صيغ الجمع: البرهان، الأمثلة. صيغ علم المثلثات صيغ الجمع والاختلاف في الدوال المثلثية

لن أحاول إقناعك بعدم كتابة أوراق الغش. يكتب! بما في ذلك أوراق الغش في علم المثلثات. أخطط لاحقًا لشرح سبب الحاجة إلى أوراق الغش وسبب فائدة أوراق الغش. وهنا معلومات حول كيفية عدم التعلم، ولكن تذكر بعض الصيغ المثلثية. إذن - علم المثلثات بدون ورقة غش نستخدم الارتباطات للحفظ.

1. صيغ الإضافة:

جيب التمام دائمًا "يأتي في أزواج": جيب التمام، جيب التمام، جيب التمام. وشيء آخر: جيب التمام "غير كاف". "كل شيء ليس على ما يرام" بالنسبة لهم، فيغيرون الإشارة: "-" إلى "+"، والعكس صحيح.

الجيوب الأنفية - "مزيج": جيب التمام، جيب التمام، جيب التمام.

2. صيغ الجمع والفرق:

جيب التمام دائمًا "يأتي في أزواج". بإضافة اثنين من جيب التمام - "koloboks"، نحصل على زوج من جيب التمام - "koloboks". وبالطرح، بالتأكيد لن نحصل على أي كولوبوك. نحصل على بضع الجيوب. أيضا مع ناقص المقبلة.

الجيوب الأنفية - "مزيج" :

3. صيغ تحويل المنتج إلى مجموع وفرق.

متى نحصل على زوج جيب التمام؟ عندما نضيف جيب التمام. لهذا

متى نحصل على زوجين من الجيوب؟ عند طرح جيب التمام. من هنا:

يتم الحصول على "الخلط" عند إضافة وطرح الجيوب. ما هو أكثر متعة: إضافة أو طرح؟ هذا صحيح، أضعاف. وللصيغة يأخذون إضافة:

في الصيغتين الأولى والثالثة، يكون المجموع بين قوسين. إعادة ترتيب أماكن المصطلحات لا يغير المجموع. الترتيب مهم فقط للصيغة الثانية. ولكن، لكي لا نخلط، ولسهولة التذكر، في جميع الصيغ الثلاثة الموجودة بين القوسين الأولين، نأخذ الفرق

وثانيا - المبلغ

تمنحك أوراق الغش الموجودة في جيبك راحة البال: إذا نسيت الصيغة، يمكنك نسخها. وهي تمنحك الثقة: إذا فشلت في استخدام ورقة الغش، فيمكنك تذكر الصيغ بسهولة.

تُستخدم صيغ الجمع للتعبير من خلال جيب وجيب تمام الزاويتين a و b، عن قيم الدوال cos(a+b)، cos(a-b)، sin(a+b)، sin(a-b).

صيغ الجمع للجيوب وجيب التمام

النظرية: لأي a وb، المساواة التالية صحيحة: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

دعونا نثبت هذه النظرية. خذ بعين الاعتبار الشكل التالي:

عليه، يتم الحصول على النقاط Ma وM-b وM(a+b) عن طريق تدوير النقطة Mo بالزوايا a و-b وa+b على التوالي. من تعريفات الجيب وجيب التمام، ستكون إحداثيات هذه النقاط كما يلي: Ma(cos(a); sin(a)))، M-b (cos(-b); sin(-b))، M(a+) ب) (cos(a+ b); sin(a+b)). AngleMoOM(a+b) = angleM-bOMa، وبالتالي فإن المثلثين MoOM(a+b) وM-bOMa متساويان، وهما متساويان الساقين. وهذا يعني أن القاعدتين MoM(a-b) وM-bMa متساويتان. ولذلك، (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين نحصل على:

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) ) ^ 2.

الخطيئة (-أ) = -الخطيئة (أ) و جتا (-أ) = جتا (أ). لنحول مساويتنا مع مراعاة هذه الصيغ ومربع المجموع والفرق، إذن:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (أ) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

الآن نطبق الهوية المثلثية الأساسية:

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

دعونا نعطي مماثلة ونخفضها بمقدار -2:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.

الصيغ التالية صالحة أيضًا:

• cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
• الخطيئة(أ+ب) = الخطيئة(أ)*cos(ب) + cos(a)*الخطيئة(ب);
• الخطيئة(أ-ب) = الخطيئة(أ)*cos(ب) - cos(a)*الخطيئة(ب).

يمكن الحصول على هذه الصيغ من تلك المثبتة أعلاه باستخدام صيغ الاختزال واستبدال b بـ -b. توجد أيضًا صيغ إضافة لظلال التمام وظل التمام، لكنها لن تكون صالحة لجميع الوسائط.

صيغ لإضافة الظلال وظل التمام

بالنسبة لأي زوايا a,b باستثناء a=pi/2+pi*k، b=pi/2 +pi*n وa+b =pi/2 +pi*m، بالنسبة لأي أعداد صحيحة k,n,m، سيتم تنفيذ ما يلي تكون الصيغة الحقيقية:

tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

بالنسبة لأي زوايا a,b باستثناء a=pi/2+pi*k، b=pi/2 +pi*n وa-b =pi/2 +pi*m، بالنسبة لأي أعداد صحيحة k,n,m ستكون الصيغة التالية صالح:

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

لأي زوايا a,b باستثناء a=pi*k، b=pi*n، a+b = pi*m ولأي أعداد صحيحة k,n,m ستكون الصيغة التالية صالحة:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).

نواصل حديثنا حول الصيغ الأكثر استخدامًا في علم المثلثات. وأهمها صيغ الجمع.

التعريف 1

تسمح لك صيغ الجمع بالتعبير عن دوال الفرق أو مجموع زاويتين باستخدام الدوال المثلثية لتلك الزوايا.

في البداية، سنقدم قائمة كاملة بصيغ الجمع، ثم سنثبتها ونحلل عدة أمثلة توضيحية.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

صيغ الجمع الأساسية في علم المثلثات

هناك ثماني صيغ أساسية: جيب التمام وجيب الفرق بين الزاويتين، وجيب التمام للمجموع والفرق، والظلال وظل التمام للمجموع والفرق، على التوالي. فيما يلي صيغها وحساباتها القياسية.

1. يمكن الحصول على جيب مجموع الزاويتين على النحو التالي:

نحسب منتج جيب الزاوية الأولى وجيب التمام الثانية؛

اضرب جيب تمام الزاوية الأولى بجيب الزاوية الأولى؛

أضف القيم الناتجة.

تبدو الكتابة الرسومية للصيغة كما يلي: الخطيئة (α + β) = الخطيئة α · cos β + cos α · الخطيئة β

2. يتم حساب جيب الفرق بنفس الطريقة تقريبًا، ولا يلزم إضافة المنتجات الناتجة فقط، بل طرحها من بعضها البعض. وبالتالي، فإننا نحسب منتجات جيب الزاوية الأولى على جيب تمام الثانية وجيب تمام الزاوية الأولى على جيب تمام الثانية ونجد الفرق بينهما. الصيغة مكتوبة على النحو التالي: الخطيئة (α - β) = الخطيئة α · cos β + الخطيئة α · الخطيئة β

3. جيب تمام المبلغ. لذلك، نجد منتجات جيب تمام الزاوية الأولى على جيب تمام الثانية وجيب الزاوية الأولى على جيب الثانية، على التوالي، ونجد الفرق بينهما: cos (α + β) = cos α · كوس β - الخطيئة α · الخطيئة β

4. جيب التمام للفرق: احسب حاصل ضرب الجيب وجيب التمام لهذه الزوايا، كما كان من قبل، وقم بإضافتها. الصيغة: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. ظل المبلغ. يتم التعبير عن هذه الصيغة على شكل كسر، بسطه هو مجموع مماسات الزوايا المطلوبة، والمقام هو وحدة يُطرح منها حاصل ضرب مماسات الزوايا المطلوبة. كل شيء واضح من تدوينه الرسومي: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. ظل الفرق. نحسب قيم الفرق وحاصل ضرب مماسات هذه الزوايا ونتعامل معها بطريقة مماثلة. في المقام نضيف إلى واحد، وليس العكس: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. ظل التمام للمجموع. للحساب باستخدام هذه الصيغة، سنحتاج إلى حاصل الضرب ومجموع ظل التمام لهذه الزوايا، والذي نتبعه على النحو التالي: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. ظل التمام للفرق . الصيغة مشابهة للصيغة السابقة، لكن البسط والمقام هما ناقص، وليس زائد c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

ربما لاحظت أن هذه الصيغ متشابهة في الأزواج. باستخدام العلامات ± (زائد ناقص) و ∓ (ناقص زائد)، يمكننا تجميعها لتسهيل التسجيل:

الخطيئة (α ± β) = الخطيئة α · cos β ± cos α · الخطيئة β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ الخطيئة α · الخطيئة β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

وفقًا لذلك، لدينا صيغة تسجيل واحدة لمجموع كل قيمة والفرق بينها، فقط في حالة واحدة ننتبه إلى العلامة العلوية، وفي الحالة الأخرى - إلى العلامة السفلية.

التعريف 2

يمكننا أن نأخذ أي زاويتين α و β، وستعمل صيغ الجمع لجيب التمام والجيب عليها. إذا تمكنا من تحديد قيم الظل وظل التمام لهذه الزوايا بشكل صحيح، فإن صيغ الجمع للظل وظل التمام ستكون صالحة لهم أيضًا.

مثل معظم المفاهيم في الجبر، يمكن إثبات صيغ الجمع. الصيغة الأولى التي سنثبتها هي صيغة فرق جيب التمام. ويمكن بعد ذلك استخلاص بقية الأدلة منه بسهولة.

دعونا توضيح المفاهيم الأساسية. سنحتاج إلى دائرة الوحدة. سينجح الأمر إذا أخذنا نقطة معينة A وقمنا بتدوير الزوايا α و β حول المركز (النقطة O). ثم الزاوية بين المتجهات O A 1 → و O A → 2 ستكون مساوية لـ (α - β) + 2 π · z أو 2 π - (α - β) + 2 π · z (z هو أي عدد صحيح). تشكل المتجهات الناتجة زاوية تساوي α - β أو 2 π - (α - β)، أو قد تختلف عن هذه القيم بعدد صحيح من الثورات الكاملة. نلقي نظرة على الصورة:

استخدمنا صيغ التخفيض وحصلنا على النتائج التالية:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

النتيجة: جيب تمام الزاوية بين المتجهات O A 1 → و O A 2 → يساوي جيب تمام الزاوية α - β، وبالتالي cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

دعونا نتذكر تعريفات الجيب وجيب التمام: جيب التمام هو دالة للزاوية، يساوي نسبة ساق الزاوية المقابلة إلى الوتر، وجيب التمام هو جيب الزاوية التكميلية. ولذلك النقاط أ 1و أ2لها إحداثيات (cos α، sin α) و (cos β، sin β).

نحصل على ما يلي:

O A 1 → = (cos α، sin α) و O A 2 → = (cos β، sin β)

إذا لم يكن الأمر واضحًا، فانظر إلى إحداثيات النقاط الموجودة في بداية ونهاية المتجهات.

أطوال المتجهات تساوي 1، لأن لدينا دائرة الوحدة.

دعونا الآن نحلل المنتج العددي للمتجهين O A 1 → و O A 2 → . في الإحداثيات يبدو كما يلي:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

ومن هذا يمكننا أن نستنتج المساواة:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

وهكذا، تم إثبات صيغة فرق جيب التمام.

الآن سوف نثبت الصيغة التالية - جيب التمام للمجموع. وهذا أسهل لأنه يمكننا استخدام الحسابات السابقة. لنأخذ التمثيل α + β = α - (- β) . لدينا:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

هذا هو دليل على صيغة مجموع جيب التمام. يستخدم السطر الأخير خاصية الجيب وجيب التمام للزوايا المتقابلة.

يمكن استخلاص صيغة جيب التمام للمجموع من صيغة جيب التمام للفرق. لنأخذ صيغة التخفيض لهذا:

على الشكل sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). لذا
الخطيئة (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + الخطيئة (π 2 - α) الخطيئة β) = = الخطيئة α cos β + cos α الخطيئة β

وهنا دليل على صيغة الفرق الجيبية:

الخطيئة (α - β) = الخطيئة (α + (- β)) = الخطيئة α cos (- β) + cos α الخطيئة (- β) = = الخطيئة α cos β - cos α الخطيئة β
لاحظ استخدام خصائص الجيب وجيب التمام للزوايا المتقابلة في الحساب الأخير.

بعد ذلك، نحتاج إلى إثبات صيغ الجمع للظل وظل التمام. دعونا نتذكر التعريفات الأساسية (الظل هو نسبة الجيب إلى جيب التمام، وظل التمام هو العكس) ونأخذ الصيغ المشتقة مسبقًا. لقد فعلناها:

t g (α + β) = الخطيئة (α + β) cos (α + β) = الخطيئة α cos β + cos α الخطيئة β cos α cos β - الخطيئة α الخطيئة β

لدينا جزء معقد. بعد ذلك، علينا قسمة البسط والمقام على cos α · cos β، بما أن cos α ≠ 0 و cos β ≠ 0، نحصل على:
الخطيئة α · cos β + cos α · الخطيئة β cos α · cos β cos α · cos β - الخطيئة α · الخطيئة β cos α · cos β = الخطيئة α · cos β cos α · cos β + cos α · الخطيئة β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

الآن نقوم بتبسيط الكسور ونحصل على الصيغة التالية: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
حصلنا على t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. هذا هو دليل على صيغة إضافة الظل.

الصيغة التالية التي سنثبتها هي صيغة ظل صيغة الفرق. كل شيء يظهر بوضوح في الحسابات:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

تم إثبات صيغ ظل التمام بطريقة مماثلة:
ج t ز (α + β) = cos (α + β) الخطيئة (α + β) = cos α · cos β - الخطيئة α · الخطيئة β الخطيئة α · cos β + cos α · الخطيئة β = = cos α · cos β - الخطيئة α · الخطيئة β الخطيئة α · الخطيئة β الخطيئة α · cos β + cos α · الخطيئة β الخطيئة α · الخطيئة β = cos α · cos β الخطيئة α · الخطيئة β - 1 الخطيئة α · cos β الخطيئة α · الخطيئة β + cos α · الخطيئة β الخطيئة α · الخطيئة β = = - 1 + ج t g α · ج t g β c t g α + c t g β
إضافي:
ج t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β

يتم إعطاء العلاقات بين الدوال المثلثية الأساسية - الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام الصيغ المثلثية. وبما أن هناك الكثير من الروابط بين الدوال المثلثية، فإن هذا يفسر وفرة الصيغ المثلثية. تربط بعض الصيغ الدوال المثلثية لنفس الزاوية، والبعض الآخر - وظائف زاوية متعددة، والبعض الآخر - يسمح لك بتقليل الدرجة، والرابع - يعبر عن جميع الوظائف من خلال ظل نصف زاوية، وما إلى ذلك.

في هذه المقالة سوف نقوم بإدراج جميع الصيغ المثلثية الأساسية بالترتيب، والتي تكون كافية لحل الغالبية العظمى من مشاكل علم المثلثات. ولسهولة الحفظ والاستخدام، سنجمعها حسب الغرض وندخلها في جداول.

التنقل في الصفحة.

الهويات المثلثية الأساسية

الهويات المثلثية الأساسيةتحديد العلاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة. وهي تنبع من تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، وكذلك مفهوم دائرة الوحدة. إنها تسمح لك بالتعبير عن دالة مثلثية واحدة بدلالة أي دالة أخرى.

للحصول على وصف تفصيلي لصيغ علم المثلثات هذه واشتقاقها وأمثلة للتطبيق، راجع المقالة.

صيغ التخفيض

صيغ التخفيضتتبع من خصائص الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، أي أنها تعكس خاصية دورية الدوال المثلثية، وخاصية التماثل، وكذلك خاصية التحول بزاوية معينة. تتيح لك هذه الصيغ المثلثية الانتقال من العمل بزوايا عشوائية إلى العمل بزوايا تتراوح من صفر إلى 90 درجة.

يمكن دراسة الأساس المنطقي لهذه الصيغ وقاعدة تذكيرية لحفظها وأمثلة لتطبيقها في المقالة.

صيغ الإضافة

صيغ الجمع المثلثيةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لمجموع أو الفرق بين زاويتين بدلالة الدوال المثلثية لتلك الزوايا. تعمل هذه الصيغ كأساس لاشتقاق الصيغ المثلثية التالية.

صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية

صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. الزاوية (وتسمى أيضًا صيغ الزوايا المتعددة) توضح كيفية حساب الدوال المثلثية للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. يتم التعبير عن الزوايا () بدلالة الدوال المثلثية لزاوية واحدة. ويستند اشتقاقها على صيغ الجمع.

يتم جمع معلومات أكثر تفصيلاً في صيغ المقالة للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. زاوية

صيغ نصف الزاوية

صيغ نصف الزاويةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لنصف زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية بأكملها. تتبع هذه الصيغ المثلثية صيغ الزاوية المزدوجة.

يمكن العثور على استنتاجاتهم وأمثلة التطبيق في المقالة.

صيغ تخفيض الدرجة

الصيغ المثلثية لتقليل الدرجاتتم تصميمها لتسهيل الانتقال من القوى الطبيعية للدوال المثلثية إلى جيب التمام وجيب التمام في الدرجة الأولى ولكن بزوايا متعددة. وبعبارة أخرى، فهي تسمح لك بتقليل صلاحيات الدوال المثلثية إلى الأولى.

صيغ لمجموع واختلاف الدوال المثلثية

الغرض الرئيسي صيغ لمجموع وفرق الدوال المثلثيةهو الانتقال إلى حاصل ضرب الدوال، وهو أمر مفيد جدًا عند تبسيط التعبيرات المثلثية. تُستخدم هذه الصيغ أيضًا على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية، لأنها تتيح لك تحليل مجموع وفرق الجيب وجيب التمام.

صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بواسطة جيب التمام

يتم الانتقال من منتج الدوال المثلثية إلى المجموع أو الفرق باستخدام صيغ منتج الجيب وجيب التمام وجيب التمام.

الاستبدال المثلثي العالمي

نكمل مراجعتنا للصيغ الأساسية لعلم المثلثات بصيغ تعبر عن الدوال المثلثية بدلالة ظل نصف الزاوية. تم استدعاء هذا الاستبدال الاستبدال المثلثي العالمي. تكمن ملاءمتها في حقيقة أن جميع الدوال المثلثية يتم التعبير عنها من حيث ظل نصف الزاوية بشكل عقلاني بدون جذور.

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي للصف التاسع. متوسط المدرسة / يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova؛ إد. إس إيه تيلياكوفسكي - م: التعليم، 1990. - 272 ص: مريض - ISBN 5-09-002727-7
• باشماكوف م.الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي. للصفوف 10-11. متوسط مدرسة - الطبعة الثالثة. - م: التربية، 1993. - 351 ص: مريض. -ردمك 5-09-004617-4.
• الجبروبداية التحليل: بروك. للصفوف 10-11. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، P. Dudnitsyn وآخرون؛ إد. أ.ن.كولموجوروف – الطبعة الرابعة عشرة – م: التعليم، 2004. – 384 صفحة: مريض – ISBN 5-09-013651-3.
• غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.

حقوق الطبع والنشر من قبل Smartstudents

كل الحقوق محفوظة.
محمية بموجب قانون حق المؤلف. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من الموقع، بما في ذلك المواد الداخلية والمظهر، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون الحصول على إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.