خاصیت کامل بودن مجموعه ای از اعداد حقیقی. بدیهیات اعداد حقیقی نقش اصل تداوم در ساخت تحلیل ریاضی

§ 7 . بنیاد تحلیل، 4

کامل بودن مجموعه اعداد حقیقی

7.1. معرفی.

تعریف.منظور ما از عدد واقعی a کلاس هم ارزی a از دنباله های اساسی اعداد گویا است.

تعریف.یک دسته از آرطبقات هم ارزی دنباله های اساسی اعداد گویا را مجموعه اعداد حقیقی می نامند.

1) lim a n = a Û " 0< eÎآر$ pо ن("nÎ ن، n ³ p) Þ |a n - a| £ e

2) هر دنباله ای (a n) که همگرا باشد نیز اساسی است

" 0 < eÎآر$ pо ن(("mÎ ن، "nÎ ن, m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | £ e)

طبیعی است که سعی کنیم، بر اساس قیاس با §6، رویه فاکتورسازی را برای مجموعه دنباله‌های اساسی اعداد حقیقی اعمال کنیم. آیا مجموعه ای از کلاس های هم ارزی از دنباله های بنیادی اعداد حقیقی را که شامل مجموعه است، به دست نمی آوریم. آربه عنوان زیر مجموعه خودش؟

معلوم می شود که نه.

در این بخش ما یک ویژگی قابل توجه ایجاد می کنیم: ویژگی کامل بودن مجموعه اعداد واقعی، که شامل این واقعیت است که هر دنباله اساسی از اعداد حقیقی در همگرا می شود. آر.

7.2. تقریب اعداد حقیقی با کسرهای اعشاری.

تعریف.دنباله (q n) محدود می شود اگر $ 0 باشد< MÎس، که ("nО ن|q n | £ M)

قضیه 1. هر دنباله اساسی از اعداد گویا محدود است.

اثبات. فرض کنید (q n) دنباله ای بنیادی از اعداد گویا باشد، پس به دلیل بنیادی بودن، برای e=1 چنین pO وجود دارد. ن، چی:

$ pо ن:((" m³ p) Þ |q n -q m | £ 1)

m = p -fix، سپس "n³ p |q n | £ |q p | + 1.

در واقع: |q n | = |q n -q p +q p | £ |q n -q p | + |q p | Þ |q n | £ 1 + |q p |.

با فرض M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) به دست می آوریم: "nО ن|q n | £ M.ð

در بند 6.3. رابطه واحد "مثبت بودن" در مجموعه مشخص شد. بیایید با نوشتن "> 0" موافقت کنیم. سپس یک ³ 0 Û (a > 0 یا a = 0).

قضیه 2 . بگذارید دنباله اصلی (q n) اعداد گویا یک عدد واقعی a را نشان دهد، سپس:

الف) ($ p 1 О ن، $MО س("nÎ ن، "n ³ p 1) Þ |q n | £ M) Þ a £ M.

ب) ($ p 2 О ن، $mO س("nÎ ن, " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a.

اثباتاز آنجا که " n³p 1 q n -M £ 0، پس دنباله بنیادی q n -M - تفاوت بین دنباله اساسی (q n) و دنباله ثابت M نمی تواند یک دنباله مثبت باشد، زیرا صفر یا منفی است.

بنابراین، عدد واقعی (a-M) نشان داده شده توسط این دنباله نمی تواند مثبت باشد، یعنی. a-M 0 پوند، یعنی. یک پوند M.

به همین ترتیب، ب) در نظر گرفته شده است.

قضیه 3 . یک دنباله اساسی (q n) از اعداد گویا یک عدد واقعی a را نشان می دهد اگر و فقط اگر " 0 باشد آر$pO نکه "nÎ نو n³p نابرابری |q n -a| £e:

(q n)Îa Û " 0< eÎآر$ pо ن("nÎ ن، n³p) Þ |q n -a| £ e.

اثباتما فقط ضرورت را ثابت می کنیم. بدیهی است که «eО آر$ e 1 О س(e 1 پوند e)

بگذارید دنباله اصلی (q n) اعداد گویا نماینده عدد a باشد.

با شرط، اساسی است، یعنی. "0< eÎس$ pо ن("nÎ N،"mÎ ن, n³p, m³p) Þ |q n -q n | £ e/2.

اجازه دهید n³p را ثابت کنیم، سپس دنباله اساسی (q m -q n) را به دست می آوریم: (q 1 -q n؛ q 2 -q n؛ ...؛ q n-1 -q n؛ 0؛ q n+1 -q n؛ .. .).

تمام عبارات این دنباله برای m³p نابرابری را برآورده می کنند: |q m -q n | £ e/2.

با قضیه 2، عدد واقعی که با این دنباله نمایش داده می شود | a-q n | £ e/2.

| a-q n | £ e О آر"n³p.

قضیه 4 . عدد واقعی a هر چه باشد، همیشه یک عدد صحیح M وجود دارد که نابرابری M£a برآورده شود.

("aÎ آر$! MÎ ز(M £ a< M+1))

اثبات

مرحله 1. اثبات وجود.

بگذارید دنباله اصلی (q n) اعداد گویا یک عدد واقعی a را نشان دهد: ((q n)Îa). توسط قضیه 1، $ LО Z 0، به گونه ای که "nО ن q n ³-L، q n £L: (-L£ q n £L).

توسط قضیه 3 (q n)Îa Û "e>0، eО آر$ pо ن: (("nO ن، n³p) Þ ½q n -a½ £ e).

سپس "n³p ½a½=½a- q n + q n ½£½a- q n½+½ q n½£ e + L.

½a½ £ e + L Û -L-e £ a £ L+e.

زیرا e یک عدد دلخواه >0 است، سپس –L £ a £ L. پس از این مشخص است که -1-L< a < L+1.

سپس، در میان یک مجموعه متناهی از اعداد صحیح: -L-1، -L، -L+1، ...، -1، 0، +1، ...، L، L+1، پیدا می کنیم. اولینعدد M+1 که شرط a برقرار است< M+1.

سپس عدد M نابرابری M £ a را برآورده نمی کند< M+1, т.е. такое число M существует.

مرحله 2. اثبات منحصر به فرد بودن

نظریه‌های ریاضی معمولاً با اجازه دادن به مجموعه‌ای از اعداد (داده‌های اولیه) به مجموعه‌ای دیگر از اعداد که یک هدف میانی یا نهایی محاسبه را تشکیل می‌دهند، راه خود را پیدا می‌کنند. به همین دلیل توابع عددی جایگاه ویژه ای در ریاضیات و کاربردهای آن دارند. آنها (به طور دقیق تر، به اصطلاح توابع عددی قابل تمایز) هدف اصلی مطالعه تحلیل کلاسیک را تشکیل می دهند. اما هرگونه توصیف کاملی از ویژگی‌های این توابع از دیدگاه ریاضیات مدرن، همانطور که قبلاً در مدرسه تجربه کرده‌اید و به زودی خواهید دید، بدون تعریف دقیق مجموعه اعداد حقیقی که این توابع بر روی آنها انجام می‌شوند، غیرممکن است. عمل کنید

عدد در ریاضیات، مانند زمان در فیزیک، برای همه شناخته شده است، اما فقط برای متخصصان قابل درک نیست. این یکی از اصلی ترین انتزاعات ریاضی است که ظاهراً هنوز تکامل قابل توجهی در پیش دارد و داستان آن می تواند به یک دوره فشرده مستقل اختصاص یابد. در اینجا فقط منظور ما این است که آنچه را که خواننده اساساً در مورد اعداد حقیقی از دبیرستان می داند گرد هم بیاوریم و ویژگی های اساسی و مستقل اعداد را در قالب بدیهیات برجسته کنیم. در عین حال، هدف ما ارائه یک تعریف دقیق از اعداد واقعی مناسب برای استفاده های بعدی ریاضی و توجه ویژه به ویژگی کامل بودن یا تداوم آنها است که جوانه عبور به حد است - غیر حسابی اصلی. عملیات تجزیه و تحلیل

§ 1. بدیهیات و برخی از خصوصیات کلی مجموعه اعداد حقیقی

1. تعریف مجموعه اعداد حقیقی

تعریف 1. مجموعه E را مجموعه اعداد حقیقی (واقعی) و عناصر آن را واقعی (واقعی) می نامند.

اعداد در صورتی که مجموعه شرایط زیر که بدیهیات اعداد حقیقی نامیده می شود برآورده شود:

(I) بدیهیات جمع

نگاشت تعریف شده (عملیات افزودن)

اختصاص دادن به هر جفت مرتب شده از عناصر از E عنصری به نام مجموع x و y. در این صورت شرایط زیر رعایت می شود:

یک عنصر خنثی 0 وجود دارد (که در صورت جمع صفر نامیده می شود) به طوری که برای هر یک

برای هر عنصر عنصری وجود دارد که مخالف آن نامیده می شود

عملیات 4 تداعی کننده است، یعنی برای هر عنصری از

عملیات 4 جابجایی است، یعنی برای هر عنصری از E،

اگر عملیاتی بر روی مجموعه ای تعریف شود که بدیهیات را برآورده کند، آنگاه می گویند که ساختار گروه داده شده است یا یک گروه وجود دارد. اگر عملیات جمع نامیده شود، گروه را افزودنی می نامند. علاوه بر این، اگر معلوم شود که عملیات جابجایی است، یعنی شرط برقرار است، گروه را جابجایی یا آبلی می نامند. بنابراین، بدیهیات می گویند که E یک گروه آبلی افزایشی است.

(II) بدیهیات ضرب

نگاشت تعریف شده (عملیات ضرب)

به هر جفت عنصر مرتب شده از E عنصری به نام حاصلضرب x و y اختصاص می دهد و به گونه ای که شرایط زیر برآورده می شود:

1. یک عنصر خنثی در مورد ضرب در یک وجود دارد به طوری که

2. برای هر عنصر عنصری به نام معکوس آن وجود دارد، به طوری که

3. عملیات تداعی کننده است، یعنی هر یک از E

4. عملیات جابجایی است، یعنی برای هر

توجه داشته باشید که با توجه به عملیات ضرب، می توان تأیید کرد که مجموعه یک گروه (ضربی) است.

(I, II) رابطه بین جمع و ضرب

ضرب با توجه به جمع توزیعی است، یعنی.

توجه داشته باشید که به دلیل جابجایی بودن ضرب، در صورت تغییر ترتیب عوامل در هر دو قسمت آن، آخرین برابری حفظ می شود.

اگر در یک مجموعه دو عملیات وجود داشته باشد که تمام بدیهیات فهرست شده را برآورده کند، آن را یک میدان جبری یا به سادگی یک میدان می نامند.

(III) بدیهیات نظم

بین عناصر E رابطه وجود دارد، یعنی برای عناصر E مشخص می شود که آیا تحقق می یابد یا خیر. در این مورد، شرایط زیر باید رعایت شود:

این رابطه را رابطه نابرابری می نامند.

مجموعه‌ای که بین برخی از عناصر آن رابطه‌ای وجود دارد که اصول 0، 1، 2 را برآورده می‌کند، تا حدی مرتب نامیده می‌شود و اگر علاوه بر این، اصل 3 ارضا شود، یعنی هر دو عنصر از مجموعه قابل مقایسه هستند. ، سپس مجموعه به صورت خطی مرتب شده نامیده می شود.

بنابراین، مجموعه اعداد حقیقی با رابطه نابرابری بین عناصر آن به صورت خطی مرتب می شوند.

(I, III) رابطه بین جمع و ترتیب در R

اگر x، عناصر R هستند، پس

(II, III) رابطه بین ضرب و ترتیب در R

اگر عناصر R هستند، پس

(IV) اصل کامل بودن (تداوم)

اگر X و Y زیرمجموعه‌های غیرتهی E هستند که دارای خاصیت این هستند که برای هر عنصری وجود دارد، برای هر عنصری وجود دارد.

این فهرست بدیهیاتی را تکمیل می کند که تحقق آنها در هر مجموعه E به ما امکان می دهد این مجموعه را به عنوان یک پیاده سازی خاص یا به قول آنها مدلی از اعداد واقعی در نظر بگیریم.

این تعریف به طور رسمی هیچ اطلاعات اولیه ای در مورد اعداد را پیش فرض نمی گیرد، و از آن، "از جمله تفکر ریاضی"، دوباره به طور رسمی باید خواص باقیمانده اعداد حقیقی را به عنوان قضیه به دست آوریم. مایلم در رابطه با این فرمالیسم بدیهی چند نظر غیررسمی داشته باشم.

تصور کنید که از اضافه کردن سیب، مکعب یا سایر مقادیر نامگذاری شده به جمع اعداد طبیعی انتزاعی پیشرفت نکرده اید. اینکه بخش ها را اندازه گیری نکردید و به اعداد گویا نرسیدید. اینکه کشف بزرگ پیشینیان را نمی دانی که قطر مربع با ضلع آن نامتناسب است و بنابراین طول آن نمی تواند عدد گویا باشد، یعنی به اعداد غیر منطقی نیاز است. اینکه شما مفهوم "بیشتر" را که در فرآیند اندازه گیری به وجود می آید ندارید، مثلاً با تصویر یک خط عددی، نظم را برای خود نشان نمی دهید. اگر همه اینها از قبل وجود نداشت، آنگاه مجموعه بدیهیات فهرست شده نه تنها به عنوان نتیجه قطعی رشد معنوی تلقی نمی شد، بلکه حداقل عجیب و در هر صورت میوه دلخواه خیال به نظر می رسید.

در مورد هر سیستم انتزاعی بدیهیات، حداقل دو سؤال بلافاصله مطرح می شود.

اول، آیا این بدیهیات سازگار هستند، به عنوان مثال، آیا مجموعه ای وجود دارد که تمام شرایط ذکر شده را برآورده کند؟ این یک سؤال در مورد قوام بدیهیات است.

ثانیاً، اینکه آیا یک سیستم معین از بدیهیات به طور منحصربه‌فردی یک شی ریاضی را تعیین می‌کند، یعنی همانطور که منطق‌دانان می‌گویند، آیا سیستم بدیهیات مقوله‌ای است یا خیر.

ابهام در اینجا باید به صورت زیر درک شود. اگر افراد A و B، به طور مستقل، مدل‌های خود را بسازند، مثلاً از سیستم‌های عددی که بدیهیات را برآورده می‌کنند، می‌توان یک تناظر دوگانه بین مجموعه‌ها برقرار کرد، حتی اگر عملیات‌های حسابی و روابط نظم را حفظ کند، یعنی.

از نقطه نظر ریاضی، در این مورد، آنها فقط اجراهای متفاوت (کاملاً مساوی) (مدل) اعداد واقعی هستند (مثلاً - کسرهای اعشاری بی نهایت و - نقاط روی خط اعداد). به این گونه پیاده سازی ها ایزومورفیک و نقشه برداری ایزومورفیسم می گویند. بنابراین، نتایج فعالیت ریاضی نه به پیاده‌سازی فردی، بلکه به هر مدل از کلاس مدل‌های هم‌شکلی یک بدیهیات معین مربوط می‌شود.

ما در اینجا به سؤالات مطرح شده در بالا نمی پردازیم و فقط به پاسخ های آموزنده به آنها اکتفا می کنیم.

پاسخ مثبت به سؤال در مورد قوام بدیهیات همیشه مشروط است. در رابطه با اعداد، به نظر می رسد: بر اساس بدیهیات نظریه مجموعه ها که پذیرفته ایم (به فصل اول، بند 4، بند 2 مراجعه کنید)، می توانیم مجموعه ای از اعداد طبیعی، سپس مجموعه ای از گویا، و در نهایت، یک مجموعه E از تمام اعداد واقعی، که تمام ویژگی های بالا را برآورده می کند.

15. اگر مجموعه های غیرخالی A و B اعداد حقیقی به گونه ای باشد که برای هر و نابرابری a< b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

اصل کامل بودن فقط در R معتبر است.

می توان ثابت کرد که بین هر اعداد گویا نابرابر همیشه می توان یک عدد گویا نابرابر درج کرد.

از بدیهیات داده شده در بالا، می توان یکتا بودن صفر و یک، وجود و یکتایی تفاوت و ضریب را استنباط کرد. اجازه دهید به ویژگی‌های نابرابری‌هایی که به طور گسترده در تبدیل‌های مختلف استفاده می‌شوند، توجه داشته باشیم:

1. اگر الف< b, с < d , то a+c < b+d.

2. اگر الف< b, то –a >– ب.

3. اگر a > 0، b< 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab >0. (مورد دوم برای a > 0، b > 0 نیز صادق است.)

4. اگر 0< a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. اگر الف< b, c >0، سپس ac< bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. اگر 0< a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. برای هر اعداد مثبت a و b، یک عدد nО N وجود دارد به طوری که na > b ارشمیدس، برای قطعات با طول a، b، na).

نمادهای زیر برای مجموعه های عددی استفاده می شود:

ن – مجموعه اعداد طبیعی؛

ز – مجموعه اعداد صحیح؛

س – مجموعه اعداد گویا؛

من – مجموعه ای از اعداد غیر منطقی؛

آر – مجموعه اعداد واقعی؛

R + - مجموعه ای از اعداد مثبت واقعی؛

R_ – مجموعه ای از اعداد منفی واقعی؛

R 0 - مجموعه ای از اعداد غیر منفی واقعی.

C مجموعه ای از اعداد مختلط است (تعریف و ویژگی های این مجموعه در بخش 1.1 مورد بحث قرار گرفته است).

اجازه دهید مفهوم کران را در مجموعه اعداد حقیقی معرفی کنیم. این به طور فعال در بحث های بعدی استفاده خواهد شد.

اگر چنین عدد واقعی M وجود داشته باشد، مجموعه‌ای را LIMITED ABOVE (پایین) صدا می‌زنیم (متر ) هر عنصری نابرابری را برآورده می کند:

عدد M را کران بالای مجموعه A و عدد m می نامند – کران پایین این مجموعه.

مجموعه ای که از بالا و پایین محدود شده باشد، محدود نامیده می شود.

یک دسته از ن اعداد طبیعی در زیر محدود می شوند، اما در بالا محدود نمی شوند. مجموعه اعداد صحیح ز نه در زیر و نه در بالا محدود نمی شود.

اگر مجموعه ای از مساحت های مثلث دلخواه را که در دایره ای با قطر محاط شده اند در نظر بگیریم D ، سپس از پایین با صفر و از بالا محدود می شود – مساحت هر چندضلعی که شامل یک دایره است (به ویژه مساحت مربع محصور برابر با D 2 ).

هر مجموعه ای که در بالا (پایین) محدود شده باشد، بی نهایت وجه بالایی (پایینی) دارد. سپس، آیا از تمام کران های بالایی کوچک ترین و از تمام کران های پایینی بزرگ ترین وجود دارد؟

با شماره تماس میگیریم برتری مجموعه ای که در بالا محدود شده است آÌ آر ، اگر:

1. یکی از حاشیه های بالایی مجموعه است آ ;

2. کوچکترین کران بالای مجموعه است آ . به عبارت دیگر عدد واقعی برتری مجموعه است آÌ آر ، اگر:

عنوان پذیرفته شده

به همین ترتیب وارد کنید: – infimum یک مجموعه محدود شده در زیر آ و نامگذاری های مربوطه

در لاتین: supremum - بالاترین، infimum - کمترین.

چهره های دقیق یک مجموعه ممکن است متعلق به آن باشد یا نباشد.

قضیه. یک مجموعه غیر خالی از اعداد حقیقی که در بالا (زیر) محدود شده اند دارای کران بالا (پایین) هستند.

ما این قضیه را بدون دلیل می پذیریم. به عنوان مثال، اگر، آنگاه حد بالایی را می توان عدد 100، پایین را - 10 و . اگر پس از آن. در مثال دوم، مرزهای دقیق متعلق به این مجموعه نیست.

روی مجموعه اعداد حقیقی، دو زیرمجموعه مجزا از اعداد جبری و ماورایی قابل تشخیص هستند.

اعداد جبری اعدادی هستند که ریشه یک چند جمله ای هستند

که ضرایب آن – تمام اعداد.

در جبر بالاتر ثابت می شود که مجموعه ریشه های مختلط یک چند جمله ای متناهی و برابر با n است. (اعداد مختلط تعمیم اعداد واقعی هستند). مجموعه اعداد جبری قابل شمارش است . این شامل تمام اعداد گویا، از اعداد شکل است

معادله را برآورده کند

همچنین ثابت شده است که اعداد جبری وجود دارند که رادیکال اعداد گویا نیستند. این نتیجه بسیار مهم تلاش های بی ثمر برای یافتن راه حل برای معادلات درجه بالاتر از چهار رادیکال را متوقف کرد. جست‌وجوهای چند صد ساله جبری‌دانانی که این مسئله را مطالعه می‌کردند توسط ریاضی‌دان فرانسوی E.Galois خلاصه شد که در سن 21 سالگی درگذشت. آثار علمی او تنها 60 صفحه است، اما آنها سهمی درخشان در توسعه ریاضیات داشتند.

مرد جوانی که عاشقانه و بی اختیار به این علم عشق می ورزید، دو بار سعی کرد وارد معتبرترین موسسه آموزشی فرانسه در آن زمان شود. – دانشکده پلی تکنیک – ناموفق شروع به تحصیل در یک مدرسه عالی ممتاز کرد – به دلیل درگیری با کارگردان اخراج شد. او که پس از سخنرانی علیه لوئی فیلیپ به زندانی سیاسی تبدیل شد، دست نوشته ای را با مطالعه حل معادله در رادیکال ها از زندان به آکادمی علوم پاریس منتقل کرد. آکادمی این اثر را رد کرد. یک مرگ پوچ در یک دوئل به زندگی این مرد خارق العاده پایان داد.

مجموعه ای که تفاوت بین مجموعه اعداد حقیقی و جبری باشد، مجموعه اعداد متعالی نامیده می شود. . بدیهی است که هر عدد ماورایی نمی تواند ریشه یک چند جمله ای با ضرایب صحیح باشد.

در عین حال، اثبات ماورایی هر عددی مشکلات بسیار زیادی را ایجاد کرد.

تنها در سال 1882، یک استاد دانشگاه کونیگزبرگ، F. Lindemann، توانست ماورایی عدد را اثبات کند، که از آنجا مشخص شد که حل مشکل مربع کردن یک دایره غیرممکن است (ساخت مربع با مساحت دایره معین با استفاده از قطب نما و خط کش). می بینیم که ایده های جبر، تجزیه و تحلیل و هندسه متقابلاً در یکدیگر نفوذ می کنند.

معرفی بدیهی اعداد حقیقی به دور از تنها معرفی است. این اعداد را می توان با ترکیب مجموعه اعداد گویا و غیر منطقی یا به صورت اعشار بی نهایت و یا با بریدن مجموعه اعداد گویا معرفی کرد.

*1) این مطالب برگرفته از فصل هفتم کتاب است:

L.I. Lurie مبانی ریاضیات عالی / کتاب درسی / M.: انتشارات و شرکت بازرگانی "Dashkov and Co"، - 2003، - 517 P.

یوتیوب دایره المعارفی

1 / 5

✪ بدیهیات اعداد واقعی

✪ مقدمه اعداد واقعی | matan #001 | بوریس تروشین +

✪ اصل قطعات تو در تو | matan #003 | بوریس تروشین!

✪ اصول مختلف تداوم | matan #004 | بوریس تروشین!

✪ اصل تداوم. اصل کانتور در مورد قلمه های تو در تو

زیرنویس

بدیهیات تداوم

جمله زیر شاید ساده ترین و راحت ترین فرمول برای کاربردهای خاصیت تداوم اعداد حقیقی باشد. در ساخت بدیهی نظریه اعداد حقیقی، قطعاً این گزاره یا معادل آن در بدیهیات عدد حقیقی گنجانده شده است.

اصل استمرار (کمالیت). A ⊂ R (\displaystyle A\subset \mathbb (R))و B ⊂ R (\displaystyle B\subset \mathbb (R))و نابرابری برقرار است، چنین عدد واقعی وجود دارد ξ (\displaystyle \xi)این برای همه است a ∈ A (\displaystyle a\in A)و b ∈ B (\displaystyle b\in B)یک رابطه وجود دارد

از نظر هندسی، اگر اعداد حقیقی را به عنوان نقاط روی یک خط در نظر بگیریم، این جمله بدیهی به نظر می رسد. اگر دو ست A (\displaystyle A)و B (\displaystyle B)به گونه ای هستند که در خط اعداد همه عناصر یکی از آنها در سمت چپ همه عناصر دوم قرار دارند، سپس یک عدد وجود دارد ξ (\displaystyle \xi), تقسيم كردناین دو مجموعه، یعنی در سمت راست همه عناصر قرار دارند A (\displaystyle A)(به جز شاید خیلی ξ (\displaystyle \xi)) و در سمت چپ همه عناصر B (\displaystyle B)(همان سلب مسئولیت).

در اینجا لازم به ذکر است که با وجود "بدیهی" بودن این ویژگی، همیشه برای اعداد گویا صادق نیست. به عنوان مثال، دو مجموعه را در نظر بگیرید:

دیدن آن برای هر عنصری آسان است a ∈ A (\displaystyle a\in A)و b ∈ B (\displaystyle b\in B)نابرابری برقرار است آ< b {\displaystyle a. با این حال گویاشماره ξ (\displaystyle \xi)، جداسازی این دو مجموعه، وجود ندارد. در واقع، این تعداد فقط می تواند باشد 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))، اما عقلانی نیست.

نقش اصل تداوم در ساخت تحلیل ریاضی

معنای اصل تداوم به گونه ای است که بدون آن، ساخت دقیق تحلیل ریاضی غیرممکن است. برای نشان دادن، چندین گزاره اساسی تحلیل را ارائه می‌کنیم که اثبات آن‌ها مبتنی بر تداوم اعداد واقعی است:

• (قضیه وایرشتراس).هر دنباله یکنواخت افزایشی محدود شده همگرا می شود
• (قضیه بولزانو کوشی).یک تابع پیوسته بر روی یک قطعه، با گرفتن مقادیر علائم مختلف در انتهای آن، در برخی از نقاط داخلی قطعه ناپدید می شود.
• (وجود توابع توان، نمایی، لگاریتمی و همه مثلثاتی در سراسر حوزه «طبیعی» تعریف).به عنوان مثال ثابت شده است که برای هر a > 0 (\displaystyle a>0)و کل n ⩾ 1 (\displaystyle n\geqslant 1)وجود دارد a n (\displaystyle (\sqrt[(n)](a)))، یعنی حل معادله x n = a، x > 0 (\displaystyle x^(n)=a,x>0). این به شما امکان می دهد ارزش عبارت را برای همه منطقی تعیین کنید x (\displaystyle x):

A m / n = (a n) m (\displaystyle a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\راست)^(m))

در نهایت، دوباره به لطف تداوم خط اعداد، می‌توانیم مقدار عبارت را تعیین کنیم a x (\displaystyle a^(x))در حال حاضر برای دلخواه x ∈ R (\displaystyle x\in \mathbb (R)). به همین ترتیب با استفاده از خاصیت تداوم، وجود عدد ثابت می شود log a⁡ b (\displaystyle \log _(a)(b))برای هرچی a , b > 0 , a ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).

برای یک دوره تاریخی طولانی، ریاضیدانان قضایایی را از تجزیه و تحلیل، در «مکان‌های ظریف» که به توجیه هندسی اشاره می‌کردند، اثبات می‌کردند، و اغلب، به‌کلی از آنها صرفنظر می‌کردند، زیرا واضح بود. مفهوم بسیار مهم تداوم بدون هیچ تعریف روشنی استفاده شد. تنها در یک سوم پایانی قرن نوزدهم، کارل وایرشتراس، ریاضیدان آلمانی، تحلیل را حساب کرد و اولین نظریه دقیق اعداد حقیقی را به صورت کسرهای اعشاری نامتناهی ساخت. او یک تعریف کلاسیک از حد در زبان ارائه کرد ε - δ (\displaystyle \varepsilon -\delta)، تعدادی از اظهارات را ثابت کرد که قبل از او "بدیهی" تلقی می شدند و از این طریق ساخت پایه تجزیه و تحلیل ریاضی را تکمیل کردند.

بعدها روش های دیگری برای تعیین عدد واقعی پیشنهاد شد. در رویکرد بدیهی، پیوستگی اعداد حقیقی به صراحت به عنوان یک اصل موضوعی جداگانه برجسته شده است. در رویکردهای سازنده به نظریه اعداد حقیقی، به عنوان مثال هنگام ساخت اعداد حقیقی با استفاده از بخش‌های ددکیند، خاصیت پیوستگی (به یک شکل یا شکل دیگر) به عنوان یک قضیه اثبات می‌شود.

فرمول بندی های دیگر خاصیت تداوم و جملات معادل

چندین گزاره مختلف وجود دارد که خاصیت تداوم اعداد حقیقی را بیان می کند. هر یک از این اصول را می توان به عنوان مبنایی برای ساخت نظریه اعداد حقیقی به عنوان بدیهیات پیوستگی استفاده کرد و سایر اصول را می توان از آن استخراج کرد. این موضوع در بخش بعدی با جزئیات بیشتر مورد بحث قرار می گیرد.

تداوم از نظر ددکیند

ددکیند در اثر خود با عنوان «تداوم و اعداد غیر منطقی» به مسئله پیوستگی اعداد حقیقی می پردازد. در آن، او اعداد گویا را با نقاط روی یک خط مستقیم مقایسه می کند. همانطور که مشخص است، زمانی که نقطه شروع و واحد اندازه گیری قطعات در خط انتخاب می شود، می توان بین اعداد گویا و نقاط روی یک خط مطابقت ایجاد کرد. با استفاده از دومی، برای هر عدد گویا a (\displaystyle a)قطعه مربوطه را بسازید، و بسته به وجود آن، آن را در سمت راست یا چپ قرار دهید a (\displaystyle a)عدد مثبت یا منفی، یک امتیاز بگیرید p (\displaystyle p)، مطابق با شماره a (\displaystyle a). بنابراین، برای هر عدد گویا a (\displaystyle a)مسابقات یک و تنها یک امتیازی p (\displaystyle p)روی یک خط مستقیم

معلوم می شود که بی نهایت نقاط روی خط وجود دارد که با هیچ عدد گویا مطابقت ندارند. به عنوان مثال، نقطه ای که با ترسیم طول قطر مربع ساخته شده بر روی یک قطعه واحد به دست می آید. بنابراین، منطقه اعداد گویا این را ندارد کامل بودن، یا تداوم، که ذاتی یک خط مستقیم است.

ددکیند برای اینکه بفهمد این تداوم از چه چیزی تشکیل شده است، نکته زیر را بیان می کند. اگر p (\displaystyle p)نقطه خاصی روی خط وجود دارد، سپس تمام نقاط روی خط به دو دسته تقسیم می شوند: نقاطی که در سمت چپ قرار دارند p (\displaystyle p)و نقاطی که در سمت راست قرار دارند p (\displaystyle p). دقیقا همین نکته p (\displaystyle p)را می توان به صورت دلخواه به طبقه پایین یا بالا اختصاص داد. ددکیند جوهر تداوم را در اصل معکوس می بیند:

از نظر هندسی، این اصل بدیهی به نظر می رسد، اما ما قادر به اثبات آن نیستیم. ددکیند تأکید می کند که در اصل، این اصل یک فرض است که ماهیت آن خاصیت مستقیم نسبت داده شده را بیان می کند که ما آن را تداوم می نامیم.

برای درک بهتر ماهیت پیوستگی خط اعداد به معنای ددکیند، بخشی دلخواه از مجموعه اعداد حقیقی را در نظر بگیرید، یعنی تقسیم تمام اعداد حقیقی به دو کلاس غیر خالی، به طوری که همه اعداد یک کلاس روی خط اعداد سمت چپ همه اعداد دوم قرار دارد. این کلاس ها بر این اساس نامگذاری شده اند پایین ترو کلاس های بالاتربخش ها در تئوری 4 احتمال وجود دارد:

1. طبقه پایین دارای یک عنصر حداکثر است، طبقه بالا دارای حداقل نیست
2. طبقه پایین دارای عنصر حداکثر نیست، اما طبقه بالا دارای حداقل است
3. طبقه پایین دارای حداکثر و طبقه بالا دارای حداقل عناصر است
4. طبقه پایین حداکثر و طبقه بالا فاقد عناصر حداقل است

در حالت اول و دوم به ترتیب حداکثر عنصر پایین یا حداقل عنصر بالا این قسمت را تولید می کند. در مورد سوم داریم جهش، و در چهارم - فضا. بنابراین، پیوستگی خط اعداد به این معنی است که در مجموعه اعداد حقیقی هیچ پرش یا شکافی وجود ندارد، یعنی به طور مجازی هیچ خللی وجود ندارد.

این پیشنهاد همچنین معادل اصل تداوم ددکیند است. علاوه بر این، می توان نشان داد که گزاره قضیه supremum مستقیماً از گزاره قضیه infimum پیروی می کند و بالعکس (به زیر مراجعه کنید).

لم پوشش محدود (اصل هاینه-بورل)

لم پوشش محدود (هاینه - بورل). در هر سیستمی از فواصل که یک بخش را پوشش می دهد، یک زیر سیستم محدود وجود دارد که این بخش را پوشش می دهد.

لم نقطه حدی (اصل بولزانو وایرشتراس)

لم نقطه محدود (بولزانو - وایرشتراس). هر مجموعه تعداد محدود نامتناهی حداقل یک نقطه حد دارد.. گروه دوم این واقعیت را بیان می کند که مجموعه اعداد حقیقی است و رابطه ترتیب با عملیات اصلی فیلد سازگار است. بنابراین، دسته اول و دوم بدیهیات به این معنی است که مجموعه اعداد واقعی یک میدان مرتب را نشان می دهد. دسته سوم بدیهیات شامل یک اصل است - بدیهیات پیوستگی (یا کامل بودن).

برای نشان دادن هم ارزی فرمول های مختلف تداوم اعداد حقیقی، لازم است ثابت شود که اگر یکی از این گزاره ها برای یک فیلد مرتب صدق کند، آنگاه اعتبار همه گزاره های دیگر از این نتیجه می شود.

قضیه. اجازه دهید یک مجموعه سفارشی خطی دلخواه باشد. جملات زیر با هم برابرند:

1. هر چه مجموعه های غیر خالی و B ⊂ R (\displaystyle B\subset (\mathsf (R)))، به طوری که برای هر دو عنصر a ∈ A (\displaystyle a\in A)و b ∈ B (\displaystyle b\in B)نابرابری برقرار است a ⩽ b (\displaystyle a\leqslant b)، چنین عنصری وجود دارد ξ ∈ R (\displaystyle \xi \in (\mathsf (R)))این برای همه است a ∈ A (\displaystyle a\in A)و b ∈ B (\displaystyle b\in B)یک رابطه وجود دارد a ⩽ ξ ⩽ b (\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b)
2. برای هر بخش در R (\displaystyle (\mathsf (R)))یک عنصر تولید کننده این بخش وجود دارد
3. هر مجموعه غیر خالی محدود شده در بالا A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf (R)))برتری دارد
4. هر مجموعه غیر خالی از پایین محدود شده است A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf (R)))دارای infimum است

همانطور که از این قضیه پیداست، این چهار جمله فقط از آنچه هست استفاده می کنند R (\displaystyle (\mathsf (R)))یک رابطه ترتیب خطی معرفی می شود و از ساختار میدان استفاده نمی شود. بنابراین، هر یک از آنها بیان کننده خاصیت است R (\displaystyle (\mathsf (R)))به عنوان یک مجموعه منظم خطی. این ویژگی (یک مجموعه منظم خطی دلخواه، نه الزاما مجموعه اعداد واقعی) نامیده می شود. به گفته ددکیند تداوم یا کامل بودن.

اثبات معادل بودن جملات دیگر نیاز به وجود ساختار میدانی دارد.

قضیه. اجازه دهید R (\displaystyle (\mathsf (R)))- میدان سفارش دلخواه. جملات زیر معادل هستند:

اظهار نظر. همانطور که از قضیه پیداست، اصل خود قطعات تودرتو است معادل نیستاصل تداوم ددکیند. از اصل تداوم ددکیند، اصل قطعات تودرتو دنبال می‌شود، اما برای عکس آن، لازم است که فیلد مرتب شده نیز مورد نیاز باشد.

طرح:

معرفی

• 1 بدیهیات تداوم
• 2 نقش اصل تداوم در ساخت تحلیل ریاضی
• 3 فرمول بندی های دیگر خاصیت تداوم و جملات معادل
  • 3.1 تداوم از نظر ددکیند
  • 3.2 لم روی بخش های تو در تو (اصل کوشی-کانتور)
  • 3.3 اصل برتر
  • 3.4 لم پوشش محدود (اصل هاینه-بورل)
  • 3.5 لم نقطه حدی (اصل بولزانو وایرشتراس)
• 4 هم ارزی جملاتی که تداوم مجموعه اعداد حقیقی را بیان می کنند
یادداشت
ادبیات

معرفی

تداوم اعداد حقیقی- خاصیتی از سیستم اعداد حقیقی که مجموعه اعداد گویا دارای آن نیست. گاهی به جای تداوم صحبت می کنند کامل بودن سیستم اعداد واقعی. چندین فرمول مختلف از ویژگی تداوم وجود دارد که معروف ترین آنها عبارتند از: اصل ددکیند در مورد تداوم اعداد حقیقی, اصل فاصله تو در تو کوشی-کانتور, قضیه برتر. بسته به تعریف پذیرفته شده اعداد حقیقی، خاصیت پیوستگی را می توان به عنوان یک اصل موضوع فرض کرد - در یک فرمول یا فرمول دیگر، یا به عنوان یک قضیه اثبات کرد.

1. بدیهیات تداوم

جمله زیر شاید ساده ترین و راحت ترین فرمول برای کاربردهای خاصیت تداوم اعداد حقیقی باشد. در ساخت بدیهی نظریه اعداد حقیقی، این گزاره یا معادل آن، قطعاً در تعداد بدیهیات عدد حقیقی گنجانده شده است.

تصویر هندسی اصل تداوم

اصل استمرار (کمالیت). مجموعه های غیر خالی هر چه که برای هر دو عنصر و نابرابری برقرار باشد، عدد ξ وجود دارد به طوری که برای همه و رابطه برقرار است.

از نظر هندسی، اگر اعداد حقیقی را به عنوان نقاط روی یک خط در نظر بگیریم، این جمله بدیهی به نظر می رسد. اگر دو ست آو ببه گونه ای هستند که در خط اعداد همه عناصر یکی از آنها در سمت چپ همه عناصر دوم قرار دارند، سپس یک عدد ξ وجود دارد، تقسيم كردناین دو مجموعه، یعنی در سمت راست همه عناصر قرار دارند آ(به جز خود ξ) و در سمت چپ همه عناصر ب(همان سلب مسئولیت).

در اینجا لازم به ذکر است که با وجود "بدیهی" بودن این ویژگی، همیشه برای اعداد گویا صادق نیست. به عنوان مثال، دو مجموعه را در نظر بگیرید:

به راحتی می توان آن را برای هر عنصر و نابرابری مشاهده کرد آ < ب. با این حال گویاهیچ عدد ξ وجود ندارد که این دو مجموعه را از هم جدا کند. در واقع، این عدد فقط می تواند باشد، اما منطقی نیست.

2. نقش اصل تداوم در ساخت تحلیل ریاضی

اهمیت اصل تداوم به حدی است که بدون آن ساخت دقیق تحلیل ریاضی غیرممکن است. برای نشان دادن، چندین گزاره اساسی تحلیل را ارائه می‌کنیم که اثبات آن‌ها مبتنی بر تداوم اعداد واقعی است:

در نهایت، دوباره به لطف تداوم خط اعداد، می‌توانیم مقدار عبارت را تعیین کنیم آ ایکسقبلا برای دلخواه . به همین ترتیب، با استفاده از خاصیت پیوستگی، وجود لاگ اعداد را ثابت می کنیم آ ببرای هرچی .

برای یک دوره تاریخی طولانی، ریاضیدانان قضایایی را از تجزیه و تحلیل، در «مکان‌های ظریف» که به توجیه هندسی اشاره می‌کردند، اثبات می‌کردند، و اغلب آنها را به کلی نادیده می‌گرفتند زیرا واضح بود. مفهوم بسیار مهم تداوم بدون هیچ تعریف روشنی استفاده شد. تنها در یک سوم پایانی قرن نوزدهم، کارل وایرشتراس، ریاضیدان آلمانی، تحلیل را حساب کرد و اولین نظریه دقیق اعداد حقیقی را به صورت کسرهای اعشاری نامتناهی ساخت. او تعریف کلاسیک حد را در زبان پیشنهاد کرد، تعدادی از گزاره‌ها را که پیش از او «بدیهی» تلقی می‌شدند، اثبات کرد و از این طریق ساخت پایه تحلیل ریاضی را تکمیل کرد.

بعدها روش های دیگری برای تعیین عدد واقعی پیشنهاد شد. در رویکرد بدیهی، پیوستگی اعداد حقیقی به صراحت به عنوان یک اصل موضوعی جداگانه برجسته شده است. در رویکردهای سازنده به نظریه اعداد حقیقی، برای مثال، هنگام ساخت اعداد حقیقی با استفاده از بخش‌های Dedekind، خاصیت پیوستگی (در یک شکل یا شکل دیگر) به عنوان یک قضیه اثبات می‌شود.

3. سایر صورت بندی های خاصیت استمرار و جملات معادل

چندین گزاره مختلف وجود دارد که خاصیت تداوم اعداد حقیقی را بیان می کند. هر یک از این اصول را می توان به عنوان مبنایی برای ساخت نظریه اعداد حقیقی به عنوان بدیهیات پیوستگی استفاده کرد و سایر اصول را می توان از آن استخراج کرد. این موضوع در بخش بعدی با جزئیات بیشتر مورد بحث قرار می گیرد.

3.1. تداوم از نظر ددکیند

ددکیند در اثر خود با عنوان "تداوم و اعداد غیر منطقی" به مسئله پیوستگی اعداد حقیقی می پردازد. در آن، او اعداد گویا را با نقاط روی یک خط مستقیم مقایسه می کند. همانطور که مشخص است، زمانی که نقطه شروع و واحد اندازه گیری قطعات در خط انتخاب می شود، می توان بین اعداد گویا و نقاط روی یک خط مطابقت ایجاد کرد. با استفاده از دومی، برای هر عدد گویا آقطعه مربوطه را بسازید، و بسته به وجود آن، آن را در سمت راست یا چپ قرار دهید آعدد مثبت یا منفی، یک امتیاز بگیرید پ، مطابق با شماره آ. بنابراین، برای هر عدد گویا آمسابقات یک و تنها یک امتیازی پروی یک خط مستقیم

معلوم می شود که بی نهایت نقاط روی خط وجود دارد که با هیچ عدد گویا مطابقت ندارند. به عنوان مثال، نقطه ای که با ترسیم طول قطر مربع ساخته شده بر روی یک قطعه واحد به دست می آید. بنابراین، منطقه اعداد گویا این را ندارد کامل بودن، یا تداوم، که ذاتی یک خط مستقیم است.

ددکیند برای اینکه بفهمد این تداوم از چه چیزی تشکیل شده است، نکته زیر را بیان می کند. اگر پنقطه خاصی روی خط وجود دارد، سپس تمام نقاط روی خط به دو دسته تقسیم می شوند: نقاطی که در سمت چپ قرار دارند پو نقاطی که در سمت راست قرار دارند پ. دقیقا همین نکته پرا می توان به صورت دلخواه به طبقه پایین یا بالا اختصاص داد. ددکیند جوهر تداوم را در اصل معکوس می بیند:

از نظر هندسی، این اصل بدیهی به نظر می رسد، اما ما قادر به اثبات آن نیستیم. ددکیند تأکید می کند که در اصل، این اصل یک فرض است که ماهیت آن خاصیت منسوب به مستقیم را بیان می کند که ما آن را تداوم می نامیم.

برای درک بهتر ماهیت پیوستگی خط اعداد به معنای ددکیند، بخشی دلخواه از مجموعه اعداد حقیقی را در نظر بگیرید، یعنی تقسیم تمام اعداد حقیقی به دو کلاس غیر خالی، به طوری که همه اعداد یک کلاس روی خط اعداد سمت چپ همه اعداد دوم قرار دارد. این کلاس ها بر این اساس نامگذاری شده اند پایین ترو کلاس های بالاتربخش ها در تئوری 4 احتمال وجود دارد:

1. طبقه پایین دارای یک عنصر حداکثر است، طبقه بالا دارای حداقل نیست
2. طبقه پایین دارای عنصر حداکثر نیست، اما طبقه بالا دارای حداقل است
3. طبقه پایین دارای حداکثر و طبقه بالا دارای حداقل عناصر است
4. طبقه پایین حداکثر و طبقه بالا فاقد عناصر حداقل است

در حالت اول و دوم به ترتیب حداکثر عنصر پایین یا حداقل عنصر بالا این قسمت را تولید می کند. در مورد سوم داریم جهش، و در چهارم - فضا. بنابراین، پیوستگی خط اعداد به این معنی است که در مجموعه اعداد حقیقی هیچ پرش یا شکافی وجود ندارد، یعنی به طور مجازی هیچ خللی وجود ندارد.

اگر مفهوم یک بخش از مجموعه ای از اعداد حقیقی را معرفی کنیم، آنگاه اصل تداوم ددکیند را می توان به صورت زیر فرموله کرد.

اصل تداوم (کامل) ددکیند. برای هر بخش از مجموعه اعداد حقیقی، یک عدد وجود دارد که این بخش را ایجاد می کند.

اظهار نظر. فرمول بندی اصل تداوم در مورد وجود نقطه ای که دو مجموعه را از هم جدا می کند بسیار یادآور فرمول بندی اصل تداوم ددکیند است. در واقع، این گزاره ها معادل هستند و اساساً فرمول بندی های متفاوتی از یک چیز هستند. بنابراین هر دوی این گزاره ها نامیده می شوند اصل ددکیند در مورد تداوم اعداد حقیقی.

3.2. لم روی بخش های تو در تو (اصل کوشی-کانتور)

لم در بخش های تو در تو (کوشی - کانتور). هر سیستمی از بخش های تو در تو

دارای یک تقاطع غیر خالی است، یعنی حداقل یک عدد وجود دارد که به تمام بخش های یک سیستم معین تعلق دارد.

علاوه بر این، اگر طول بخش‌های یک سیستم معین به صفر گرایش پیدا کند، یعنی

سپس تقاطع قطعات این سیستم از یک نقطه تشکیل شده است.

این خاصیت نامیده می شود تداوم مجموعه اعداد حقیقی به معنای کانتور. در زیر نشان خواهیم داد که برای میدان های مرتب شده ارشمیدسی، تداوم بر اساس کانتور معادل استمرار مطابق با ددکیند است.

3.3. اصل برتر

اصل برتر. هر مجموعه غیرخالی از اعداد حقیقی که در بالا محدود شده‌اند دارای یک مقدار فوق‌العاده هستند.

در دروس حساب دیفرانسیل و انتگرال، این گزاره معمولاً یک قضیه است و اثبات آن اساساً از پیوستگی مجموعه اعداد حقیقی به شکلی استفاده می کند. در عین حال، برعکس، می‌توان وجود یک برتری را برای هر مجموعه غیر خالی که در بالا محصور شده است، فرض کرد و با تکیه بر آن، برای مثال، اصل تداوم از نظر ددکیند را اثبات کرد. بنابراین، قضیه فوق‌العاده یکی از صورت‌بندی‌های معادل خاصیت تداوم اعداد حقیقی است.

اظهار نظر. به جای supremum می توان از مفهوم دوگانه infimum استفاده کرد.

اصل infimum. هر مجموعه غیرخالی از اعداد حقیقی که از پایین محدود شده‌اند یک infimum دارند.

این پیشنهاد همچنین معادل اصل تداوم ددکیند است. علاوه بر این، می توان نشان داد که گزاره قضیه supremum مستقیماً از گزاره قضیه infimum پیروی می کند و بالعکس (به زیر مراجعه کنید).

3.4. لم پوشش محدود (اصل هاینه-بورل)

لم پوشش محدود (هاینه - بورل). در هر سیستمی از فواصل که یک بخش را پوشش می دهد، یک زیر سیستم محدود وجود دارد که این بخش را پوشش می دهد.

3.5. لم نقطه حدی (اصل بولزانو وایرشتراس)

لم نقطه محدود (بولزانو - وایرشتراس). هر مجموعه تعداد محدود نامتناهی حداقل یک نقطه حد دارد.

4. هم ارزی جملات بیان کننده تداوم مجموعه اعداد حقیقی

اجازه دهید چند نکته مقدماتی را بیان کنیم. با توجه به تعریف بدیهی اعداد حقیقی، مجموعه اعداد حقیقی سه گروه بدیهیات را برآورده می کند. دسته اول بدیهیات میدانی هستند. گروه دوم این واقعیت را بیان می کند که مجموعه اعداد حقیقی یک مجموعه مرتب خطی است و رابطه ترتیب با عملیات اصلی میدان سازگار است. بنابراین، دسته اول و دوم بدیهیات به این معنی است که مجموعه اعداد واقعی یک میدان مرتب را نشان می دهد. دسته سوم بدیهیات شامل یک اصل است - بدیهیات پیوستگی (یا کامل بودن).

برای نشان دادن هم ارزی فرمول های مختلف تداوم اعداد حقیقی، لازم است ثابت شود که اگر یکی از این گزاره ها برای یک فیلد مرتب صدق کند، آنگاه اعتبار همه گزاره های دیگر از این نتیجه می شود.

قضیه. اجازه دهید یک مجموعه سفارشی خطی دلخواه باشد. جملات زیر با هم برابرند:

همانطور که از این قضیه پیداست، این چهار جمله فقط از این واقعیت استفاده می کنند که رابطه ترتیب خطی معرفی شده است و از ساختار میدان استفاده نمی کنند. بنابراین، هر یک از آنها ویژگی بودن یک مجموعه منظم خطی را بیان می کند. این ویژگی (یک مجموعه منظم خطی دلخواه، نه الزاما مجموعه اعداد واقعی) نامیده می شود. به گفته ددکیند تداوم یا کامل بودن.

اثبات معادل بودن جملات دیگر نیاز به وجود ساختار میدانی دارد.

قضیه. اجازه دهید یک فیلد سفارشی دلخواه باشد. جملات زیر معادل هستند:

اظهار نظر. همانطور که از قضیه پیداست، اصل خود قطعات تودرتو است معادل نیستاصل تداوم ددکیند. از اصل تداوم ددکیند، اصل قطعات تو در تو دنبال می‌شود، اما برای عکس آن، لازم است که میدان مرتب شده، اصل ارشمیدس را برآورده کند.

اثبات قضایای فوق را می توان در کتاب های فهرست مرجع زیر یافت.

یادداشت

1. زوریچ، وی.تجزیه و تحلیل ریاضی. قسمت اول - اد. 4th rev. - M.: "MCNMO"، 2002. - P. 43.
2. به عنوان مثال، با تعریف بدیهی یک عدد واقعی، اصل تداوم ددکیند در تعداد بدیهیات گنجانده شده است، و با تعریف سازنده یک عدد واقعی با استفاده از بخش‌های ددکیند، همان گزاره قبلاً یک قضیه است - برای مثال ببینید. فیختنگولتس، جی.ام.
3. کودریاوتسف، ال.دی.دوره تحلیل ریاضی. - ویرایش پنجم - M.: "Bustard"، 2003. - T. 1. - P. 38.
4. کودریاوتسف، ال.دی.دوره تحلیل ریاضی. - ویرایش پنجم - M.: "Bustard"، 2003. - T. 1. - P. 84.
5. زوریچ، وی.تجزیه و تحلیل ریاضی. قسمت اول - اد. 4th.. - M.: "MCNMO"، 2002. - P. 81.
6. ددکیند، آر.تداوم و اعداد غیر منطقی - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - ویرایش 4 ویرایش شده. - اودسا: ماتزیس، 1923. - 44 ص.

ادبیات

• کودریاوتسف، ال.دی.دوره تحلیل ریاضی. - ویرایش پنجم - M.: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - شابک 5-7107-4119-1
• فیختنگولتس، جی.ام.مبانی آنالیز ریاضی. - ویرایش هفتم - M.: "FIZMATLIT"، 2002. - T. 1. - 416 p. - شابک 5-9221-0196-X
• ددکیند، آر.تداوم و اعداد غیر منطقی - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - ویرایش 4 ویرایش شده. - اودسا: ماتزیس، 1923. - 44 ص. , کامل بودن تورینگ , پارتیشن بندی یک مجموعه , تنوع یک مجموعه , درجه یک مجموعه .