Mengonversi ekspresi menggunakan properti logaritma, contoh, solusi. Transformasi identik ekspresi eksponensial dan logaritma B4 transformasi identik ekspresi logaritma

BUKA PELAJARAN ALJABAR DI KELAS 11

TOPIK PELAJARAN

"KONVERSI EKSPRESI,

MENGANDUNG LOGARITMA”

Tujuan pelajaran:

ulangi definisi logaritma suatu bilangan, identitas logaritma dasar;

mengkonsolidasikan sifat-sifat dasar logaritma;

memperkuat orientasi praktis topik ini untuk persiapan UNT yang berkualitas;

mempromosikan asimilasi materi yang solid;

mempromosikan pengembangan keterampilan pengendalian diri pada siswa.

Jenis pelajaran: digabungkan menggunakan tes interaktif.

Perlengkapan: proyektor, layar, poster tugas, lembar jawaban.

Rencana belajar:

Waktu pengorganisasian.

Memperbarui pengetahuan.

Tes interaktif.

"Turnamen dengan logaritma"

Memecahkan masalah sesuai buku teks.

Meringkas. Mengisi lembar jawaban.

Penilaian.

Selama kelas

1. Momen organisasi.

2. Menentukan tujuan pembelajaran.

Hallo teman-teman! Hari ini kita mempunyai pelajaran yang tidak biasa, pelajaran – permainan yang akan kita adakan dalam bentuk turnamen dengan logaritma.

Mari kita mulai pelajaran dengan tes interaktif.

3. Tes interaktif:

4. Turnamen dengan logaritma:

Definisi logaritma.

Identitas logaritma:

Menyederhanakan:

Temukan arti dari ungkapan:

Sifat-sifat logaritma .

Konversi:

Bekerja dengan buku teks.

Meringkas.

Siswa mengisi lembar jawabannya sendiri.

Beri nilai pada setiap jawaban.

Penilaian. Pekerjaan rumah. Lampiran 1.

Hari ini Anda tenggelam dalam logaritma,

Mereka harus dihitung secara akurat.

Tentu saja, Anda akan bertemu mereka di ujian,

Kami hanya bisa mendoakan Anda sukses!

SAYA pilihan

a) 9 ½ =3; b) 7 0 =1.

A)catatan8=6; B)catatan9=-2.

a) 1.7 catatan 1,7 2 ; b) 2 catatan 2 5 .

4. Hitung:

A) lg8+lg125;

B)catatan 2 7-log 2 7/16

V)catatan 3 16/catatan 3 4.

II pilihan

1. Temukan logaritma dengan basis a dari suatu bilangan yang dipangkatkan dengan basis a:

a) 32 1/5 =2; b) 3 -1 =1/3.

2. Periksa kesetaraan:

A)catatan27=-6; B)catatan 0,5 4=-2.

3. Sederhanakan ekspresi menggunakan identitas logaritma dasar:

a) 5 1+ catatan 5 3 ; b) 10 1- lg 2

4. Hitung:

A)catatan 12 4+log 12 36;

B) lg13-lg130;

V) (lg8+lg18)/(2lg2+lg3).

AKU AKU AKU pilihan

1. Temukan logaritma dengan basis a dari suatu bilangan yang dipangkatkan dengan basis a:

a) 27 2/3 =9; b) 32 3/5 =8.

2. Periksa kesetaraan:

A)catatan 2 128=;

B)catatan 0,2 0,008=3.

3. Sederhanakan ekspresi menggunakan identitas logaritma dasar:

a) 4 2 catatan 4 3 ;

b) 5 -3 catatan 5 1/2 .

4. Hitung:

A)catatan 6 12+catatan 6 18;

B)catatan 7 14-log 7 6+log 7 21;

V) (catatan 7 3/ catatan 7 13)∙ catatan 3 169.

IV pilihan

1. Temukan logaritma dengan basis a dari suatu bilangan yang dipangkatkan dengan basis a:

a) 81 3/4 =27; b) 125 2/3 =25.

2. Periksa kesetaraan:

A)catatan √5 0,2=-2;

B)catatan 0,2 125=-3.

3. Sederhanakan ekspresi menggunakan identitas logaritma dasar:

a) (1/2) 4 catatan 1/2 3 ;

b) 6 -2 catatan 6 5 .

4. Hitung:

A)catatan 14 42-log 14 3;

B)catatan 2 20 log 2 25+catatan 2 80;

V)catatan 7 48/ catatan 7 4- 0,5 catatan 2 3.

Universitas Negeri Transnistrian

mereka. TG. Shevchenko

Fakultas Fisika dan Matematika

Departemen Analisis Matematika

dan metode pengajaran matematika

PEKERJAAN KURSUS

“Transformasi identitas

eksponensial dan logaritma

ekspresi"

Pekerjaan telah selesai:

siswa kelompok _______

Fakultas Fisika dan Matematika

_________________________

Saya memeriksa pekerjaan:

_________________________

Tiraspol, 2003

Pendahuluan…………………………………………………………………………………2

Bab 1. Transformasi dan metode pengajaran yang identik dalam kursus aljabar sekolah dan analisis awal……………………………………..4

§1. Pembentukan keterampilan dalam menerapkan jenis transformasi tertentu……………………………………………………………………………………….4

§2. Ciri-ciri pengorganisasian sistem pengetahuan dalam studi transformasi identitas.…….………………………….………..………….5

§3. Program matematika………………………………………………….11

Bab 2. Transformasi identik dan perhitungan ekspresi eksponensial dan logaritma……………………………...…………………13

§1. Generalisasi konsep derajat……………………………………..13

§2. Fungsi eksponensial…………………………………………………..15

§3. Fungsi logaritma…………………………………….16

Bagian 3. Transformasi identik ekspresi eksponensial dan logaritma dalam praktiknya..........................................................................19

Kesimpulan………………………………………………………..24

Daftar referensi………………………………………………….25
Perkenalan

Dalam tugas kursus ini, transformasi identik fungsi eksponensial dan logaritma akan dipertimbangkan, dan metodologi pengajarannya dalam kursus aljabar sekolah dan awal analisis akan dipertimbangkan.

Bab pertama dari karya ini menjelaskan metodologi pengajaran transformasi identitas dalam kursus matematika sekolah, dan juga mencakup program matematika dalam kursus “Aljabar dan permulaan analisis” dengan studi fungsi eksponensial dan logaritma.

Bab kedua membahas secara langsung fungsi eksponensial dan logaritma itu sendiri, sifat-sifat dasarnya yang digunakan dalam transformasi identitas.

Bab ketiga adalah menyelesaikan contoh dan masalah menggunakan transformasi identik fungsi eksponensial dan logaritma.

Mempelajari berbagai transformasi ekspresi dan rumus menyita sebagian besar waktu pengajaran dalam mata pelajaran matematika sekolah. Transformasi paling sederhana berdasarkan sifat-sifat operasi aritmatika sudah dilakukan di sekolah dasar dan di kelas IV-V. Namun beban utama pengembangan keterampilan dan kemampuan melakukan transformasi ditanggung oleh mata kuliah aljabar sekolah. Hal ini disebabkan oleh peningkatan tajam dalam jumlah dan variasi transformasi yang dilakukan, dan rumitnya kegiatan untuk mendukungnya dan memperjelas kondisi penerapannya, hingga identifikasi dan studi konsep-konsep umum tentang identitas, transformasi identik, transformasi setara, konsekuensi logis.

Budaya melakukan transformasi identitas berkembang dengan cara yang sama seperti budaya berhitung, berdasarkan pengetahuan yang kuat tentang sifat-sifat operasi pada objek (angka, vektor, polinomial, dll.) dan algoritma pelaksanaannya. Ini memanifestasikan dirinya tidak hanya dalam kemampuan untuk membuktikan transformasi dengan benar, tetapi juga dalam kemampuan untuk menemukan jalur terpendek untuk transisi dari ekspresi analitis asli ke ekspresi yang paling sesuai dengan tujuan transformasi, dalam kemampuan untuk memantau perubahan dalam domain definisi ekspresi analitik dalam rantai transformasi identik, dalam kecepatan dan ketepatan melakukan transformasi .

Memastikan budaya perhitungan dan transformasi identitas yang tinggi merupakan masalah penting dalam pengajaran matematika. Namun permasalahan ini masih jauh dari penyelesaian yang memuaskan. Buktinya adalah data statistik otoritas pendidikan publik, yang setiap tahun mencatat kesalahan dan metode perhitungan dan transformasi yang tidak rasional yang dilakukan oleh siswa dari berbagai kelas saat melakukan tes. Hal ini dibuktikan dengan masukan dari perguruan tinggi tentang kualitas pengetahuan dan keterampilan matematika pelamar. Kita pasti setuju dengan kesimpulan otoritas pendidikan publik dan universitas bahwa rendahnya tingkat budaya berhitung dan transformasi serupa di sekolah menengah adalah konsekuensi dari formalisme dalam pengetahuan siswa, pemisahan teori dari praktik.

Bab 1.

Transformasi dan metode pengajaran yang identik

dalam kursus sekolah aljabar dan awal analisis.

§1. Pembentukan keterampilan aplikasi

jenis transformasi tertentujudul.

Sistem teknik dan aturan untuk melakukan transformasi yang digunakan pada tahap awal aljabar memiliki penerapan yang sangat luas: digunakan dalam pembelajaran seluruh mata kuliah matematika. Namun, justru karena spesifisitasnya yang rendah, sistem ini memerlukan transformasi tambahan yang mempertimbangkan fitur struktural dari ekspresi yang ditransformasikan dan properti operasi dan fungsi yang baru diperkenalkan. Menguasai jenis transformasi yang sesuai dimulai dengan pengenalan rumus perkalian yang disingkat. Kemudian transformasi yang terkait dengan operasi eksponensial dipertimbangkan dengan berbagai kelas fungsi dasar - eksponensial, pangkat, logaritma, trigonometri. Masing-masing jenis transformasi ini melewati fase pembelajaran di mana perhatian difokuskan pada penguasaan ciri-cirinya.

Ketika materi terakumulasi, menjadi mungkin untuk menyoroti ciri-ciri umum dari semua transformasi yang sedang dipertimbangkan dan, atas dasar ini, memperkenalkan konsep transformasi identik dan setara.

Perlu dicatat bahwa konsep transformasi identitas yang diberikan dalam mata pelajaran aljabar sekolah tidak sepenuhnya bersifat umum, tetapi hanya dalam penerapannya pada ekspresi. Transformasi dibagi menjadi dua kelas: transformasi identik adalah transformasi ekspresi, dan transformasi ekuivalen adalah transformasi rumus. Jika ada kebutuhan untuk menyederhanakan satu bagian rumus, sebuah ekspresi disorot dalam rumus ini, yang berfungsi sebagai argumen untuk transformasi identitas yang diterapkan. Predikat yang bersangkutan dianggap tidak berubah.

Tentang mengorganisir sistem transformasi yang holistik(perpaduan), maka tujuan utamanya adalah membentuk yang fleksibel dan bertenaga; peralatan yang cocok untuk digunakan dalam menyelesaikan berbagai tugas pendidikan.

Dalam perjalanan aljabar dan awal analisis, sistem transformasi holistik, yang telah terbentuk dalam ciri-ciri utamanya, terus meningkat secara bertahap. Beberapa jenis transformasi baru juga ditambahkan ke dalamnya, namun hanya memperkaya, memperluas kemampuannya, namun tidak mengubah strukturnya. Metodologi untuk mempelajari transformasi baru ini secara praktis tidak berbeda dengan yang digunakan dalam mata kuliah aljabar.

§2. Fitur organisasisistem tugas

ketika mempelajari transformasi identitas.

Prinsip dasar pengorganisasian sistem tugas apa pun adalah menyajikannya dari yang sederhana hingga yang kompleks, dengan mempertimbangkan kebutuhan siswa untuk mengatasi kesulitan yang mungkin terjadi dan menciptakan situasi bermasalah. Prinsip dasar ini memerlukan spesifikasi sehubungan dengan ciri-ciri materi pendidikan ini. Untuk menggambarkan berbagai sistem tugas dalam metode matematika digunakan konsep siklus latihan. Siklus latihan ditandai dengan perpaduan dalam rangkaian latihan beberapa aspek pembelajaran dan teknik penyusunan materi. Berkenaan dengan transformasi identitas, gagasan tentang siklus dapat diberikan sebagai berikut.

Siklus latihan dikaitkan dengan studi tentang satu identitas, di mana identitas lain yang memiliki hubungan alami dengannya dikelompokkan. Siklus tersebut, bersama dengan siklus eksekutif, mencakup tugas-tugas yang memerlukan pengakuan atas penerapan identitas yang bersangkutan. Identitas yang diteliti digunakan untuk melakukan perhitungan pada berbagai domain numerik. Kekhususan identitas diperhitungkan; khususnya, kiasan yang terkait dengannya diatur.

Tugas pada setiap siklus dibagi menjadi dua kelompok. Yang pertama mencakup tugas-tugas yang dilakukan selama pengenalan awal dengan identitas. Mereka berfungsi sebagai bahan pendidikan untuk beberapa pelajaran berturut-turut yang disatukan oleh satu topik. Kelompok latihan kedua menghubungkan identitas yang dipelajari dengan berbagai penerapan. Kelompok ini tidak membentuk satu kesatuan komposisi - latihan di sini tersebar pada berbagai topik.

Struktur siklus yang dijelaskan mengacu pada tahap pengembangan keterampilan dalam menerapkan jenis transformasi tertentu. Pada tahap akhir, tahap sintesis, siklus-siklus tersebut dimodifikasi. Pertama, kedua kelompok tugas digabungkan untuk membentuk siklus yang “diperluas”, dan tugas yang paling sederhana dalam hal kata-kata atau kompleksitas penyelesaian tugas dikeluarkan dari kelompok pertama. Jenis tugas lainnya menjadi lebih kompleks. Kedua, terdapat penggabungan siklus yang terkait dengan identitas yang berbeda, sehingga meningkatkan peran tindakan untuk mengenali penerapan identitas tertentu.

Mari kita perhatikan fitur siklus tugas yang berkaitan dengan identitas untuk fungsi dasar. Ciri-ciri ini disebabkan oleh fakta bahwa, pertama, identitas yang bersangkutan dipelajari sehubungan dengan studi materi fungsional dan, kedua, mereka muncul lebih lambat dari identitas kelompok pertama dan dipelajari dengan menggunakan keterampilan yang sudah terbentuk untuk melakukan transformasi identitas. .

Setiap fungsi dasar yang baru diperkenalkan secara dramatis memperluas jangkauan angka yang dapat ditunjuk dan diberi nama secara individual. Oleh karena itu, kelompok tugas siklus pertama harus mencakup tugas untuk membangun hubungan antara domain numerik baru ini dan domain asli bilangan rasional. Mari kita beri contoh tugas-tugas tersebut.

Contoh 1 . Menghitung:

Di samping setiap ekspresi, sebuah identitas ditunjukkan, dalam siklus di mana tugas yang diusulkan mungkin ada. Tujuan dari tugas-tugas tersebut adalah untuk menguasai ciri-ciri rekaman, termasuk simbol-simbol operasi dan fungsi baru, dan untuk mengembangkan keterampilan berbicara matematika.

Sebagian besar penggunaan transformasi identitas yang terkait dengan fungsi dasar terjadi pada penyelesaian persamaan irasional dan transendental. Siklus yang berkaitan dengan asimilasi identitas hanya mencakup persamaan yang paling sederhana, tetapi di sini disarankan untuk melakukan upaya untuk menguasai metode penyelesaian persamaan tersebut: mereduksinya dengan mengganti persamaan aljabar yang tidak diketahui.

Urutan langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

a) temukan fungsi yang persamaannya dapat direpresentasikan dalam bentuk;

b) melakukan substitusi dan menyelesaikan persamaan;

c) menyelesaikan setiap persamaan, dimana himpunan akar-akar persamaan tersebut.

Bila menggunakan metode yang dijelaskan, langkah b) sering kali dilakukan secara implisit, tanpa memperkenalkan notasi untuk . Selain itu, siswa sering kali lebih memilih, dari berbagai jalur menuju pencarian jawaban, memilih salah satu yang mengarah ke persamaan aljabar dengan lebih cepat dan mudah.

Contoh 2 . Selesaikan persamaannya.

Cara pertama:

Cara kedua:

Di sini Anda dapat melihat bahwa dengan metode pertama, langkah a) lebih sulit dibandingkan dengan metode kedua. Metode pertama “lebih sulit untuk memulai”, meskipun solusi selanjutnya jauh lebih sederhana. Sebaliknya, metode yang kedua mempunyai kelebihan yaitu lebih mudah dan lebih presisi dalam pembelajaran mereduksi ke persamaan aljabar.

Untuk kursus aljabar sekolah, tugas-tugas tipikal adalah transisi ke persamaan aljabar bahkan lebih sederhana daripada contoh ini. Beban utama dari tugas-tugas tersebut berkaitan dengan identifikasi langkah c) sebagai bagian independen dari proses penyelesaian yang terkait dengan penggunaan sifat-sifat fungsi dasar yang dipelajari.

Contoh 3 . Selesaikan persamaan:

Persamaan ini direduksi menjadi persamaan: a) atau ; b) atau . Untuk menyelesaikan persamaan ini, hanya diperlukan pengetahuan tentang fakta paling sederhana tentang fungsi eksponensial: monotonisitasnya, rentang nilainya. Seperti contoh sebelumnya, persamaan a) dan b) dapat diklasifikasikan sebagai kelompok pertama dari rangkaian latihan penyelesaian persamaan kuadrat eksponensial.

Jadi, kita sampai pada klasifikasi tugas dalam siklus yang berkaitan dengan penyelesaian persamaan transendental yang mencakup fungsi eksponensial:

1) persamaan yang direduksi menjadi persamaan bentuk dan mempunyai jawaban umum yang sederhana: ;

2) persamaan yang direduksi menjadi persamaan , dimana adalah bilangan bulat, atau , dimana ;

3) persamaan yang direduksi menjadi persamaan dan memerlukan analisis eksplisit terhadap bentuk penulisan bilangan tersebut .

Tugas fungsi dasar lainnya dapat diklasifikasikan dengan cara yang sama.

Sebagian besar identitas yang dipelajari dalam mata kuliah aljabar dan aljabar serta prinsip-prinsip analisis dibuktikan di dalamnya atau, setidaknya, dijelaskan. Aspek kajian identitas ini sangat penting untuk kedua mata kuliah tersebut, karena penalaran pembuktian di dalamnya dilakukan dengan sangat jelas dan teliti justru dalam kaitannya dengan identitas. Di luar materi ini, bukti biasanya kurang lengkap; tidak selalu dapat dibedakan dari pembuktian yang digunakan.

Sifat-sifat operasi aritmatika digunakan sebagai pendukung di mana pembuktian identitas dibangun.

Dampak pendidikan dari perhitungan dan transformasi identik dapat ditujukan pada pengembangan pemikiran logis, jika saja siswa dituntut secara sistematis untuk membenarkan perhitungan dan transformasi identik, dan pada pengembangan pemikiran fungsional, yang dicapai dengan berbagai cara. Pentingnya perhitungan dan transformasi serupa dalam pengembangan kemauan, ingatan, kecerdasan, pengendalian diri, dan inisiatif kreatif cukup jelas.

Tuntutan praktik komputasi sehari-hari dan industri mengharuskan siswa untuk mengembangkan keterampilan otomatis yang kuat dalam perhitungan rasional dan transformasi identitas. Keterampilan ini dikembangkan dalam proses pekerjaan komputasi apa pun, namun latihan khusus dalam perhitungan dan transformasi cepat diperlukan.

Jadi, jika pelajaran melibatkan penyelesaian persamaan logaritma dengan menggunakan identitas logaritma dasar, maka akan berguna untuk memasukkan dalam rencana pelajaran latihan lisan tentang menyederhanakan atau menghitung arti ekspresi: , , . Tujuan latihan selalu dikomunikasikan kepada siswa. Selama latihan, mungkin perlu meminta siswa untuk membenarkan transformasi individu, tindakan, atau solusi terhadap keseluruhan masalah, bahkan jika hal ini tidak direncanakan. Apabila terdapat kemungkinan cara penyelesaian masalah yang berbeda, disarankan untuk selalu mengajukan pertanyaan: “Bagaimana masalah diselesaikan?”, “Siapa yang memecahkan masalah dengan cara yang berbeda?”

Konsep identitas dan transformasi identitas diperkenalkan secara eksplisit pada mata kuliah aljabar kelas VI. Definisi dari ekspresi identik tidak dapat digunakan secara praktis untuk membuktikan identitas dua ekspresi, dan memahami bahwa esensi dari transformasi identik adalah menerapkan definisi dan properti dari tindakan yang ditunjukkan dalam ekspresi, atau untuk menambahkan ke ekspresi. itu ekspresi yang identik sama dengan 0, atau mengalikannya dengan ekspresi yang identik sama dengan satu. Tetapi bahkan setelah menguasai ketentuan-ketentuan ini, siswa seringkali tidak memahami mengapa transformasi ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa ekspresi asli dan ekspresi yang dihasilkan adalah identik, yaitu. mengambil nilai yang sama untuk sistem (kumpulan) nilai variabel apa pun.

Penting juga untuk memastikan bahwa siswa memahami dengan jelas bahwa kesimpulan dari transformasi identik tersebut merupakan konsekuensi dari definisi dan sifat dari tindakan yang bersangkutan.

Aparatur transformasi identitas yang terakumulasi pada tahun-tahun sebelumnya diperluas di kelas VI. Perluasan ini dimulai dengan pengenalan identitas yang menyatakan sifat perkalian pangkat dengan basis yang sama: , di mana , adalah bilangan bulat.

§3. Program matematika.

Dalam kursus sekolah “Aljabar dan permulaan analisis”, siswa secara sistematis mempelajari fungsi eksponensial dan logaritma serta sifat-sifatnya, transformasi identik ekspresi logaritma dan eksponensial serta penerapannya untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang bersesuaian, dan menjadi akrab dengan konsep dan pernyataan dasar. .

Di kelas 11, pelajaran aljabar memakan waktu 3 jam seminggu, dengan total 102 jam setahun. Program ini membutuhkan waktu 36 jam untuk mempelajari fungsi eksponensial, logaritma, dan pangkat.

Program ini mencakup pertimbangan dan studi tentang isu-isu berikut:

Konsep gelar dengan eksponen rasional. Memecahkan persamaan irasional. Fungsi eksponensial, sifat-sifatnya dan grafiknya. Transformasi identik dari ekspresi eksponensial. Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial. Logaritma suatu bilangan. Sifat dasar logaritma. Fungsi logaritma, sifat-sifatnya dan grafiknya. Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Turunan dari fungsi eksponensial. Bilangan dan logaritma natural. Turunan dari fungsi pangkat.

Tujuan utama mata pelajaran fungsi eksponensial dan logaritma adalah untuk mengenalkan siswa pada fungsi eksponensial, logaritma, dan pangkat; mengajar siswa untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma.

Konsep akar ke-th dan derajat dengan eksponen rasional merupakan generalisasi dari konsep akar kuadrat dan derajat dengan eksponen bilangan bulat. Siswa harus memperhatikan fakta bahwa sifat-sifat akar dan pangkat dengan eksponen rasional yang dibahas di sini serupa dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh akar kuadrat dan pangkat dengan eksponen bilangan bulat yang telah dipelajari sebelumnya. Penting untuk mencurahkan cukup waktu untuk mempraktikkan sifat-sifat derajat dan mengembangkan keterampilan transformasi identitas. Konsep gelar dengan eksponen irasional diperkenalkan atas dasar visual dan intuitif. Materi ini berperan sebagai pembantu dan digunakan saat memperkenalkan fungsi eksponensial.

Studi tentang sifat-sifat fungsi eksponensial, logaritma, dan pangkat dibangun sesuai dengan skema umum yang diterima untuk mempelajari fungsi. Dalam hal ini, gambaran umum properti diberikan tergantung pada nilai parameter. Pertidaksamaan eksponensial dan logaritma diselesaikan berdasarkan sifat-sifat fungsi yang dipelajari.

Ciri khas mata kuliah ini adalah sistematisasi dan generalisasi pengetahuan siswa, pemantapan dan pengembangan keterampilan yang diperoleh dalam mata kuliah aljabar, yang dilakukan baik pada saat mempelajari materi baru maupun pada saat melakukan pengulangan umum.
Bab 2.

Transformasi dan perhitungan identitas

ekspresi eksponensial dan logaritmik

§1. Generalisasi konsep derajat.

Definisi: Akar ke-th suatu bilangan murni adalah bilangan yang pangkatnya sama dengan .

Menurut definisi ini, akar ke-th suatu bilangan adalah solusi persamaan tersebut. Banyaknya akar persamaan ini bergantung pada dan. Mari kita pertimbangkan fungsinya. Seperti diketahui, pada interval fungsi ini meningkat untuk nilai berapa pun dan mengambil semua nilai dari interval tersebut. Menurut teorema akar, persamaan untuk sembarang memiliki akar non-negatif dan, terlebih lagi, hanya satu. Dia dipanggil akar aritmatika derajat ke-th suatu bilangan dan menunjukkan ; nomor tersebut dipanggil indeks akar, dan nomor itu sendiri adalah ekspresi radikal. Tandanya disebut juga radikal.

Definisi: Akar aritmatika pangkat suatu bilangan adalah bilangan non-negatif yang pangkat -thnya sama dengan .

Untuk bilangan genap fungsinya genap. Oleh karena itu jika , maka persamaan tersebut selain memiliki akar, juga mempunyai akar. Jika , maka ada satu akar: ; jika , maka persamaan ini tidak mempunyai akar, karena pangkat genap suatu bilangan adalah non-negatif.

Untuk nilai ganjil, fungsinya bertambah sepanjang garis bilangan; jangkauannya adalah himpunan semua bilangan real. Dengan menerapkan teorema akar, kita mendapatkan bahwa persamaan tersebut mempunyai satu akar untuk sembarang dan, khususnya, untuk . Akar untuk nilai apa pun dilambangkan dengan .

Untuk akar-akar yang berderajat ganjil, persamaannya berlaku. Faktanya, , yaitu. bilangan adalah akar ke-th dari . Tapi akar ganjil seperti itu adalah satu-satunya. Karena itu, .

Catatan 1: Untuk apa pun yang nyata

Mari kita mengingat kembali sifat-sifat akar aritmatika derajat ke-th yang diketahui.

Untuk bilangan asli apa pun, bilangan bulat dan bilangan bulat non-negatif serta persamaannya valid:

Gelar dengan eksponen rasional.

Ekspresi ini didefinisikan untuk semua dan kecuali kasus di . Mari kita mengingat kembali sifat-sifat kekuatan tersebut.

Untuk bilangan apa pun, dan bilangan bulat apa pun serta persamaannya valid:

Kita juga mencatat bahwa jika , maka pada dan pada .

Definisi: Pangkat suatu bilangan yang eksponennya rasional, yaitu bilangan bulat dan bilangan asli, disebut bilangan.

Jadi, menurut definisi.

Dengan rumusan definisi derajat dengan eksponen rasional, sifat-sifat dasar derajat yang berlaku untuk eksponen apa pun dipertahankan (perbedaannya adalah bahwa sifat-sifat tersebut hanya berlaku untuk basa positif).

§2. Fungsi eksponensial.

Definisi: Fungsi yang diberikan oleh rumus (di mana , ) disebut fungsi eksponensial dengan basis.

Mari kita rumuskan sifat-sifat utama fungsi eksponensial.

Grafik fungsi (Gbr. 1)

Rumus ini disebut sifat dasar derajat.

Anda juga dapat memperhatikan bahwa fungsi tersebut kontinu pada himpunan bilangan real.

§3. Fungsi logaritma.

Definisi: Logaritma bilangan ke basis disebut eksponen yang harus dipangkatkan basisnya. Untuk mendapatkan nomornya.

Rumusnya (di mana , dan ) disebut identitas logaritmik dasar.

Saat bekerja dengan logaritma, properti berikut digunakan, yang dihasilkan dari properti fungsi eksponensial:

Untuk apa pun( )dan segala hal positif dan persamaan terpenuhi:

5. nyata.

Sifat dasar logaritma banyak digunakan saat mengonversi ekspresi yang mengandung logaritma. Misalnya, rumus yang sering digunakan untuk berpindah dari satu basis logaritma ke basis logaritma lainnya: .

Misalkan bilangan positif tidak sama dengan 1.

Definisi: Fungsi yang diberikan oleh rumus disebut fungsi logaritma dengan basis.

Mari kita daftar properti utama dari fungsi logaritma.

1. Daerah definisi fungsi logaritma adalah himpunan semua bilangan positif, yaitu .

2. Kisaran nilai fungsi logaritma adalah himpunan semua bilangan real.

3. Fungsi logaritma di seluruh domain definisi bertambah (pada ) atau berkurang (pada ).

Grafik fungsi (Gbr. 2)

Grafik fungsi eksponensial dan logaritma yang mempunyai basis yang sama adalah simetris terhadap garis lurus(Gbr. 3).

Bagian 3.

Transformasi identik eksponensial dan

ekspresi logaritmik dalam praktiknya.

Latihan 1.

Menghitung:

Larutan:

Menjawab:; ; ; ; .; , kami mengerti

Saya mempertimbangkan metode untuk mengembangkan keterampilan siswa ketika mempelajari materi ini. Ia juga mempresentasikan program matematika untuk mempelajari mata kuliah fungsi eksponensial dan logaritma pada mata kuliah “Aljabar dan Permulaan Analisis”.

Karya tersebut menyajikan tugas-tugas dengan kompleksitas dan konten yang berbeda, menggunakan transformasi yang identik. Tugas-tugas tersebut dapat digunakan untuk melakukan tes atau kerja mandiri untuk menguji pengetahuan siswa.

Pekerjaan mata kuliah ini menurut saya dilaksanakan dalam kerangka metodologi pengajaran matematika di lembaga pendidikan menengah dan dapat digunakan sebagai alat peraga bagi guru sekolah, serta bagi siswa penuh waktu dan paruh waktu.

Daftar literatur bekas:

1. Aljabar dan awal mula analisis. Ed. Kolmogorova A.N. M.: Pendidikan, 1991.
2. Program untuk sekolah menengah, gimnasium, bacaan. Matematika kelas 5-11. M.: Bustard, 2002.
3. JIKA. Sharygin, V.I. Golubev. Kursus opsional dalam matematika (pemecahan masalah). Uch. tunjangan untuk kelas 11. M.: Pendidikan, 1991.
4. V.A. Oganesyan dkk. Metode pengajaran matematika di sekolah menengah: Metode umum; Buku teks untuk mahasiswa Fakultas Fisika dan Matematika Institut Pedagogis. -Edisi ke-2 direvisi dan diperluas. M.: Pendidikan, 1980.
5. Cherkasov R.S., Stolyar A.A. Metode pengajaran matematika di sekolah menengah. M.: Pendidikan, 1985.
6. Majalah "Matematika di sekolah".

Universitas Negeri Transnistrian

mereka. TG. Shevchenko

Fakultas Fisika dan Matematika

Departemen Analisis Matematika

dan metode pengajaran matematika

PEKERJAAN KURSUS

“Transformasi identitas

eksponensial dan logaritma

ekspresi"

Pekerjaan telah selesai:

siswa kelompok _______

Fakultas Fisika dan Matematika

_________________________

Saya memeriksa pekerjaan:

_________________________

Tiraspol, 2003

Pendahuluan…………………………………………………………………………………2

Bab 1. Transformasi Identitas dan Metode Pengajaran pada Mata Pelajaran Aljabar Sekolah dan Analisis Awal………………………………………..4

§1. Pembentukan keterampilan dalam menerapkan jenis transformasi tertentu……………………………………………………………………………………….4

§2. Ciri-ciri pengorganisasian sistem pengetahuan dalam studi transformasi identitas.…….………………………….………..………….5

§3. Program matematika………………………………………………….11

Bab 2

§1. Generalisasi konsep derajat……………………………………..13

§2. Fungsi eksponensial…………………………………………………..15

§3. Fungsi logaritma…………………………………….16

Bab 3. Transformasi identik ekspresi eksponensial dan logaritma dalam praktiknya...................................... ............ ...................................19

Kesimpulan………………………………………………………..24

Daftar referensi………………………………………………….25
Perkenalan

Dalam tugas kursus ini, transformasi identik fungsi eksponensial dan logaritma akan dipertimbangkan, dan metodologi pengajarannya dalam kursus aljabar sekolah dan awal analisis akan dipertimbangkan.

Bab pertama dari karya ini menjelaskan metodologi pengajaran transformasi identitas dalam kursus matematika sekolah, dan juga mencakup program matematika dalam kursus “Aljabar dan permulaan analisis” dengan studi fungsi eksponensial dan logaritma.

Bab kedua membahas secara langsung fungsi eksponensial dan logaritma itu sendiri, sifat-sifat dasarnya yang digunakan dalam transformasi identitas.

Bab ketiga adalah menyelesaikan contoh dan masalah menggunakan transformasi identik fungsi eksponensial dan logaritma.

Mempelajari berbagai transformasi ekspresi dan rumus menyita sebagian besar waktu pengajaran dalam mata pelajaran matematika sekolah. Transformasi paling sederhana, berdasarkan sifat-sifat operasi aritmatika, sudah dilakukan di sekolah dasar dan di kelas IV–V. Namun beban utama pengembangan keterampilan dan kemampuan melakukan transformasi ditanggung oleh mata kuliah aljabar sekolah. Hal ini disebabkan oleh peningkatan tajam dalam jumlah dan variasi transformasi yang dilakukan, dan rumitnya kegiatan untuk mendukungnya dan memperjelas kondisi penerapannya, hingga identifikasi dan studi konsep-konsep umum tentang identitas, transformasi identik, transformasi setara, konsekuensi logis.

Budaya melakukan transformasi identitas berkembang dengan cara yang sama seperti budaya berhitung, berdasarkan pengetahuan yang kuat tentang sifat-sifat operasi pada objek (angka, vektor, polinomial, dll.) dan algoritma pelaksanaannya. Ini memanifestasikan dirinya tidak hanya dalam kemampuan untuk membuktikan transformasi dengan benar, tetapi juga dalam kemampuan untuk menemukan jalur terpendek untuk transisi dari ekspresi analitis asli ke ekspresi yang paling sesuai dengan tujuan transformasi, dalam kemampuan untuk memantau perubahan dalam domain definisi ekspresi analitik dalam rantai transformasi identik, dalam kecepatan dan ketepatan melakukan transformasi .

Memastikan budaya perhitungan dan transformasi identitas yang tinggi merupakan masalah penting dalam pengajaran matematika. Namun permasalahan ini masih jauh dari penyelesaian yang memuaskan. Buktinya adalah data statistik otoritas pendidikan publik, yang setiap tahun mencatat kesalahan dan metode perhitungan dan transformasi yang tidak rasional yang dilakukan oleh siswa dari berbagai kelas saat melakukan tes. Hal ini dibuktikan dengan masukan dari perguruan tinggi tentang kualitas pengetahuan dan keterampilan matematika pelamar. Kita pasti setuju dengan kesimpulan otoritas pendidikan publik dan universitas bahwa rendahnya tingkat budaya berhitung dan transformasi serupa di sekolah menengah adalah konsekuensi dari formalisme dalam pengetahuan siswa, pemisahan teori dari praktik.

Transformasi dan metode pengajaran yang identik

dalam kursus sekolah aljabar dan awal analisis.

§1. Pembentukan keterampilan aplikasi

jenis transformasi tertentu.

Sistem teknik dan aturan untuk melakukan transformasi yang digunakan pada tahap awal aljabar memiliki penerapan yang sangat luas: digunakan dalam pembelajaran seluruh mata kuliah matematika. Namun, justru karena spesifisitasnya yang rendah, sistem ini memerlukan transformasi tambahan yang mempertimbangkan fitur struktural dari ekspresi yang ditransformasikan dan properti operasi dan fungsi yang baru diperkenalkan. Menguasai jenis transformasi yang sesuai dimulai dengan pengenalan rumus perkalian yang disingkat. Kemudian transformasi yang terkait dengan operasi eksponensial dipertimbangkan dengan berbagai kelas fungsi dasar - eksponensial, pangkat, logaritma, trigonometri. Masing-masing jenis transformasi ini melewati fase pembelajaran di mana perhatian difokuskan pada penguasaan ciri-cirinya.

Ketika materi terakumulasi, menjadi mungkin untuk menyoroti ciri-ciri umum dari semua transformasi yang sedang dipertimbangkan dan, atas dasar ini, memperkenalkan konsep transformasi identik dan setara.

Perlu dicatat bahwa konsep transformasi identitas yang diberikan dalam mata pelajaran aljabar sekolah tidak sepenuhnya bersifat umum, tetapi hanya dalam penerapannya pada ekspresi. Transformasi dibagi menjadi dua kelas: transformasi identik adalah transformasi ekspresi, dan transformasi ekuivalen adalah transformasi rumus. Jika ada kebutuhan untuk menyederhanakan satu bagian rumus, sebuah ekspresi disorot dalam rumus ini, yang berfungsi sebagai argumen untuk transformasi identitas yang diterapkan. Predikat yang bersangkutan dianggap tidak berubah.

Adapun pengorganisasian suatu sistem transformasi yang integral (sintesis), tujuan utamanya adalah membentuk suatu sistem yang fleksibel dan kuat; peralatan yang cocok untuk digunakan dalam menyelesaikan berbagai tugas pendidikan.

Dalam perjalanan aljabar dan awal analisis, sistem transformasi holistik, yang telah terbentuk dalam ciri-ciri utamanya, terus meningkat secara bertahap. Beberapa jenis transformasi baru juga ditambahkan ke dalamnya, namun hanya memperkaya, memperluas kemampuannya, namun tidak mengubah strukturnya. Metodologi untuk mempelajari transformasi baru ini secara praktis tidak berbeda dengan yang digunakan dalam mata kuliah aljabar.

§2. Fitur organisasi sistem tugas

ketika mempelajari transformasi identitas.

Prinsip dasar pengorganisasian sistem tugas apa pun adalah menyajikannya dari yang sederhana hingga yang kompleks, dengan mempertimbangkan kebutuhan siswa untuk mengatasi kesulitan yang mungkin terjadi dan menciptakan situasi bermasalah. Prinsip dasar ini memerlukan spesifikasi sehubungan dengan ciri-ciri materi pendidikan ini. Untuk menggambarkan berbagai sistem tugas dalam metode matematika digunakan konsep siklus latihan. Siklus latihan ditandai dengan perpaduan dalam rangkaian latihan beberapa aspek pembelajaran dan teknik penyusunan materi. Berkenaan dengan transformasi identitas, gagasan tentang siklus dapat diberikan sebagai berikut.

Siklus latihan dikaitkan dengan studi tentang satu identitas, di mana identitas lain yang memiliki hubungan alami dengannya dikelompokkan. Siklus tersebut, bersama dengan siklus eksekutif, mencakup tugas-tugas yang memerlukan pengakuan atas penerapan identitas yang bersangkutan. Identitas yang diteliti digunakan untuk melakukan perhitungan pada berbagai domain numerik. Kekhususan identitas diperhitungkan; khususnya, kiasan yang terkait dengannya diatur.

Tugas pada setiap siklus dibagi menjadi dua kelompok. Yang pertama mencakup tugas-tugas yang dilakukan selama pengenalan awal dengan identitas. Mereka berfungsi sebagai bahan pendidikan untuk beberapa pelajaran berturut-turut yang disatukan oleh satu topik. Kelompok latihan kedua menghubungkan identitas yang dipelajari dengan berbagai penerapan. Kelompok ini tidak membentuk satu kesatuan komposisi - latihan di sini tersebar pada berbagai topik.

Struktur siklus yang dijelaskan mengacu pada tahap pengembangan keterampilan dalam menerapkan jenis transformasi tertentu. Pada tahap akhir, tahap sintesis, siklus-siklus tersebut dimodifikasi. Pertama, kedua kelompok tugas digabungkan untuk membentuk siklus yang “diperluas”, dan tugas yang paling sederhana dalam hal kata-kata atau kompleksitas penyelesaian tugas dikeluarkan dari kelompok pertama. Jenis tugas lainnya menjadi lebih kompleks. Kedua, terdapat penggabungan siklus yang terkait dengan identitas yang berbeda, sehingga meningkatkan peran tindakan untuk mengenali penerapan identitas tertentu.

Mari kita perhatikan fitur siklus tugas yang berkaitan dengan identitas untuk fungsi dasar. Ciri-ciri ini disebabkan oleh fakta bahwa, pertama, identitas yang bersangkutan dipelajari sehubungan dengan studi materi fungsional dan, kedua, mereka muncul lebih lambat dari identitas kelompok pertama dan dipelajari dengan menggunakan keterampilan yang sudah terbentuk untuk melakukan transformasi identitas. .

Setiap fungsi dasar yang baru diperkenalkan secara dramatis memperluas jangkauan angka yang dapat ditunjuk dan diberi nama secara individual. Oleh karena itu, kelompok tugas siklus pertama harus mencakup tugas untuk membangun hubungan antara domain numerik baru ini dan domain asli bilangan rasional. Mari kita beri contoh tugas-tugas tersebut.

Contoh 1. Hitung:

Di samping setiap ekspresi, sebuah identitas ditunjukkan, dalam siklus di mana tugas yang diusulkan mungkin ada. Tujuan dari tugas-tugas tersebut adalah untuk menguasai ciri-ciri rekaman, termasuk simbol-simbol operasi dan fungsi baru, dan untuk mengembangkan keterampilan berbicara matematika.

Sebagian besar penggunaan transformasi identitas yang terkait dengan fungsi dasar terjadi pada penyelesaian persamaan irasional dan transendental. Siklus yang berkaitan dengan asimilasi identitas hanya mencakup persamaan yang paling sederhana, tetapi di sini disarankan untuk melakukan upaya untuk menguasai metode penyelesaian persamaan tersebut: mereduksinya dengan mengganti persamaan aljabar yang tidak diketahui.

Urutan langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

a) temukan fungsi yang persamaannya dapat direpresentasikan dalam bentuk;

b) melakukan substitusi dan menyelesaikan persamaan;

c) selesaikan setiap persamaan , dimana himpunan akar-akar persamaan tersebut .

Bila menggunakan metode yang dijelaskan, langkah b) sering kali dilakukan secara implisit, tanpa memperkenalkan notasi untuk . Selain itu, siswa sering kali lebih memilih, dari berbagai jalur menuju pencarian jawaban, memilih salah satu yang mengarah ke persamaan aljabar dengan lebih cepat dan mudah.

Contoh 2. Selesaikan persamaannya.

Cara pertama:

Cara kedua:

A)

B)

Di sini Anda dapat melihat bahwa dengan metode pertama, langkah a) lebih sulit dibandingkan dengan metode kedua. Metode pertama “lebih sulit untuk memulai”, meskipun solusi selanjutnya jauh lebih sederhana. Sebaliknya, metode yang kedua mempunyai kelebihan yaitu lebih mudah dan lebih presisi dalam pembelajaran mereduksi ke persamaan aljabar.

Untuk kursus aljabar sekolah, tugas-tugas tipikal adalah transisi ke persamaan aljabar bahkan lebih sederhana daripada contoh ini. Beban utama dari tugas-tugas tersebut berkaitan dengan identifikasi langkah c) sebagai bagian independen dari proses penyelesaian yang terkait dengan penggunaan sifat-sifat fungsi dasar yang dipelajari.

Contoh 3. Selesaikan persamaan:

A) ; B) .

Persamaan ini direduksi menjadi persamaan: a) atau ; b) atau . Untuk menyelesaikan persamaan ini, hanya diperlukan pengetahuan tentang fakta paling sederhana tentang fungsi eksponensial: monotonisitasnya, rentang nilainya. Seperti contoh sebelumnya, persamaan a) dan b) dapat diklasifikasikan sebagai kelompok pertama dari rangkaian latihan penyelesaian persamaan kuadrat eksponensial.

Jadi, kita sampai pada klasifikasi tugas dalam siklus yang berkaitan dengan penyelesaian persamaan transendental yang mencakup fungsi eksponensial:

1) persamaan yang direduksi menjadi persamaan bentuk dan mempunyai jawaban umum yang sederhana: ;

2) persamaan yang direduksi menjadi persamaan , dimana adalah bilangan bulat, atau , dimana ;

3) persamaan yang direduksi menjadi persamaan dan memerlukan analisis eksplisit terhadap bentuk penulisan bilangan tersebut.

Tugas fungsi dasar lainnya dapat diklasifikasikan dengan cara yang sama.

Sebagian besar identitas yang dipelajari dalam mata kuliah aljabar dan aljabar serta prinsip-prinsip analisis dibuktikan di dalamnya atau, setidaknya, dijelaskan. Aspek kajian identitas ini sangat penting untuk kedua mata kuliah tersebut, karena penalaran pembuktian di dalamnya dilakukan dengan sangat jelas dan teliti justru dalam kaitannya dengan identitas. Di luar materi ini, bukti biasanya kurang lengkap; tidak selalu dapat dibedakan dari pembuktian yang digunakan.

Sifat-sifat operasi aritmatika digunakan sebagai pendukung di mana pembuktian identitas dibangun.

Dampak pendidikan dari perhitungan dan transformasi identik dapat ditujukan pada pengembangan pemikiran logis, jika saja siswa dituntut secara sistematis untuk membenarkan perhitungan dan transformasi identik, dan pada pengembangan pemikiran fungsional, yang dicapai dengan berbagai cara. Pentingnya perhitungan dan transformasi serupa dalam pengembangan kemauan, ingatan, kecerdasan, pengendalian diri, dan inisiatif kreatif cukup jelas.

Tuntutan praktik komputasi sehari-hari dan industri mengharuskan siswa untuk mengembangkan keterampilan otomatis yang kuat dalam perhitungan rasional dan transformasi identitas. Keterampilan ini dikembangkan dalam proses pekerjaan komputasi apa pun, namun latihan khusus dalam perhitungan dan transformasi cepat diperlukan.

Jadi, jika pelajaran melibatkan penyelesaian persamaan logaritma dengan menggunakan identitas logaritma dasar, maka akan berguna untuk memasukkan dalam rencana pelajaran latihan lisan tentang menyederhanakan atau menghitung nilai ekspresi: , , . Tujuan latihan selalu dikomunikasikan kepada siswa. Selama latihan, mungkin perlu meminta siswa untuk membenarkan transformasi individu, tindakan, atau solusi terhadap keseluruhan masalah, bahkan jika hal ini tidak direncanakan. Apabila terdapat kemungkinan cara penyelesaian masalah yang berbeda, disarankan untuk selalu mengajukan pertanyaan: “Bagaimana masalah diselesaikan?”, “Siapa yang memecahkan masalah dengan cara yang berbeda?”

Konsep identitas dan transformasi identitas diperkenalkan secara eksplisit pada mata kuliah aljabar kelas VI. Definisi dari ekspresi identik tidak dapat digunakan secara praktis untuk membuktikan identitas dua ekspresi, dan memahami bahwa esensi dari transformasi identik adalah menerapkan definisi dan properti dari tindakan yang ditunjukkan dalam ekspresi, atau untuk menambahkan ke ekspresi. itu ekspresi yang identik sama dengan 0, atau mengalikannya dengan ekspresi yang identik sama dengan satu. Tetapi bahkan setelah menguasai ketentuan-ketentuan ini, siswa seringkali tidak memahami mengapa transformasi ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa ekspresi asli dan ekspresi yang dihasilkan adalah identik, yaitu. mengambil nilai yang sama untuk sistem (kumpulan) nilai variabel apa pun.

Penting juga untuk memastikan bahwa siswa memahami dengan jelas bahwa kesimpulan dari transformasi identik tersebut merupakan konsekuensi dari definisi dan sifat dari tindakan yang bersangkutan.

Aparatur transformasi identitas yang terakumulasi pada tahun-tahun sebelumnya diperluas di kelas VI. Perluasan ini dimulai dengan pengenalan identitas yang menyatakan sifat perkalian pangkat dengan basis yang sama: , di mana , adalah bilangan bulat.

§3. Program matematika. Dalam kursus sekolah “Aljabar dan permulaan analisis”, siswa secara sistematis mempelajari fungsi eksponensial dan logaritma serta sifat-sifatnya, transformasi identik ekspresi logaritma dan eksponensial serta penerapannya untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang bersesuaian, dan menjadi akrab dengan konsep dan pernyataan dasar. . Di kelas 11, pelajaran aljabar memakan waktu 3 jam seminggu, dengan total 102 jam setahun. Program ini membutuhkan waktu 36 jam untuk mempelajari fungsi eksponensial, logaritma, dan pangkat. Program ini mencakup pertimbangan dan studi tentang isu-isu berikut: Konsep gelar dengan eksponen rasional. Memecahkan persamaan irasional. Fungsi eksponensial, sifat-sifatnya dan grafiknya. Transformasi identik dari ekspresi eksponensial. Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial. Logaritma suatu bilangan. Sifat dasar logaritma. Fungsi logaritma, sifat-sifatnya dan grafiknya. Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Turunan dari fungsi eksponensial. Bilangan dan logaritma natural. Turunan dari fungsi pangkat. Tujuan utama mata pelajaran fungsi eksponensial dan logaritma adalah untuk mengenalkan siswa pada fungsi eksponensial, logaritma, dan pangkat; mengajar siswa untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma. Konsep akar ke-th dan derajat dengan eksponen rasional merupakan generalisasi dari konsep akar kuadrat dan derajat dengan eksponen bilangan bulat. Siswa harus memperhatikan fakta bahwa sifat-sifat akar dan pangkat dengan eksponen rasional yang dibahas di sini serupa dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh akar kuadrat dan pangkat dengan eksponen bilangan bulat yang telah dipelajari sebelumnya. Penting untuk mencurahkan cukup waktu untuk mempraktikkan sifat-sifat derajat dan mengembangkan keterampilan transformasi identitas. Konsep gelar dengan eksponen irasional diperkenalkan atas dasar visual dan intuitif. Materi ini berperan sebagai pembantu dan digunakan saat memperkenalkan fungsi eksponensial. Studi tentang sifat-sifat fungsi eksponensial, logaritma, dan pangkat dibangun sesuai dengan skema umum yang diterima untuk mempelajari fungsi. Dalam hal ini, gambaran umum properti diberikan tergantung pada nilai parameter. Pertidaksamaan eksponensial dan logaritma diselesaikan berdasarkan sifat-sifat fungsi yang dipelajari. Ciri khas mata kuliah ini adalah sistematisasi dan generalisasi pengetahuan siswa, pemantapan dan pengembangan keterampilan yang diperoleh dalam mata kuliah aljabar, yang dilakukan baik pada saat mempelajari materi baru maupun pada saat melakukan pengulangan umum.
Bab 2. Transformasi identik dan perhitungan ekspresi eksponensial dan logaritma

§1. Generalisasi konsep derajat.

Definisi: Akar ke-th suatu bilangan murni adalah bilangan yang pangkatnya sama dengan .

Menurut definisi ini, akar ke-th suatu bilangan adalah solusi persamaan tersebut. Banyaknya akar persamaan ini bergantung pada dan. Mari kita pertimbangkan fungsinya. Seperti diketahui, pada interval fungsi ini meningkat untuk nilai berapa pun dan mengambil semua nilai dari interval tersebut. Menurut teorema akar, persamaan untuk sembarang memiliki akar non-negatif dan, terlebih lagi, hanya satu. Disebut akar aritmatika derajat ke-th suatu bilangan dan dilambangkan dengan ; bilangan tersebut disebut eksponen radikal, dan bilangan itu sendiri disebut ekspresi radikal. Tandanya disebut juga radikal.

Definisi: Akar aritmatika pangkat ke-th suatu bilangan adalah bilangan tak negatif yang pangkatnya sama dengan .

Untuk bilangan genap fungsinya genap. Oleh karena itu jika , maka persamaan tersebut selain memiliki akar, juga mempunyai akar. Jika , maka ada satu akar: ; jika , maka persamaan ini tidak mempunyai akar, karena pangkat genap suatu bilangan adalah non-negatif.

Untuk nilai ganjil, fungsinya bertambah sepanjang garis bilangan; jangkauannya adalah himpunan semua bilangan real. Dengan menerapkan teorema akar, kita mendapatkan bahwa persamaan tersebut mempunyai satu akar untuk sembarang dan, khususnya, untuk . Akar untuk nilai apa pun dilambangkan dengan .

Untuk akar-akar yang berderajat ganjil, persamaannya berlaku. Faktanya, , yaitu. bilangan adalah akar ke-th dari . Tapi akar ganjil seperti itu adalah satu-satunya. Karena itu, .

Catatan 1: Untuk semua yang nyata

Mari kita mengingat kembali sifat-sifat akar aritmatika derajat ke-th yang diketahui.

Untuk bilangan asli apa pun, bilangan bulat dan bilangan bulat non-negatif serta persamaannya valid:

1.

2.

3.

4.

Gelar dengan eksponen rasional.

Ekspresi ini didefinisikan untuk semua dan kecuali kasus di . Mari kita mengingat kembali sifat-sifat kekuatan tersebut.

Untuk bilangan apa pun, dan bilangan bulat apa pun serta persamaannya valid:

Kita juga mencatat bahwa jika , maka untuk dan untuk .. dan

Bagi siswa yang mengikuti UN Unified State, guru matematika di sekolah menengah No. 26 di Yakutsk menggunakan daftar soal isi (codifier) ​​​​mata kuliah matematika sekolah yang penguasaannya diuji ketika lulus UN Unified State tahun 2007. Mata kuliah pilihan dalam persiapan UN Unified State didasarkan pada pengulangan, sistematisasi dan pendalaman ilmu yang diperoleh sebelumnya. Kelas diadakan dalam bentuk gratis...

Contoh 1 . Menghitung:

Di samping setiap ekspresi, sebuah identitas ditunjukkan, dalam siklus di mana tugas yang diusulkan mungkin ada. Tujuan dari tugas-tugas tersebut adalah untuk menguasai ciri-ciri rekaman, termasuk simbol-simbol operasi dan fungsi baru, dan untuk mengembangkan keterampilan berbicara matematika.

Sebagian besar penggunaan transformasi identitas yang terkait dengan fungsi dasar terjadi pada penyelesaian persamaan irasional dan transendental. Siklus yang berkaitan dengan asimilasi identitas hanya mencakup persamaan yang paling sederhana, tetapi di sini disarankan untuk melakukan upaya untuk menguasai metode penyelesaian persamaan tersebut: mereduksinya dengan mengganti persamaan aljabar yang tidak diketahui.

Urutan langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

a) temukan fungsinya

, yang persamaannya dapat direpresentasikan sebagai ;

b) melakukan pergantian pemain

dan selesaikan persamaannya;

c) menyelesaikan setiap persamaan

, dimana adalah himpunan akar persamaan .

Saat menggunakan metode yang dijelaskan, langkah b) sering kali dilakukan secara implisit, tanpa memperkenalkan notasi

. Selain itu, siswa sering kali lebih memilih, dari berbagai jalur menuju pencarian jawaban, memilih salah satu yang mengarah ke persamaan aljabar dengan lebih cepat dan mudah.

Contoh 2 . Selesaikan persamaannya

.

Cara pertama:

Cara kedua:

Di sini Anda dapat melihat bahwa dengan metode pertama, langkah a) lebih sulit dibandingkan dengan metode kedua. Metode pertama “lebih sulit untuk memulai”, meskipun solusi selanjutnya jauh lebih sederhana. Sebaliknya, metode yang kedua mempunyai kelebihan yaitu lebih mudah dan lebih presisi dalam pembelajaran mereduksi ke persamaan aljabar.

Untuk kursus aljabar sekolah, tugas-tugas tipikal adalah transisi ke persamaan aljabar bahkan lebih sederhana daripada contoh ini. Beban utama dari tugas-tugas tersebut berkaitan dengan identifikasi langkah c) sebagai bagian independen dari proses penyelesaian yang terkait dengan penggunaan sifat-sifat fungsi dasar yang dipelajari.

Contoh 3 . Selesaikan persamaan:

; B) .

Persamaan ini direduksi menjadi persamaan: a)

atau ; b) atau . Untuk menyelesaikan persamaan ini, hanya diperlukan pengetahuan tentang fakta paling sederhana tentang fungsi eksponensial: monotonisitasnya, rentang nilainya. Seperti contoh sebelumnya, persamaan a) dan b) dapat diklasifikasikan sebagai kelompok pertama dari rangkaian latihan penyelesaian persamaan kuadrat eksponensial.

Jadi, kita sampai pada klasifikasi tugas dalam siklus yang berkaitan dengan penyelesaian persamaan transendental yang mencakup fungsi eksponensial:

1) persamaan yang direduksi menjadi persamaan bentuk

dan memiliki jawaban yang sederhana dan umum: ;

2) persamaan yang direduksi menjadi persamaan

, dimana adalah bilangan bulat, atau , dimana ;

3) persamaan yang direduksi menjadi persamaan

dan memerlukan analisis eksplisit terhadap bentuk penulisan angka tersebut .

Tugas fungsi dasar lainnya dapat diklasifikasikan dengan cara yang sama.

Sebagian besar identitas yang dipelajari dalam mata kuliah aljabar dan aljabar serta prinsip-prinsip analisis dibuktikan di dalamnya atau, setidaknya, dijelaskan. Aspek kajian identitas ini sangat penting untuk kedua mata kuliah tersebut, karena penalaran pembuktian di dalamnya dilakukan dengan sangat jelas dan teliti justru dalam kaitannya dengan identitas. Di luar materi ini, bukti biasanya kurang lengkap; tidak selalu dapat dibedakan dari pembuktian yang digunakan.

Sifat-sifat operasi aritmatika digunakan sebagai pendukung di mana pembuktian identitas dibangun.

Dampak pendidikan dari perhitungan dan transformasi identik dapat ditujukan pada pengembangan pemikiran logis, jika saja siswa dituntut secara sistematis untuk membenarkan perhitungan dan transformasi identik, dan pada pengembangan pemikiran fungsional, yang dicapai dengan berbagai cara. Pentingnya perhitungan dan transformasi serupa dalam pengembangan kemauan, ingatan, kecerdasan, pengendalian diri, dan inisiatif kreatif cukup jelas.

Tuntutan praktik komputasi sehari-hari dan industri mengharuskan siswa untuk mengembangkan keterampilan otomatis yang kuat dalam perhitungan rasional dan transformasi identitas. Keterampilan ini dikembangkan dalam proses pekerjaan komputasi apa pun, namun latihan khusus dalam perhitungan dan transformasi cepat diperlukan.

Jadi, jika pelajarannya melibatkan penyelesaian persamaan logaritma menggunakan identitas logaritma dasar

, maka ada baiknya untuk memasukkan dalam rencana pelajaran latihan lisan tentang menyederhanakan atau menghitung arti ungkapan: , , . Tujuan latihan selalu dikomunikasikan kepada siswa. Selama latihan, mungkin perlu meminta siswa untuk membenarkan transformasi individu, tindakan, atau solusi terhadap keseluruhan masalah, bahkan jika hal ini tidak direncanakan. Apabila terdapat kemungkinan cara penyelesaian masalah yang berbeda, disarankan untuk selalu mengajukan pertanyaan: “Bagaimana masalah diselesaikan?”, “Siapa yang memecahkan masalah dengan cara yang berbeda?”

Konsep identitas dan transformasi identitas diperkenalkan secara eksplisit pada mata kuliah aljabar kelas VI. Definisi dari ekspresi identik tidak dapat digunakan secara praktis untuk membuktikan identitas dua ekspresi, dan memahami bahwa esensi dari transformasi identik adalah menerapkan definisi dan properti dari tindakan yang ditunjukkan dalam ekspresi, atau untuk menambahkan ke ekspresi. itu ekspresi yang identik sama dengan 0, atau mengalikannya dengan ekspresi yang identik sama dengan satu. Tetapi bahkan setelah menguasai ketentuan-ketentuan ini, siswa seringkali tidak memahami mengapa transformasi ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa ekspresi asli dan ekspresi yang dihasilkan adalah identik, yaitu. mengambil nilai yang sama untuk sistem (kumpulan) nilai variabel apa pun.

Penting juga untuk memastikan bahwa siswa memahami dengan jelas bahwa kesimpulan dari transformasi identik tersebut merupakan konsekuensi dari definisi dan sifat dari tindakan yang bersangkutan.

Aparatur transformasi identitas yang terakumulasi pada tahun-tahun sebelumnya diperluas di kelas VI. Perluasan ini dimulai dengan memperkenalkan identitas yang menyatakan properti produk kekuasaan dengan dasar yang sama:

Konsep gelar dengan eksponen rasional. Memecahkan persamaan irasional. Fungsi eksponensial, sifat-sifatnya dan grafiknya. Transformasi identik dari ekspresi eksponensial. Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial. Logaritma suatu bilangan. Sifat dasar logaritma. Fungsi logaritma, sifat-sifatnya dan grafiknya. Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Turunan dari fungsi eksponensial. Bilangan dan logaritma natural. Turunan dari fungsi pangkat.

Tujuan utama mata pelajaran fungsi eksponensial dan logaritma adalah untuk mengenalkan siswa pada fungsi eksponensial, logaritma, dan pangkat; mengajar siswa untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma.

Konsep akar ke-th dan derajat dengan eksponen rasional merupakan generalisasi dari konsep akar kuadrat dan derajat dengan eksponen bilangan bulat. Siswa harus memperhatikan fakta bahwa sifat-sifat akar dan pangkat dengan eksponen rasional yang dibahas di sini serupa dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh akar kuadrat dan pangkat dengan eksponen bilangan bulat yang telah dipelajari sebelumnya. Penting untuk mencurahkan cukup waktu untuk mempraktikkan sifat-sifat derajat dan mengembangkan keterampilan transformasi identitas. Konsep gelar dengan eksponen irasional diperkenalkan atas dasar visual dan intuitif. Materi ini berperan sebagai pembantu dan digunakan saat memperkenalkan fungsi eksponensial.

Studi tentang sifat-sifat fungsi eksponensial, logaritma, dan pangkat dibangun sesuai dengan skema umum yang diterima untuk mempelajari fungsi. Dalam hal ini, gambaran umum properti diberikan tergantung pada nilai parameter. Pertidaksamaan eksponensial dan logaritma diselesaikan berdasarkan sifat-sifat fungsi yang dipelajari.

Ciri khas mata kuliah ini adalah sistematisasi dan generalisasi pengetahuan siswa, pemantapan dan pengembangan keterampilan yang diperoleh dalam mata kuliah aljabar, yang dilakukan baik pada saat mempelajari materi baru maupun pada saat melakukan pengulangan umum.