Rumus penjumlahan: bukti, contoh. Rumus trigonometri Rumus penjumlahan dan selisih fungsi trigonometri

Saya tidak akan mencoba meyakinkan Anda untuk tidak menulis lembar contekan. Menulis! Termasuk contekan trigonometri. Nanti saya berencana untuk menjelaskan mengapa contekan diperlukan dan mengapa contekan berguna. Dan berikut informasinya bukan untuk mempelajarinya, melainkan untuk mengingat beberapa rumus trigonometri. Jadi - trigonometri tanpa lembar contekan! Kami menggunakan asosiasi untuk menghafal.

1. Rumus penjumlahan:

Kosinus selalu “berpasangan”: kosinus-kosinus, sinus-sinus. Dan satu hal lagi: cosinus “tidak memadai”. Bagi mereka “semuanya salah”, jadi mereka mengubah tanda: “-” menjadi “+”, dan sebaliknya.

Sinus - “campuran”: sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Rumus jumlah dan selisih:

cosinus selalu “berpasangan”. Dengan menambahkan dua kosinus - "kolobok", kita mendapatkan sepasang kosinus - "kolobok". Dan dengan melakukan pengurangan pasti kita tidak akan mendapatkan kolobok apapun. Kami mendapatkan beberapa sinus. Juga dengan minus di depan.

Sinus - “campuran” :

3. Rumus untuk mengubah suatu hasil kali menjadi jumlah dan selisih.

Kapan kita mendapatkan pasangan cosinus? Saat kita menjumlahkan cosinus. Itu sebabnya

Kapan kita mendapatkan beberapa sinus? Saat mengurangkan cosinus. Dari sini:

"Pencampuran" diperoleh dengan menjumlahkan dan mengurangkan sinus. Mana yang lebih menyenangkan: menambah atau mengurangi? Itu benar, lipat. Dan untuk rumusnya mereka mengambil tambahan:

Pada rumus pertama dan ketiga, jumlahnya ada di dalam tanda kurung. Menata ulang tempat suku-suku tersebut tidak mengubah jumlahnya. Urutannya penting hanya untuk rumus kedua. Namun agar tidak bingung, agar mudah diingat, pada ketiga rumus pada tanda kurung pertama kita ambil selisihnya.

dan kedua, jumlahnya

Lembar contekan di saku Anda memberi Anda ketenangan pikiran: jika Anda lupa rumusnya, Anda dapat menyalinnya. Dan mereka memberi Anda kepercayaan diri: jika Anda gagal menggunakan lembar contekan, Anda dapat dengan mudah mengingat rumusnya.

Rumus penjumlahan digunakan untuk menyatakan melalui sinus dan cosinus sudut a dan b, nilai fungsi cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).

Rumus penjumlahan sinus dan cosinus

Teorema: Untuk sembarang a dan b, persamaan berikut ini benar: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

Mari kita buktikan teorema ini. Perhatikan gambar berikut:

Di atasnya, titik Ma, M-b, M(a+b) diperoleh dengan memutar titik Mo berturut-turut membentuk sudut a, -b, dan a+b. Dari definisi sinus dan cosinus, koordinat titik-titik tersebut adalah sebagai berikut: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+ b) (cos(a+ b); dosa(a+b)). SudutMoOM(a+b) = sudutM-bOMa, maka segitiga MoOM(a+b) dan M-bOMa adalah sama besar dan keduanya sama kaki. Artinya basis MoM(a-b) dan M-bMa adalah sama. Oleh karena itu, (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, kita peroleh:

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.

sin(-a) = -sin(a) dan cos(-a) = cos(a). Mari kita ubah persamaan kita dengan mempertimbangkan rumus-rumus ini dan kuadrat jumlah dan selisihnya, lalu:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

Sekarang kita terapkan identitas trigonometri dasar:

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

Mari kita berikan yang serupa dan kurangi -2:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.

Rumus berikut juga valid:

• cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
• sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
• sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).

Rumus tersebut dapat diperoleh dari pembuktian di atas dengan menggunakan rumus reduksi dan mengganti b dengan -b. Ada juga rumus penjumlahan untuk tangen dan kotangen, tetapi rumus tersebut tidak berlaku untuk semua argumen.

Rumus penjumlahan garis singgung dan kotangen

Untuk semua sudut a,b kecuali a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n dan a+b =pi/2 +pi*m, untuk sembarang bilangan bulat k,n,m, persamaan berikut akan terjadi jadilah rumus yang benar:

tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Untuk semua sudut a,b kecuali a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n dan a-b =pi/2 +pi*m, untuk sembarang bilangan bulat k,n,m rumusnya adalah sebagai berikut sah:

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

Untuk semua sudut a,b kecuali a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m dan untuk semua bilangan bulat k,n,m rumus berikut akan berlaku:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).

Kami melanjutkan percakapan kami tentang rumus yang paling sering digunakan dalam trigonometri. Yang paling penting di antaranya adalah rumus penjumlahan.

Definisi 1

Rumus penjumlahan memungkinkan Anda menyatakan fungsi selisih atau jumlah dua sudut menggunakan fungsi trigonometri sudut tersebut.

Pertama, kami akan memberikan daftar lengkap rumus penjumlahan, kemudian kami akan membuktikannya dan menganalisis beberapa contoh ilustrasi.

Yandex.RTB RA-339285-1

Rumus penjumlahan dasar dalam trigonometri

Ada delapan rumus dasar: sinus jumlah dan sinus selisih dua sudut, cosinus jumlah dan selisih, tangen dan kotangen jumlah dan selisih. Di bawah ini adalah formulasi dan perhitungan standarnya.

1. Sinus jumlah dua sudut dapat diperoleh sebagai berikut:

Kami menghitung produk sinus sudut pertama dan kosinus sudut kedua;

Kalikan kosinus sudut pertama dengan sinus sudut pertama;

Jumlahkan nilai yang dihasilkan.

Penulisan grafis rumusnya seperti ini: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. Sinus selisih dihitung dengan cara yang hampir sama, hanya saja hasil perkaliannya tidak perlu dijumlahkan, melainkan dikurangkan satu sama lain. Jadi, kita menghitung hasil kali sinus sudut pertama dan kosinus sudut kedua dan kosinus sudut pertama dan sinus sudut kedua dan menemukan perbedaannya. Rumusnya ditulis seperti ini: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Kosinus jumlah tersebut. Untuk itu, kita mencari hasil kali cosinus sudut pertama dengan kosinus sudut kedua dan sinus sudut pertama dengan sinus sudut kedua, dan mencari selisihnya: cos (α + β) = cos α · cos β - dosa α · dosa β

4. Kosinus selisih: hitung hasil kali sinus dan kosinus sudut-sudut ini, seperti sebelumnya, dan jumlahkan. Rumus: cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

5. Garis singgung penjumlahan. Rumus ini dinyatakan sebagai pecahan, yang pembilangnya adalah jumlah garis singgung sudut-sudut yang diinginkan, dan penyebutnya adalah satuan yang mengurangkan hasil kali garis singgung sudut-sudut yang diinginkan. Semuanya jelas dari notasi grafisnya: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Garis singgung selisihnya. Kami menghitung nilai selisih dan hasil kali garis singgung sudut-sudut ini dan memprosesnya dengan cara yang sama. Pada penyebut kita tambahkan satu, dan bukan sebaliknya: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Kotangen jumlah. Untuk menghitung menggunakan rumus ini, kita memerlukan hasil kali dan jumlah kotangen sudut-sudut tersebut, yang kita lakukan sebagai berikut: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. Kotangen selisihnya . Rumusnya mirip dengan rumus sebelumnya, namun pembilang dan penyebutnya dikurangi, bukan ditambah c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

Anda mungkin memperhatikan bahwa rumus-rumus ini berpasangan serupa. Dengan menggunakan tanda ± (plus-minus) dan ∓ (minus-plus), kita dapat mengelompokkannya untuk memudahkan pencatatan:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

Oleh karena itu, kita mempunyai satu rumus untuk mencatat jumlah dan selisih setiap nilai, hanya dalam satu kasus kita memperhatikan tanda atas, dalam kasus lain – ke tanda bawah.

Definisi 2

Kita dapat mengambil sudut mana pun α dan β, dan rumus penjumlahan untuk kosinus dan sinus dapat digunakan untuk sudut tersebut. Jika kita dapat menentukan dengan benar nilai garis singgung dan kotangen sudut-sudut tersebut, maka rumus penjumlahan tangen dan kotangen juga berlaku untuk sudut-sudut tersebut.

Seperti kebanyakan konsep dalam aljabar, rumus penjumlahan dapat dibuktikan. Rumus pertama yang akan kita buktikan adalah rumus selisih cosinus. Dari situ Anda kemudian dapat dengan mudah menyimpulkan bukti-bukti lainnya.

Mari kita perjelas konsep dasarnya. Kita memerlukan lingkaran satuan. Ini akan berhasil jika kita mengambil titik A tertentu dan memutar sudut α dan β di sekitar pusat (titik O). Maka sudut antara vektor O A 1 → dan O A → 2 akan sama dengan (α - β) + 2 π · z atau 2 π - (α - β) + 2 π · z (z adalah bilangan bulat apa pun). Vektor yang dihasilkan membentuk sudut yang sama dengan α - β atau 2 π - (α - β), atau mungkin berbeda dari nilai ini dengan bilangan bulat putaran penuh. Lihatlah gambar:

Kami menggunakan rumus reduksi dan mendapatkan hasil sebagai berikut:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Hasil: kosinus sudut antara vektor O A 1 → dan O A 2 → sama dengan kosinus sudut α - β, maka cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Mari kita ingat kembali definisi sinus dan cosinus: sinus adalah fungsi sudut, sama dengan perbandingan kaki sudut yang berhadapan dengan sisi miring, cosinus adalah sinus sudut yang saling melengkapi. Oleh karena itu, poinnya Sebuah 1 Dan Sebuah 2 mempunyai koordinat (cos α, sin α) dan (cos β, sin β).

Kami mendapatkan yang berikut:

O A 1 → = (cos α, sin α) dan O A 2 → = (cos β, sin β)

Jika kurang jelas, lihat koordinat titik-titik yang terletak di awal dan akhir vektor.

Panjang vektor sama dengan 1, karena Kami memiliki lingkaran satuan.

Sekarang mari kita menganalisis hasil kali skalar dari vektor O A 1 → dan O A 2 → . Secara koordinat terlihat seperti ini:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

Dari sini kita dapat memperoleh persamaan:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Dengan demikian, rumus selisih cosinus terbukti.

Sekarang kita akan membuktikan rumus berikut - kosinus jumlah tersebut. Ini lebih mudah karena kita bisa menggunakan perhitungan sebelumnya. Mari kita ambil representasi α + β = α - (- β) . Kita punya:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Ini adalah bukti rumus jumlah cosinus. Baris terakhir menggunakan sifat sinus dan kosinus sudut yang berlawanan.

Rumus sinus suatu penjumlahan dapat diturunkan dari rumus kosinus selisih. Mari kita ambil rumus reduksi untuk ini:

berbentuk sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Jadi
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

Dan berikut ini bukti rumus selisih sinus :

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Perhatikan penggunaan sifat sinus dan cosinus sudut berlawanan pada perhitungan terakhir.

Selanjutnya kita membutuhkan pembuktian rumus penjumlahan tangen dan kotangen. Mari kita ingat definisi dasarnya (tangen adalah perbandingan sinus dan kosinus, dan kotangen adalah sebaliknya) dan ambil rumus yang sudah diturunkan sebelumnya. Kita berhasil:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Kami memiliki pecahan kompleks. Selanjutnya, kita perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan cos α · cos β, mengingat cos α ≠ 0 dan cos β ≠ 0, kita peroleh:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

Sekarang kita kurangi pecahannya dan dapatkan rumus berikut: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · sin β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Kita mendapatkan t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Ini adalah bukti rumus penjumlahan tangen.

Rumus selanjutnya yang akan kita buktikan adalah rumus selisih tangen. Semuanya terlihat jelas dalam perhitungan:

tg (α - β) = tg (α + (- β)) = tg α + tg (- β) 1 - tg α tg (- β) = tg α - tg β 1 + tg α tg β

Rumus kotangen dibuktikan dengan cara serupa:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Lebih jauh:
c tg (α - β) = c tg  (α + (- β)) = - 1 + c tg α c tg (- β) c tg α + ctg (- β) = - 1 - c tg α c tg β ctg α - ctg β

Hubungan antara fungsi trigonometri dasar - sinus, kosinus, tangen, dan kotangen - diberikan rumus trigonometri. Dan karena terdapat cukup banyak hubungan antara fungsi trigonometri, hal ini menjelaskan banyaknya rumus trigonometri. Beberapa rumus menghubungkan fungsi trigonometri dengan sudut yang sama, yang lain - fungsi kelipatan sudut, yang lain - memungkinkan Anda untuk mengurangi derajat, yang keempat - menyatakan semua fungsi melalui garis singgung setengah sudut, dll.

Pada artikel ini kami akan mencantumkan semua rumus dasar trigonometri secara berurutan, yang cukup untuk menyelesaikan sebagian besar masalah trigonometri. Untuk kemudahan menghafal dan penggunaan, kami akan mengelompokkannya berdasarkan tujuan dan memasukkannya ke dalam tabel.

Navigasi halaman.

Identitas trigonometri dasar

Identitas trigonometri dasar mendefinisikan hubungan antara sinus, cosinus, tangen dan kotangen suatu sudut. Mereka mengikuti pengertian sinus, cosinus, tangen dan kotangen, serta konsep lingkaran satuan. Mereka memungkinkan Anda untuk mengekspresikan satu fungsi trigonometri dalam fungsi lainnya.

Untuk penjelasan rinci tentang rumus-rumus trigonometri ini, turunannya dan contoh penerapannya, lihat artikel.

Rumus reduksi

Rumus reduksi mengikuti sifat-sifat sinus, kosinus, tangen, dan kotangen, yaitu mencerminkan sifat periodisitas fungsi trigonometri, sifat simetri, serta sifat pergeseran sudut tertentu. Rumus trigonometri ini memungkinkan Anda beralih dari bekerja dengan sudut sembarang ke bekerja dengan sudut mulai dari nol hingga 90 derajat.

Alasan rumus-rumus ini, aturan mnemonik untuk menghafalnya dan contoh penerapannya dapat dipelajari di artikel.

Rumus penjumlahan

Rumus penjumlahan trigonometri Tunjukkan bagaimana fungsi trigonometri dari jumlah atau selisih dua sudut dinyatakan dalam fungsi trigonometri sudut-sudut tersebut. Rumus-rumus ini menjadi dasar untuk menurunkan rumus trigonometri berikut.

Rumus untuk ganda, tiga kali lipat, dll. sudut

Rumus untuk ganda, tiga kali lipat, dll. sudut (disebut juga rumus sudut ganda) menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri rangkap dua, rangkap tiga, dan seterusnya. sudut () dinyatakan dalam fungsi trigonometri suatu sudut. Penurunannya didasarkan pada rumus penjumlahan.

Informasi lebih rinci dikumpulkan dalam artikel rumus ganda, rangkap tiga, dll. sudut

Rumus setengah sudut

Rumus setengah sudut Tunjukkan bagaimana fungsi trigonometri setengah sudut dinyatakan dalam kosinus seluruh sudut. Rumus trigonometri ini mengikuti rumus sudut ganda.

Kesimpulan dan contoh penerapannya dapat ditemukan di artikel.

Rumus pengurangan derajat

Rumus trigonometri untuk mengurangi derajat dirancang untuk memfasilitasi transisi dari pangkat alami fungsi trigonometri ke sinus dan cosinus pada derajat pertama, tetapi dari berbagai sudut. Dengan kata lain, mereka memungkinkan Anda untuk mereduksi pangkat fungsi trigonometri menjadi satu.

Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri

tujuan utama rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri adalah menuju ke hasil kali fungsi, yang sangat berguna saat menyederhanakan ekspresi trigonometri. Rumus ini juga banyak digunakan saat menyelesaikan persamaan trigonometri, karena memungkinkan Anda memfaktorkan jumlah dan selisih sinus dan cosinus.

Rumus hasil kali sinus, cosinus, dan sinus dengan kosinus

Peralihan dari hasil kali fungsi trigonometri ke jumlah atau selisih dilakukan dengan menggunakan rumus hasil kali sinus, cosinus, dan sinus dengan kosinus.

Substitusi trigonometri universal

Ulasan kami tentang rumus dasar trigonometri kami lengkapi dengan rumus yang menyatakan fungsi trigonometri dalam garis singgung setengah sudut. Penggantian ini disebut substitusi trigonometri universal. Kemudahannya terletak pada kenyataan bahwa semua fungsi trigonometri dinyatakan dalam garis singgung setengah sudut secara rasional tanpa akar.

Bibliografi.

• Aljabar: Buku pelajaran untuk kelas 9. rata-rata sekolah/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Pendidikan, 1990. - 272 hal.: sakit
• Bashmakov M.I. Aljabar dan awal mula analisis: Buku Ajar. untuk kelas 10-11. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
• Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk kelas 10-11. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov. - Edisi ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 hal.: sakit.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

Hak Cipta oleh siswa yang pandai

Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari situs ini, termasuk materi internal dan tampilannya, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.