணிக்கையை அதிகரிப்பதை நோக்கமாகக் கொண்டது, மற்றொன்று, அதற்கு நேர்மாறானது, குறைகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, கூட்டலுக்கு எதிரான செயல் கழித்தல், மற்றும் வகுத்தல் பெருக்கத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது. ஒரு அதிகாரத்திற்கு உயர்த்துவது அதன் சொந்த இயங்கியல் ஜோடி-எதிர். இது ரூட் பிரித்தெடுத்தல் பற்றியது.

ஒரு எண்ணிலிருந்து அத்தகைய மற்றும் அத்தகைய பட்டத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பது, இந்த எண்ணுடன் முடிவடைவதற்கு எந்த எண்ணை தொடர்புடைய சக்திக்கு உயர்த்த வேண்டும் என்பதைக் கணக்கிடுவது. இரண்டு டிகிரிக்கு அவற்றின் சொந்த தனித்தனி பெயர்கள் உள்ளன: இரண்டாவது பட்டம் "சதுரம்" என்றும், மூன்றாவது - "கியூப்" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. அதன்படி, இந்த சக்திகளின் வேர்களை வர்க்கமூலம் மற்றும் கனமூலம் என்று அழைப்பது இனிமையானது. க்யூப் வேர்கள் கொண்ட செயல்கள் ஒரு தனி விவாதத்திற்கான தலைப்பு, ஆனால் இப்போது வர்க்க மூலங்களைச் சேர்ப்பது பற்றி பேசலாம்.

சில சந்தர்ப்பங்களில் முதலில் சதுர வேர்களைப் பிரித்தெடுப்பது எளிது, பின்னர் முடிவுகளைச் சேர்க்கவும். அத்தகைய வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, 16 இன் வர்க்கமூலம் 4 மற்றும் 121 - 11 என்று கணக்கிடுவது கடினம் அல்ல. எனவே,

√16+√121=4+11=15

இருப்பினும், இது எளிமையான வழக்கு - இங்கே நாம் முழு சதுரங்களைப் பற்றி பேசுகிறோம், அதாவது. முழு எண்களை வகுப்பதன் மூலம் பெறப்படும் எண்கள் பற்றி. ஆனால் இது எப்போதும் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, எண் 24 ஒரு சரியான சதுரம் அல்ல (இரண்டாவது சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்டால், 24 க்கு வரக்கூடிய முழு எண் எதுவும் இல்லை). 54 போன்ற எண்ணுக்கும் இது பொருந்தும்... இந்த எண்களின் வர்க்கமூலத்தை நாம் சேர்க்க வேண்டுமா என்ன?

இந்த வழக்கில், பதிலில் ஒரு எண் அல்ல, ஆனால் மற்றொரு வெளிப்பாடு கிடைக்கும். இங்கே நாம் செய்யக்கூடிய அதிகபட்சம் அசல் வெளிப்பாட்டை முடிந்தவரை எளிமைப்படுத்துவதாகும். இதைச் செய்ய, நீங்கள் வர்க்க மூலத்தின் கீழ் இருந்து காரணிகளை எடுக்க வேண்டும். உதாரணமாக, குறிப்பிடப்பட்ட எண்களைப் பயன்படுத்தி இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:

தொடங்குவதற்கு, 24 ஐ காரணியாக்குவோம் - அவற்றில் ஒன்றை எளிதாக ஒரு வர்க்க மூலமாக எடுத்துக் கொள்ள முடியும் (அதாவது, அது ஒரு சரியான சதுரமாக இருக்கும்). அத்தகைய எண் உள்ளது - இது 4:

இப்போது 54 உடன் அதையே செய்வோம். அதன் கலவையில், இந்த எண் 9 ஆக இருக்கும்:

இவ்வாறு, நாம் பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

இப்போது வேர்களைப் பிரித்தெடுக்கலாம்: 2*√6+3*√6

இங்கே ஒரு பொதுவான காரணி உள்ளது, அதை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கலாம்:

(2+3)* √6=5*√6

இது கூட்டலின் விளைவாக இருக்கும் - வேறு எதையும் இங்கே பிரித்தெடுக்க முடியாது.

உண்மை, நீங்கள் ஒரு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தலாம் - இருப்பினும், இதன் விளைவாக தோராயமாகவும் அதிக எண்ணிக்கையிலான தசம இடங்களுடன் இருக்கும்:

√6=2,449489742783178

படிப்படியாக அதைச் சுற்றினால், தோராயமாக 2.5 கிடைக்கும். முந்தைய எடுத்துக்காட்டின் தீர்வை அதன் தர்க்கரீதியான முடிவுக்கு கொண்டு வர விரும்பினால், இந்த முடிவை 5 ஆல் பெருக்கலாம் - மேலும் நமக்கு 12.5 கிடைக்கும். அத்தகைய ஆரம்ப தரவுகளுடன் மிகவும் துல்லியமான முடிவைப் பெற முடியாது.

வேர்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்- உயர்நிலைப் பள்ளியில் கணிதம் (இயற்கணிதம்) படிப்பவர்களுக்கு மிகவும் பொதுவான "தடுமாற்றம்" ஒன்று. இருப்பினும், அவற்றை எவ்வாறு சரியாகச் சேர்ப்பது மற்றும் கழிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது மிகவும் முக்கியமானது, ஏனென்றால் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டிற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் "கணிதம்" என்ற பாடத்தில் அடிப்படை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் திட்டத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.

அத்தகைய எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வில் தேர்ச்சி பெற, உங்களுக்கு இரண்டு விஷயங்கள் தேவை - விதிகளைப் புரிந்துகொள்வதற்கும், நடைமுறையைப் பெறுவதற்கும். ஒன்று அல்லது இரண்டு டஜன் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்த்து, மாணவர் இந்த திறனை தன்னியக்கத்திற்கு கொண்டு வருவார், பின்னர் அவர் தேர்வில் பயப்பட வேண்டியதில்லை. எண்கணித செயல்பாடுகளை கூடுதலாகக் கொண்டு தேர்ச்சி பெறத் தொடங்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அவற்றைக் கழிப்பதை விட அவற்றைச் சேர்ப்பது சற்று எளிதானது.

ஒரு ரூட் என்றால் என்ன

இதை விளக்க எளிய வழி ஒரு வர்க்க மூலத்தின் உதாரணம். கணிதத்தில், "சதுரம்" என்ற ஒரு நன்கு நிறுவப்பட்ட சொல் உள்ளது. "சதுரம்" என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை ஒருமுறை தன்னால் பெருக்குவதாகும்.. எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் 2-ஐச் சேர்ந்தால், உங்களுக்கு 4 கிடைக்கும். நீங்கள் 7-ஐச் சேர்ந்தால், உங்களுக்கு 49 கிடைக்கும். 9-ன் வர்க்கம் 81. எனவே 4-ன் வர்க்கமூலம் 2, 49-ல் 7, மற்றும் 81-ன் 9.

ஒரு விதியாக, கணிதத்தில் இந்த தலைப்பை கற்பிப்பது சதுர வேர்களுடன் தொடங்குகிறது. அதை உடனடியாகத் தீர்மானிக்க, உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர் பெருக்கல் அட்டவணையை இதயத்தால் அறிந்திருக்க வேண்டும். இந்த அட்டவணையை நன்கு அறியாதவர்கள், நீங்கள் குறிப்புகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். வழக்கமாக, ஒரு எண்ணிலிருந்து வேர் சதுரத்தைப் பிரித்தெடுக்கும் செயல்முறை பல பள்ளிக் கணிதக் குறிப்பேடுகளின் அட்டைகளில் அட்டவணை வடிவில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

வேர்கள் பின்வரும் வகைகளில் உள்ளன:

• சதுரம்;
• கன சதுரம் (அல்லது மூன்றாம் பட்டம் என்று அழைக்கப்படுபவை);
• நான்காவது பட்டம்;
• ஐந்தாம் பட்டம்.

கூட்டல் விதிகள்

ஒரு பொதுவான உதாரணத்தை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, எல்லா ரூட் எண்களும் இல்லை என்பதை மனதில் கொள்ள வேண்டும் ஒன்றையொன்று அடுக்கி வைக்கலாம். அவற்றை ஒன்றாக இணைக்க, அவை ஒரே மாதிரியாக கொண்டு வரப்பட வேண்டும். இது சாத்தியமில்லை என்றால், பிரச்சனைக்கு தீர்வு இல்லை. கணிதப் பாடப்புத்தகங்களிலும் இதுபோன்ற சிக்கல்கள் மாணவர்களுக்கு ஒரு வகையான பொறியாகவே காணப்படுகின்றன.

தீவிர வெளிப்பாடுகள் ஒன்றுக்கொன்று வேறுபடும் போது பணிகளில் சேர்த்தல் அனுமதிக்கப்படாது. இதை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் விளக்கலாம்:

• மாணவர் பணியை எதிர்கொள்கிறார்: 4 மற்றும் 9 இன் வர்க்க மூலத்தைச் சேர்க்க;
• விதியை அறியாத ஒரு அனுபவமற்ற மாணவர் பொதுவாக எழுதுகிறார்: "4 இன் வேர் + 9 இன் ரூட் \u003d ரூட் இன் 13."
• இந்த தீர்வு தவறானது என்பதை நிரூபிப்பது மிகவும் எளிதானது. இதைச் செய்ய, நீங்கள் 13 இன் வர்க்க மூலத்தைக் கண்டுபிடித்து உதாரணம் சரியாக தீர்க்கப்பட்டதா எனச் சரிபார்க்க வேண்டும்;
• மைக்ரோகால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி, அது தோராயமாக 3.6 என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம். இப்போது அது தீர்வை சரிபார்க்க உள்ளது;
• 4=2 இன் ரூட், மற்றும் 9=3;
• இரண்டு மற்றும் மூன்றின் கூட்டுத்தொகை ஐந்து. எனவே, இந்த தீர்வு அல்காரிதம் தவறானதாகக் கருதப்படலாம்.

வேர்கள் ஒரே அளவு, ஆனால் வெவ்வேறு எண் வெளிப்பாடுகள் இருந்தால், அது அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கப்படும், மற்றும் இரண்டு தீவிர வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை. எனவே, இந்த தொகையில் இருந்து ஏற்கனவே பிரித்தெடுக்கப்பட்டது.

கூட்டல் அல்காரிதம்

எளிமையான சிக்கலை சரியாக தீர்க்க, இது அவசியம்:

1. கூடுதலாக என்ன தேவை என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.
2. கணிதத்தில் இருக்கும் விதிகளின்படி, ஒருவருக்கொருவர் மதிப்புகளைச் சேர்க்க முடியுமா என்பதைக் கண்டறியவும்.
3. அவற்றைச் சேர்க்க முடியாவிட்டால், அவற்றைச் சேர்க்கக்கூடிய வகையில் மாற்ற வேண்டும்.
4. தேவையான அனைத்து மாற்றங்களையும் மேற்கொண்ட பிறகு, கூடுதலாகச் செய்து முடிக்கப்பட்ட பதிலை எழுதுவது அவசியம். எடுத்துக்காட்டின் சிக்கலைப் பொறுத்து, மனரீதியாக அல்லது கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கூட்டல் செய்யப்படலாம்.

ஒத்த வேர்கள் என்ன

ஒரு கூடுதல் உதாரணத்தை சரியாகத் தீர்க்க, முதலில், அதை எவ்வாறு எளிமைப்படுத்துவது என்பதைப் பற்றி சிந்திக்க வேண்டியது அவசியம். இதைச் செய்ய, ஒற்றுமை என்றால் என்ன என்பது பற்றிய அடிப்படை அறிவு உங்களுக்கு இருக்க வேண்டும்.

ஒத்தவற்றை அடையாளம் காணும் திறன், ஒரே மாதிரியான கூடுதல் எடுத்துக்காட்டுகளை விரைவாகத் தீர்க்க உதவுகிறது, அவற்றை எளிமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவத்தில் கொண்டு வருகிறது. ஒரு பொதுவான கூட்டல் உதாரணத்தை எளிமைப்படுத்த, நீங்கள் செய்ய வேண்டியது:

1. ஒத்தவற்றைக் கண்டுபிடித்து அவற்றை ஒரு குழுவிற்கு (அல்லது பல குழுக்களுக்கு) ஒதுக்கவும்.
2. ஒரே மாதிரியான குறிகாட்டியைக் கொண்ட வேர்கள் ஒன்றையொன்று தெளிவாகப் பின்தொடரும் வகையில் ஏற்கனவே உள்ள உதாரணத்தை மீண்டும் எழுதவும் (இது "குழுப்படுத்துதல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது).
3. அடுத்து, நீங்கள் மீண்டும் வெளிப்பாட்டை எழுத வேண்டும், இந்த முறை ஒரே மாதிரியானவை (ஒரே காட்டி மற்றும் ஒரே ரூட் உருவம் கொண்டவை) ஒன்றையொன்று பின்பற்றும் வகையில்.

அதன் பிறகு, ஒரு எளிமையான உதாரணம் பொதுவாக தீர்க்க எளிதானது.

எந்தவொரு கூட்டல் உதாரணத்தையும் சரியாகத் தீர்க்க, கூட்டலின் அடிப்படை விதிகளை நீங்கள் தெளிவாகப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும், மேலும் ரூட் என்றால் என்ன, அது எவ்வாறு நிகழ்கிறது என்பதையும் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

சில நேரங்களில் இதுபோன்ற பணிகள் முதல் பார்வையில் மிகவும் சிக்கலானதாகத் தோன்றுகின்றன, ஆனால் பொதுவாக அவை ஒத்தவற்றைக் குழுவாக்குவதன் மூலம் எளிதில் தீர்க்கப்படுகின்றன. மிக முக்கியமான விஷயம் பயிற்சி, பின்னர் மாணவர் "கொட்டைகள் போன்ற பணிகளைக் கிளிக் செய்ய" தொடங்குவார். ரூட் கூட்டல் என்பது கணிதத்தின் மிக முக்கியமான கிளைகளில் ஒன்றாகும், எனவே ஆசிரியர்கள் அதைப் படிக்க போதுமான நேரத்தை ஒதுக்க வேண்டும்.

வீடியோ

சதுர வேர்களுடன் சமன்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்ள இந்த வீடியோ உதவும்.