جمع بردارهای جهت مخالف. درس "به تاخیر انداختن یک بردار از یک نقطه داده شده." کدام بردارها با هم برابرند

قبل از اینکه به موضوع مقاله بپردازیم، اجازه دهید مفاهیم اساسی را یادآوری کنیم.

تعریف 1

بردار- یک قطعه خط مستقیم که با مقدار و جهت عددی مشخص می شود. یک بردار با یک حرف لاتین کوچک با یک فلش در بالا نشان داده می شود. اگر نقاط مرزی خاصی وجود داشته باشد، نام برداری مانند دو حرف بزرگ لاتین (مرزهای بردار را مشخص می کند) به نظر می رسد که یک فلش در بالا نیز وجود دارد.

تعریف 2

بردار صفر- هر نقطه از هواپیما که به عنوان صفر با یک فلش در بالا مشخص شده است.

تعریف 3

طول برداری- مقداری مساوی یا بزرگتر از صفر که طول قطعه ای را که بردار را می سازد تعیین می کند.

تعریف 4

بردارهای خطی- دراز کشیدن روی یک خط یا روی خطوط موازی. بردارهایی که این شرط را برآورده نمی کنند غیر خطی نامیده می شوند.

ورودی: بردارها a →و ب →. برای انجام عملیات جمع بر روی آنها، باید یک بردار از یک نقطه دلخواه رسم کرد A B →، برابر با بردار a →; از نقطه به دست آمده تعریف نشده - بردار B C →، برابر با بردار ب →. با اتصال نقاط تعریف نشده و C، یک قطعه (بردار) بدست می آوریم. A C →، که مجموع داده های اصلی خواهد بود. در غیر این صورت، طرح جمع بردار توصیف شده نامیده می شود قانون مثلث

از نظر هندسی، جمع بردار به این صورت است:

برای بردارهای غیر خطی:

برای بردارهای خطی (هم جهت یا مخالف):

با در نظر گرفتن طرحی که در بالا توضیح داده شد، این فرصت را داریم که عملیات اضافه کردن بردارها را به مقدار بیشتر از 2 انجام دهیم: هر بردار بعدی را به نوبه خود اضافه کنیم.

تعریف 6

ورودی: بردارها a → , ب → , ج →، د → . از یک نقطه دلخواه A در صفحه لازم است قطعه (بردار) برابر با بردار رسم شود a →; سپس از انتهای بردار حاصل، بردار برابر با بردار کنار گذاشته می شود ب →; سپس، بردارهای بعدی با استفاده از همان اصل گذاشته می شوند. نقطه پایانی آخرین بردار معوق نقطه B خواهد بود و قطعه حاصل (بردار) A B →- مجموع تمام داده های اولیه طرح توصیف شده برای اضافه کردن چندین بردار نیز نامیده می شود قانون چند ضلعی .

از نظر هندسی به این صورت است:

تعریف 7

یک طرح عمل جداگانه برای تفریق بردارینه، زیرا در اصل یک تفاوت برداری a →و ب →مجموع بردارها است a →و - ب → .

برای انجام عمل ضرب یک بردار در عدد معین k باید قوانین زیر را در نظر گرفت:
- اگر k > 1 باشد، این عدد منجر به کشش بردار k بار می شود.
- اگر 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 کیلو بار؛
- اگر ک< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- اگر k = 1 باشد، بردار ثابت می ماند.
- اگر یکی از عوامل بردار صفر یا عددی برابر با صفر باشد، حاصل ضرب یک بردار صفر خواهد بود.

اطلاعات اولیه:
1) برداری a →و عدد k = 2;
2) بردار ب →و عدد k = - 1 3 .

از نظر هندسی، نتیجه ضرب مطابق با قوانین فوق به صورت زیر خواهد بود:

عملیات بر روی بردارهایی که در بالا توضیح داده شد دارای ویژگی هایی هستند که برخی از آنها واضح هستند، در حالی که برخی دیگر از نظر هندسی قابل توجیه هستند.

ورودی: بردارها a → , ب → , ج →و خودسرانه اعداد واقعیλ و μ.

ویژگی های جابجایی و تداعی این امکان را فراهم می کند که بردارها را به هر ترتیبی اضافه کنیم.

ویژگی های لیست شده عملیات به شما امکان می دهد تبدیل های لازم عبارات بردار-عددی را به روشی مشابه با موارد معمول عددی انجام دهید. بیایید با یک مثال به این موضوع نگاه کنیم.

مثال 1

وظیفه:ساده کردن عبارت a → - 2 · (b → + 3 · a →)
راه حل
- با استفاده از خاصیت توزیع دوم، به دست می آوریم: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- از خاصیت تداعی ضرب استفاده می کنیم، عبارت به شکل زیر خواهد بود: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = a → - 2 · b → - 6 a →
- با استفاده از ویژگی جابجایی، اصطلاحات را با هم عوض می کنیم: a → - 2 b → - 6 a → = a → - 6 a → - 2 b →
- سپس با استفاده از اولین ویژگی توزیع به دست می آوریم: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → نماد کوتاه راه حل به این صورت خواهد بود: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
پاسخ: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

برخی از کمیت های فیزیکی، به عنوان مثال، نیرو یا سرعت، نه تنها با مقدار عددی، بلکه با جهت نیز مشخص می شوند. به چنین کمیت ها کمیت های برداری می گویند: اف⃗ - قدرت، v⃗ – سرعت
بیایید یک تعریف هندسی از یک بردار ارائه کنیم.
بردار قطعه ای نامیده می شود که مشخص می شود کدام یک از نقاط مرزی آن آغاز و کدام نقطه پایان در نظر گرفته می شود.
در نقشه ها، یک بردار به عنوان یک قطعه با یک فلش نشان دهنده پایان بردار نشان داده شده است. یک بردار با دو حرف بزرگ لاتین با یک فلش در بالای آنها مشخص می شود. حرف اول شروع بردار و حرف دوم پایان را نشان می دهد.

یک بردار را می توان با یک حرف لاتین کوچک با یک فلش بالای آن نشان داد.

طول یک بردار طول قطعه ای است که این بردار را نشان می دهد. از براکت های عمودی برای نشان دادن طول یک بردار استفاده می شود.
برداری که انتهای آن با آغاز منطبق است نامیده می شود صفر بردار بردار صفر با یک نقطه نشان داده می شود و با دو حرف یکسان یا صفر با یک فلش بالای آن مشخص می شود. طول بردار صفر صفر است: |0 ⃗|= 0.

بیایید مفهوم را معرفی کنیم خطی بردارها بردارهای غیر صفر اگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار گیرند، خطی نامیده می شوند. بردار صفر به صورت هم خط با هر بردار در نظر گرفته می شود.

اگر بردارهای خطی غیر صفر جهت یکسانی داشته باشند، چنین بردارهایی هم جهت خواهند بود. اگر جهت آنها مخالف باشد به آنها جهت مخالف گفته می شود.
برای نشان دادن بردارهای هم جهت و مخالف، نمادهای خاصی وجود دارد:
- متر ⃗ آر⃗ اگر بردارها متر⃗ و آر⃗ کارگردانی مشترک؛
- متر ⃗ ↓ n⃗ اگر بردارها متر⃗ و n⃗ خلاف جهت.
حرکت یک ماشین را در نظر بگیرید. سرعت هر یک از نقاط آن یک کمیت برداری است و با یک بخش جهت دار نشان داده می شود. از آنجایی که تمام نقاط خودرو با سرعت یکسان حرکت می کنند، تمام بخش های جهت دار که سرعت نقاط مختلف را نشان می دهند دارای جهت یکسان و طول آنها برابر است. این مثال به ما راهنمایی می کند که چگونه بردارها را مساوی تشخیص دهیم.
دو بردار اگر هم جهت باشند و طول آنها مساوی باشد گفته می شود. تساوی بردارها را می توان با استفاده از علامت مساوی نوشت: آ ⃗ = ب ⃗, KH ⃗ = O.E. ⃗
اگر نکته آرابتدای بردار آر⃗، سپس در نظر می گیریم که بردار آر⃗ تاخیر از نقطه آر.

بیایید این را از هر نقطه ای ثابت کنیم در بارهشما می توانید یک بردار برابر با یک بردار معین رسم کنید آر⃗، و فقط یکی.

اثبات:
1) اگر آر⃗ پس بردار صفر است OO ⃗ = آر ⃗.
2) اگر بردار آر⃗ غیر صفر، نقطه آرآغاز این بردار و نقطه است تی- پایان.
بیایید از طریق موضوع در بارهمستقیم، موازی RT. روی خط ساخته شده قطعه ها را رسم می کنیم OA 1 و OA 2 برابر با بخش RT.

بیایید از بین بردارها انتخاب کنیم OA 1 و OA 2 بردار که هم جهت با بردار است آر⃗. در نقاشی ما این یک وکتور است OA 1 . این بردار برابر با بردار خواهد بود آر⃗. از ساخت و ساز چنین بر می آید که تنها یک بردار وجود دارد.

بردار \(\overrightarrow(AB)\) را می توان حرکت یک نقطه از موقعیت \(A\) (شروع حرکت) به موقعیت \(B\) (پایان حرکت) در نظر گرفت. یعنی مسیر حرکت در این مورد مهم نیست فقط شروع و پایان مهم است!

\(\blacktriangleright\) دو بردار اگر روی یک خط یا روی دو خط موازی قرار بگیرند هم خط هستند.
که در در غیر این صورتبردارها غیر خطی نامیده می شوند.

\(\blacktriangleright\) اگر جهات دو بردار خطی منطبق باشد، هم جهت نامیده می شوند.
اگر جهت آنها مخالف باشد، آنها را جهت مخالف می نامند.

قوانین اضافه کردن بردارهای خطی:

کارگردانی مشترک پایاناولین. سپس مجموع آنها بردار است که ابتدای آن با آغاز بردار اول و پایان آن با پایان بردار دوم منطبق است (شکل 1).

\(\blacktriangleright\) برای اضافه کردن دو خلاف جهت گیری شده استبردار، می توانیم بردار دوم را به تعویق بیندازیم آغاز شدهاولین. سپس مجموع آنها بردار است که ابتدای آن با شروع هر دو بردار منطبق است، طول برابر است با اختلاف طول بردارها، جهت منطبق با جهت بردار بلندتر است (شکل 2).

قوانین اضافه کردن بردارهای غیر خطی \(\overrightarrow (a)\) و \(\overrightarrow(b)\):

\(\blacktriangleright\) قانون مثلث (شکل 3).

لازم است که بردار \(\overrightarrow (b)\) را از انتهای بردار \(\overrightarrow (a)\) کنار بگذارید. سپس مجموع آن بردار است که ابتدای آن با ابتدای بردار \(\overrightarrow (a)\) و انتهای آن با انتهای بردار \(\overrightarrow (b)\) منطبق است.

\(\blacktriangleright\) قانون متوازی الاضلاع (شکل 4).

لازم است که بردار \(\overrightarrow (b)\) را از ابتدای بردار \(\overrightarrow (a)\) کنار بگذارید. سپس مقدار \(\Overright (a)+\Overright (b)\)– بردار منطبق با مورب متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارهای \(\overrightarrow (a)\) و \(\overrightarrow (b)\) (شروع آن با ابتدای هر دو بردار منطبق است).

\(\blacktriangleright\) برای پیدا کردن تفاوت دو بردار \(\overrightarrow (a)-\overrightarrow(b)\)، باید مجموع بردارهای \(\overrightarrow (a)\) و \(-\overrightarrow(b)\) را پیدا کنید: \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\)(شکل 5).

وظیفه 1 #2638

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

با توجه به یک مثلث قائم الزاویه \(ABC\) با زاویه قائمه \(A\)، نقطه \(O\) مرکز دایره ای است که پیرامون این مثلث محصور شده است. مختصات برداری \(\overrightarrow(AB)=\(1;1\)\), \(\overrightarrow(AC)=\(-1;1\)\). مجموع مختصات بردار \(\overrightarrow(OC)\) را بیابید.

زیرا مثلث \(ABC\) مستطیل شکل است، سپس مرکز دایره محدود شده در وسط هیپوتانوس قرار دارد، یعنی. \(O\) وسط \(BC\) است.

توجه کنید که \(\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)-\overrightarrow(AB)\)از این رو، \(\overrightarrow(BC)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).

زیرا \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\)، آن \(\overrightarrow(OC)=\(-1;0\)\).

این بدان معنی است که مجموع مختصات بردار \(\overrightarrow(OC)\) برابر با \(-1+0=-1\) است.

پاسخ 1

وظیفه 2 #674

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

\(ABCD\) – چهار ضلعی است که در دو طرف آن بردارهای \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow( DA) \) . طول بردار را پیدا کنید \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)\).

\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC)\), \(\overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)\)، سپس
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AD) = \vec(0)\).
طول بردار تهی برابر با \(0\) است.

پس یک بردار را می توان به عنوان جابجایی درک کرد \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)\)– حرکت از \(A\) به \(B\) و سپس از \(B\) به \(C\) - در نهایت این حرکت از \(A\) به \(C\) است.

با این تعبیر بدیهی است که \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)\)، زیرا در نهایت در اینجا از نقطه \(A\) به نقطه \(A\) حرکت کردیم، یعنی طول چنین حرکتی \(0\ است) یعنی بردار چنین حرکتی خود \ (\vec(0)\) .

پاسخ: 0

وظیفه 3 #1805

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

متوازی الاضلاع \(ABCD\) داده می شود. قطرهای \(AC\) و \(BD\) در نقطه \(O\) قطع می شوند. بگذار، پس \(\overrightarrow(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2)\overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (a) - \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\Rightarrow\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = - 1\).

پاسخ 1

وظیفه 4 #1806

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

متوازی الاضلاع \(ABCD\) داده می شود. نقاط \(K\) و \(L\) به ترتیب در دو طرف \(BC\) و \(CD\) قرار دارند و \(BK:KC = 3:1\) و \(L\) است. نقطه وسط \ (CD\) . اجازه دهید \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\)، سپس \(\overrightarrow(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)، جایی که \(x\) و \(y\) تعدادی اعداد هستند. عدد برابر با \(x + y\) را پیدا کنید.

\[\overrightarrow(KL) = \overrightarrow(KC) + \overrightarrow(CL) = \frac(1)(4)\overrightarrow(BC) + \frac(1)(2)\overrightarrow(CD) = \frac (1)(4)\overrightarrow(AD) + \frac(1)(2)\overrightarrow(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (آ)\]\(\Rightarrow\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -0 ,25\).

پاسخ: -0.25

وظیفه 5 #1807

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

متوازی الاضلاع \(ABCD\) داده می شود. نقاط \(M\) و \(N\) به ترتیب در دو طرف \(AD\) و \(BC\) قرار دارند، با \(AM:MD = 2:3\) و \(BN:NC = 3: 1\). اجازه دهید \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\)، سپس \(\overrightarrow(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3 )(4)\overrightarrow(BC) = - \frac(2)(5)\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(AB) + \frac(3)(4)\overrightarrow(BC) = -\frac(2 )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0.35\) .

پاسخ: 0.35

وظیفه 6 #1808

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

متوازی الاضلاع \(ABCD\) داده می شود. نقطه \(P\) روی مورب \(BD\)، نقطه \(Q\) در سمت \(CD\) و \(BP:PD = 4:1\) و \( CQ:QD = 1:9\) . اجازه دهید \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\)، سپس \(\overrightarrow(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)، جایی که \(x\) و \(y\) تعدادی اعداد هستند. عدد برابر با \(x\cdot y\) را پیدا کنید.

\[\شروع(جمع آوری) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)\overrightarrow(AD) + \frac(7)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(جمع آوری شده)\]

\(\Rightarrow\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0, 14\). و \(ABCO\) - متوازی الاضلاع؛ \(AF \موازی BE\) و \(ABOF\) - متوازی الاضلاع \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Rightarrow\) \(x + y = 2\) .

جواب: 2

دانش آموزان دبیرستانی که برای شرکت در آزمون دولتی واحد ریاضی آماده می شوند و در عین حال روی کسب نمرات مناسب حساب می کنند، باید حتماً موضوع "قوانین جمع و تفریق چندین بردار" را تکرار کنند. همانطور که از چندین سال تمرین مشاهده می شود، چنین وظایفی هر ساله در آزمون گواهینامه گنجانده می شود. اگر فارغ التحصیل با مشکلاتی از بخش "هندسه صفحه" مشکل داشته باشد، به عنوان مثال، که در آن باید قوانین جمع و تفریق بردارها را اعمال کرد، برای گذراندن موفقیت آمیز باید حتما مطالب را تکرار یا دوباره بفهمد. آزمون یکپارچه دولتی

پروژه آموزشی Shkolkovo رویکرد جدیدی را برای آمادگی برای آزمون گواهینامه ارائه می دهد. منبع ما به گونه ای ساخته شده است که دانش آموزان بتوانند سخت ترین بخش ها را برای خود شناسایی کنند و شکاف های دانش را پر کنند. متخصصان Shkolkovo همه را آماده و منظم کردند مواد مورد نیازبرای آمادگی برای قبولی در آزمون گواهینامه

برای اطمینان از اینکه کارهای USE که در آنها باید قوانین جمع و تفریق دو بردار را اعمال کنید مشکلی ایجاد نمی کند، توصیه می کنیم ابتدا حافظه خود را تازه کنید. مفاهیم اساسی. دانش آموزان می توانند این مطالب را در بخش "اطلاعات نظری" بیابند.

اگر قبلاً قانون تفریق بردارها و تعاریف اولیه این موضوع را به خاطر دارید، پیشنهاد می کنیم با انجام تمرینات مناسب که توسط متخصصان انتخاب شده است، دانش خود را تثبیت کنید. پورتال آموزشی"شکولکوو". برای هر مشکل، سایت یک الگوریتم راه حل ارائه می دهد و پاسخ صحیح را می دهد. موضوع "قوانین جمع بردار" تمرین های مختلفی را ارائه می دهد. پس از انجام دو یا سه کار نسبتا آسان، دانش آموزان می توانند به طور متوالی به کارهای پیچیده تر بروند.

دانش‌آموزان این فرصت را دارند که مهارت‌های خود را در چنین وظایفی، به عنوان مثال، آنلاین، در حالی که در مسکو یا هر شهر دیگری در روسیه هستند، تقویت کنند. در صورت لزوم، کار را می توان در بخش "موارد دلخواه" ذخیره کرد. با تشکر از این، شما می توانید به سرعت نمونه های مورد علاقه خود را پیدا کنید و الگوریتم هایی را برای یافتن پاسخ صحیح با معلم خود بحث کنید.

دانش و مهارت های کسب شده در این درس نه تنها در درس هندسه، بلکه در کلاس های سایر علوم نیز برای دانش آموزان مفید خواهد بود. در طول درس، دانش آموزان یاد می گیرند که یک بردار را از یک نقطه مشخص ترسیم کنند. این می تواند یک درس هندسه معمولی یا یک کلاس ریاضی غیر درسی یا انتخابی باشد. این پیشرفت به معلم کمک می کند تا در زمان آماده شدن برای درس با موضوع "تأخیر انداختن بردار از یک نقطه معین" صرفه جویی کند. برای او کافی است که درس ویدیویی را در کلاس پخش کند و سپس با انتخاب تمرینات خود مطالب را تقویت کند.

مدت زمان درس فقط 1:44 دقیقه است. اما این برای آموزش به دانش آموزان مدرسه کافی است که یک بردار را از یک نقطه مشخص ترسیم کنند.

درس با نمایش یک بردار شروع می شود که شروع آن در نقطه خاصی است. آنها می گویند که بردار از آن به تعویق افتاده است. سپس نویسنده پیشنهاد می کند که همراه با او این جمله را ثابت کند که بر اساس آن می توان بردار را از هر نقطه ای برابر با داده شده و علاوه بر این، منحصر به فرد رسم کرد. در حین اثبات، نویسنده هر مورد را به تفصیل بررسی می کند. اولاً زمانی که بردار داده شده صفر باشد و ثانیاً زمانی که بردار غیرصفر باشد، وضعیت را می گیرد. در حین اثبات، از تصاویر به شکل نقشه ها و ساختارها، نمادهای ریاضی استفاده می شود که سواد ریاضی را در دانش آموزان مدرسه تشکیل می دهد. نویسنده به آرامی صحبت می کند و به دانش آموزان اجازه می دهد در حین اظهار نظر به طور موازی یادداشت برداری کنند. ساختی که نویسنده در حین اثبات عبارت فرمول بندی شده قبلی انجام داده است نشان می دهد که چگونه از یک نقطه معین می توان یک بردار برابر با آن داده شده ساخت.

اگر دانش آموزان با دقت درس را تماشا کنند و همزمان یادداشت برداری کنند، به راحتی مطالب را یاد خواهند گرفت. علاوه بر این، نویسنده با جزئیات، سنجیده و کاملاً کامل می گوید. اگر به دلایلی چیزی نشنیدید، می توانید برگردید و دوباره درس را تماشا کنید.

پس از تماشای درس ویدیویی، توصیه می شود که مطالب را ادغام کنید. به معلم توصیه می شود که وظایف مربوط به این موضوع را انتخاب کند تا مهارت ترسیم یک بردار از یک نقطه مشخص را تمرین کند.

از این درس می توان استفاده کرد خودخوانموضوعات توسط دانش آموزان اما برای تثبیت آن، باید با معلم تماس بگیرید تا او بتواند وظایف مناسب را انتخاب کند. از این گذشته ، بدون تجمیع مطالب ، دستیابی به نتیجه مثبت در یادگیری دشوار است.

بردار – این یک پاره خط مستقیم جهت دار است، یعنی قطعه ای که طول و جهت معینی دارد. بگذارید نکته آابتدای بردار و نقطه است ب - انتهای آن، سپس بردار با نماد نشان داده می شودیا . بردار نامیده می شود مقابل بردار و قابل تعیین است .

اجازه دهید تعدادی از تعاریف اساسی را فرموله کنیم.

طولیا مدول بردارطول قطعه نامیده می شود و نشان داده می شود. بردار با طول صفر (ماهیت آن یک نقطه است) نامیده می شود صفر و هیچ جهتی ندارد بردار طول واحد نامیده می شودتنها . بردار واحدی که جهت آن با جهت بردار منطبق است ، تماس گرفت راست بردار .

بردارها نامیده می شوند خطی ، اگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار دارند، یادداشت کنید. بردارهای خطی می توانند جهات منطبق یا مخالف داشته باشند. بردار صفر به صورت هم خط با هر بردار در نظر گرفته می شود.

گفته می شود که بردارها برابر هستند، اگر خطی هستند، هم جهت و هم طول دارند.

سه بردار در فضا نامیده می شوند هم صفحه ، اگر در یک صفحه یا روی صفحات موازی قرار بگیرند. اگر از بین سه بردار حداقل یکی صفر باشد یا دو بردار هم خط باشند، آنگاه چنین بردارهایی همسطح هستند.

در فضا یک سیستم مختصات مستطیلی 0 را در نظر بگیرید xyz. اجازه دهید 0 را روی محورهای مختصات انتخاب کنیم ایکس, 0y, 0zبردارهای واحد (یا بردارها) و آنها را با علامت گذاری کنیدبه ترتیب. بیایید یک بردار دلخواه از فضا را انتخاب کنیم و مبدا آن را با مبدا مختصات تراز کنیم. بیایید بردار را روی محورهای مختصات طرح کنیم و برجستگی ها را با نشان دهیم تبر, یک سال, یک zبه ترتیب. سپس نشان دادن آن آسان است

. (2.25)

این فرمول در حساب برداری پایه است و نامیده می شود بسط بردار در بردارهای واحد محورهای مختصات . شماره تبر, یک سال, یک zنامیده می شوند مختصات برداری . بنابراین، مختصات یک بردار، پیش بینی آن بر روی محورهای مختصات است. برابری برداری (2.25) اغلب به شکل نوشته می شود

ما از نماد برداری در پرانتزهای فرفری استفاده می کنیم تا تشخیص بین مختصات برداری و مختصات نقطه را از نظر بصری آسانتر کنیم. با استفاده از فرمول طول یک پاره، که از هندسه مدرسه شناخته می شود، می توانید یک عبارت برای محاسبه مدول بردار پیدا کنید.:

, (2.26)

یعنی مدول یک بردار برابر است با جذر مجموع مجذورات مختصات آن.

اجازه دهید زوایای بین بردار و محورهای مختصات را به صورت مشخص نشان دهیم α, β, γ به ترتیب. کسینوس ها این زوایا برای بردار نامیده می شوند راهنماها ، و برای آنها رابطه زیر برقرار است:اعتبار این برابری را می توان با استفاده از خاصیت طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور نشان داد که در پاراگراف 4 در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

بگذارید بردارها در فضای سه بعدی داده شوندبا مختصات شما عملیات زیر روی آنها انجام می شود: خطی (جمع، تفریق، ضرب در یک عدد و طرح یک بردار بر روی یک محور یا بردار دیگر). غیر خطی - محصولات مختلف بردارها (اسکالر، برداری، مختلط).

1. اضافه دو بردار به صورت هماهنگ تولید می شود، یعنی اگر

این فرمول برای تعداد محدود دلخواه عبارت صدق می کند.

از نظر هندسی، دو بردار طبق دو قانون اضافه می شوند:

آ) قانون مثلث - بردار حاصل از مجموع دو بردار، ابتدای اولی آنها را به پایان بردار دوم متصل می کند، مشروط بر اینکه ابتدای بردار دوم با پایان بردار اول منطبق باشد. برای مجموع بردارها - بردار حاصل از مجموع، ابتدای اولین آنها را با پایان آخرین بردار وصل می کند، مشروط بر اینکه شروع عبارت بعدی با پایان عبارت قبلی منطبق باشد.

ب) قانون متوازی الاضلاع (برای دو بردار) - متوازی الاضلاع بر روی دستورات بردار مانند اضلاع کاهش یافته به مبدا یکسان ساخته شده است. قطر متوازی الاضلاع که از مبدأ مشترک آنها شروع می شود، مجموع بردارها است.

2. منها کردن دو بردار به صورت هماهنگ انجام می شود، شبیه به جمع، یعنی اگر، آن

از نظر هندسی، طبق قانون متوازی الاضلاع ذکر شده، دو بردار اضافه می شود، با در نظر گرفتن اینکه تفاوت بین بردارها مورب اتصال انتهای بردارها است و بردار حاصل از انتهای زیرراه به انتهای بردار هدایت می شود. مینیوند

پیامد مهم تفریق بردار این واقعیت است که اگر مختصات ابتدا و انتهای بردار مشخص باشد، آنگاه برای محاسبه مختصات یک بردار، باید مختصات ابتدای آن را از مختصات انتهای آن کم کرد. . در واقع، هر بردار فضارا می توان به عنوان تفاوت دو بردار ناشی از مبدا نشان داد:. مختصات برداریو منطبق با مختصات نقاطآو که در، از زمان پیدایشدر باره(0;0;0). بنابراین، طبق قانون تفریق بردارها، باید مختصات نقطه را کم کنیدآاز مختصات نقطهکه در.

3. U ضرب بردار در عدد λ هماهنگ به مختصات:.

در λ> 0 - بردارکارگردانی مشترک ; λ< 0 - بردار جهت مخالف ; | λ|> 1 - طول برداری افزایش می یابد λ یک بار؛| λ|< 1 - طول بردار کاهش می یابد λ یک بار.

4. اجازه دهید یک خط مستقیم جهت دار (محور ل), برداربا مختصات پایان و آغاز مشخص می شود. اجازه دهید پیش بینی نقاط را مشخص کنیم آو ب در هر محور لبر این اساس از طریق آ’ و ب’ .

فرافکنی بردار در هر محور لطول بردار نامیده می شود، با علامت "+" گرفته می شود، اگر بردارو محور لکارگردانی مشترک، و با علامت «–» ifو لجهت های مخالف.

اگر به عنوان یک محور لبردار دیگری بگیرید، سپس طرح بردار را بدست می آوریمروی vecto r.

بیایید به برخی از ویژگی های اساسی پیش بینی ها نگاه کنیم:

1) طرح ریزی برداریدر هر محور لبرابر حاصل ضرب مدول برداربا کسینوس زاویه بین بردار و محور، یعنی;

2. اگر بردار با محور زاویه تند (منفی) تشکیل دهد، طرح بردار بر روی محور مثبت (منفی) است و اگر این زاویه راست باشد برابر با صفر است.

3) طرح مجموع چند بردار بر روی یک محور برابر است با مجموع برآمدگی ها روی این محور.

اجازه دهید تعاریف و قضایایی را درباره محصولات بردارهایی که عملیات غیرخطی روی بردارها را نشان می دهند، فرموله کنیم.

5. محصول نقطه ای بردارها وعددی (اسکالر) برابر حاصل ضرب طول این بردارها و کسینوس زاویه است.φ بین آنها، یعنی

. (2.27)

بدیهی است که مربع اسکالر هر بردار غیر صفر برابر است با مربع طول آن، زیرا در این حالت زاویه ، بنابراین کسینوس آن (در 2.27) 1 است.

قضیه 2.2.لازم و شرایط کافیعمود بردار برابری حاصلضرب اسکالر آنها به صفر است

نتیجه.حاصل ضربات اسکالر زوجی بردارهای واحد برابر با صفر است، یعنی

قضیه 2.3.حاصل ضرب نقطه ای دو بردار، که با مختصات آنها داده می شود، برابر است با مجموع حاصل از مختصات آنها به همین نام، یعنی

(2.28)

با استفاده از حاصل ضرب اسکالر بردارها می توانید زاویه را محاسبه کنیدبین آنها. اگر دو بردار غیر صفر با مختصات آنها داده شود، سپس کسینوس زاویهφ بین آنها:

(2.29)

این به شرط عمود بودن بردارهای غیر صفر دلالت داردو:

(2.30)

یافتن طرح ریزی یک برداربه جهت مشخص شده توسط بردار ، طبق فرمول قابل انجام است

(2.31)

با استفاده از حاصل ضرب اسکالر بردارها، کار انجام شده توسط یک نیروی ثابت پیدا می شوددر یک بخش مستقیم از مسیر

بیایید فرض کنیم که تحت تأثیر یک نیروی ثابت یک نقطه مادی به صورت مستقیم از موقعیت حرکت می کند آبه موقعیت ب.بردار نیرو یک زاویه تشکیل می دهد φ با بردار جابجایی (شکل 2.14). فیزیک می گوید که کار نیرو است هنگام حرکتمساوی با .

مثال 2.9.با استفاده از حاصل ضرب اسکالر بردارها، زاویه رأس را پیدا کنیدآمتوازی الاضلاعآ ب پ ت, ساخته شده بر اساس بردارها

راه حل.اجازه دهید مدول بردارها و حاصل ضرب اسکالر آنها را با استفاده از قضیه (2.3) محاسبه کنیم:

از اینجا طبق فرمول (2.29) کسینوس زاویه مورد نظر را بدست می آوریم

مثال 2.10.هزینه های مواد اولیه و منابع مادی مورد استفاده برای تولید یک تن پنیر در جدول 2.2 آورده شده است.

جدول 2.2

سپس .قیمت کل منابع، که حاصل ضرب اسکالر بردارها است. اجازه دهید آن را با استفاده از فرمول (2.28) طبق قضیه 2.3 محاسبه کنیم: