تحويل التعبيرات باستخدام خصائص اللوغاريتمات والأمثلة والحلول. التحويلات المتماثلة للتعبيرات الأسية واللوغاريتمية B4 التحويلات المتطابقة للتعبيرات اللوغاريتمية

افتح درس الجبر في الصف الحادي عشر

موضوع الدرس

"تحويل التعبيرات،

تحتوي على اللوغاريتمات"

أهداف الدرس:

كرر تعريف لوغاريتم الرقم، الهوية اللوغاريتمية الأساسية؛

توحيد الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

تعزيز التوجه العملي لهذا الموضوع لإعداد الجودة لـ UNT؛

تعزيز الاستيعاب القوي للمادة؛

تعزيز تنمية مهارات ضبط النفس لدى الطلاب.

نوع الدرس: مدمج باستخدام اختبار تفاعلي.

المعدات: جهاز عرض، شاشة، ملصقات للمهام، ورقة الإجابة.

خطة الدرس:

تنظيم الوقت.

تحديث المعرفة.

اختبار تفاعلي.

"البطولة مع اللوغاريتمات"

حل المسائل وفقا للكتاب المدرسي.

تلخيص. تعبئة ورقة الإجابة .

وضع العلامات.

خلال الفصول الدراسية

1. اللحظة التنظيمية.

2. تحديد أهداف الدرس.

مرحبا يا شباب! اليوم لدينا درس غير عادي، درس - لعبة سنجريها على شكل بطولة باللوغاريتمات.

لنبدأ الدرس باختبار تفاعلي.

3. الاختبار التفاعلي:

4. البطولة باللوغاريتمات:

تعريف اللوغاريتم.

الهويات اللوغاريتمية:

تبسيط:

ابحث عن معنى العبارة:

خصائص اللوغاريتمات .

تحويل:

العمل مع الكتاب المدرسي.

تلخيص.

يقوم الطلاب بملء ورقة الإجابة الخاصة بهم.

إعطاء علامات لكل إجابة.

وضع العلامات. العمل في المنزل. المرفق 1.

اليوم أنت منغمس في اللوغاريتمات ،

يجب أن يتم حسابها بدقة.

وطبعا ستقابلهم في الامتحان

لا يسعنا إلا أن نتمنى لك النجاح!

أنا خيار

أ) 9 ½ =3؛ ب) 7 0 =1.

أ)سجل8=6; ب)سجل9=-2.

أ) 1.7 سجل 1,7 2 ; ب) 2 سجل 2 5 .

4. احسب:

أ) lg8+lg125;

ب)سجل 2 7-سجل 2 7/16

الخامس)سجل 3 16/سجل 3 4.

ثانيا خيار

1. ابحث عن اللوغاريتم للأساس a لرقم ممثل كقوة ذات الأساس a:

أ) 32 1/5 =2; ب) 3 -1 =1/3.

2. التحقق من صحة المساواة:

أ)سجل27=-6; ب)سجل 0,5 4=-2.

3. قم بتبسيط التعبير باستخدام الهويات اللوغاريتمية الأساسية:

أ) 5 1+ سجل 5 3 ; ب) 10 1- إل جي 2

4. احسب:

أ)سجل 12 4+سجل 12 36;

ب) lg13-lg130;

الخامس) (lg8+lg18)/(2lg2+lg3).

ثالثا خيار

1. ابحث عن اللوغاريتم للأساس a لرقم ممثل كقوة ذات الأساس a:

أ) 27 2/3 =9؛ ب) 32 3/5 =8.

2. التحقق من صحة المساواة:

أ)سجل 2 128=;

ب)سجل 0,2 0,008=3.

3. قم بتبسيط التعبير باستخدام الهويات اللوغاريتمية الأساسية:

أ) 4 2 سجل 4 3 ;

ب) 5 -3 سجل 5 1/2 .

4. احسب:

أ)سجل 6 12+سجل 6 18;

ب)سجل 7 14 سجل 7 6+سجل 7 21;

الخامس) (سجل 7 3/ سجل 7 13)∙ سجل 3 169.

رابعا خيار

1. ابحث عن اللوغاريتم للأساس a لرقم ممثل كقوة ذات الأساس a:

أ) 81 3/4 =27؛ ب) 125 2/3 =25.

2. التحقق من صحة المساواة:

أ)سجل √5 0,2=-2;

ب)سجل 0,2 125=-3.

3. قم بتبسيط التعبير باستخدام الهويات اللوغاريتمية الأساسية:

أ) (1/2) 4 سجل 1/2 3 ;

ب) 6 -2 سجل 6 5 .

4. احسب:

أ)سجل 14 42 سجل 14 3;

ب)سجل 2 20 سجل 2 25+سجل 2 80;

الخامس)سجل 7 48/ سجل 7 4- 0,5 سجل 2 3.

جامعة ولاية ترانسنيستريا

هم. تي جي. شيفتشينكو

كلية الفيزياء والرياضيات

قسم التحليل الرياضي

وطرق تدريس الرياضيات

عمل الدورة

"تحولات الهوية

الأسي واللوغاريتمي

التعبيرات"

انتهى العمل:

طالب من مجموعة _______

كلية الفيزياء والرياضيات

_________________________

لقد راجعت العمل:

_________________________

تيراسبول، 2003

مقدمة ………………………………………………………………… 2

الفصل 1. التحولات المتطابقة وطرق التدريس في مقرر الجبر المدرسي وبداية التحليل……………………………………..4

§1. تكوين المهارات في تطبيق أنواع معينة من التحولات ………………………………………………………………………………………………………………………………………….4

§2. ملامح تنظيم المنظومة المعرفية في دراسة تحولات الهوية ……………………………………..…………….5

§3. برنامج الرياضيات …………………………………………….11

الفصل 2. التحويلات المتطابقة وحسابات التعبيرات الأسية واللوغاريتمية……………………………...…………………13

§1. تعميم مفهوم الدرجة …………………………..13

§2. الدالة الأسية ………………………………………………..15

§3. الدالة اللوغاريتمية……………………………….16

الفصل 3. التحولات المتطابقة للتعبيرات الأسية واللوغاريتمية في الممارسة العملية..........................................................................19

الخلاصة ……………………………………………………..24

قائمة المراجع …………………………………………….25
مقدمة

سيتم في هذا المقرر النظر في التحويلات المتطابقة للدوال الأسية واللوغاريتمية، كما سيتم النظر في منهجية تدريسها في مقرر الجبر المدرسي وبداية التحليل.

يصف الفصل الأول من هذا العمل منهجية تدريس تحولات الهوية في مقرر الرياضيات المدرسية، ويتضمن أيضًا برنامج رياضيات في مقرر “الجبر وبدايات التحليل” مع دراسة الدوال الأسية واللوغاريتمية.

ويتناول الفصل الثاني بشكل مباشر الدوال الأسية واللوغاريتمية نفسها، وخصائصها الأساسية المستخدمة في تحويلات الهوية.

أما الفصل الثالث فهو حل الأمثلة والمسائل باستخدام التحويلات المتماثلة للدوال الأسية واللوغاريتمية.

تستهلك دراسة التحولات المختلفة للتعبيرات والصيغ جزءًا كبيرًا من وقت التدريس في دورة الرياضيات المدرسية. إن أبسط التحولات، بناءً على خصائص العمليات الحسابية، يتم تنفيذها بالفعل في المدرسة الابتدائية وفي الصفوف من الرابع إلى الخامس. لكن العبء الرئيسي لتطوير المهارات والقدرات اللازمة لتنفيذ التحولات يقع على عاتق دورة الجبر المدرسية. ويرجع ذلك إلى الزيادة الحادة في عدد وتنوع التحولات التي يتم تنفيذها، وإلى تعقيد الأنشطة لإثباتها وتوضيح شروط التطبيق، لتحديد ودراسة المفاهيم المعممة للهوية، والتحول المتطابق، التحول المعادل، نتيجة منطقية.

تتطور ثقافة إجراء تحويلات الهوية بنفس طريقة تطور ثقافة الحسابات، بناءً على المعرفة القوية بخصائص العمليات على الكائنات (الأرقام، والمتجهات، ومتعددات الحدود، وما إلى ذلك) والخوارزميات الخاصة بتنفيذها. ويتجلى ليس فقط في القدرة على إثبات التحولات بشكل صحيح، ولكن أيضًا في القدرة على إيجاد أقصر طريق للانتقال من التعبير التحليلي الأصلي إلى التعبير الأكثر توافقًا مع غرض التحويل، في القدرة على مراقبة التغييرات في مجال تعريف التعبيرات التحليلية في سلسلة من التحويلات المتطابقة، في سرعة ودقة إجراء التحويلات.

يعد ضمان ثقافة عالية في الحسابات وتحولات الهوية مشكلة مهمة في تدريس الرياضيات. ومع ذلك، فإن هذه المشكلة لا تزال بعيدة عن الحل المرضي. والدليل على ذلك البيانات الإحصائية لسلطات التعليم العام، التي تسجل سنويا الأخطاء والأساليب غير العقلانية للحسابات والتحويلات التي يقوم بها الطلاب من مختلف الفئات عند أداء الاختبارات. يتم تأكيد ذلك من خلال ردود الفعل الواردة من مؤسسات التعليم العالي حول جودة المعرفة والمهارات الرياضية للمتقدمين. لا يسع المرء إلا أن يتفق مع استنتاجات سلطات التعليم العام والجامعات بأن المستوى العالي غير الكافي لثقافة الحسابات والتحولات المماثلة في المدرسة الثانوية هو نتيجة للشكلية في معرفة الطلاب، وفصل النظرية عن الممارسة.

الفصل 1.

التحولات المتطابقة وطرق التدريس

في مقرر الجبر المدرسي وبداية التحليل.

§1. تكوين مهارات التطبيق

أنواع محددة من التحولالعناوين.

يحتوي نظام التقنيات والقواعد الخاصة بإجراء التحويلات المستخدم في مرحلة بداية الجبر على مجموعة واسعة جدًا من التطبيقات: فهو يستخدم في دراسة دورة الرياضيات بأكملها. ومع ذلك، وبسبب خصوصيته المنخفضة على وجه التحديد، يتطلب هذا النظام تحويلات إضافية تأخذ في الاعتبار السمات الهيكلية للتعبيرات التي يتم تحويلها وخصائص العمليات والوظائف المدخلة حديثًا. يبدأ إتقان أنواع التحويلات المقابلة بإدخال صيغ الضرب المختصرة. ثم يتم النظر في التحويلات المرتبطة بعملية الأسي مع فئات مختلفة من الوظائف الأولية - الأسي، والقدرة، واللوغاريتمي، والمثلثية. يمر كل نوع من هذه الأنواع من التحولات بمرحلة تعليمية يتركز فيها الاهتمام على إتقان سماتها المميزة.

ومع تراكم المواد، يصبح من الممكن تسليط الضوء على السمات المشتركة لجميع التحولات قيد النظر، وعلى هذا الأساس، تقديم مفاهيم التحولات المتماثلة والمتكافئة.

تجدر الإشارة إلى أن مفهوم تحول الهوية مذكور في مقرر الجبر المدرسي ليس بشكل عام، ولكن فقط في التطبيق على التعبيرات. تنقسم التحويلات إلى قسمين: التحويلات المتطابقة هي تحويلات التعبيرات، والتحويلات المكافئة هي تحويلات الصيغ. في حالة الحاجة إلى تبسيط جزء واحد من الصيغة، يتم تمييز التعبير في هذه الصيغة، والذي يعمل كوسيطة لتحويل الهوية المطبق. يعتبر المسند المقابل دون تغيير.

بخصوص تنظيم نظام شامل للتحولات(توليف)فإن هدفها الرئيسي هو تكوين مرنة وقوية؛ جهاز مناسب للاستخدام في حل مجموعة متنوعة من المهام التعليمية.

في سياق الجبر وبداية التحليل، يستمر نظام التحولات الشامل، الذي تم تشكيله بالفعل في سماته الرئيسية، في التحسن تدريجيا. كما يتم إضافة بعض أنواع التحولات الجديدة إليها ولكنها تعمل فقط على إثرائها وتوسيع قدراتها ولكنها لا تغير بنيتها. إن منهجية دراسة هذه التحولات الجديدة لا تختلف عمليا عن تلك المستخدمة في مقرر الجبر.

§2. مميزات المنظمةأنظمة المهام

عند دراسة تحولات الهوية.

المبدأ الأساسي لتنظيم أي نظام من المهام هو عرضها من البسيط إلى المعقد، مع مراعاة حاجة الطلاب للتغلب على الصعوبات الممكنة وخلق مواقف إشكالية. يتطلب هذا المبدأ الأساسي تحديدًا فيما يتعلق بميزات هذه المادة التعليمية. لوصف أنظمة المهام المختلفة في أساليب الرياضيات، يتم استخدام هذا المفهوم دورة التمارين.تتميز دورة التمارين بدمج عدة جوانب من الدراسة وتقنيات ترتيب المادة في سلسلة من التمارين. وفيما يتعلق بتحولات الهوية، يمكن إعطاء فكرة الدورة على النحو التالي.

وترتبط دورة التمارين بدراسة هوية واحدة، تتجمع حولها الهويات الأخرى التي لها علاقة طبيعية بها. تتضمن الدورة، إلى جانب الدورات التنفيذية، المهام التي تتطلب الاعتراف بإمكانية تطبيق الهوية المعنية. يتم استخدام الهوية قيد الدراسة لإجراء العمليات الحسابية على المجالات العددية المختلفة. تؤخذ خصوصية الهوية بعين الاعتبار؛ وعلى وجه الخصوص، يتم تنظيم أشكال الكلام المرتبطة بها.

تنقسم المهام في كل دورة إلى مجموعتين. الأول يتضمن المهام التي يتم إجراؤها أثناء التعرف الأولي على الهوية. وهي بمثابة مادة تعليمية لعدة دروس متتالية يجمعها موضوع واحد. أما المجموعة الثانية من التمارين فتربط الهوية محل الدراسة مع التطبيقات المختلفة. لا تشكل هذه المجموعة وحدة تركيبية - فالتمارين هنا متناثرة حول مواضيع مختلفة.

يشير هيكل الدورة الموصوف إلى مرحلة تطوير المهارات في تطبيق أنواع معينة من التحولات. وفي المرحلة النهائية، مرحلة التوليف، يتم تعديل الدورات. أولاً، يتم دمج مجموعتي المهام لتشكيل دورة "موسعة"، ويتم استبعاد أبسطها من حيث الصياغة أو تعقيد إكمال المهمة من المجموعة الأولى. تصبح الأنواع المتبقية من المهام أكثر تعقيدًا. ثانيًا، هناك دمج للدورات المتعلقة بالهويات المختلفة، مما يؤدي إلى زيادة دور الإجراءات في التعرف على قابلية تطبيق هوية معينة.

دعونا نلاحظ ميزات دورات المهام المتعلقة بهويات الوظائف الأولية. ترجع هذه الميزات إلى حقيقة أنه أولاً، تتم دراسة الهويات المقابلة فيما يتعلق بدراسة المواد الوظيفية، وثانيًا، تظهر بعد هويات المجموعة الأولى ويتم دراستها باستخدام المهارات التي تم تشكيلها بالفعل لإجراء تحويلات الهوية .

تعمل كل وظيفة أولية تم تقديمها حديثًا على توسيع نطاق الأرقام التي يمكن تعيينها وتسميتها بشكل فردي بشكل كبير. لذلك، يجب أن تتضمن المجموعة الأولى من مهام الدورة مهام إنشاء اتصالات بين هذه المجالات الرقمية الجديدة والمجال الأصلي للأعداد النسبية. دعونا نعطي أمثلة على هذه المهام.

مثال 1 . احسب:

بجانب كل تعبير تتم الإشارة إلى هوية، في الدورات التي قد تكون المهام المقترحة موجودة فيها. الغرض من هذه المهام هو إتقان ميزات السجلات، بما في ذلك رموز العمليات والوظائف الجديدة، وتطوير مهارات الكلام الرياضية.

يقع جزء كبير من استخدام تحويلات الهوية المرتبطة بالوظائف الأولية على حل المعادلات غير العقلانية والمتسامية. تتضمن الدورات المتعلقة باستيعاب الهويات أبسط المعادلات فقط، ولكن يُنصح هنا بالعمل على إتقان طريقة حل هذه المعادلات: تقليلها عن طريق استبدال المجهول بمعادلة جبرية.

تسلسل خطوات هذا الحل هو كما يلي:

أ) ابحث عن دالة يمكن تمثيل هذه المعادلة بها في النموذج؛

ب) إجراء الاستبدال وحل المعادلة؛

ج) حل كل من المعادلات، أين هي مجموعة جذور المعادلة.

عند استخدام الطريقة الموصوفة، غالبًا ما يتم تنفيذ الخطوة ب) ضمنيًا، دون إدخال تدوين لـ . بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يفضل الطلاب، من بين المسارات المختلفة المؤدية إلى إيجاد الإجابة، اختيار المسار الذي يؤدي إلى المعادلة الجبرية بشكل أسرع وأسهل.

مثال 2 . حل المعادلة.

الطريقة الأولى:

الطريقة الثانية:

هنا يمكنك أن ترى أنه مع الطريقة الأولى، تكون الخطوة أ) أكثر صعوبة من الخطوة الثانية. الطريقة الأولى هي "أكثر صعوبة في البدء بها"، على الرغم من أن المسار الإضافي للحل أبسط بكثير. من ناحية أخرى، تتمتع الطريقة الثانية بمزايا سهولة أكبر ودقة أكبر في تعلم اختزال المعادلة الجبرية.

بالنسبة لدورة الجبر المدرسية، تكون المهام النموذجية هي التي يكون فيها الانتقال إلى معادلة جبرية أبسط مما هو عليه في هذا المثال. يتعلق العبء الرئيسي لمثل هذه المهام بتحديد الخطوة ج) كجزء مستقل من عملية الحل المرتبطة باستخدام خصائص الوظيفة الأولية قيد الدراسة.

مثال 3 . حل المعادلة:

يتم تقليل هذه المعادلات إلى المعادلات: أ) أو؛ ب) أو . لحل هذه المعادلات، لا يلزم سوى معرفة أبسط الحقائق حول الدالة الأسية: رتابة الدالة، ونطاق القيم. مثل المثال السابق، يمكن تصنيف المعادلتين أ) و ب) كالمجموعة الأولى من سلسلة تمارين لحل المعادلات الأسية التربيعية.

وهكذا نصل إلى تصنيف المهام في دورات تتعلق بحل المعادلات المتعالية التي تتضمن دالة أسية:

1) المعادلات التي تختزل إلى معادلات من الشكل ولها إجابة عامة وبسيطة: ;

2) المعادلات التي يتم اختزالها إلى معادلات حيث يوجد عدد صحيح أو أين ؛

3) المعادلات التي تختزل إلى معادلات وتتطلب تحليلاً صريحًا للصيغة التي يكتب بها الرقم .

يمكن تصنيف المهام الخاصة بالوظائف الأولية الأخرى بالمثل.

تم إثبات جزء كبير من الهويات التي تمت دراستها في دورات الجبر والجبر ومبادئ التحليل أو على الأقل شرحها. هذا الجانب من دراسة الهويات له أهمية كبيرة لكلا الدورتين، حيث يتم تنفيذ الاستدلال الإثباتي بأكبر قدر من الوضوح والدقة فيما يتعلق بالهويات على وجه التحديد. وبخلاف هذه المادة، عادة ما تكون الأدلة أقل اكتمالا، ولا يتم تمييزها دائما عن الإثبات المستخدم.

يتم استخدام خصائص العمليات الحسابية كدعم يتم بناء إثباتات الهويات عليه.

يمكن أن يهدف التأثير التعليمي للحسابات والتحويلات المتطابقة إلى تطوير التفكير المنطقي، إذا كان الطلاب مطالبين بشكل منهجي فقط بتبرير الحسابات والتحويلات المتطابقة، وتنمية التفكير الوظيفي، الذي يتم تحقيقه بطرق مختلفة. إن أهمية الحسابات والتحولات المتماثلة في تنمية الإرادة والذاكرة والذكاء وضبط النفس والمبادرة الإبداعية واضحة تمامًا.

تتطلب متطلبات ممارسة الحوسبة اليومية والصناعية من الطلاب تطوير مهارات قوية ومؤتمتة في الحسابات العقلانية وتحولات الهوية. يتم تطوير هذه المهارات في عملية أي عمل حسابي، ومع ذلك، هناك حاجة إلى تمارين تدريبية خاصة في الحسابات والتحويلات السريعة.

لذلك، إذا كان الدرس يتضمن حل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الهوية اللوغاريتمية الأساسية، فمن المفيد أن تدرج في خطة الدرس تمارين شفهية حول تبسيط أو حساب معاني التعبيرات: , , . يتم دائمًا توصيل الغرض من التمارين إلى الطلاب. أثناء التمرين، قد يكون من الضروري مطالبة الطلاب بتبرير التحولات الفردية أو الإجراءات أو الحل لمشكلة بأكملها، حتى لو لم يكن ذلك مخططًا له. عندما تكون هناك طرق مختلفة لحل المشكلة، فمن المستحسن دائمًا طرح الأسئلة: "كيف تم حل المشكلة؟"، "من حل المشكلة بطريقة مختلفة؟"

تم تقديم مفاهيم الهوية وتحويل الهوية بشكل واضح في مقرر الجبر للصف السادس. لا يمكن استخدام تعريف التعبيرات المتطابقة عمليا لإثبات هوية تعبيرين، وفهم أن جوهر التحولات المتطابقة هو تطبيق تعريفات وخصائص تلك الإجراءات المشار إليها في التعبير على التعبير، أو الإضافة إلى عبارة عن تعبير يساوي 0، أو بضربه في تعبير يساوي واحدًا. ولكن حتى بعد إتقان هذه الأحكام، فإن الطلاب في كثير من الأحيان لا يفهمون لماذا تسمح لنا هذه التحولات بتأكيد أن التعبيرات الأصلية والتعبيرات الناتجة متطابقة، أي. خذ نفس القيم لأي أنظمة (مجموعات) ذات قيم متغيرة.

من المهم أيضًا التأكد من أن الطلاب يفهمون بوضوح أن مثل هذه الاستنتاجات للتحولات المتطابقة هي نتائج لتعريفات وخصائص الإجراءات المقابلة.

يتم توسيع جهاز تحولات الهوية، المتراكم في السنوات السابقة، في الصف السادس. يبدأ هذا الامتداد بإدخال هوية تعبر عن خاصية منتج القوى ذات الأسس نفسها: حيث، أعداد صحيحة.

§3. برنامج الرياضيات.

في الدورة المدرسية "الجبر وبدايات التحليل"، يدرس الطلاب بشكل منهجي الدوال الأسية واللوغاريتمية وخصائصها، والتحويلات المتطابقة للتعبيرات اللوغاريتمية والأسية وتطبيقها على حل المعادلات والمتباينات المقابلة، والتعرف على المفاهيم والبيانات الأساسية .

في الصف الحادي عشر، تستغرق دروس الجبر 3 ساعات في الأسبوع، أي ما مجموعه 102 ساعة في السنة. يستغرق البرنامج 36 ساعة لدراسة الدوال الأسية واللوغاريتمية والقوة.

ويتضمن البرنامج دراسة ودراسة القضايا التالية:

مفهوم الدرجة ذات الأس العقلاني. حل المعادلات غير المنطقية. الدالة الأسية وخصائصها ورسمها البياني. التحويلات المتماثلة للتعبيرات الأسية. حل المعادلات الأسية والمتباينات. لوغاريتم الرقم. الخصائص الأساسية للوغاريتمات. الدالة اللوغاريتمية وخصائصها ورسمها البياني. حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. مشتق من الدالة الأسية. العدد واللوغاريتم الطبيعي. مشتق من وظيفة السلطة.

الغرض الرئيسي من قسم الدالة الأسية واللوغاريتمية هو تعريف الطلاب بالدوال الأسية واللوغاريتمية والقوة؛ تعليم الطلاب كيفية حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية والمتباينات.

إن مفاهيم الجذر العشري والدرجة ذات الأس العقلاني هي تعميم لمفاهيم الجذر التربيعي والدرجة ذات الأس الصحيح. يجب على الطلاب الانتباه إلى حقيقة أن خصائص الجذور والقوى ذات الأسس المنطقية المذكورة هنا تشبه تلك الخصائص التي تمتلكها الجذور التربيعية والقوى ذات الأسس الصحيحة التي تمت دراستها مسبقًا. ولا بد من تخصيص الوقت الكافي لممارسة خصائص الدرجات وتنمية مهارات تحولات الهوية. يتم تقديم مفهوم الدرجة ذات الأس غير العقلاني على أساس مرئي وبديهي. تلعب هذه المادة دورًا مساعدًا وتستخدم عند تقديم الدالة الأسية.

يتم إنشاء دراسة خصائص الدوال الأسية واللوغاريتمية والقوة وفقًا للمخطط العام المقبول لدراسة الوظائف. في هذه الحالة، يتم تقديم نظرة عامة على الخصائص اعتمادًا على قيم المعلمات. يتم حل المتباينات الأسية واللوغاريتمية بناءً على خصائص الوظائف المدروسة.

من السمات المميزة للدورة تنظيم وتعميم معرفة الطلاب وتوحيد وتطوير المهارات المكتسبة في دورة الجبر، والتي يتم تنفيذها عند دراسة مواد جديدة وعند إجراء التكرار المعمم.
الفصل 2.

تحويلات الهوية والحسابات

التعبيرات الأسية واللوغاريتمية

§1. تعميم مفهوم الدرجة.

تعريف:الجذر العشري لعدد خالص هو الرقم الذي تساوي قوته .

ووفقا لهذا التعريف، فإن الجذر العشري لعدد ما هو حل المعادلة. يعتمد عدد جذور هذه المعادلة على و. دعونا نفكر في الوظيفة. وكما هو معروف فإن هذه الدالة على الفاصل تزداد لأي قيمة وتأخذ كل القيم من الفاصل. وفقًا لنظرية الجذر، فإن معادلة أي معادلة لها جذر غير سالب، وعلاوة على ذلك، لها جذر واحد فقط. يسمى الجذر الحسابي للدرجة الحادية من الرقمو تدل على ; الرقم يسمى مؤشر الجذر، والرقم نفسه هو التعبير الراديكالي. وتسمى العلامة أيضًا جذريًا.

تعريف: الجذر الحسابي للقوة رقم هو رقم غير سالب الذي تساوي قوته -th .

بالنسبة للأعداد الزوجية تكون الدالة زوجية. ويترتب على ذلك أنه إذا كانت المعادلة، بالإضافة إلى الجذر، لها جذر أيضًا. إذا كان هناك جذر واحد: ; إذا كانت هذه المعادلة ليس لها جذور، لأن القوة الزوجية لأي رقم ليست سالبة.

بالنسبة للقيم الفردية، تزيد الدالة على طول خط الأعداد بأكمله؛ مداها هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. وبتطبيق نظرية الجذر، نجد أن المعادلة لها جذر واحد لـ أي، وعلى وجه الخصوص، لـ . يُشار إلى هذا الجذر لأي قيمة بالرمز .

بالنسبة للجذور ذات الدرجة الفردية، فإن المساواة تكون. في الواقع، أي. الرقم هو الجذر ال . لكن مثل هذا الجذر للغريب هو الوحيد. لذلك، .

ملاحظة 1:لأي حقيقي

دعونا نتذكر الخصائص المعروفة للجذور الحسابية من الدرجة الرابعة.

بالنسبة لأي عدد طبيعي، فإن الأعداد الصحيحة وأي أعداد صحيحة غير سالبة والمساويات صالحة:

درجة مع الأس العقلاني.

يتم تعريف التعبير للجميع باستثناء الحالة عند . دعونا نتذكر خصائص هذه القوى.

بالنسبة لأي أرقام وأي أعداد صحيحة والمساوات صالحة:

نلاحظ أيضًا أنه إذا، ثم عند و عند.

تعريف:قوة الرقم الذي له أس عقلاني، حيث يكون عددًا صحيحًا وعددًا طبيعيًا، تسمى رقمًا.

لذلك، بحكم التعريف.

مع التعريف المصاغ للدرجة ذات الأس العقلاني، يتم الحفاظ على الخصائص الأساسية للدرجات، والتي تكون صحيحة بالنسبة لأي أسس (الفرق هو أن الخصائص صحيحة فقط للقواعد الإيجابية).

§2. الدالة الأسية.

تعريف:يتم استدعاء الدالة المعطاة بواسطة الصيغة (حيث ، ). الدالة الأسية ذات القاعدة .

دعونا صياغة الخصائص الرئيسية للدالة الأسية.

الرسم البياني للوظيفة (الشكل 1)

تسمى هذه الصيغ الخصائص الأساسية للدرجات.

يمكنك أيضًا ملاحظة أن الدالة متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية.

§3. دالة لوغاريتمية.

تعريف: اللوغاريتم تسمى الأرقام إلى القاعدة الأس الذي يجب رفع القاعدة إليه. للحصول على الرقم .

يتم استدعاء الصيغة (أين و). الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

عند العمل مع اللوغاريتمات، يتم استخدام الخصائص التالية الناتجة عن خصائص الدالة الأسية:

لأي( )وأي إيجابية والمساواة راضية:

5. لأي حقيقي .

تُستخدم الخصائص الأساسية للوغاريتمات على نطاق واسع عند تحويل التعبيرات التي تحتوي على اللوغاريتمات. على سبيل المثال، غالبًا ما تُستخدم صيغة الانتقال من قاعدة لوغاريتمية إلى أخرى: .

ليكن رقمًا موجبًا لا يساوي 1.

تعريف:تسمى الوظيفة المعطاة بالصيغة دالة لوغاريتمية ذات قاعدة.

دعونا ندرج الخصائص الرئيسية للدالة اللوغاريتمية.

1. مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة جميع الأرقام الموجبة، أي. .

2. نطاق قيم الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

3. تزيد الدالة اللوغاريتمية في جميع أنحاء مجال التعريف (عند ) أو تنقص (عند ).

الرسم البياني للوظيفة (الشكل 2)

الرسوم البيانية للدوال الأسية واللوغاريتمية التي لها نفس الأساس تكون متناظرة بالنسبة إلى خط مستقيم(تين. 3).

الفصل 3.

التحولات متطابقة من الأسي و

التعبيرات اللوغاريتمية في الممارسة العملية.

التمرين 1.

احسب:

حل:

إجابة:; ; ; ; .; لقد حصلنا على ذلك

لقد فكرت في طرق تطوير مهارات الطلاب عند دراسة هذه المادة. كما قدمت برنامجا في الرياضيات لدراسة مقرر الدوال الأسية واللوغاريتمية في مقرر الجبر وبداية التحليل.

قدم العمل مهامًا مختلفة التعقيد والمحتوى باستخدام تحويلات متطابقة. يمكن استخدام هذه المهام لإجراء اختبارات أو عمل مستقل لاختبار معرفة الطلاب.

في رأيي، تم تنفيذ الدورة التدريبية في إطار منهجية تدريس الرياضيات في مؤسسات التعليم الثانوي ويمكن استخدامها كمساعدة بصرية لمعلمي المدارس، وكذلك للطلاب بدوام كامل وبدوام جزئي.

قائمة الأدبيات المستخدمة:

1. الجبر وبدايات التحليل. إد. كولموجوروفا أ.ن. م: التربية، 1991.
2. برنامج للمدارس الثانوية والصالات الرياضية والمدارس الثانوية. الرياضيات 5-11 الصفوف. م: الحبارى، 2002.
3. لو. شاريجين ، ف. جولوبيف. دورة اختيارية في الرياضيات (حل المشكلات). اه. بدل الصف الحادي عشر. م: التربية، 1991.
4. في.أ. أوغانيسيان وآخرون طرق تدريس الرياضيات في المدرسة الثانوية: طرق عامة؛ كتاب مدرسي لطلاب كلية الفيزياء والرياضيات في المعاهد التربوية. -الطبعة الثانية منقحة وموسعة م: التربية، 1980.
5. تشيركاسوف ر.س.، ستوليار أ.أ. طرق تدريس الرياضيات في المرحلة الثانوية. م: التربية، 1985.
6. مجلة "الرياضيات في المدرسة".

جامعة ولاية ترانسنيستريا

هم. تي جي. شيفتشينكو

كلية الفيزياء والرياضيات

قسم التحليل الرياضي

وطرق تدريس الرياضيات

عمل الدورة

"تحولات الهوية

الأسي واللوغاريتمي

التعبيرات"

انتهى العمل:

طالب من مجموعة _______

كلية الفيزياء والرياضيات

_________________________

لقد راجعت العمل:

_________________________

تيراسبول، 2003

مقدمة ………………………………………………………………… 2

الفصل الأول. تحولات الهوية وطرق التدريس في مقرر الجبر المدرسي وبداية التحليل…………………………………….4

§1. تكوين المهارات في تطبيق أنواع معينة من التحولات ………………………………………………………………………………………………………………………………………….4

§2. ملامح تنظيم المنظومة المعرفية في دراسة تحولات الهوية ……………………………………..…………….5

§3. برنامج الرياضيات …………………………………………….11

الفصل الثاني: التحويلات المتطابقة وحسابات التعبيرات الأسية واللوغاريتمية................................................................................13

§1. تعميم مفهوم الدرجة …………………………..13

§2. الدالة الأسية ………………………………………………..15

§3. الدالة اللوغاريتمية……………………………….16

الفصل 3. التحولات المتطابقة للتعبيرات الأسية واللوغاريتمية في الممارسة العملية ........................................... .............. ...................................19

الخلاصة ……………………………………………………..24

قائمة المراجع …………………………………………….25
مقدمة

سيتم في هذا المقرر النظر في التحويلات المتطابقة للدوال الأسية واللوغاريتمية، كما سيتم النظر في منهجية تدريسها في مقرر الجبر المدرسي وبداية التحليل.

يصف الفصل الأول من هذا العمل منهجية تدريس تحولات الهوية في مقرر الرياضيات المدرسية، ويتضمن أيضًا برنامج رياضيات في مقرر “الجبر وبدايات التحليل” مع دراسة الدوال الأسية واللوغاريتمية.

ويتناول الفصل الثاني بشكل مباشر الدوال الأسية واللوغاريتمية نفسها، وخصائصها الأساسية المستخدمة في تحويلات الهوية.

أما الفصل الثالث فهو حل الأمثلة والمسائل باستخدام التحويلات المتماثلة للدوال الأسية واللوغاريتمية.

تستهلك دراسة التحولات المختلفة للتعبيرات والصيغ جزءًا كبيرًا من وقت التدريس في دورة الرياضيات المدرسية. أبسط التحويلات، بناءً على خصائص العمليات الحسابية، يتم تنفيذها بالفعل في المدرسة الابتدائية وفي الصفوف من الرابع إلى الخامس. لكن العبء الرئيسي لتطوير المهارات والقدرات اللازمة لتنفيذ التحولات يقع على عاتق دورة الجبر المدرسية. ويرجع ذلك إلى الزيادة الحادة في عدد وتنوع التحولات التي يتم تنفيذها، وإلى تعقيد الأنشطة لإثباتها وتوضيح شروط التطبيق، لتحديد ودراسة المفاهيم المعممة للهوية، والتحول المتطابق، التحول المعادل، نتيجة منطقية.

تتطور ثقافة إجراء تحويلات الهوية بنفس طريقة تطور ثقافة الحسابات، بناءً على المعرفة القوية بخصائص العمليات على الكائنات (الأرقام، والمتجهات، ومتعددات الحدود، وما إلى ذلك) والخوارزميات الخاصة بتنفيذها. ويتجلى ليس فقط في القدرة على إثبات التحولات بشكل صحيح، ولكن أيضًا في القدرة على إيجاد أقصر طريق للانتقال من التعبير التحليلي الأصلي إلى التعبير الأكثر توافقًا مع غرض التحويل، في القدرة على مراقبة التغييرات في مجال تعريف التعبيرات التحليلية في سلسلة من التحويلات المتطابقة، في سرعة ودقة إجراء التحويلات.

يعد ضمان ثقافة عالية في الحسابات وتحولات الهوية مشكلة مهمة في تدريس الرياضيات. ومع ذلك، فإن هذه المشكلة لا تزال بعيدة عن الحل المرضي. والدليل على ذلك البيانات الإحصائية لسلطات التعليم العام، التي تسجل سنويا الأخطاء والأساليب غير العقلانية للحسابات والتحويلات التي يقوم بها الطلاب من مختلف الفئات عند أداء الاختبارات. يتم تأكيد ذلك من خلال ردود الفعل الواردة من مؤسسات التعليم العالي حول جودة المعرفة والمهارات الرياضية للمتقدمين. لا يسع المرء إلا أن يتفق مع استنتاجات سلطات التعليم العام والجامعات بأن المستوى العالي غير الكافي لثقافة الحسابات والتحولات المماثلة في المدرسة الثانوية هو نتيجة للشكلية في معرفة الطلاب، وفصل النظرية عن الممارسة.

التحولات المتطابقة وطرق التدريس

في مقرر الجبر المدرسي وبداية التحليل.

§1. تكوين مهارات التطبيق

أنواع محددة من التحولات.

يحتوي نظام التقنيات والقواعد الخاصة بإجراء التحويلات المستخدم في مرحلة بداية الجبر على مجموعة واسعة جدًا من التطبيقات: فهو يستخدم في دراسة دورة الرياضيات بأكملها. ومع ذلك، وبسبب خصوصيته المنخفضة على وجه التحديد، يتطلب هذا النظام تحويلات إضافية تأخذ في الاعتبار السمات الهيكلية للتعبيرات التي يتم تحويلها وخصائص العمليات والوظائف المدخلة حديثًا. يبدأ إتقان أنواع التحويلات المقابلة بإدخال صيغ الضرب المختصرة. ثم يتم النظر في التحويلات المرتبطة بعملية الأسي مع فئات مختلفة من الوظائف الأولية - الأسي، والقدرة، واللوغاريتمي، والمثلثية. يمر كل نوع من هذه الأنواع من التحولات بمرحلة تعليمية يتركز فيها الاهتمام على إتقان سماتها المميزة.

ومع تراكم المواد، يصبح من الممكن تسليط الضوء على السمات المشتركة لجميع التحولات قيد النظر، وعلى هذا الأساس، تقديم مفاهيم التحولات المتماثلة والمتكافئة.

تجدر الإشارة إلى أن مفهوم تحول الهوية مذكور في مقرر الجبر المدرسي ليس بشكل عام، ولكن فقط في التطبيق على التعبيرات. تنقسم التحويلات إلى قسمين: التحويلات المتطابقة هي تحويلات التعبيرات، والتحويلات المكافئة هي تحويلات الصيغ. في حالة الحاجة إلى تبسيط جزء واحد من الصيغة، يتم تمييز التعبير في هذه الصيغة، والذي يعمل كوسيطة لتحويل الهوية المطبق. يعتبر المسند المقابل دون تغيير.

أما تنظيم نظام متكامل من التحولات (التوليف) فإن هدفه الأساسي هو تكوين نظام مرن وقوي؛ جهاز مناسب للاستخدام في حل مجموعة متنوعة من المهام التعليمية.

في سياق الجبر وبداية التحليل، يستمر نظام التحولات الشامل، الذي تم تشكيله بالفعل في سماته الرئيسية، في التحسن تدريجيا. كما يتم إضافة بعض أنواع التحولات الجديدة إليها ولكنها تعمل فقط على إثرائها وتوسيع قدراتها ولكنها لا تغير بنيتها. إن منهجية دراسة هذه التحولات الجديدة لا تختلف عمليا عن تلك المستخدمة في مقرر الجبر.

§2. ميزات تنظيم نظام المهام

عند دراسة تحولات الهوية.

المبدأ الأساسي لتنظيم أي نظام من المهام هو عرضها من البسيط إلى المعقد، مع مراعاة حاجة الطلاب للتغلب على الصعوبات الممكنة وخلق مواقف إشكالية. يتطلب هذا المبدأ الأساسي تحديدًا فيما يتعلق بميزات هذه المادة التعليمية. لوصف أنظمة المهام المختلفة في أساليب الرياضيات، يتم استخدام مفهوم دورة التمارين. تتميز دورة التمارين بدمج عدة جوانب من الدراسة وتقنيات ترتيب المادة في سلسلة من التمارين. وفيما يتعلق بتحولات الهوية، يمكن إعطاء فكرة الدورة على النحو التالي.

وترتبط دورة التمارين بدراسة هوية واحدة، تتجمع حولها الهويات الأخرى التي لها علاقة طبيعية بها. تتضمن الدورة، إلى جانب الدورات التنفيذية، المهام التي تتطلب الاعتراف بإمكانية تطبيق الهوية المعنية. يتم استخدام الهوية قيد الدراسة لإجراء العمليات الحسابية على المجالات العددية المختلفة. تؤخذ خصوصية الهوية بعين الاعتبار؛ وعلى وجه الخصوص، يتم تنظيم أشكال الكلام المرتبطة بها.

تنقسم المهام في كل دورة إلى مجموعتين. الأول يتضمن المهام التي يتم إجراؤها أثناء التعرف الأولي على الهوية. وهي بمثابة مادة تعليمية لعدة دروس متتالية يجمعها موضوع واحد. أما المجموعة الثانية من التمارين فتربط الهوية محل الدراسة مع التطبيقات المختلفة. لا تشكل هذه المجموعة وحدة تركيبية - فالتمارين هنا متناثرة حول مواضيع مختلفة.

يشير هيكل الدورة الموصوف إلى مرحلة تطوير المهارات في تطبيق أنواع معينة من التحولات. وفي المرحلة النهائية، مرحلة التوليف، يتم تعديل الدورات. أولاً، يتم دمج مجموعتي المهام لتشكيل دورة "موسعة"، ويتم استبعاد أبسطها من حيث الصياغة أو تعقيد إكمال المهمة من المجموعة الأولى. تصبح الأنواع المتبقية من المهام أكثر تعقيدًا. ثانيًا، هناك دمج للدورات المتعلقة بالهويات المختلفة، مما يؤدي إلى زيادة دور الإجراءات في التعرف على قابلية تطبيق هوية معينة.

دعونا نلاحظ ميزات دورات المهام المتعلقة بهويات الوظائف الأولية. ترجع هذه الميزات إلى حقيقة أنه أولاً، تتم دراسة الهويات المقابلة فيما يتعلق بدراسة المواد الوظيفية، وثانيًا، تظهر بعد هويات المجموعة الأولى ويتم دراستها باستخدام المهارات التي تم تشكيلها بالفعل لإجراء تحويلات الهوية .

تعمل كل وظيفة أولية تم تقديمها حديثًا على توسيع نطاق الأرقام التي يمكن تعيينها وتسميتها بشكل فردي بشكل كبير. لذلك، يجب أن تتضمن المجموعة الأولى من مهام الدورة مهام إنشاء اتصالات بين هذه المجالات الرقمية الجديدة والمجال الأصلي للأعداد النسبية. دعونا نعطي أمثلة على هذه المهام.

مثال 1. احسب:

بجانب كل تعبير تتم الإشارة إلى هوية، في الدورات التي قد تكون المهام المقترحة موجودة فيها. الغرض من هذه المهام هو إتقان ميزات السجلات، بما في ذلك رموز العمليات والوظائف الجديدة، وتطوير مهارات الكلام الرياضية.

يقع جزء كبير من استخدام تحويلات الهوية المرتبطة بالوظائف الأولية على حل المعادلات غير العقلانية والمتسامية. تتضمن الدورات المتعلقة باستيعاب الهويات أبسط المعادلات فقط، ولكن يُنصح هنا بالعمل على إتقان طريقة حل هذه المعادلات: تقليلها عن طريق استبدال المجهول بمعادلة جبرية.

تسلسل خطوات هذا الحل هو كما يلي:

أ) ابحث عن دالة يمكن تمثيل هذه المعادلة بها في النموذج؛

ب) إجراء الاستبدال وحل المعادلة؛

ج) حل كل من المعادلات حيث توجد مجموعة جذور المعادلة .

عند استخدام الطريقة الموصوفة، غالبًا ما يتم تنفيذ الخطوة ب) ضمنيًا، دون إدخال تدوين لـ . بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يفضل الطلاب، من بين المسارات المختلفة المؤدية إلى إيجاد الإجابة، اختيار المسار الذي يؤدي إلى المعادلة الجبرية بشكل أسرع وأسهل.

مثال 2. حل المعادلة.

الطريقة الأولى:

الطريقة الثانية:

أ)

ب)

هنا يمكنك أن ترى أنه مع الطريقة الأولى، تكون الخطوة أ) أكثر صعوبة من الخطوة الثانية. الطريقة الأولى هي "أكثر صعوبة في البدء بها"، على الرغم من أن المسار الإضافي للحل أبسط بكثير. من ناحية أخرى، تتمتع الطريقة الثانية بمزايا سهولة أكبر ودقة أكبر في تعلم اختزال المعادلة الجبرية.

بالنسبة لدورة الجبر المدرسية، تكون المهام النموذجية هي التي يكون فيها الانتقال إلى معادلة جبرية أبسط مما هو عليه في هذا المثال. يتعلق العبء الرئيسي لمثل هذه المهام بتحديد الخطوة ج) كجزء مستقل من عملية الحل المرتبطة باستخدام خصائص الوظيفة الأولية قيد الدراسة.

مثال 3. حل المعادلة:

أ) ; ب) .

يتم تقليل هذه المعادلات إلى المعادلات: أ) أو؛ ب) أو . لحل هذه المعادلات، لا يلزم سوى معرفة أبسط الحقائق حول الدالة الأسية: رتابة الدالة، ونطاق القيم. مثل المثال السابق، يمكن تصنيف المعادلتين أ) و ب) كالمجموعة الأولى من سلسلة تمارين لحل المعادلات الأسية التربيعية.

وهكذا نصل إلى تصنيف المهام في دورات تتعلق بحل المعادلات المتعالية التي تتضمن دالة أسية:

1) المعادلات التي تختزل إلى معادلات من الشكل ولها إجابة عامة وبسيطة: ;

2) المعادلات التي يتم اختزالها إلى معادلات حيث يوجد عدد صحيح أو أين ؛

3) المعادلات التي تختزل إلى معادلات وتتطلب تحليلاً صريحًا للصيغة التي يكتب بها الرقم.

يمكن تصنيف المهام الخاصة بالوظائف الأولية الأخرى بالمثل.

تم إثبات جزء كبير من الهويات التي تمت دراستها في دورات الجبر والجبر ومبادئ التحليل أو على الأقل شرحها. هذا الجانب من دراسة الهويات له أهمية كبيرة لكلا الدورتين، حيث يتم تنفيذ الاستدلال الإثباتي بأكبر قدر من الوضوح والدقة فيما يتعلق بالهويات على وجه التحديد. وبخلاف هذه المادة، عادة ما تكون الأدلة أقل اكتمالا، ولا يتم تمييزها دائما عن الإثبات المستخدم.

يتم استخدام خصائص العمليات الحسابية كدعم يتم بناء إثباتات الهويات عليه.

يمكن أن يهدف التأثير التعليمي للحسابات والتحويلات المتطابقة إلى تطوير التفكير المنطقي، إذا كان الطلاب مطالبين بشكل منهجي فقط بتبرير الحسابات والتحويلات المتطابقة، وتنمية التفكير الوظيفي، الذي يتم تحقيقه بطرق مختلفة. إن أهمية الحسابات والتحولات المتماثلة في تنمية الإرادة والذاكرة والذكاء وضبط النفس والمبادرة الإبداعية واضحة تمامًا.

تتطلب متطلبات ممارسة الحوسبة اليومية والصناعية من الطلاب تطوير مهارات قوية ومؤتمتة في الحسابات العقلانية وتحولات الهوية. يتم تطوير هذه المهارات في عملية أي عمل حسابي، ومع ذلك، هناك حاجة إلى تمارين تدريبية خاصة في الحسابات والتحويلات السريعة.

لذلك، إذا كان الدرس يتضمن حل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الهوية اللوغاريتمية الأساسية، فمن المفيد أن تدرج في خطة الدرس تمارين شفهية حول تبسيط أو حساب قيم التعبيرات: ، ،، . يتم دائمًا توصيل الغرض من التمارين إلى الطلاب. أثناء التمرين، قد يكون من الضروري مطالبة الطلاب بتبرير التحولات الفردية أو الإجراءات أو الحل لمشكلة بأكملها، حتى لو لم يكن ذلك مخططًا له. عندما تكون هناك طرق مختلفة لحل المشكلة، فمن المستحسن دائمًا طرح الأسئلة: "كيف تم حل المشكلة؟"، "من حل المشكلة بطريقة مختلفة؟"

تم تقديم مفاهيم الهوية وتحويل الهوية بشكل واضح في مقرر الجبر للصف السادس. لا يمكن استخدام تعريف التعبيرات المتطابقة عمليا لإثبات هوية تعبيرين، وفهم أن جوهر التحولات المتطابقة هو تطبيق تعريفات وخصائص تلك الإجراءات المشار إليها في التعبير على التعبير، أو الإضافة إلى عبارة عن تعبير يساوي 0، أو بضربه في تعبير يساوي واحدًا. ولكن حتى بعد إتقان هذه الأحكام، فإن الطلاب في كثير من الأحيان لا يفهمون لماذا تسمح لنا هذه التحولات بتأكيد أن التعبيرات الأصلية والتعبيرات الناتجة متطابقة، أي. خذ نفس القيم لأي أنظمة (مجموعات) ذات قيم متغيرة.

من المهم أيضًا التأكد من أن الطلاب يفهمون بوضوح أن مثل هذه الاستنتاجات للتحولات المتطابقة هي نتائج لتعريفات وخصائص الإجراءات المقابلة.

يتم توسيع جهاز تحولات الهوية، المتراكم في السنوات السابقة، في الصف السادس. يبدأ هذا الامتداد بإدخال هوية تعبر عن خاصية منتج القوى ذات الأسس نفسها: حيث، أعداد صحيحة.

§3. برنامج الرياضيات. في الدورة المدرسية "الجبر وبدايات التحليل"، يدرس الطلاب بشكل منهجي الدوال الأسية واللوغاريتمية وخصائصها، والتحويلات المتطابقة للتعبيرات اللوغاريتمية والأسية وتطبيقها على حل المعادلات والمتباينات المقابلة، والتعرف على المفاهيم والبيانات الأساسية . في الصف الحادي عشر، تستغرق دروس الجبر 3 ساعات في الأسبوع، أي ما مجموعه 102 ساعة في السنة. يستغرق البرنامج 36 ساعة لدراسة الدوال الأسية واللوغاريتمية والقوة. يتضمن البرنامج النظر ودراسة المسائل التالية: مفهوم الدرجة ذات الأس العقلاني. حل المعادلات غير المنطقية. الدالة الأسية وخصائصها ورسمها البياني. التحويلات المتماثلة للتعبيرات الأسية. حل المعادلات الأسية والمتباينات. لوغاريتم الرقم. الخصائص الأساسية للوغاريتمات. الدالة اللوغاريتمية وخصائصها ورسمها البياني. حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. مشتق من الدالة الأسية. العدد واللوغاريتم الطبيعي. مشتق من وظيفة السلطة. الغرض الرئيسي من قسم الدالة الأسية واللوغاريتمية هو تعريف الطلاب بالدوال الأسية واللوغاريتمية والقوة؛ تعليم الطلاب كيفية حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية والمتباينات. إن مفاهيم الجذر العشري والدرجة ذات الأس العقلاني هي تعميم لمفاهيم الجذر التربيعي والدرجة ذات الأس الصحيح. يجب على الطلاب الانتباه إلى حقيقة أن خصائص الجذور والقوى ذات الأسس المنطقية المذكورة هنا تشبه تلك الخصائص التي تمتلكها الجذور التربيعية والقوى ذات الأسس الصحيحة التي تمت دراستها مسبقًا. ولا بد من تخصيص الوقت الكافي لممارسة خصائص الدرجات وتنمية مهارات تحولات الهوية. يتم تقديم مفهوم الدرجة ذات الأس غير العقلاني على أساس مرئي وبديهي. تلعب هذه المادة دورًا مساعدًا وتستخدم عند تقديم الدالة الأسية. يتم إنشاء دراسة خصائص الدوال الأسية واللوغاريتمية والقوة وفقًا للمخطط العام المقبول لدراسة الوظائف. في هذه الحالة، يتم تقديم نظرة عامة على الخصائص اعتمادًا على قيم المعلمات. يتم حل المتباينات الأسية واللوغاريتمية بناءً على خصائص الوظائف المدروسة. من السمات المميزة للدورة تنظيم وتعميم معرفة الطلاب وتوحيد وتطوير المهارات المكتسبة في دورة الجبر، والتي يتم تنفيذها عند دراسة مواد جديدة وعند إجراء التكرار المعمم.
الفصل 2. التحويلات المتطابقة وحسابات التعبيرات الأسية واللوغاريتمية

§1. تعميم مفهوم الدرجة.

تعريف: الجذر العشري لعدد خالص هو الرقم الذي تساوي قوته .

ووفقا لهذا التعريف، فإن الجذر العشري لعدد ما هو حل المعادلة. يعتمد عدد جذور هذه المعادلة على و. دعونا نفكر في الوظيفة. وكما هو معروف فإن هذه الدالة على الفاصل تزداد لأي قيمة وتأخذ كل القيم من الفاصل. وفقًا لنظرية الجذر، فإن معادلة أي معادلة لها جذر غير سالب، وعلاوة على ذلك، لها جذر واحد فقط. ويسمى بالجذر الحسابي للدرجة العاشرة من الرقم ويرمز له بـ ; ويسمى الرقم الأس الجذري، ويسمى الرقم نفسه التعبير الجذري. وتسمى العلامة أيضًا جذريًا.

تعريف: الجذر الحسابي للقوة رقم ما هو رقم غير سالب قوته تساوي .

بالنسبة للأعداد الزوجية تكون الدالة زوجية. ويترتب على ذلك أنه إذا كانت المعادلة، بالإضافة إلى الجذر، لها جذر أيضًا. إذا كان هناك جذر واحد: ; إذا كانت هذه المعادلة ليس لها جذور، لأن القوة الزوجية لأي رقم ليست سالبة.

بالنسبة للقيم الفردية، تزيد الدالة على طول خط الأعداد بأكمله؛ مداها هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. وبتطبيق نظرية الجذر، نجد أن المعادلة لها جذر واحد لـ أي، وعلى وجه الخصوص، لـ . يُشار إلى هذا الجذر لأي قيمة بالرمز .

بالنسبة للجذور ذات الدرجة الفردية، فإن المساواة تكون. في الواقع، أي. الرقم هو الجذر ال . لكن مثل هذا الجذر للغريب هو الوحيد. لذلك، .

ملاحظة 1: لأي حقيقي

دعونا نتذكر الخصائص المعروفة للجذور الحسابية من الدرجة الرابعة.

بالنسبة لأي عدد طبيعي، فإن الأعداد الصحيحة وأي أعداد صحيحة غير سالبة والمساويات صالحة:

1.

2.

3.

4.

درجة مع الأس العقلاني.

يتم تعريف التعبير للجميع باستثناء الحالة عند . دعونا نتذكر خصائص هذه القوى.

بالنسبة لأي أرقام وأي أعداد صحيحة والمساوات صالحة:

ونلاحظ أيضًا أنه إذا، فمن أجل ومن أجل .. و

بالنسبة للطلاب الذين يجرون امتحان الدولة الموحدة، يستخدم معلمو الرياضيات في المدرسة الثانوية رقم 26 في ياكوتسك قائمة أسئلة المحتوى (المدون) لدورة الرياضيات المدرسية، والتي يتم اختبار إتقانها عند اجتياز امتحان الدولة الموحدة لعام 2007. تعتمد الدورة الاختيارية للتحضير لامتحان الدولة الموحدة على التكرار والتنظيم وتعميق المعرفة المكتسبة مسبقًا. تقام الدروس بشكل مجاني...

مثال 1 . احسب:

بجانب كل تعبير تتم الإشارة إلى هوية، في الدورات التي قد تكون المهام المقترحة موجودة فيها. الغرض من هذه المهام هو إتقان ميزات السجلات، بما في ذلك رموز العمليات والوظائف الجديدة، وتطوير مهارات الكلام الرياضية.

يقع جزء كبير من استخدام تحويلات الهوية المرتبطة بالوظائف الأولية على حل المعادلات غير العقلانية والمتسامية. تتضمن الدورات المتعلقة باستيعاب الهويات أبسط المعادلات فقط، ولكن يُنصح هنا بالعمل على إتقان طريقة حل هذه المعادلات: تقليلها عن طريق استبدال المجهول بمعادلة جبرية.

تسلسل خطوات هذا الحل هو كما يلي:

أ) العثور على الوظيفة

، والتي يمكن تمثيل هذه المعادلة بها ؛

ب) إجراء استبدال

وحل المعادلة ;

ج) حل كل من المعادلات

, أين هي مجموعة جذور المعادلة .

عند استخدام الطريقة الموصوفة، غالبًا ما يتم تنفيذ الخطوة ب) ضمنيًا، دون إدخال تدوين لـ

. بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يفضل الطلاب، من بين المسارات المختلفة المؤدية إلى إيجاد الإجابة، اختيار المسار الذي يؤدي إلى المعادلة الجبرية بشكل أسرع وأسهل.

مثال 2 . حل المعادلة

.

الطريقة الأولى:

الطريقة الثانية:

هنا يمكنك أن ترى أنه مع الطريقة الأولى، تكون الخطوة أ) أكثر صعوبة من الخطوة الثانية. الطريقة الأولى هي "أكثر صعوبة في البدء بها"، على الرغم من أن المسار الإضافي للحل أبسط بكثير. من ناحية أخرى، تتمتع الطريقة الثانية بمزايا سهولة أكبر ودقة أكبر في تعلم اختزال المعادلة الجبرية.

بالنسبة لدورة الجبر المدرسية، تكون المهام النموذجية هي التي يكون فيها الانتقال إلى معادلة جبرية أبسط مما هو عليه في هذا المثال. يتعلق العبء الرئيسي لمثل هذه المهام بتحديد الخطوة ج) كجزء مستقل من عملية الحل المرتبطة باستخدام خصائص الوظيفة الأولية قيد الدراسة.

مثال 3 . حل المعادلة:

; ب) .

تختزل هذه المعادلات إلى المعادلات: أ)

أو ؛ ب) أو . لحل هذه المعادلات، لا يلزم سوى معرفة أبسط الحقائق حول الدالة الأسية: رتابة الدالة، ونطاق القيم. مثل المثال السابق، يمكن تصنيف المعادلتين أ) و ب) كالمجموعة الأولى من سلسلة تمارين لحل المعادلات الأسية التربيعية.

وهكذا نصل إلى تصنيف المهام في دورات تتعلق بحل المعادلات المتعالية التي تتضمن دالة أسية:

1) المعادلات التي تختزل إلى معادلات من الشكل

والحصول على إجابة عامة وبسيطة: ;

2) المعادلات التي تختزل إلى المعادلات

، أين هو عدد صحيح، أو أين؛

3) المعادلات التي تختزل إلى المعادلات

ويتطلب تحليلًا واضحًا للشكل الذي كتب به الرقم .

يمكن تصنيف المهام الخاصة بالوظائف الأولية الأخرى بالمثل.

تم إثبات جزء كبير من الهويات التي تمت دراستها في دورات الجبر والجبر ومبادئ التحليل أو على الأقل شرحها. هذا الجانب من دراسة الهويات له أهمية كبيرة لكلا الدورتين، حيث يتم تنفيذ الاستدلال الإثباتي بأكبر قدر من الوضوح والدقة فيما يتعلق بالهويات على وجه التحديد. وبخلاف هذه المادة، عادة ما تكون الأدلة أقل اكتمالا، ولا يتم تمييزها دائما عن الإثبات المستخدم.

يتم استخدام خصائص العمليات الحسابية كدعم يتم بناء إثباتات الهويات عليه.

يمكن أن يهدف التأثير التعليمي للحسابات والتحويلات المتطابقة إلى تطوير التفكير المنطقي، إذا كان الطلاب مطالبين بشكل منهجي فقط بتبرير الحسابات والتحويلات المتطابقة، وتنمية التفكير الوظيفي، الذي يتم تحقيقه بطرق مختلفة. إن أهمية الحسابات والتحولات المتماثلة في تنمية الإرادة والذاكرة والذكاء وضبط النفس والمبادرة الإبداعية واضحة تمامًا.

تتطلب متطلبات ممارسة الحوسبة اليومية والصناعية من الطلاب تطوير مهارات قوية ومؤتمتة في الحسابات العقلانية وتحولات الهوية. يتم تطوير هذه المهارات في عملية أي عمل حسابي، ومع ذلك، هناك حاجة إلى تمارين تدريبية خاصة في الحسابات والتحويلات السريعة.

لذا، إذا كان الدرس يتضمن حل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الهوية اللوغاريتمية الأساسية

، فمن المفيد أن تدرج في خطة الدرس تمارين شفهية حول تبسيط أو حساب معاني التعبيرات: , , . يتم دائمًا توصيل الغرض من التمارين إلى الطلاب. أثناء التمرين، قد يكون من الضروري مطالبة الطلاب بتبرير التحولات الفردية أو الإجراءات أو الحل لمشكلة بأكملها، حتى لو لم يكن ذلك مخططًا له. عندما تكون هناك طرق مختلفة لحل المشكلة، فمن المستحسن دائمًا طرح الأسئلة: "كيف تم حل المشكلة؟"، "من حل المشكلة بطريقة مختلفة؟"

تم تقديم مفاهيم الهوية وتحويل الهوية بشكل واضح في مقرر الجبر للصف السادس. لا يمكن استخدام تعريف التعبيرات المتطابقة عمليا لإثبات هوية تعبيرين، وفهم أن جوهر التحولات المتطابقة هو تطبيق تعريفات وخصائص تلك الإجراءات المشار إليها في التعبير على التعبير، أو الإضافة إلى عبارة عن تعبير يساوي 0، أو بضربه في تعبير يساوي واحدًا. ولكن حتى بعد إتقان هذه الأحكام، فإن الطلاب في كثير من الأحيان لا يفهمون لماذا تسمح لنا هذه التحولات بتأكيد أن التعبيرات الأصلية والتعبيرات الناتجة متطابقة، أي. خذ نفس القيم لأي أنظمة (مجموعات) ذات قيم متغيرة.

من المهم أيضًا التأكد من أن الطلاب يفهمون بوضوح أن مثل هذه الاستنتاجات للتحولات المتطابقة هي نتائج لتعريفات وخصائص الإجراءات المقابلة.

يتم توسيع جهاز تحولات الهوية، المتراكم في السنوات السابقة، في الصف السادس. ويبدأ هذا الامتداد بإدخال هوية معبرة عن ملكية منتج القوى ذات الأسس نفسها:

مفهوم الدرجة ذات الأس العقلاني. حل المعادلات غير المنطقية. الدالة الأسية وخصائصها ورسمها البياني. التحويلات المتماثلة للتعبيرات الأسية. حل المعادلات الأسية والمتباينات. لوغاريتم الرقم. الخصائص الأساسية للوغاريتمات. الدالة اللوغاريتمية وخصائصها ورسمها البياني. حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. مشتق من الدالة الأسية. العدد واللوغاريتم الطبيعي. مشتق من وظيفة السلطة.

الغرض الرئيسي من قسم الدالة الأسية واللوغاريتمية هو تعريف الطلاب بالدوال الأسية واللوغاريتمية والقوة؛ تعليم الطلاب كيفية حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية والمتباينات.

إن مفاهيم الجذر العشري والدرجة ذات الأس العقلاني هي تعميم لمفاهيم الجذر التربيعي والدرجة ذات الأس الصحيح. يجب على الطلاب الانتباه إلى حقيقة أن خصائص الجذور والقوى ذات الأسس المنطقية المذكورة هنا تشبه تلك الخصائص التي تمتلكها الجذور التربيعية والقوى ذات الأسس الصحيحة التي تمت دراستها مسبقًا. ولا بد من تخصيص الوقت الكافي لممارسة خصائص الدرجات وتنمية مهارات تحولات الهوية. يتم تقديم مفهوم الدرجة ذات الأس غير العقلاني على أساس مرئي وبديهي. تلعب هذه المادة دورًا مساعدًا وتستخدم عند تقديم الدالة الأسية.

يتم إنشاء دراسة خصائص الدوال الأسية واللوغاريتمية والقوة وفقًا للمخطط العام المقبول لدراسة الوظائف. في هذه الحالة، يتم تقديم نظرة عامة على الخصائص اعتمادًا على قيم المعلمات. يتم حل المتباينات الأسية واللوغاريتمية بناءً على خصائص الوظائف المدروسة.

من السمات المميزة للدورة تنظيم وتعميم معرفة الطلاب وتوحيد وتطوير المهارات المكتسبة في دورة الجبر، والتي يتم تنفيذها عند دراسة مواد جديدة وعند إجراء التكرار المعمم.