تفریق کسرهای معمولی نحوه یادگیری تفریق کسری با مخرج های مختلف خلاصه: طرح محاسبه کلی

این مقاله مطالعه عملیات با کسرهای جبری را آغاز می کند: ما به طور مفصل عملیات هایی مانند جمع و تفریق کسری های جبری را در نظر خواهیم گرفت. بیایید طرح جمع و تفریق کسرهای جبری را با مخرج های یکسان و متفاوت تجزیه و تحلیل کنیم. بیایید یاد بگیریم که چگونه یک کسر جبری را با یک چند جمله ای جمع کنیم و چگونه آنها را کم کنیم. با استفاده از مثال‌های خاص، هر مرحله در یافتن راه‌حل برای مشکلات را توضیح خواهیم داد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

عملیات جمع و تفریق با مخرج مساوی

طرح اضافه کردن کسرهای معمولی برای کسرهای جبری نیز قابل اجرا است. می دانیم که هنگام جمع یا تفریق کسرهای مشترک با مخرج مشابه، باید اعداد آنها را جمع یا تفریق کنید، اما مخرج ثابت می ماند.

به عنوان مثال: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 و 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

بر این اساس، قانون جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج مشابه به روشی مشابه نوشته شده است:

تعریف 1

برای جمع یا تفریق کسرهای جبری با مخرج مشابه، باید به ترتیب کسری کسرهای اصلی را جمع یا تفریق کنید و مخرج آن را بدون تغییر بنویسید.

این قانون این امکان را فراهم می کند که نتیجه گیری شود که نتیجه جمع یا تفریق کسرهای جبری یک کسری جبری جدید است (در یک مورد خاص: چند جمله ای، تک جمله ای یا عددی).

اجازه دهید مثالی از کاربرد قانون فرموله شده را نشان دهیم.

مثال 1

کسرهای جبری داده شده عبارتند از: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 و 3 - x · y x 2 · y - 2. اضافه کردن آنها ضروری است.

راه حل

کسرهای اصلی دارای مخرج یکسانی هستند. طبق قانون جمع اعداد کسرهای داده شده را انجام می دهیم و مخرج را بدون تغییر می گذاریم.

با جمع چند جمله‌ای که شماره‌کننده کسرهای اصلی هستند، به دست می‌آییم: x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y = x 2 + (2 x y - x y) - 5 + 3 = x 2 + x y - 2.

سپس مقدار مورد نیاز به صورت: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 نوشته می شود.

در عمل، مانند بسیاری از موارد، راه حل با زنجیره ای از برابری ها ارائه می شود که به وضوح تمام مراحل راه حل را نشان می دهد:

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

پاسخ: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

نتیجه جمع یا تفریق می تواند کسر قابل تقلیل باشد که در این صورت کاهش آن بهینه است.

مثال 2

لازم است کسر 2 · y x 2 - 4 · y 2 را از کسری جبری x x 2 - 4 · y 2 کم کنیم.

راه حل

مخرج کسرهای اصلی برابر است. بیایید عملیاتی را با اعداد انجام دهیم، یعنی: عدد دوم را از عدد کسر اول کم کنیم و سپس نتیجه را بنویسیم و مخرج را بدون تغییر رها کنیم:

x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y x 2 - 4 y 2

می بینیم که کسر حاصل قابل کاهش است. بیایید با تبدیل مخرج با استفاده از فرمول اختلاف مربع آن را کاهش دهیم:

x - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

پاسخ: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

با استفاده از یک اصل، سه یا چند کسر جبری با مخرج یکسان جمع یا تفریق می شوند. به عنوان مثال:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

عملیات جمع و تفریق با مخرج های مختلف

بیایید دوباره به طرح عملیات با کسرهای معمولی نگاه کنیم: برای جمع یا تفریق کسرهای معمولی با مخرج های مختلف، باید آنها را به یک مخرج مشترک بیاورید و سپس کسرهای به دست آمده را با مخرج های مشابه اضافه کنید.

به عنوان مثال، 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 یا 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

همچنین بر اساس قیاس، قانون جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف را فرموله می کنیم:

تعریف 2

برای جمع یا تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف، باید:

• کسرهای اصلی را به مخرج مشترک بیاورید.
• جمع یا تفریق کسرهای حاصل را با مخرج یکسان انجام دهید.

بدیهی است که نکته کلیدی در اینجا مهارت کاهش کسرهای جبری به یک مخرج مشترک خواهد بود. بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم.

تقلیل کسرهای جبری به مخرج مشترک

برای آوردن کسرهای جبری به یک مخرج مشترک، لازم است یک تبدیل یکسان از کسرهای داده شده انجام شود، در نتیجه مخرج کسرهای اصلی یکسان می شوند. در اینجا بهتر است از الگوریتم زیر برای کاهش کسرهای جبری به مخرج مشترک استفاده شود:

• ابتدا مخرج مشترک کسرهای جبری را تعیین می کنیم.
• سپس با تقسیم مخرج مشترک بر مخرج کسرهای اصلی، عوامل اضافی را برای هر یک از کسرها پیدا می کنیم.
• آخرین اقدام این است که صورت و مخرج کسرهای جبری داده شده را در عوامل اضافی مربوطه ضرب کنیم.

کسرهای جبری داده شده است: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a و a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . باید آنها را به یک مخرج مشترک رساند.

راه حل

طبق الگوریتم بالا عمل می کنیم. بیایید مخرج مشترک کسرهای اصلی را تعیین کنیم. برای این منظور، مخرج کسرهای داده شده را فاکتور می کنیم: 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2)، 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) و 4 a 5 − 16 a 3 = 4 a 3 (a − 2) (a + 2). از اینجا می توانیم مخرج مشترک را بنویسیم: 12 a 3 (a - 2) (a + 2).

اکنون باید عوامل اضافی را پیدا کنیم. اجازه دهید طبق الگوریتم، مخرج مشترک یافت شده را به مخرج کسرهای اصلی تقسیم کنیم:

• برای کسر اول: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a - 2)) = 6 · a · (a + 2) ;
• برای کسر دوم: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) : (3 · a · (a - 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
• برای کسر سوم: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (4 a 3 (a - 2) (a + 2)) = 3 .

گام بعدی این است که صورت و مخرج کسرهای داده شده را در فاکتورهای اضافی بدست آمده ضرب کنیم:

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a = (a + 3) 4 a 2 ( a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = (a + 1) · 3 (4 · a 5 - 16 · a 3) · 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 (a - 2) (a + 2)

پاسخ: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 3 3 · a 2 - 6 · a = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) .

بنابراین، کسرهای اصلی را به یک مخرج مشترک تقلیل داده ایم. در صورت لزوم، می‌توانید با ضرب چندجمله‌ای و تک‌جمله‌ای در صورت‌ها و مخرج‌ها، نتیجه حاصل را به شکل کسرهای جبری تبدیل کنید.

اجازه دهید این نکته را نیز روشن کنیم: بهینه است که مخرج مشترک یافت شده را در صورت نیاز به کاهش کسر نهایی به صورت یک محصول رها کنیم.

ما طرح کاهش کسرهای جبری اولیه به مخرج مشترک را به تفصیل بررسی کرده‌ایم؛ اکنون می‌توانیم نمونه‌هایی از جمع و تفریق کسری با مخرج‌های مختلف را تحلیل کنیم.

مثال 4

کسرهای جبری داده شده عبارتند از: 1 - 2 x 2 + x و 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. لازم است عمل افزودن آنها انجام شود.

راه حل

کسرهای اصلی مخرج های مختلفی دارند، بنابراین اولین قدم این است که آنها را به یک مخرج مشترک برسانیم. مخرج ها را فاکتور می کنیم: x 2 + x = x · (x + 1) و x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) ,زیرا ریشه های یک مثلث مربع x 2 + 3 x + 2این اعداد عبارتند از: - 1 و - 2. مخرج مشترک را تعیین می کنیم: x (x + 1) (x + 2)، سپس عوامل اضافی عبارتند از: x+2و -ایکسبه ترتیب برای کسرهای اول و دوم.

بنابراین: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) و 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

حال بیایید کسری را که آورده ایم به مخرج مشترک اضافه کنیم:

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

کسر حاصل را می توان با یک عامل مشترک کاهش داد x+1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

و در نهایت، نتیجه به دست آمده را به صورت کسری جبری می نویسیم و حاصلضرب در مخرج را با چند جمله ای جایگزین می کنیم:

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

اجازه دهید فرآیند حل را به طور خلاصه در قالب زنجیره ای از برابری ها بنویسیم:

1 - 2 x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

پاسخ: 1 - 2 x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

به این جزئیات توجه کنید: قبل از جمع یا تفریق کسرهای جبری، در صورت امکان، بهتر است آنها را به منظور ساده سازی تبدیل کنید.

مثال 5

باید کسرها را تفریق کرد: 2 1 1 3 · x - 2 21 و 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

راه حل

بیایید کسرهای جبری اصلی را برای ساده کردن راه حل بیشتر تبدیل کنیم. بیایید ضرایب عددی متغیرهای موجود در مخرج را از پرانتز خارج کنیم:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 و 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

این تحول به وضوح به ما یک فایده داد: ما به وضوح وجود یک عامل مشترک را می بینیم.

بیایید از شر ضرایب عددی در مخرج ها خلاص شویم. برای انجام این کار، از ویژگی اصلی کسرهای جبری استفاده می کنیم: صورت و مخرج کسر اول را در 3 4 و دومی را در - 1 2 ضرب می کنیم، سپس به دست می آوریم:

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 و 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

بیایید عملی را انجام دهیم که به ما امکان می دهد از شر ضرایب کسری خلاص شویم: کسرهای حاصل را در 14 ضرب کنیم:

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 و - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .

در نهایت، بیایید عمل مورد نیاز در بیان مسئله - تفریق را انجام دهیم:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

پاسخ: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

جمع و تفریق کسرهای جبری و چندجمله ای

این عمل همچنین به جمع یا تفریق کسرهای جبری ختم می شود: لازم است چند جمله ای اصلی را به عنوان کسری با مخرج 1 نشان دهیم.

مثال 6

اضافه کردن چند جمله ای ضروری است x 2 - 3با کسر جبری 3 x x + 2.

راه حل

بیایید چند جمله ای را به صورت کسری جبری با مخرج 1 بنویسیم: x 2 - 3 1

اکنون می توانیم طبق قانون جمع کسرهایی با مخرج های مختلف جمع را انجام دهیم:

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

پاسخ: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

کسرها اعدادی معمولی هستند و قابل جمع و تفریق نیز هستند. اما از آنجایی که آنها مخرج دارند، به قوانین پیچیده تری نسبت به اعداد صحیح نیاز دارند.

بیایید ساده ترین حالت را در نظر بگیریم، زمانی که دو کسر با مخرج یکسان وجود دارد. سپس:

برای جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را جمع کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.

برای تفریق کسری با مخرج یکسان، باید عدد دوم را از صورت کسر اول کم کنید و دوباره مخرج را بدون تغییر رها کنید.

در هر عبارت، مخرج کسری برابر است. با تعریف جمع و تفریق کسرها به دست می آید:

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای نیست: ما فقط اعداد را اضافه یا کم می کنیم و تمام.

اما حتی در چنین اقدامات ساده ای، افراد موفق به اشتباه می شوند. آنچه اغلب فراموش می شود این است که مخرج تغییر نمی کند. به عنوان مثال، هنگام جمع کردن آنها، آنها نیز شروع به جمع کردن می کنند و این اساساً اشتباه است.

خلاص شدن از شر عادت بد اضافه کردن مخرج بسیار ساده است. هنگام تفریق همین کار را امتحان کنید. در نتیجه، مخرج صفر می شود و کسر (ناگهان!) معنای خود را از دست می دهد.

بنابراین، یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: هنگام جمع و تفریق، مخرج تغییر نمی کند!

بسیاری از افراد هنگام جمع کردن چند کسر منفی نیز اشتباه می کنند. با علائم سردرگمی وجود دارد: کجا یک منفی و کجا یک مثبت قرار دهیم.

حل این مشکل نیز بسیار آسان است. کافی است به یاد داشته باشید که منهای قبل از علامت کسری همیشه می تواند به شمارنده منتقل شود - و بالعکس. و البته، دو قانون ساده را فراموش نکنید:

1. به علاوه منهای منفی می دهد.
2. دو منفی یک مثبت را نشان می دهد.

بیایید همه اینها را با مثال های خاص بررسی کنیم:

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

در مورد اول، همه چیز ساده است، اما در مورد دوم، اجازه دهید منهای را به اعداد کسرها اضافه کنیم:

اگر مخرج ها متفاوت باشند چه باید کرد

شما نمی توانید کسری با مخرج های مختلف را مستقیماً اضافه کنید. حداقل این روش برای من ناشناخته است. با این حال، کسرهای اصلی همیشه می توانند بازنویسی شوند تا مخرج ها یکسان شوند.

روش های زیادی برای تبدیل کسرها وجود دارد. سه مورد از آنها در درس "کاهش کسرها به مخرج مشترک" مورد بحث قرار گرفته است، بنابراین ما در اینجا به آنها نمی پردازیم. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

در حالت اول، کسرها را با استفاده از روش متقاطع به یک مخرج مشترک کاهش می دهیم. در مرحله دوم ما به دنبال NOC خواهیم بود. توجه داشته باشید که 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. آخرین فاکتورها در این بسط ها مساوی هستند و اولین ها نسبتاً اول هستند. بنابراین، LCM(6، 9) = 2 3 3 = 18.

اگر کسری دارای یک جزء صحیح باشد چه باید کرد؟

من می توانم شما را خوشحال کنم: مخرج های مختلف در کسرها بزرگترین شر نیستند. هنگامی که کل قسمت در کسرهای اضافه برجسته می شود، خطاهای بسیار بیشتری رخ می دهد.

البته، الگوریتم‌های جمع و تفریق خاص برای چنین کسری وجود دارد، اما آنها کاملاً پیچیده هستند و نیاز به مطالعه طولانی دارند. بهتر است از نمودار ساده زیر استفاده کنید:

1. تمام کسرهای حاوی یک جزء صحیح را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید. ما عبارات عادی (حتی با مخرج های مختلف) را بدست می آوریم که طبق قوانین مورد بحث در بالا محاسبه می شوند.
2. در واقع، مجموع یا تفاوت کسرهای حاصل را محاسبه کنید. در نتیجه عملاً پاسخ را خواهیم یافت;
3. اگر این تمام چیزی است که در مسئله مورد نیاز بود، تبدیل معکوس را انجام می دهیم، یعنی. با برجسته کردن کل قسمت از شر کسر نامناسب خلاص می شویم.

قوانین حرکت به کسرهای نامناسب و برجسته کردن کل قسمت به طور مفصل در درس "کسری عددی چیست" توضیح داده شده است. اگر یادتان نیست حتما تکرار کنید. مثال ها:

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

اینجا همه چیز ساده است. مخرج داخل هر عبارت برابر است، بنابراین تنها چیزی که باقی می ماند تبدیل همه کسرها به کسرهای نامناسب و شمارش است. ما داریم:

برای ساده‌تر کردن محاسبات، چند مرحله واضح را در آخرین نمونه‌ها نادیده گرفتم.

یک یادداشت کوچک در مورد دو مثال آخر، که در آن کسری با قسمت صحیح برجسته شده کم می شود. منهای قبل از کسر دوم به این معنی است که کل کسر کم می شود و نه فقط کل قسمت آن.

این جمله را دوباره بخوانید، به مثال ها نگاه کنید - و در مورد آن فکر کنید. اینجاست که مبتدیان تعداد زیادی اشتباه مرتکب می شوند. آنها دوست دارند چنین مشکلاتی را در آزمایشات ارائه دهند. همچنین در تست های این درس که به زودی منتشر خواهد شد، چندین بار با آنها مواجه خواهید شد.

خلاصه: طرح محاسبه کلی

در پایان، من یک الگوریتم کلی ارائه می کنم که به شما کمک می کند مجموع یا تفاضل دو یا چند کسر را پیدا کنید:

1. اگر یک یا چند کسر دارای یک جزء صحیح هستند، این کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید.
2. همه کسری ها را به هر شکلی که برای شما مناسب است به یک مخرج مشترک بیاورید (مگر اینکه، البته، نویسندگان مسائل این کار را انجام داده باشند).
3. اعداد به دست آمده را طبق قوانین جمع و تفریق کسری با مخرج مشابه جمع یا تفریق کنید.
4. در صورت امکان، نتیجه را کوتاه کنید. اگر کسری نادرست است، کل قسمت را انتخاب کنید.

به یاد داشته باشید که بهتر است تمام قسمت را در انتهای کار، بلافاصله قبل از نوشتن پاسخ برجسته کنید.

این درس جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف را پوشش می دهد. ما قبلاً می دانیم که چگونه کسرهای مشترک با مخرج های مختلف را جمع و تفریق کنیم. برای انجام این کار، کسرها باید به یک مخرج مشترک کاهش یابد. معلوم می شود که کسرهای جبری از قوانین یکسانی پیروی می کنند. در عین حال، ما قبلاً می دانیم که چگونه کسرهای جبری را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم. جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف یکی از مهمترین و دشوارترین مباحث درس پایه هشتم است. علاوه بر این، این مبحث در بسیاری از مباحث درس جبر که در آینده مطالعه خواهید کرد، ظاهر خواهد شد. به عنوان بخشی از درس، قوانین جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف را مطالعه می کنیم و همچنین تعدادی مثال معمولی را تجزیه و تحلیل می کنیم.

بیایید ساده ترین مثال را برای کسرهای معمولی بررسی کنیم.

مثال 1.جمع کسرها: .

راه حل:

بیایید قانون جمع کسرها را به خاطر بسپاریم. برای شروع، کسری باید به یک مخرج مشترک کاهش یابد. مخرج مشترک کسرهای معمولی است کمترین مضرب مشترک(LCM) مخرج اصلی.

تعریف

کوچکترین عدد طبیعی که بر هر دو عدد و .

برای یافتن LCM، باید مخرج ها را به فاکتورهای اول فاکتور کنید و سپس تمام عوامل اولی را که در بسط هر دو مخرج گنجانده شده اند، انتخاب کنید.

; . سپس LCM اعداد باید شامل دو دو و دو سه باشد: .

پس از یافتن مخرج مشترک، باید برای هر کسر یک عامل اضافی پیدا کنید (در واقع، مخرج مشترک را بر مخرج کسر مربوطه تقسیم کنید).

سپس هر کسر در ضریب اضافی حاصل ضرب می شود. کسرهایی با مخرج یکسان بدست می آوریم که جمع و تفریق آنها را در درس های قبل یاد گرفتیم.

ما گرفتیم: .

پاسخ:.

اجازه دهید اکنون جمع کسرهای جبری با مخرج های مختلف را در نظر بگیریم. ابتدا به کسری که مخرج آنها اعداد است نگاه می کنیم.

مثال 2.جمع کسرها: .

راه حل:

الگوریتم حل کاملاً مشابه مثال قبلی است. یافتن مخرج مشترک این کسرها آسان است: و عوامل اضافی برای هر یک از آنها.

.

پاسخ:.

بنابراین، بیایید فرمول بندی کنیم الگوریتم جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف:

1. کمترین مخرج مشترک کسرها را بیابید.

2. برای هر یک از کسرها عوامل اضافی را بیابید (با تقسیم مخرج مشترک بر مخرج کسر داده شده).

3. شمارنده ها را در عوامل اضافی مربوطه ضرب کنید.

4. با استفاده از قوانین جمع و تفریق کسری با مخرج مشابه، کسرها را جمع یا تفریق کنید.

اکنون مثالی را با کسری در نظر می گیریم که مخرج آن شامل عبارات حرفی است.

مثال 3.جمع کسرها: .

راه حل:

از آنجایی که عبارات حروف در هر دو مخرج یکسان است، باید مخرج مشترکی برای اعداد پیدا کنید. مخرج مشترک نهایی به این صورت خواهد بود: . بنابراین، راه حل این مثال به نظر می رسد:.

پاسخ:.

مثال 4.تفریق کسرها: .

راه حل:

اگر هنگام انتخاب مخرج مشترک نمی توانید "تقلب" کنید (نمی توانید آن را فاکتور بگیرید یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید)، باید حاصل ضرب مخرج هر دو کسر را به عنوان مخرج مشترک در نظر بگیرید.

پاسخ:.

به طور کلی، هنگام حل چنین مثال هایی، دشوارترین کار یافتن مخرج مشترک است.

بیایید به یک مثال پیچیده تر نگاه کنیم.

مثال 5.ساده کردن: .

راه حل:

هنگام یافتن مخرج مشترک، ابتدا باید سعی کنید مخرج کسرهای اصلی را در نظر بگیرید (برای ساده کردن مخرج مشترک).

در این مورد خاص:

سپس تعیین مخرج مشترک آسان است: .

ما عوامل اضافی را تعیین می کنیم و این مثال را حل می کنیم:

پاسخ:.

حال بیایید قوانین جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف را تعیین کنیم.

مثال 6.ساده کردن: .

راه حل:

پاسخ:.

مثال 7.ساده کردن: .

راه حل:

.

پاسخ:.

اکنون مثالی را در نظر می گیریم که در آن نه دو، بلکه سه کسری اضافه می شود (به هر حال، قوانین جمع و تفریق برای تعداد بیشتری از کسرها ثابت می مانند).

مثال 8.ساده کردن: .

توجه داشته باشید!قبل از نوشتن پاسخ نهایی، ببینید آیا می توانید کسری را که دریافت کرده اید کوتاه کنید.

تفریق کسری با مخرج مشابه، مثال ها:

,

,

کم کردن کسر مناسب از یک

اگر لازم باشد کسر را از واحدی که مناسب است کم کنیم، آن واحد به صورت کسر نامناسب تبدیل می شود، مخرج آن برابر با مخرج کسر تفریق شده است.

مثالی از تفریق کسر مناسب از یک:

مخرج کسری که باید تفریق شود = 7 ، یعنی یک را به عنوان کسر نامناسب 7/7 نشان می دهیم و طبق قانون تفریق کسری با مخرج مشابه از آن کم می کنیم.

کم کردن کسر مناسب از یک عدد کامل

قوانین تفریق کسرها -درست از یک عدد کامل (عدد طبیعی):

• کسرهای داده شده را که دارای یک جزء صحیح هستند به کسرهای نامناسب تبدیل می کنیم. ما عبارات معمولی را به دست می آوریم (مهم نیست که مخرج های متفاوتی داشته باشند) که طبق قوانین ذکر شده در بالا محاسبه می کنیم.
• بعد، ما تفاوت بین کسری که دریافت کرده ایم را محاسبه می کنیم. در نتیجه، تقریباً پاسخ را خواهیم یافت.
• ما تبدیل معکوس را انجام می دهیم، یعنی از کسر نامناسب خلاص می شویم - کل قسمت را در کسری انتخاب می کنیم.

کسر مناسب را از یک عدد کامل کم کنید: عدد طبیعی را به صورت یک عدد مختلط نشان دهید. آن ها واحدی را در یک عدد طبیعی می گیریم و آن را به صورت کسر نامناسب تبدیل می کنیم که مخرج آن با کسر تفریق شده یکی است.

مثالی از تفریق کسرها:

در مثال، یک را با کسر نامناسب 7/7 جایگزین کردیم و به جای 3، یک عدد مختلط را یادداشت کردیم و یک کسری را از قسمت کسری کم کردیم.

تفریق کسری با مخرج های مختلف.

یا به بیان دیگر، تفریق کسرهای مختلف.

قانون تفریق کسری با مخرج های مختلف.برای تفریق کسری با مخرج های مختلف، ابتدا باید این کسرها را به کمترین مخرج مشترک (LCD) تقلیل داد و تنها پس از آن، تفریق را مانند کسرهایی با مخرج مشابه انجام داد.

مخرج مشترک چند کسر است LCM (کمترین مضرب مشترک)اعداد طبیعی که مخرج این کسرها هستند.

توجه!اگر در کسر پایانی صورت و مخرج فاکتورهای مشترکی داشته باشند، کسر باید کاهش یابد. کسر نامناسب به بهترین وجه به عنوان کسر مختلط نشان داده می شود. ترک نتیجه تفریق بدون کاهش کسر در صورت امکان یک راه حل ناقص برای مثال است!

روش تفریق کسری با مخرج های مختلف.

• LCM را برای همه مخرج ها پیدا کنید.
• عوامل اضافی را برای همه کسری ها قرار دهید.
• همه اعداد را در یک عامل اضافی ضرب کنید.
• ما محصولات حاصل را در صورتگر می نویسیم و مخرج مشترک را در زیر همه کسرها امضا می کنیم.
• اعداد کسرها را کم کنید و مخرج مشترک را زیر اختلاف امضا کنید.

به همین ترتیب، جمع و تفریق کسرها در صورت وجود حروف در عدد انجام می شود.

تفریق کسرها، مثال:

تفریق کسرهای مختلط

در تفریق کسرهای مختلط (اعداد)به طور جداگانه، قسمت صحیح از قسمت صحیح و قسمت کسری از قسمت کسری کم می شود.

اولین گزینه برای تفریق کسرهای مختلط.

اگر قطعات کسری همانمخرج و صورت بخش کسری مینیوند (آن را از آن کم می کنیم) ≥ صورت بخش کسری جزء فرعی (آن را کم می کنیم).

مثلا:

گزینه دوم برای تفریق کسرهای مختلط.

وقتی قطعات کسری ناهمسانمخرج ها برای شروع قسمت های کسری را به یک مخرج مشترک می آوریم و بعد از آن کل جزء را از کل جزء و جزء کسری را از قسمت کسری کم می کنیم.

مثلا:

گزینه سوم برای تفریق کسرهای مختلط.

قسمت کسری مینوئند کمتر از قسمت کسری زیر خط است.

مثال:

زیرا قطعات کسری مخرج های مختلفی دارند، یعنی مانند گزینه دوم، ابتدا کسرهای معمولی را به مخرج مشترک می آوریم.

شمارنده قسمت کسری مینیوند کوچکتر از شمارنده قسمت کسری زیرترهند است.3 < 14. یعنی از کل جزء یک واحد می گیریم و این واحد را به کسری نامناسب با مخرج و صورت یکسان تقلیل می دهیم. = 18.

در صورت‌دهنده سمت راست مجموع اعداد را می‌نویسیم، سپس پرانتزها را در صورت‌گر سمت راست باز می‌کنیم، یعنی همه چیز را ضرب می‌کنیم و موارد مشابه را می‌دهیم. پرانتز را در مخرج باز نمی کنیم. مرسوم است که محصول را در مخرج ها بگذارید. ما گرفتیم:

مخرج مشترک چند کسر LCM (کمترین مضرب مشترک) اعداد طبیعی است که مخرج کسرهای داده شده هستند.

به اعداد کسرهای داده شده باید عوامل اضافی برابر با نسبت LCM و مخرج مربوطه اضافه کنید.

شمارنده‌های کسرهای داده شده در ضرایب اضافی آنها ضرب می‌شوند و در نتیجه، شمارنده‌های کسری با یک مخرج مشترک به دست می‌آیند. علائم عمل ("+" یا "-") در ضبط کسرهای کاهش یافته به مخرج مشترک قبل از هر کسری ذخیره می شود. برای کسری با مخرج مشترک، علائم عمل قبل از هر عدد کاهش یافته حفظ می شود.

فقط اکنون می توانید اعداد را جمع یا تفریق کنید و مخرج مشترک را زیر نتیجه امضا کنید.

توجه! اگر در کسر حاصل، صورت و مخرج دارای فاکتورهای مشترک باشند، کسر باید کاهش یابد. بهتر است کسر نامناسب را به کسر مختلط تبدیل کنید. ترک نتیجه جمع یا تفریق بدون ابطال کسر در صورت امکان، راه حل ناقصی برای مثال است!

جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف. قانون. به کسری با مخرج های مختلف را جمع یا تفریق کنید، ابتدا باید آنها را به کمترین مخرج مشترک کاهش دهید و سپس جمع یا تفریق را مانند کسرهایی با مخرج مشابه انجام دهید.

روش جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف

1. LCM همه مخرج ها را پیدا کنید.
2. به هر کسری عوامل اضافی اضافه کنید.
3. هر عدد را در یک عامل اضافی ضرب کنید.
4. محصولات حاصل را به عنوان اعداد در نظر بگیرید و مخرج مشترک زیر هر کسر را امضا کنید.
5. با امضای مخرج مشترک زیر مجموع یا تفاضل، اعداد کسرها را جمع یا تفریق کنید.

در صورت وجود حروف در صورت شمار، کسرها را می توان اضافه و کم کرد.