ஒரு குவிந்த நாற்கரம் என்பது நான்கு பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு உருவமாகும், இது செங்குத்துகளில் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டு, பக்கங்களுடன் நான்கு கோணங்களை உருவாக்குகிறது, அதே சமயம் நாற்கரமானது அதன் பக்கங்களில் ஒன்று அமைந்துள்ள நேர் கோட்டுடன் தொடர்புடைய ஒரே விமானத்தில் எப்போதும் இருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், முழு உருவமும் அதன் எந்தப் பக்கத்திலும் ஒரு பக்கத்தில் உள்ளது.

உடன் தொடர்பில் உள்ளது

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வரையறை நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது.

அடிப்படை பண்புகள் மற்றும் வகைகள்

நான்கு மூலைகள் மற்றும் பக்கங்களைக் கொண்ட நமக்குத் தெரிந்த அனைத்து புள்ளிவிவரங்களும் குவிந்த நாற்கரங்களுக்கு காரணமாக இருக்கலாம். பின்வருவனவற்றை வேறுபடுத்தி அறியலாம்:

1. இணைகரம்;
2. சதுரம்;
3. செவ்வகம்;
4. ட்ரேப்சாய்டு;
5. ரோம்பஸ்.

இந்த புள்ளிவிவரங்கள் அனைத்தும் அவை நாற்கோணமாக இருப்பதன் மூலம் மட்டுமல்ல, அவை குவிந்தவை என்பதாலும் ஒன்றுபட்டுள்ளன. வரைபடத்தைப் பாருங்கள்:

படம் ஒரு குவிந்த ட்ரேப்சாய்டைக் காட்டுகிறது. ட்ரேப்சாய்டு ஒரே விமானத்தில் அல்லது பிரிவின் ஒரு பக்கத்தில் இருப்பதை இங்கே காணலாம். நீங்கள் இதே போன்ற செயல்களைச் செய்தால், மற்ற எல்லா பக்கங்களிலும், ட்ரெப்சாய்டு குவிந்துள்ளது என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம்.

இணையான வரைபடம் என்பது குவிந்த நாற்கரமா?

மேலே ஒரு இணையான வரைபடம் உள்ளது. படத்தில் இருந்து பார்க்க முடியும், இணையான வரைபடமும் குவிந்திருக்கும். AB, BC, CD மற்றும் AD ஆகிய பிரிவுகள் இருக்கும் கோடுகளைப் பொறுத்து உருவத்தைப் பார்த்தால், இந்த வரிகளிலிருந்து அது எப்போதும் ஒரே விமானத்தில் இருப்பது தெளிவாகிறது. ஒரு இணையான வரைபடத்தின் முக்கிய அம்சங்கள் என்னவென்றால், அதன் பக்கங்கள் ஜோடியாக இணையாகவும், எதிரெதிர் கோணங்கள் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருப்பதைப் போலவே சமமாகவும் இருக்கும்.

இப்போது, ​​ஒரு சதுரம் அல்லது ஒரு செவ்வகத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள். அவற்றின் முக்கிய பண்புகளின்படி, அவை இணையான வரைபடங்களாகும், அதாவது, அவற்றின் அனைத்து பக்கங்களும் இணையாக ஜோடிகளாக அமைக்கப்பட்டிருக்கும். ஒரு செவ்வகத்தின் விஷயத்தில் மட்டுமே, பக்கங்களின் நீளம் வித்தியாசமாக இருக்கும், மற்றும் கோணங்கள் சரியாக இருக்கும் (90 டிகிரிக்கு சமம்), சதுரம் என்பது ஒரு செவ்வகமாகும், இதில் அனைத்து பக்கங்களும் சமமாகவும் கோணங்களும் சரியாகவும் இருக்கும், அதே நேரத்தில் நீளம் ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பக்கங்களும் கோணங்களும் வேறுபட்டிருக்கலாம்.

இதன் விளைவாக, நாற்கரத்தின் நான்கு மூலைகளின் கூட்டுத்தொகை 360 டிகிரிக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். இதை தீர்மானிக்க எளிதான வழி ஒரு செவ்வகமாகும்: செவ்வகத்தின் நான்கு மூலைகளும் சரியானவை, அதாவது 90 டிகிரிக்கு சமம். இந்த 90 டிகிரி கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 360 டிகிரியை அளிக்கிறது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், நீங்கள் 90 டிகிரியை 4 முறை சேர்த்தால், நீங்கள் விரும்பிய முடிவைப் பெறுவீர்கள்.

ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் சொத்து

ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டுகின்றன. உண்மையில், இந்த நிகழ்வை பார்வைக்குக் காணலாம், படத்தைப் பாருங்கள்:

இடதுபுறத்தில் உள்ள படம் குவிந்த நாற்கரம் அல்லது நாற்கரத்தைக் காட்டுகிறது. உன் இஷ்டம் போல். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மூலைவிட்டங்கள் குறுக்கிடவில்லை, குறைந்தபட்சம் அவை அனைத்தும் இல்லை. வலதுபுறத்தில் ஒரு குவிந்த நாற்கரம் உள்ளது. இங்கே குறுக்கிடுவதற்கான மூலைவிட்டங்களின் பண்பு ஏற்கனவே கவனிக்கப்படுகிறது. அதே சொத்தை நாற்கரத்தின் குவிவின் அடையாளமாகக் கருதலாம்.

ஒரு நாற்கரத்தின் குவிவுத்தன்மையின் பிற பண்புகள் மற்றும் அறிகுறிகள்

குறிப்பாக, இந்த வார்த்தையின் படி, எந்தவொரு குறிப்பிட்ட பண்புகள் மற்றும் அம்சங்களை பெயரிடுவது மிகவும் கடினம். இந்த வகையின் பல்வேறு வகையான நாற்கரங்களின்படி தனிமைப்படுத்துவது எளிது. நீங்கள் ஒரு இணையான வரைபடத்துடன் தொடங்கலாம். இது ஒரு நாற்கர உருவம் என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம், அதன் பக்கங்கள் ஜோடியாக இணையாகவும் சமமாகவும் இருக்கும். அதே நேரத்தில், இது ஒரு இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டங்களின் சொத்துக்களையும், அதே போல் உருவத்தின் குவிவுத்தன்மையின் அடையாளத்தையும் உள்ளடக்கியது: இணையான வரைபடம் எப்போதும் ஒரே விமானத்தில் மற்றும் எதனுடன் ஒப்பிடும்போது ஒரு பக்கத்தில் இருக்கும். அதன் பக்கங்களில்.

அதனால், முக்கிய அம்சங்கள் மற்றும் பண்புகள் அறியப்படுகின்றன:

1. ஒரு நாற்கரத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 360 டிகிரி;
2. உருவங்களின் மூலைவிட்டங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன.

செவ்வகம். இந்த எண்ணிக்கை ஒரு இணையான வரைபடத்தின் அனைத்து பண்புகளையும் அம்சங்களையும் கொண்டுள்ளது, ஆனால் அதன் அனைத்து கோணங்களும் 90 டிகிரிக்கு சமம். எனவே பெயர், செவ்வகம்.

சதுரம், அதே இணையான வரைபடம், ஆனால் அதன் மூலைகள் ஒரு செவ்வகம் போல சரியாக இருக்கும். இதன் காரணமாக, ஒரு சதுரம் அரிதாக ஒரு செவ்வகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஆனால் ஒரு சதுரத்தின் முக்கிய தனித்துவமான அம்சம், ஏற்கனவே மேலே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளவற்றுடன் கூடுதலாக, அதன் நான்கு பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும்.

ட்ரேப்சாய்டு மிகவும் சுவாரஸ்யமான உருவம்.. இதுவும் ஒரு நாற்கரமானது மற்றும் குவிந்துள்ளது. இந்த கட்டுரையில், ட்ரெப்சாய்டு ஏற்கனவே ஒரு வரைபடத்தின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி கருதப்படுகிறது. அவளும் குவிந்தவள் என்பது தெளிவாகிறது. முக்கிய வேறுபாடு, மற்றும், அதன்படி, ஒரு ட்ரெப்சாய்டின் அடையாளம் என்னவென்றால், அதன் பக்கங்களும் நீளத்திலும், அதன் கோணங்களின் மதிப்பிலும் முற்றிலும் சமமாக இருக்காது. இந்த வழக்கில், உருவத்தை உருவாக்கும் பிரிவுகளுடன் அதன் எந்த இரண்டு செங்குத்துகளையும் இணைக்கும் எந்த நேர்கோடுகளையும் பொறுத்து உருவம் எப்போதும் ஒரே விமானத்தில் இருக்கும்.

ரோம்பஸ் ஒரு சமமான சுவாரஸ்யமான உருவம். ஓரளவு ஒரு ரோம்பஸை ஒரு சதுரமாகக் கருதலாம். ஒரு ரோம்பஸின் அடையாளம் என்னவென்றால், அதன் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டுவது மட்டுமல்லாமல், ரோம்பஸின் மூலைகளை பாதியாகப் பிரிக்கின்றன, மேலும் மூலைவிட்டங்கள் சரியான கோணங்களில் வெட்டுகின்றன, அதாவது அவை செங்குத்தாக உள்ளன. ரோம்பஸின் பக்கங்களின் நீளம் சமமாக இருந்தால், குறுக்குவெட்டில் மூலைவிட்டங்களும் பாதியாக பிரிக்கப்படுகின்றன.

டெல்டாய்டுகள் அல்லது குவிந்த ரோம்பாய்டுகள் (ரோம்பஸ்கள்)வெவ்வேறு பக்க நீளங்களைக் கொண்டிருக்கலாம். ஆனால் அதே நேரத்தில், ரோம்பஸின் முக்கிய பண்புகள் மற்றும் அம்சங்கள் மற்றும் குவிவு அம்சங்கள் மற்றும் பண்புகள் இரண்டும் இன்னும் பாதுகாக்கப்படுகின்றன. அதாவது, மூலைவிட்டங்கள் மூலைகளை இரண்டாகப் பிரிப்பதையும், செங்கோணங்களில் வெட்டுவதையும் நாம் அவதானிக்கலாம்.

இன்றைய பணியானது குவிந்த நாற்கரங்கள் என்றால் என்ன, அவை என்ன மற்றும் அவற்றின் முக்கிய அம்சங்கள் மற்றும் பண்புகள் ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொண்டு புரிந்துகொள்வதாகும். கவனம்! ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 360 டிகிரி என்பதை மீண்டும் நினைவுபடுத்துவது மதிப்பு. உருவங்களின் சுற்றளவு, எடுத்துக்காட்டாக, உருவத்தை உருவாக்கும் அனைத்து பிரிவுகளின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். நாற்கரங்களின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் பின்வரும் கட்டுரைகளில் விவாதிக்கப்படும்.

குவிந்த நாற்கரங்களின் வகைகள்

பலகோணத்தின் கருத்து

வரையறை 1

பலகோணம்ஒரு விமானத்தில் வடிவியல் உருவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஜோடியாக ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்ட பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளது, அதன் அண்டை ஒரு நேர் கோட்டில் இல்லை.

இந்த வழக்கில், பிரிவுகள் அழைக்கப்படுகின்றன பலகோண பக்கங்கள், மற்றும் அவற்றின் முனைகள் பலகோண முனைகள்.

வரையறை 2

$n$-gon என்பது $n$ முனைகளைக் கொண்ட பலகோணம்.

பலகோணங்களின் வகைகள்

வரையறை 3

ஒரு பலகோணம் அதன் பக்கங்களைக் கடந்து செல்லும் எந்தவொரு கோட்டின் ஒரு பக்கத்தில் எப்போதும் அமைந்திருந்தால், அது பலகோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. குவிந்த(வரைபடம். 1).

படம் 1. குவிந்த பலகோணம்

வரையறை 4

பலகோணம் அதன் பக்கங்கள் வழியாக செல்லும் குறைந்தபட்சம் ஒரு நேர்கோட்டின் எதிர் பக்கங்களில் அமைந்திருந்தால், பலகோணம் குவிந்ததல்ல (படம் 2) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

படம் 2. குவிவு அல்லாத பலகோணம்

பலகோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை

ஒரு -கோனின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் தேற்றத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.

தேற்றம் 1

ஒரு குவிவு-கோனின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ஆதாரம்.

ஒரு குவிந்த பலகோணம் $A_1A_2A_3A_4A_5\dts A_n$ கொடுக்கலாம். கொடுக்கப்பட்ட பலகோணத்தின் மற்ற எல்லா முனைகளிலும் அதன் உச்சி $A_1$ ஐ இணைக்கவும் (படம் 3).

படம் 3

அத்தகைய இணைப்புடன், $n-2$ முக்கோணங்களைப் பெறுகிறோம். அவற்றின் கோணங்களைச் சுருக்கி, கொடுக்கப்பட்ட -கோனின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பெறுகிறோம். ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $(180)^0,$ என்பதால் குவிவு-கோனின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு நாற்கரத்தின் கருத்து

$2$ இன் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, ஒரு நாற்கரத்தின் வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவது எளிது.

வரையறை 5

ஒரு நாற்கரமானது $4$ செங்குத்துகளைக் கொண்ட பலகோணம் ஆகும் (படம் 4).

படம் 4. நாற்கர

ஒரு நாற்கரத்திற்கு, ஒரு குவிந்த நாற்கரம் மற்றும் ஒரு குவிந்த நாற்கரம் ஆகியவற்றின் கருத்துகள் இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகின்றன. குவிந்த நாற்கரங்களின் பாரம்பரிய எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு சதுரம், ஒரு செவ்வகம், ஒரு ட்ரேப்சாய்டு, ஒரு ரோம்பஸ், ஒரு இணையான வரைபடம் (படம் 5).

படம் 5. குவிந்த நாற்கரங்கள்

தேற்றம் 2

ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $(360)^0$ ஆகும்

ஆதாரம்.

தேற்றம் $1$ மூலம், ஒரு குவிவு-கோனின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை நாம் அறிவோம்.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

எனவே, ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை

\[\இடது(4-2\வலது)\cdot (180)^0=(360)^0\]

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

8 ஆம் வகுப்பில், பள்ளியில் வடிவியல் பாடங்களில், மாணவர்கள் முதல் முறையாக குவிந்த பலகோணத்தின் கருத்தைப் பற்றி அறிந்து கொள்கிறார்கள். இந்த எண்ணிக்கை மிகவும் சுவாரஸ்யமான சொத்து என்பதை மிக விரைவில் அவர்கள் அறிந்து கொள்வார்கள். அது எவ்வளவு சிக்கலானதாக இருந்தாலும், குவிந்த பலகோணத்தின் அனைத்து உள் மற்றும் வெளிப்புற கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பைப் பெறுகிறது. இந்தக் கட்டுரையில், கணிதம் மற்றும் இயற்பியலில் ஒரு ஆசிரியர் குவிந்த பலகோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன என்பதைப் பற்றி பேசுகிறார்.

குவிந்த பலகோணத்தின் உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை

இந்த சூத்திரத்தை எவ்வாறு நிரூபிப்பது?

இந்த அறிக்கையின் ஆதாரத்திற்குச் செல்வதற்கு முன், எந்த பலகோணம் குவிந்ததாக அழைக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவுபடுத்துகிறோம். ஒரு பலகோணம் அதன் எந்தப் பக்கத்தையும் கொண்ட கோட்டின் ஒரு பக்கத்தில் முழுமையாக அமைந்திருந்தால் அது குவிவு எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, இந்த படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது:

பலகோணம் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யவில்லை என்றால், அது குவிவு அல்லாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக, இது போன்றது:

குவிந்த பலகோணத்தின் உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை , பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை.

இந்த உண்மையின் ஆதாரம் ஒரு முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது அனைத்து பள்ளி மாணவர்களுக்கும் நன்கு தெரியும். இந்தத் தேற்றத்தை நீங்கள் நன்கு அறிந்திருப்பீர்கள் என்று நான் உறுதியாக நம்புகிறேன். ஒரு முக்கோணத்தின் உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை .

ஒரு குவிந்த பலகோணத்தை பல முக்கோணங்களாகப் பிரிப்பதே யோசனை. இதை வெவ்வேறு வழிகளில் செய்யலாம். நாம் தேர்ந்தெடுக்கும் முறையைப் பொறுத்து, சான்றுகள் சற்று வித்தியாசமாக இருக்கும்.

1. ஒரு குவிந்த பலகோணத்தை சில உச்சியிலிருந்து வரையப்பட்ட அனைத்து மூலைவிட்டங்களால் முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கவும். எங்கள் n-gon முக்கோணங்களாக பிரிக்கப்படும் என்பதை புரிந்துகொள்வது எளிது:

மேலும், விளைந்த அனைத்து முக்கோணங்களின் அனைத்து கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை நமது n-gon இன் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இதன் விளைவாக வரும் முக்கோணங்களில் உள்ள ஒவ்வொரு கோணமும் நமது குவிந்த பலகோணத்தில் ஒரு பகுதி கோணமாகும். அதாவது, தேவையான அளவு சமம்.

2. நீங்கள் குவிந்த பலகோணத்திற்குள் ஒரு புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து, அதை அனைத்து முனைகளிலும் இணைக்கலாம். பின்னர் எங்கள் n-gon முக்கோணங்களாக பிரிக்கப்படும்:

மேலும், இந்த வழக்கில் நமது பலகோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையானது, இந்த அனைத்து முக்கோணங்களின் அனைத்து கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், இது மையக் கோணத்தைக் கழித்து, சமமாக இருக்கும். அதாவது, விரும்பிய தொகை மீண்டும் சமமாக இருக்கும்.

குவிந்த பலகோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை

இப்போது நம்மை நாமே கேள்வி கேட்டுக்கொள்ளலாம்: "ஒரு குவிந்த பலகோணத்தின் வெளிப்புற கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன?" இந்த கேள்விக்கு பின்வரும் வழியில் பதிலளிக்கலாம். ஒவ்வொரு வெளிப்புற மூலையும் தொடர்புடைய உள் மூலைக்கு அருகில் உள்ளது. எனவே இது சமம்:

பின்னர் அனைத்து வெளிப்புற கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை . அதாவது, இது சமம்.

இது மிகவும் வேடிக்கையான முடிவு. எந்தவொரு குவிவு n-gon இன் வெளிப்புற மூலைகளையும் ஒன்றன் பின் ஒன்றாக வரிசையாக ஒதுக்கி வைத்தால், இதன் விளைவாக முழு விமானமும் நிரப்பப்படும்.

இந்த சுவாரஸ்யமான உண்மையை பின்வருமாறு விளக்கலாம். சில குவிந்த பலகோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களையும் அது ஒரு புள்ளியில் ஒன்றிணைக்கும் வரை விகிதாசாரமாக குறைக்கலாம். இது நடந்த பிறகு, அனைத்து வெளிப்புற மூலைகளும் ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்று ஒதுக்கி வைக்கப்பட்டு, முழு விமானத்தையும் நிரப்பும்.

சுவாரஸ்யமான உண்மை, இல்லையா? மேலும் வடிவவியலில் இதுபோன்ற பல உண்மைகள் உள்ளன. எனவே வடிவவியலைக் கற்றுக் கொள்ளுங்கள் அன்பார்ந்த மாணவர்களே!

குவிந்த பலகோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எதற்கு சமம் என்பது குறித்த பொருள் செர்ஜி வலேரிவிச் என்பவரால் தயாரிக்கப்பட்டது.

பலகோணத்தின் கருத்து

வரையறை 1

பலகோணம்ஒரு விமானத்தில் வடிவியல் உருவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஜோடியாக ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்ட பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளது, அதன் அண்டை ஒரு நேர் கோட்டில் இல்லை.

இந்த வழக்கில், பிரிவுகள் அழைக்கப்படுகின்றன பலகோண பக்கங்கள், மற்றும் அவற்றின் முனைகள் பலகோண முனைகள்.

வரையறை 2

$n$-gon என்பது $n$ முனைகளைக் கொண்ட பலகோணம்.

பலகோணங்களின் வகைகள்

வரையறை 3

ஒரு பலகோணம் அதன் பக்கங்களைக் கடந்து செல்லும் எந்தவொரு கோட்டின் ஒரு பக்கத்தில் எப்போதும் அமைந்திருந்தால், அது பலகோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. குவிந்த(வரைபடம். 1).

படம் 1. குவிந்த பலகோணம்

வரையறை 4

பலகோணம் அதன் பக்கங்கள் வழியாக செல்லும் குறைந்தபட்சம் ஒரு நேர்கோட்டின் எதிர் பக்கங்களில் அமைந்திருந்தால், பலகோணம் குவிந்ததல்ல (படம் 2) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

படம் 2. குவிவு அல்லாத பலகோணம்

பலகோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை

ஒரு -கோனின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் தேற்றத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.

தேற்றம் 1

ஒரு குவிவு-கோனின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ஆதாரம்.

ஒரு குவிந்த பலகோணம் $A_1A_2A_3A_4A_5\dts A_n$ கொடுக்கலாம். கொடுக்கப்பட்ட பலகோணத்தின் மற்ற எல்லா முனைகளிலும் அதன் உச்சி $A_1$ ஐ இணைக்கவும் (படம் 3).

படம் 3

அத்தகைய இணைப்புடன், $n-2$ முக்கோணங்களைப் பெறுகிறோம். அவற்றின் கோணங்களைச் சுருக்கி, கொடுக்கப்பட்ட -கோனின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பெறுகிறோம். ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $(180)^0,$ என்பதால் குவிவு-கோனின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு நாற்கரத்தின் கருத்து

$2$ இன் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, ஒரு நாற்கரத்தின் வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவது எளிது.

வரையறை 5

ஒரு நாற்கரமானது $4$ செங்குத்துகளைக் கொண்ட பலகோணம் ஆகும் (படம் 4).

படம் 4. நாற்கர

ஒரு நாற்கரத்திற்கு, ஒரு குவிந்த நாற்கரம் மற்றும் ஒரு குவிந்த நாற்கரம் ஆகியவற்றின் கருத்துகள் இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகின்றன. குவிந்த நாற்கரங்களின் பாரம்பரிய எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு சதுரம், ஒரு செவ்வகம், ஒரு ட்ரேப்சாய்டு, ஒரு ரோம்பஸ், ஒரு இணையான வரைபடம் (படம் 5).

படம் 5. குவிந்த நாற்கரங்கள்

தேற்றம் 2

ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $(360)^0$ ஆகும்

ஆதாரம்.

தேற்றம் $1$ மூலம், ஒரு குவிவு-கோனின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை நாம் அறிவோம்.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

எனவே, ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை

\[\இடது(4-2\வலது)\cdot (180)^0=(360)^0\]

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

உடைந்த கோடு

வரையறை

உடைந்த கோடு, அல்லது குறுகிய, உடைந்த கோடு, பிரிவுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது முதல் பிரிவின் முனைகளில் ஒன்று இரண்டாவது முடிவாகவும், இரண்டாவது பிரிவின் மறுமுனை மூன்றாவது முடிவாகவும் செயல்படும். இந்த வழக்கில், அருகிலுள்ள பகுதிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லை. இந்த பிரிவுகள் பாலிலைன் இணைப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

உடைந்த கோட்டின் வகைகள்

உடைந்த கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது மூடப்பட்டதுமுதல் பிரிவின் ஆரம்பம் கடைசி பிரிவின் முடிவோடு ஒத்துப்போனால்.

உடைந்த கோடு தன்னைக் கடக்கலாம், தன்னைத் தொடலாம், தன் மீது சாய்ந்து கொள்ளலாம். அத்தகைய தனித்தன்மைகள் இல்லை என்றால், அத்தகைய உடைந்த கோடு அழைக்கப்படுகிறது எளிய.

பலகோணங்கள்

வரையறை

ஒரு எளிய மூடிய பாலிலைன், அதனுடன் இணைக்கப்பட்ட விமானத்தின் ஒரு பகுதி அழைக்கப்படுகிறது பலகோணம்.

கருத்து

பலகோணத்தின் ஒவ்வொரு முனையிலும், அதன் பக்கங்கள் பலகோணத்தின் சில கோணங்களை வரையறுக்கின்றன. இது வரிசைப்படுத்தப்பட்டதை விட குறைவாகவோ அல்லது வரிசைப்படுத்தப்பட்டதை விட அதிகமாகவோ இருக்கலாம்.

சொத்து

ஒவ்வொரு பலகோணமும் $180^\circ$ க்கும் குறைவான கோணத்தைக் கொண்டுள்ளது.

ஆதாரம்

பலகோணம் $P$ கொடுக்கப்பட வேண்டும்.

அதை வெட்டாத சில நேர்க்கோட்டை வரைவோம். நாம் அதை பலகோணத்தின் பக்கத்திற்கு இணையாக நகர்த்துவோம். ஒரு கட்டத்தில், பலகோண $P$ உடன் குறைந்தபட்சம் ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்ட $a$ என்ற வரியை முதல் முறையாகப் பெறுகிறோம். பலகோணம் இந்தக் கோட்டின் ஒரு பக்கத்தில் உள்ளது (மேலும், அதன் சில புள்ளிகள் $a$ வரியில் உள்ளன).

$a$ என்ற வரியானது பலகோணத்தின் குறைந்தபட்சம் ஒரு உச்சியைக் கொண்டுள்ளது. அதன் இரு பக்கங்களும் அதில் ஒன்றிணைகின்றன, $a$ கோட்டின் ஒரே பக்கத்தில் அமைந்துள்ளது (அவற்றில் ஒன்று இந்தக் கோட்டில் இருக்கும் வழக்கு உட்பட). எனவே, இந்த உச்சியில், கோணம் வளர்ந்ததை விட குறைவாக உள்ளது.

வரையறை

பலகோணம் அழைக்கப்படுகிறது குவிந்தஅதன் பக்கத்தைக் கொண்டிருக்கும் ஒவ்வொரு வரியின் ஒரு பக்கத்தில் அது அமைந்திருந்தால். பலகோணம் குவிந்ததாக இல்லாவிட்டால், அது அழைக்கப்படுகிறது அல்லாத குவிந்த.

கருத்து

ஒரு குவிந்த பலகோணம் என்பது பலகோணத்தின் பக்கங்களைக் கொண்ட கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட அரை-தளங்களின் குறுக்குவெட்டு ஆகும்.

குவிந்த பலகோணத்தின் பண்புகள்

ஒரு குவிந்த பலகோணம் $180^\circ$ க்கும் குறைவான அனைத்து கோணங்களையும் கொண்டுள்ளது.

ஒரு குவிந்த பலகோணத்தின் ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளை (குறிப்பாக, அதன் மூலைவிட்டங்களில் ஏதேனும்) இணைக்கும் ஒரு கோடு பிரிவு இந்த பலகோணத்தில் உள்ளது.

ஆதாரம்

முதல் சொத்தை நிரூபிப்போம்

ஒரு குவிந்த பலகோணத்தின் $A$ எந்த மூலையையும் $P$ மற்றும் அதன் பக்க $A$ உச்சியில் இருந்து வரும் $A$ ஆகியவற்றை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். $l$ பக்க $a$ உள்ள ஒரு வரியாக இருக்கட்டும். பலகோணம் $P$ குவிந்திருப்பதால், அது $l$ கோட்டின் ஒரு பக்கத்தில் உள்ளது. எனவே, அதன் கோணம் $A$ இந்த வரியின் அதே பக்கத்தில் உள்ளது. எனவே $A$ கோணம் நேராக்கப்பட்ட கோணத்தை விட குறைவாக உள்ளது, அதாவது $180^\circ$ க்கும் குறைவாக உள்ளது.

இரண்டாவது சொத்தை நிரூபிப்போம்

ஒரு குவிந்த பலகோணத்தின் $A$ மற்றும் $B$ ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளை $P$ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். பலகோணம் $P$ என்பது பல அரை-விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு ஆகும். இந்த அரை-விமானங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் $AB$ என்ற பிரிவு உள்ளது. எனவே, இது $P$ பலகோணத்திலும் உள்ளது.

வரையறை

மூலைவிட்ட பலகோணம்அதன் அண்டை அல்லாத முனைகளை இணைக்கும் பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் (என்-கோனின் மூலைவிட்டங்களின் எண்ணிக்கையில்)

குவிந்த $n$-gonன் மூலைவிட்டங்களின் எண்ணிக்கை $\dfrac(n(n-3))(2)$ சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது.

ஆதாரம்

ஒரு n-gon இன் ஒவ்வொரு உச்சியிலிருந்தும் $n-3$ மூலைவிட்டங்களை வரையலாம் (அண்டை முனைகளுக்கும் இந்த உச்சிக்கும் ஒரு மூலைவிட்டத்தை வரைய முடியாது). அத்தகைய சாத்தியமான அனைத்து பிரிவுகளையும் நாம் எண்ணினால், $n$ செங்குத்துகள் இருப்பதால், $n\cdot(n-3)$ இருக்கும். ஆனால் ஒவ்வொரு மூலைவிட்டமும் இரண்டு முறை எண்ணப்படும். எனவே, n-gonன் மூலைவிட்டங்களின் எண்ணிக்கை $\dfrac(n(n-3))(2)$ ஆகும்.

தேற்றம் (என்-கோனின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில்)

ஒரு குவிந்த $n$-gon இன் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $180^\circ(n-2)$ ஆகும்.

ஆதாரம்

$n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$ ஐக் கவனியுங்கள்.

இந்த பலகோணத்திற்குள் $O$ ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுக்கவும்.

$A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ ஆகிய அனைத்து முக்கோணங்களின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $180^\circ\cdot n$ ஆகும்.

மறுபுறம், இந்தத் தொகையானது பலகோணத்தின் அனைத்து உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் மொத்தக் கோணம் $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

பின்னர் கருதப்படும் $n$-gon இன் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$க்கு சமம்.

விளைவு

குவிந்த $n$-gon இன் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $180^\circ(n-2)$ ஆகும்.

ஆதாரம்

பலகோணமான $A_1A_2\ldots A_n$, அதன் ஒரே கோணம் $\angle A_2$ குவிவு அல்ல, அதாவது $\angle A_2>180^\circ$.

அவர் பிடித்த $S$ தொகையைக் குறிக்கலாம்.

புள்ளிகளை இணைக்கவும் $A_1A_3$ மற்றும் பலகோணத்தை $A_1A_3\ldots A_n$ கருதவும்.

இந்த பலகோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

எனவே, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

அசல் பலகோணத்தில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட குவிவு அல்லாத மூலைகள் இருந்தால், மேலே விவரிக்கப்பட்ட செயல்பாட்டை ஒவ்வொரு மூலையிலும் செய்யலாம், இது உறுதிப்படுத்தல் நிரூபிக்கப்படும்.

தேற்றம் (ஒரு குவிந்த n-gon இன் வெளிப்புற கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில்)

குவிந்த $n$-gon இன் வெளிப்புறக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $360^\circ$ ஆகும்.

ஆதாரம்

$A_1$ உச்சியில் உள்ள வெளிப்புறக் கோணம் $180^\circ-\angle A_1$ ஆகும்.

அனைத்து வெளிப்புற கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை:

$\sum\liits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\liits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\சர்க்$.