உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் முழுமையின் சொத்து. உண்மையான எண்களின் கோட்பாடுகள். கணித பகுப்பாய்வின் கட்டுமானத்தில் தொடர்ச்சியின் கோட்பாட்டின் பங்கு

§ 7 . பகுப்பாய்வின் அடித்தளம், 4

உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் முழுமை.

7.1. அறிமுகம்.

வரையறை.உண்மையான எண் a என்பதன் மூலம் நாம் பகுத்தறிவு எண்களின் அடிப்படை வரிசைகளின் சம வர்க்கம் a ஐக் குறிக்கிறோம்.

வரையறை.ஒரு கொத்து ஆர்பகுத்தறிவு எண்களின் அடிப்படை வரிசைகளின் சமநிலை வகுப்புகள் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படும்.

1) lim a n = a Û "0< eÎஆர்$ போ என்("nÎ என், n ³ p) Þ |a n - a| £e

2) ஒன்றிணைந்த எந்த வரிசையும் (a n) அடிப்படையானது

" 0 < eÎஆர்$ போ என்(("mÎ என், "nÎ என், m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | £e)

§6 உடன் ஒப்புமை மூலம், உண்மையான எண்களின் அடிப்படை வரிசைகளின் தொகுப்பிற்கு காரணியாக்க செயல்முறையைப் பயன்படுத்த முயற்சிப்பது இயற்கையானது. உண்மையான எண்களின் அடிப்படை வரிசைகளின் சமமான வகுப்புகளின் தொகுப்பை நாம் பெறுவோம் அல்லவா? ஆர்அதன் சொந்த துணைக்குழுவாக?

இல்லை என்று மாறிவிடும்.

இந்த பிரிவில் நாம் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க சொத்தை நிறுவுவோம்: உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் முழுமையின் சொத்து, இது உண்மையான எண்களின் எந்தவொரு அடிப்படை வரிசையும் ஒன்றிணைகிறது. ஆர்.

7.2 தசம பின்னங்களால் உண்மையான எண்களின் தோராயம்.

வரையறை.$ 0 எனில் வரிசை (q n) வரம்பிடப்படும்< MÎகே, அது ("nО என்|q n | £ M)

தேற்றம் 1. பகுத்தறிவு எண்களின் ஒவ்வொரு அடிப்படை வரிசையும் வரம்புக்குட்பட்டது.

ஆதாரம். (q n) பகுத்தறிவு எண்களின் அடிப்படை வரிசையாக இருக்கட்டும், பின்னர், அடிப்படையின் அடிப்படையில், e=1 க்கு அத்தகைய pО உள்ளது என், என்ன:

$ போ N:((" m ³ p) Þ |q n -q m | £ 1)

m = p -fix, பின்னர் " n ³ p |q n | £ |q p | + 1.

உண்மையில்: |q n | = |q n -q p +q p | £ |q n -q p | + |கே ப | Þ |q n | £ 1 + |q p |.

M = அதிகபட்சம் (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) எனக் கருதி நாம் பெறுவது: " nО என்|q n | £ M.ð

பிரிவு 6.3 இல். "நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும்" என்ற unary உறவு தொகுப்பில் குறிப்பிடப்பட்டது. ">0" என்று எழுத ஒப்புக்கொள்வோம். பின்னர் a ³ 0 Û (a > 0 அல்லது a = 0).

தேற்றம் 2 . பகுத்தறிவு எண்களின் அடிப்படை வரிசை (q n) ஒரு உண்மையான எண்ணைக் குறிக்கட்டும், பின்னர்:

a) ($ p 1 О என், $MО கே("nÎ என், " n ³ p 1) Þ |q n | £ M) Þ a £ M.

b) ($ p 2 О என், $mО கே("nÎ என், " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a.

ஆதாரம்." n³p 1 q n -M £ 0, பின்னர் அடிப்படை வரிசை q n -M - அடிப்படை வரிசை (q n) மற்றும் நிலையான வரிசை M ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான வேறுபாடு நேர்மறை வரிசையாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் அது பூஜ்ஜியமாகவோ அல்லது எதிர்மறையாகவோ உள்ளது.

எனவே, இந்த வரிசையால் குறிப்பிடப்படும் உண்மையான எண் (a-M) நேர்மறையாக இருக்க முடியாது, அதாவது. a-M £ 0, அதாவது. a£M.

இதேபோல், b) கருதப்படுகிறது.

தேற்றம் 3 . பகுத்தறிவு எண்களின் ஒரு அடிப்படை வரிசை (q n) உண்மையான எண்ணைக் குறிக்கிறது a என்றால் மற்றும் " 0 என்றால் மட்டும் ஆர்$pО என்என்று "nÎ என்மற்றும் n³p சமத்துவமின்மை |q n -a| £e:

(q n)Îa Û "0< eÎஆர்$ போ என்("nÎ என், n³p) Þ |q n -a| £e.

ஆதாரம்.அவசியத்தை மட்டும் நிரூபிப்போம். "eO" என்பது வெளிப்படையானது ஆர்$ e 1 O கே(e 1 £e)

பகுத்தறிவு எண்களின் அடிப்படை வரிசை (q n) எண்ணின் பிரதிநிதியாக இருக்கட்டும் a.

நிபந்தனையின்படி, இது அடிப்படையானது, அதாவது. "0< eÎகே$ போ என்("nÎ N,"நான் என், n³p, m³p) Þ |q n -q n | £e/2.

n³p ஐ சரிசெய்வோம், பின்னர் நாம் அடிப்படை வரிசையைப் பெறுவோம் (q m -q n): (q 1 -q n; q 2 -q n; ...; q n-1 -q n; 0; q n+1 -q n; .. .).

m³pக்கான இந்த வரிசையின் அனைத்து விதிமுறைகளும் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கின்றன: |q m -q n |£ e/2.

தேற்றம் 2 மூலம், இந்த வரிசையால் குறிப்பிடப்படும் உண்மையான எண் | a-q n | £e/2.

| a-q n | £ இ ஓ ஆர்"n³p.

தேற்றம் 4 . உண்மையான எண் a எதுவாக இருந்தாலும், M£a சமத்துவமின்மை திருப்தி அடையும் வகையில் M எப்போதும் இருக்கும்.

("aÎ ஆர்$! எம் Z(எம் £ ஏ< M+1))

ஆதாரம்.

படி 1. இருப்பதற்கான சான்று.

பகுத்தறிவு எண்களின் அடிப்படை வரிசை (q n) ஒரு உண்மையான எண்ணைக் குறிக்கும் a: ((q n)Îa). தேற்றம் 1, $ LО மூலம் Z 0, "nО என் q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L).

தேற்றம் 3 (q n)Îa Û "e>0, eО மூலம் ஆர்$ போ என்: (("nО என், n³p) Þ ½q n -a½ £ e).

பின்னர் " n³p ½a½=½a- q n + q n ½£½a- q n½+½ q n½£ e + L.

½a½ £ e + L Û -L-e £ a £ L+e.

ஏனெனில் e என்பது தன்னிச்சையான எண் >0, பின்னர் –L £ a £ L. இதற்குப் பிறகு -1-L என்பது தெளிவாகிறது< a < L+1.

பின்னர், வரையறுக்கப்பட்ட முழு எண்களில்: -L-1, -L, -L+1, ..., -1, 0, +1, ..., L, L+1, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் முதலில்நிபந்தனை a திருப்திகரமாக இருக்கும் எண் M+1< M+1.

பின்னர் M என்ற எண் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யாது M £ a< M+1, т.е. такое число M существует.

படி 2. தனித்தன்மைக்கான சான்று.4

கணிதக் கோட்பாடுகள், ஒரு விதியாக, ஒரு எண்களின் தொகுப்பை (ஆரம்பத் தரவு) மற்றொரு எண்களின் தொகுப்பாக செயலாக்க அனுமதிப்பதன் மூலம் அவற்றின் வழியைக் கண்டுபிடிக்கின்றன, இது கணக்கீட்டின் இடைநிலை அல்லது இறுதி இலக்காக அமைகிறது. இந்த காரணத்திற்காக, கணிதம் மற்றும் அதன் பயன்பாடுகளில் எண்சார் செயல்பாடுகள் ஒரு சிறப்பு இடத்தைப் பிடித்துள்ளன. அவை (இன்னும் துல்லியமாக, வேறுபடுத்தக்கூடிய எண் செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுபவை) கிளாசிக்கல் பகுப்பாய்வின் ஆய்வின் முக்கிய பொருளாக அமைகின்றன. ஆனால் நவீன கணிதத்தின் பார்வையில் இருந்து இந்த செயல்பாடுகளின் பண்புகளின் முழுமையான விளக்கம், நீங்கள் ஏற்கனவே பள்ளியில் அனுபவித்திருக்கலாம், விரைவில் நீங்கள் பார்ப்பது போல், இந்த செயல்பாடுகளின் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் சரியான வரையறை இல்லாமல் சாத்தியமற்றது. நாடகம்.

கணிதத்தில் உள்ள எண், இயற்பியலில் நேரத்தைப் போலவே, அனைவருக்கும் தெரியும், ஆனால் நிபுணர்களுக்கு மட்டுமே புரியாது. இது முக்கிய கணித சுருக்கங்களில் ஒன்றாகும், இது வெளிப்படையாக, இன்னும் குறிப்பிடத்தக்க பரிணாம வளர்ச்சியைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அதன் கதை ஒரு சுயாதீனமான தீவிர போக்கிற்கு அர்ப்பணிக்கப்படலாம். உயர்நிலைப் பள்ளியிலிருந்து உண்மையான எண்களைப் பற்றி வாசகருக்குத் தெரிந்ததை, எண்களின் அடிப்படை மற்றும் சுயாதீனமான பண்புகளை ஆக்சியோம்களின் வடிவத்தில் முன்னிலைப்படுத்துவது மட்டுமே இங்கே நாங்கள் குறிக்கிறோம். அவ்வாறு செய்வதன் மூலம், உண்மையான எண்களின் துல்லியமான வரையறையை அடுத்தடுத்த கணிதப் பயன்பாட்டிற்குத் தருவதும், அவற்றின் முழுமை அல்லது தொடர்ச்சியின் சொத்துக்களுக்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்துவதும், இது வரம்பிற்குள் செல்லும் கிருமி - எண்கணிதம் அல்லாத முக்கிய செயல்பாடு ஆகும். பகுப்பாய்வு.

§ 1. ஆக்சியோமேடிக்ஸ் மற்றும் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் சில பொதுவான பண்புகள்

1. உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் வரையறை

வரையறை 1. E தொகுப்பு உண்மையான (உண்மையான) எண்களின் தொகுப்பு என்றும், அதன் கூறுகள் உண்மையான (உண்மை) என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

உண்மையான எண்களின் அச்சியோமேடிக்ஸ் எனப்படும் பின்வரும் நிபந்தனைகளின் தொகுப்பு திருப்தி அடைந்தால் எண்கள்:

(I) கூட்டல் கோட்பாடுகள்

மேப்பிங் வரையறுக்கப்பட்டது (கூடுதல் செயல்பாடு)

x மற்றும் y இன் கூட்டுத்தொகை எனப்படும் E இலிருந்து வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஒவ்வொரு ஜோடி உறுப்புகளுக்கும் ஒதுக்குதல். இந்த வழக்கில், பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:

நடுநிலை உறுப்பு 0 உள்ளது (கூடுதல் வழக்கில் பூஜ்யம் என்று அழைக்கப்படுகிறது) இது எதற்கும்

எந்த ஒரு தனிமத்திற்கும் அதற்கு நேர்மாறாக ஒரு உறுப்பு இருக்கும்

ஆபரேஷன் 4 என்பது துணை, அதாவது, எந்த உறுப்புகளுக்கும்

ஆபரேஷன் 4 பரிமாற்றமானது, அதாவது, E இலிருந்து எந்த உறுப்புகளுக்கும்,

கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்தும் சில தொகுப்பில் ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டால், குழுவின் அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது அல்லது ஒரு குழு உள்ளது என்று கூறுகிறார்கள். செயல்பாடு கூட்டல் என்று அழைக்கப்பட்டால், குழு சேர்க்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது. கூடுதலாக, செயல்பாடு பரிமாற்றமானது என்று தெரிந்தால், அதாவது நிபந்தனை திருப்தி அடைந்தால், குழு பரிமாற்றம் அல்லது அபெலியன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, E ஒரு சேர்க்கை Abelian குழு என்று கோட்பாடுகள் கூறுகின்றன.

(II) பெருக்கல் கோட்பாடுகள்

மேப்பிங் வரையறுக்கப்பட்டது (பெருக்கல் செயல்பாடு)

E இலிருந்து வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஒவ்வொரு ஜோடி உறுப்புகளுக்கும் x மற்றும் y இன் தயாரிப்பு எனப்படும் சில உறுப்புகளை ஒதுக்குதல் மற்றும் பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தியாகும் வகையில்:

1. ஒன்றால் பெருக்கும்போது ஒரு நடுநிலை உறுப்பு உள்ளது) அத்தகைய

2. எந்த ஒரு தனிமத்திற்கும் அதன் தலைகீழ் என்று ஒரு உறுப்பு உள்ளது

3. செயல்பாடு துணையானது, அதாவது E இன் ஏதேனும் ஒன்று

4. செயல்பாடு மாற்றத்தக்கது, அதாவது எதற்கும்

பெருக்கத்தின் செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, தொகுப்பை (பெருக்கல்) குழுவாகச் சரிபார்க்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க.

(I, II) கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் இடையே உள்ள உறவு

பெருக்கல் என்பது கூட்டலைப் பொறுத்தமட்டில் பரவலானது, அதாவது.

பெருக்கத்தின் பரிமாற்றத் தன்மையின் காரணமாக, அதன் இரு பகுதிகளிலும் உள்ள காரணிகளின் வரிசையை மாற்றினால், கடைசி சமத்துவம் பாதுகாக்கப்படும் என்பதை நினைவில் கொள்க.

சில தொகுப்பில் பட்டியலிடப்பட்ட அனைத்து கோட்பாடுகளையும் திருப்திப்படுத்தும் இரண்டு செயல்பாடுகள் இருந்தால், அது ஒரு இயற்கணித புலம் அல்லது ஒரு புலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

(III) ஒழுங்கின் கோட்பாடுகள்

E இன் உறுப்புகளுக்கு இடையே ஒரு தொடர்பு உள்ளது, அதாவது, E இலிருந்து உறுப்புகளுக்கு அது நிறைவேறுமா இல்லையா என்பது தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்:

உறவு சமத்துவமின்மை உறவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அறியப்பட்டபடி, கோட்பாடுகள் 0, 1, 2 ஐ திருப்திப்படுத்தும் உறவு இருக்கும் சில கூறுகளுக்கு இடையே ஒரு தொகுப்பு, பகுதியளவு வரிசைப்படுத்துதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும், கோட்பாடு 3 திருப்தி அடைந்தால், அதாவது தொகுப்பின் ஏதேனும் இரண்டு கூறுகள் ஒப்பிடத்தக்கவை. , பின்னர் தொகுப்பு நேரியல் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எனவே, உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு அதன் உறுப்புகளுக்கு இடையிலான சமத்துவமின்மை உறவால் நேர்கோட்டில் வரிசைப்படுத்தப்படுகிறது.

(I, III) R இல் கூட்டல் மற்றும் வரிசைக்கு இடையிலான உறவு

x என்பது R இன் உறுப்புகள் என்றால்

(II, III) R இல் பெருக்கல் மற்றும் வரிசைக்கு இடையே உள்ள உறவு

R இன் கூறுகள் என்றால்

(IV) முழுமையின் கோட்பாடு (தொடர்ச்சி)

X மற்றும் Y ஆகியவை E இன் வெறுமையற்ற துணைக்குழுக்களாக இருந்தால், அவை எந்த உறுப்புகளுக்கும் உள்ள பண்புகளைக் கொண்டிருக்கின்றன, எந்த உறுப்புகளுக்கும் உள்ளது.

இது கோட்பாடுகளின் பட்டியலை நிறைவு செய்கிறது, எந்த தொகுப்பிலும் E இன் நிறைவேற்றம் இந்த தொகுப்பை ஒரு குறிப்பிட்ட செயலாக்கமாக அல்லது அவர்கள் சொல்வது போல் உண்மையான எண்களின் மாதிரியாக கருத அனுமதிக்கிறது.

இந்த வரையறை முறைப்படி எண்களைப் பற்றிய எந்த ஆரம்பத் தகவலையும் முன்வைக்கவில்லை, மேலும் அதிலிருந்து, "கணித சிந்தனை உட்பட", மீண்டும் முறையாக உண்மையான எண்களின் மீதமுள்ள பண்புகளை தேற்றங்களாகப் பெற வேண்டும். இந்த ஆக்சியோமாடிக் ஃபார்மலிசம் குறித்து சில முறைசாரா கருத்துக்களைச் சொல்ல விரும்புகிறேன்.

ஆப்பிள்கள், க்யூப்ஸ் அல்லது பிற பெயரிடப்பட்ட அளவுகளைச் சேர்ப்பதில் இருந்து சுருக்க இயற்கை எண்களைச் சேர்ப்பதில் இருந்து நீங்கள் முன்னேறவில்லை என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள்; நீங்கள் பிரிவுகளை அளவிடவில்லை மற்றும் பகுத்தறிவு எண்களை அடையவில்லை; ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டமானது அதன் பக்கத்துடன் பொருத்தமற்றது, எனவே அதன் நீளம் ஒரு பகுத்தறிவு எண்ணாக இருக்க முடியாது, அதாவது, விகிதமுறா எண்கள் தேவை என்று பழங்காலங்களின் பெரிய கண்டுபிடிப்பு உங்களுக்குத் தெரியாது; அளவீட்டு செயல்பாட்டில் எழும் "மேலும்" என்ற கருத்து உங்களிடம் இல்லை, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு எண் கோட்டின் உருவத்துடன் நீங்கள் ஒழுங்கை விளக்கவில்லை. இவை அனைத்தும் முன்பே இல்லாவிட்டால், பட்டியலிடப்பட்ட கோட்பாடுகள் ஆன்மீக வளர்ச்சியின் திட்டவட்டமான விளைவாக உணரப்படுவது மட்டுமல்லாமல், குறைந்தபட்சம் விசித்திரமாகவும், எப்படியிருந்தாலும், கற்பனையின் தன்னிச்சையான பலனாகவும் தோன்றும்.

கோட்பாடுகளின் எந்தவொரு சுருக்க அமைப்பைப் பற்றியும், குறைந்தது இரண்டு கேள்விகள் உடனடியாக எழுகின்றன.

முதலில், இந்த கோட்பாடுகள் இணக்கமாக உள்ளதா, அதாவது, பட்டியலிடப்பட்ட அனைத்து நிபந்தனைகளையும் பூர்த்தி செய்யும் ஒரு தொகுப்பு இருக்கிறதா? இது அச்சோவியத்தின் நிலைத்தன்மை பற்றிய கேள்வி.

இரண்டாவதாக, கொடுக்கப்பட்ட கோட்பாடுகளின் அமைப்பு ஒரு கணிதப் பொருளைத் தனித்துவமாகத் தீர்மானிக்கிறதா, அதாவது, தர்க்க வல்லுநர்கள் சொல்வது போல், கோட்பாடுகளின் அமைப்பு வகைப்படுத்தப்பட்டதா.

இங்குள்ள தெளிவின்மையை பின்வருமாறு புரிந்து கொள்ள வேண்டும். A மற்றும் B நபர்கள், சுயாதீனமாக, தங்கள் சொந்த மாதிரிகளை உருவாக்கினால், எடுத்துக்காட்டாக, அச்சியலை திருப்திப்படுத்தும் எண் அமைப்புகளின், எண்கணித செயல்பாடுகள் மற்றும் ஒழுங்கு உறவுகளைப் பாதுகாத்தாலும், தொகுப்புகளுக்கு இடையில் ஒரு இருமுனை கடிதத்தை நிறுவ முடியும், அதாவது.

ஒரு கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், இந்த விஷயத்தில், அவை உண்மையான எண்களின் வெவ்வேறு (முற்றிலும் சமமான) செயலாக்கங்கள் (மாதிரிகள்) (உதாரணமாக, - எல்லையற்ற தசம பின்னங்கள், மற்றும் - எண் வரிசையில் புள்ளிகள்). இத்தகைய செயலாக்கங்கள் ஐசோமார்பிக் என்றும், மேப்பிங் ஐசோமார்பிசம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. கணிதச் செயல்பாட்டின் முடிவுகள் தனிப்பட்ட செயலாக்கத்துடன் தொடர்புடையது அல்ல, ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட அச்சியலின் ஐசோமார்பிக் மாதிரிகளின் வகுப்பிலிருந்து ஒவ்வொரு மாதிரிக்கும் தொடர்புடையது.

மேலே கேட்கப்பட்ட கேள்விகளை நாங்கள் இங்கு விவாதிக்க மாட்டோம், மேலும் அவற்றுக்கான தகவல் பதில்களுக்கு மட்டுமே நம்மை மட்டுப்படுத்துவோம்.

ஆக்சியோமேடிக்ஸ் நிலைத்தன்மை பற்றிய கேள்விக்கு நேர்மறையான பதில் எப்போதும் நிபந்தனைக்குட்பட்டது. எண்களைப் பொறுத்தவரை, இது இப்படித் தெரிகிறது: நாம் ஏற்றுக்கொண்ட செட் கோட்பாட்டின் அச்சியல் அடிப்படையில் (அத்தியாயம் I, § 4, பத்தி 2 ஐப் பார்க்கவும்), நாம் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பை உருவாக்கலாம், பின்னர் பகுத்தறிவுகளின் தொகுப்பு, மற்றும், இறுதியாக, அனைத்து உண்மையான எண்களின் E தொகுப்பு, மேலே உள்ள அனைத்து பண்புகளையும் திருப்திப்படுத்துகிறது.

15. உண்மையான எண்களின் வெறுமையற்ற தொகுப்புகள் A மற்றும் B எனில் ஏதேனும் சமத்துவமின்மை a< b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

முழுமை கோட்பாடு R இல் மட்டுமே செல்லுபடியாகும்.

எந்தவொரு சமமற்ற விகிதமுறு எண்களுக்கும் இடையில் நீங்கள் எப்போதும் சமமற்ற விகிதமுறு எண்ணைச் செருகலாம் என்பதை நிரூபிக்க முடியும்.

மேலே கொடுக்கப்பட்ட கோட்பாடுகளிலிருந்து, பூஜ்ஜியம் மற்றும் ஒன்றின் தனித்துவம், வேறுபாடு மற்றும் விகிதத்தின் இருப்பு மற்றும் தனித்தன்மை ஆகியவற்றைக் கண்டறியலாம். பல்வேறு மாற்றங்களில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகளை கூடுதலாகக் கவனிக்கலாம்:

1. ஒரு என்றால்< b, с < d , то a+c < b+d.

2. ஒரு என்றால்< b, то –a >-பி.

3. a > 0 என்றால், b< 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab >0. (பிந்தையது a > 0, b > 0 க்கும் பொருந்தும்.)

4. 0 என்றால்< a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. என்றால் ஒரு< b, c >0, பின்னர் ஏசி< bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. 0 என்றால்< a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் a மற்றும் b, na > b (ஆக்சியம்) போன்ற nО N எண் இருக்கும் ஆர்க்கிமிடிஸ், நீளம் a, b, na பிரிவுகளுக்கு).

எண்ணியல் தொகுப்புகளுக்கு பின்வரும் குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

என் – இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு;

Z – முழு எண்களின் தொகுப்பு;

கே – பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பு;

நான் – பகுத்தறிவற்ற எண்களின் தொகுப்பு;

ஆர் – உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு;

R + - உண்மையான நேர்மறை எண்களின் தொகுப்பு;

R_ – உண்மையான எதிர்மறை எண்களின் தொகுப்பு;

R 0 - உண்மையான எதிர்மறை அல்லாத எண்களின் தொகுப்பு;

C என்பது கலப்பு எண்களின் தொகுப்பாகும் (இந்த தொகுப்பின் வரையறை மற்றும் பண்புகள் பிரிவு 1.1 இல் விவாதிக்கப்பட்டுள்ளது).

உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில் எல்லை என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம். இது மேலும் விவாதங்களில் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படும்.

M (மீ ) எந்த உறுப்பும் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கிறது:

M என்ற எண்ணானது A அமைப்பின் மேல் எல்லை என்றும், m எண் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது – இந்த தொகுப்பின் கீழ் எல்லை.

மேலேயும் கீழேயும் வரம்புக்குட்பட்ட ஒரு தொகுப்பு எல்லை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு கொத்து என் இயற்கை எண்கள் கீழே வரம்பிடப்பட்டுள்ளன, ஆனால் மேலே வரம்பு இல்லை. முழு எண்களின் தொகுப்பு Z கீழே அல்லது மேலே வரையறுக்கப்படவில்லை.

விட்டம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட தன்னிச்சையான முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் தொகுப்பைக் கருத்தில் கொண்டால் டி , பின்னர் அது கீழே இருந்து பூஜ்ஜியம் மற்றும் மேலே இருந்து வரம்பிடப்படுகிறது – ஒரு வட்டத்தை உள்ளடக்கிய எந்த பலகோணத்தின் பரப்பளவு (குறிப்பாக, சுற்றப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு, சமம் டி 2 ).

மேலே (கீழே) வரையறுக்கப்பட்ட எந்தத் தொகுப்பிலும் எண்ணற்ற மேல் (கீழ்) முகங்கள் உள்ளன. பின்னர், அனைத்து மேல் எல்லைகளிலும் சிறியது மற்றும் அனைத்து கீழ் எல்லைகளிலும் பெரியது உள்ளதா?

எண்ணை அழைப்போம் மேலே கட்டப்பட்ட ஒரு தொகுப்பின் உச்சம் ஏÌ ஆர் , என்றால்:

1. தொகுப்பின் மேல் எல்லைகளில் ஒன்றாகும் ஏ ;

2. தொகுப்பின் மேல் எல்லைகளில் மிகச் சிறியது ஏ . வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், உண்மையான எண் என்பது தொகுப்பின் உச்சம் ஏÌ ஆர் , என்றால்:

ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட பதவி

அதே வழியில் உள்ளிடவும்: – கீழே வரம்புக்குட்பட்ட ஒரு தொகுப்பின் infimum ஏ மற்றும் தொடர்புடைய பதவிகள்

லத்தீன் மொழியில்: supremum - உயர்ந்தது, infimum - குறைந்தது.

ஒரு தொகுப்பின் சரியான முகங்கள் அதற்கு சொந்தமானதாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம்.

தேற்றம். மேலே (கீழே) வரம்பிடப்பட்ட உண்மையான எண்களின் வெறுமையில்லாத தொகுப்பு மேல் (கீழ்) எல்லையைக் கொண்டுள்ளது.

இந்த தேற்றத்தை ஆதாரம் இல்லாமல் ஏற்றுக்கொள்வோம். எடுத்துக்காட்டாக, என்றால், மேல் வரம்பை 100 எண்ணாகவும், குறைந்த - 10 ஆகவும், மற்றும் . என்றால், பின்னர். இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில், சரியான எல்லைகள் இந்த தொகுப்பிற்கு சொந்தமானவை அல்ல.

உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில், இயற்கணிதம் மற்றும் ஆழ்நிலை எண்களின் இரண்டு இணையான துணைக்குழுக்களை வேறுபடுத்தி அறியலாம்.

இயற்கணித எண்கள் என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களாக இருக்கும் எண்கள்

அதன் குணகங்கள் – முழு எண்கள்.

உயர் இயற்கணிதத்தில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சிக்கலான வேர்களின் தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்டது மற்றும் n க்கு சமமானது என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. (சிக்கலான எண்கள் உண்மையான எண்களின் பொதுமைப்படுத்தல் ஆகும்). இயற்கணித எண்களின் தொகுப்பு எண்ணத்தக்கது . படிவத்தின் எண்கள் முதல் அனைத்து பகுத்தறிவு எண்களும் இதில் அடங்கும்

சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தவும்

பகுத்தறிவு எண்களின் ரேடிக்கல்கள் இல்லாத இயற்கணித எண்கள் உள்ளன என்பதும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த மிக முக்கியமான முடிவு, ரேடிக்கல்களில் நான்கிற்கும் அதிகமான பட்டத்தின் சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வு காண்பதற்கான பலனற்ற முயற்சிகளை நிறுத்தியது. இந்த சிக்கலை ஆய்வு செய்த இயற்கணிதவாதிகளின் பல நூற்றாண்டுகள் பழமையான தேடல்கள் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஈ. கலோயிஸால் சுருக்கப்பட்டுள்ளன, அவர் 21 வயதில் அபத்தமாக இறந்தார். அவரது அறிவியல் படைப்புகள் 60 பக்கங்கள் மட்டுமே உள்ளன, ஆனால் அவை கணிதத்தின் வளர்ச்சிக்கு ஒரு சிறந்த பங்களிப்பாகும்.

இந்த அறிவியலை உணர்ச்சிவசப்பட்டு கட்டுப்பாடில்லாமல் நேசித்த அந்த இளைஞன், அந்த நேரத்தில் பிரான்சின் மிகவும் மதிப்புமிக்க கல்வி நிறுவனத்தில் நுழைய இரண்டு முறை முயன்றான். – பாலிடெக்னிக் பள்ளி – தோல்வியுற்றது. உயர்நிலைப் பள்ளியில் படிக்கத் தொடங்கினார் – இயக்குனருடன் ஏற்பட்ட மோதலால் வெளியேற்றப்பட்டார். லூயிஸ் பிலிப்பிற்கு எதிராகப் பேசிய பிறகு அரசியல் கைதியாக மாறிய அவர், சிறையிலிருந்து பாரிஸ் அகாடமி ஆஃப் சயின்சஸுக்கு தீவிரவாதிகளின் சமன்பாட்டின் தீர்வைப் பற்றிய ஆய்வைக் கொண்ட கையெழுத்துப் பிரதியை மாற்றினார். அகாடமி இந்த வேலையை நிராகரித்தது. ஒரு சண்டையில் ஒரு அபத்தமான மரணம் இந்த அசாதாரண மனிதனின் வாழ்க்கையை முடிவுக்கு கொண்டு வந்தது.

உண்மையான மற்றும் இயற்கணித எண்களின் தொகுப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசமான ஒரு தொகுப்பு டிரான்ஸ்சென்டெண்ட் எண்களின் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. . வெளிப்படையாக, ஒவ்வொரு ஆழ்நிலை எண்ணும் முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாக இருக்க முடியாது.

அதே நேரத்தில், எந்தவொரு தனிப்பட்ட எண்களின் மீறுதலை நிரூபிப்பது மிகப்பெரிய சிரமங்களை ஏற்படுத்தியது.

1882 ஆம் ஆண்டில், கோனிக்ஸ்பெர்க் பல்கலைக்கழகத்தின் பேராசிரியரான எஃப். லிண்டெமன், எண்ணின் மீறலை நிரூபிக்க முடிந்தது, அதிலிருந்து ஒரு வட்டத்தை சதுரப்படுத்துவதில் உள்ள சிக்கலைத் தீர்ப்பது சாத்தியமில்லை என்பது தெளிவாகியது. திசைகாட்டி மற்றும் ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் பகுதி). இயற்கணிதம், பகுப்பாய்வு மற்றும் வடிவியல் ஆகியவற்றின் கருத்துக்கள் ஒன்றையொன்று ஊடுருவிச் செல்வதைக் காண்கிறோம்.

உண்மையான எண்களின் அச்சு அறிமுகம் ஒரே ஒன்றிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது. பகுத்தறிவு மற்றும் விகிதாசார எண்களின் தொகுப்பை இணைப்பதன் மூலம் அல்லது எல்லையற்ற தசமங்களாக அல்லது விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பை வெட்டுவதன் மூலம் இந்த எண்களை அறிமுகப்படுத்தலாம்.

*1) இந்த பொருள் புத்தகத்தின் 7 வது அத்தியாயத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்டது:

எல்.ஐ. உயர் கணிதம் / பாடநூல் / எம். லூரி அடிப்படைகள்

என்சைக்ளோபீடிக் YouTube

1 / 5

✪ உண்மையான எண்களின் அச்சு

✪ அறிமுகம். உண்மையான எண்கள் | matan #001 | போரிஸ் ட்ருஷின் +

✪ உள்ளமை பிரிவுகளின் கொள்கை | matan #003 | போரிஸ் ட்ருஷின்!

✪ தொடர்ச்சியின் பல்வேறு கொள்கைகள் | matan #004 | போரிஸ் ட்ருஷின்!

✪ தொடர்ச்சியின் கோட்பாடு. கேண்டரின் உள்ளமை வெட்டல் கொள்கை

வசன வரிகள்

தொடர்ச்சியின் கோட்பாடு

பின்வரும் வாக்கியம் உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சியின் சொத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான எளிய மற்றும் மிகவும் வசதியான சூத்திரமாகும். உண்மையான எண்ணின் கோட்பாட்டின் அச்சு கட்டுமானத்தில், இந்த அறிக்கை அல்லது அதற்கு சமமான, நிச்சயமாக உண்மையான எண்ணின் கோட்பாடுகளில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

தொடர்ச்சியின் கோட்பாடு (முழுமை). A ⊂ R (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A\subset \mathbb (R) )மற்றும் B ⊂ R (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​B\subset \mathbb (R) )மற்றும் சமத்துவமின்மை உள்ளது, அத்தகைய உண்மையான எண் உள்ளது ξ (\ காட்சி பாணி \xi )அது அனைவருக்கும் a ∈ A (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​a\in A)மற்றும் b ∈ B (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​b\in B)ஒரு உறவு இருக்கிறது

வடிவியல் ரீதியாக, உண்மையான எண்களை ஒரு வரியில் புள்ளிகளாகக் கருதினால், இந்த அறிக்கை தெளிவாகத் தெரிகிறது. இரண்டு செட் என்றால் A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A)மற்றும் பி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​பி)எண் கோட்டில் அவற்றில் ஒன்றின் அனைத்து உறுப்புகளும் இரண்டாவது அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் இடதுபுறத்தில் உள்ளன, பின்னர் ஒரு எண் உள்ளது ξ (\ காட்சி பாணி \xi ), பிரித்தல்இந்த இரண்டு தொகுப்புகள், அதாவது, அனைத்து உறுப்புகளின் வலதுபுறம் உள்ளது A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A)(ஒருவேளை மிகவும் தவிர ξ (\ காட்சி பாணி \xi )) மற்றும் அனைத்து உறுப்புகளின் இடதுபுறம் பி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​பி)(அதே மறுப்பு).

இந்த சொத்தின் "வெளிப்படைத்தன்மை" இருந்தபோதிலும், பகுத்தறிவு எண்களுக்கு இது எப்போதும் உண்மையாக இருக்காது என்பதை இங்கே கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு தொகுப்புகளைக் கவனியுங்கள்:

எந்த உறுப்புகளுக்கும் அதைப் பார்ப்பது எளிது a ∈ A (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​a\in A)மற்றும் b ∈ B (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​b\in B)சமத்துவமின்மை உள்ளது அ< b {\displaystyle a. எனினும் பகுத்தறிவுஎண்கள் ξ (\ காட்சி பாணி \xi ), இந்த இரண்டு தொகுப்புகளையும் பிரிப்பது, இல்லை. உண்மையில், இந்த எண் மட்டுமே இருக்க முடியும் 2 (\ டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\ சதுர (2))), ஆனால் அது பகுத்தறிவு அல்ல.

கணித பகுப்பாய்வின் கட்டுமானத்தில் தொடர்ச்சியின் கோட்பாட்டின் பங்கு

தொடர்ச்சியின் கோட்பாட்டின் பொருள் என்னவென்றால், அது இல்லாமல், கணித பகுப்பாய்வின் கடுமையான கட்டுமானம் சாத்தியமற்றது. விளக்குவதற்கு, நாங்கள் பல அடிப்படை பகுப்பாய்வு அறிக்கைகளை முன்வைக்கிறோம், அதன் ஆதாரம் உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சியை அடிப்படையாகக் கொண்டது:

• (வீயர்ஸ்ட்ராஸ் தேற்றம்).ஒவ்வொரு வரம்புக்குட்பட்ட சலிப்பான அதிகரிக்கும் வரிசையும் ஒன்றிணைகிறது
• (Bolzano-Cauchy தேற்றம்).ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு, அதன் முனைகளில் வெவ்வேறு அறிகுறிகளின் மதிப்புகளை எடுத்து, பிரிவின் சில உள் புள்ளியில் மறைந்துவிடும்
• (வரையறையின் "இயற்கை" டொமைன் முழுவதும் சக்தி, அதிவேக, மடக்கை மற்றும் அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் இருப்பு).உதாரணமாக, ஒவ்வொருவருக்கும் அது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது a > 0 (\displaystyle a>0)மற்றும் முழு n ⩾ 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​n\geqslant 1)உள்ளது a n (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\sqrt[(n)](a))), அதாவது சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு x n = a , x > 0 (\displaystyle x^(n)=a,x>0). அனைத்து பகுத்தறிவுகளுக்கும் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை தீர்மானிக்க இது உங்களை அனுமதிக்கிறது x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x):

A m / n = (a n) m (\displaystyle a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\right)^(m))

இறுதியாக, எண் கோட்டின் தொடர்ச்சிக்கு மீண்டும் நன்றி, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை நாம் தீர்மானிக்க முடியும் a x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​a^(x))ஏற்கனவே தன்னிச்சையாக x ∈ R (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x\in \mathbb (R) ). இதேபோல், தொடர்ச்சியின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி, எண்ணின் இருப்பு நிரூபிக்கப்படுகிறது பதிவு a ⁡ b (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\log _(a)(b))எதற்கும் a , b > 0 , a ≠ 1 (\ displaystyle a,b>0,a\neq 1).

நீண்ட வரலாற்று காலத்திற்கு, கணிதவியலாளர்கள் பகுப்பாய்விலிருந்து தேற்றங்களை நிரூபித்தார்கள், "நுட்பமான இடங்களில்" வடிவியல் நியாயப்படுத்துதலைக் குறிப்பிடுகின்றனர், மேலும் பெரும்பாலும், அவை வெளிப்படையாக இருப்பதால், அவற்றை முழுவதுமாகத் தவிர்த்துவிட்டனர். தொடர்ச்சியின் அனைத்து முக்கியமான கருத்தும் தெளிவான வரையறை இல்லாமல் பயன்படுத்தப்பட்டது. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் கடைசி மூன்றில் மட்டுமே ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் கார்ல் வீர்ஸ்ட்ராஸ் பகுப்பாய்வை எண்கணிதமாக்கினார், உண்மையான எண்களின் முதல் கடுமையான கோட்பாட்டை எல்லையற்ற தசம பின்னங்களாக உருவாக்கினார். அவர் மொழியில் வரம்புக்கு ஒரு உன்னதமான வரையறையை முன்மொழிந்தார் ε - δ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\varepsilon -\delta ), அவருக்கு முன் "வெளிப்படையாக" கருதப்பட்ட பல அறிக்கைகளை நிரூபித்தார், அதன் மூலம் கணித பகுப்பாய்வின் அடித்தளத்தின் கட்டுமானத்தை முடித்தார்.

பின்னர், உண்மையான எண்ணைத் தீர்மானிப்பதற்கான பிற அணுகுமுறைகள் முன்மொழியப்பட்டன. அச்சியல் அணுகுமுறையில், உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சி ஒரு தனி கோட்பாடாக வெளிப்படையாகக் காட்டப்படுகிறது. உண்மையான எண்ணின் கோட்பாட்டிற்கான ஆக்கபூர்வமான அணுகுமுறைகளில், எடுத்துக்காட்டாக, Dedekind பிரிவுகளைப் பயன்படுத்தி உண்மையான எண்களை உருவாக்கும்போது, ​​தொடர்ச்சியின் சொத்து (ஒரு வடிவத்தில் அல்லது மற்றொரு வடிவத்தில்) ஒரு தேற்றமாக நிரூபிக்கப்படுகிறது.

தொடர்ச்சி சொத்து மற்றும் அதற்கு சமமான வாக்கியங்களின் பிற சூத்திரங்கள்

உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சியின் சொத்தை வெளிப்படுத்தும் பல்வேறு அறிக்கைகள் உள்ளன. இந்த கொள்கைகள் ஒவ்வொன்றும் தொடர்ச்சியின் கோட்பாடாக உண்மையான எண்ணின் கோட்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்படலாம், மற்ற அனைத்தும் அதிலிருந்து பெறப்படலாம். இந்த பிரச்சினை அடுத்த பகுதியில் இன்னும் விரிவாக விவாதிக்கப்படும்.

Dedekind படி தொடர்ச்சி

Dedekind உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சியின் கேள்வியை "தொடர்ச்சி மற்றும் பகுத்தறிவற்ற எண்கள்" என்ற தனது படைப்பில் கருதுகிறார். அதில், பகுத்தறிவு எண்களை நேர்கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளுடன் ஒப்பிடுகிறார். அறியப்பட்டபடி, தொடக்கப் புள்ளி மற்றும் பிரிவுகளின் அளவீட்டு அலகு வரியில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், ஒரு வரியில் உள்ள பகுத்தறிவு எண்கள் மற்றும் புள்ளிகளுக்கு இடையே ஒரு கடிதத்தை நிறுவ முடியும். பிந்தையதைப் பயன்படுத்தி, ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணுக்கும் a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)உள்ளதா என்பதைப் பொறுத்து, தொடர்புடைய பிரிவை உருவாக்கி, வலது அல்லது இடதுபுறமாக வைக்கவும் a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை எண், ஒரு புள்ளியைப் பெறுங்கள் ப (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ப), எண்ணுடன் தொடர்புடையது a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a). இவ்வாறு, ஒவ்வொரு பகுத்தறிவு எண்ணுக்கும் a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)ஒரே ஒரு புள்ளி பொருந்தும் ப (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ப)ஒரு நேர் கோட்டில்.

எந்த பகுத்தறிவு எண்ணுடனும் பொருந்தாத வரியில் எண்ணற்ற பல புள்ளிகள் உள்ளன என்று மாறிவிடும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு அலகு பிரிவில் கட்டப்பட்ட ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தின் நீளத்தை வரைவதன் மூலம் பெறப்பட்ட புள்ளி. எனவே, பகுத்தறிவு எண்களின் மண்டலத்தில் அது இல்லை முழுமை, அல்லது தொடர்ச்சி, இது ஒரு நேர் கோட்டில் இயல்பாக உள்ளது.

இந்த தொடர்ச்சி எதைக் கொண்டுள்ளது என்பதை அறிய, Dedekind பின்வரும் கருத்தை கூறுகிறார். என்றால் ப (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ப)வரியில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி உள்ளது, பின்னர் வரியின் அனைத்து புள்ளிகளும் இரண்டு வகுப்புகளாக விழும்: புள்ளிகள் இடதுபுறத்தில் அமைந்துள்ளன ப (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ப), மற்றும் வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள புள்ளிகள் ப (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ப). அதே புள்ளி ப (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ப)கீழ் அல்லது மேல் வகுப்பினருக்கு தன்னிச்சையாக ஒதுக்கப்படலாம். Dedekind தலைகீழ் கொள்கையில் தொடர்ச்சியின் சாரத்தைக் காண்கிறார்:

வடிவியல் ரீதியாக, இந்த கொள்கை வெளிப்படையானது, ஆனால் அதை நிரூபிக்க முடியவில்லை. சாராம்சத்தில், இந்தக் கொள்கை ஒரு போஸ்டுலேட் என்று Dedekind வலியுறுத்துகிறது, இது நாம் தொடர்ச்சி என்று அழைக்கப்படும் நேரடிச் சொத்தின் சாரத்தை வெளிப்படுத்துகிறது.

Dedekind என்ற பொருளில் எண் கோட்டின் தொடர்ச்சியின் சாராம்சத்தை நன்கு புரிந்து கொள்ள, உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் தன்னிச்சையான பகுதியைக் கவனியுங்கள், அதாவது, அனைத்து உண்மையான எண்களையும் காலியாக இல்லாத இரண்டு வகுப்புகளாகப் பிரிப்பது, இதனால் அனைத்து எண்களும் ஒரு வகுப்பின் அனைத்து எண்களின் இடதுபுறத்தில் உள்ள எண் கோட்டில் உள்ளது. அதன்படி இந்த வகுப்புகள் பெயரிடப்பட்டுள்ளன குறைந்தமற்றும் மேல் வகுப்புகள்பிரிவுகள். கோட்பாட்டில் 4 சாத்தியங்கள் உள்ளன:

1. கீழ் வகுப்பில் அதிகபட்ச உறுப்பு உள்ளது, மேல் வர்க்கத்திற்கு குறைந்தபட்சம் இல்லை
2. கீழ் வகுப்பினருக்கு அதிகபட்ச உறுப்பு இல்லை, ஆனால் மேல் வர்க்கத்திற்கு குறைந்தபட்சம் உள்ளது
3. கீழ் வர்க்கம் அதிகபட்சம் மற்றும் மேல் வர்க்கம் குறைந்தபட்ச கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது
4. கீழ் வகுப்பினருக்கு அதிகபட்சம் இல்லை, மேல் வகுப்பினருக்கு குறைந்தபட்ச கூறுகள் இல்லை

முதல் மற்றும் இரண்டாவது நிகழ்வுகளில், முறையே கீழே உள்ள அதிகபட்ச உறுப்பு அல்லது மேல் குறைந்தபட்ச உறுப்பு இந்த பகுதியை உருவாக்குகிறது. மூன்றாவது வழக்கில் எங்களிடம் உள்ளது பாய்ச்சல், மற்றும் நான்காவது - விண்வெளி. எனவே, எண் கோட்டின் தொடர்ச்சி என்பது உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில் தாவல்கள் அல்லது இடைவெளிகள் இல்லை, அதாவது அடையாளப்பூர்வமாகப் பார்த்தால், வெற்றிடங்கள் இல்லை.

இந்த முன்மொழிவு Dedekind இன் தொடர்ச்சி கொள்கைக்கு சமமானதாகும். மேலும், உச்ச தேற்றத்தின் அறிக்கையானது இன்ஃபிமம் தேற்றத்தின் அறிக்கையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்தொடர்கிறது, மேலும் நேர்மாறாகவும் (கீழே காண்க) என்பதைக் காட்டலாம்.

ஃபைனிட் கவர் லெம்மா (ஹைன்-போரல் கொள்கை)

ஃபினிட் கவர் லெம்மா (ஹெய்ன் - போரல்). ஒரு பிரிவை உள்ளடக்கிய இடைவெளிகளின் எந்த அமைப்பிலும், இந்த பிரிவை உள்ளடக்கிய ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணை அமைப்பு உள்ளது.

வரம்பு புள்ளி லெம்மா (போல்சானோ-வீயர்ஸ்ட்ராஸ் கொள்கை)

வரம்பு புள்ளி லெம்மா (போல்சானோ - வீயர்ஸ்ட்ராஸ்). ஒவ்வொரு எல்லையற்ற வரையறுக்கப்பட்ட எண் தொகுப்பு குறைந்தது ஒரு வரம்பு புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது.. உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு , மற்றும் வரிசை உறவு புலத்தின் அடிப்படை செயல்பாடுகளுடன் ஒத்துப்போகிறது என்ற உண்மையை இரண்டாவது குழு வெளிப்படுத்துகிறது. எனவே, கோட்பாடுகளின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது குழுக்கள் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலத்தைக் குறிக்கிறது. கோட்பாடுகளின் மூன்றாவது குழு ஒரு கோட்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது - தொடர்ச்சியின் கோட்பாடு (அல்லது முழுமை).

உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சியின் வெவ்வேறு சூத்திரங்களின் சமநிலையைக் காட்ட, இந்த அறிக்கைகளில் ஒன்று வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலத்திற்கு இருந்தால், மற்ற எல்லாவற்றின் செல்லுபடியும் இதிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது என்பதை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம்.

தேற்றம். ஒரு தன்னிச்சையான நேரியல் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பாக இருக்கட்டும். பின்வரும் அறிக்கைகள் சமமானவை:

1. காலியாக இல்லாத செட் எதுவாக இருந்தாலும் பி ⊂ ஆர் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​பி\ துணைக்குழு (\mathsf (R))), எந்த இரண்டு உறுப்புகளுக்கும் a ∈ A (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​a\in A)மற்றும் b ∈ B (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​b\in B)சமத்துவமின்மை உள்ளது a ⩽ b (\ displaystyle a\leqslant b), அத்தகைய ஒரு உறுப்பு உள்ளது ξ ∈ R (\displaystyle \xi \in (\mathsf (R)))அது அனைவருக்கும் a ∈ A (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​a\in A)மற்றும் b ∈ B (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​b\in B)ஒரு உறவு இருக்கிறது a ⩽ ξ ⩽ b (\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b)
2. எந்தப் பிரிவிற்கும் ஆர் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\mathsf (R)))இந்த பகுதியை உருவாக்கும் ஒரு உறுப்பு உள்ளது
3. மேலே வரம்புக்குட்பட்ட காலியாக இல்லாத தொகுப்பு A ⊂ R (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A\subset (\mathsf (R)))ஒரு உச்சநிலை உள்ளது
4. கீழே இருந்து வரம்புக்குட்பட்ட எந்த காலியாக இல்லாத தொகுப்பு A ⊂ R (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A\subset (\mathsf (R)))ஒரு infimum உள்ளது

இந்த தேற்றத்திலிருந்து பார்க்க முடிந்தால், இந்த நான்கு வாக்கியங்களும் உள்ளதை மட்டுமே பயன்படுத்துகின்றன ஆர் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\mathsf (R)))ஒரு நேரியல் வரிசை உறவு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது மற்றும் புல அமைப்பு பயன்படுத்தப்படவில்லை. இவ்வாறு, அவை ஒவ்வொன்றும் சொத்தை வெளிப்படுத்துகின்றன ஆர் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\mathsf (R)))ஒரு நேர்கோட்டில் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பாக. இந்த சொத்து (தன்னிச்சையான நேரியல் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பின், உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு அவசியமில்லை) அழைக்கப்படுகிறது Dedekind படி, தொடர்ச்சி, அல்லது முழுமை.

மற்ற வாக்கியங்களின் சமத்துவத்தை நிரூபிக்க ஏற்கனவே ஒரு புல அமைப்பு இருக்க வேண்டும்.

தேற்றம். விடுங்கள் ஆர் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\mathsf (R)))- தன்னிச்சையான வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலம். பின்வரும் வாக்கியங்கள் சமமானவை:

கருத்து. தேற்றத்தில் இருந்து பார்க்க முடியும், உள்ளமை பிரிவுகளின் கொள்கை சமமாக இல்லை Dedekind இன் தொடர்ச்சியின் கொள்கை. Dedekind இன் தொடர்ச்சியின் கொள்கையில் இருந்து உள்ளமைக்கப்பட்ட பிரிவுகளின் கொள்கை பின்பற்றப்படுகிறது, ஆனால் மாற்றத்திற்கு கூடுதலாக ஆர்டர் செய்யப்பட்ட புலம் தேவைப்படுகிறது.

திட்டம்:

அறிமுகம்

• 1 தொடர்ச்சியின் கோட்பாடு
• 2 கணித பகுப்பாய்வின் கட்டுமானத்தில் தொடர்ச்சியின் கோட்பாட்டின் பங்கு
• 3 தொடர்ச்சி சொத்து மற்றும் அதற்கு சமமான வாக்கியங்களின் பிற சூத்திரங்கள்
  • 3.1 Dedekind படி தொடர்ச்சி
  • 3.2 உள்ளமை பிரிவுகளில் லெம்மா (Cauchy-Cantor கொள்கை)
  • 3.3 உயர்ந்த கொள்கை
  • 3.4 ஃபைனிட் கவர் லெம்மா (ஹைன்-போரல் கொள்கை)
  • 3.5 வரம்பு புள்ளி லெம்மா (போல்சானோ-வீயர்ஸ்ட்ராஸ் கொள்கை)
• 4 உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் தொடர்ச்சியை வெளிப்படுத்தும் வாக்கியங்களின் சமன்பாடு
குறிப்புகள்
இலக்கியம்

அறிமுகம்

உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சி- பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பில் இல்லாத உண்மையான எண்களின் அமைப்பின் சொத்து. சில சமயங்களில் தொடர்ச்சிக்குப் பதிலாகப் பேசுவார்கள் உண்மையான எண் அமைப்பின் முழுமை. தொடர்ச்சியான சொத்தின் பல்வேறு சூத்திரங்கள் உள்ளன, அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானவை: உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சியின் Dedekind கொள்கை, Cauchy-Cantor உள்ளமை இடைவெளிக் கொள்கை, உச்ச தேற்றம். ஒரு உண்மையான எண்ணின் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட வரையறையைப் பொறுத்து, தொடர்ச்சியின் சொத்தை ஒரு கோட்பாடு என முன்வைக்கலாம் - ஒரு சூத்திரத்தில் அல்லது மற்றொன்றில், அல்லது ஒரு தேற்றமாக நிரூபிக்கப்படலாம்.

1. தொடர்ச்சியின் கோட்பாடு

பின்வரும் வாக்கியம் உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சியின் சொத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான எளிய மற்றும் மிகவும் வசதியான சூத்திரமாகும். உண்மையான எண்ணின் கோட்பாட்டின் அச்சு கட்டுமானத்தில், இந்த அறிக்கை அல்லது அதற்கு சமமான, நிச்சயமாக உண்மையான எண்ணின் கோட்பாடுகளின் எண்ணிக்கையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

தொடர்ச்சியின் கோட்பாட்டின் வடிவியல் விளக்கம்

தொடர்ச்சியின் கோட்பாடு (முழுமை). வெறுமையற்ற தொகுப்புகள் எதுவாக இருந்தாலும், எந்த இரண்டு உறுப்புகளுக்கும் சமத்துவமின்மைக்கும், அனைத்திற்கும் மற்றும் உறவுமுறைக்கும் ஒரு எண் உள்ளது.

வடிவியல் ரீதியாக, உண்மையான எண்களை ஒரு வரியில் புள்ளிகளாகக் கருதினால், இந்த அறிக்கை தெளிவாகத் தெரிகிறது. இரண்டு செட் என்றால் ஏமற்றும் பிஎண் கோட்டில் அவற்றில் ஒன்றின் அனைத்து உறுப்புகளும் இரண்டாவது அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் இடதுபுறமாக இருக்கும், பின்னர் ஒரு எண் ξ உள்ளது, பிரித்தல்இந்த இரண்டு தொகுப்புகள், அதாவது, அனைத்து உறுப்புகளின் வலதுபுறம் உள்ளது ஏ(ஒருவேளை ξ தானே தவிர) மற்றும் அனைத்து உறுப்புகளின் இடதுபுறத்திலும் பி(அதே மறுப்பு).

இந்த சொத்தின் "வெளிப்படைத்தன்மை" இருந்தபோதிலும், பகுத்தறிவு எண்களுக்கு இது எப்போதும் உண்மையாக இருக்காது என்பதை இங்கே கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு தொகுப்புகளைக் கவனியுங்கள்:

எந்த உறுப்புகளுக்கும் சமத்துவமின்மைக்கும் என்று பார்ப்பது எளிது அ < பி. எனினும் பகுத்தறிவுஇந்த இரண்டு தொகுப்புகளையும் பிரிக்கும் எண் ξ இல்லை. உண்மையில், இந்த எண் மட்டுமே இருக்க முடியும், ஆனால் அது பகுத்தறிவு அல்ல.

2. கணித பகுப்பாய்வின் கட்டுமானத்தில் தொடர்ச்சியின் கோட்பாட்டின் பங்கு

தொடர்ச்சியின் கோட்பாட்டின் முக்கியத்துவம் என்னவென்றால், அது இல்லாமல் கணித பகுப்பாய்வின் கடுமையான கட்டுமானம் சாத்தியமற்றது. விளக்குவதற்கு, நாங்கள் பல அடிப்படை பகுப்பாய்வு அறிக்கைகளை முன்வைக்கிறோம், அதன் ஆதாரம் உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சியை அடிப்படையாகக் கொண்டது:

இறுதியாக, எண் கோட்டின் தொடர்ச்சிக்கு மீண்டும் நன்றி, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை நாம் தீர்மானிக்க முடியும் அ எக்ஸ்ஏற்கனவே தன்னிச்சையாக . இதேபோல், தொடர்ச்சியின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி, எண் பதிவின் இருப்பை நிரூபிக்கிறோம் அ பிஎதற்கும் .

நீண்ட வரலாற்று காலத்திற்கு, கணிதவியலாளர்கள் பகுப்பாய்விலிருந்து தேற்றங்களை நிரூபித்துள்ளனர், "நுட்பமான இடங்களில்" வடிவியல் நியாயப்படுத்துதலைக் குறிப்பிடுகின்றனர், மேலும் அடிக்கடி - வெளிப்படையாக இருப்பதால் அவற்றை முழுவதுமாகத் தவிர்த்துவிட்டனர். தொடர்ச்சியின் அனைத்து முக்கியமான கருத்தும் தெளிவான வரையறை இல்லாமல் பயன்படுத்தப்பட்டது. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் கடைசி மூன்றில் மட்டுமே ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் கார்ல் வீர்ஸ்ட்ராஸ் பகுப்பாய்வை எண்கணிதமாக்கினார், உண்மையான எண்களின் முதல் கடுமையான கோட்பாட்டை எல்லையற்ற தசம பின்னங்களாக உருவாக்கினார். அவர் மொழியில் ஒரு வரம்பின் கிளாசிக்கல் வரையறையை முன்மொழிந்தார், அவருக்கு முன் "வெளிப்படையாக" கருதப்பட்ட பல அறிக்கைகளை நிரூபித்தார், அதன் மூலம் கணித பகுப்பாய்வின் அடித்தளத்தை உருவாக்கினார்.

பின்னர், உண்மையான எண்ணைத் தீர்மானிப்பதற்கான பிற அணுகுமுறைகள் முன்மொழியப்பட்டன. அச்சியல் அணுகுமுறையில், உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சி ஒரு தனி கோட்பாடாக வெளிப்படையாகக் காட்டப்படுகிறது. உண்மையான எண்களின் கோட்பாட்டிற்கான ஆக்கபூர்வமான அணுகுமுறைகளில், எடுத்துக்காட்டாக, Dedekind பிரிவுகளைப் பயன்படுத்தி உண்மையான எண்களை உருவாக்கும்போது, ​​தொடர்ச்சியின் சொத்து (ஒரு வடிவத்தில் அல்லது மற்றொரு வடிவத்தில்) ஒரு தேற்றமாக நிரூபிக்கப்படுகிறது.

3. தொடர்ச்சி மற்றும் சமமான வாக்கியங்களின் சொத்தின் பிற சூத்திரங்கள்

உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சியின் சொத்தை வெளிப்படுத்தும் பல்வேறு அறிக்கைகள் உள்ளன. இந்த கொள்கைகள் ஒவ்வொன்றும் தொடர்ச்சியின் கோட்பாடாக உண்மையான எண்ணின் கோட்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்படலாம், மற்ற அனைத்தும் அதிலிருந்து பெறப்படலாம். இந்த பிரச்சினை அடுத்த பகுதியில் இன்னும் விரிவாக விவாதிக்கப்படும்.

3.1 Dedekind படி தொடர்ச்சி

Dedekind தனது படைப்பான "தொடர்ச்சி மற்றும் விகிதாசார எண்கள்" இல் உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சியின் கேள்வியைக் கருதுகிறார். அதில், பகுத்தறிவு எண்களை நேர்கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளுடன் ஒப்பிடுகிறார். அறியப்பட்டபடி, தொடக்கப் புள்ளி மற்றும் பிரிவுகளின் அளவீட்டு அலகு வரியில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், ஒரு வரியில் உள்ள பகுத்தறிவு எண்கள் மற்றும் புள்ளிகளுக்கு இடையே ஒரு கடிதத்தை நிறுவ முடியும். பிந்தையதைப் பயன்படுத்தி, ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணுக்கும் அஉள்ளதா என்பதைப் பொறுத்து, தொடர்புடைய பிரிவை உருவாக்கி, வலது அல்லது இடதுபுறமாக வைக்கவும் அநேர்மறை அல்லது எதிர்மறை எண், ஒரு புள்ளியைப் பெறுங்கள் ப, எண்ணுடன் தொடர்புடையது அ. இவ்வாறு, ஒவ்வொரு பகுத்தறிவு எண்ணுக்கும் அஒரே ஒரு புள்ளி பொருந்தும் பஒரு நேர் கோட்டில்.

எந்த பகுத்தறிவு எண்ணுடனும் பொருந்தாத வரியில் எண்ணற்ற பல புள்ளிகள் உள்ளன என்று மாறிவிடும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு அலகு பிரிவில் கட்டப்பட்ட ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தின் நீளத்தை வரைவதன் மூலம் பெறப்பட்ட புள்ளி. எனவே, பகுத்தறிவு எண்களின் மண்டலத்தில் அது இல்லை முழுமை, அல்லது தொடர்ச்சி, இது ஒரு நேர் கோட்டில் இயல்பாக உள்ளது.

இந்த தொடர்ச்சி எதைக் கொண்டுள்ளது என்பதை அறிய, Dedekind பின்வரும் கருத்தை கூறுகிறார். என்றால் பவரியில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி உள்ளது, பின்னர் வரியின் அனைத்து புள்ளிகளும் இரண்டு வகுப்புகளாக விழும்: புள்ளிகள் இடதுபுறத்தில் அமைந்துள்ளன ப, மற்றும் வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள புள்ளிகள் ப. அதே புள்ளி பகீழ் அல்லது மேல் வகுப்பினருக்கு தன்னிச்சையாக ஒதுக்கப்படலாம். Dedekind தலைகீழ் கொள்கையில் தொடர்ச்சியின் சாரத்தைக் காண்கிறார்:

வடிவியல் ரீதியாக, இந்த கொள்கை வெளிப்படையானது, ஆனால் அதை நிரூபிக்க முடியவில்லை. சாராம்சத்தில், இந்தக் கொள்கையானது, நேரடியாகக் கூறப்படும் அந்தச் சொத்தின் சாரத்தை வெளிப்படுத்தும் ஒரு முன்மொழிவு என்று Dedekind வலியுறுத்துகிறது, அதை நாம் தொடர்ச்சி என்று அழைக்கிறோம்.

Dedekind என்ற பொருளில் எண் கோட்டின் தொடர்ச்சியின் சாராம்சத்தை நன்கு புரிந்து கொள்ள, உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் தன்னிச்சையான பகுதியைக் கவனியுங்கள், அதாவது, அனைத்து உண்மையான எண்களையும் காலியாக இல்லாத இரண்டு வகுப்புகளாகப் பிரிப்பது, இதனால் அனைத்து எண்களும் ஒரு வகுப்பின் அனைத்து எண்களின் இடதுபுறத்தில் உள்ள எண் கோட்டில் உள்ளது. அதன்படி இந்த வகுப்புகள் பெயரிடப்பட்டுள்ளன குறைந்தமற்றும் மேல் வகுப்புகள்பிரிவுகள். கோட்பாட்டில் 4 சாத்தியங்கள் உள்ளன:

1. கீழ் வகுப்பில் அதிகபட்ச உறுப்பு உள்ளது, மேல் வர்க்கத்திற்கு குறைந்தபட்சம் இல்லை
2. கீழ் வகுப்பினருக்கு அதிகபட்ச உறுப்பு இல்லை, ஆனால் மேல் வர்க்கத்திற்கு குறைந்தபட்சம் உள்ளது
3. கீழ் வர்க்கம் அதிகபட்சம் மற்றும் மேல் வர்க்கம் குறைந்தபட்ச கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது
4. கீழ் வகுப்பினருக்கு அதிகபட்சம் இல்லை, மேல் வகுப்பினருக்கு குறைந்தபட்ச கூறுகள் இல்லை

முதல் மற்றும் இரண்டாவது நிகழ்வுகளில், முறையே கீழே உள்ள அதிகபட்ச உறுப்பு அல்லது மேல் குறைந்தபட்ச உறுப்பு இந்த பகுதியை உருவாக்குகிறது. மூன்றாவது வழக்கில் எங்களிடம் உள்ளது பாய்ச்சல், மற்றும் நான்காவது - விண்வெளி. எனவே, எண் கோட்டின் தொடர்ச்சி என்பது உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில் தாவல்கள் அல்லது இடைவெளிகள் இல்லை, அதாவது அடையாளப்பூர்வமாகப் பார்த்தால், வெற்றிடங்கள் இல்லை.

உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் ஒரு பிரிவின் கருத்தை நாம் அறிமுகப்படுத்தினால், Dedekind இன் தொடர்ச்சியின் கொள்கையை பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்.

Dedekind இன் தொடர்ச்சியின் கொள்கை (முழுமை). உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் ஒவ்வொரு பகுதிக்கும், இந்தப் பிரிவை உருவாக்கும் எண் உள்ளது.

கருத்து. இரண்டு தொகுப்புகளைப் பிரிக்கும் ஒரு புள்ளியின் இருப்பு பற்றிய தொடர்ச்சியின் கோட்பாட்டின் உருவாக்கம் Dedekind இன் தொடர்ச்சிக் கொள்கையின் உருவாக்கத்தை மிகவும் நினைவூட்டுகிறது. உண்மையில், இந்த அறிக்கைகள் சமமானவை மற்றும் அடிப்படையில் ஒரே விஷயத்தின் வெவ்வேறு சூத்திரங்கள். எனவே, இந்த இரண்டு அறிக்கைகளும் அழைக்கப்படுகின்றன உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சியின் Dedekind கொள்கை.

3.2 உள்ளமை பிரிவுகளில் லெம்மா (Cauchy-Cantor கொள்கை)

உள்ளமைக்கப்பட்ட பிரிவுகளில் லெம்மா (Cauchy - Cantor). உள்ளமை பிரிவுகளின் எந்த அமைப்பும்

காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டு உள்ளது, அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பின் அனைத்து பிரிவுகளுக்கும் சொந்தமான குறைந்தபட்சம் ஒரு எண் உள்ளது.

கூடுதலாக, கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பின் பிரிவுகளின் நீளம் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அதாவது

இந்த அமைப்பின் பிரிவுகளின் குறுக்குவெட்டு ஒரு புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது.

இந்த சொத்து அழைக்கப்படுகிறது கேண்டரின் பொருளில் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் தொடர்ச்சி. ஆர்க்கிமிடியன் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலங்களுக்கு, கேண்டரின் படி தொடர்ச்சி என்பது டெடெகைண்டின் படி தொடர்ச்சிக்கு சமம் என்பதை கீழே காண்பிப்போம்.

3.3 உயர்ந்த கொள்கை

உயர்ந்த கொள்கை. மேலே வரம்புக்குட்பட்ட உண்மையான எண்களின் வெறுமையற்ற ஒவ்வொரு தொகுப்புக்கும் உச்சநிலை உள்ளது.

கால்குலஸ் படிப்புகளில், இந்த முன்மொழிவு பொதுவாக ஒரு தேற்றம் மற்றும் அதன் ஆதாரம் அடிப்படையில் சில வடிவத்தில் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் தொடர்ச்சியைப் பயன்படுத்துகிறது. அதே சமயம், இதற்கு மாறாக, மேலே வரம்புக்குட்பட்ட எந்தவொரு வெறுமையற்ற தொகுப்பிற்கும் ஒரு உச்சநிலை இருப்பதை முன்வைக்க முடியும், மேலும் இதை நம்பி, எடுத்துக்காட்டாக, டெட்கைண்டின் படி தொடர்ச்சியின் கொள்கையை நிரூபிக்க முடியும். எனவே, உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சியின் சொத்தின் சமமான சூத்திரங்களில் உச்ச தேற்றம் ஒன்றாகும்.

கருத்து. உச்சநிலைக்கு பதிலாக, இன்ஃபிமம் என்ற இரட்டைக் கருத்தை ஒருவர் பயன்படுத்தலாம்.

இன்ஃபிமமின் கொள்கை. கீழே இருந்து வரம்புக்குட்பட்ட உண்மையான எண்களின் ஒவ்வொரு வெறுமையற்ற தொகுப்பும் ஒரு இன்ஃபிமம் உள்ளது.

இந்த முன்மொழிவு Dedekind இன் தொடர்ச்சி கொள்கைக்கு சமமானதாகும். மேலும், உச்ச தேற்றத்தின் அறிக்கையானது இன்ஃபிமம் தேற்றத்தின் அறிக்கையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்தொடர்கிறது, மேலும் நேர்மாறாகவும் (கீழே காண்க) என்பதைக் காட்டலாம்.

3.4 ஃபைனிட் கவர் லெம்மா (ஹைன்-போரல் கொள்கை)

ஃபினிட் கவர் லெம்மா (ஹெய்ன் - போரல்). ஒரு பிரிவை உள்ளடக்கிய இடைவெளிகளின் எந்த அமைப்பிலும், இந்த பிரிவை உள்ளடக்கிய ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணை அமைப்பு உள்ளது.

3.5 வரம்பு புள்ளி லெம்மா (போல்சானோ-வீயர்ஸ்ட்ராஸ் கொள்கை)

வரம்பு புள்ளி லெம்மா (போல்சானோ - வீயர்ஸ்ட்ராஸ்). ஒவ்வொரு எல்லையற்ற வரையறுக்கப்பட்ட எண் தொகுப்பு குறைந்தது ஒரு வரம்பு புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது.

4. உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் தொடர்ச்சியை வெளிப்படுத்தும் வாக்கியங்களின் சமன்பாடு

சில பூர்வாங்கக் குறிப்புகளைச் செய்வோம். உண்மையான எண்ணின் அச்சு வரையறையின்படி, உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு மூன்று குழுக்களின் கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. முதல் குழு புல கோட்பாடுகள். உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு ஒரு நேர்கோட்டு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பாகும், மேலும் வரிசை உறவு புலத்தின் அடிப்படை செயல்பாடுகளுடன் ஒத்துப்போகிறது என்ற உண்மையை இரண்டாவது குழு வெளிப்படுத்துகிறது. எனவே, கோட்பாடுகளின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது குழுக்கள் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலத்தைக் குறிக்கிறது. கோட்பாடுகளின் மூன்றாவது குழு ஒரு கோட்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது - தொடர்ச்சியின் கோட்பாடு (அல்லது முழுமை).

உண்மையான எண்களின் தொடர்ச்சியின் வெவ்வேறு சூத்திரங்களின் சமநிலையைக் காட்ட, இந்த அறிக்கைகளில் ஒன்று வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலத்திற்கு இருந்தால், மற்ற எல்லாவற்றின் செல்லுபடியும் இதிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது என்பதை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம்.

தேற்றம். ஒரு தன்னிச்சையான நேரியல் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பாக இருக்கட்டும். பின்வரும் அறிக்கைகள் சமமானவை:

இந்த தேற்றத்திலிருந்து பார்க்க முடிந்தால், இந்த நான்கு வாக்கியங்களும் நேரியல் வரிசை உறவு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டதை மட்டுமே பயன்படுத்துகின்றன, மேலும் புலத்தின் கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்த வேண்டாம். இவ்வாறு, அவை ஒவ்வொன்றும் நேரியல் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பின் சொத்தை வெளிப்படுத்துகின்றன. இந்த சொத்து (தன்னிச்சையான நேரியல் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பின், உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு அவசியமில்லை) அழைக்கப்படுகிறது Dedekind படி, தொடர்ச்சி, அல்லது முழுமை.

மற்ற வாக்கியங்களின் சமத்துவத்தை நிரூபிக்க ஏற்கனவே ஒரு புல அமைப்பு இருக்க வேண்டும்.

தேற்றம். தன்னிச்சையான வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலமாக இருக்கட்டும். பின்வரும் வாக்கியங்கள் சமமானவை:

கருத்து. தேற்றத்தில் இருந்து பார்க்க முடியும், உள்ளமை பிரிவுகளின் கொள்கை சமமாக இல்லை Dedekind இன் தொடர்ச்சியின் கொள்கை. Dedekind இன் தொடர்ச்சிக் கொள்கையில் இருந்து உள்ளமைக்கப்பட்ட பிரிவுகளின் கொள்கை பின்பற்றப்படுகிறது, ஆனால் மாற்றத்திற்கு, ஆர்க்கிமிடிஸ் கோட்பாட்டைத் திருப்திப்படுத்த வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலம் கூடுதலாக தேவைப்படுகிறது.

மேற்கூறிய தேற்றங்களின் ஆதாரத்தை கீழே உள்ள குறிப்பு பட்டியலில் இருந்து புத்தகங்களில் காணலாம்.

குறிப்புகள்

1. ஜோரிச், வி. ஏ.கணித பகுப்பாய்வு. பகுதி I. - எட். 4வது, ரெவ். - எம்.: "எம்சிஎன்எம்ஓ", 2002. - பி. 43.
2. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு உண்மையான எண்ணின் அச்சோமாடிக் வரையறையுடன், Dedekind இன் தொடர்ச்சியின் கொள்கை கோட்பாடுகளின் எண்ணிக்கையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் Dedekind இன் பிரிவுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு உண்மையான எண்ணின் ஆக்கபூர்வமான வரையறையுடன், அதே அறிக்கை ஏற்கனவே ஒரு தேற்றம் - எடுத்துக்காட்டாக பார்க்கவும் ஃபிக்டெங்கோல்ட்ஸ், ஜி.எம்.
3. குத்ரியாவ்ட்சேவ், எல்.டி.கணித பகுப்பாய்வு பாடநெறி. - 5வது பதிப்பு. - எம்.: "பஸ்டர்ட்", 2003. - டி. 1. - பி. 38.
4. குத்ரியாவ்ட்சேவ், எல்.டி.கணித பகுப்பாய்வு பாடநெறி. - 5வது பதிப்பு. - எம்.: "பஸ்டர்ட்", 2003. - டி. 1. - பி. 84.
5. ஜோரிச், வி. ஏ.கணித பகுப்பாய்வு. பகுதி I. - எட். 4வது, ரெவ்.. - எம்.: “எம்சிஎன்எம்ஓ”, 2002. - பி. 81.
6. டெட்கிண்ட், ஆர்.தொடர்ச்சி மற்றும் விகிதாசார எண்கள் - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4வது திருத்தப்பட்ட பதிப்பு. - ஒடெசா: மாதிஸிஸ், 1923. - 44 பக்.

இலக்கியம்

• குத்ரியாவ்ட்சேவ், எல்.டி.கணித பகுப்பாய்வு பாடநெறி. - 5வது பதிப்பு. - எம்.: "ட்ரோஃபா", 2003. - டி. 1. - 704 பக். - ISBN 5-7107-4119-1
• ஃபிக்டெங்கோல்ட்ஸ், ஜி.எம்.கணித பகுப்பாய்வின் அடிப்படைகள். - 7வது பதிப்பு. - எம்.: "ஃபிஸ்மாட்லிட்", 2002. - டி. 1. - 416 பக். - ISBN 5-9221-0196-X
• டெட்கிண்ட், ஆர்.தொடர்ச்சி மற்றும் விகிதாசார எண்கள் - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4வது திருத்தப்பட்ட பதிப்பு. - ஒடெசா: மாதிஸிஸ், 1923. - 44 பக். , ட்யூரிங் முழுமை , ஒரு தொகுப்பின் பகிர்வு , ஒரு தொகுப்பின் மாறுபாடு , ஒரு தொகுப்பின் பட்டம் .