நியமன சமன்பாடு ஒரு நேரடி இயல்பான திசையன் ஆகும். விமானத்தின் இயல்பான திசையன், விமானத்தின் சாதாரண திசையன் ஒருங்கிணைப்பு. இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

வழக்கமான திசையன் விமானம்(அல்லது சாதாரண விமானம்) கொடுக்கப்பட்டவற்றுக்கு செங்குத்தாக திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது விமானம். ஒரு விமானத்தை வரையறுப்பதற்கான முறைகளில் ஒன்று, அதன் இயல்பான மற்றும் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை குறிப்பிடுவது. விமானம். Ax+By+Cz+D=0 என்ற சமன்பாட்டால் விமானம் கொடுக்கப்பட்டால், ஆய (A;B;C) கொண்ட திசையன் அதற்குப் பொதுவானது. மற்ற சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு பொதுவான திசையன் கணக்கிட சில வேலை எடுக்கும்.

அறிவுறுத்தல்

1. விமானத்தை அதற்குச் சொந்தமான K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm), P(xp;yp;zp) என்ற மூன்று புள்ளிகளால் கொடுக்கலாம். ஒரு பொதுவான திசையனைக் கண்டுபிடிக்க, அதற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் விமானம். ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைக் குறிக்கவும் விமானம், எழுத்து L, அது ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டிருக்கட்டும் (x; y; z). இப்போது PK, PM மற்றும் PL ஆகிய மூன்று திசையன்களைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், அவை ஒரே மாதிரியாக உள்ளன விமானம்(coplanar), எனவே அவற்றின் கலப்பு தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்.

2. PK, PM மற்றும் PL திசையன்களின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்: PK = (xk-xp;yk-yp;zk-zp)PM = (xm-xp;ym-yp;zm-zp)PL = (x-xp;y-yp ; z-zp) இந்த வெக்டார்களின் கலப்புப் பலன் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள தீர்மானிக்கு சமமாக இருக்கும். சமன்பாட்டைக் கண்டறிய இந்த தீர்மானிப்பான் கணக்கிடப்பட வேண்டும் விமானம். ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கில் கலப்பு உற்பத்தியின் கணக்கீட்டிற்கு, உதாரணத்தைப் பார்க்கவும்.

3. எடுத்துக்காட்டு K(2;1;-2), M(0;0;-1) மற்றும் P(1;8;1) ஆகிய மூன்று புள்ளிகளால் விமானத்தை வரையறுக்கலாம். ஒரு பொதுவான திசையன் கண்டுபிடிக்க இது தேவைப்படுகிறது விமானம்ஆய (x;y;z) உடன் தன்னிச்சையான புள்ளி L ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். PK, PM மற்றும் PL திசையன்களைக் கணக்கிடுக: PK = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)PM = (0-1;0-8;-1-1) = (-1;-8;-2)PL = (x-1;y-8;z-1) வெக்டார்களின் கலப்புப் பெருக்கத்திற்கான தீர்மானிப்பான் (அது படத்தில் உள்ளது).

4. இப்போது முதல் வரியில் தீர்மானிப்பவரை விரிவுபடுத்தவும், அதன் பிறகு அளவு 2 ஐ தீர்மானிப்பவர்களின் மதிப்புகளை 2 ஆல் கணக்கிடவும். எனவே, சமன்பாடு விமானம்-10x + 5y - 15z - 15 \u003d 0 அல்லது, அதுவே, -2x + y - 3z - 3 \u003d 0. இங்கிருந்து சாதாரண திசையனைத் தீர்மானிப்பது எளிது விமானம்: n = (-2;1;-3).

எழுப்பப்பட்ட கேள்விக்கு பதிலளிப்பதற்கு முன், எந்த மாதிரியான இயல்பானவற்றைப் பார்க்க வேண்டும் என்பதைத் தீர்மானிக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், தோராயமாக, ஒரு குறிப்பிட்ட மேற்பரப்பு சிக்கலில் கருதப்படுகிறது.

அறிவுறுத்தல்

1. சிக்கலைத் தீர்க்கத் தொடங்கும் போது, ​​மேற்பரப்புக்கு இயல்பானது, தொடுவான விமானத்திற்கு இயல்பானதாக வரையறுக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். இதன் அடிப்படையில், தீர்வு முறை தேர்ந்தெடுக்கப்படும்.

2. 2 மாறிகளின் சார்பின் வரைபடம் z=f(x, y)=z(x, y) என்பது விண்வெளியில் ஒரு மேற்பரப்பு. இவ்வாறு, அடிக்கடி எல்லோரும் கேட்கிறார்கள். முதலில், நீங்கள் z0=z(x0, y0) என்ற இடத்தில் М0(x0, y0, z0) என்ற இடத்தில் மேற்பரப்பிற்கு தொடும் விமானத்தைக் கண்டறிய வேண்டும்.

3. இதைச் செய்ய, ஒரு வாதத்தின் சார்பின் வழித்தோன்றலின் வடிவியல் உணர்வு, y0=f(x0) புள்ளியில் உள்ள சார்பின் வரைபடத்தின் தொடுகோடுகளின் கோண அடுக்கு என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். 2 வாதங்களின் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் சாதாரண செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைப் போலவே "தேவையற்ற" வாதத்தை சரியாக சரிசெய்வதன் மூலம் கண்டறியப்படுகின்றன. இதன் பொருள், (x0,y0) புள்ளியில் உள்ள z=z(x, y) செயல்பாட்டின் x ஐப் பொறுத்தவரை பகுதி வழித்தோன்றலின் வடிவியல் அர்த்தம், அதன் கோண அடுக்கு குறுக்குவெட்டால் உருவாகும் சாய்வின் தொடுகோடு சமமாக இருக்கும். மேற்பரப்பு மற்றும் விமானம் y=y0 (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்).

4. படம் பிரதிபலித்தது தரவு. 1 y=y0: m(x-x0)=(z இல் உள்ள பிரிவில் М0(xo, y0, z0) புள்ளியைக் கொண்ட மேற்பரப்பு z=z(x, y) க்கு தொடுகோடு சமன்பாடு என்று முடிவு செய்ய அனுமதிக்கிறது. -z0), y =y0. நியமன வடிவத்தில் இது எழுத அனுமதிக்கப்படுகிறது: (x-x0)/(1/m)=(z-z0)/1, y=y0. வழிகாட்டுதல் என்று பொருள் திசையன்இந்த தொடுகோடு s1(1/m, 0, 1).

5. இப்போது, ​​y தொடர்பான பகுதி வழித்தோன்றலுக்கான தொடுகோடு கோண அடுக்கு n ஆல் குறிக்கப்பட்டால், முந்தைய வெளிப்பாட்டைப் போலவே இதுவும் (y-y0)/(1/n)=(z -z0), x=x0 மற்றும் s2( 0, 1/n, 1).

6. மேலும், தொடுகோடு விமானத்தின் சமன்பாட்டிற்கான தேடலின் வடிவில் தீர்வு இயக்கம் நிறுத்த அனுமதிக்கப்படுகிறது மற்றும் விரும்பிய இயல்பான n க்கு தடையின்றி செல்ல அனுமதிக்கப்படுகிறது. நீங்கள் அதை பெறலாம் திசையன்புதிய தயாரிப்பு n=. அதைக் கணக்கிட்ட பிறகு, மேற்பரப்பில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் (x0, y0, z0) தீர்மானிக்கப்படும். n=(-1/n, -1/m, 1/mn).

7. ஏனெனில் ஒவ்வொரு விகிதாசாரமும் திசையன்என்றும் இருக்கும் திசையன்ஓம் இயல்பானது, முடிவை n=(-n, -m, 1) மற்றும் இறுதியாக n(dz/dx, dz/dx, -1) என வழங்குவது மிகவும் வசதியானது.

தொடர்புடைய வீடியோக்கள்

குறிப்பு!
ஒரு திறந்த மேற்பரப்பு இரண்டு பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வழக்கில், முடிவு "மேல்" பக்கத்திற்கு வழங்கப்படுகிறது, அங்கு சாதாரணமானது 0Z அச்சுடன் கடுமையான கோணத்தை உருவாக்குகிறது.

க்கு திசையன்கள்வேலையின் இரண்டு பிரதிநிதித்துவங்கள் உள்ளன. அவற்றில் ஒன்று ஸ்கேலார் வேலை, மற்றொன்று திசையன். இந்த பிரதிநிதித்துவங்கள் ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த கணித மற்றும் இயற்பியல் உணர்வைக் கொண்டுள்ளன மற்றும் முற்றிலும் வேறுபட்ட முறையில் கணக்கிடப்படுகின்றன.

அறிவுறுத்தல்

1. முப்பரிமாண இடத்தில் இரண்டு திசையன்களைக் கவனியுங்கள். ஆயத்தொலைவுகளுடன் கூடிய திசையன் a (xa; ya; za) மற்றும் திசையன் b ஆயத்தொகுதிகளுடன் (xb; yb; zb). அளவுகோல் வேலை திசையன்கள் a மற்றும் b (a,b) ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன. இது சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது: (a,b) = |a|*|b|*cosα, α என்பது இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம். இது அளவிடுதலைக் கணக்கிட அனுமதிக்கப்படுகிறது. வேலைஒருங்கிணைப்புகளில்: (a,b) = xa*xb + ya*yb + za*zb. ஒரு வெக்டரின் ஸ்கேலார் சதுரத்தின் பிரதிநிதித்துவமும் உள்ளது, இது ஸ்கேலார் வேலைதிசையன் தன்னை நோக்கி: (a,a) = |a|² அல்லது ஆயங்களில் (a,a) = xa² + ya² + za². அளவிடல் வேலை திசையன்கள்இருப்பிடத்தைக் குறிக்கும் எண் திசையன்கள்ஒருவருக்கொருவர் பற்றி. பெரும்பாலும் இது திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கணக்கிடப் பயன்படுகிறது.

2. திசையன் வேலை திசையன்கள்சுட்டிக்காட்டப்படுகிறது. குறுக்கு உற்பத்தியின் விளைவாக, ஒரு திசையன் பெறப்படுகிறது, இது இரண்டு காரணி திசையன்களுக்கும் செங்குத்தாக உள்ளது, மேலும் இந்த திசையனின் நீளம் காரணி திசையன்களில் கட்டப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் பகுதிக்கு சமம். மேலும், மூன்று திசையன்கள் a, b மற்றும் வலது ட்ரிபிள் என்று அழைக்கப்படும் திசையன்கள்.திசையன் நீளம் = |a|*|b|*sinα, இதில் α என்பது திசையன்கள் a மற்றும் b இடையே உள்ள கோணம்.

தொடர்புடைய வீடியோக்கள்

நேரியல் இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலில், பிரதிநிதித்துவம் திசையன்வித்தியாசமாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இயற்கணிதத்தில் திசையன்ஓம் என்பது தனிமத்தின் பெயர் திசையன்அடி இடைவெளி. அதே வடிவவியலில் திசையன்ஓம் என்பது யூக்ளிடியன் ஸ்பேஸில் உள்ள வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி புள்ளிகள் - இது ஒரு இயக்கப்பட்ட பிரிவு. மேலே திசையன்நேரியல் செயல்பாடுகளை வரையறுத்துள்ளோம் - கூடுதலாக திசையன் ov மற்றும் பெருக்கல் திசையன்ஆனால் சில எண்ணிக்கைக்கு.

அறிவுறுத்தல்

1. முக்கோண விதி. கூட்டுத்தொகை 2 திசையன் ov a மற்றும் o பெயரிடப்பட்டுள்ளன திசையன், இதன் முன்னுரை ஆரம்பத்துடன் ஒத்துப்போகிறது திசையன் a a, மற்றும் முடிவு முடிவில் உள்ளது திசையன் a o, முன்னுரை திசையன்மற்றும் o இறுதியில் பொருந்துகிறது திசையன்அ. இந்த தொகையின் கட்டுமானம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

2. இணை வரைபடம் விதி திசையன் s a மற்றும் o க்கு ஒரு பொதுவான முன்னுரை உள்ளது. இவற்றை நிறைவு செய்வோம் திசையன்ஒரு இணையான வரைபடத்திற்கு கள். பிறகு தொகை திசையன் ovs a மற்றும் o தோற்றத்தில் இருந்து வெளிப்படும் இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டத்துடன் ஒத்துப்போகின்றன திசையன் ov a மற்றும் o.

3. பெரிய எண்ணின் கூட்டுத்தொகை திசையன்முக்கோண விதியை படிப்படியாகப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் ov ஐக் கண்டறியலாம். படம் நான்கின் கூட்டுத்தொகையைக் காட்டுகிறது திசையன் ov.

4. வேலை திசையன்மற்றும் ஒரு எண்ணுக்கு ஒரு? ஒரு எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது?அத்தகைய |?a| = |??| *|அ|. எண்ணால் பெருக்கினால் பெறப்பட்டது திசையன்ஆரம்பத்திற்கு இணையாக திசையன் y ஒன்று அதனுடன் ஒரே நேர்கோட்டில் இருக்கும். என்றால்? > 0, பிறகு திசையன் s a மற்றும்?a ஒரு திசையில் இருந்தால்?<0, то திசையன் s a மற்றும்? a வெவ்வேறு திசைகளில் இயக்கப்படுகின்றன.

தொடர்புடைய வீடியோக்கள்

ஒரு திசையன், ஒரு இயக்கிய பிரிவாக, அதன் நீளத்திற்கு சமமான முழுமையான மதிப்பை (மாடுலஸ்) மட்டுமல்ல. மற்றொரு முக்கிய இணைப்பு திசையன் திசையாகும். இது ஆய மற்றும் திசையன் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டைக் கண்டறியும் போது திசையன் கணக்கீடும் செய்யப்படுகிறது.

உனக்கு தேவைப்படும்

• - ஒரு திசையன் வரையறை;
• - திசையன்களின் பண்புகள்;
• - கால்குலேட்டர்;
• - பிராடிஸ் டேபிள் அல்லது பிசி.

அறிவுறுத்தல்

1. ஒரு திசையன் கணக்கிட, அதன் ஆயங்களை அறிய முடியும். இதைச் செய்ய, வெக்டரின் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்கவும். அவை (x1;y1) மற்றும் (x2;y2) க்கு சமமாக இருக்கட்டும். வெக்டரைக் கணக்கிட, அதன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும். இதைச் செய்ய, திசையன் முடிவின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து அதன் தொடக்கத்தின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கழிக்கவும். அவை (x2-x1;y2-y1) சமமாக இருக்கும். x= x2- x1 ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்; y= y2-y1, பின்னர் திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் (x;y) க்கு சமமாக இருக்கும்.

2. திசையன் நீளத்தை தீர்மானிக்கவும். இதை ஒரு ஆட்சியாளரைக் கொண்டு அளவிடுவதன் மூலம் எளிதாகச் செய்யலாம். ஆனால் திசையன் ஆயங்களை நீங்கள் அறிந்திருந்தால், நீளத்தை கணக்கிடுங்கள். இதைச் செய்ய, திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிந்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணிலிருந்து வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கவும். அப்போது வெக்டரின் நீளம் d=?(x?+y?) க்கு சமமாக இருக்கும்.

3. பின்னர், திசையன் திசையைக் கண்டறியவும். இதைச் செய்ய, கோணத்தை தீர்மானிக்கவா? அதற்கும் x-அச்சுக்கும் இடையில். இந்த கோணத்தின் தொடுகோடு திசையன் y-ஆயத்தின் விகிதத்திற்கு x-கோர்டினேட்டுக்கு சமமாக இருக்கும் (tg ?= y/x). கோணத்தைக் கண்டறிய, கால்குலேட்டர், பிராடிஸ் டேபிள் அல்லது பிசியில் ஆர்க்டேன்ஜென்ட் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும். திசையன் நீளம் மற்றும் அச்சுடன் தொடர்புடைய அதன் திசையை அறிந்தால், எந்த திசையன் இடத்திலும் இருப்பிடத்தைக் கண்டறிய முடியும்.

4. எடுத்துக்காட்டு: வெக்டரின் தொடக்கத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் (-3;5), மற்றும் முடிவின் ஆயத்தொலைவுகள் (1;7). திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும் (1-(-3);7-5)=(4;2). அப்போது அதன் நீளம் d=?(4?+2?)=?20?4.47 நேரியல் அலகுகளாக இருக்கும். திசையன் மற்றும் OX அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு tg ?=2/4=0.5 ஆக இருக்கும். இந்த கோணத்தின் வில் தொடுகோடு 26.6?.

5. ஒரு திசையனைக் கண்டறியவும், இது 2 திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை ஆகும், அதன் ஆயத்தொகுப்புகள் அறியப்படுகின்றன. இதைச் செய்ய, சேர்க்கும் திசையன்களின் தொடர்புடைய ஆயங்களைச் சேர்க்கவும். சேர்க்கப்படும் திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் முறையே (x1;y1) மற்றும் (x2;y2) எனில், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை ஆயத்தொகுதிகளுடன் ((x1+x2;y1+y2)) திசையன்களுக்குச் சமமாக இருக்கும். நீங்கள் 2 திசையன்களின் வேறுபாட்டைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளை முன்கூட்டியே பெருக்குவதன் மூலம் தொகையைக் கண்டறியவும், அது -1 ஆல் கழிக்கப்படுகிறது.

6. திசையன்கள் d1 மற்றும் d2 ஆகியவற்றின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம்?, கொசைன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும். இதைச் செய்ய, திசையன்களின் நீளங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிந்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணிலிருந்து இந்த நீளங்களின் பெருக்கத்தை இருமுறை கழிக்கவும், அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனால் பெருக்கவும். இதன் விளைவாக வரும் எண்ணின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இது திசையன் நீளமாக இருக்கும், இது 2 கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையாகும் (d=?(d1?+d2?-d1?d2?Cos(?)).

தேடல் பணி திசையன் இயல்பானவர்கள்ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோடு மற்றும் விண்வெளியில் ஒரு விமானம் மிகவும் பழமையானது. உண்மையில், இது ஒரு நேர் கோடு அல்லது ஒரு விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடுகளின் பதிவுடன் முடிவடைகிறது. ஒவ்வொன்றின் விமானத்திலும் உள்ள வளைவு என்பது விண்வெளியில் ஒரு மேற்பரப்பின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு மட்டுமே என்பதிலிருந்து, மேற்பரப்பிற்கான இயல்பான நிலைகள் விவாதிக்கப்படும்.

அறிவுறுத்தல்

1. 1 வது முறை இந்த முறை மிகவும் பழமையானது, ஆனால் அதை புரிந்து கொள்ள ஒரு அளவிடல் புலத்தை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் திறன் தேவைப்படுகிறது. இருப்பினும், இந்த விஷயத்தில் ஒரு அனுபவமற்ற வாசகர் கூட இந்த சிக்கலின் விளைவாக வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த முடியும்.

2. f என்ற அளவுகோல் புலம் f=f(x, y, z) என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பது அனைவரும் அறிந்ததே, மேலும் இந்த வழக்கில் எந்தப் பரப்பும் அடுக்கு மேற்பரப்பு f(x, y, z)=C (C=const) ஆகும். கூடுதலாக, அடுக்கு மேற்பரப்பின் இயல்பானது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் அளவிடல் புலத்தின் சாய்வுடன் ஒத்துப்போகிறது.

3. ஒரு அளவிடல் புலத்தின் சாய்வு (3 மாறிகளின் செயல்பாடு) திசையன் g=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df/dz) ஆகும். ஏனெனில் நீளம் இயல்பானவர்கள்ஒரு பொருட்டல்ல, முடிவை பதிவு செய்ய மட்டுமே உள்ளது. மேற்பரப்பு இயல்பான f(x, y, z)-C=0 புள்ளியில் M0(x0, y0, z0) n=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df / dz).

4. முறை 2 மேற்பரப்பை F(x, y, z)=0 சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கலாம். எதிர்காலத்தில் முதல் முறையுடன் ஒப்புமைகளை வரைய அனுமதிக்கும் பொருட்டு, தொடர்ச்சியின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்றும், F என்பது f(x, y, z)-C=0 (C) என்றும் கருதப்பட வேண்டும். =நிலை). இந்த மேற்பரப்பின் ஒரு பகுதியை நாம் தன்னிச்சையான விமானம் மூலம் வரைந்தால், அதன் விளைவாக வரும் இடஞ்சார்ந்த வளைவு சில திசையன் செயல்பாட்டின் ஹோடோகிராஃப் என்று கருதலாம் r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t). பின்னர் வழித்தோன்றல் திசையன் r'(t)= ix'(t)+jy'(t)+kz'(t) என்பது மேற்பரப்பின் சில புள்ளிகளில் M0(x0, y0, z0) தொடுநிலையாக இயக்கப்படுகிறது (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்).

5. குழப்பத்தைத் தவிர்க்க, தொடுகோட்டின் தற்போதைய ஆயங்கள் சாய்வுகளில் (x, y, z) குறிக்கப்பட வேண்டும். r'(t0) ஒரு திசை திசையன் என்று கொடுக்கப்பட்ட தொடுகோட்டின் நியதிச் சமன்பாடு (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy(t0) என எழுதப்பட்டுள்ளது. )/dt )= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt).

6. திசையன் செயல்பாட்டின் ஆயங்களை f(x, y, z)-C=0 என்ற மேற்பரப்பு சமன்பாட்டிற்கு மாற்றுவது மற்றும் t ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்துவது (df/dx)(dx/dt)+(df/dy) (dy/ dt)+(df /dz)(dz/dt)=0. சமத்துவம் என்பது சிலரின் அளவுகோல் தயாரிப்பு திசையன் n(df/dx, df/dy, df/dz) மற்றும் r'(x'(t), y'(t), z'(t)). இது பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், n(df/dx, df/dy, df/dz) என்பது விரும்பிய திசையன் இயல்பானவர்கள். இரண்டு முறைகளின் முடிவுகளும் ஒன்றுதான் என்று தெரிகிறது.

7. எடுத்துக்காட்டு (கோட்பாட்டு மதிப்பு உள்ளது). வெக்டரைக் கண்டறியவும் இயல்பானவர்கள் 2 மாறிகள் z=z(x, y) சார்பின் பொதுவான சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட மேற்பரப்புக்கு. தீர்வு. இந்த சமன்பாட்டை z-z(x, y)=F(x, y, z)=0 வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதவும். முன்மொழிவு முறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பின்பற்றினால், n(-dz/dx, -dz/dy, 1) என்பது விரும்பிய திசையன் என்று மாறிவிடும். இயல்பானவர்கள் .

ஏதேனும் திசையன்பல தொகையாக சிதைக்க முடியும் திசையன்ஆஹா, இதுபோன்ற பல விருப்பங்கள் உள்ளன. பணியை சிதைக்கவும் திசையன்வடிவியல் வடிவத்திலும் சூத்திரங்களின் வடிவத்திலும் கொடுக்கப்படலாம், சிக்கலின் தீர்வு இதைப் பொறுத்தது.

உனக்கு தேவைப்படும்

• ஆரம்ப திசையன் ஆகும்;
• அவை சிதைக்கப்பட வேண்டிய திசையன்கள்.

அறிவுறுத்தல்

1. நீங்கள் பிரிக்க வேண்டும் என்றால் திசையன்வரைபடத்தில், விதிமுறைகளுக்கான திசையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். கணக்கீடுகளின் வசதிக்காக, சிதைவு திசையன் a, ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு இணையாக, ஆனால் நீங்கள் நிச்சயமாக எந்த வசதியான திசையையும் விரும்பலாம்.

2. விதிமுறைகளில் ஒன்றை வரையவும் திசையன் ov; அதே நேரத்தில், அது ஆரம்பத்தின் அதே புள்ளியிலிருந்து வர வேண்டும் (நீளத்தை நீங்களே தேர்வு செய்கிறீர்கள்). ஆரம்ப மற்றும் விளைவாக முனைகளை இணைக்கவும் திசையன்மேலும் ஒன்று திசையன்ஓம் தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: இரண்டு பெறப்பட்டது திசையன்இறுதியில், அவர்கள் உங்களை ஆரம்ப நிலையின் அதே நிலைக்குக் கொண்டு வரக் கடமைப்பட்டுள்ளனர் (நீங்கள் அம்புகளுடன் நகர்ந்தால்).

3. இடமாற்றம் பெறப்பட்டது திசையன்திசையையும் நீளத்தையும் சேமிக்கும் போது, ​​அவற்றைப் பயன்படுத்த வசதியாக இருக்கும் இடத்தில். எங்கிருந்து சுதந்திரமானது திசையன்மற்றும் இருக்கும், தொகையில் அவை ஆரம்பத்திற்கு சமமாக இருக்கும். நீங்கள் பெற்றதை வைத்தால் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் திசையன்மேலும் அவை ஆரம்ப புள்ளியின் அதே புள்ளியில் இருந்து வந்து, அவற்றின் முனைகளை ஒரு புள்ளியிடப்பட்ட கோட்டுடன் இணைத்தால், நீங்கள் ஒரு இணையான வரைபடம் மற்றும் ஆரம்பத்தைப் பெறுவீர்கள் திசையன்மூலைவிட்டங்களில் ஒன்றோடு ஒத்துப்போகிறது.

4. நீங்கள் பிரிக்க வேண்டும் என்றால் திசையன்(x1,x2,x3) அடித்தளத்தின் படி, அதாவது கொடுக்கப்பட்ட படி திசையன் am (p1, p2, p3), (q1, q2, q3), (r1, r2, r3), பின்வருமாறு தொடரவும். x=?p+?q+?r சூத்திரத்தில் ஒருங்கிணைப்பு மதிப்புகளை மாற்றவும்.

5. இதன் விளைவாக, p1?+q1?+r1?=x1, p2?+q2?+r2?=x2, p3?+q3?+r3?=x3 ஆகிய 3 சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுவீர்கள். சேர்த்தல் அல்லது மெட்ரிக்குகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த அமைப்பைத் தீர்க்கவும், குறிகாட்டிகளைக் கண்டறியவும் ?, ?, ?. பிரச்சனை ஒரு விமானத்தில் கொடுக்கப்பட்டால், தீர்வு மிகவும் எளிமையானதாக இருக்கும், ஏனென்றால் 3 மாறிகள் மற்றும் சமன்பாடுகளுக்கு பதிலாக நீங்கள் இரண்டை மட்டுமே பெறுவீர்கள் (அவை p1?+q1?=x1, p2?+q2?=x2 போல இருக்கும்). முடிவை x=?p+?q+?r என எழுதவும்.

6. நீங்கள் எண்ணற்ற தீர்வுகளுடன் முடிவடைந்தால், அதைச் சுருக்கவும் திசையன் s p, q, r ஆகியவை ஒரே விமானத்தில் உள்ளன திசையன் om x மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் அதை சிதைப்பது சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி சாத்தியமற்றது.

7. கணினியில் தீர்வுகள் இல்லை என்றால், சிக்கலின் முடிவை தைரியமாக எழுதுங்கள்: திசையன் p, q, r ஆகியவை ஒரே விமானத்தில் உள்ளன, மற்றும் திசையன் x - மற்றொன்றில், அதன் விளைவாக அதை ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் சிதைக்க முடியாது.

ஒரு சிறப்பு பிரதிநிதித்துவம் இருப்பது சாத்தியம் விமானம் பிரமிடுகள், ஆனால் ஆசிரியருக்கு அது அறிமுகமில்லாதது. பிரமிடு இடஞ்சார்ந்த பாலிஹெட்ராவைக் குறிக்கிறது என்பதிலிருந்து, விமானம்விளிம்புகளை மட்டுமே உருவாக்க முடியும் பிரமிடுகள். இவையே பரிசீலிக்கப்படும்.

அறிவுறுத்தல்

1. மிகவும் பழமையான பணி பிரமிடுகள்உச்சி புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளால் அதன் பிரதிநிதித்துவம் ஆகும். மற்ற பிரதிநிதித்துவங்களைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கப்படுகிறது, அவை ஒருவருக்கொருவர் மற்றும் முன்மொழியப்பட்ட ஒன்றாக எளிதாக மொழிபெயர்க்கப்படுகின்றன. எளிமைக்கு, ஒரு முக்கோண பிரமிட்டைக் கவனியுங்கள். பின்னர், இடஞ்சார்ந்த வழக்கில், "அடிப்படை"யின் பிரதிநிதித்துவம் மிகவும் நிபந்தனைக்குட்பட்டதாகிறது. இதன் விளைவாக, இது பக்க முகங்களிலிருந்து வேறுபடுத்தப்படக்கூடாது. ஒரு தன்னிச்சையான பிரமிடு மூலம், அதன் பக்க முகங்கள் இன்னும் முக்கோணங்களாக இருக்கும், மேலும் சமன்பாட்டை எழுதவும் விமானம்அடிப்படை இன்னும் 3 புள்ளிகளுக்கு போதுமானது.

2. ஒரு முக்கோணத்தின் எந்த முகமும் பிரமிடுகள்தொடர்புடைய முக்கோணத்தின் முனைகளின் மூன்று புள்ளிகளால் முற்றிலும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அது М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3) ஆக இருக்கட்டும். சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடிக்க விமானம்இந்த முகத்துடன், பொது சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும் விமானம் A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 வடிவத்தில். இங்கே (x0,y0,z0) ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி விமானம், தற்போது கொடுக்கப்பட்டுள்ள 3ல் ஒன்றைப் பயன்படுத்துவதற்கு, M1(x1,y1,z1) எனக் கூறவும். அடுக்குகள் A, B, C ஆகியவை சாதாரண திசையன்களின் ஆயங்களை உருவாக்குகின்றன விமானம் n=(A, B, C). இயல்பானதைக் கண்டறிய, திசையன் தயாரிப்பு [M1,M2] க்கு சமமான வெக்டரின் ஆயங்களைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கப்படுகிறது (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்). அவற்றை முறையே A, B Cக்கு சமமாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். திசையன்களின் (n, M1M) அளவிடல் உற்பத்தியை ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் கண்டுபிடித்து அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்ய வேண்டும். இங்கே M(x, y, z) என்பது தன்னிச்சையான (தற்போதைய) புள்ளியாகும் விமானம் .

3. சமன்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான விளைவான அல்காரிதம் விமானம்அதன் மூன்று புள்ளிகளில் பயன்பாட்டிற்கு மிகவும் வசதியாக இருக்க முடியும். கண்டுபிடிக்கப்பட்ட முறையானது குறுக்கு உற்பத்தியின் கணக்கீடு மற்றும் அதன் பிறகு புள்ளி தயாரிப்பு ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. இது வெக்டார்களின் கலப்பு உற்பத்தியைத் தவிர வேறில்லை. சூப்பர் காம்பாக்ட் வடிவத்தில், M1M=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) ஆகிய திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட வரிசைகளை நிர்ணயிக்கும் பொருளுக்குச் சமம். , M1M3=(x3- x1, y3-y1, z3-z1). பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து சமன்பாட்டைப் பெறுங்கள் விமானம்ஒரு தீர்மானிப்பான் வடிவத்தில் (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்). அதன் வெளிப்பாட்டிற்குப் பிறகு, நீங்கள் பொதுவான சமன்பாட்டிற்கு வருவீர்கள் விமானம் .

தொடர்புடைய வீடியோக்கள்

சாதாரண திசையன்

இரண்டு இயல்புகளுடன் கூடிய சமதள மேற்பரப்பு

வேறுபட்ட வடிவவியலில், சாதாரண- இது ஒரு நேர் கோடு, சில வளைவுக்கு ஒரு தொடு கோட்டிற்கு ஆர்த்தோகனல் (செங்குத்தாக) அல்லது சில மேற்பரப்புக்கு ஒரு தொடு விமானம். பற்றியும் பேசுகிறார்கள் சாதாரண திசை.

சாதாரண திசையன்கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் மேற்பரப்புக்கு அலகு திசையன் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் இயல்பான திசைக்கு இணையாக உள்ளது. மென்மையான மேற்பரப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும், திசையில் வேறுபடும் இரண்டு சாதாரண திசையன்களை நீங்கள் குறிப்பிடலாம். சாதாரண திசையன்களின் தொடர்ச்சியான புலத்தை ஒரு மேற்பரப்பில் வரையறுக்க முடிந்தால், இந்த புலம் வரையறுக்கப்படுகிறது நோக்குநிலைமேற்பரப்பு (அதாவது, பக்கங்களில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது). இதைச் செய்ய முடியாவிட்டால், மேற்பரப்பு அழைக்கப்படுகிறது நோக்குநிலை இல்லாதது.

விக்கிமீடியா அறக்கட்டளை. 2010 .

பிற அகராதிகளில் "இயல்பான திசையன்" என்ன என்பதைக் காண்க:

சாதாரண திசையன்- சாதாரண வெக்டோரியஸ் நிலைகள் T sritis fizika atitikmenys: கோணம். சாதாரண திசையன் vok. நார்மலென்வெக்டர், மீ ரஸ். சாதாரண திசையன், m பிராங்க். வெக்டூர் டி லா நார்மல், மீ; திசையன் சாதாரண, மீ … Fizikos terminų žodynas

இந்தக் கட்டுரை அல்லது பகுதி மீள்திருத்தம் தேவை. கட்டுரைகளை எழுதுவதற்கான விதிகளின்படி கட்டுரையை மேம்படுத்தவும். Darboux திசையன் என்பது உடனடி சுழற்சி அச்சின் திசையன் ஆகும், அதைச் சுற்றி வளைவு L இன் ட்ரைஹெட்ரான் சுழலும் ... ... விக்கிபீடியா

தொடர்ச்சிகளின் மின் இயக்கவியல் தொடர்ச்சிகளின் மின் இயக்கவியல் ... விக்கிபீடியா

Darboux திசையன் என்பது சுழலும் உடனடி அச்சின் இயக்கும் திசையன் ஆகும், அதைச் சுற்றி வளைவு L இன் ட்ரைஹெட்ரான் சுழலும் போது புள்ளி M வளைவு L உடன் ஒரே சீராக நகரும். Darboux திசையன் L வளைவின் திருத்தும் விமானத்தில் உள்ளது மற்றும் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. அலகு விதிமுறைகள் ... ... விக்கிபீடியா

கிரேடியன்ட் (லத்தீன் கிரேடியன்ஸிலிருந்து, கிரேடியன்டிஸ் நடைபயிற்சி வகை), ஒரு குறிப்பிட்ட அளவின் வேகமான மாற்றத்தின் திசையைக் காட்டும் ஒரு திசையன், அதன் மதிப்பு விண்வெளியில் ஒரு புள்ளியிலிருந்து மற்றொரு இடத்திற்கு மாறுகிறது (புலக் கோட்பாட்டைப் பார்க்கவும்). மதிப்பு வெளிப்படுத்தப்பட்டால் ... ...

சுழலும் உடனடி அச்சின் இயக்கும் திசையன் d, சுற்றிலும் வளைவு L இன் ட்ரைஹெட்ரான் உடன் வரும் திரள் சுழலும் புள்ளி M வளைவு L. D. c வளைவுடன் ஒரே சீராக நகரும். வளைவு L இன் திருத்தும் விமானத்தில் உள்ளது மற்றும் முக்கிய சாதாரண அலகு திசையன்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது ... கணித கலைக்களஞ்சியம்

இந்தக் கட்டுரை அல்லது பகுதி மீள்திருத்தம் தேவை. கட்டுரைகளை எழுதுவதற்கான விதிகளின்படி கட்டுரையை மேம்படுத்தவும். மிகை மேற்பரப்பு ... விக்கிபீடியா

முப்பரிமாண கிராபிக்ஸ் காட்சிப்படுத்தலுக்கான கிராபிக்ஸ் பைப்லைன் வன்பொருள்-மென்பொருள் வளாகம். பொருளடக்கம் 1 முப்பரிமாண காட்சியின் கூறுகள் 1.1 வன்பொருள் 1.2 மென்பொருள் இடைமுகங்கள் ... விக்கிபீடியா

யூக்ளிடியன் ஸ்பேஸில் உள்ள திசையன்களின் செயல்பாடுகளின் பண்புகளை ஆய்வு செய்யும் ஒரு கணித ஒழுக்கம். அதே நேரத்தில், ஒரு திசையன் கருத்து என்பது ஒரு எண் மதிப்பால் மட்டும் வகைப்படுத்தப்படும் அளவுகளின் கணித சுருக்கமாகும், ஆனால் ... ... கிரேட் சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா

இந்த வார்த்தைக்கு வேறு அர்த்தங்கள் உள்ளன, விமானத்தைப் பார்க்கவும். "Flatness" கோரிக்கை இங்கு திருப்பிவிடப்பட்டது. இந்த தலைப்பில் ஒரு தனி கட்டுரை தேவை ... விக்கிபீடியா

ஒரு விமானத்தின் சாதாரண திசையன் என்பது கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு திசையன் ஆகும். வெளிப்படையாக, எந்த விமானத்திலும் எண்ணற்ற சாதாரண திசையன்கள் உள்ளன. ஆனால் பிரச்சனைகளின் தீர்வுக்கு, நமக்கு ஒன்று போதும்.

விமானம் என்றால் பொதுச் சமன்பாடு , பின்னர் திசையன் கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் சாதாரண திசையன் ஆகும். வெறும் அவமானத்திற்கு. விமானத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து குணகங்களை "அகற்றுவது" மட்டுமே செய்ய வேண்டும்.

வாக்குறுதியளிக்கப்பட்டவற்றுக்காக மூன்று திரைகள் காத்திருக்கின்றன, எடுத்துக்காட்டு எண். 1 க்கு திரும்பி அதைச் சரிபார்ப்போம். ஒரு புள்ளி மற்றும் இரண்டு திசையன்களைப் பயன்படுத்தி விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்க வேண்டியிருந்தது என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். தீர்வின் விளைவாக, சமன்பாடு கிடைத்தது. நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

முதலில், புள்ளியின் ஆயங்களை விளைவான சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது, அதாவது புள்ளி உண்மையில் கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தில் உள்ளது.

இரண்டாவதாக, விமானத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து சாதாரண வெக்டரை அகற்றுகிறோம்: . திசையன்கள் விமானத்திற்கு இணையாகவும், திசையன் விமானத்திற்கு செங்குத்தாகவும் இருப்பதால், பின்வரும் உண்மைகள் இருக்க வேண்டும்: . திசையன்களின் செங்குத்துத்தன்மையை பயன்படுத்தி எளிதாக சரிபார்க்கலாம் டாட் தயாரிப்பு:

முடிவு: விமானத்தின் சமன்பாடு சரியாகக் காணப்படுகிறது.

சோதனையின் போது, ​​கோட்பாட்டின் பின்வரும் அறிக்கையை நான் உண்மையில் மேற்கோள் காட்டினேன்: திசையன் விமானத்திற்கு இணையாக என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே .

பாடத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு முக்கியமான சிக்கலைத் தீர்ப்போம்:

உதாரணம் 5

விமானத்தின் அலகு சாதாரண வெக்டரைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு: அலகு திசையன் என்பது ஒரு திசையன், அதன் நீளம் ஒன்று. இந்த திசையன் மூலம் குறிப்போம். அடிப்படையில் நிலப்பரப்பு இதுபோல் தெரிகிறது:

திசையன்கள் கோலினியர் என்பது தெளிவாகிறது.

முதலில், விமானத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து சாதாரண வெக்டரை அகற்றுவோம்: .

யூனிட் வெக்டரை எப்படி கண்டுபிடிப்பது? அலகு திசையன் கண்டுபிடிக்க , தேவை ஒவ்வொருதிசையன் ஒருங்கிணைப்பு திசையன் நீளத்தால் வகுக்கவும் .

சாதாரண திசையனை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம் மற்றும் அதன் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

மேலே உள்ள படி:

பதில்:

சரிபார்க்கவும்: , சரிபார்க்க இது தேவைப்பட்டது.

பாடத்தின் கடைசி பத்தியை கவனமாக படித்த வாசகர்கள் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்புஒருவேளை அதை கவனித்திருக்கலாம் அலகு திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள் திசையன்களின் திசைக் கோசைன்கள் சரியாக இருக்கும் :

பிரிக்கப்பட்ட சிக்கலில் இருந்து விலகுவோம்: உங்களுக்கு தன்னிச்சையான பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் வழங்கப்படும் போது, மற்றும் நிபந்தனையின்படி அதன் திசை கோசைன்களைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் (பாடத்தின் கடைசி பணிகள் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு), நீங்கள், உண்மையில், கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு ஒரு யூனிட் வெக்டார் கோலினியரைக் கண்டறியவும்.

உண்மையில், ஒரு பாட்டில் இரண்டு பணிகள்.

கணித பகுப்பாய்வின் சில சிக்கல்களில் ஒரு அலகு சாதாரண திசையன் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய அவசியம் எழுகிறது.

சாதாரண திசையன் மீன்பிடிப்பதை நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம், இப்போது நாம் எதிர் கேள்விக்கு பதிலளிப்போம்.

ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்த, நீங்கள் சூத்திரங்களை நன்கு அறிந்திருக்க வேண்டும். அவற்றில் மூன்று உள்ளன:

முதல் பார்வையில், இது அச்சுறுத்தலாகத் தெரிகிறது, ஆனால் ஒரு சிறிய பயிற்சி - மற்றும் எல்லாம் நன்றாக வேலை செய்யும்.

ஒரு பணி. a = (4; 3; 0) மற்றும் b = (0; 12; 5) ஆகிய திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் எங்களிடம் வழங்கப்பட்டுள்ளதால், அவற்றை முதல் சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்:

ஒரு பணி. M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) மற்றும் K = (2; 1; 0) புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள், அது கடந்து செல்லவில்லை என்று தெரிந்தால் தோற்றம்.

தீர்வு. விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு: Ax + By + Cz + D = 0, ஆனால் விரும்பிய விமானம் தோற்றம் வழியாக செல்லாததால் - புள்ளி (0; 0; 0) - பின்னர் D = 1 ஐ அமைக்கிறோம். இந்த விமானம் கடந்து செல்வதால் M, N மற்றும் K புள்ளிகள் மூலம், இந்த புள்ளிகளின் ஆயங்கள் சமன்பாட்டை உண்மையான எண் சமத்துவமாக மாற்ற வேண்டும்.

x, y மற்றும் z க்கு பதிலாக M = (2; 0; 1) புள்ளியின் ஆயங்களை மாற்றுவோம். எங்களிடம் உள்ளது:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

இதேபோல், N = (0; 1; 1) மற்றும் K = (2; 1; 0) புள்ளிகளுக்கு நாம் சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

எனவே நமக்கு மூன்று சமன்பாடுகள் மற்றும் மூன்று தெரியாதவை உள்ளன. நாங்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்கி தீர்க்கிறோம்:

விமானத்தின் சமன்பாடு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: - 0.25x - 0.5y - 0.5z + 1 = 0.

ஒரு பணி. 7x − 2y + 4z + 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலம் விமானம் வழங்கப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக திசையன் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. மூன்றாவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, n = (7; - 2; 4) - அவ்வளவுதான்!

திசையன்களின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு

ஆனால் சிக்கலில் திசையன்கள் இல்லாவிட்டால் என்ன செய்வது - நேர் கோடுகளில் புள்ளிகள் மட்டுமே உள்ளன, மேலும் இந்த நேர் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கணக்கிடுவது அவசியமா? இது எளிதானது: புள்ளிகளின் ஆயங்களை அறிவது - திசையனின் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவு - நீங்கள் திசையனின் ஆயங்களை கணக்கிடலாம்.

ஒரு திசையனின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிய, அதன் முடிவின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து தொடக்கத்தின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கழிக்க வேண்டும்.

இந்த தேற்றம் விமானத்திலும் விண்வெளியிலும் சமமாக செயல்படுகிறது. "கழித்தல் ஆயத்தொலைவுகள்" என்பது ஒரு புள்ளியின் x ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து மற்றொரு புள்ளியின் x ஆயத்தொலைவு கழிக்கப்படுகிறது என்று பொருள்படும், பின்னர் y மற்றும் z ஆயத்தொலைவுகளிலும் இதைச் செய்ய வேண்டும். இங்கே சில உதாரணங்கள்:

ஒரு பணி. விண்வெளியில் மூன்று புள்ளிகள் உள்ளன, அவற்றின் ஆயத்தொகுப்புகளால் வழங்கப்படுகிறது: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) மற்றும் C = (− 4; 3; − 2). AB, AC மற்றும் BC ஆகிய திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்.

திசையன் AB ஐக் கவனியுங்கள்: அதன் ஆரம்பம் புள்ளி A இல் உள்ளது, அதன் முடிவு B புள்ளியில் உள்ளது. எனவே, அதன் ஆயங்களைக் கண்டறிய, புள்ளி B இன் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து புள்ளி A இன் ஆயங்களைக் கழிக்க வேண்டும்:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

இதேபோல், வெக்டார் ஏசியின் ஆரம்பம் இன்னும் அதே புள்ளி A தான், ஆனால் முடிவு புள்ளி C. எனவே, நம்மிடம் உள்ளது:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

இறுதியாக, திசையன் BC இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிய, புள்ளி B இன் ஆயங்களை புள்ளி C இன் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து கழிக்க வேண்டியது அவசியம்:
BC = (− 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

பதில்: AB = (2; - 7; 4); ஏசி = (−5;-3;-5); BC = (-7; 4; - 9)

கடைசி திசையன் BC இன் ஆயத்தொலைவுகளின் கணக்கீட்டில் கவனம் செலுத்துங்கள்: எதிர்மறை எண்களுடன் பணிபுரியும் போது நிறைய பேர் தவறு செய்கிறார்கள். இது மாறி yக்கு பொருந்தும்: புள்ளி B ஆனது y = - 1 ஆயத்தையும், புள்ளி C க்கு y = 3 உள்ளது. பலர் நினைப்பது போல் நாம் சரியாக 3 - (− 1) = 4 ஐப் பெறுகிறோம், 3 - 1 அல்ல. இதுபோன்ற முட்டாள்தனமான தவறுகளைச் செய்யாதீர்கள்!

நேரான கோடுகளுக்கான திசை திசையன்களைக் கணக்கிடுதல்

பிரச்சனை C2 ஐ நீங்கள் கவனமாகப் படித்தால், அங்கு திசையன்கள் இல்லை என்பதைக் கண்டு நீங்கள் ஆச்சரியப்படுவீர்கள். நேர் கோடுகள் மற்றும் விமானங்கள் மட்டுமே உள்ளன.

நேர் கோடுகளுடன் ஆரம்பிக்கலாம். இங்கே எல்லாம் எளிது: எந்த வரியிலும் குறைந்தது இரண்டு வெவ்வேறு புள்ளிகள் உள்ளன, மாறாக, எந்த இரண்டு வெவ்வேறு புள்ளிகளும் ஒரு வரியை வரையறுக்கின்றன ...

முந்தைய பத்தியில் என்ன எழுதப்பட்டுள்ளது என்று யாருக்காவது புரிகிறதா? நானே அதை புரிந்து கொள்ளவில்லை, எனவே நான் அதை இன்னும் எளிமையாக விளக்குகிறேன்: சிக்கல் C2 இல், கோடுகள் எப்போதும் ஒரு ஜோடி புள்ளிகளால் வழங்கப்படுகின்றன. நாம் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்தி, இந்த புள்ளிகளில் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவுடன் ஒரு திசையனைக் கருத்தில் கொண்டால், ஒரு நேர் கோட்டிற்கு இயக்கும் திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறோம்:

இந்த திசையன் ஏன் தேவைப்படுகிறது? புள்ளி என்னவென்றால், இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம் அவற்றின் திசை திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணமாகும். எனவே, நாம் புரிந்துகொள்ள முடியாத நேர்கோடுகளிலிருந்து குறிப்பிட்ட திசையன்களுக்கு நகர்கிறோம், அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் எளிதில் கணக்கிடப்படுகின்றன. எவ்வளவு எளிது? எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள்:

ஒரு பணி. AC மற்றும் BD 1 கோடுகள் ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 கனசதுரத்தில் வரையப்பட்டுள்ளன. இந்த வரிகளின் திசை திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்.

கனசதுரத்தின் விளிம்புகளின் நீளம் நிபந்தனையில் குறிப்பிடப்படாததால், AB = 1 என அமைத்துள்ளோம். A புள்ளியில் தோற்றம் கொண்ட ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பையும், AB, AD மற்றும் AA கோடுகளுடன் x, y, z ஆகிய அச்சுகளையும் அறிமுகப்படுத்துவோம். 1, முறையே. அலகு பிரிவு AB = 1 க்கு சமம்.

இப்போது நேர்கோட்டு ஏசிக்கான திசை வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். எங்களுக்கு இரண்டு புள்ளிகள் தேவை: A = (0; 0; 0) மற்றும் C = (1; 1; 0). இங்கிருந்து நாம் திசையன் AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) ஆயத்தொலைவுகளைப் பெறுகிறோம் - இது திசை திசையன் ஆகும்.

இப்போது BD 1 என்ற நேர்கோட்டைக் கையாள்வோம். இது இரண்டு புள்ளிகளையும் கொண்டுள்ளது: B = (1; 0; 0) மற்றும் D 1 = (0; 1; 1). திசை திசையன் BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1) ஐப் பெறுகிறோம்.

பதில்: ஏசி = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

ஒரு பணி. ஒரு வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸத்தில் ABCA 1 B 1 C 1 , அதன் அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், நேர் கோடுகள் AB 1 மற்றும் AC 1 வரையப்படுகின்றன. இந்த வரிகளின் திசை திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்.

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம்: தோற்றம் A புள்ளியில் உள்ளது, x-அச்சு AB உடன் இணைகிறது, z-அச்சு AA 1 உடன் இணைகிறது, y-அச்சு x-அச்சுடன் OXY விமானத்தை உருவாக்குகிறது, இது ABC உடன் ஒத்துப்போகிறது. விமானம்.

முதலில், AB 1 என்ற நேர்கோட்டைக் கையாள்வோம். இங்கே எல்லாம் எளிது: எங்களிடம் A = (0; 0; 0) மற்றும் B 1 = (1; 0; 1) புள்ளிகள் உள்ளன. திசை திசையன் AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1) ஐப் பெறுகிறோம்.

இப்போது AC 1க்கான திசை வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம். எல்லாம் ஒன்றுதான் - ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், புள்ளி C 1 பகுத்தறிவற்ற ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, A = (0; 0; 0), எனவே எங்களிடம் உள்ளது:

பதில்: AB 1 = (1; 0; 1);

கடைசி உதாரணத்தைப் பற்றிய சிறிய ஆனால் மிக முக்கியமான குறிப்பு. திசையனின் ஆரம்பம் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போனால், கணக்கீடுகள் பெரிதும் எளிமைப்படுத்தப்படுகின்றன: திசையன் ஆயத்தொலைவுகள் முடிவின் ஆயத்தொலைவுகளுக்கு சமமாக இருக்கும். துரதிர்ஷ்டவசமாக, இது திசையன்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். எடுத்துக்காட்டாக, விமானங்களுடன் பணிபுரியும் போது, ​​​​அவற்றில் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் இருப்பது கணக்கீடுகளை சிக்கலாக்குகிறது.

விமானங்களுக்கான சாதாரண திசையன்களின் கணக்கீடு

சாதாரண திசையன்கள் நன்றாக செயல்படும் அல்லது நன்றாக உணரும் திசையன்கள் அல்ல. வரையறையின்படி, ஒரு விமானத்திற்கு ஒரு சாதாரண திசையன் (சாதாரணமானது) கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் திசையன் ஆகும்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு சாதாரணமானது கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தில் உள்ள எந்த திசையனுக்கும் செங்குத்தாக இருக்கும் திசையன் ஆகும். நிச்சயமாக நீங்கள் அத்தகைய வரையறையைக் கண்டிருக்கிறீர்கள் - இருப்பினும், திசையன்களுக்குப் பதிலாக, இது நேர் கோடுகளைப் பற்றியது. இருப்பினும், சி 2 சிக்கலில் ஒருவர் எந்த வசதியான பொருளுடனும் - ஒரு நேர் கோடு, ஒரு திசையன் கூட செயல்பட முடியும் என்று மேலே காட்டப்பட்டது.

Ax + By + Cz + D = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலம் விண்வெளியில் எந்த விமானமும் வரையறுக்கப்படுகிறது என்பதை மீண்டும் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், இதில் A, B, C மற்றும் D ஆகியவை சில குணகங்களாகும். தீர்வின் பொதுவான தன்மையைக் குறைக்காமல், விமானம் தோற்றம் வழியாகச் செல்லவில்லை என்றால் D = 1 அல்லது அது சென்றால் D = 0 எனக் கொள்ளலாம். எவ்வாறாயினும், இந்த விமானத்திற்கான சாதாரண திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் n = (A; B; C) ஆகும்.

எனவே, விமானத்தை ஒரு திசையன் மூலம் வெற்றிகரமாக மாற்ற முடியும் - அதே இயல்பானது. எந்த விமானமும் மூன்று புள்ளிகளால் விண்வெளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது. விமானத்தின் சமன்பாட்டை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது (எனவே சாதாரணமானது), கட்டுரையின் ஆரம்பத்தில் நாங்கள் ஏற்கனவே விவாதித்தோம். இருப்பினும், இந்த செயல்முறை பலருக்கு சிக்கல்களை ஏற்படுத்துகிறது, எனவே நான் இன்னும் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருகிறேன்:

ஒரு பணி. A 1 BC 1 பிரிவு ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 கனசதுரத்தில் வரையப்பட்டது. தோற்றம் புள்ளி A இல் இருந்தால், x, y மற்றும் z அச்சுகள் முறையே AB, AD மற்றும் AA 1 ஆகிய விளிம்புகளுடன் இணைந்திருந்தால், இந்தப் பிரிவின் விமானத்திற்கான சாதாரண திசையனைக் கண்டறியவும்.

விமானம் தோற்றம் வழியாக செல்லாததால், அதன் சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது: Ax + By + Cz + 1 = 0, அதாவது. குணகம் D \u003d 1. இந்த விமானம் A 1, B மற்றும் C 1 புள்ளிகள் வழியாக செல்வதால், இந்த புள்ளிகளின் ஆயங்கள் விமானத்தின் சமன்பாட்டை சரியான எண் சமத்துவமாக மாற்றுகின்றன.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

இதேபோல், B = (1; 0; 0) மற்றும் C 1 = (1; 1; 1) புள்ளிகளுக்கு நாம் சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

ஆனால் குணகங்கள் A = - 1 மற்றும் C = - 1 ஆகியவை ஏற்கனவே நமக்குத் தெரிந்தவை, எனவே அது குணகம் B ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: - A + B - C + 1 = 0, எனவே, சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் n = (- 1; 1; - 1).

ஒரு பணி. ஒரு பகுதி AA 1 C 1 C கனசதுரத்தில் ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 வரையப்படுகிறது. தோற்றம் A புள்ளியில் இருந்தால், இந்த பிரிவின் விமானத்திற்கான சாதாரண திசையன் மற்றும் x, y மற்றும் z அச்சுகள் இணைந்தால் விளிம்புகள் AB, AD மற்றும் AA 1 முறையே.

இந்த வழக்கில், விமானம் தோற்றம் வழியாக செல்கிறது, எனவே குணகம் D \u003d 0, மற்றும் விமானத்தின் சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது: Ax + By + Cz \u003d 0. விமானம் A 1 மற்றும் C புள்ளிகளைக் கடந்து செல்வதால், இந்த புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் விமானத்தின் சமன்பாட்டை சரியான எண் சமத்துவமாக மாற்றுகின்றன.

x, y மற்றும் z க்கு பதிலாக A 1 = (0; 0; 1) புள்ளியின் ஆயங்களை மாற்றுவோம். எங்களிடம் உள்ளது:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

இதேபோல், புள்ளி C = (1; 1; 0) நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

B = 1 என்று விடுங்கள். பின்னர் A = - B = - 1, மற்றும் முழு விமானத்தின் சமன்பாடு: - A + B = 0. எனவே, சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் n = (- 1; 1; 0).

பொதுவாக, மேலே உள்ள சிக்கல்களில் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்கி அதைத் தீர்ப்பது அவசியம். மூன்று சமன்பாடுகள் மற்றும் மூன்று மாறிகள் இருக்கும், ஆனால் இரண்டாவது வழக்கில் அவற்றில் ஒன்று இலவசமாக இருக்கும், அதாவது. தன்னிச்சையான மதிப்புகளை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அதனால்தான், தீர்வின் பொதுவான தன்மைக்கும், விடையின் சரியான தன்மைக்கும் பாரபட்சமின்றி, B = 1-ஐப் போட நமக்கு உரிமை உள்ளது.

பெரும்பாலும் சிக்கல் C2 இல், பிரிவை பாதியாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகளுடன் வேலை செய்ய வேண்டும். பிரிவின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகள் தெரிந்தால், அத்தகைய புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் எளிதில் கணக்கிடப்படும்.

எனவே, பிரிவை அதன் முனைகளால் வழங்கப்பட வேண்டும் - புள்ளிகள் A \u003d (x a; y a; z a) மற்றும் B \u003d (x b; y b; z b). பின்னர் பிரிவின் நடுப்பகுதியின் ஆயத்தொலைவுகள் - அதை H புள்ளியால் குறிக்கிறோம் - சூத்திரத்தால் காணலாம்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு பிரிவின் நடுப்பகுதியின் ஆயத்தொலைவுகள் அதன் முனைகளின் ஆயங்களின் எண்கணித சராசரி ஆகும்.

ஒரு பணி. அலகு கனசதுரம் ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வைக்கப்பட்டுள்ளது, இதனால் x, y மற்றும் z அச்சுகள் முறையே AB, AD மற்றும் AA 1 விளிம்புகளில் இயக்கப்படுகின்றன, மேலும் தோற்றம் புள்ளி A. புள்ளி K உடன் ஒத்துப்போகிறது. விளிம்பு A 1 B ஒன்றின் நடுப்புள்ளி ஆகும். இந்த புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்.

புள்ளி K என்பது A 1 B 1 பிரிவின் நடுவில் இருப்பதால், அதன் ஆய எண்கள் முனைகளின் ஆய எண்கணித சராசரிக்கு சமமாக இருக்கும். முனைகளின் ஆயங்களை எழுதுவோம்: A 1 = (0; 0; 1) மற்றும் B 1 = (1; 0; 1). இப்போது புள்ளி K இன் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம்:

ஒரு பணி. அலகு கனசதுரம் ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வைக்கப்பட்டுள்ளது, இதனால் x, y மற்றும் z அச்சுகள் முறையே AB, AD மற்றும் AA 1 விளிம்புகளில் இயக்கப்படுகின்றன, மேலும் தோற்றம் புள்ளி A உடன் ஒத்துப்போகிறது. ஆயங்களைக் கண்டறியவும் A 1 B 1 C 1 D 1 என்ற சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்களை அவை வெட்டும் புள்ளி L.

பிளானிமெட்ரியின் போக்கிலிருந்து ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் வெட்டுப்புள்ளி அதன் அனைத்து செங்குத்துகளிலிருந்தும் சமமான தொலைவில் உள்ளது என்று அறியப்படுகிறது. குறிப்பாக, A 1 L = C 1 L, அதாவது. புள்ளி L என்பது A 1 C 1 பிரிவின் நடுப்புள்ளி. ஆனால் A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), எனவே எங்களிடம் உள்ளது:

பதில்: எல் = (0.5; 0.5; 1)

விமானம் மற்றும் முப்பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடுகளைப் படிக்கும் போது, ​​நாம் திசையன்களின் இயற்கணிதத்தை நம்புகிறோம். இந்த வழக்கில், நேர் கோட்டின் இயக்கும் திசையன் மற்றும் நேர் கோட்டின் சாதாரண திசையன் ஆகியவை குறிப்பாக முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை. இந்த கட்டுரையில், ஒரு நேர்கோட்டின் சாதாரண திசையன் பற்றி நாம் கூர்ந்து கவனிப்போம். நேர்கோட்டின் சாதாரண திசையன் வரையறையுடன் ஆரம்பிக்கலாம், எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் கிராஃபிக் விளக்கப்படங்களை கொடுக்கவும். அடுத்து, பிரச்சனைகளுக்கு விரிவான தீர்வுகளைக் காண்பிக்கும் அதே வேளையில், நேர்கோட்டின் அறியப்பட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி நேர்கோட்டின் இயல்பான திசையனின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவதற்குச் செல்கிறோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

இயல்பான வரி திசையன் - வரையறை, எடுத்துக்காட்டுகள், எடுத்துக்காட்டுகள்.

பொருளைப் புரிந்து கொள்ள, நீங்கள் ஒரு நேர் கோடு, ஒரு விமானம் பற்றிய தெளிவான புரிதலைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், மேலும் திசையன்களுடன் தொடர்புடைய அடிப்படை வரையறைகளையும் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே, கட்டுரைகளின் பொருளை முதலில் விமானத்தில் நேராக, நேராக விண்வெளியில், விமானத்தின் யோசனை மற்றும் புதுப்பிக்க பரிந்துரைக்கிறோம்.

ஒரு நேர்கோட்டின் சாதாரண திசையன் வரையறுப்போம்.

வரையறை.

சாதாரண திசையன் வரிகொடுக்கப்பட்ட வரிக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் எந்த ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்.

ஒரு கோட்டின் இயல்பான திசையன் வரையறையிலிருந்து, கொடுக்கப்பட்ட வரியின் எல்லையற்ற சாதாரண திசையன்களின் தொகுப்பு உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது.

ஒரு கோட்டின் இயல்பான திசையன் மற்றும் ஒரு கோட்டின் திசை திசையன் வரையறையின் வரையறை, கொடுக்கப்பட்ட வரியின் எந்த சாதாரண திசையன் இந்த வரியின் எந்த திசை திசையனுக்கும் செங்குத்தாக இருக்கும் என்று முடிவு செய்ய அனுமதிக்கிறது.

ஒரு நேர்கோட்டின் சாதாரண திசையன் ஒரு உதாரணம் கொடுக்கலாம்.

விமானத்தில் ஆக்ஸி கொடுக்கப்படட்டும். ஆக்ஸ் ஆய கோட்டின் இயல்பான திசையன்களின் தொகுப்பில் ஒன்று ஆய திசையன் ஆகும். உண்மையில், திசையன் பூஜ்ஜியமற்றது மற்றும் ஆக்ஸின் அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் Oy ஒருங்கிணைப்பு கோட்டில் உள்ளது. செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பான Oxy இல் ஆக்ஸ் ஆய கோட்டின் அனைத்து சாதாரண திசையன்களின் தொகுப்பை இவ்வாறு கொடுக்கலாம் .

முப்பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பான Oxyz இல், Oz கோட்டின் இயல்பான திசையன் திசையன் ஆகும். ஆய திசையன் என்பது Oz கோட்டின் சாதாரண திசையன் ஆகும். வெளிப்படையாக, Oz அச்சுக்கு செங்குத்தாக எந்த விமானத்திலும் இருக்கும் பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் Oz கோட்டின் சாதாரண திசையன் ஆகும்.

ஒரு நேர்கோட்டின் சாதாரண திசையன் ஆயத்தொலைவுகள் - இந்த நேர்கோட்டின் அறியப்பட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு நேர்கோட்டின் இயல்பான திசையனின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிதல்.

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பான Oxy இல் ஒரு நேர்கோட்டைக் கருத்தில் கொண்டால், ஒருவித விமானத்தில் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு அதனுடன் ஒத்திருக்கும், மேலும் ஒரு நேர்கோட்டின் சாதாரண திசையன்கள் அவற்றின் ஆயங்களால் தீர்மானிக்கப்படும் (கட்டுரையைப் பார்க்கவும்) . இது கேள்வியை எழுப்புகிறது: "இந்த நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை நாம் அறிந்தால், ஒரு நேர்கோட்டின் சாதாரண திசையன் ஆயங்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது"?

பல வகையான சமன்பாடுகள் மூலம் விமானத்தில் கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகளுக்கான கேள்விக்கான பதிலைக் கண்டுபிடிப்போம்.

ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர்கோடு வடிவத்தின் நேர்கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டை வரையறுக்கிறது என்றால் , பின்னர் குணகங்கள் A மற்றும் B ஆகியவை இந்த வரியின் சாதாரண திசையனின் தொடர்புடைய ஆயத்தொகுப்புகள் ஆகும்.

உதாரணமாக.

சில சாதாரண வரி வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு.

நேர்கோடு பொதுச் சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்டிருப்பதால், அதன் இயல்பான வெக்டரின் ஆயங்களை உடனடியாக எழுதலாம் - அவை x மற்றும் y மாறிகளுக்கு முன்னால் தொடர்புடைய குணகங்களாகும். அதாவது, கோட்டின் சாதாரண திசையன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்:

ஒரு நேர்கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டில் A அல்லது B எண்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். இது உங்களைத் தொந்தரவு செய்யக்கூடாது. ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

ஏதேனும் சாதாரண வரி திசையன் குறிப்பிடவும்.

தீர்வு.

ஒரு நேர்கோட்டின் முழுமையற்ற பொதுச் சமன்பாடு நமக்குக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அதை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம் , இந்த வரியின் சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் உடனடியாகத் தெரியும்: .

பதில்:

வடிவத்தின் பிரிவுகளில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு அல்லது சாய்வுடன் கூடிய நேர்கோட்டின் சமன்பாடு ஒரு நேர்கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டிற்கு எளிதாகக் குறைக்கப்படலாம், இதிலிருந்து இந்த நேர்கோட்டின் சாதாரண திசையன் ஆயத்தொலைவுகள் காணப்படுகின்றன.

உதாரணமாக.

வரியின் சாதாரண திசையன் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

பிரிவுகளில் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டிலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டிற்கு கடந்து செல்வது மிகவும் எளிதானது: . எனவே, இந்த வரியின் சாதாரண திசையன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்:

கோடு வடிவத்தின் விமானத்தில் உள்ள கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடு அல்லது படிவத்தின் விமானத்தில் உள்ள கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளை வரையறுத்தால் , பின்னர் சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொகுப்புகளைப் பெறுவது இன்னும் கொஞ்சம் கடினம். இந்த சமன்பாடுகளிலிருந்து, நேர் கோட்டின் இயக்கும் திசையனின் ஆயத்தொலைவுகள் உடனடியாகத் தெரியும் -. இந்த வரியின் சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்களை கண்டறிவது அனுமதிக்கிறது மற்றும் .

கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடு அல்லது கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளை பொதுச் சமன்பாட்டிற்குக் குறைப்பதன் மூலம் கோட்டின் இயல்பான வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளைப் பெறுவதும் சாத்தியமாகும். இதைச் செய்ய, பின்வரும் மாற்றங்களைச் செய்யுங்கள்:

நீங்கள் எந்த வழியை விரும்புகிறீர்கள் என்பது உங்களுடையது.

உதாரணங்களைக் காட்டுவோம்.

உதாரணமாக.

சில சாதாரண வரி வெக்டரைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு.

திசை திசையன் நேராக ஒரு திசையன் ஆகும். சாதாரண திசையன் வரி வெக்டருக்கு செங்குத்தாக உள்ளது, பின்னர் மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்: . இந்த சமத்துவத்திலிருந்து, n xக்கு தன்னிச்சையான பூஜ்ஜியமற்ற உண்மையான மதிப்பைக் கொடுத்து, n y ஐக் காண்கிறோம். n x =1 , பிறகு எனவே, அசல் கோட்டின் இயல்பான திசையன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது.

இரண்டாவது தீர்வு.

நேர்கோட்டின் நியதிச் சமன்பாட்டிலிருந்து பொதுச் சமன்பாட்டிற்குச் செல்வோம்: . இப்போது இந்த வரியின் சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் தெரியும்.

பதில்: