எதிர் திசையன்கள் சேர்த்தல். பாடம் "கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து ஒரு திசையன் ஒத்திவைத்தல்". எந்த திசையன்கள் சமம்

கட்டுரையின் விஷயத்திற்குச் செல்வதற்கு முன், அடிப்படைக் கருத்துக்களை நினைவுபடுத்துகிறோம்.

வரையறை 1

திசையன்- ஒரு நேர் கோடு பிரிவு எண் மதிப்பு மற்றும் திசையால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு திசையன் மேல் அம்புக்குறியுடன் ஒரு சிறிய லத்தீன் எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. குறிப்பிட்ட எல்லைப் புள்ளிகள் இருந்தால், திசையன் பெயரானது இரண்டு பெரிய லத்தீன் எழுத்துக்களைப் போலவும் (வெக்டரின் எல்லைகளைக் குறிக்கும்) மேல் அம்புக்குறியுடன் இருக்கும்.

வரையறை 2

பூஜ்ஜிய திசையன்- விமானத்தின் எந்தப் புள்ளியும், மேலே அம்புக்குறியுடன் பூஜ்ஜியமாகக் குறிக்கப்படுகிறது.

வரையறை 3

திசையன் நீளம்- பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மதிப்பு, இது திசையன் உருவாக்கும் பிரிவின் நீளத்தை தீர்மானிக்கிறது.

வரையறை 4

கோலினியர் திசையன்கள்- ஒரு வரியில் அல்லது இணையான கோடுகளில் பொய். இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யாத திசையன்கள் கோலினியர் அல்லாதவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

உள்ளீடு: திசையன்கள் ஒரு →மற்றும் b →. அவர்கள் மீது கூடுதல் செயல்பாட்டைச் செய்ய, ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியில் இருந்து திசையன் ஒத்திவைக்க வேண்டியது அவசியம் A B →, வெக்டருக்கு சமம் ஒரு →; பெறப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து வரையறுக்கப்படவில்லை - திசையன் சி → இல், வெக்டருக்கு சமம் b →. வரையறுக்கப்படாத புள்ளிகள் மற்றும் C ஐ இணைப்பதன் மூலம், நாம் ஒரு பகுதியைப் பெறுகிறோம் (திசையன்) ஏ சி →, இது அசல் தரவின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும். இல்லையெனில், விவரிக்கப்பட்ட திசையன் கூட்டல் திட்டம் அழைக்கப்படுகிறது முக்கோண விதி.

வடிவியல் ரீதியாக, திசையன் கூட்டல் இதுபோல் தெரிகிறது:

கோலினியர் அல்லாத திசையன்களுக்கு:

கோலினியர் (இணை திசை அல்லது எதிர்) திசையன்களுக்கு:

மேலே விவரிக்கப்பட்ட திட்டத்தை ஒரு அடிப்படையாக எடுத்துக் கொண்டால், 2 க்கும் மேற்பட்ட திசையன்களைச் சேர்க்கும் செயல்பாட்டைச் செய்வதற்கான வாய்ப்பைப் பெறுகிறோம்: ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த திசையனையும் சேர்த்து.

வரையறை 6

உள்ளீடு: திசையன்கள் ஒரு → , b → , c →, d → . விமானத்தில் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி A இலிருந்து, திசையனுக்கு சமமான ஒரு பகுதியை (வெக்டார்) ஒதுக்கி வைப்பது அவசியம் ஒரு →; பின்னர், விளைந்த திசையன் முடிவில் இருந்து, திசையன் சமமான ஒரு திசையன் b →; மேலும் - அடுத்தடுத்த திசையன்கள் அதே கொள்கையின்படி ஒத்திவைக்கப்படுகின்றன. கடைசியாக ஒத்திவைக்கப்பட்ட வெக்டரின் இறுதிப் புள்ளி B புள்ளியாக இருக்கும், அதன் விளைவாக வரும் பிரிவு (திசையன்) A B →- அனைத்து ஆரம்ப தரவுகளின் கூட்டுத்தொகை. பல திசையன்களைச் சேர்ப்பதற்கான விவரிக்கப்பட்ட திட்டம் அழைக்கப்படுகிறது பலகோண விதி .

வடிவியல் ரீதியாக, இது போல் தெரிகிறது:

வரையறை 7

ஒரு தனி செயல் திட்டம் திசையன் கழித்தல்இல்லை, ஏனெனில் உண்மையில் திசையன்களின் வேறுபாடு ஒரு →மற்றும் b →திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை ஆகும் ஒரு →மற்றும் - b → .

திசையனை ஒரு குறிப்பிட்ட எண் k ஆல் பெருக்கும் செயலைச் செய்ய, பின்வரும் விதிகள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும்:
- k > 1 எனில், இந்த எண் திசையனை k மடங்குகளால் நீட்டிக்கும்;
- 0 என்றால்< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1k முறை;
- என்றால் கே< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- k = 1 என்றால், திசையன் அப்படியே இருக்கும்;
- காரணிகளில் ஒன்று பூஜ்ஜிய திசையன் அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான எண்ணாக இருந்தால், பெருக்கத்தின் விளைவாக பூஜ்ஜிய திசையன் இருக்கும்.

ஆரம்ப தரவு:
1) திசையன் ஒரு →மற்றும் எண் k = 2;
2) திசையன் b →மற்றும் எண் k = - 1 3 .

வடிவியல் ரீதியாக, மேலே உள்ள விதிகளின்படி பெருக்கத்தின் முடிவு இப்படி இருக்கும்:

மேலே விவரிக்கப்பட்ட திசையன்களின் செயல்பாடுகள் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அவற்றில் சில வெளிப்படையானவை, மற்றவை வடிவியல் ரீதியாக நியாயப்படுத்தப்படலாம்.

உள்ளீடு: திசையன்கள் ஒரு → , b → , c →மற்றும் தன்னிச்சையான உண்மையான எண்கள் λ மற்றும் μ.

கம்யூட்டிவிட்டி மற்றும் அசோசியேட்டிவிட்டியின் பண்புகள் தன்னிச்சையான வரிசையில் திசையன்களைச் சேர்ப்பதை சாத்தியமாக்குகின்றன.

செயல்பாடுகளின் பட்டியலிடப்பட்ட பண்புகள் வழக்கமான எண்களைப் போலவே திசையன்-எண் வெளிப்பாடுகளின் தேவையான மாற்றங்களைச் செய்ய அனுமதிக்கின்றன. இதை ஒரு உதாரணத்துடன் பார்க்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

ஒரு பணி:வெளிப்பாடு a → - 2 (b → + 3 a →)
தீர்வு
- இரண்டாவது விநியோக சொத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்: a → - 2 (b → + 3 a →) = a → - 2 b → - 2 (3 a →)
- பெருக்கத்தின் துணைப் பண்புகளைப் பயன்படுத்தவும், வெளிப்பாடு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்: a → - 2 b → - 2 (3 a →) = a → - 2 b → - (2 3) a → = a → - 2 b → - 6 a →
- பரிமாற்றத் தன்மையைப் பயன்படுத்தி, விதிமுறைகளை மாற்றுகிறோம்: a → - 2 b → - 6 a → = a → - 6 a → - 2 b →
- பின்னர், முதல் விநியோக சொத்தின்படி, நாம் பெறுகிறோம்: a → - 6 a → - 2 b → = (1 - 6) a → - 2 b → = - 5 a → - 2 b → தீர்வு பற்றிய சுருக்கமான பதிவு இது போல் இருக்கும்: a → - 2 (b → + 3 a →) = a → - 2 b → - 2 3 a → = 5 a → - 2 b →
பதில்: a → - 2 (b → + 3 a →) = - 5 a → - 2 b →

உரையில் பிழை இருப்பதைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

சில இயற்பியல் அளவுகள், எடுத்துக்காட்டாக, விசை அல்லது வேகம், எண் மதிப்பால் மட்டுமல்ல, திசையாலும் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. இத்தகைய அளவுகள் திசையன் அளவுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன: எஃப்⃗ - வலிமை, v⃗ - வேகம்.
வெக்டரின் வடிவியல் வரையறையை வழங்குவோம்.
திசையன் ஒரு பிரிவு அழைக்கப்படுகிறது, அதன் எல்லைப் புள்ளிகளில் எது தொடக்கமாகக் கருதப்படுகிறது, எது முடிவு என்று குறிப்பிடப்படுகிறது.
வரைபடங்களில், திசையன் முடிவைக் குறிக்கும் அம்புக்குறியுடன் ஒரு கோடு பிரிவாக சித்தரிக்கப்படுகிறது. ஒரு திசையன் இரண்டு பெரிய லத்தீன் எழுத்துக்களால் அம்புக்குறியுடன் குறிக்கப்படுகிறது. முதல் எழுத்து திசையன் தொடக்கத்தைக் குறிக்கிறது, இரண்டாவது - முடிவு.

ஒரு வெக்டரை ஒரு சிறிய லத்தீன் எழுத்தின் மேல் அம்புக்குறி கொண்டும் குறிக்கலாம்.

ஒரு திசையன் நீளம் என்பது இந்த திசையனைக் குறிக்கும் பிரிவின் நீளம். வெக்டரின் நீளத்தைக் குறிக்க செங்குத்து அடைப்புக்குறிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
ஒரு திசையன் அதன் முடிவும் அதன் தொடக்கமும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் பூஜ்யம் திசையன். பூஜ்ஜிய திசையன் ஒரு புள்ளியால் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் இரண்டு ஒத்த எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகிறது அல்லது பூஜ்ஜியத்தின் மேல் அம்புக்குறியுடன் குறிக்கப்படுகிறது. பூஜ்ஜிய வெக்டரின் நீளம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்: |0 ⃗|= 0.

கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம் கோலினியர் திசையன்கள். பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் ஒரே கோட்டில் அல்லது இணையான கோடுகளில் இருந்தால் அவை கோலினியர் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பூஜ்ஜிய திசையன் எந்த வெக்டருக்கும் இணையாகக் கருதப்படுகிறது.

பூஜ்ஜியம் அல்லாத கோலினியர் திசையன்கள் ஒரே திசையைக் கொண்டிருந்தால், அத்தகைய திசையன்கள் இணை திசையில் இருக்கும். அவற்றின் திசைகள் எதிர்மாறாக இருந்தால், அவை எதிர் திசை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
இணை இயக்கப்பட்ட மற்றும் எதிர் திசையன்களைக் குறிக்க சிறப்புக் குறியீடுகள் உள்ளன:
- மீ ⃗ ஆர்⃗ என்றால் திசையன்கள் மீ⃗ மற்றும் ஆர்⃗ இணைந்து இயக்கினார்;
- மீ ⃗ ↓ n⃗ என்றால் திசையன்கள் மீ⃗ மற்றும் n⃗ நேர்மாறாக இயக்கப்பட்டது.
ஒரு காரின் இயக்கத்தைக் கவனியுங்கள். அதன் ஒவ்வொரு புள்ளியின் வேகமும் ஒரு திசையன் அளவு மற்றும் ஒரு இயக்கப்பட்ட பிரிவால் குறிக்கப்படுகிறது. காரின் அனைத்து புள்ளிகளும் ஒரே வேகத்தில் நகர்வதால், வெவ்வேறு புள்ளிகளின் வேகத்தைக் குறிக்கும் அனைத்து இயக்கப்பட்ட பிரிவுகளும் ஒரே திசையைக் கொண்டுள்ளன மற்றும் அவற்றின் நீளம் சமமாக இருக்கும். இந்த உதாரணம் திசையன்கள் சமமாக உள்ளதா என்பதை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பதற்கான குறிப்பைக் கொடுக்கிறது.
இரண்டு திசையன்கள் ஒரே திசையில் இருந்தால், அவற்றின் நீளம் சமமாக இருந்தால் சமம் என்று கூறப்படுகிறது. திசையன்களின் சமத்துவத்தை சம அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம்: அ ⃗ = பி ⃗, KH ⃗ = OE ⃗
புள்ளி என்றால் ஆர்திசையன் தொடக்கம் ஆர்⃗, பின்னர் திசையன் என்று கருதுகிறோம் ஆர்⃗ புள்ளியில் இருந்து ஒத்திவைக்கப்பட்டது ஆர்.

அதை எந்த நிலையிலிருந்தும் நிரூபிப்போம் ஓகொடுக்கப்பட்ட வெக்டருக்கு சமமான வெக்டரை ஒதுக்கி வைக்கலாம் ஆர்⃗ மற்றும் ஒரே ஒரு.

ஆதாரம்:
1) என்றால் ஆர்⃗ என்பது பூஜ்ஜிய திசையன், பின்னர் ஓஓ ⃗ = ஆர் ⃗.
2) திசையன் என்றால் ஆர்⃗ பூஜ்யம் அல்லாத, புள்ளி ஆர்இந்த திசையன் ஆரம்பம், மற்றும் புள்ளி டி- முற்றும்.
புள்ளி வழியாக செல்லவும் ஓநேராக, இணையாக RT. கட்டப்பட்ட நேர் கோட்டில், நாங்கள் பிரிவுகளை ஒதுக்கி வைக்கிறோம் OA 1 மற்றும் OA 2 பிரிவுக்கு சமம் RT.

திசையன்களில் இருந்து தேர்வு செய்யவும் OA 1 மற்றும் OA 2 திசையன் திசையனுடன் இணை திசையில் உள்ளது ஆர்⃗. எங்கள் வரைபடத்தில், இது ஒரு திசையன் OAஒன்று . இந்த திசையன் வெக்டருக்கு சமமாக இருக்கும் ஆர்⃗. அத்தகைய திசையன் தனித்துவமானது என்று கட்டுமானத்திலிருந்து இது பின்வருமாறு.

திசையன் \(\overrightarrow(AB)\) ஒரு புள்ளியை \(A\) (இயக்கத்தின் தொடக்கம்) இடத்திலிருந்து \(B\) (இயக்கத்தின் முடிவு) நிலைக்கு நகர்த்துவதைக் காணலாம். அதாவது, இந்த விஷயத்தில் இயக்கத்தின் பாதை முக்கியமல்ல, ஆரம்பமும் முடிவும் மட்டுமே முக்கியம்!

\(\ blacktriangleright\) இரண்டு திசையன்கள் ஒரே கோட்டில் அல்லது இரண்டு இணையான கோடுகளில் அமைந்தால் அவை கோலினியர் ஆகும்.
இல்லையெனில், திசையன்கள் கோலினியர் அல்லாதவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

\(\ blacktriangleright\) இரண்டு கோலினியர் வெக்டார்களின் திசைகள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் அவை இணை திசையில் இருக்கும்.
அவற்றின் திசைகள் எதிர்மாறாக இருந்தால், அவை எதிர் திசை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

கோலினியர் திசையன்களைச் சேர்ப்பதற்கான விதிகள்:

இணை திசை முடிவுமுதலில். பின்னர் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை ஒரு திசையன் ஆகும், இதன் தொடக்கமானது முதல் திசையனின் தொடக்கத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, மேலும் முடிவு இரண்டாவது ஒன்றின் முடிவோடு ஒத்துப்போகிறது (படம் 1).

\(\ blacktriangleright\) இரண்டைச் சேர்க்க எதிர் திசைகள்திசையன், நீங்கள் இரண்டாவது திசையன் இருந்து தள்ளி வைக்க முடியும் தொடங்குமுதலில். பின்னர் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை ஒரு திசையன் ஆகும், இதன் தொடக்கமானது இரு திசையன்களின் தொடக்கத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, நீளம் திசையன்களின் நீளங்களின் வித்தியாசத்திற்கு சமம், திசையானது நீண்ட திசையன் திசையுடன் ஒத்துப்போகிறது (படம் 2).

கோலினியர் அல்லாத திசையன்களைச் சேர்ப்பதற்கான விதிகள் \(\overrightarrow (a)\) மற்றும் \(\overrightarrow(b)\) :

\(\ கருப்பு முக்கோண வலது\) முக்கோண விதி (படம் 3).

திசையன் \(\overrightarrow (b)\) திசையன் \(\overrightarrow (a)\) இறுதியில் இருந்து ஒத்திவைக்க வேண்டியது அவசியம். பின்னர் கூட்டுத்தொகை ஒரு திசையன் ஆகும், அதன் தொடக்கமானது திசையன் \(\overrightarrow (a)\) , மற்றும் அதன் முடிவு திசையன் இறுதியுடன் ஒத்துப்போகிறது \(\overrightarrow (b)\) .

\(\ கருப்பு முக்கோண வலது\) இணையான வரைபட விதி (படம் 4).

திசையன் \(\overrightarrow (b)\) திசையன் \(\overrightarrow (a)\) தொடக்கத்தில் இருந்து ஒத்திவைக்க வேண்டியது அவசியம். பிறகு தொகை \(\overrightarrow (a)+\overrightarrow (b)\)திசையன்கள் \(\overrightarrow (a)\) மற்றும் \(\overrightarrow (b)\) (இதன் தொடக்கமானது இரு திசையன்களின் தொடக்கத்துடன் ஒத்துப்போகிறது) மீது கட்டப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டத்துடன் ஒத்துப்போகும் ஒரு திசையன் ஆகும்.

\(\ blacktriangleright\) இரண்டு திசையன்களின் வேறுபாட்டைக் கண்டறிய \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\), நீங்கள் திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் \(\overrightarrow (a)\) மற்றும் \(-\overrightarrow(b)\) : \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\)(படம் 5).

பணி 1 #2638

பணி நிலை: தேர்வை விட கடினமானது

ஒரு செங்கோண முக்கோணம் \(ABC\) \(A\) , புள்ளி \(O\) என்பது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தைச் சுற்றியுள்ள வட்டத்தின் மையமாகும். திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள் \(\overrightarrow(AB)=\(1;1\)\), \(\overrightarrow(AC)=\(-1;1\)\). திசையன் \(\overrightarrow(OC)\) ஆயத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

ஏனெனில் முக்கோணம் \(ABC\) வலது கோணத்தில் உள்ளது, பின்னர் சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் மையம் ஹைபோடென்யூஸின் நடுவில் உள்ளது, அதாவது. \(O\) என்பது \(BC\) இன் நடுப்பகுதி.

அதை கவனி \(\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)-\overrightarrow(AB)\), இதன் விளைவாக, \(\overrightarrow(BC)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).

ஏனெனில் \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\), பிறகு \(\overrightarrow(OC)=\(-1;0\)\).

எனவே, திசையன் \(\overrightarrow(OC)\) ஆயத்தொகை \(-1+0=-1\) க்கு சமம்.

பதில்:-1

பணி 2 #674

பணி நிலை: தேர்வை விட கடினமானது

\(ABCD\) என்பது ஒரு நாற்கரமாகும், அதன் பக்கங்களில் திசையன்கள் \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow(DA) \) . திசையன் நீளத்தைக் கண்டறியவும் \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)\).

\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC)\), \(\overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)\), பிறகு
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)= \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AD) = \vec(0)\).
பூஜ்ய திசையன் \(0\) க்கு சமமான நீளத்தைக் கொண்டுள்ளது.

ஒரு திசையன் ஒரு இடப்பெயர்ச்சி என்று கருதலாம் \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)\)- \(A\) இலிருந்து \(B\) க்கு, பின்னர் \(B\) இலிருந்து \(C\) க்கு - இறுதியில் அது \(A\) இலிருந்து \(C\) க்கு நகர்கிறது.

இந்த விளக்கத்தின் மூலம், அது தெளிவாகிறது \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)\), இதன் விளைவாக, இங்கே நாம் \(A\) புள்ளியில் இருந்து \(A\) புள்ளிக்கு நகர்ந்தோம், அதாவது, அத்தகைய இயக்கத்தின் நீளம் \(0\) க்கு சமம், அதாவது திசையன் அத்தகைய இயக்கமே \(\vec(0)\) .

பதில்: 0

பணி 3 #1805

பணி நிலை: தேர்வை விட கடினமானது

ஒரு இணையான வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டது \(ABCD\) . மூலைவிட்டங்கள் \(AC\) மற்றும் \(BD\) புள்ளியில் \(O\) வெட்டும். பிறகு விடுங்கள் \(\overrightarrow(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2)\overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (a) - \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\Rightarrow\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = - ஒன்று\) .

பதில்:-1

பணி 4 #1806

பணி நிலை: தேர்வை விட கடினமானது

ஒரு இணையான வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டது \(ABCD\) . புள்ளிகள் \(K\) மற்றும் \(L\) முறையே \(BC\) மற்றும் \(CD\), மற்றும் \(BK:KC = 3:1\) , மற்றும் \(L\) நடுப்புள்ளி \ (CD\) . விடுங்கள் \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), பிறகு \(\overrightarrow(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), இங்கு \(x\) மற்றும் \(y\) சில எண்கள். \(x + y\) க்கு சமமான எண்ணைக் கண்டறியவும்.

\[\overrightarrow(KL) = \overrightarrow(KC) + \overrightarrow(CL) = \frac(1)(4)\overrightarrow(BC) + \frac(1)(2)\overrightarrow(CD) = \frac (1)(4)\overrightarrow(AD) + \frac(1)(2)\overrightarrow(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (அ)\]\(\Rightarrow\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -0 ,25\)

பதில்: -0.25

பணி 5 #1807

பணி நிலை: தேர்வை விட கடினமானது

ஒரு இணையான வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டது \(ABCD\) . \(M\) மற்றும் \(N\) ஆகியவை முறையே \(AD\) மற்றும் \(BC\) பக்கங்களில் உள்ளன, இங்கு \(AM:MD = 2:3\) மற்றும் \(BN:NC = 3 ): ஒன்று\) . விடுங்கள் \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), பிறகு \(\overrightarrow(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3 )(4)\overrightarrow(BC) = - \frac(2)(5)\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(AB) + \frac(3)(4)\overrightarrow(BC) = -\frac(2 )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0.35\) .

பதில்: 0.35

பணி 6 #1808

பணி நிலை: தேர்வை விட கடினமானது

ஒரு இணையான வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டது \(ABCD\) . புள்ளி \(P\) மூலைவிட்டத்தில் உள்ளது \(BD\) , புள்ளி \(Q\) பக்கத்தில் உள்ளது \(CD\) , அங்கு \(BP:PD = 4:1\) , மற்றும் \( CQ:QD = 1:9 \) . விடுங்கள் \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), பிறகு \(\overrightarrow(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), இங்கு \(x\) மற்றும் \(y\) சில எண்கள். \(x\cdot y\) க்கு சமமான எண்ணைக் கண்டறியவும்.

\[\தொடங்கியது) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)\overrightarrow(AD) + \frac(7)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(சேகரித்தது)\]

\(\Rightarrow\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0, பதினான்கு\) . மற்றும் \(ABCO\) என்பது ஒரு இணையான வரைபடம்; \(AF \parallel BE\) மற்றும் \(ABOF\) – இணை வரைபடம் \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Rightarrow\) \(x + y = 2\) .

பதில்: 2

கணிதத்தில் பரீட்சைக்குத் தயாராகும் உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்கள், அதே நேரத்தில் ஒழுக்கமான மதிப்பெண்களைப் பெறுவதை எண்ணும் "பல திசையன்களைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகள்" என்ற தலைப்பை நிச்சயமாக மீண்டும் செய்ய வேண்டும். பல வருட நடைமுறையில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், இதுபோன்ற பணிகள் ஒவ்வொரு ஆண்டும் சான்றிதழ் சோதனையில் சேர்க்கப்படுகின்றன. ஒரு பட்டதாரிக்கு "விமானத்தில் வடிவியல்" பிரிவில் இருந்து பணிகளில் சிக்கல்கள் இருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக, திசையன்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் விதிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்றால், அவர் நிச்சயமாக மீண்டும் மீண்டும் அல்லது மீண்டும் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். பரீட்சையில் தேறு.

கல்வித் திட்டம் "Shkolkovo" சான்றிதழ் சோதனைக்குத் தயாராவதற்கு ஒரு புதிய அணுகுமுறையை வழங்குகிறது. மாணவர்கள் தங்களுக்கு மிகவும் கடினமான பிரிவுகளைக் கண்டறிந்து அறிவு இடைவெளிகளை நிரப்பும் வகையில் எங்கள் வளம் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. ஷ்கோல்கோவோ வல்லுநர்கள் சான்றிதழ் சோதனைக்குத் தயாராவதற்கு தேவையான அனைத்து பொருட்களையும் தயாரித்து முறைப்படுத்தியுள்ளனர்.

இரண்டு திசையன்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் விதிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டிய USE பணிகளுக்கு, சிரமங்களை ஏற்படுத்தாமல் இருக்க, முதலில் உங்கள் நினைவகத்தில் உள்ள அடிப்படைக் கருத்துகளைப் புதுப்பிக்குமாறு பரிந்துரைக்கிறோம். "கோட்பாட்டு குறிப்பு" பிரிவில் மாணவர்கள் இந்த உள்ளடக்கத்தைக் காணலாம்.

திசையன் கழித்தல் விதி மற்றும் இந்த தலைப்பில் அடிப்படை வரையறைகளை நீங்கள் ஏற்கனவே நினைவில் வைத்திருந்தால், Shkolkovo கல்வி போர்ட்டலின் நிபுணர்களால் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பொருத்தமான பயிற்சிகளை முடிப்பதன் மூலம் உங்கள் அறிவை ஒருங்கிணைக்க பரிந்துரைக்கிறோம். ஒவ்வொரு பிரச்சனைக்கும், தளம் ஒரு தீர்வு அல்காரிதத்தை முன்வைத்து சரியான பதிலை அளிக்கிறது. திசையன் கூட்டல் விதிகள் தலைப்பு பல்வேறு பயிற்சிகளைக் கொண்டுள்ளது; இரண்டு அல்லது மூன்று ஒப்பீட்டளவில் எளிதான பணிகளை முடித்த பிறகு, மாணவர்கள் அடுத்தடுத்து கடினமான பணிகளுக்கு செல்லலாம்.

இதுபோன்ற பணிகளில் தங்கள் சொந்த திறமைகளை வளர்த்துக் கொள்ள, எடுத்துக்காட்டாக, பள்ளி மாணவர்களுக்கு ஆன்லைனில் வாய்ப்பு இருப்பதால், மாஸ்கோவில் அல்லது ரஷ்யாவின் வேறு எந்த நகரத்திலும் உள்ளது. தேவைப்பட்டால், பணி "பிடித்தவை" பிரிவில் சேமிக்கப்படும். இதற்கு நன்றி, நீங்கள் ஆர்வத்தின் எடுத்துக்காட்டுகளை விரைவாகக் கண்டுபிடித்து, ஆசிரியருடன் சரியான பதிலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான வழிமுறைகளைப் பற்றி விவாதிக்கலாம்.

இந்த பாடத்தில் பெறப்பட்ட அறிவு மற்றும் திறன்கள் மாணவர்களுக்கு வடிவியல் பாடங்களில் மட்டுமல்ல, மற்ற அறிவியல் வகுப்புகளிலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். பாடத்தின் போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து ஒரு திசையன் எவ்வாறு திட்டமிடுவது என்பதை மாணவர்கள் கற்றுக்கொள்வார்கள். இது ஒரு வழக்கமான வடிவியல் பாடமாக இருக்கலாம், அதே போல் ஒரு சாராத அல்லது சாராத கணித வகுப்பாகவும் இருக்கலாம். இந்த வளர்ச்சி ஆசிரியருக்கு "ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியிலிருந்து ஒரு திசையன் தாமதப்படுத்துதல்" என்ற தலைப்பில் பாடம் தயாரிக்கும் நேரத்தை சேமிக்க உதவும். வகுப்பில் வீடியோ பாடத்தை விளையாடுவது அவருக்கு போதுமானதாக இருக்கும், பின்னர் அவர் தனது சொந்த பயிற்சிகளுடன் பொருளை ஒருங்கிணைக்க வேண்டும்.

பாடத்தின் காலம் 1:44 நிமிடங்கள் மட்டுமே. ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் இருந்து திசையன் ஒத்திவைக்க பள்ளி மாணவர்களுக்கு கற்பிக்க இது போதுமானது.

பாடம் ஒரு கட்டத்தில் தொடங்கும் ஒரு திசையன் விளக்கத்துடன் தொடங்குகிறது. அதிலிருந்து வெக்டார் தள்ளிப்போனதாக சொல்கிறார்கள். கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமான ஒரு திசையன் மற்றும் எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் தனித்துவத்தை வரையக்கூடிய அறிக்கையை அவருடன் சேர்ந்து நிரூபிக்க ஆசிரியர் முன்மொழிகிறார். ஆதாரத்தின் போக்கில், ஆசிரியர் ஒவ்வொரு வழக்கையும் விரிவாகக் கருதுகிறார். முதலாவதாக, கொடுக்கப்பட்ட திசையன் பூஜ்ஜியமாகவும், இரண்டாவதாக, திசையன் பூஜ்ஜியமாக இல்லாதபோதும் சூழ்நிலையை எடுக்கும். நிரூபணத்தின் போது, ​​வரைபடங்கள் மற்றும் கட்டுமானங்கள், கணிதக் குறியீடுகள் போன்ற வடிவங்களில் விளக்கப்படங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இது பள்ளி மாணவர்களிடையே கணித கல்வியறிவை உருவாக்குகிறது. ஆசிரியர் மெதுவாகப் பேசுகிறார், இது மாணவர்கள் கருத்து தெரிவிக்கும் போது இணையாக குறிப்புகளை எடுக்க அனுமதிக்கிறது. முன்னர் வகுக்கப்பட்ட அறிக்கையை நிரூபிக்கும் போது ஆசிரியரால் மேற்கொள்ளப்பட்ட கட்டுமானம், கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமான திசையன் ஒரு கட்டத்தில் இருந்து எவ்வாறு கட்டமைக்கப்படலாம் என்பதைக் காட்டுகிறது.

மாணவர்கள் பாடத்தை கவனமாகப் பார்த்து, அதே நேரத்தில் குறிப்புகளை எடுத்துக் கொண்டால், அவர்கள் பாடத்தை எளிதாகக் கற்றுக்கொள்வார்கள். மேலும், ஆசிரியர் விரிவாகவும், அளவாகவும், முழுமையாகவும் கூறுகிறார். சில காரணங்களால் நீங்கள் ஏதாவது கேட்கவில்லை என்றால், நீங்கள் திரும்பிச் சென்று பாடத்தை மீண்டும் பார்க்கலாம்.

வீடியோ டுடோரியலைப் பார்த்த பிறகு, பொருளை சரிசெய்யத் தொடங்குவது நல்லது. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் இருந்து திசையன் ஒத்திவைக்கும் திறனை உருவாக்க, இந்த தலைப்பில் பணிகளை தேர்வு செய்ய ஆசிரியர் பரிந்துரைக்கப்படுகிறார்.

இந்த பாடத்தை மாணவர்கள் தலைப்பை சுயமாக படிக்க பயன்படுத்தலாம். ஆனால் ஒருங்கிணைக்க, நீங்கள் ஆசிரியரைத் தொடர்பு கொள்ள வேண்டும், இதனால் அவர் பொருத்தமான பணிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பார். உண்மையில், பொருளை ஒருங்கிணைக்காமல், பயிற்சியில் நேர்மறையான முடிவை அடைவது கடினம்.

திசையன் – இது ஒரு நேர்கோடு பிரிவு, அதாவது ஒரு குறிப்பிட்ட நீளம் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட திசையைக் கொண்ட ஒரு பகுதி. புள்ளியை விடுங்கள் ஆனால்திசையன் ஆரம்பம், மற்றும் புள்ளி பி அதன் முடிவு, பின்னர் திசையன் குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறதுஅல்லது . திசையன் அழைக்கப்படுகிறது எதிர் திசையன் மற்றும் குறிக்க முடியும் .

பல அடிப்படை வரையறைகளை உருவாக்குவோம்.

நீளம்அல்லது தொகுதி திசையன்பிரிவின் நீளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது. பூஜ்ஜிய நீளத்தின் ஒரு திசையன் (அதன் சாராம்சம் ஒரு புள்ளி) என்று அழைக்கப்படுகிறது பூஜ்யம் மற்றும் திசை இல்லை. திசையன் அலகு நீளம் அழைக்கப்படுகிறதுஒற்றை . வெக்டரின் திசையை ஒத்த திசையன் அலகு திசையன் , என்று அழைக்கப்படுகிறது திசையன் திசையன் .

திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன கோலினியர் , அவர்கள் ஒரே வரியில் அல்லது இணையான கோடுகளில் இருந்தால், எழுதுங்கள். கோலினியர் திசையன்கள் ஒரே அல்லது எதிர் திசைகளைக் கொண்டிருக்கலாம். பூஜ்ஜிய திசையன் எந்த வெக்டருக்கும் இணையாகக் கருதப்படுகிறது.

திசையன்கள் சமம் என்று அழைக்கப்படுகின்றனஅவை கோலினியர் என்றால், ஒரே திசையைக் கொண்டிருக்கும், அதே நீளத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

விண்வெளியில் மூன்று திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன கோப்ளனார் அவர்கள் ஒரே விமானத்தில் அல்லது இணையான விமானங்களில் படுத்திருந்தால். மூன்று திசையன்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் அல்லது ஏதேனும் இரண்டு கோலினியர் என்றால், அத்தகைய திசையன்கள் கோப்லனர் ஆகும்.

விண்வெளியில் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைக் கருதுங்கள் 0 xyz. ஆய அச்சுகள் 0 இல் தேர்ந்தெடுக்கவும் எக்ஸ், 0ஒய், 0zஅலகு திசையன்கள் (orts) மற்றும் அவற்றைக் குறிக்கும்முறையே. நாம் ஒரு தன்னிச்சையான விண்வெளி திசையன் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்து அதன் தோற்றத்தை தோற்றத்துடன் பொருத்துகிறோம். நாங்கள் திசையனை ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் முன்வைக்கிறோம் மற்றும் கணிப்புகளைக் குறிக்கிறோம் ஒரு x, ஒரு ஒய், ஒரு இசட்முறையே. பின்னர் அதைக் காட்டுவது எளிது

. (2.25)

இந்த சூத்திரம் திசையன் கால்குலஸில் அடிப்படை மற்றும் அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளின் அலகு திசையன்களில் திசையன் விரிவாக்கம் . எண்கள் ஒரு x, ஒரு ஒய், ஒரு இசட்அழைக்கப்பட்டது திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள் . எனவே, ஒரு திசையனின் ஆயத்தொலைவுகள் ஆய அச்சுகளில் அதன் கணிப்புகளாகும். திசையன் சமத்துவம் (2.25) பெரும்பாலும் இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது

திசையன் ஆய மற்றும் புள்ளி ஆயங்களை பார்வைக்கு வேறுபடுத்துவதை எளிதாக்க, சுருள் அடைப்புக்குறிக்குள் திசையன் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம். பள்ளி வடிவவியலில் இருந்து அறியப்பட்ட பிரிவின் நீளத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, திசையன் மாடுலஸைக் கணக்கிடுவதற்கான வெளிப்பாட்டைக் காணலாம்.:

, (2.26)

அதாவது, ஒரு திசையன் மாடுலஸ் அதன் ஆயங்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்க மூலத்திற்குச் சமம்.

திசையன் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணங்களைக் குறிப்போம் α, β, γ முறையே. கொசைன்கள் இந்த கோணங்கள் திசையன் என்று அழைக்கப்படுகின்றன வழிகாட்டுகிறது , மற்றும் அவர்களுக்கு பின்வரும் தொடர்பு உள்ளது:இந்த சமத்துவத்தின் சரியான தன்மையை அச்சில் உள்ள திசையன் முன்கணிப்பின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி காட்டலாம், இது பின்வரும் பத்தி 4 இல் பரிசீலிக்கப்படும்.

திசையன்களை முப்பரிமாண இடத்தில் கொடுக்கலாம்அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகளுடன். பின்வரும் செயல்பாடுகள் அவற்றில் நடைபெறுகின்றன: நேரியல் (ஒரு எண்ணால் கூட்டுதல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் ஒரு திசையன் ஒரு அச்சில் அல்லது மற்றொரு திசையன் மீது கணிப்பு); நேரியல் அல்லாத - திசையன்களின் பல்வேறு தயாரிப்புகள் (ஸ்கேலர், வெக்டர், கலப்பு).

1. கூட்டல் இரண்டு திசையன்கள் ஒருங்கிணைப்பு வாரியாக உருவாக்கப்படுகின்றன, அதாவது

இந்த சூத்திரம் தன்னிச்சையான வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சொற்களைக் கொண்டுள்ளது.

வடிவியல் ரீதியாக, இரண்டு திசையன்கள் இரண்டு விதிகளின்படி சேர்க்கப்படுகின்றன:

a) ஆட்சி முக்கோணம் - இரண்டு திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையின் விளைவாக வரும் திசையன், அவற்றில் முதல்வற்றின் தொடக்கத்தை இரண்டாவது முடிவோடு இணைக்கிறது, இரண்டாவது தொடக்கமானது முதல் திசையனின் முடிவோடு ஒத்துப்போகிறது; திசையன்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு, கூட்டுத்தொகையின் விளைவாக வரும் திசையன், அவற்றில் முதல்வற்றின் தொடக்கத்தை கடைசி திசையன்-காலத்தின் முடிவோடு இணைக்கிறது, அடுத்த காலத்தின் ஆரம்பம் முந்தைய காலத்தின் முடிவுடன் ஒத்துப்போகிறது;

b) ஆட்சி இணைகரம் (இரண்டு திசையன்களுக்கு) - ஒரு இணையான வரைபடம் திசையன்களின் மீது கட்டப்பட்டுள்ளது-ஒரு தொடக்கமாக குறைக்கப்பட்ட பக்கங்களிலும் சேர்க்கிறது; அவற்றின் பொதுவான தோற்றத்திலிருந்து வரும் இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டமானது திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

2. கழித்தல் இரண்டு திசையன்கள் ஒருங்கிணைப்பு வாரியாக உற்பத்தி செய்யப்படுகின்றன, கூட்டலுக்கு ஒத்த, அதாவது என்றால், பிறகு

வடிவியல் ரீதியாக, இரண்டு திசையன்கள் ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ள இணையான வரைபட விதியின்படி சேர்க்கப்படுகின்றன, திசையன்களின் வேறுபாடு திசையன்களின் முனைகளை இணைக்கும் மூலைவிட்டம் என்ற உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, அதன் விளைவாக வரும் திசையன் திசையன் முடிவில் இருந்து இயக்கப்படுகிறது. குறைக்கப்பட்ட திசையன் முடிவு.

திசையன்களைக் கழிப்பதன் முக்கிய விளைவு என்னவென்றால், திசையன்களின் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவின் ஆயத்தொலைவுகள் அறியப்பட்டால், பின்னர் ஒரு திசையன் ஆயங்களை கணக்கிட, அதன் தொடக்கத்தின் ஆயத்தொலைவுகளை அதன் முடிவின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து கழிக்க வேண்டும். . உண்மையில், எந்த விண்வெளி திசையன்தோற்றத்தில் இருந்து வெளிப்படும் இரண்டு திசையன்களின் வேறுபாடாகக் குறிப்பிடலாம்:. திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்மற்றும் புள்ளிகளின் ஆயத்தொகுப்புகளுடன் ஒத்துப்போகிறதுஆனால்மற்றும் AT, தோற்றம் முதல்ஓ(0;0;0). எனவே, திசையன் கழித்தல் விதியின் படி, புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் கழிக்கப்பட வேண்டும்ஆனால்புள்ளி ஆயங்களிலிருந்துAT.

3. மணிக்கு ஒரு வெக்டரை ஒரு எண்ணால் பெருக்குதல் λ ஒருங்கிணைத்து:.

மணிக்கு λ> 0 - திசையன்இணைந்து இயக்கினார் ; λ< 0 - திசையன் எதிர் திசை ; | λ|> 1 - திசையன் நீளம் அதிகரிக்கிறது λ ஒருமுறை;| λ|< 1 - திசையன் நீளம் குறைகிறது λ ஒருமுறை.

4. விண்வெளியில் ஒரு இயக்கப்பட்ட கோடு கொடுக்கப்படட்டும் (அச்சு எல்), திசையன்இறுதி மற்றும் தொடக்க ஆயத்தொகுப்பு மூலம் கொடுக்கப்பட்டது. புள்ளிகளின் கணிப்புகளைக் குறிக்கவும் ஏமற்றும் பி ஒரு அச்சுக்கு எல்முறையே மூலம் ஏ’ மற்றும் பி’ .

கணிப்பு திசையன் ஒரு அச்சுக்கு எல்திசையன் நீளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, திசையன் என்றால் "+" அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டதுமற்றும் அச்சு எல்இணை திசை, மற்றும் "-" அடையாளத்துடன், என்றால்மற்றும் எல்எதிர்மாறாக இயக்கப்பட்டது.

அச்சாக இருந்தால் எல்வேறு சில திசையன்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், பின்னர் நாம் திசையன் திட்டத்தைப் பெறுகிறோம்திசையன் ஆர் மீது.

கணிப்புகளின் சில அடிப்படை பண்புகளை கருத்தில் கொள்வோம்:

1) திசையன் முன்கணிப்புஒரு அச்சுக்கு எல்திசையன் மாடுலஸின் தயாரிப்புக்கு சமம்திசையன் மற்றும் அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைன் மூலம், அதாவது;

2.) திசையன் அச்சுடன் ஒரு தீவிரமான (மொட்டு) கோணத்தை உருவாக்கினால், அச்சில் திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன் நேர்மறை (எதிர்மறை) மற்றும் இந்த கோணம் சரியாக இருந்தால் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்;

3) ஒரே அச்சில் உள்ள பல திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை இந்த அச்சில் உள்ள கணிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

திசையன்கள் மீது நேரியல் அல்லாத செயல்பாடுகளைக் குறிக்கும் திசையன்களின் தயாரிப்புகளில் வரையறைகள் மற்றும் கோட்பாடுகளை உருவாக்குவோம்.

5. டாட் தயாரிப்பு திசையன்கள் மற்றும்இந்த திசையன்களின் நீளம் மற்றும் கோணத்தின் கொசைன் ஆகியவற்றின் பெருக்கத்திற்கு சமமான எண் (ஸ்கேலர்) என்று அழைக்கப்படுகிறதுφ அவர்களுக்கு இடையே, அதாவது

. (2.27)

வெளிப்படையாக, எந்த பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்களின் ஸ்கேலார் சதுரம் அதன் நீளத்தின் சதுரத்திற்கு சமமாக இருக்கும், ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் கோணம் , எனவே அதன் கொசைன் (2.27 இல்) 1 ஆகும்.

தேற்றம் 2.2.இரண்டு வெக்டார்களின் செங்குத்தாக இருப்பதற்கான அவசியமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை அவற்றின் அளவிடல் உற்பத்தியின் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் ஆகும்.

விளைவு.யூனிட் வெக்டார்களின் ஜோடி ஸ்கேலர் தயாரிப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது,

தேற்றம் 2.3.இரண்டு திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு, அவற்றின் ஆயத்தொகுப்புகளால் கொடுக்கப்பட்ட, அதே பெயரில் உள்ள அவற்றின் ஆயங்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், அதாவது

(2.28)

திசையன்களின் அளவிடுதல் உற்பத்தியைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் கோணத்தைக் கணக்கிடலாம்அவர்களுக்கு மத்தியில். பூஜ்யம் அல்லாத இரண்டு திசையன்கள் அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் கொடுக்கப்பட்டால், பின்னர் கோணத்தின் கொசைன்φ அவர்களுக்கு மத்தியில்:

(2.29)

இது பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்களின் செங்குத்தாக இருக்கும் நிலையைக் குறிக்கிறதுமற்றும்:

(2.30)

வெக்டரின் ப்ரொஜெக்ஷனைக் கண்டறிதல்திசையன் கொடுத்த திசைக்கு , சூத்திரத்தின் படி மேற்கொள்ளப்படலாம்

(2.31)

திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைப் பயன்படுத்தி, ஒரு நிலையான விசையின் வேலை காணப்படுகிறதுநேரான பாதையில்.

ஒரு நிலையான சக்தியின் செயல்பாட்டின் கீழ் என்று கருதுகிறோம் பொருள் புள்ளி நிலையிலிருந்து ஒரு நேர் கோட்டில் நகரும் ஆனால்நிலைக்கு பி.விசை திசையன் ஒரு கோணத்தை உருவாக்குகிறது φ இடப்பெயர்ச்சி வெக்டருடன் (படம் 2.14). ஒரு சக்தி செய்யும் வேலை என்று இயற்பியல் கூறுகிறது நகரும் போதுசமமாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2.9.திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைப் பயன்படுத்தி, உச்சியில் உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்ஏஇணைகரம்ஏ பி சி டி, கட்ட திசையன்கள் மீது

தீர்வு.திசையன்களின் தொகுதிகள் மற்றும் அவற்றின் அளவிடல் உற்பத்தியை தேற்றத்தின்படி கணக்கிடுவோம் (2.3):

இங்கிருந்து, சூத்திரத்தின் படி (2.29), நாம் விரும்பிய கோணத்தின் கொசைனைப் பெறுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 2.10.ஒரு டன் பாலாடைக்கட்டி தயாரிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் மூலப்பொருட்கள் மற்றும் பொருள் வளங்களின் செலவுகள் அட்டவணை 2.2 (ரூபிள்) இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணை 2.2

பிறகு .வளங்களின் மொத்த செலவு, இது திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு ஆகும். தேற்றம் 2.3 இன் படி சூத்திரம் (2.28) மூலம் கணக்கிடுகிறோம்: