Penjumlahan vektor yang arahnya berlawanan. Pelajaran "menunda suatu vektor dari suatu titik tertentu". Vektor mana yang sama

Sebelum beralih ke topik artikel, mari kita ingat kembali konsep dasarnya.

Definisi 1

Vektor– segmen garis lurus yang dicirikan oleh nilai numerik dan arah. Vektor dilambangkan dengan huruf latin kecil dengan tanda panah di atasnya. Jika terdapat titik batas tertentu, maka penunjukan vektor berbentuk dua huruf latin kapital (menandai batas vektor) juga dengan tanda panah di atasnya.

Definisi 2

vektor nol– titik mana pun pada bidang, yang ditetapkan sebagai nol dengan panah di atasnya.

Definisi 3

Panjang vektor– nilai yang sama dengan atau lebih besar dari nol yang menentukan panjang segmen yang membentuk vektor.

Definisi 4

Vektor kolinear– terletak pada satu garis atau pada garis sejajar. Vektor yang tidak memenuhi syarat ini disebut non-kolinear.

Masukan: vektor sebuah → Dan b →. Untuk melakukan operasi penjumlahan pada mereka, perlu untuk memplot vektor dari titik sembarang A B →, sama dengan vektor sebuah →; dari titik yang dihasilkan tidak terdefinisi – vektor B C →, sama dengan vektor b →. Dengan menghubungkan titik-titik tak terdefinisi dan C, kita mendapatkan sebuah segmen (vektor) AC →, yang akan menjadi jumlah dari data asli. Jika tidak, skema penjumlahan vektor yang dijelaskan disebut aturan segitiga.

Secara geometris, penjumlahan vektor terlihat seperti ini:

Untuk vektor non-kolinear:

Untuk vektor-vektor yang segaris (searah atau berlawanan):

Dengan mengambil skema yang dijelaskan di atas sebagai dasar, kita memperoleh kesempatan untuk melakukan operasi penjumlahan vektor dalam jumlah lebih besar dari 2: menjumlahkan setiap vektor berikutnya secara bergantian.

Definisi 6

Masukan: vektor sebuah → , b → , c →, d → . Dari titik sembarang A pada bidang, perlu untuk memplot segmen (vektor) yang sama dengan vektor sebuah →; kemudian dari ujung vektor yang dihasilkan sebuah vektor yang sama dengan vektor tersebut diberhentikan b →; kemudian, vektor-vektor selanjutnya ditata menggunakan prinsip yang sama. Titik akhir dari vektor yang ditangguhkan terakhir adalah titik B, dan segmen yang dihasilkan (vektor) A B →– jumlah semua data awal. Skema yang dijelaskan untuk menjumlahkan beberapa vektor disebut juga aturan poligon .

Secara geometris terlihat seperti ini:

Definisi 7

Skema tindakan terpisah untuk pengurangan vektor tidak karena pada dasarnya perbedaan vektor sebuah → Dan b → adalah jumlah vektor sebuah → Dan - b → .

Untuk melakukan tindakan mengalikan vektor dengan bilangan k tertentu, aturan berikut harus diperhatikan:
- jika k > 1, maka bilangan ini akan menyebabkan vektor teregang sebanyak k kali;
- jika 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 ribu kali;
- jika k< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- jika k = 1, maka vektornya tetap sama;
- jika salah satu faktornya adalah vektor nol atau bilangan sama dengan nol, maka hasil perkaliannya adalah vektor nol.

Data awal:
1) vektor sebuah → dan bilangan k = 2;
2) vektor b → dan bilangan k = - 1 3 .

Secara geometri, hasil perkalian sesuai aturan di atas akan terlihat seperti ini:

Operasi pada vektor yang dijelaskan di atas memiliki sifat, beberapa di antaranya jelas, sementara yang lain dapat dibenarkan secara geometris.

Masukan: vektor sebuah → , b → , c → dan sewenang-wenang bilangan realλ dan μ.

Sifat komutatifitas dan asosiatif memungkinkan penjumlahan vektor dalam urutan apa pun.

Properti operasi yang terdaftar memungkinkan Anda melakukan transformasi ekspresi vektor-numerik yang diperlukan dengan cara yang mirip dengan transformasi numerik biasa. Mari kita lihat ini dengan sebuah contoh.

Contoh 1

Tugas: sederhanakan persamaan a → - 2 · (b → + 3 · a →)
Larutan
- menggunakan sifat distribusi kedua, kita mendapatkan: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- kita menggunakan sifat asosiatif perkalian, ekspresi akan mengambil bentuk berikut: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = a → - 2 · b → - 6 a →
- menggunakan sifat komutatifitas, kita menukar suku-sukunya: a → - 2 · b → - 6 · a → = a → - 6 · a → - 2 · b →
- lalu dengan menggunakan sifat distribusi pertama kita peroleh: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → Notasi singkat penyelesaiannya akan terlihat seperti ini: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
Menjawab: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Beberapa besaran fisika, misalnya gaya atau kecepatan, tidak hanya dicirikan oleh nilai numerik, tetapi juga oleh arah. Besaran seperti ini disebut besaran vektor: F⃗ – kekuatan, ay⃗ – kecepatan.
Mari kita berikan definisi geometris dari sebuah vektor.
Vektor disebut segmen yang ditunjukkan titik batasnya yang mana yang dianggap awal dan mana yang akhir.
Dalam gambar, vektor digambarkan sebagai segmen dengan panah yang menunjukkan ujung vektor. Vektor dilambangkan dengan dua huruf latin kapital dengan tanda panah di atasnya. Huruf pertama menunjukkan awal vektor, huruf kedua menunjukkan akhir.

Vektor juga dapat dilambangkan dengan satu huruf latin kecil dengan tanda panah di atasnya.

Panjang suatu vektor adalah panjang ruas yang mewakili vektor tersebut. Tanda kurung vertikal digunakan untuk menunjukkan panjang suatu vektor.
Vektor yang ujungnya berimpit dengan titik awal disebut nol vektor. Vektor nol diwakili oleh sebuah titik dan dilambangkan dengan dua huruf yang identik atau angka nol dengan panah di atasnya. Panjang vektor nol adalah nol: |0 ⃗|= 0.

Mari kita perkenalkan konsepnya segaris vektor. Vektor-vektor tak nol disebut segaris jika terletak pada satu garis atau sejajar. Vektor nol dianggap kolinear terhadap vektor apa pun.

Jika vektor-vektor collinear bukan nol mempunyai arah yang sama, maka vektor-vektor tersebut akan searah. Jika arahnya berlawanan maka disebut berlawanan arah.
Untuk menyatakan vektor-vektor yang berarah bersama dan berarah berlawanan, terdapat notasi khusus:
- M ⃗ R⃗ jika vektor M⃗ dan R⃗ diarahkan bersama;
- M ⃗ ↓ N⃗ jika vektor M⃗ dan N⃗ berlawanan arah.
Perhatikan pergerakan sebuah mobil. Kecepatan setiap titiknya merupakan besaran vektor dan dinyatakan dengan ruas berarah. Karena semua titik pada mobil bergerak dengan kecepatan yang sama, semua segmen berarah yang menggambarkan kecepatan berbagai titik memiliki arah yang sama dan panjangnya sama. Contoh ini memberi kita petunjuk tentang cara menentukan apakah vektor-vektor itu sama.
Dua buah vektor dikatakan sama besar jika keduanya searah dan panjangnya sama. Persamaan vektor dapat ditulis dengan menggunakan tanda sama dengan: A ⃗ = B ⃗, KH ⃗ = O.E. ⃗
Jika intinya R awal vektor R⃗, maka kita anggap itu sebagai vektor R⃗ tertunda dari titik tersebut R.

Mari kita buktikan dari titik mana pun TENTANG Anda dapat memplot vektor yang sama dengan vektor tertentu R⃗, dan hanya satu saja.

Bukti:
1) Jika R⃗ adalah vektor nol OO ⃗ = R ⃗.
2) Jika vektor R⃗ bukan nol, titik R adalah awal dari vektor ini, dan titik T- akhir.
Mari kita bahas intinya TENTANG lurus, paralel RT. Pada garis yang dibangun kami memplot segmennya OA 1 dan OA 2 sama dengan segmen RT.

Mari kita pilih dari vektor OA 1 dan OA 2 vektor yang searah dengan vektor tersebut R⃗. Dalam gambar kita, ini adalah vektor OA 1 . Vektor ini akan sama dengan vektor R⃗. Dari konstruksinya dapat disimpulkan bahwa hanya ada satu vektor seperti itu.

Vektor \(\overrightarrow(AB)\) dapat dianggap sebagai pergerakan suatu titik dari posisi \(A\) (awal pergerakan) ke posisi \(B\) (akhir pergerakan). Artinya, lintasan pergerakan dalam hal ini tidak penting, yang penting hanya awal dan akhir!

\(\blacktriangleright\) Dua vektor dikatakan segaris jika terletak pada satu garis atau dua garis sejajar.
DI DALAM jika tidak vektor disebut non-kolinear.

\(\blacktriangleright\) Dua buah vektor yang segaris disebut searah jika arahnya berimpit.
Jika arahnya berlawanan, maka disebut berlawanan arah.

Aturan penjumlahan vektor kolinear:

diarahkan bersama akhir Pertama. Maka jumlah mereka adalah sebuah vektor, yang permulaannya bertepatan dengan permulaan vektor pertama, dan akhir dengan akhir vektor kedua (Gbr. 1).

\(\blacktriangleright\) Untuk menambahkan dua diarahkan secara berlawanan vektor, kita dapat menunda vektor kedua dari dimulai Pertama. Maka jumlah keduanya adalah suatu vektor, yang permulaannya berimpit dengan permulaan kedua vektor, panjangnya sama dengan selisih panjang vektor-vektor tersebut, arahnya berimpit dengan arah vektor yang lebih panjang (Gbr. 2).

Aturan penjumlahan vektor tidak segaris \(\overrightarrow (a)\) dan \(\overrightarrow(b)\) :

\(\blacktriangleright\) Aturan segitiga (Gbr. 3).

Vektor \(\overrightarrow (b)\) harus disisihkan dari ujung vektor \(\overrightarrow (a)\). Maka penjumlahannya adalah sebuah vektor, yang permulaannya bertepatan dengan permulaan vektor \(\overrightarrow (a)\) , dan berakhir dengan akhir vektor \(\overrightarrow (b)\) .

\(\blacktriangleright\) Aturan jajaran genjang (Gbr. 4).

Vektor \(\overrightarrow (b)\) harus disisihkan dari awal vektor \(\overrightarrow (a)\). Lalu jumlahnya \(\overrightarrow (a)+\overrightarrow (b)\)– vektor yang berimpit dengan diagonal jajar genjang yang dibangun pada vektor \(\overrightarrow (a)\) dan \(\overrightarrow (b)\) (awalnya berimpit dengan permulaan kedua vektor).

\(\blacktriangleright\) Untuk mencari selisih dua buah vektor \(\overrightarrow (a)-\overrightarrow(b)\), Anda perlu mencari jumlah vektor \(\overrightarrow (a)\) dan \(-\overrightarrow(b)\) : \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\)(Gbr. 5).

Tugas 1 #2638

Tingkat tugas: Lebih sulit daripada Ujian Negara Bersatu

Diketahui segitiga siku-siku \(ABC\) dengan sudut siku-siku \(A\), titik \(O\) adalah pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga tersebut. Koordinat vektor \(\overrightarrow(AB)=\(1;1\)\), \(\overrightarrow(AC)=\(-1;1\)\). Temukan jumlah koordinat vektor \(\overrightarrow(OC)\) .

Karena segitiga \(ABC\) berbentuk persegi panjang, maka pusat lingkaran yang dibatasi terletak di tengah sisi miring, mis. \(O\) adalah bagian tengah dari \(BC\) .

perhatikan itu \(\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)-\overrightarrow(AB)\), karena itu, \(\overrightarrow(BC)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).

Karena \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\), Itu \(\overrightarrow(OC)=\(-1;0\)\).

Artinya jumlah koordinat vektor \(\overrightarrow(OC)\) sama dengan \(-1+0=-1\) .

Jawaban 1

Tugas 2 #674

Tingkat tugas: Lebih sulit daripada Ujian Negara Bersatu

\(ABCD\) – segiempat yang sisi-sisinya terdapat vektor \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow( DA) \) . Temukan panjang vektor \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)\).

\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC)\), \(\overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)\), Kemudian
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)= \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AD) = \vec(0)\).
Vektor nol memiliki panjang yang sama dengan \(0\) .

Maka vektor dapat dianggap sebagai perpindahan \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)\)– berpindah dari \(A\) ke \(B\) lalu dari \(B\) ke \(C\) – pada akhirnya berpindah dari \(A\) ke \(C\) .

Dengan penafsiran ini, menjadi jelas bahwa \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)\), karena pada akhirnya disini kita berpindah dari titik \(A\) ke titik \(A\), artinya panjang perpindahan tersebut adalah \(0\), yang berarti vektor dari perpindahan itu sendiri adalah \ (\vec(0)\) .

Jawaban: 0

Tugas 3 #1805

Tingkat tugas: Lebih sulit daripada Ujian Negara Bersatu

Diberikan jajar genjang \(ABCD\) . Diagonal \(AC\) dan \(BD\) berpotongan di titik \(O\) . Biarkan , , kalau begitu \(\overrightarrow(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2)\overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (a) - \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\Panah Kanan\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\Panah Kanan\) \(x + y = - 1\) .

Jawaban 1

Tugas 4 #1806

Tingkat tugas: Lebih sulit daripada Ujian Negara Bersatu

Diberikan jajar genjang \(ABCD\) . Titik \(K\) dan \(L\) masing-masing terletak pada sisi \(BC\) dan \(CD\, dan \(BK:KC = 3:1\) dan \(L\) adalah titik tengah \ (CD\) . Membiarkan \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), Kemudian \(\overrightarrow(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), dimana \(x\) dan \(y\) adalah beberapa bilangan. Temukan bilangan yang sama dengan \(x + y\) .

\[\overrightarrow(KL) = \overrightarrow(KC) + \overrightarrow(CL) = \frac(1)(4)\overrightarrow(BC) + \frac(1)(2)\overrightarrow(CD) = \frac (1)(4)\overrightarrow(AD) + \frac(1)(2)\overrightarrow(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (A)\]\(\Panah Kanan\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\Panah Kanan\) \(x + y = -0 ,25\) .

Jawaban: -0,25

Tugas 5 #1807

Tingkat tugas: Lebih sulit daripada Ujian Negara Bersatu

Diberikan jajar genjang \(ABCD\) . Titik \(M\) dan \(N\) masing-masing terletak pada sisi \(AD\) dan \(BC\), dengan \(AM:MD = 2:3\) dan \(BN:NC = 3: 1\) . Membiarkan \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), Kemudian \(\overrightarrow(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3 )(4)\overrightarrow(BC) = - \frac(2)(5)\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(AB) + \frac(3)(4)\overrightarrow(BC) = -\frac(2 )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\Panah Kanan\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\Panah Kanan\) \(x\cdot y = 0,35\) .

Jawaban: 0,35

Tugas 6 #1808

Tingkat tugas: Lebih sulit daripada Ujian Negara Bersatu

Diberikan jajar genjang \(ABCD\) . Titik \(P\) terletak pada diagonal \(BD\), titik \(Q\) terletak pada sisi \(CD\), dan \(BP:PD = 4:1\), dan \( CQ:QD = 1:9\) . Membiarkan \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), Kemudian \(\overrightarrow(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), dimana \(x\) dan \(y\) adalah beberapa bilangan. Temukan bilangan yang sama dengan \(x\cdot y\) .

\[\begin(berkumpul) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)\overrightarrow(AD) + \frac(7)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(berkumpul)\]

\(\Panah Kanan\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Panah Kanan\) \(x\cdot y = 0, 14\) . dan \(ABCO\) – jajaran genjang; \(AF \parallel BE\) dan \(ABOF\) – jajaran genjang \(\Panah Kanan\) \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\Panah Kanan\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Panah Kanan\) \(x + y = 2\) .

Jawaban: 2

Siswa sekolah menengah yang sedang bersiap untuk mengikuti Ujian Negara Bersatu dalam matematika dan pada saat yang sama berharap untuk mendapatkan nilai yang layak harus mengulangi topik “Aturan penjumlahan dan pengurangan beberapa vektor”. Seperti terlihat dari praktik bertahun-tahun, tugas-tugas tersebut dimasukkan dalam ujian sertifikasi setiap tahun. Jika seorang lulusan mengalami kesulitan dengan soal-soal pada bagian “Geometri Bidang”, misalnya yang mengharuskan penerapan aturan penjumlahan dan pengurangan vektor, ia harus mengulang atau memahami kembali materi tersebut agar berhasil lulus. Ujian Negara Bersatu.

Proyek pendidikan Shkolkovo menawarkan pendekatan baru untuk mempersiapkan ujian sertifikasi. Sumber daya kami dibangun sedemikian rupa sehingga siswa dapat mengidentifikasi bagian tersulit bagi diri mereka sendiri dan mengisi kesenjangan dalam pengetahuan. Spesialis Shkolkovo mempersiapkan dan mensistematisasikan semuanya bahan yang dibutuhkan untuk mempersiapkan diri lulus ujian sertifikasi.

Untuk memastikan bahwa tugas USE di mana Anda perlu menerapkan aturan penjumlahan dan pengurangan dua vektor tidak menimbulkan kesulitan, kami menyarankan Anda menyegarkan ingatan Anda terlebih dahulu. konsep dasar. Siswa akan dapat menemukan materi ini di bagian “Informasi Teoritis”.

Jika Anda sudah mengingat aturan pengurangan vektor dan definisi dasar tentang topik ini, kami sarankan Anda mengkonsolidasikan pengetahuan Anda dengan menyelesaikan latihan yang sesuai, yang dipilih oleh para ahli. portal pendidikan"Skolkovo". Untuk setiap masalah, situs ini menyajikan algoritma solusi dan memberikan jawaban yang benar. Topik “Aturan Penjumlahan Vektor” menyajikan berbagai latihan; Setelah menyelesaikan dua atau tiga tugas yang relatif mudah, siswa dapat melanjutkan ke tugas yang lebih kompleks secara berturut-turut.

Anak-anak sekolah mempunyai kesempatan untuk mengasah keterampilan mereka sendiri dalam tugas-tugas tersebut, misalnya, secara online, saat berada di Moskow atau kota lain mana pun di Rusia. Jika perlu, tugas dapat disimpan di bagian “Favorit”. Berkat ini, Anda dapat dengan cepat menemukan contoh yang menarik dan mendiskusikan algoritma untuk menemukan jawaban yang benar dengan guru Anda.

Pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh dalam pembelajaran ini akan berguna bagi siswa tidak hanya pada pembelajaran geometri, tetapi juga pada pembelajaran ilmu-ilmu lainnya. Selama pembelajaran, siswa akan belajar menggambar vektor dari suatu titik tertentu. Ini bisa berupa pelajaran geometri reguler, atau kelas ekstrakurikuler atau matematika pilihan. Perkembangan ini akan membantu guru menghemat waktu mempersiapkan pelajaran dengan topik “Menunda suatu vektor dari suatu titik tertentu”. Dia cukup memutar video pelajaran di kelas, dan kemudian memperkuat materi dengan latihan pilihannya sendiri.

Durasi pelajaran hanya 1:44 menit. Namun ini cukup untuk mengajarkan anak sekolah memplot vektor dari suatu titik tertentu.

Pembelajaran diawali dengan peragaan suatu vektor yang permulaannya berada pada suatu titik tertentu. Mereka mengatakan bahwa vektornya ditangguhkan darinya. Kemudian penulis mengusulkan untuk membuktikan bersamanya pernyataan yang menyatakan bahwa dari titik mana pun dimungkinkan untuk memplot sebuah vektor yang sama dengan vektor tertentu dan, terlebih lagi, unik. Selama pembuktiannya, penulis mengkaji setiap kasus secara detail. Pertama, dibutuhkan situasi ketika vektor yang diberikan adalah nol, dan kedua, ketika vektor tersebut bukan nol. Dalam pembuktiannya digunakan ilustrasi berupa gambar dan konstruksi, notasi matematika, yang membentuk literasi matematika pada anak sekolah. Penulis berbicara perlahan, membiarkan siswa mencatat secara paralel sambil berkomentar. Konstruksi yang penulis lakukan selama pembuktian pernyataan yang dirumuskan sebelumnya menunjukkan bagaimana dari titik tertentu seseorang dapat membangun sebuah vektor yang sama dengan vektor yang diberikan.

Jika siswa memperhatikan pelajaran dengan cermat dan sekaligus mencatat, maka mereka akan mudah mempelajari materi. Apalagi penulis menceritakannya secara detail, terukur dan cukup lengkap. Jika karena alasan tertentu Anda tidak mendengar sesuatu, Anda dapat kembali dan menonton pelajarannya lagi.

Setelah menonton video pelajaran, disarankan untuk mulai mengkonsolidasikan materi. Guru disarankan untuk memilih tugas pada topik ini untuk melatih keterampilan memplot vektor dari suatu titik tertentu.

Pelajaran ini dapat digunakan untuk Belajar sendiri topik oleh anak sekolah. Namun untuk mengkonsolidasikannya, Anda perlu menghubungi guru agar dia dapat memilih tugas yang sesuai. Memang tanpa pemantapan materi, sulit mencapai hasil belajar yang positif.

Vektor – ini adalah ruas garis lurus berarah, yaitu ruas yang mempunyai panjang tertentu dan arah tertentu. Biarkan intinya A adalah awal dari vektor, dan titik B – ujungnya, maka vektornya dilambangkan dengan simbol atau . Vektor disebut di depan vektor dan dapat ditunjuk .

Mari kita merumuskan sejumlah definisi dasar.

Panjang atau modul vektordisebut panjang segmen dan dilambangkan. Vektor yang panjangnya nol (intinya adalah titik) disebut nol dan tidak memiliki arah. Vektor satuan panjang disebutlajang . Vektor satuan yang arahnya berimpit dengan arah vektor tersebut , ditelepon ort dari vektor .

Vektor disebut segaris , jika keduanya terletak pada satu garis atau sejajar, tulislah. Vektor-vektor yang kolinear dapat mempunyai arah yang berhimpitan atau berlawanan arah. Vektor nol dianggap kolinear terhadap vektor apa pun.

Vektor dikatakan sama, jika keduanya segaris, arahnya sama, dan panjangnya sama.

Tiga vektor dalam ruang disebut sebidang , jika keduanya terletak pada bidang yang sama atau sejajar. Jika di antara tiga vektor paling sedikit satu adalah nol atau dua vektor segaris, maka vektor-vektor tersebut adalah koplanar.

Pertimbangkan dalam ruang sistem koordinat persegi panjang 0 xyz. Mari kita pilih 0 pada sumbu koordinat X, 0kamu, 0z vektor satuan (atau vektor) dan dilambangkan denganmasing-masing. Mari kita pilih vektor ruang yang berubah-ubah dan sejajarkan titik asal dengan titik asal koordinat. Mari kita proyeksikan vektor ke sumbu koordinat dan nyatakan proyeksinya dengan sebuah x, ay, sebuah z masing-masing. Maka mudah untuk menunjukkannya

. (2.25)

Rumus ini dasar dalam kalkulus vektor dan disebut perluasan vektor dalam vektor satuan sumbu koordinat . Angka sebuah x, ay, sebuah z disebut koordinat vektor . Jadi, koordinat suatu vektor adalah proyeksinya pada sumbu koordinat. Persamaan vektor (2.25) sering ditulis dalam bentuk

Kita akan menggunakan notasi vektor dalam kurung kurawal untuk mempermudah membedakan koordinat vektor dan koordinat titik secara visual. Dengan menggunakan rumus panjang suatu segmen, yang diketahui dari geometri sekolah, Anda dapat menemukan ekspresi untuk menghitung modulus vektor:

, (2.26)

yaitu modulus suatu vektor sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya.

Mari kita nyatakan sudut antara vektor dan sumbu koordinat sebagai α, β, γ masing-masing. kosinus sudut-sudut ini disebut vektor panduan , dan bagi mereka hubungan berikut berlaku:Validitas persamaan ini dapat ditunjukkan dengan menggunakan sifat proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu, yang akan dibahas pada paragraf 4 di bawah ini.

Biarkan vektor diberikan dalam ruang tiga dimensidengan koordinat Anda. Operasi berikut dilakukan pada mereka: linier (penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan bilangan dan proyeksi suatu vektor ke suatu sumbu atau vektor lain); non-linier – berbagai produk vektor (skalar, vektor, campuran).

1. Tambahan dua vektor dihasilkan secara koordinatif, yaitu jika

Rumus ini berlaku untuk sejumlah suku yang terbatas dan berubah-ubah.

Secara geometris, dua vektor dijumlahkan menurut dua aturan:

A) aturan segi tiga – vektor hasil penjumlahan dua vektor menghubungkan awal vektor pertama dengan akhir vektor kedua, asalkan awal vektor kedua bertepatan dengan akhir vektor pertama; untuk penjumlahan vektor – vektor yang dihasilkan dari penjumlahan tersebut menghubungkan awal suku pertama dengan akhir suku vektor terakhir, asalkan awal suku berikutnya bertepatan dengan akhir suku sebelumnya;

B) aturan genjang (untuk dua vektor) – jajar genjang dibuat berdasarkan perintah vektor seperti pada sisi-sisi yang direduksi ke titik asal yang sama; Diagonal jajar genjang yang dimulai dari titik asal yang sama adalah jumlah vektor.

2. Pengurangan dua vektor dilakukan secara koordinatif, mirip dengan penjumlahan, yaitu jika, Itu

Secara geometris, dua vektor dijumlahkan menurut aturan jajar genjang yang telah disebutkan, dengan memperhatikan bahwa selisih antara vektor-vektor tersebut adalah diagonal yang menghubungkan ujung-ujung vektor, dan vektor yang dihasilkan diarahkan dari ujung pengurang ke ujung vektor. Angka yang dikurangi.

Konsekuensi penting dari pengurangan vektor adalah kenyataan bahwa jika koordinat awal dan akhir vektor diketahui, maka untuk menghitung koordinat suatu vektor, perlu dikurangi koordinat awalnya dari koordinat akhirnya . Memang, vektor ruang apa pundapat direpresentasikan sebagai selisih dua vektor yang berasal dari titik asal:. Koordinat vektor Dan bertepatan dengan koordinat titik-titik tersebutA Dan DI DALAM, sejak awalTENTANG(0;0;0). Jadi, menurut aturan pengurangan vektor, Anda harus mengurangkan koordinat titikAdari koordinat titikDI DALAM.

3. kamu mengalikan vektor dengan angka λ koordinat demi koordinat:.

Pada λ> 0 – vektor diarahkan bersama ; λ< 0 – vektor arah berlawanan ; | λ|> 1 – panjang vektor meningkat dalam λ sekali;| λ|< 1 – panjang vektor berkurang λ sekali.

4. Misalkan suatu garis lurus berarah (sumbu aku), vektordiberikan oleh koordinat akhir dan awal. Mari kita nyatakan proyeksi titik A Dan B per sumbu aku sesuai melalui A’ Dan B’ .

Proyeksi vektor per sumbu akudisebut panjang vektor, diambil dengan tanda “+”, jika vektor dan sumbu akudiarahkan bersama, dan dengan tanda “–” jika Dan akuarah berlawanan.

Jika sebagai poros aku ambil beberapa vektor lainnya, maka kita mendapatkan proyeksi vektornya pada vektor r.

Mari kita lihat beberapa sifat dasar proyeksi:

1) proyeksi vektor per sumbu akusama dengan produk modulus vektordengan kosinus sudut antara vektor dan sumbu, yaitu;

2.) proyeksi vektor pada sumbu positif (negatif) jika vektor membentuk sudut lancip (tumpul) dengan sumbu, dan sama dengan nol jika sudut tersebut siku-siku;

3) proyeksi jumlah beberapa vektor pada sumbu yang sama sama dengan jumlah proyeksi pada sumbu tersebut.

Mari kita merumuskan definisi dan teorema tentang hasil kali vektor yang menyatakan operasi nonlinier pada vektor.

5. Produk titik vektor danadalah bilangan (skalar) yang sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor tersebut dan kosinus sudutφ di antara mereka, yaitu

. (2.27)

Jelasnya, kuadrat skalar dari setiap vektor bukan nol sama dengan kuadrat panjangnya, karena dalam hal ini sudutnya , jadi kosinusnya (dalam 2.27) adalah 1.

Teorema 2.2.Diperlukan dan kondisi cukup tegak lurus dua vektor adalah persamaan hasil kali skalarnya dengan nol

Konsekuensi. Produk skalar berpasangan dari vektor satuan sama dengan nol, yaitu

Teorema 2.3. Hasil kali titik dari dua vektor, yang ditentukan oleh koordinatnya, sama dengan jumlah hasil kali koordinatnya yang bernama sama, yaitu

(2.28)

Dengan menggunakan hasil kali skalar vektor, Anda dapat menghitung sudutnyadiantara mereka. Jika dua vektor bukan nol diberikan beserta koordinatnya, maka kosinus sudutnyaφ diantara mereka:

(2.29)

Ini menyiratkan kondisi tegak lurus vektor bukan nol Dan :

(2.30)

Menemukan proyeksi suatu vektorke arah yang ditentukan oleh vektor , dapat dilakukan sesuai rumus

(2.31)

Dengan menggunakan hasil kali skalar vektor, usaha yang dilakukan oleh gaya konstan dapat dicaripada bagian jalan yang lurus.

Mari kita asumsikan bahwa di bawah pengaruh gaya konstan suatu titik material bergerak lurus dari posisinya A ke posisi B. Vektor gaya membentuk sudut φ dengan vektor perpindahan (Gbr. 2.14). Fisika mengatakan bahwa kerja adalah gaya saat bergerak sama dengan .

Contoh 2.9.Dengan menggunakan hasil kali skalar vektor, tentukan sudut puncaknyaAgenjangABCD, dibuat berdasarkan vektor

Larutan. Mari kita menghitung modulus vektor dan hasil kali skalarnya menggunakan Teorema (2.3):

Dari sini, menurut rumus (2.29), kita memperoleh kosinus dari sudut yang diinginkan

Contoh 2.10.Biaya bahan baku dan sumber daya bahan yang digunakan untuk produksi satu ton keju cottage diberikan pada Tabel 2.2 (gosok).

Tabel 2.2

Kemudian .Total harga sumber daya, yang merupakan produk skalar dari vektor. Mari kita hitung menggunakan rumus (2.28) menurut Teorema 2.3: