வழக்கமான தொகுப்பு. எண் தொகுப்புகளின் பதவி, பதிவு மற்றும் படம். கார்ட்டீசியன் தொகுப்பு தயாரிப்பு செயல்பாடு

ஒரு தொகுப்பின் கருத்து என்பது கணிதத்தின் அச்சுக் கருத்துக்களைக் குறிக்கிறது.

வரையறை. ஒரு தொகுப்பு என்பது ஒரு தொகுப்பு, ஒரு குழு, அவை அனைத்திற்கும் பொதுவான சில சொத்து அல்லது பண்புக்கூறுகளைக் கொண்ட கூறுகளின் தொகுப்பு.

பதவி: ஏ, பி.

வரையறை. A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு செட்கள் ஒரே கூறுகளைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே சமமாக இருக்கும். A=B.

a ∈ A (a ∉ A) என்ற குறியீடானது, A என்பது (அல்ல) A தொகுப்பின் ஒரு உறுப்பு என்பதைக் குறிக்கிறது.

வரையறை. உறுப்புகள் இல்லாத ஒரு தொகுப்பு காலியாக அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் ∅ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

வழக்கமாக, குறிப்பிட்ட சந்தர்ப்பங்களில், பரிசீலனையில் உள்ள அனைத்து தொகுப்புகளின் கூறுகளும் ஒன்றிலிருந்து எடுக்கப்படுகின்றன, போதுமான அகலமான செட் U, இது அழைக்கப்படுகிறது உலகளாவிய தொகுப்பு.

சக்தியை அமைக்கவும்|M| என குறிக்கப்படுகிறது .
கருத்து : வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளுக்கு, தொகுப்பின் கார்டினாலிட்டி என்பது உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை.

வரையறை. என்றால் |A| = |B| , பின்னர் தொகுப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன சமமான சக்தி வாய்ந்தது.

செட்களில் செயல்பாடுகளை விளக்குவதற்கு, ஒருவர் அடிக்கடி பயன்படுத்துகிறார் ஆய்லர்-வென் வரைபடங்கள். வரைபடத்தின் கட்டுமானம் உலகளாவிய தொகுப்பைக் குறிக்கும் ஒரு பெரிய செவ்வகத்தின் படத்தைக் கொண்டுள்ளது U , மற்றும் அதன் உள்ளே - செட்களைக் குறிக்கும் வட்டங்கள்.

பின்வரும் செயல்பாடுகள் தொகுப்புகளில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன:

யூனியன் A∪B: = (x/x∈A∨x∈B)

குறுக்குவெட்டு A∩B: = (x/x∈A&x∈B)

வேறுபாடு A\B: = (x/x∈A&x∈B)

நிரப்பு A U \ A: = (x / x U & x ∉ A)

பணி 1.1. கொடுக்கப்பட்டவை: a)A,B⊆Z, A = (1;3;4;5;9), B = (2;4;5;10). b)A,B⊆R, A = [-3;3), B = (2;10].

தீர்வு.

a) A∩B = (4;5), A∪B = (1;2;3;4;5;9;10), A \ B = (1;3;9), B \ A = (2 ;10), B = Z \ B ;

b) A∩B = (2;3), A∪B = [-3;10] , A\B = [-3,2], B\A = ,B Z\B = (-∞,2]∪ (10,+∞).

1) கொடுக்கப்பட்டவை: a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7).

b) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), பி=[-4; 4].

கண்டுபிடி: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

2) கொடுக்கப்பட்டவை: a) A, B ⊆ Z, A = (3;6;7;10), B = (2;3;10;12).

b) A, B ⊆ R, A = .

கண்டுபிடி: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

3) கொடுக்கப்பட்டவை: a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7).

b) A, B ⊆ R, A = .

4) கொடுக்கப்பட்டவை: a) A, B ⊆ Z, A = (0;4;6;7), B = (-3;3;7).

b)A,B ⊆ R, A = [-15;0), B = [-2;1].

கண்டுபிடி: A∩B, A∪B, A\B, B\A, A .

5) கொடுக்கப்பட்டவை: a) A, B ⊆ Z, A = (0;9), B = (-6;0;3;9).

b) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), பி = [-1; 6].

கண்டுபிடி: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

6) கொடுக்கப்பட்டவை: a) A, B ⊆ Z, A = (0;6;9), B = (-6;0;3;7).

b) A, B ⊆ R, A = [-8;3), B = .

கண்டுபிடி: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

7) கொடுக்கப்பட்டவை: a) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 2; 10), B = (-1; 2; 9; 10).

b)A, B ⊆ R, A = [-10;9), B = [-5;15].

கண்டுபிடி: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

8) கொடுக்கப்பட்டவை: a) A,B ⊆ Z, A = (1;2;9;37), B = (-1;1;9;11;15).

b) A, B ⊆ R, A = [-8;1), B = [-5;7].

கண்டுபிடி: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

9) கொடுக்கப்பட்டவை: a) A, B ⊆ Z, A = (-1;0;9;17), B = (-1;1;9;10;25).

b) A, B ⊆ R, A = [-4;9), B = [-5;7].

கண்டுபிடி: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

10) கொடுக்கப்பட்டவை: a)A,B⊆Z, A = (1;7;9;17), B = (-2;1;9;10;25).

b) A,B⊆R, A = .

கண்டுபிடி: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, A .

பணி 1.1. Euler-Venn வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி அடையாளத்தை நிரூபிக்கவும்:

A\ (B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C).

தீர்வு.

நாங்கள் வென் வரைபடங்களை உருவாக்குகிறோம்.

சமத்துவத்தின் இடது பக்கம் படம் a இல் காட்டப்பட்டுள்ளது), வலது பக்கம் - படத்தில் b). வரைபடங்களிலிருந்து, இந்த விகிதத்தின் இடது மற்றும் வலது பகுதிகளின் சமத்துவம் தெளிவாக உள்ளது.

சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள்

Euler-Venn வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி அடையாளங்களை நிரூபிக்கவும்:

1) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C);

2) A ∪ (B\C) = (A ∩ B)\C;

3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);

4) (A\B)\C = (A\B)\(B\C);

5) (A\B)\C = (A\B)∪(A∩C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) \C;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B) \C = (A\C) ∪ (B\C)

10) A∪ (A ∩ B) = A ∪ B

பணி 1.3. ஒரு இலக்கியப் பாடத்தில், வகுப்பில் உள்ள 40 மாணவர்களில் யார் A, B, C புத்தகங்களைப் படித்தார்கள் என்பதைக் கண்டறிய ஆசிரியர் முடிவு செய்தார். கணக்கெடுப்பின் முடிவுகள் பின்வருமாறு: புத்தகம் A 25 மாணவர்களால் படிக்கப்பட்டது; புத்தகம் பி 22 மாணவர்களால் வாசிக்கப்பட்டது; சி புத்தகத்தை 22 மாணவர்கள் வாசித்தனர்; ஏ அல்லது பி புத்தகங்கள் 33 மாணவர்களால் வாசிக்கப்பட்டன; ஏ அல்லது சி புத்தகங்களை 32 மாணவர்கள் படித்தனர்; B அல்லது C புத்தகங்களை 31 மாணவர்கள் படித்தனர்; அனைத்து புத்தகங்களையும் 10 மாணவர்கள் படித்தனர். தீர்மானிக்கவும்: 1) புத்தகம் A ஐ மட்டும் எத்தனை மாணவர்கள் படித்திருக்கிறார்கள்?

2) B புத்தகத்தை மட்டும் எத்தனை மாணவர்கள் படித்திருக்கிறார்கள்?

3) சி புத்தகத்தை மட்டும் எத்தனை மாணவர்கள் படித்திருக்கிறார்கள்?

4) தலா ஒரு புத்தகத்தை மட்டும் எத்தனை மாணவர்கள் படிக்கிறார்கள்?

5) குறைந்தபட்சம் ஒரு புத்தகத்தையாவது எத்தனை மாணவர்கள் படித்திருக்கிறார்கள்?

6) ஒரு புத்தகத்தைப் படிக்காத மாணவர்கள் எத்தனை பேர்?

தீர்வு.

வகுப்பில் உள்ள மாணவர்களின் தொகுப்பாக நீங்கள் இருக்கட்டும். பிறகு

|யு| = 40, |A| = 25, |B| = 22, |C| = 22, |A ∪ B| = 33, |A ∪ C| = 32, |B ∪ C| = 31, |A ∩ B ∩ C| = 10

சிக்கலை விளக்க முயற்சிப்போம்.

குறைந்தபட்சம் ஒரு புத்தகத்தையாவது படித்த மாணவர்களின் தொகுப்பை ஏழு துணைக்குழுக்களாகப் பிரிப்போம் k 1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 , k 6 , k 7 , எங்கே

கே 1 - ஏ புத்தகத்தை மட்டுமே படித்த மாணவர்களின் தொகுப்பு;

k 3 - புத்தகம் B மட்டுமே படித்த மாணவர்களின் தொகுப்பு;

கே 7 - புத்தகம் சி மட்டுமே படிக்கும் மாணவர்களின் தொகுப்பு;

கே 2 - ஏ மற்றும் பி புத்தகங்களைப் படிக்கும் மற்றும் சி புத்தகத்தைப் படிக்காத மாணவர்களின் தொகுப்பு;

கே 4 - ஏ மற்றும் சி புத்தகங்களைப் படிக்கும் மற்றும் பி புத்தகத்தைப் படிக்காத மாணவர்களின் தொகுப்பு;

k 6 - புத்தகங்கள் B மற்றும் C படிக்கும் மற்றும் A புத்தகத்தைப் படிக்காத மாணவர்களின் தொகுப்பு;

கே 5 - ஏ, பி மற்றும் சி புத்தகங்களைப் படித்த மாணவர்களின் தொகுப்பு.

இந்த துணைக்குழுக்கள் ஒவ்வொன்றின் கார்டினாலிட்டியையும் கணக்கிடுவோம்.

|k 2 | = |A ∩ B|-|A ∩ B ∩ C|; |k 4 | = |A ∩ C|-|A ∩ B ∩ C|;

|k 6 | = |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|; |k 5 | = |A ∩ B ∩ C|.

பிறகு |k 1 | = |ஏ| - |k 2 | - |k 4 | - |k 5 |, |k 3 | = |B| - |k 2 | - |k 6 | - |k 5 |, |k 7 | = |சி| - |k 6 | - |k | - |k 5 |.

கண்டுபிடி |A ∩ B|, |A ∩ C|, |B ∩ C|.

|A ∩ B| = | ஏ| +| பி| - |A ∩ B| \u003d 25 + 22 - 33 \u003d 14,

|A ∩ C| = |ஏ| + |சி| - |A ∩ C| \u003d 25 + 22 - 32 \u003d 15,

|பி ∩ சி| = |பி| + |சி| - |பி ∩ சி| = 22 + 22 - 31 = 13.

பின்னர் k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 \u003d 22-4-3-10 \u003d 5; k 7 \u003d 22-5-3-10 \u003d 4;

|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| + |சி| - |(A ∪ B) ∪ C| .

அந்த உருவத்தில் இருந்து தெளிவாக தெரிகிறது |C| - |(A ∪ B) ∪ C| = |k 7 | = 4, பிறகு |A ∪ B ∪ C| = 33+4 = 37 என்பது ஒரு புத்தகத்தையாவது படித்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை.

வகுப்பில் 40 மாணவர்கள் இருப்பதால் 3 மாணவர்கள் ஒரு புத்தகம் கூட படிக்கவில்லை.

பதில்:

1. 6 மாணவர்கள் ஏ புத்தகத்தை மட்டுமே படிக்கிறார்கள்.
2. 5 மாணவர்கள் B புத்தகத்தை மட்டுமே படிக்கிறார்கள்.
3. 4 மாணவர்கள் சி புத்தகத்தை மட்டுமே படிக்கிறார்கள்.
4. 15 மாணவர்கள் தலா ஒரு புத்தகத்தை மட்டுமே படிக்கின்றனர்.
5. 37 மாணவர்கள் ஏ, பி, சி ஆகியவற்றிலிருந்து ஒரு புத்தகத்தையாவது படித்திருக்கிறார்கள்.
6. 3 மாணவர்கள் ஒரு புத்தகம் கூட படிக்கவில்லை.

சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள்

1) வாரத்தில் ஏ, பி, சி படங்கள் திரையரங்கில் காண்பிக்கப்பட்டன. 40 மாணவர்களில் ஒவ்வொருவரும் 3 படங்களையும் அல்லது மூன்றில் ஒன்றையும் பார்த்தனர். திரைப்படம் ஏ 13 மாணவர்களைப் பார்த்தார். திரைப்படம் பி 16 மாணவர்களைப் பார்த்தார். திரைப்படம் சி 19 மாணவர்களைப் பார்த்தார். ஒரே ஒரு படம் பார்த்த மாணவர்கள் எத்தனை பேர்?

2) சர்வதேச மாநாட்டில் 120 பேர் பங்கேற்றனர். இவர்களில் 60 பேர் ரஷ்ய மொழியையும், 48 பேர் ஆங்கிலம் பேசுகிறார்கள், 32 பேர் ஜெர்மன் பேசுகிறார்கள், 21 பேர் ரஷ்ய மற்றும் ஆங்கிலம் பேசுகிறார்கள், 19 பேர் ஆங்கிலம் மற்றும் ஜெர்மன் பேசுகிறார்கள், 15 பேர் ரஷ்ய மற்றும் ஜெர்மன் பேசுகிறார்கள், 10 பேர் மூன்று மொழிகளையும் பேசுகிறார்கள். எத்தனை மாநாட்டில் பங்கேற்பாளர்கள் இந்த மொழிகளில் எதுவும் பேசவில்லை?

3) பி விளையாட்டு போட்டிகள் 20 பேர் கொண்ட பள்ளிக் குழு பங்கேற்கிறது, ஒவ்வொன்றும் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட விளையாட்டு வகைகளைக் கொண்டுள்ளது மூன்று வகைவிளையாட்டு: தடகளம், நீச்சல் மற்றும் ஜிம்னாஸ்டிக்ஸ். அவர்களில் 12 பேர் தடகளத்திலும், 10 பேர் ஜிம்னாஸ்டிக்ஸிலும், 5 பேர் நீச்சலிலும் ரேங்க் பெற்றுள்ளனர் என்பது தெரிந்ததே. தடகளம் மற்றும் நீச்சலில் 2 பேர், தடகளம் மற்றும் ஜிம்னாஸ்டிக்ஸில் 4 பேர், நீச்சல் மற்றும் ஜிம்னாஸ்டிக்ஸில் 2 பேர் இருந்தால், அனைத்து விளையாட்டுகளிலும் தரவரிசைகளைக் கொண்ட இந்த அணியைச் சேர்ந்த பள்ளி மாணவர்களின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்கவும்.

4) 100 மாணவர்களிடம் நடத்தப்பட்ட ஒரு கணக்கெடுப்பு, பல்வேறு படிக்கும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கையில் பின்வரும் முடிவுகளை அளித்தது வெளிநாட்டு மொழிகள்: ஸ்பானிஷ் - 28; ஜெர்மன் - 30; பிரஞ்சு - 42; ஸ்பானிஷ் மற்றும் ஜெர்மன் - 8; ஸ்பானிஷ் மற்றும் பிரஞ்சு - 10; ஜெர்மன் மற்றும் பிரஞ்சு - 5; மூன்று மொழிகளும் - 3. எத்தனை மாணவர்கள் படிக்கிறார்கள் ஜெர்மன்அவர்கள் பிரெஞ்சு மொழியைக் கற்றுக்கொண்டால் மட்டுமே? 5) 100 மாணவர்களின் கணக்கெடுப்பு பல்வேறு வெளிநாட்டு மொழிகளைப் படிக்கும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கையில் பின்வரும் தரவுகளை வெளிப்படுத்தியது: ஜெர்மன் - 18; ஜெர்மன், ஆனால் ஸ்பானிஷ் இல்லை - 23; ஜெர்மன் மற்றும் பிரஞ்சு - 8; ஜெர்மன் - 26; பிரஞ்சு - 48; பிரஞ்சு மற்றும் ஸ்பானிஷ் - 8; மொழி இல்லை - 24. எத்தனை மாணவர்கள் ஜெர்மன் படிக்கிறார்கள் மற்றும் ஸ்பானிஷ்?

6) 100 மாணவர்களின் கணக்கெடுப்பு அறிக்கையில், பல்வேறு மொழிகளைப் படிக்கும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை பின்வருமாறு: மூன்று மொழிகளும் - 5; ஜெர்மன் மற்றும் ஸ்பானிஷ் - 10; பிரஞ்சு மற்றும் ஸ்பானிஷ் - 8; ஜெர்மன் மற்றும் பிரஞ்சு - 20; ஸ்பானிஷ் - 30; ஜெர்மன் - 23; பிரஞ்சு - 50. இந்த அறிக்கையை சமர்ப்பித்த இன்ஸ்பெக்டர் பணிநீக்கம் செய்யப்பட்டார். ஏன்?

7) சர்வதேச மாநாட்டில் 100 பேர் பங்கேற்றனர். இதில், 42 பேர் சொந்தமாக உள்ளனர் பிரெஞ்சு, ஆங்கிலத்தில் 28 பேர், ஜெர்மன் மொழியில் 30 பேர், பிரஞ்சு மற்றும் ஆங்கிலத்தில் 10 பேர், ஆங்கிலம் மற்றும் ஜெர்மன் மொழிகளில் 8 பேர், பிரெஞ்சு மற்றும் ஜெர்மன் மொழிகளில் 5 பேர், 3 பேர் மூன்று மொழிகளையும் பேசுகிறார்கள். எத்தனை மாநாட்டில் பங்கேற்பாளர்கள் இந்த மொழிகளில் எதுவும் பேசவில்லை?

8) பல்கலைக்கழகத்தில் கணினி அறிவியல் படிக்கும் 1 ஆம் ஆண்டு மாணவர்களும் கூடுதல் பிரிவுகளில் கலந்து கொள்ளலாம். இந்த ஆண்டு, அவர்களில் 25 பேர் கணக்கியல் படிப்பையும், 27 பேர் வணிகத்தையும் தேர்வு செய்தனர், 12 பேர் சுற்றுலா செல்ல முடிவு செய்தனர். கூடுதலாக, 20 மாணவர்கள் கணக்கியல் மற்றும் வணிகப் பாடத்தில் கலந்து கொண்டனர், 5 பேர் கணக்கியல் மற்றும் சுற்றுலாவைப் படிக்கின்றனர், 3 பேர் சுற்றுலா மற்றும் வணிகம் படிக்கின்றனர். மாணவர்கள் யாரும் ஒரே நேரத்தில் 3 கூடுதல் படிப்புகளில் கலந்து கொள்ளத் துணியவில்லை என்பது அறியப்படுகிறது. குறைந்தபட்சம் 1 கூடுதல் பாடத்தில் எத்தனை மாணவர்கள் கலந்து கொண்டனர்?
9) விண்ணப்பதாரர்களுக்கான கணித ஒலிம்பியாட் போட்டியில் 40 மாணவர்கள் பங்கேற்றனர். இயற்கணிதத்தில் ஒரு சிக்கலையும், வடிவவியலில் ஒன்றையும், முக்கோணவியலில் ஒரு சிக்கலையும் தீர்க்கும்படி அவர்களிடம் கேட்கப்பட்டது. இயற்கணிதத்தில் உள்ள சிக்கல் 20 நபர்களால் தீர்க்கப்பட்டது, வடிவவியலில் - 18, முக்கோணவியலில் - 18 பேர். இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலில் உள்ள சிக்கல்கள் 7 நபர்களால் தீர்க்கப்பட்டன, இயற்கணிதம் மற்றும் முக்கோணவியலில் - 8 பேர், வடிவியல் மற்றும் முக்கோணவியலில் - 9 பேர். 3 பேரால் எந்த பிரச்சனையும் தீரவில்லை. எத்தனை மாணவர்கள் இரண்டு பிரச்சனைகளை மட்டும் தீர்த்தார்கள்?

10) வகுப்பில் 40 மாணவர்கள் உள்ளனர். இதில், 19 பேர் ரஷ்ய மொழியில் மும்மடங்கு, 17 பேர் கணிதத்தில், 22 பேர் இயற்பியலில் உள்ளனர். 4 மாணவர்கள் ஒரே ஒரு ரஷ்ய மொழியில் மூன்று மடங்குகளைக் கொண்டுள்ளனர், 4 - கணிதத்தில் மட்டும் மற்றும் 11 - இயற்பியலில் மட்டுமே. ரஷ்ய, கணிதம் மற்றும் இயற்பியலில், 5 மாணவர்களுக்கு மூன்று மடங்கு உள்ளது. 7 பேர் கணிதம் மற்றும் இயற்பியலில் மும்மடங்கு பெற்றுள்ளனர். மூன்று பாடங்களில் இரண்டில் எத்தனை மாணவர்கள் சி பெற்றுள்ளனர்?

கோட்பாடுகள்

ஒரு தொகுப்பின் கருத்துக்கு இரண்டு முக்கிய அணுகுமுறைகள் உள்ளன - அனுபவம் இன்றிமற்றும் அச்சுகோட்பாடு அமைக்க.

அச்சு அமைப்பு கோட்பாடு

இன்று, ஒரு தொகுப்பு ZFC கோட்பாடுகளை (தேர்வு கோட்பாட்டுடன் Zermelo-Fraenkel கோட்பாடுகள்) திருப்திப்படுத்தும் மாதிரியாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த அணுகுமுறையால், சில கணிதக் கோட்பாடுகளில், தொகுப்புகள் இல்லாத பொருள்களின் தொகுப்புகள் எழுகின்றன. இத்தகைய சேகரிப்புகள் வகுப்புகள் (வெவ்வேறு ஆர்டர்கள்) என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

உறுப்பு அமை

ஒரு தொகுப்பை உருவாக்கும் பொருள்கள் அழைக்கப்படுகின்றன கூறுகளை அமைக்கவும்அல்லது புள்ளிகளை அமைக்கவும். செட்டுகள் பெரும்பாலும் லத்தீன் எழுத்துக்களின் பெரிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன, அதன் கூறுகள் - சிறியவை. A என்பது A தொகுப்பின் உறுப்பு எனில், ∈ A (a என்பது A க்கு சொந்தமானது) என்று எழுதவும். A என்பது A தொகுப்பின் உறுப்பு இல்லையென்றால், ∉ A ஐ எழுதவும் (a A க்கு சொந்தமானது அல்ல).

சில வகையான தொகுப்புகள்

• ஆர்டர் செட் என்பது ஆர்டர் ரிலேஷன் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு செட் ஆகும்.
• ஒரு தொகுப்பு (குறிப்பாக, வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி). ஒரு தொகுப்பைப் போலன்றி, அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதப்பட்டுள்ளது: ( x 1, x 2, x 3, …), மற்றும் கூறுகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்யலாம்.

படிநிலை மூலம்:

தொகுப்புகளின் தொகுப்பு துணைக்குழு சூப்பர்செட்

வரம்பு மூலம்:

தொகுப்புகளில் செயல்பாடுகள்

இலக்கியம்

• ஸ்டோல் ஆர்.ஆர்.அமைக்கிறது. தர்க்கங்கள். அச்சு கோட்பாடுகள். - எம் .: கல்வி, 1968. - 232 பக்.

மேலும் பார்க்கவும்

விக்கிமீடியா அறக்கட்டளை. 2010 .

பிற அகராதிகளில் "உறுப்பை அமை" என்றால் என்ன என்பதைக் காண்க:

அமைப்பு உறுப்பு- - [எல்.ஜி. சுமென்கோ. ஆங்கில ரஷியன் அகராதி தகவல் தொழில்நுட்பம். எம்.: GP TsNIIS, 2003.] ஒரு தொகுப்பின் உறுப்பு எந்தவொரு இயற்கையின் ஒரு பொருள், இது மற்ற ஒத்த பொருள்களுடன் சேர்ந்து ஒரு தொகுப்பை உருவாக்குகிறது. பெரும்பாலும், உறுப்பு என்ற சொல்லுக்கு பதிலாக ... ...

உறுப்பு அமை- எந்தவொரு இயற்கையின் ஒரு பொருள், இது மற்ற ஒத்த பொருள்களுடன் சேர்ந்து, ஒரு தொகுப்பை உருவாக்குகிறது. பெரும்பாலும், இந்த அர்த்தத்தில் உறுப்பு என்ற சொல்லுக்கு பதிலாக, அவர்கள் "தொகுப்பின் புள்ளி", "தொகுப்பின் உறுப்பினர்" போன்றவற்றைப் பயன்படுத்துகிறார்கள். ... ...

SET, கணிதத்தில், சில பொருட்களின் தொகுப்பு. இந்த பொருள்கள் தொகுப்பின் கூறுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றதாகவோ அல்லது வரையறுக்கப்பட்டதாகவோ அல்லது பூஜ்ஜியமாகவோ இருக்கலாம் (வெற்றுத் தொகுப்பில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 0 எனக் குறிக்கப்படுகிறது). ஒவ்வொரு…… அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப கலைக்களஞ்சிய அகராதி

உறுப்பு- ஒரு பொதுவான சொல், இது தொடர்புடைய நிலைமைகளைப் பொறுத்து, மேற்பரப்பு, கோடு, புள்ளி என புரிந்து கொள்ள முடியும். குறிப்புகள் 1. ஒரு உறுப்பு ஒரு மேற்பரப்பு (ஒரு மேற்பரப்பின் ஒரு பகுதி, பல மேற்பரப்புகளின் சமச்சீர் விமானம்), ஒரு கோடு (ஒரு சுயவிவரம் ... தொழில்நுட்ப மொழிபெயர்ப்பாளரின் கையேடு

ஏதோ ஒரு பகுதி. இந்த வார்த்தையின் சாத்தியமான சொற்பிறப்பியல்களில் ஒன்று L, M, N (el em en) என்ற பல மெய் எழுத்துக்களின் பெயர் ஆகும். உறுப்பு (தத்துவம்) ஒரு உறுப்பு என்பது ஒரு கொடி, பேனர் மற்றும் தரநிலையின் கட்டாய பண்பு ஆகும். தொகுப்பின் உறுப்பு தொடக்கநிலை ... ... விக்கிபீடியா

உறுப்பு- முதன்மை (இதற்கு இந்த படிப்பு, மாதிரிகள்) ஒரு சிக்கலான முழுமையின் ஒருங்கிணைந்த பகுதியாகும். தொகுப்பின் உறுப்பு, அமைப்பின் உறுப்பு... பொருளாதார மற்றும் கணித அகராதி

ஒரு தொகுப்பு என்பது கணிதத்தின் முக்கிய பொருள்களில் ஒன்றாகும், குறிப்பாக, தொகுப்பு கோட்பாடு. "தொகுப்பின் கீழ், நமது உள்ளுணர்வு அல்லது நமது சிந்தனையின் சில குறிப்பிட்ட, முற்றிலும் வேறுபடுத்தக்கூடிய பொருள்களின் ஒருமைப்பாட்டைக் குறிக்கிறோம்" (G. Kantor). இது முழுமையாக இல்லை...... விக்கிப்பீடியா

உறுப்பு- 02.01.14 உறுப்பு (சின்ன அடையாளம் அல்லது சின்னம்) : ஒரு சின்னத்தில் ஒற்றை பக்கவாதம் அல்லது இடைவெளி பார் குறியீடுஅல்லது மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டில் ஒற்றை பலகோண அல்லது வட்ட செல், குறியீட்டின் அடையாளத்தை உருவாக்குகிறது ... ... நெறிமுறை மற்றும் தொழில்நுட்ப ஆவணங்களின் விதிமுறைகளின் அகராதி-குறிப்பு புத்தகம்

A; மீ. உறுப்பு உறுப்பு, அசல் பொருள்] 1. எல் இன் ஒருங்கிணைந்த பகுதி; கூறு. முழு உறுப்புகளாக உடைக்கவும். கலாச்சாரத்தின் கூறுகள் என்ன? இயற்கை இ. உற்பத்தி. எதன் உட்கூறு கூறுகள். // பண்பு இயக்கம், ஒன்று ... ... கலைக்களஞ்சிய அகராதி

ஒரு தொகுப்பு என்பது நவீன கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துக்களில் ஒன்றாகும், இது அதன் அனைத்து பிரிவுகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

பல கேள்விகளில், ஒரு குறிப்பிட்ட கூறுகளின் தொகுப்பைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம். எனவே, ஒரு உயிரியலாளர், ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியின் விலங்கு மற்றும் தாவர உலகத்தைப் படித்து, அனைத்து நபர்களையும் இனங்கள், இனங்கள் மூலம் இனங்கள் போன்றவற்றை வகைப்படுத்துகிறார். ஒவ்வொரு இனமும் ஒரு குறிப்பிட்ட உயிரினங்களின் தொகுப்பாகும், ஒட்டுமொத்தமாக கருதப்படுகிறது.

அத்தகைய தொகுப்புகளின் கணித விளக்கத்திற்காக, ஒரு தொகுப்பு என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. செட் கோட்பாட்டை உருவாக்கியவர்களில் ஒருவரான ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஜார்ஜ் கான்டரின் (1845-1918) கருத்துப்படி, "ஒரு தொகுப்பு நிறைய, நாம் ஒன்றாகக் கருதுகிறோம்." நிச்சயமாக, இந்த வார்த்தைகளை ஒரு தொகுப்பின் கணித ரீதியாக கடுமையான வரையறையாகக் கருத முடியாது, அத்தகைய வரையறை இல்லை, ஏனெனில் ஒரு தொகுப்பின் கருத்து ஆரம்பமானது, அதன் அடிப்படையில் கணிதத்தின் மீதமுள்ள கருத்துக்கள் கட்டமைக்கப்படுகின்றன. ஆனால் இந்த வார்த்தைகளிலிருந்து ஒருவர் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு, விமானத்தில் உள்ள முக்கோணங்களின் தொகுப்பு பற்றி பேசலாம் என்பது தெளிவாகிறது.

வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தனிமங்களைக் கொண்ட தொகுப்புகள் வரையறுக்கப்பட்டவை என்றும், மீதமுள்ள தொகுப்புகள் எல்லையற்றது என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, கடலில் உள்ள திமிங்கலங்களின் தொகுப்பு எல்லையற்றது, ஆனால் பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பு எல்லையற்றது. வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளை அவற்றின் கூறுகளை பட்டியலிடுவதன் மூலம் குறிப்பிடலாம் (உதாரணமாக, கொடுக்கப்பட்ட வகுப்பில் உள்ள மாணவர்களின் தொகுப்பு வகுப்பு இதழில் அவர்களின் பட்டியலால் வழங்கப்படுகிறது). தொகுப்பு கூறுகளைக் கொண்டிருந்தால், எழுதவும்: . எல்லையற்ற தொகுப்புகளை அவற்றின் உறுப்புகளின் பட்டியலால் வரையறுக்க முடியாது. கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் அனைத்து கூறுகளும் கொண்ட ஒரு சொத்தை குறிப்பிடுவதன் மூலம் அவை பொதுவாக அமைக்கப்படுகின்றன, ஆனால் இந்த தொகுப்பிற்குச் சொந்தமில்லாத உறுப்புகள் எதுவும் இல்லை. அத்தகைய சொத்து பரிசீலனையில் உள்ள தொகுப்பிற்கான பண்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. "ஒரு உறுப்புக்கு சொத்து உள்ளது" என்ற வாக்கியத்தின் சுருக்கம் என்றால், சொத்தை வைத்திருக்கும் அனைத்து உறுப்புகளின் தொகுப்பு பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: உதாரணமாக, நுழைவு சமன்பாட்டின் வேர்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது, அதாவது. ஒரு கொத்து . ஒரு தனிமமும் இல்லை என்பது நிகழலாம் (உதாரணமாக, 2 ஆல் வகுபடும் ஒற்றைப்படை எண் இல்லை). இந்த வழக்கில், தொகுப்பில் எந்த கூறுகளும் இல்லை. எந்த உறுப்புகளும் இல்லாத ஒரு தொகுப்பு காலி எனப்படும். இது ஒரு சின்னத்துடன் குறிக்கப்பட்டுள்ளது.

உறுப்பு தொகுப்பிற்கு சொந்தமானது என்றால், எழுதவும்: , in இல்லையெனில்எழுத: அல்லது. ஒரே கூறுகளைக் கொண்ட தொகுப்புகள் சமம் (தற்செயல்) என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, சமபக்க முக்கோணங்களின் தொகுப்பும் சமபக்க முக்கோணங்களின் தொகுப்பும் சமமானவை, ஏனெனில் இவை ஒரே முக்கோணங்கள்: ஒரு முக்கோணத்தில் அனைத்து பக்கங்களும் சமமாக இருந்தால், அதன் அனைத்து கோணங்களும் சமமாக இருக்கும்; மாறாக, ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து, அதன் மூன்று பக்கங்களின் சமத்துவம் பின்வருமாறு. வெளிப்படையாக, இரண்டு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகள் சமம், அவற்றின் உறுப்புகளின் வரிசையில் மட்டுமே ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக .

ஒவ்வொரு சதுரமும் ஒரு செவ்வகமாகும். சதுரங்களின் தொகுப்பு செவ்வகங்களின் தொகுப்பின் ஒரு பகுதியாக கூறப்படுகிறது, அல்லது அவர்கள் கணிதத்தில் சொல்வது போல், செவ்வகங்களின் தொகுப்பின் துணைக்குழு ஆகும். தொகுப்பானது தொகுப்பின் துணைக்குழுவாக இருந்தால் எழுதவும்: அல்லது . எந்தவொரு தொகுப்பிற்கும், சேர்த்தல் மற்றும் உண்மை.

இந்த தொகுப்புகளில் இருந்து, குறுக்குவெட்டு, ஒன்றியம் மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றின் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி புதிய தொகுப்புகளை உருவாக்கலாம். தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு அவற்றின் பொதுவான பகுதியாகும், அதாவது. இரண்டிற்கும் சொந்தமான உறுப்புகளின் தொகுப்பு மற்றும் . இந்த தொகுப்பு இதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது: . உதாரணமாக, இரண்டின் குறுக்குவெட்டு வடிவியல் வடிவங்கள்அவற்றின் பொதுவான பகுதியாகும், செவ்வகங்களின் தொகுப்பைக் கொண்ட ரோம்பஸ்களின் தொகுப்பின் குறுக்குவெட்டு - சதுரங்களின் தொகுப்பு போன்றவை.

தொகுப்புகளின் ஒன்றியம் என்பது இந்த தொகுப்புகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றிற்குச் சொந்தமான கூறுகளைக் கொண்ட தொகுப்பாகும். வகைப்பாட்டின் பல்வேறு கேள்விகளில், ஜோடிவரிசையில் இணைந்த துணைக்குழுக்களின் ஒன்றியமாக தொகுப்புகளின் பிரதிநிதித்துவம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, பலகோணங்களின் தொகுப்பு என்பது முக்கோணங்கள், நாற்கரங்கள், ..., -கோன்கள் ஆகியவற்றின் தொகுப்பாகும்.

யூனியன் மற்றும் குறுக்குவெட்டு செயல்பாடுகளை சில தொகுப்பின் துணைக்குழுக்களுக்குப் பயன்படுத்தினால், மீண்டும் அதே தொகுப்பின் துணைக்குழுக்கள் பெறப்படும். இந்த செயல்பாடுகள் எண்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் போன்ற பல பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, செட்களின் குறுக்குவெட்டு மற்றும் ஒன்றியம் பரிமாற்றம் மற்றும் தொடர்புகளின் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, குறுக்குவெட்டு ஒன்றியத்தைப் பொறுத்து விநியோகிக்கப்படுகிறது, அதாவது. எந்த செட் மற்றும் உறவு உண்மை, மற்றும் பல. ஆனால் அதே நேரத்தில், செட் செயல்பாடுகள் எண்களின் செயல்பாடுகளில் ஒப்புமை இல்லாத பல பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, சமத்துவங்கள் மற்றும் எந்தவொரு தொகுப்பிற்கும் உண்மை, இரண்டாவது விநியோகச் சட்டம் உண்மை, மற்றும் பல.

சாதாரண இயற்கணிதத்தில் வெளிப்பாடுகளை மாற்ற எண்களின் செயல்பாடுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவது போல், தொகுப்புகளில் செயல்பாடுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, தொகுப்புகளைக் கொண்ட வெளிப்பாடுகளை மாற்றலாம். இந்த வழியில் எழும் இயற்கணிதம், ஆங்கில கணிதவியலாளரும் தர்க்கவியலாளருமான ஜே.பூல் (1815-1864) கணித தர்க்கத்தின் சிக்கல்கள் தொடர்பாக கையாண்ட பிறகு பூலியன் இயற்கணிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பூலியன் இயற்கணிதங்கள் பல பயன்பாடுகளைக் காண்கின்றன, குறிப்பாக மின் நெட்வொர்க்குகளின் கோட்பாட்டில்.

வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் முக்கிய பண்பு அதன் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை (உதாரணமாக, ஒரு சதுரத்தின் செங்குத்துகளின் தொகுப்பில் 4 கூறுகள் உள்ளன). தொகுப்புகளில் சம எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகள் இருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக, , என்றால், இந்த தொகுப்புகளின் உறுப்புகளிலிருந்து ஜோடிகளை உருவாக்கலாம். , மற்றும் இலிருந்து ஒவ்வொரு உறுப்பும், அத்துடன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் , ஒன்று மற்றும் ஒரே ஒரு ஜோடியில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. இந்த வழக்கில் தொகுப்புகளின் கூறுகளுக்கு இடையே ஒருவருக்கு ஒரு கடிதம் நிறுவப்பட்டது என்று கூறப்படுகிறது. இதற்கு நேர்மாறாக, இரண்டு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளுக்கு இடையில் மற்றும் ஒன்றுக்கு ஒன்று கடிதத்தை நிறுவுவது சாத்தியமாக இருந்தால், அவை ஒரே எண்ணிக்கையிலான கூறுகளைக் கொண்டுள்ளன.

G. Kantor இதே வழியில் எல்லையற்ற தொகுப்புகளை ஒன்றோடு ஒன்று ஒப்பிட முன்மொழிந்தார். தொகுப்புகள் மற்றும் அவற்றுக்கிடையே ஒருவருக்கு ஒருவர் கடிதப் பரிமாற்றத்தை ஏற்படுத்த முடிந்தால், அதே கார்டினாலிட்டி இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. இந்த வழியில் எண்களால் ஆன தொகுப்புகளை ஒப்பிடுகையில், இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு மற்றும் பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பு ஆகியவற்றுக்கு இடையே ஒன்றுக்கு ஒன்று தொடர்பு இருப்பதாக கேன்டர் காட்டினார், இருப்பினும் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு பகுத்தறிவு தொகுப்பின் ஒரு பகுதி மட்டுமே. எண்கள். எனவே, எல்லையற்ற தொகுப்புகளின் கோட்பாட்டில், "பகுதி முழுவதையும் விட குறைவாக உள்ளது" என்ற கூற்று அதன் செல்லுபடியை இழக்கிறது.

இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் அதே கார்டினாலிட்டி கொண்ட தொகுப்புகள் எண்ணத்தக்கவை என அழைக்கப்படுகின்றன. எனவே, பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பு எண்ணத்தக்கது. கணக்கிட முடியாத தொகுப்பின் மிக முக்கியமான உதாரணம் அனைத்தின் தொகுப்பு உண்மையான எண்கள்(அல்லது, சமமாக, ஒரு நேர் கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பு). ஒரு நேர் கோடு தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், அத்தகைய கணக்கிட முடியாத சக்தியானது தொடர்ச்சியின் சக்தி என்று அழைக்கப்படுகிறது (லத்தீன் தொடர்ச்சியிலிருந்து - "தொடர்ச்சி"). தொடர்ச்சியின் சக்தி ஒரு சதுரம், ஒரு கன சதுரம், ஒரு விமானம் மற்றும் முழு இடத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது.

பல ஆண்டுகளாக, கணிதவியலாளர்கள் எண்ணக்கூடிய கார்டினாலிட்டிக்கும் தொடர்ச்சியின் கார்டினாலிட்டிக்கும் இடையில் இடைநிலையாக இருக்கும் ஒரு தொகுப்பு இருக்கிறதா என்ற சிக்கலைத் தீர்த்து வருகின்றனர். 60 களில். நமது நூற்றாண்டில், அமெரிக்க கணிதவியலாளர் பி. கோஹன் மற்றும் செக் கணிதவியலாளர் பி. வொபென்கா ஆகியோர் கிட்டத்தட்ட ஒரே நேரத்தில் சுயாதீனமாக, அத்தகைய தொகுப்பின் இருப்பு மற்றும் அதன் இல்லாமை இரண்டும் தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் மற்ற கோட்பாடுகளுக்கு முரணாக இல்லை என்பதை நிரூபித்துள்ளனர் (அதே போல் இணையான கோட்பாடு அல்லது இந்த கோட்பாட்டின் மறுப்பு வடிவவியலின் மற்ற கோட்பாடுகளுடன் முரண்படாது).

ஒரு கொத்து அமற்றும் அதைக் கொண்ட தொகுப்பு ஏஎன குறிக்கப்படுகிறது ( அதொகுப்பின் ஒரு அங்கமாகும் ஏ; அல்லது அசொந்தமானது ஏ, அல்லது ஏகொண்டுள்ளது அ) என்றால் அ ஏ, பின்னர் எழுதவும் ( அசேர்க்கப்படவில்லை ஏ, ஏகொண்டிருக்கும் இல்லை அஅ, பி, c

தொகுப்புகளில் செயல்பாடுகள்.

யுனிவர்சல் தொகுப்பு

யுனிவர்சல் தொகுப்பு

வென் வரைபடங்கள். தொகுப்புகளின் இயற்கணிதத்தின் அடையாளங்கள் மற்றும் அவற்றின் ஆதாரம்.

வென் வரைபடம் - பல தொகுப்புகளின் சாத்தியமான அனைத்து குறுக்குவெட்டுகளின் திட்டவட்டமான பிரதிநிதித்துவம், கணிப்புகளுக்கு இடையேயான கணித, தொகுப்பு-கோட்பாட்டு அல்லது தருக்க உறவுகளைக் காட்டுகிறது.

அடையாளங்கள் மற்றும் அவற்றின் சான்றுகள்.

தன்னிச்சையான செட் A, B மற்றும் C, பின்வரும் உறவுகளை வைத்திருக்கிறது:

1. பரிமாற்றம்:

2. அசோசியேட்டிவிட்டி

3. ஒரு குறுக்குவெட்டு தொடர்பாக ஒரு தொழிற்சங்கத்தின் விநியோகம்

3'. ஒரு தொழிற்சங்கத்தைப் பொறுத்து ஒரு குறுக்குவெட்டின் விநியோகம்

4. வெற்று மற்றும் உலகளாவிய தொகுப்புகளுடன் நடவடிக்கை சட்டங்கள்

5. சுயமரியாதை சட்டம்

6. டி மோர்கனின் சட்டம்

7. உறிஞ்சுதல் சட்டம்

,

8. பிணைப்பு சட்டம்

,

9. சட்டம் போரெட்ஸ்கி

,

10. இரட்டை நிரப்பு சட்டம்

பின்வரும் அடையாளத்தை நிரூபிக்கவும் .

இந்த அடையாளத்தை பகுப்பாய்வு முறையில் நிரூபிப்போம் (தொகுப்புகளின் இயற்கணிதத்தின் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி)

முறையான மொழியின் கருத்து

முறையான மொழி -வெளிப்பாடுகளை உருவாக்குவதற்கும் அவற்றைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் துல்லியமான விதிகளால் வகைப்படுத்தப்படும் மொழி. இது தெளிவான விதிகளின்படி கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது, ஆய்வு செய்யப்பட்ட பொருள் பகுதியின் (மாதிரியான பொருள்கள்) பண்புகள் மற்றும் உறவுகளின் நிலையான, துல்லியமான மற்றும் சுருக்கமான காட்சியை வழங்குகிறது.

மென்பொருளை உருவாக்குவதற்கு முறையான மொழியே அடிப்படை.

FYA ஆனது a1, a2, ...., a100 ஆகிய எழுத்துக்களின் ஆரம்ப தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்படுகிறது, இதன் உதவியுடன் மகிமை உருவாகிறது. வார்த்தை முறையான மொழி- வரிசைப்படுத்தப்பட்ட கடிதங்களின் தொகுப்பு (பல்லி - 30 எழுத்துக்கள்)

வார்த்தைகளின் செயல்பாட்டிற்கு இணைச் சட்டம் செல்லுபடியாகும்.

அரைகுழுக்கள் மற்றும் அரை வளையங்களின் கோட்பாடு FYa கோட்பாட்டின் அடிப்படையாகும்

ஆய்வுகள்

டாட்டாலஜி என்பது எப்போதும் உண்மையாக இருக்கும் ஒரே மாதிரியான உண்மை அறிக்கையாகும்.

எளிமையான டட்டாலஜி என்பது வெளிப்பாடு ( ஏஅல்லது இல்லை ஏ), விலக்கப்பட்ட நடுத்தர சட்டத்தை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறது, அதற்கு பதிலாக ஏஎடுத்துக்காட்டாக, தவறான அல்லது உண்மையாக இருக்கும் எந்த வெளிப்பாடுகளையும் மாற்றலாம் விளக்கு ஆன் அல்லது ஆஃப், இரண்டு முறை இரண்டு என்பது ஐந்துக்கு சமம் அல்லது இல்லை. சமமான ஆபரேட்டர் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும் கணித தர்க்கத்தின் விதிகளும் தாண்டலஜிகள்: போன்றவை.

ஒரு மாறியிலிருந்து முன்மொழிவு வடிவம் அல்லது முன்னறிவிப்பு என்ற கருத்து. முன்னறிவிப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

கணிப்பு -சில மாறி மாறியைப் பொறுத்து ஒரு அறிக்கை.

ஒற்றை முன்னறிவிப்பு -மேப்பிங், இதன்படி மாறியின் ஒவ்வொரு மதிப்பும் 0 அல்லது 1 என்ற ஒற்றை மதிப்பால் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள்:

இணைப்புஇரண்டு முன்னறிவிப்புகள் A(x) மற்றும் B(x) ஒரு புதிய கணிப்பு எனப்படும் , இது x T இன் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே "உண்மை" மதிப்பை எடுத்துக்கொள்கிறது, அதற்கான ஒவ்வொரு முன்னறிவிப்பும் "உண்மை" மதிப்பை எடுக்கும், மேலும் மற்ற எல்லா நிகழ்வுகளிலும் "தவறு" மதிப்பை எடுக்கும். A(x) B(x), x X இன் உண்மைத் தொகுப்பு T என்பது A(x) - T1 மற்றும் B(x) - T2 ஆகியவற்றின் உண்மைத் தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு ஆகும், அதாவது. T= T1 ∩T2. எடுத்துக்காட்டாக: A(x): "x என்பது இரட்டை எண்", B(x): "x என்பது 3 இன் பெருக்கல்". A(x) B(x) - "x என்பது இரட்டை எண் மற்றும் x என்பது 3 இன் பெருக்கல்". அந்த. முன்னறிவிப்பு "x என்பது 6 ஆல் வகுபடும்".

மறுப்புமுன்னறிவிப்பு A(x) என்பது x T இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் "உண்மை" மதிப்பை எடுக்கும் ஒரு புதிய முன்கணிப்பாகும், இதற்கு A(x) மதிப்பானது "false" ஆகவும், A(x எனில் "false" என்ற மதிப்பை எடுக்கும். ) "உண்மை" "மதிப்பைப் பெறுகிறது. முன்னறிவிப்பு x X இன் உண்மைத் தொகுப்பு என்பது X தொகுப்பில் உள்ள T தொகுப்பிற்கு T" இன் நிரப்பு ஆகும்.

அறிக்கைகளை எடுத்துக் கொள்வோம்: ``சாக்ரடீஸ் ஒரு மனிதன்'', ``பிளாட்டோ ஒரு மனிதன்''. இந்த இரண்டு கூற்றுகளும் ``மனிதனாக இருப்பதன்` பண்புகளை வெளிப்படுத்துகின்றன. எனவே, ``மனிதனாக இருக்க வேண்டும்'' என்ற முன்னறிவிப்பைக் கருத்தில் கொண்டு, அது சாக்ரடீஸ் மற்றும் பிளாட்டோவுக்குப் பொருந்தும் என்று கூறலாம்.

25 ஒரு முன்கணிப்பின் நோக்கம் மற்றும் உண்மை களம்

முன்கணிப்பு P(x) வரையறுக்கப்பட்ட M செட் முன்கணிப்பின் டொமைன் எனப்படும்.

அனைத்து உறுப்புகளின் தொகுப்பு x Î M, இதற்கு முன்னறிவிப்பு "உண்மை" மதிப்பை எடுக்கும், இது P(x) இன் உண்மைத் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது P(x) இன் உண்மைத் தொகுப்பு 1p ஆகும். = (x| x Î M, P(x) = 1).

P(x): "x 2 + 1> 0, xО R"; முன்கணிப்பு M = R மற்றும் உண்மையின் டொமைன் வரையறையின் களம் - R, ஏனெனில் சமத்துவமின்மை அனைத்து உண்மையான எண்களுக்கும் உண்மை. எனவே, இந்த முன்னறிவிப்புக்கு M = I p . இத்தகைய கணிப்புகள் ஒரே மாதிரியான உண்மை என்று கூறப்படுகிறது.

B(x): "x 2 + 1< 0, xÎ R»; область истинности I p =Æ, т.к. не существует действительных чисел, для которых выполняется неравенство. Такие предикаты называются тождественно ложными.

அளவுகோல்கள். இரட்டை கணிப்புகள். சமன்பாடு, அடையாளம் மற்றும் சமத்துவமின்மையின் வரையறைகள்.

அளவி- தர்க்கரீதியான செயல்பாடுகளுக்கான பொதுவான பெயர், இது ஒரு முன்னறிவிப்பின் உண்மையின் நோக்கத்தை வரம்புக்குட்படுத்துகிறது மற்றும் ஒரு கருத்தை உருவாக்குகிறது. பெரும்பாலும் குறிப்பிடப்பட்டவை:

· யுனிவர்சல் குவாண்டிஃபையர்(பதவி:, படிக்க: "அனைவருக்கும் ...", "அனைவருக்கும் ..." அல்லது "ஒவ்வொரு ...", "ஏதேனும் ...", "யாருக்கும் ...").

· இருப்பு அளவுகோல்(பதவி:, படிக்க: "இருக்கிறது ..." அல்லது "இருக்கிறது ...").

முன்னறிவிப்பைக் குறிக்கவும் " எக்ஸ் 5 ஆல் வகுபடும். பொதுவான அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் அறிக்கைகளை நாம் முறையாக எழுதலாம் (நிச்சயமாக, தவறானவை):

1. எந்த இயற்கை எண்ணும் 5 இன் பெருக்கல்;

2. ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணும் 5 இன் பெருக்கல்;

3. அனைத்து இயற்கை எண்களும் 5 இன் மடங்குகள்;

பின்வரும் வழியில்:

.

பின்வரும் (ஏற்கனவே உண்மை) அறிக்கைகள் இருத்தலியல் அளவுகோலைப் பயன்படுத்துகின்றன:

1. 5 இன் பெருக்கல்கள் இயற்கை எண்கள் உள்ளன;

2. 5 இன் பெருக்கமான இயற்கை எண் உள்ளது;

3. குறைந்தபட்சம் ஒரு இயற்கை எண் 5 இன் பெருக்கல் ஆகும்.

அவர்களின் முறையான குறியீடு:

.

· அறிக்கையின் அர்த்தம், மாறியின் வரம்பு முன்னறிவிப்பின் உண்மை வரம்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

("(x) இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் அறிக்கை உண்மைதான்").

· கூற்று என்பது முன்னறிவிப்பின் உண்மைப் பகுதி காலியாக இல்லை என்று பொருள்.

("உள்ளது (x) அதற்கான கூற்று உண்மை").

அளவீடுகளில் செயல்பாடுகள்

குவாண்டிஃபையர் மறுப்பு விதி- அளவீடுகளைக் கொண்ட அறிக்கைகளின் மறுப்புகளை உருவாக்கப் பயன்படுகிறது, மேலும் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

இரட்டை முன்னறிவிப்பு -ஒவ்வொரு ஜோடி மாறிகளுக்கும் 0 அல்லது 1 என்ற ஒற்றை மதிப்பைக் குறிப்பிடும் மேப்பிங்.

முன்னறிவிப்பு என்பது இரண்டு இடங்களைக் கொண்ட முன்கணிப்பு ஆகும், அதன் பொருள் பகுதி உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாக இருக்கலாம். கூற்று உண்மை, அறிக்கை பொய். மாறிகளில் ஒன்றிற்குப் பதிலாக ஒரு எண்ணை மாற்றினால், நமக்கு ஒரு இடக் கணிப்பு கிடைக்கும்.

வரைபட குறுக்குவெட்டு

G1(V1,E1) மற்றும் G'2(V2',E2') தன்னிச்சையான வரைபடங்களாக இருக்கட்டும். G1∩G'2 வரைப்படங்களின் G1∩G'2 என்பது, V1∩V'2 என்ற விளிம்புத் தொகுப்புடன் E = E1∩E'2 என்ற உச்சித் தொகுப்பைக் கொண்ட வரைபடம் ஆகும்.

பண்புகள்

செட் குறுக்குவெட்டு என்பது தன்னிச்சையான பூலியன் 2 இல் பைனரி செயல்பாடாகும் எக்ஸ்;

மாற்றத்தக்க:

வெட்டும் செயல்பாட்டை அமைக்கவும் இடைநிலை (தொடர்பு):

· யுனிவர்சல் தொகுப்பு எக்ஸ்செட் குறுக்குவெட்டு செயல்பாட்டின் நடுநிலை உறுப்பு:

· இவ்வாறு, பூலியன் மற்றும் செட்களின் குறுக்குவெட்டு செயல்பாடு ஒரு அபிலியன் குழுவாகும்;

செட்டுகளின் குறுக்குவெட்டு செயல்பாட்டின் செயல் திறன் அற்றது:

வெற்று தொகுப்பாக இருந்தால், பிறகு

வரைபடங்களின் எலும்புக்கூடு மற்றும் கூஸ்டோவ்.

எண்ணின் எலும்புக்கூடு- அதன் துணை வரைபடம், இது ஒரு மரம்.

கூஸ்டோவ் -ஒரு வரைபடத்தில் ஒரு எலும்புக்கூட்டை சேர்த்தல்.

ஒரு தொகுப்பின் கருத்து. தொகுப்புகளில் செயல்பாடுகள். யுனிவர்சல் தொகுப்பு.

ஒரு கொத்து(N-natural, Z-integer, Q-rational, R-real) என்பது ஒரு வரையறுக்கப்படாத கருத்து, இது ஒரு முழுதாகக் கருதப்படும் பொருள்களின் தொகுப்பாகும். ஒரு தொகுப்பின் கருத்து அடிப்படை ஒன்றாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, அதாவது மற்ற கருத்துக்களுக்கு குறைக்க முடியாது. கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பை உருவாக்கும் பொருள்கள் அதன் கூறுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு எளிய தொகுப்பில் கூறுகள் இல்லை. உறுப்பு இடையே அடிப்படை உறவு அமற்றும் அதைக் கொண்ட தொகுப்பு ஏஎன குறிக்கப்படுகிறது ( அதொகுப்பின் ஒரு அங்கமாகும் ஏ; அல்லது அசொந்தமானது ஏ, அல்லது ஏகொண்டுள்ளது அ) என்றால் அதொகுப்பின் உறுப்பு அல்ல ஏ, பின்னர் எழுதவும் ( அசேர்க்கப்படவில்லை ஏ, ஏகொண்டிருக்கும் இல்லை அ) ஒரு தொகுப்பை அதன் அனைத்து கூறுகளையும் குறிப்பிடுவதன் மூலம் குறிப்பிடலாம், இதில் சுருள் பிரேஸ்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அதனால் ( அ, பி, c) மூன்று கூறுகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது. இதேபோன்ற குறியீடானது எல்லையற்ற தொகுப்புகளின் விஷயத்திலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எழுதப்படாத கூறுகள் நீள்வட்டத்தால் மாற்றப்படுகின்றன. எனவே, இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு (1, 2, 3, ...), மற்றும் இரட்டை எண்களின் தொகுப்பு (2, 4, 6, ...) ஆகியவற்றால் குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் முதல் வழக்கில் நீள்வட்டம் என்பது இயற்கையானது எண்கள், மற்றும் இரண்டாவது - மட்டும் கூட.

"வெற்று தொகுப்பு" - ஒரு தனி உறுப்பு இல்லாத ஒரு தொகுப்பு, அது குறிக்கப்படுகிறது

அமைப்பதற்கான வழிகள்: அட்டவணை, உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, கிராஃபிக், மீண்டும் மீண்டும், சூத்திரம்.

தொகுப்புகளில் செயல்பாடுகள்.

தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு என்பது இரண்டு தொகுப்புகளுக்கும் சொந்தமான கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பாகும்.

தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டுக்கு, பின்வருபவை உண்மை:

· X∩Y=Y∩X - பரிமாற்றச் சட்டம்

· (X∩Y)∩Z = X∩(Y∩Z) = X∩Y∩Z - துணைச் சட்டம்

தொகுப்புகளின் ஒன்றியம் என்பது குறைந்தபட்சம் ஒரு தொகுப்புக்கு சொந்தமான கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பாகும்.

ஒருங்கிணைந்த தொகுப்புகளுக்கு, பின்வருபவை உண்மையாக இருக்கும்:

XUY = YUX - பரிமாற்ற சட்டம்

(XUY)UZ = XU (YUZ) = XUYUZ - இணை சட்டம்,

யுனிவர்சல் தொகுப்பு

யுனிவர்சல் தொகுப்பு- கற்பனை செய்யக்கூடிய அனைத்து பொருட்களையும் கொண்ட ஒரு தொகுப்பு. உலகளாவிய தொகுப்பு தனித்துவமானது.

யுனிவர்சல் செட் என்பது மற்றொரு செட் கொண்டிருக்கும் அனைத்து கூறுகளையும் உள்ளடக்கிய ஒரு தொகுப்பாகும், அதாவது. உலகளாவிய தொகுப்பின் அனைத்து கூறுகளையும் முழுமையாகக் கொண்டிருக்கும். .

சில கருத்தில், சில நிலையான தொகுப்பின் துணைக்குழுக்கள் மட்டுமே ஈடுபட்டிருந்தால், இந்த மிகப்பெரிய தொகுப்பு உலகளாவியதாகக் கருதப்படும்.

சாதாரண இயற்கணிதத்தில் ஒப்புமை இல்லாத ஒரு சுவாரசியமான பண்பை யுனிவர்சல் செட் கொண்டுள்ளது, அதாவது, எந்த X தொகுப்பிற்கும், XU(union)I = I என்பது உண்மை.

உலகளாவிய தொகுப்பு பொதுவாக ஒரு செவ்வகத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகவும், இந்த செவ்வகத்திற்குள் தனித்தனி பகுதிகளாகவும் வரைகலை முறையில் குறிக்கப்படுகிறது. உலகளாவிய தொகுப்பைக் குறிக்கும் ஒரு செவ்வகத்தில் பகுதிகளாக செட்களின் பிரதிநிதித்துவம் யூலர்-வென் வரைபடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு கொத்துஒட்டுமொத்தமாக கருதப்படும் பொருட்களின் தொகுப்பாகும். ஒரு தொகுப்பின் கருத்து அடிப்படை ஒன்றாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, அதாவது மற்ற கருத்துக்களுக்கு குறைக்க முடியாது. கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பை உருவாக்கும் பொருள்கள் அதன் கூறுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. உறுப்பு இடையே அடிப்படை உறவு அமற்றும் அதைக் கொண்ட தொகுப்பு ஏஎன குறிக்கப்படுகிறது ( அதொகுப்பின் ஒரு அங்கமாகும் ஏ; அல்லது அசொந்தமானது ஏ, அல்லது ஏகொண்டுள்ளது அ) என்றால் அதொகுப்பின் உறுப்பு அல்ல ஏ, பின்னர் எழுதவும் ( அசேர்க்கப்படவில்லை ஏ, ஏகொண்டிருக்கும் இல்லை அ) ஒரு தொகுப்பை அதன் அனைத்து கூறுகளையும் குறிப்பிடுவதன் மூலம் குறிப்பிடலாம், இதில் சுருள் பிரேஸ்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அதனால் ( அ, பி, c) மூன்று கூறுகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது. இதேபோன்ற குறியீடானது எல்லையற்ற தொகுப்புகளின் விஷயத்திலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எழுதப்படாத கூறுகள் நீள்வட்டத்தால் மாற்றப்படுகின்றன. எனவே, இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு (1, 2, 3, ...), மற்றும் இரட்டை எண்களின் தொகுப்பு (2, 4, 6, ...) ஆகியவற்றால் குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் முதல் வழக்கில் நீள்வட்டம் என்பது இயற்கையானது எண்கள், மற்றும் இரண்டாவது - மட்டும் கூட.

இரண்டு செட் ஏமற்றும் பிஅழைக்கப்பட்டது சமமான, அவை ஒரே கூறுகளைக் கொண்டிருந்தால், அதாவது. ஏசொந்தமானது பிமற்றும் நேர்மாறாக, ஒவ்வொரு உறுப்பு பிசொந்தமானது ஏ. பிறகு எழுதுங்கள் ஏ = பி. எனவே, ஒரு தொகுப்பு அதன் உறுப்புகளால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது மற்றும் இந்த உறுப்புகள் எழுதப்பட்ட வரிசையைப் பொறுத்தது அல்ல. உதாரணமாக, மூன்று கூறுகளின் தொகுப்பு அ, பி, cஆறு வகையான பதிவுகளை அனுமதிக்கிறது:

{அ, பி, c} = {அ, c, பி} = {பி, அ, c} = {பி, c, அ} = {c, அ, பி} = {c, பி, அ}.

முறையான வசதிக்கான காரணங்களுக்காக, "வெற்று தொகுப்பு" என்று அழைக்கப்படுவதும் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அதாவது, ஒரு தனிமத்தைக் கொண்டிருக்காத ஒரு தொகுப்பு. இது சில நேரங்களில் 0 என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது (பூஜ்ஜிய எண்ணின் பெயருடன் தற்செயல் குழப்பத்திற்கு வழிவகுக்காது, ஏனெனில் சின்னத்தின் பொருள் ஒவ்வொரு முறையும் தெளிவாக இருக்கும்).

தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பு என்றால் ஏதொகுப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது பி, அந்த ஏதுணைக்குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது பி, ஏ பிசூப்பர்செட் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஏ. எழுது ( ஏசேர்க்கப்பட்டுள்ளது பிஅல்லது ஏஇதில் இருக்கிறது பி, பிகொண்டுள்ளது ஏ) வெளிப்படையாக, என்றால் மற்றும் , பின்னர் ஏ = பி. வெற்று தொகுப்பு, வரையறையின்படி, எந்தவொரு தொகுப்பின் துணைக்குழுவாக கருதப்படுகிறது.

தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பு என்றால் ஏசேர்க்கப்பட்டுள்ளது பி, ஆனால் பல பிகுறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பு இல்லாதது ஏ, அதாவது என்றால் மற்றும் , பின்னர் ஏஅழைக்கப்பட்டது சொந்த துணைக்குழு பி, ஏ பி - சொந்த சூப்பர்செட் ஏ. இந்த வழக்கில், எழுதுங்கள். எடுத்துக்காட்டாக, குறியீடு மற்றும் பொருள் ஒரே விஷயம், அதாவது, தொகுப்பு ஏகாலியாக இல்லை.

உறுப்பை வேறுபடுத்துவது அவசியம் என்பதையும் நினைவில் கொள்க அமற்றும் அமைக்கவும் ( அ) கொண்டிருக்கும் அஒரே உறுப்பு. அத்தகைய வேறுபாடு உறுப்பு மற்றும் தொகுப்பு வெவ்வேறு பாத்திரங்களை வகிக்கிறது (உறவு சமச்சீர் அல்ல), ஆனால் முரண்பாட்டைத் தவிர்க்க வேண்டியதன் அவசியத்தாலும் கட்டளையிடப்படுகிறது. எனவே, விடுங்கள் ஏ = {அ, பி) இரண்டு கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. தொகுப்பைக் கவனியுங்கள் ( ஏ) தொகுப்பை அதன் ஒரே தனிமமாகக் கொண்டுள்ளது ஏ. பிறகு ஏஇரண்டு கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் ( ஏ) ஒரு உறுப்பு மட்டுமே, எனவே இந்த இரண்டு தொகுப்புகளையும் அடையாளம் காண இயலாது. எனவே, குறியீட்டைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, மேலும் குறியீட்டைப் பயன்படுத்த வேண்டாம்.