Paano ibawas ang isa pang ugat sa isang ugat. Panuntunan para sa pagdaragdag ng mga square root. Mga formula ng ugat. Mga katangian ng square roots

Mga formula ng ugat. mga katangian ng square roots.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Sa nakaraang aralin, nalaman natin kung ano ang square root. Panahon na upang malaman kung ano ang mga ito mga pormula para sa mga ugat, ano ang mga mga katangian ng ugat at kung ano ang maaaring gawin sa lahat ng ito.

Mga Root Formula, Root Property, at Mga Panuntunan para sa Mga Aksyon na may Roots- ito ay mahalagang ang parehong bagay. Nakakagulat na kakaunti ang mga formula para sa square roots. Na, siyempre, nakalulugod! Sa halip, maaari kang magsulat ng marami sa lahat ng uri ng mga formula, ngunit tatlo lamang ang sapat para sa praktikal at kumpiyansa na gawaing may mga ugat. Lahat ng iba ay dumadaloy mula sa tatlong ito. Bagama't maraming naliligaw sa tatlong pormula ng mga ugat, oo ...

Magsimula tayo sa pinakasimpleng. Narito siya:

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Tumingin ulit ako sa plato ... And, let's go!

Magsimula tayo sa isang simple:

Sandali lang. ito, na nangangahulugang maaari nating isulat ito tulad nito:

Nakuha ko? Narito ang susunod na para sa iyo:

Ang mga ugat ng mga nagresultang numero ay hindi eksaktong nakuha? Huwag mag-alala, narito ang ilang mga halimbawa:

Ngunit paano kung walang dalawang multiplier, ngunit higit pa? Pareho! Gumagana ang root multiplication formula sa anumang bilang ng mga salik:

Ngayon ay ganap na independyente:

Mga sagot: Magaling! Sumang-ayon, ang lahat ay napakadali, ang pangunahing bagay ay upang malaman ang talahanayan ng pagpaparami!

Dibisyon ng ugat

Nalaman namin ang pagpaparami ng mga ugat, ngayon ay magpatuloy tayo sa pag-aari ng dibisyon.

Ipaalala ko sa iyo na ang formula sa pangkalahatan ay ganito ang hitsura:

At ibig sabihin nun ang ugat ng quotient ay katumbas ng quotient ng mga ugat.

Well, tingnan natin ang mga halimbawa:

Science lang yan. At narito ang isang halimbawa:

Ang lahat ay hindi kasing-kinis tulad ng sa unang halimbawa, ngunit tulad ng nakikita mo, walang kumplikado.

Paano kung ganito ang ekspresyon:

Kailangan mo lamang ilapat ang formula sa kabaligtaran:

At narito ang isang halimbawa:

Maaari mo ring makita ang expression na ito:

Ang lahat ay pareho, dito lamang kailangan mong tandaan kung paano isalin ang mga praksyon (kung hindi mo matandaan, tingnan ang paksa at bumalik!). Naalala? Ngayon kami ang magpapasya!

Sigurado ako na nakayanan mo ang lahat, lahat, ngayon subukan nating bumuo ng mga ugat sa isang degree.

Exponentiation

Ano ang mangyayari kung ang square root ay squared? Ito ay simple, tandaan ang kahulugan ng square root ng isang numero - ito ay isang numero na ang square root ay katumbas ng.

Kaya, kung i-square natin ang isang numero na ang square root ay katumbas, ano ang makukuha natin?

Aba, syempre,!

Tingnan natin ang mga halimbawa:

Ang lahat ay simple, tama? At kung ang ugat ay nasa ibang antas? ayos lang!

Manatili sa parehong lohika at tandaan ang mga katangian at posibleng mga aksyon na may kapangyarihan.

Basahin ang teorya sa paksang "" at ang lahat ay magiging malinaw sa iyo.

Halimbawa, narito ang isang expression:

Sa halimbawang ito, ang antas ay pantay, ngunit paano kung ito ay kakaiba? Muli, ilapat ang mga katangian ng kapangyarihan at salik ang lahat:

Sa pamamagitan nito, tila malinaw ang lahat, ngunit paano kunin ang ugat mula sa isang numero sa isang degree? Narito, halimbawa, ito:

Medyo simple, tama? Paano kung ang degree ay higit sa dalawa? Sinusunod namin ang parehong lohika gamit ang mga katangian ng mga degree:

Well, malinaw na ba ang lahat? Pagkatapos ay lutasin ang iyong sariling mga halimbawa:

At narito ang mga sagot:

Panimula sa ilalim ng tanda ng ugat

Ang hindi natin natutunang gawin sa mga ugat! Ito ay nananatili lamang sa pagsasanay sa pagpasok ng numero sa ilalim ng root sign!

Ito ay medyo madali!

Sabihin nating mayroon tayong numero

Ano ang magagawa natin dito? Well, siyempre, itago ang triple sa ilalim ng ugat, habang inaalala na ang triple ay ang square root ng!

Bakit kailangan natin ito? Oo, para lang mapalawak ang aming mga kakayahan kapag nagresolba ng mga halimbawa:

Paano mo gusto ang pag-aari na ito ng mga ugat? Ginagawang mas madali ang buhay? Para sa akin, tama! Tanging dapat nating tandaan na maaari lamang tayong magpasok ng mga positibong numero sa ilalim ng square root sign.

Subukan ang halimbawang ito para sa iyong sarili:
Inayos mo ba? Tingnan natin kung ano ang dapat mong makuha:

Magaling! Nagawa mong magpasok ng numero sa ilalim ng root sign! Lumipat tayo sa isang bagay na pantay na mahalaga - isaalang-alang kung paano ihambing ang mga numero na naglalaman ng square root!

Paghahambing ng ugat

Bakit dapat nating matutunang ihambing ang mga numerong naglalaman ng square root?

Napakasimple. Kadalasan, sa malalaki at mahahabang ekspresyon na nakatagpo sa pagsusulit, nakakakuha tayo ng hindi makatwiran na sagot (tandaan kung ano ito? Napag-usapan na natin ito ngayon!)

Kailangan nating ilagay ang mga natanggap na sagot sa linya ng coordinate, halimbawa, upang matukoy kung aling pagitan ang angkop para sa paglutas ng equation. At dito lumitaw ang snag: walang calculator sa pagsusulit, at kung wala ito, paano isipin kung aling numero ang mas malaki at alin ang mas maliit? Ayan yun!

Halimbawa, tukuyin kung alin ang mas malaki: o?

Hindi mo sasabihin kaagad. Well, gamitin natin ang parsed property ng pagdaragdag ng numero sa ilalim ng root sign?

Pagkatapos ay pasulong:

Well, malinaw naman, mas malaki ang numero sa ilalim ng tanda ng ugat, mas malaki ang ugat mismo!

Yung. kung ibig sabihin.

Mula dito matatag nating hinuhusgahan iyon At walang sinuman ang kumbinsihin sa amin kung hindi man!

Pagkuha ng mga ugat mula sa malalaking numero

Bago iyon, ipinakilala namin ang isang kadahilanan sa ilalim ng tanda ng ugat, ngunit paano ito aalisin? Kailangan mo lang i-factor ito at i-extract ang na-extract!

Posibleng pumunta sa kabilang paraan at mabulok sa iba pang mga kadahilanan:

Hindi masama, tama ba? Ang alinman sa mga pamamaraang ito ay tama, magpasya kung paano ka komportable.

Ang pag-factor ay lubhang kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga hindi karaniwang gawain tulad ng isang ito:

Hindi kami natatakot, kumikilos kami! Binubulok namin ang bawat kadahilanan sa ilalim ng ugat sa magkakahiwalay na mga kadahilanan:

At ngayon subukan ito sa iyong sarili (nang walang calculator! Wala ito sa pagsusulit):

Ito na ba ang wakas? Hindi tayo tumitigil sa kalagitnaan!

Yun nga lang, hindi naman ganun katakot diba?

Nangyari? Magaling, tama ka!

Ngayon subukan ang halimbawang ito:

At ang isang halimbawa ay isang matigas na mani na pumutok, kaya hindi mo agad maisip kung paano ito lapitan. Ngunit kami, siyempre, ay nasa ngipin.

Well, simulan natin ang factoring, di ba? Kaagad, tandaan namin na maaari mong hatiin ang isang numero sa pamamagitan ng (tandaan ang mga palatandaan ng divisibility):

At ngayon, subukan ito sa iyong sarili (muli, nang walang calculator!):

Well, gumana ba ito? Magaling, tama ka!

Summing up

1. Ang square root (arithmetic square root) ng isang di-negatibong numero ay isang hindi-negatibong numero na ang parisukat ay katumbas.
   .
2. Kung kukunin lang natin ang square root ng isang bagay, palagi tayong nakakakuha ng isang hindi negatibong resulta.
3. Arithmetic root properties:
4. Kapag inihambing ang mga square root, dapat tandaan na mas malaki ang numero sa ilalim ng tanda ng ugat, mas malaki ang ugat mismo.

Paano mo gusto ang square root? Malinaw ang lahat?

Sinubukan naming ipaliwanag sa iyo nang walang tubig ang lahat ng kailangan mong malaman sa pagsusulit tungkol sa square root.

Ikaw na. Sumulat sa amin kung ang paksang ito ay mahirap para sa iyo o hindi.

May natutunan ka bang bago o lahat ay malinaw na.

Sumulat sa mga komento at good luck sa mga pagsusulit!

Hello kitties! Huling oras na sinuri namin nang detalyado kung ano ang mga ugat (kung hindi mo naaalala, inirerekumenda ko ang pagbabasa). Ang pangunahing konklusyon ng araling iyon: mayroon lamang isang unibersal na kahulugan ng mga ugat, na kailangan mong malaman. Ang natitira ay walang kapararakan at isang pag-aaksaya ng oras.

Ngayon ay higit pa tayo. Matututo tayong magparami ng mga ugat, pag-aaralan natin ang ilang problemang nauugnay sa multiplikasyon (kung hindi malulutas ang mga problemang ito, maaari silang maging fatal sa pagsusulit) at magsasanay tayo ng maayos. Kaya mag-stock ng popcorn, gawing komportable ang iyong sarili - at magsisimula na tayo. :)

Hindi ka pa naninigarilyo, hindi ba?

Ang aralin ay naging medyo malaki, kaya hinati ko ito sa dalawang bahagi:

1. Una, titingnan natin ang mga patakaran para sa pagpaparami. Ang takip ay tila nagpapahiwatig: ito ay kapag mayroong dalawang ugat, mayroong isang "multiply" na senyales sa pagitan ng mga ito - at gusto naming gumawa ng isang bagay dito.
2. Pagkatapos ay susuriin natin ang baligtad na sitwasyon: mayroong isang malaking ugat, at naiinip kaming ipakita ito bilang produkto ng dalawang ugat sa mas simpleng paraan. Sa kung anong takot ang kinakailangan ay isang hiwalay na tanong. Susuriin lamang namin ang algorithm.

Para sa mga hindi makapaghintay na tumalon sa Part 2, welcome kayo. Magsimula tayo sa natitira sa pagkakasunud-sunod.

Pangunahing tuntunin sa pagpaparami

Magsimula tayo sa pinakasimpleng - classical square roots. Ang mga pinapahiwatig ng $\sqrt(a)$ at $\sqrt(b)$. Para sa kanila, ang lahat ay karaniwang malinaw:

tuntunin sa pagpaparami. Upang i-multiply ang isang square root sa isa pa, kailangan mo lamang na i-multiply ang kanilang mga radical expression, at isulat ang resulta sa ilalim ng karaniwang radical:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Walang karagdagang mga paghihigpit na ipinapataw sa mga numero sa kanan o kaliwa: kung ang mga ugat ng multiplier ay umiiral, kung gayon ang produkto ay umiiral din.

Mga halimbawa. Isaalang-alang ang apat na halimbawa na may mga numero nang sabay-sabay:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang pangunahing kahulugan ng panuntunang ito ay upang gawing simple ang mga hindi makatwiran na expression. At kung sa unang halimbawa ay nakuha natin ang mga ugat mula sa 25 at 4 nang walang anumang mga bagong panuntunan, kung gayon ang lata ay magsisimula: $\sqrt(32)$ at $\sqrt(2)$ ay hindi binibilang sa kanilang sarili, ngunit ang kanilang produkto ay lumabas na isang eksaktong parisukat, kaya ang ugat nito ay katumbas ng isang rational na numero.

Hiwalay, gusto kong tandaan ang huling linya. Doon, ang parehong mga radikal na expression ay mga fraction. Salamat sa produkto, maraming mga kadahilanan ang nagkansela, at ang buong expression ay nagiging isang sapat na numero.

Siyempre, hindi lahat ay palaging magiging napakaganda. Minsan magkakaroon ng kumpletong dumi sa ilalim ng mga ugat - hindi malinaw kung ano ang gagawin dito at kung paano magbago pagkatapos ng multiplikasyon. Maya-maya, kapag sinimulan mong pag-aralan ang mga hindi makatwirang equation at hindi pagkakapantay-pantay, magkakaroon ng lahat ng uri ng mga variable at function sa pangkalahatan. At kadalasan, ang mga nagtitipon ng mga problema ay umaasa lamang sa katotohanan na makakahanap ka ng ilang mga tuntunin o mga kadahilanan sa pagkontrata, pagkatapos nito ang gawain ay lubos na mapadali.

Bilang karagdagan, hindi kinakailangan na i-multiply nang eksakto ang dalawang ugat. Maaari kang magparami ng tatlo nang sabay-sabay, apat - oo kahit sampu! Hindi nito babaguhin ang panuntunan. Tingnan mo:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

At muli isang maliit na pangungusap sa pangalawang halimbawa. Tulad ng nakikita mo, sa ikatlong multiplier, mayroong isang decimal na bahagi sa ilalim ng ugat - sa proseso ng mga kalkulasyon, pinapalitan namin ito ng isang regular, pagkatapos nito ang lahat ay madaling nabawasan. Kaya: Lubos kong inirerekumenda na alisin ang mga decimal fraction sa anumang hindi makatwiran na mga expression (iyon ay, naglalaman ng hindi bababa sa isang radikal na icon). Makakatipid ito sa iyo ng maraming oras at nerbiyos sa hinaharap.

Ngunit ito ay isang lyrical digression. Ngayon isaalang-alang natin ang isang mas pangkalahatang kaso - kapag ang root exponent ay naglalaman ng isang arbitrary na numero na $n$, at hindi lamang ang "klasikal" na dalawa.

Ang kaso ng isang di-makatwirang tagapagpahiwatig

Kaya, nalaman namin ang mga square root. At ano ang gagawin sa mga cube? O sa pangkalahatan na may mga ugat ng di-makatwirang degree na $n$? Oo, ang lahat ay pareho. Ang panuntunan ay nananatiling pareho:

Upang i-multiply ang dalawang ugat ng degree $n$, sapat na upang i-multiply ang kanilang mga radical expression, pagkatapos kung saan ang resulta ay nakasulat sa ilalim ng isang radical.

Sa pangkalahatan, walang kumplikado. Maliban kung ang dami ng mga kalkulasyon ay maaaring higit pa. Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Mga halimbawa. Kalkulahin ang mga produkto:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

At muli pansin ang pangalawang ekspresyon. Pinaparami namin ang mga ugat ng kubo, inaalis ang bahagi ng decimal, at bilang isang resulta, nakukuha namin ang produkto ng mga numero na 625 at 25 sa denominator. Ito ay medyo malaking numero - sa personal, hindi ko agad kalkulahin kung ano ang katumbas nito sa.

Samakatuwid, pinili lang namin ang eksaktong cube sa numerator at denominator, at pagkatapos ay ginamit ang isa sa mga pangunahing katangian (o, kung gusto mo, ang kahulugan) ng ugat ng $n$th degree:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| isang\kanan|. \\ \end(align)\]

Ang mga ganitong "scam" ay makakatipid sa iyo ng maraming oras sa isang pagsusulit o pagsusulit, kaya tandaan:

Huwag magmadali upang i-multiply ang mga numero sa radikal na expression. Una, suriin: paano kung ang eksaktong antas ng anumang expression ay "naka-encrypt" doon?

Sa lahat ng kaliwanagan ng pangungusap na ito, dapat kong aminin na ang karamihan sa mga hindi handa na mga estudyante ay hindi nakikita ang eksaktong mga antas. Sa halip, pinarami nila ang lahat ng bagay sa unahan, at pagkatapos ay nagtataka: bakit sila nakakuha ng mga brutal na numero? :)

Gayunpaman, ang lahat ng ito ay larong pambata kumpara sa ating pag-aaralan ngayon.

Pagpaparami ng mga ugat na may iba't ibang exponent

Kaya, ngayon ay maaari nating i-multiply ang mga ugat na may parehong mga exponent. Paano kung magkaiba ang mga marka? Sabihin, paano mo i-multiply ang isang ordinaryong $\sqrt(2)$ ng ilang crap tulad ng $\sqrt(23)$? Posible bang gawin ito?

Oo, siyempre kaya mo. Ang lahat ay ginagawa ayon sa formula na ito:

Panuntunan sa pagpaparami ng ugat. Upang i-multiply ang $\sqrt[n](a)$ sa $\sqrt[p](b)$, gawin lamang ang sumusunod na pagbabago:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Gayunpaman, ang formula na ito ay gagana lamang kung Ang mga radikal na ekspresyon ay hindi negatibo. Ito ay isang napakahalagang pangungusap, kung saan babalik tayo sa ibang pagkakataon.

Sa ngayon, tingnan natin ang ilang halimbawa:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Ngayon, alamin natin kung saan nagmula ang non-negativity requirement, at ano ang mangyayari kung lalabagin natin ito. :)

Bakit kailangang hindi negatibo ang mga radikal na expression?

Siyempre, maaari kang maging tulad ng mga guro sa paaralan at mag-quote ng isang aklat-aralin na may matalinong hitsura:

Ang pangangailangan ng di-negatibiti ay nauugnay sa iba't ibang mga kahulugan ng mga ugat ng pantay at kakaibang antas (ayon sa pagkakabanggit, ang kanilang mga domain ng kahulugan ay iba rin).

Well, naging mas malinaw? Sa personal, nang mabasa ko ang kalokohang ito sa ika-8 baitang, naunawaan ko sa aking sarili ang isang bagay na tulad nito: "Ang kinakailangan ng hindi negatibo ay nauugnay sa *#&^@(*#@^#)~%" - sa madaling salita, ako Hindi ko maintindihan ang mga bagay na iyon sa oras na iyon. :)

Kaya ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa normal na paraan.

Una, alamin natin kung saan nagmula ang multiplication formula sa itaas. Upang gawin ito, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang isang mahalagang katangian ng ugat:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Sa madaling salita, maaari nating ligtas na itaas ang root expression sa anumang natural na kapangyarihan $k$ - sa kasong ito, ang root index ay kailangang i-multiply sa parehong kapangyarihan. Samakatuwid, madali nating bawasan ang anumang mga ugat sa isang karaniwang tagapagpahiwatig, pagkatapos nito ay dumarami tayo. Dito nagmula ang multiplication formula:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ngunit may isang problema na lubhang naglilimita sa paggamit ng lahat ng mga formula na ito. Isaalang-alang ang numerong ito:

Ayon sa ibinigay na formula, maaari tayong magdagdag ng anumang antas. Subukan nating magdagdag ng $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Inalis namin ang minus nang tumpak dahil sinusunog ng parisukat ang minus (tulad ng anumang iba pang kahit na antas). At ngayon gawin natin ang reverse transformation: "bawasan" ang dalawa sa exponent at degree. Pagkatapos ng lahat, ang anumang pagkakapantay-pantay ay mababasa mula kaliwa-pakanan at kanan-pakaliwa:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Ngunit pagkatapos ay isang kabaliwan ang nangyari:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Hindi ito maaaring dahil $\sqrt(-5) \lt 0$ at $\sqrt(5) \gt 0$. Nangangahulugan ito na para sa kahit na mga kapangyarihan at negatibong mga numero, ang aming formula ay hindi na gumagana. Pagkatapos nito, mayroon kaming dalawang pagpipilian:

1. Upang labanan laban sa pader upang sabihin na ang matematika ay isang hangal na agham, kung saan "may ilang mga patakaran, ngunit ito ay hindi tumpak";
2. Ipakilala ang mga karagdagang paghihigpit kung saan ang formula ay magiging 100% gumagana.

Sa unang pagpipilian, kailangan nating patuloy na mahuli ang mga "hindi gumagana" na mga kaso - ito ay mahirap, mahaba at sa pangkalahatan ay fu. Samakatuwid, ginusto ng mga mathematician ang pangalawang opsyon. :)

Ngunit huwag mag-alala! Sa pagsasagawa, ang paghihigpit na ito ay hindi nakakaapekto sa mga kalkulasyon sa anumang paraan, dahil ang lahat ng inilarawan na mga problema ay may kinalaman lamang sa mga ugat ng isang kakaibang antas, at ang mga minus ay maaaring alisin sa kanila.

Samakatuwid, bumubuo kami ng isa pang panuntunan na nalalapat sa pangkalahatan sa lahat ng mga aksyon na may mga ugat:

Bago i-multiply ang mga ugat, siguraduhin na ang mga radikal na expression ay hindi negatibo.

Halimbawa. Sa numerong $\sqrt(-5)$, maaari mong alisin ang minus mula sa ilalim ng root sign - pagkatapos ay magiging maayos ang lahat:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Pakiramdaman ang pagkakaiba? Kung mag-iiwan ka ng minus sa ilalim ng ugat, pagkatapos ay kapag ang radikal na expression ay squared, ito ay mawawala, at crap ay magsisimula. At kung una kang kumuha ng minus, maaari mo ring itaas / alisin ang isang parisukat hanggang sa ikaw ay asul sa mukha - ang numero ay mananatiling negatibo. :)

Kaya, ang pinaka tama at pinaka-maaasahang paraan upang i-multiply ang mga ugat ay ang mga sumusunod:

1. Alisin ang lahat ng mga minus mula sa ilalim ng mga radical. Ang mga minus ay nasa mga ugat lamang ng kakaibang multiplicity - maaari silang ilagay sa harap ng ugat at, kung kinakailangan, bawasan (halimbawa, kung mayroong dalawa sa mga minus na ito).
2. Magsagawa ng multiplikasyon ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas sa aralin ngayon. Kung pareho ang mga indeks ng mga ugat, i-multiply lang ang mga expression ng ugat. At kung magkaiba sila, ginagamit namin ang masamang formula na \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Nasisiyahan kami sa resulta at magagandang marka. :)

Well? Magpractice ba tayo?

Halimbawa 1. Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Ito ang pinakasimpleng opsyon: ang mga tagapagpahiwatig ng mga ugat ay pareho at kakaiba, ang problema ay nasa minus lamang ng pangalawang multiplier. Tinitiis namin ang minus nafig na ito, pagkatapos ay madaling isaalang-alang ang lahat.

Halimbawa 2. Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ihanay)\]

Dito, marami ang malito sa katotohanan na ang output ay naging isang hindi makatwiran na numero. Oo, nangyayari ito: hindi namin ganap na mapupuksa ang ugat, ngunit hindi bababa sa pinasimple namin ang expression.

Halimbawa 3. Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Ito ang gusto kong makuha ang iyong atensyon. Mayroong dalawang puntos dito:

1. Sa ilalim ng ugat ay hindi isang tiyak na numero o antas, ngunit ang variable na $a$. Sa unang sulyap, ito ay medyo hindi pangkaraniwan, ngunit sa katotohanan, kapag nilutas ang mga problema sa matematika, madalas mong kailangang harapin ang mga variable.
2. Sa huli, nagawa naming "bawasan" ang root exponent at degree sa radical expression. Madalas itong nangyayari. At nangangahulugan ito na posible na makabuluhang gawing simple ang mga kalkulasyon kung hindi mo gagamitin ang pangunahing formula.

Halimbawa, maaari mong gawin ito:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

Sa katunayan, ang lahat ng mga pagbabago ay ginanap lamang sa pangalawang radikal. At kung hindi mo ipinta nang detalyado ang lahat ng mga intermediate na hakbang, pagkatapos ay sa dulo ang halaga ng mga kalkulasyon ay makabuluhang bababa.

Sa katunayan, nakatagpo na kami ng katulad na gawain sa itaas kapag nilulutas ang halimbawang $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Ngayon ay mas madali itong maisulat:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Buweno, nalaman namin ang pagpaparami ng mga ugat. Ngayon isaalang-alang ang kabaligtaran na operasyon: ano ang gagawin kapag may trabaho sa ilalim ng ugat?

Sa matematika, ang anumang aksyon ay may sariling pares-kabaligtaran - sa esensya, ito ay isa sa mga pagpapakita ng batas ng Hegelian ng dialectics: "ang pagkakaisa at pakikibaka ng mga magkasalungat." Ang isa sa mga aksyon sa naturang "pares" ay naglalayong dagdagan ang bilang, at ang isa pa, ang kabaligtaran nito, ay bumababa. Halimbawa, ang aksyon na kabaligtaran ng karagdagan ay pagbabawas, at ang paghahati ay tumutugma sa multiplikasyon. Ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay mayroon ding sariling dialectical pair-opposite. Tungkol ito sa pagkuha ng ugat.

Upang kunin ang ugat ng ganoon at ganoong antas mula sa isang numero ay nangangahulugan na kalkulahin kung aling numero ang dapat itaas sa katumbas na kapangyarihan upang mapunta sa numerong ito. Ang dalawang degree ay may sariling hiwalay na mga pangalan: ang pangalawang degree ay tinatawag na "square", at ang pangatlo - ang "cube". Alinsunod dito, kaaya-ayang tawagan ang mga ugat ng mga kapangyarihang ito bilang square root at cubic root. Ang mga pagkilos na may cube roots ay isang paksa para sa isang hiwalay na talakayan, ngunit ngayon ay pag-usapan natin ang pagdaragdag ng square roots.

Magsimula tayo sa katotohanan na sa ilang mga kaso ay mas madaling kunin muna ang mga square root, at pagkatapos ay idagdag ang mga resulta. Ipagpalagay na kailangan nating hanapin ang halaga ng naturang expression:

Pagkatapos ng lahat, hindi mahirap kalkulahin na ang square root ng 16 ay 4, at ng 121 - 11. Samakatuwid,

√16+√121=4+11=15

Gayunpaman, ito ang pinakasimpleng kaso - dito pinag-uusapan natin ang tungkol sa buong mga parisukat, i.e. tungkol sa mga numero na nakukuha sa pamamagitan ng pag-square ng mga buong numero. Ngunit hindi ito palaging nangyayari. Halimbawa, ang bilang na 24 ay hindi isang perpektong parisukat (hindi ka makakahanap ng isang integer na, kapag itinaas sa pangalawang kapangyarihan, ay magreresulta sa 24). Ang parehong naaangkop sa isang numero tulad ng 54 ... Paano kung kailangan nating idagdag ang mga square root ng mga numerong ito?

Sa kasong ito, makakakuha tayo ng sagot hindi isang numero, ngunit isa pang expression. Ang maximum na magagawa natin dito ay ang gawing simple ang orihinal na expression hangga't maaari. Upang gawin ito, kailangan mong kunin ang mga kadahilanan mula sa ilalim ng square root. Tingnan natin kung paano ito ginagawa gamit ang mga nabanggit na numero bilang isang halimbawa:

Upang magsimula, i-factorize natin ang 24 - sa paraan na ang isa sa mga ito ay madaling makuha bilang isang square root (ibig sabihin, upang ito ay isang perpektong parisukat). Mayroong ganoong numero - ito ay 4:

Ngayon ay gawin natin ang parehong sa 54. Sa komposisyon nito, ang bilang na ito ay magiging 9:

Kaya, nakukuha namin ang sumusunod:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Ngayon, i-extract natin ang mga ugat mula sa kung ano ang maaari nating makuha mula sa: 2*√6+3*√6

Mayroong isang karaniwang kadahilanan dito, na maaari nating alisin sa mga bracket:

(2+3)* √6=5*√6

Ito ang magiging resulta ng karagdagan - wala nang iba pang maaaring makuha dito.

Totoo, maaari kang gumamit ng tulong ng isang calculator - gayunpaman, ang resulta ay tinatayang at may malaking bilang ng mga decimal na lugar:

√6=2,449489742783178

Unti-unti itong ni-round up, nakakakuha tayo ng humigit-kumulang 2.5. Kung gusto pa rin nating dalhin ang solusyon ng nakaraang halimbawa sa lohikal na konklusyon nito, maaari nating i-multiply ang resultang ito sa 5 - at makakakuha tayo ng 12.5. Ang isang mas tumpak na resulta sa naturang paunang data ay hindi maaaring makuha.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga ugat- isa sa pinakakaraniwang "stumbling blocks" para sa mga kumukuha ng kurso sa matematika (algebra) sa high school. Gayunpaman, ang pag-aaral kung paano idagdag at ibawas ang mga ito nang tama ay napakahalaga, dahil ang mga halimbawa para sa kabuuan o pagkakaiba ng mga ugat ay kasama sa programa ng pangunahing Unified State Exam sa disiplinang "matematika".

Upang makabisado ang solusyon ng naturang mga halimbawa, kailangan mo ng dalawang bagay - upang maunawaan ang mga patakaran, pati na rin upang makakuha ng kasanayan. Ang pagkakaroon ng paglutas ng isa o dalawang dosenang tipikal na halimbawa, dadalhin ng mag-aaral ang kasanayang ito sa automatismo, at pagkatapos ay wala siyang dapat ikatakot sa pagsusulit. Inirerekomenda na simulan ang pag-master ng mga operasyon sa aritmetika na may karagdagan, dahil ang pagdaragdag ng mga ito ay medyo mas madali kaysa sa pagbabawas ng mga ito.

Ano ang ugat

Ang pinakamadaling paraan upang ipaliwanag ito ay ang halimbawa ng square root. Sa matematika, mayroong isang mahusay na itinatag na terminong "parisukat". Ang ibig sabihin ng "parisukat" ay i-multiply ang isang partikular na numero nang isang beses.. Halimbawa, kung parisukat mo ang 2, makakakuha ka ng 4. Kung parisukat mo ang 7, makakakuha ka ng 49. Ang parisukat ng 9 ay 81. Kaya ang square root ng 4 ay 2, ng 49 ay 7, at ng 81 ay 9.

Bilang isang patakaran, ang pagtuturo ng paksang ito sa matematika ay nagsisimula sa mga square root. Upang agad na matukoy ito, dapat na alam ng isang mag-aaral sa high school ang multiplication table sa puso. Para sa mga hindi nakakaalam ng talahanayang ito, kailangan mong gumamit ng mga pahiwatig. Karaniwan, ang proseso ng pagkuha ng root square mula sa isang numero ay ibinibigay sa anyo ng isang talahanayan sa mga pabalat ng maraming mga notebook sa matematika ng paaralan.

Ang mga ugat ay sa mga sumusunod na uri:

• parisukat;
• kubiko (o ang tinatawag na ikatlong antas);
• ikaapat na antas;
• ikalimang antas.

Mga panuntunan sa pagdaragdag

Upang matagumpay na malutas ang isang tipikal na halimbawa, dapat itong isipin na hindi lahat ng mga numero ng ugat maaaring isalansan sa isa't isa. Upang magawang pagsamahin ang mga ito, dapat silang dalhin sa isang solong pattern. Kung hindi ito posible, kung gayon ang problema ay walang solusyon. Ang ganitong mga problema ay madalas ding matatagpuan sa mga aklat-aralin sa matematika bilang isang uri ng bitag para sa mga mag-aaral.

Ang pagdaragdag ay hindi pinapayagan sa mga takdang-aralin kapag ang mga radikal na expression ay naiiba sa bawat isa. Ito ay maaaring ilarawan sa isang halimbawa ng paglalarawan:

• ang mag-aaral ay nahaharap sa gawain: idagdag ang square root ng 4 at ng 9;
• isang walang karanasan na mag-aaral na hindi alam ang panuntunan ay karaniwang nagsusulat: "ugat ng 4 + ugat ng 9 \u003d ugat ng 13."
• napakadaling patunayan na mali ang ganitong paraan ng paglutas. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang square root ng 13 at suriin kung ang halimbawa ay nalutas nang tama;
• gamit ang isang microcalculator, maaari mong matukoy na ito ay humigit-kumulang 3.6. Ngayon ay nananatili upang suriin ang solusyon;
• ugat ng 4=2, at ng 9=3;
• Ang kabuuan ng dalawa at tatlo ay lima. Kaya, ang algorithm ng solusyon na ito ay maaaring ituring na hindi tama.

Kung ang mga ugat ay may parehong antas, ngunit magkaibang mga numerical na expression, ito ay kinuha sa labas ng mga bracket, at ang kabuuan ng dalawang radikal na expression. Kaya, ito ay nakuha na mula sa halagang ito.

Pagdaragdag ng algorithm

Upang maayos na malutas ang pinakasimpleng problema, kinakailangan:

1. Tukuyin kung ano ang eksaktong nangangailangan ng karagdagan.
2. Alamin kung posible na magdagdag ng mga halaga sa bawat isa, na ginagabayan ng mga panuntunang umiiral sa matematika.
3. Kung hindi sila maidaragdag, kailangan mong baguhin ang mga ito sa paraang maaari silang maidagdag.
4. Nang maisagawa ang lahat ng kinakailangang pagbabago, kinakailangan na magsagawa ng karagdagan at isulat ang natapos na sagot. Ang pagdaragdag ay maaaring gawin sa isip o sa isang calculator, depende sa pagiging kumplikado ng halimbawa.

Ano ang mga katulad na ugat

Upang maayos na malutas ang isang halimbawa ng karagdagan, kinakailangan, una sa lahat, pag-isipan kung paano ito mapapasimple. Upang gawin ito, kailangan mong magkaroon ng isang pangunahing kaalaman sa kung ano ang pagkakatulad.

Ang kakayahang makilala ang mga katulad ay nakakatulong upang mabilis na malutas ang parehong uri ng mga halimbawa ng karagdagan, na nagdadala sa kanila sa isang pinasimpleng anyo. Upang gawing simple ang isang karaniwang halimbawa ng karagdagan, kailangan mong:

1. Maghanap ng mga katulad at italaga ang mga ito sa isang grupo (o ilang grupo).
2. Isulat muli ang umiiral na halimbawa sa paraang malinaw na sumusunod ang mga ugat na may parehong tagapagpahiwatig (ito ay tinatawag na "pagpapangkat").
3. Susunod, dapat mong isulat muli ang expression, sa pagkakataong ito sa paraan na ang mga katulad (na may parehong indicator at parehong root figure) ay sumusunod din sa isa't isa.

Pagkatapos nito, ang isang pinasimpleng halimbawa ay karaniwang madaling lutasin.

Upang maayos na malutas ang anumang halimbawa ng karagdagan, kailangan mong malinaw na maunawaan ang mga pangunahing patakaran ng karagdagan, at alam din kung ano ang ugat at kung paano ito nangyayari.

Minsan ang mga ganitong gawain ay mukhang napakakomplikado sa unang sulyap, ngunit kadalasan ay madaling malutas ang mga ito sa pamamagitan ng pagpapangkat ng mga katulad. Ang pinakamahalagang bagay ay pagsasanay, at pagkatapos ay magsisimula ang mag-aaral na "mag-click sa mga gawain tulad ng mga mani." Ang pagdaragdag ng ugat ay isa sa pinakamahalagang sangay ng matematika, kaya dapat maglaan ng sapat na oras ang mga guro para pag-aralan ito.

Video

Tutulungan ka ng video na ito na maunawaan ang mga equation na may square roots.