Konvertera uttryck med hjälp av logaritmers egenskaper, exempel, lösningar. Identiska transformationer av exponentiella och logaritmiska uttryck B4 identiska transformationer av logaritmiska uttryck

ÖPPEN ALGEBRA LEKTION I 11:E KLASSEN

LEKTIONSÄMNE

"OMVERKAR UTTRYCK,

INNEHÅLLER LOGARITMER"

Lektionens mål:

upprepa definitionen av logaritmen för ett tal, den grundläggande logaritmiska identiteten;

konsolidera de grundläggande egenskaperna hos logaritmer;

stärka den praktiska inriktningen av detta ämne för kvalitetsförberedelser för UNT;

främja solid assimilering av materialet;

främja utvecklingen av självkontroll hos elever.

Lektionstyp: kombinerad med ett interaktivt test.

Utrustning: projektor, duk, affischer med uppgifter, svarsblad.

Lektionsplanering:

Organisera tid.

Uppdaterar kunskap.

Interaktivt test.

"Turnering med logaritmer"

Lösa problem enligt läroboken.

Sammanfattande. Fyller i svarsformuläret.

Betygsättning.

Under lektionerna

1. Organisatoriskt ögonblick.

2. Fastställa målen för lektionen.

Hej grabbar! Idag har vi en ovanlig lektion, en lektion - ett spel, som vi kommer att genomföra i form av en turnering med logaritmer.

Låt oss börja lektionen med ett interaktivt test.

3. Interaktivt test:

4. Turnering med logaritmer:

Definition av logaritm.

Logaritmiska identiteter:

Förenkla:

Hitta innebörden av uttrycket:

Egenskaper för logaritmer .

Omvandling:

Arbetar med läroboken.

Sammanfattande.

Eleverna fyller i sitt eget svarsformulär.

Ge betyg för varje svar.

Betygsättning. Läxa. Bilaga 1.

Idag är du nedsänkt i logaritmer,

De måste beräknas korrekt.

Naturligtvis kommer du att möta dem på provet,

Vi kan bara önska dig framgång!

jag alternativ

a) 9 ½ =3; b) 7 0 =1.

A)logga8=6; b)logga9=-2.

a) 1.7 logga 1,7 2 ; b) 2 logga 2 5 .

4. Beräkna:

A) lg8+lg125;

b)logga 2 7-logg 2 7/16

V)logga 3 16/log 3 4.

II alternativ

1. Hitta logaritmen för att basen a av ett tal representerat som en potens med basen a:

a) 32 1/5 =2; b) 3 -1 =1/3.

2. Kontrollera giltigheten av jämlikheten:

A)logga27=-6; b)logga 0,5 4=-2.

3. Förenkla uttrycket med de grundläggande logaritmiska identiteterna:

a) 5 1+ logga 5 3 ; b) 10 1- lg 2

4. Beräkna:

A)logga 12 4+logg 12 36;

b) lg13-lg130;

V) (lg8+lg18)/(2lg2+lg3).

III alternativ

1. Hitta logaritmen för att basen a av ett tal representerat som en potens med basen a:

a) 27 2/3 =9; b) 32 3/5 =8.

2. Kontrollera giltigheten av jämlikheten:

A)logga 2 128=;

b)logga 0,2 0,008=3.

3. Förenkla uttrycket med de grundläggande logaritmiska identiteterna:

a) 4 2 logga 4 3 ;

b) 5 -3 logga 5 1/2 .

4. Beräkna:

A)logga 6 12+logg 6 18;

b)logga 7 14-loggar 7 6+logg 7 21;

V) (logga 7 3/ logga 7 13)∙ logga 3 169.

IV alternativ

1. Hitta logaritmen för att basen a av ett tal representerat som en potens med basen a:

a) 81 3/4 =27; b) 125 2/3 =25.

2. Kontrollera giltigheten av jämlikheten:

A)logga √5 0,2=-2;

b)logga 0,2 125=-3.

3. Förenkla uttrycket med de grundläggande logaritmiska identiteterna:

a) (1/2) 4 logga 1/2 3 ;

b) 6 -2 logga 6 5 .

4. Beräkna:

A)logga 14 42-log 14 3;

b)logga 2 20-log 2 25+logg 2 80;

V)logga 7 48/ logga 7 4- 0,5 logga 2 3.

Transnistrian State University

dem. T.G. Shevchenko

Fakulteten för fysik och matematik

Institutionen för matematisk analys

och metoder för undervisning i matematik

KURSARBETE

"Identitetsförändringar

exponentiell och logaritmisk

uttryck"

Arbete slutfört:

elev i _______ gruppen

Fakulteten för fysik och matematik

_________________________

Jag kollade arbetet:

_________________________

Tiraspol, 2003

Inledning……………………………………………………………………………………… 2

Kapitel 1. Identiska transformationer och undervisningsmetoder i skolgången av algebra och början av analys……………………………………..4

§1. Utbildning av färdigheter i att tillämpa specifika typer av transformationer……………………………………………………………………………………………….4

§2. Funktioner i organisationen av ett kunskapssystem i studiet av identitetstransformationer.…….……………………………….………..………….5

§3. Matematikprogrammet……………………………………………………………….11

Kapitel 2. Identiska transformationer och beräkningar av exponentiella och logaritmiska uttryck……………………………...…………………13

§1. Generalisering av begreppet examen………………………………………..13

§2. Exponentiell funktion………………………………………………………………..15

§3. Logaritmisk funktion……………………………………………….16

Kapitel 3. Identiska transformationer av exponentiella och logaritmiska uttryck i praktiken..........................................................................19

Slutsats………………………………………………………………………..24

Lista över referenser……………………………………………………………….25
Introduktion

I detta kursarbete kommer identiska transformationer av exponentiella och logaritmiska funktioner att beaktas, och metodiken för att lära ut dem i en skolalgebrakurs och början av analys kommer att beaktas.

Det första kapitlet i detta arbete beskriver metodiken för att lära ut identitetstransformationer i en matematikkurs i skolan, och inkluderar även ett matematikprogram i kursen ”Algebra och början av analys” med studiet av exponentiella och logaritmiska funktioner.

Det andra kapitlet undersöker direkt de exponentiella och logaritmiska funktionerna själva, deras grundläggande egenskaper som används i identitetstransformationer.

Det tredje kapitlet handlar om att lösa exempel och problem med identiska transformationer av exponentiella och logaritmiska funktioner.

Att studera olika transformationer av uttryck och formler tar upp en betydande del av undervisningstiden i en skolmatematikkurs. De enklaste transformationerna, baserade på egenskaperna hos aritmetiska operationer, utförs redan i grundskolan och i årskurserna IV-V. Men huvudbördan av att utveckla färdigheterna och förmågorna för att genomföra transformationer bärs av skolalgebrakursen. Detta beror både på den kraftiga ökningen av antalet och mångfalden av transformationer som genomförs, och på kompliceringen av aktiviteter för att underbygga dem och klargöra villkoren för tillämplighet, på identifieringen och studien av de generaliserade begreppen identitet, identisk transformation, motsvarande transformation, logisk konsekvens.

Kulturen att utföra identitetstransformationer utvecklas på samma sätt som beräkningskulturen, baserad på gedigen kunskap om egenskaperna hos operationer på objekt (tal, vektorer, polynom, etc.) och algoritmer för deras implementering. Det visar sig inte bara i förmågan att korrekt underbygga transformationer, utan också i förmågan att hitta den kortaste vägen till övergången från det ursprungliga analytiska uttrycket till det uttryck som mest motsvarar syftet med transformationen, i förmågan att övervaka förändringar i definitionsdomänen för analytiska uttryck i en kedja av identiska transformationer, i hastigheten och noggrannheten för att utföra transformationer.

Att säkerställa en hög kultur av beräkningar och identitetsomvandlingar är ett viktigt problem i undervisningen i matematik. Detta problem är dock fortfarande långt ifrån löst på ett tillfredsställande sätt. Ett bevis på detta är statistiska uppgifter från offentliga utbildningsmyndigheter, som årligen registrerar fel och irrationella metoder för beräkningar och omvandlingar som gjorts av elever i olika klasser när de utför tester. Detta bekräftas av feedback från högre utbildningsinstitutioner om kvaliteten på de sökandes matematiska kunskaper och färdigheter. Man kan inte annat än instämma i slutsatserna från offentliga utbildningsmyndigheter och universitet om att den otillräckligt höga nivån av beräkningskultur och identiska transformationer i gymnasieskolan är en konsekvens av formalism i elevernas kunskaper, separationen av teori från praktik.

Kapitel 1.

Identiska transformationer och undervisningsmetoder

i skolans kurs av algebra och början av analys.

§1. Bildande av applikationsfärdigheter

specifika typer av omvandlingtitlar.

Systemet med tekniker och regler för att utföra transformationer, som används i början av algebra, har ett mycket brett spektrum av tillämpningar: det används i studiet av hela matematikkursen. Men just på grund av dess låga specificitet kräver detta system ytterligare transformationer som tar hänsyn till de strukturella egenskaperna hos uttrycken som transformeras och egenskaperna hos nyligen introducerade operationer och funktioner. Att bemästra motsvarande typer av transformationer börjar med introduktionen av förkortade multiplikationsformler. Sedan övervägs transformationer som är förknippade med exponentieringsoperationen med olika klasser av elementära funktioner - exponentiell, potens, logaritmisk, trigonometrisk. Var och en av dessa typer av transformationer går igenom en inlärningsfas där uppmärksamheten fokuseras på att bemästra deras karakteristiska egenskaper.

Allt eftersom material ackumuleras blir det möjligt att lyfta fram de gemensamma särdragen för alla de transformationer som övervägs och på grundval av detta introducera begreppen identiska och likvärdiga transformationer.

Det bör noteras att begreppet identitetstransformation ges i skolalgebrakursen inte i full generalitet, utan endast i tillämpning på uttryck. Transformationer är indelade i två klasser: identiska transformationer är transformationer av uttryck och ekvivalenta transformationer är transformationer av formler. I de fall då det finns ett behov av att förenkla en del av formeln, markeras ett uttryck i denna formel, som fungerar som ett argument för den tillämpade identitetstransformationen. Motsvarande predikat anses vara oförändrat.

Rörande organisera ett holistiskt system av transformationer(syntes), då är dess huvudsakliga mål att bilda en flexibel och kraftfull; apparater som lämpar sig för att lösa en mängd olika utbildningsuppgifter.

Under loppet av algebra och början av analysen fortsätter ett holistiskt system av transformationer, redan bildade i dess huvuddrag, att gradvis förbättras. Vissa nya typer av transformationer läggs också till den, men de berikar den bara, utökar dess kapacitet, men ändrar inte dess struktur. Metodiken för att studera dessa nya transformationer skiljer sig praktiskt taget inte från den som används i algebrakursen.

§2. Funktioner i organisationenuppgiftssystem

när man studerar identitetstransformationer.

Den grundläggande principen för att organisera alla system av uppgifter är att presentera dem från enkla till komplexa, med hänsyn till behovet för eleverna att övervinna genomförbara svårigheter och skapa problematiska situationer. Denna grundläggande princip kräver specifikation i förhållande till funktionerna i detta utbildningsmaterial. För att beskriva olika system av uppgifter i matematikmetoder används begreppet cykel av övningar.Övningscykeln kännetecknas av kombinationen i en sekvens av övningar av flera aspekter av studier och tekniker för att ordna materialet. I relation till identitetstransformationer kan idén om en cykel ges enligt följande.

Övningscykeln är förknippad med studiet av en identitet, kring vilken andra identiteter som står i naturligt samband med den grupperas. Cykeln, tillsammans med verkställande, inkluderar uppgifter som kräver erkännande av tillämpligheten av identiteten i fråga. Identiteten som studeras används för att utföra beräkningar på olika numeriska domäner. Identitetens specificitet beaktas; i synnerhet är de talfigurer som är förknippade med den organiserade.

Uppgifterna i varje cykel är uppdelade i två grupper. Den första inkluderar uppgifter som utförs under den första bekantskapen med identiteten. De fungerar som utbildningsmaterial för flera på varandra följande lektioner förenade av ett ämne. Den andra gruppen av övningar kopplar samman identiteten som studeras med olika tillämpningar. Denna grupp bildar ingen sammansättningsenhet - övningarna här är utspridda över olika ämnen.

Den beskrivna cykelstrukturen hänvisar till stadiet för att utveckla färdigheter i att tillämpa specifika typer av transformationer. I slutskedet - syntessteget, modifieras cyklerna. För det första kombineras båda grupperna av uppgifter för att bilda en "expanderad" cykel, och de enklaste när det gäller formulering eller komplexitet för att slutföra uppgiften exkluderas från den första gruppen. De återstående typerna av uppgifter blir mer komplexa. För det andra finns det en sammanslagning av cykler relaterade till olika identiteter, på grund av vilket rollen för åtgärder för att erkänna tillämpbarheten av en viss identitet ökar.

Låt oss notera funktionerna i uppgiftscykler relaterade till identiteter för elementära funktioner. Dessa särdrag beror på det faktum att för det första studeras motsvarande identiteter i samband med studiet av funktionellt material och för det andra uppträder de senare än den första gruppens identiteter och studeras med hjälp av redan bildade färdigheter för att utföra identitetstransformationer .

Varje nyintroducerad elementär funktion utökar dramatiskt antalet nummer som kan betecknas och namnges individuellt. Därför bör den första gruppen av cykeluppgifter inkludera uppgifter för att upprätta kopplingar mellan dessa nya numeriska domäner och den ursprungliga domänen av rationella tal. Låt oss ge exempel på sådana uppgifter.

Exempel 1 . Beräkna:

Bredvid varje uttryck anges en identitet, i de cykler för vilka de föreslagna uppgifterna kan vara närvarande. Syftet med sådana uppgifter är att bemästra funktionerna i poster, inklusive symboler för nya operationer och funktioner, och att utveckla matematiska talfärdigheter.

En betydande del av användningen av identitetstransformationer förknippade med elementära funktioner faller på lösningen av irrationella och transcendentala ekvationer. Cyklerna relaterade till assimilering av identiteter inkluderar bara de enklaste ekvationerna, men här är det tillrådligt att arbeta med att bemästra metoden för att lösa sådana ekvationer: reducera den genom att ersätta det okända med en algebraisk ekvation.

Stegsekvensen för denna lösning är som följer:

a) hitta en funktion för vilken denna ekvation kan representeras i formen;

b) gör substitutionen och lös ekvationen;

c) lös var och en av ekvationerna, där är ekvationens rötter.

När man använder den beskrivna metoden utförs steg b) ofta implicit, utan att införa en notation för . Dessutom föredrar eleverna ofta, från de olika vägarna som leder till att hitta ett svar, att välja den som leder till den algebraiska ekvationen snabbare och enklare.

Exempel 2 . Lös ekvationen.

Första sättet:

Andra sättet:

Här kan du se att med den första metoden är steg a) svårare än med det andra. Den första metoden är "svårare att börja med", även om den fortsatta lösningen är mycket enklare. Å andra sidan har den andra metoden fördelarna med större lätthet och större precision när det gäller att lära sig reducera till en algebraisk ekvation.

För en skolalgebrakurs är typiska uppgifter där övergången till en algebraisk ekvation är ännu enklare än i detta exempel. Huvudbelastningen av sådana uppgifter hänför sig till identifieringen av steg c) som en oberoende del av lösningsprocessen i samband med användningen av egenskaperna hos den elementära funktionen som studeras.

Exempel 3 . Lös ekvationen:

Dessa ekvationer reduceras till ekvationerna: a) eller ; b) eller . För att lösa dessa ekvationer krävs kunskap om endast de enklaste fakta om exponentialfunktionen: dess monotoni, värdeomfång. Liksom föregående exempel kan ekvationerna a) och b) klassificeras som den första gruppen i en serie övningar för att lösa andragradsexponentialekvationer.

Således kommer vi till en klassificering av uppgifter i cykler relaterade till att lösa transcendentala ekvationer som inkluderar en exponentiell funktion:

1) ekvationer som reduceras till formens ekvationer och har ett enkelt, generellt svar: ;

2) ekvationer som reduceras till ekvationer , där är ett heltal, eller , där ;

3) ekvationer som reduceras till ekvationer och kräver explicit analys av formen i vilken talet skrivs .

Uppgifter för andra elementära funktioner kan klassificeras på liknande sätt.

En betydande del av identiteterna som studeras i algebra och algebra och principer för analyskurser bevisas i dem eller åtminstone förklaras. Denna aspekt av identitetsstudiet är av stor betydelse för båda kurserna, eftersom bevisresonemang i dem förs med största tydlighet och stringens just i relation till identiteter. Utöver detta material är bevisen vanligtvis mindre fullständiga att de inte alltid särskiljs från den bevisning som används.

Egenskaperna för aritmetiska operationer används som stöd på vilket identitetsbevis byggs.

Den pedagogiska effekten av beräkningar och identiska transformationer kan syfta till utvecklingen av logiskt tänkande, om bara eleverna systematiskt åläggs att motivera beräkningar och identiska transformationer, och till utvecklingen av funktionellt tänkande, vilket uppnås på olika sätt. Vikten av beräkningar och identiska transformationer i utvecklingen av vilja, minne, intelligens, självkontroll och kreativt initiativ är ganska uppenbar.

Kraven på vardaglig och industriell datorpraktik kräver att eleverna utvecklar starka, automatiserade färdigheter i rationella beräkningar och identitetstransformationer. Dessa färdigheter utvecklas i processen för alla beräkningsarbeten, men speciella träningsövningar i snabba beräkningar och transformationer är nödvändiga.

Så om lektionen går ut på att lösa logaritmiska ekvationer med den grundläggande logaritmiska identiteten, är det användbart att i lektionsplanen inkludera muntliga övningar om att förenkla eller beräkna betydelsen av uttryck: , , . Syftet med övningarna kommuniceras alltid till eleverna. Under övningen kan det vara nödvändigt att kräva att eleverna motiverar individuella transformationer, handlingar eller lösningen på ett helt problem, även om detta inte var planerat. Där olika sätt att lösa ett problem är möjliga, är det lämpligt att alltid ställa frågor: "Hur löstes problemet?", "Vem löste problemet på ett annat sätt?"

Begreppen identitet och identitetstransformation introduceras uttryckligen i algebrakursen VI. Själva definitionen av identiska uttryck kan inte praktiskt användas för att bevisa identiteten för två uttryck, och förstå att essensen av identiska transformationer är att på uttrycket tillämpa definitionerna och egenskaperna för de handlingar som anges i uttrycket, eller att lägga till det är ett uttryck som är identiskt lika med 0, eller genom att multiplicera det med ett uttryck som är identiskt lika med ett. Men även efter att ha behärskat dessa bestämmelser förstår eleverna ofta inte varför dessa transformationer tillåter oss att hävda att de ursprungliga och resulterande uttrycken är identiska, dvs. ta samma värden för alla system (uppsättningar) av variabelvärden.

Det är också viktigt att se till att eleverna tydligt förstår att sådana slutsatser av identiska transformationer är konsekvenser av definitionerna och egenskaperna hos motsvarande handlingar.

Apparaten för identitetsomvandlingar, som ackumulerats under tidigare år, utökas i klass VI. Denna förlängning börjar med införandet av en identitet som uttrycker egenskapen hos produkten av makter med samma baser: , där , är heltal.

§3. Matematik program.

I skolkursen "Algebra och analysens början" studerar eleverna systematiskt exponentiella och logaritmiska funktioner och deras egenskaper, identiska transformationer av logaritmiska och exponentiella uttryck och deras tillämpning för att lösa motsvarande ekvationer och ojämlikheter, och blir bekanta med grundläggande begrepp och påståenden. .

I årskurs 11 tar algebralektionerna 3 timmar i veckan, totalt 102 timmar per år. Programmet tar 36 timmar att studera exponential-, logaritm- och potensfunktioner.

Programmet omfattar övervägande och studier av följande frågor:

Begreppet en examen med en rationell exponent. Lösa irrationella ekvationer. Exponentialfunktion, dess egenskaper och graf. Identiska transformationer av exponentiella uttryck. Lösa exponentiella ekvationer och ojämlikheter. Logaritm av ett tal. Grundläggande egenskaper hos logaritmer. Logaritmisk funktion, dess egenskaper och graf. Lösa logaritmiska ekvationer och ojämlikheter. Derivat av en exponentiell funktion. Antal och naturlig logaritm. Derivat av en potensfunktion.

Huvudsyftet med exponential- och logaritmfunktionssektionen är att göra eleverna bekanta med exponential-, logaritm- och potensfunktioner; lära eleverna att lösa exponentiella och logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Begreppen th rot och graden med en rationell exponent är en generalisering av begreppen kvadratroten och graden med en heltalsexponent. Eleverna bör vara uppmärksamma på att egenskaperna hos rötter och potenser med rationella exponenter som betraktas här liknar de egenskaper som de tidigare studerade kvadratrötterna och potenserna med heltalsexponenter besitter. Det är nödvändigt att ägna tillräckligt med tid åt att öva på egenskaperna hos examina och utveckla färdigheterna för identitetstransformationer. Begreppet en examen med en irrationell exponent introduceras på en visuell och intuitiv basis. Detta material spelar en hjälproll och används när exponentialfunktionen introduceras.

Studiet av egenskaperna hos exponential-, logaritm- och potensfunktioner konstrueras i enlighet med det accepterade allmänna schemat för att studera funktioner. I detta fall ges en översikt över egenskaperna beroende på parametervärdena. Exponentiella och logaritmiska olikheter löses utifrån de studerade egenskaperna hos funktioner.

Utmärkande för kursen är systematisering och generalisering av elevernas kunskaper, konsolidering och utveckling av färdigheter som förvärvats i algebrakursen, vilket genomförs både när man studerar nytt material och när man genomför generaliserad upprepning.
Kapitel 2.

Identitetstransformationer och beräkningar

exponentiella och logaritmiska uttryck

§1. Generalisering av begreppet examen.

Definition: Den th roten av ett rent tal är ett tal vars th potens är lika med .

Enligt denna definition är den e roten av ett tal lösningen på ekvationen. Antalet rötter i denna ekvation beror på och. Låt oss överväga funktionen. Som bekant, på intervallet ökar denna funktion för vilket värde som helst och tar alla värden från intervallet. Enligt rotsatsen har ekvationen för någon en icke-negativ rot och dessutom bara en. Han heter aritmetisk rot av den e graden av ett tal och beteckna ; numret är uppringt rotindex, och själva numret är radikalt uttryck. Tecknet kallas också radikal.

Definition: Aritmetisk rot av den e potensen av ett tal är ett icke-negativt tal vars -:e potens är lika med .

För jämna tal är funktionen jämn. Det följer att om , så har ekvationen, förutom roten, också en rot. Om , så finns det en rot: ; om , så har denna ekvation inga rötter, eftersom den jämna potensen av ett tal är icke-negativ.

För udda värden ökar funktionen längs hela tallinjen; dess intervall är mängden av alla reella tal. Genom att tillämpa rotsatsen finner vi att ekvationen har en rot för någon och i synnerhet för . Denna rot för valfritt värde betecknas med .

För rötter av udda grad är jämlikheten sann. Faktum är att, dvs. talet är den: e roten av . Men en sådan rot till udda är den enda. Därav, .

Anteckning 1: För alla verkliga

Låt oss komma ihåg de kända egenskaperna hos aritmetiska rötter av den e graden.

För alla naturliga tal, heltal och alla icke-negativa heltal och likheterna är giltiga:

Examen med en rationell exponent.

Uttrycket definieras för alla och , förutom fallet med . Låt oss komma ihåg egenskaperna hos sådana krafter.

För alla tal och alla heltal och likheterna är giltiga:

Vi noterar också att om , då vid och vid .

Definition: En potens av ett tal med en rationell exponent, där är ett heltal och är ett naturligt tal, kallas ett tal.

Så per definition.

Med den formulerade definitionen av en grad med en rationell exponent bevaras de grundläggande egenskaperna för grader, som är sanna för alla exponenter (skillnaden är att egenskaperna är sanna endast för positiva baser).

§2. Exponentiell funktion.

Definition: Funktionen som ges av formeln (där , ) anropas exponentialfunktion med bas .

Låt oss formulera exponentialfunktionens huvudegenskaper.

Funktionsdiagram (Fig. 1)

Dessa formler kallas grundläggande egenskaper hos grader.

Du kan också märka att funktionen är kontinuerlig på uppsättningen av reella tal.

§3. Logaritmisk funktion.

Definition: Logaritm tal till basen kallas exponenten till vilken basen måste höjas. För att få numret.

Formeln (där , och ) kallas grundläggande logaritmisk identitet.

När man arbetar med logaritmer används följande egenskaper, som härrör från egenskaperna för exponentialfunktionen:

För alla( )och alla positiva och jämlikheter är uppfyllda:

5. på riktigt.

De grundläggande egenskaperna hos logaritmer används ofta vid konvertering av uttryck som innehåller logaritmer. Till exempel används ofta formeln för att flytta från en logaritmbas till en annan: .

Låt vara ett positivt tal som inte är lika med 1.

Definition: Funktionen som formeln ger kallas logaritmisk funktion med bas.

Låt oss lista huvudegenskaperna för den logaritmiska funktionen.

1. Definitionsdomänen för en logaritmisk funktion är mängden av alla positiva tal, dvs. .

2. Värdeintervallet för en logaritmisk funktion är mängden av alla reella tal.

3. Den logaritmiska funktionen över hela definitionsdomänen ökar (at ) eller minskar (at ).

Funktionsdiagram (fig. 2)

Grafer för exponentiella och logaritmiska funktioner med samma bas är symmetriska med avseende på en rät linje(Fig. 3).

Kapitel 3.

Identiska transformationer av exponentiella och

logaritmiska uttryck i praktiken.

Övning 1.

Beräkna:

Lösning:

Svar:; ; ; ; .; , det förstår vi

Jag övervägde metoder för att utveckla färdigheter hos elever när jag studerade detta material. Hon presenterade också ett program i matematik för att studera kursen för exponentiella och logaritmiska funktioner i kursen "Algebra och början av analys."

Arbetet presenterade uppgifter av olika komplexitet och innehåll, med identiska transformationer. Dessa uppgifter kan användas för att genomföra tester eller självständigt arbete för att testa elevernas kunskaper.

Kursarbetet har enligt min mening genomförts inom ramen för metodiken för matematikundervisning på gymnasieskolor och kan användas som ett visuellt hjälpmedel för skollärare, samt för heltids- och deltidsstuderande.

Lista över använd litteratur:

1. Algebra och början av analys. Ed. Kolmogorova A.N. M.: Utbildning, 1991.
2. Program för gymnasieskolor, gymnastiksalar, lyceum. Matematik 5-11 årskurser. M.: Bustard, 2002.
3. OM. Sharygin, V.I. Golubev. Valbar kurs i matematik (problemlösning). Usch. bidrag för 11:e klass. M.: Utbildning, 1991.
4. V.A. Oganesyan et al. Metoder för att undervisa i matematik i gymnasieskolan: Allmän metodik; En lärobok för studenter vid fakulteten för fysik och matematik vid pedagogiska institut. -2:a upplagan reviderad och utökad M.: Education, 1980.
5. Cherkasov R.S., Stolyar A.A. Metoder för att undervisa i matematik i gymnasieskolan. M.: Utbildning, 1985.
6. Tidningen "Matematik i skolan".

Transnistrian State University

dem. T.G. Shevchenko

Fakulteten för fysik och matematik

Institutionen för matematisk analys

och metoder för undervisning i matematik

KURSARBETE

"Identitetsförändringar

exponentiell och logaritmisk

uttryck"

Arbete slutfört:

elev i _______ gruppen

Fakulteten för fysik och matematik

_________________________

Jag kollade arbetet:

_________________________

Tiraspol, 2003

Inledning……………………………………………………………………………………… 2

Kapitel 1. Identitetstransformationer och undervisningsmetoder i algebras skolgång och början av analys…………………………………………..4

§1. Utbildning av färdigheter i att tillämpa specifika typer av transformationer……………………………………………………………………………………………….4

§2. Funktioner i organisationen av ett kunskapssystem i studiet av identitetstransformationer.…….……………………………….………..………….5

§3. Matematikprogrammet……………………………………………………………….11

Kapitel 2. Identiska transformationer och beräkningar av exponentiella och logaritmiska uttryck…………………………………………………………13

§1. Generalisering av begreppet examen………………………………………..13

§2. Exponentiell funktion………………………………………………………………..15

§3. Logaritmisk funktion……………………………………………….16

Kapitel 3. Identiska transformationer av exponentiella och logaritmiska uttryck i praktiken......................................... ............................................................19

Slutsats………………………………………………………………………..24

Lista över referenser……………………………………………………………….25
Introduktion

I detta kursarbete kommer identiska transformationer av exponentiella och logaritmiska funktioner att beaktas, och metodiken för att lära ut dem i en skolalgebrakurs och början av analys kommer att beaktas.

Det första kapitlet i detta arbete beskriver metodiken för att lära ut identitetstransformationer i en matematikkurs i skolan, och inkluderar även ett matematikprogram i kursen ”Algebra och början av analys” med studiet av exponentiella och logaritmiska funktioner.

Det andra kapitlet undersöker direkt de exponentiella och logaritmiska funktionerna själva, deras grundläggande egenskaper som används i identitetstransformationer.

Det tredje kapitlet handlar om att lösa exempel och problem med identiska transformationer av exponentiella och logaritmiska funktioner.

Att studera olika transformationer av uttryck och formler tar upp en betydande del av undervisningstiden i en skolmatematikkurs. De enklaste omvandlingarna, baserade på egenskaperna hos aritmetiska operationer, utförs redan i grundskolan och i årskurserna IV–V. Men huvudbördan av att utveckla färdigheterna och förmågorna för att genomföra transformationer bärs av skolalgebrakursen. Detta beror både på den kraftiga ökningen av antalet och mångfalden av transformationer som genomförs, och på kompliceringen av aktiviteter för att underbygga dem och klargöra villkoren för tillämplighet, på identifieringen och studien av de generaliserade begreppen identitet, identisk transformation, motsvarande transformation, logisk konsekvens.

Kulturen att utföra identitetstransformationer utvecklas på samma sätt som beräkningskulturen, baserad på gedigen kunskap om egenskaperna hos operationer på objekt (tal, vektorer, polynom, etc.) och algoritmer för deras implementering. Det visar sig inte bara i förmågan att korrekt underbygga transformationer, utan också i förmågan att hitta den kortaste vägen till övergången från det ursprungliga analytiska uttrycket till det uttryck som mest motsvarar syftet med transformationen, i förmågan att övervaka förändringar i definitionsdomänen för analytiska uttryck i en kedja av identiska transformationer, i hastigheten och noggrannheten för att utföra transformationer.

Att säkerställa en hög kultur av beräkningar och identitetsomvandlingar är ett viktigt problem i undervisningen i matematik. Detta problem är dock fortfarande långt ifrån löst på ett tillfredsställande sätt. Ett bevis på detta är statistiska uppgifter från offentliga utbildningsmyndigheter, som årligen registrerar fel och irrationella metoder för beräkningar och omvandlingar som gjorts av elever i olika klasser när de utför tester. Detta bekräftas av feedback från högre utbildningsinstitutioner om kvaliteten på de sökandes matematiska kunskaper och färdigheter. Man kan inte annat än instämma i slutsatserna från offentliga utbildningsmyndigheter och universitet om att den otillräckligt höga nivån av beräkningskultur och identiska transformationer i gymnasieskolan är en konsekvens av formalism i elevernas kunskaper, separationen av teori från praktik.

Identiska transformationer och undervisningsmetoder

i skolans kurs av algebra och början av analys.

§1. Bildande av applikationsfärdigheter

specifika typer av transformationer.

Systemet med tekniker och regler för att utföra transformationer, som används i början av algebra, har ett mycket brett spektrum av tillämpningar: det används i studiet av hela matematikkursen. Men just på grund av dess låga specificitet kräver detta system ytterligare transformationer som tar hänsyn till de strukturella egenskaperna hos uttrycken som transformeras och egenskaperna hos nyligen introducerade operationer och funktioner. Att bemästra motsvarande typer av transformationer börjar med introduktionen av förkortade multiplikationsformler. Sedan övervägs transformationer som är förknippade med exponentieringsoperationen med olika klasser av elementära funktioner - exponentiell, potens, logaritmisk, trigonometrisk. Var och en av dessa typer av transformationer går igenom en inlärningsfas där uppmärksamheten fokuseras på att bemästra deras karakteristiska egenskaper.

Allt eftersom material ackumuleras blir det möjligt att lyfta fram de gemensamma särdragen för alla de transformationer som övervägs och på grundval av detta introducera begreppen identiska och likvärdiga transformationer.

Det bör noteras att begreppet identitetstransformation ges i skolalgebrakursen inte i full generalitet, utan endast i tillämpning på uttryck. Transformationer är indelade i två klasser: identiska transformationer är transformationer av uttryck och ekvivalenta transformationer är transformationer av formler. I de fall då det finns ett behov av att förenkla en del av formeln, markeras ett uttryck i denna formel, som fungerar som ett argument för den tillämpade identitetstransformationen. Motsvarande predikat anses vara oförändrat.

När det gäller organisationen av ett integrerat system av transformationer (syntes), är dess huvudsakliga mål att bilda en flexibel och kraftfull; apparater som lämpar sig för att lösa en mängd olika utbildningsuppgifter.

Under loppet av algebra och början av analysen fortsätter ett holistiskt system av transformationer, redan bildade i dess huvuddrag, att gradvis förbättras. Vissa nya typer av transformationer läggs också till den, men de berikar den bara, utökar dess kapacitet, men ändrar inte dess struktur. Metodiken för att studera dessa nya transformationer skiljer sig praktiskt taget inte från den som används i algebrakursen.

§2. Funktioner i organisationen av uppgiftssystemet

när man studerar identitetstransformationer.

Den grundläggande principen för att organisera alla system av uppgifter är att presentera dem från enkla till komplexa, med hänsyn till behovet för eleverna att övervinna genomförbara svårigheter och skapa problematiska situationer. Denna grundläggande princip kräver specifikation i förhållande till funktionerna i detta utbildningsmaterial. För att beskriva olika system av uppgifter i matematikmetoder används begreppet en cykel av övningar. Övningscykeln kännetecknas av kombinationen i en sekvens av övningar av flera aspekter av studier och tekniker för att ordna materialet. I relation till identitetstransformationer kan idén om en cykel ges enligt följande.

Övningscykeln är förknippad med studiet av en identitet, kring vilken andra identiteter som står i naturligt samband med den grupperas. Cykeln, tillsammans med verkställande, inkluderar uppgifter som kräver erkännande av tillämpligheten av identiteten i fråga. Identiteten som studeras används för att utföra beräkningar på olika numeriska domäner. Identitetens specificitet beaktas; i synnerhet är de talfigurer som är förknippade med den organiserade.

Uppgifterna i varje cykel är uppdelade i två grupper. Den första inkluderar uppgifter som utförs under den första bekantskapen med identiteten. De fungerar som utbildningsmaterial för flera på varandra följande lektioner förenade av ett ämne. Den andra gruppen av övningar kopplar samman identiteten som studeras med olika tillämpningar. Denna grupp bildar ingen sammansättningsenhet - övningarna här är utspridda över olika ämnen.

Den beskrivna cykelstrukturen hänvisar till stadiet för att utveckla färdigheter i att tillämpa specifika typer av transformationer. I det sista steget, syntessteget, modifieras cyklerna. För det första kombineras båda grupperna av uppgifter för att bilda en "expanderad" cykel, och de enklaste när det gäller formulering eller komplexitet för att slutföra uppgiften exkluderas från den första gruppen. De återstående typerna av uppgifter blir mer komplexa. För det andra finns det en sammanslagning av cykler relaterade till olika identiteter, på grund av vilket rollen för åtgärder för att erkänna tillämpbarheten av en viss identitet ökar.

Låt oss notera funktionerna i uppgiftscykler relaterade till identiteter för elementära funktioner. Dessa särdrag beror på det faktum att för det första studeras motsvarande identiteter i samband med studiet av funktionellt material och för det andra uppträder de senare än den första gruppens identiteter och studeras med hjälp av redan bildade färdigheter för att utföra identitetstransformationer .

Varje nyintroducerad elementär funktion utökar dramatiskt antalet nummer som kan betecknas och namnges individuellt. Därför bör den första gruppen av cykeluppgifter inkludera uppgifter för att upprätta kopplingar mellan dessa nya numeriska domäner och den ursprungliga domänen av rationella tal. Låt oss ge exempel på sådana uppgifter.

Exempel 1. Beräkna:

Bredvid varje uttryck anges en identitet, i de cykler för vilka de föreslagna uppgifterna kan vara närvarande. Syftet med sådana uppgifter är att bemästra funktionerna i poster, inklusive symboler för nya operationer och funktioner, och att utveckla matematiska talfärdigheter.

En betydande del av användningen av identitetstransformationer förknippade med elementära funktioner faller på lösningen av irrationella och transcendentala ekvationer. Cyklerna relaterade till assimilering av identiteter inkluderar bara de enklaste ekvationerna, men här är det tillrådligt att arbeta med att bemästra metoden för att lösa sådana ekvationer: reducera den genom att ersätta det okända med en algebraisk ekvation.

Stegsekvensen för denna lösning är som följer:

a) hitta en funktion för vilken denna ekvation kan representeras i formen;

b) gör substitutionen och lös ekvationen;

c) lös var och en av ekvationerna, där är ekvationens rötter.

När man använder den beskrivna metoden utförs steg b) ofta implicit, utan att införa en notation för . Dessutom föredrar eleverna ofta, från de olika vägarna som leder till att hitta ett svar, att välja den som leder till den algebraiska ekvationen snabbare och enklare.

Exempel 2. Lös ekvationen.

Första sättet:

Andra sättet:

A)

b)

Här kan du se att med den första metoden är steg a) svårare än med det andra. Den första metoden är "svårare att börja med", även om den fortsatta lösningen är mycket enklare. Å andra sidan har den andra metoden fördelarna med större lätthet och större precision när det gäller att lära sig reducera till en algebraisk ekvation.

För en skolalgebrakurs är typiska uppgifter där övergången till en algebraisk ekvation är ännu enklare än i detta exempel. Huvudbelastningen av sådana uppgifter hänför sig till identifieringen av steg c) som en oberoende del av lösningsprocessen i samband med användningen av egenskaperna hos den elementära funktionen som studeras.

Exempel 3. Lös ekvationen:

A) ; b) .

Dessa ekvationer reduceras till ekvationerna: a) eller ; b) eller . För att lösa dessa ekvationer krävs kunskap om endast de enklaste fakta om exponentialfunktionen: dess monotoni, värdeomfång. Liksom föregående exempel kan ekvationerna a) och b) klassificeras som den första gruppen i en serie övningar för att lösa andragradsexponentialekvationer.

Således kommer vi till en klassificering av uppgifter i cykler relaterade till att lösa transcendentala ekvationer som inkluderar en exponentiell funktion:

1) ekvationer som reduceras till formens ekvationer och har ett enkelt, generellt svar: ;

2) ekvationer som reduceras till ekvationer , där är ett heltal, eller , där ;

3) ekvationer som reduceras till ekvationer och kräver explicit analys av den form som talet skrivs i.

Uppgifter för andra elementära funktioner kan klassificeras på liknande sätt.

En betydande del av identiteterna som studeras i algebra och algebra och principer för analyskurser bevisas i dem eller åtminstone förklaras. Denna aspekt av identitetsstudiet är av stor betydelse för båda kurserna, eftersom bevisresonemang i dem förs med största tydlighet och stringens just i relation till identiteter. Utöver detta material är bevisen vanligtvis mindre fullständiga att de inte alltid särskiljs från den bevisning som används.

Egenskaperna för aritmetiska operationer används som stöd på vilket identitetsbevis byggs.

Den pedagogiska effekten av beräkningar och identiska transformationer kan syfta till utvecklingen av logiskt tänkande, om bara eleverna systematiskt åläggs att motivera beräkningar och identiska transformationer, och till utvecklingen av funktionellt tänkande, vilket uppnås på olika sätt. Vikten av beräkningar och identiska transformationer i utvecklingen av vilja, minne, intelligens, självkontroll och kreativt initiativ är ganska uppenbar.

Kraven på vardaglig och industriell datorpraktik kräver att eleverna utvecklar starka, automatiserade färdigheter i rationella beräkningar och identitetstransformationer. Dessa färdigheter utvecklas i processen för alla beräkningsarbeten, men speciella träningsövningar i snabba beräkningar och transformationer är nödvändiga.

Så, om lektionen involverar att lösa logaritmiska ekvationer med den grundläggande logaritmiska identiteten, är det användbart att i lektionsplanen inkludera muntliga övningar om att förenkla eller beräkna värdena för uttryck: , , . Syftet med övningarna kommuniceras alltid till eleverna. Under övningen kan det vara nödvändigt att kräva att eleverna motiverar individuella transformationer, handlingar eller lösningen på ett helt problem, även om detta inte var planerat. Där olika sätt att lösa ett problem är möjliga, är det lämpligt att alltid ställa frågor: "Hur löstes problemet?", "Vem löste problemet på ett annat sätt?"

Begreppen identitet och identitetstransformation introduceras uttryckligen i algebrakursen VI. Själva definitionen av identiska uttryck kan inte praktiskt användas för att bevisa identiteten för två uttryck, och förstå att essensen av identiska transformationer är att på uttrycket tillämpa definitionerna och egenskaperna för de handlingar som anges i uttrycket, eller att lägga till det är ett uttryck som är identiskt lika med 0, eller genom att multiplicera det med ett uttryck som är identiskt lika med ett. Men även efter att ha behärskat dessa bestämmelser förstår eleverna ofta inte varför dessa transformationer tillåter oss att hävda att de ursprungliga och resulterande uttrycken är identiska, dvs. ta samma värden för alla system (uppsättningar) av variabelvärden.

Det är också viktigt att se till att eleverna tydligt förstår att sådana slutsatser av identiska transformationer är konsekvenser av definitionerna och egenskaperna hos motsvarande handlingar.

Apparaten för identitetsomvandlingar, som ackumulerats under tidigare år, utökas i klass VI. Denna förlängning börjar med införandet av en identitet som uttrycker egenskapen hos produkten av makter med samma baser: , där , är heltal.

§3. Matematik program. I skolkursen "Algebra och analysens början" studerar eleverna systematiskt exponentiella och logaritmiska funktioner och deras egenskaper, identiska transformationer av logaritmiska och exponentiella uttryck och deras tillämpning för att lösa motsvarande ekvationer och ojämlikheter, och blir bekanta med grundläggande begrepp och påståenden. . I årskurs 11 tar algebralektionerna 3 timmar i veckan, totalt 102 timmar per år. Programmet tar 36 timmar att studera exponential-, logaritm- och potensfunktioner. Programmet omfattar övervägande och studier av följande frågor: Begreppet examen med en rationell exponent. Lösa irrationella ekvationer. Exponentialfunktion, dess egenskaper och graf. Identiska transformationer av exponentiella uttryck. Lösa exponentiella ekvationer och ojämlikheter. Logaritm av ett tal. Grundläggande egenskaper hos logaritmer. Logaritmisk funktion, dess egenskaper och graf. Lösa logaritmiska ekvationer och ojämlikheter. Derivat av en exponentiell funktion. Antal och naturlig logaritm. Derivat av en potensfunktion. Huvudsyftet med exponential- och logaritmfunktionssektionen är att göra eleverna bekanta med exponential-, logaritm- och potensfunktioner; lära eleverna att lösa exponentiella och logaritmiska ekvationer och ojämlikheter. Begreppen th rot och graden med en rationell exponent är en generalisering av begreppen kvadratroten och graden med en heltalsexponent. Eleverna bör vara uppmärksamma på att egenskaperna hos rötter och potenser med rationella exponenter som betraktas här liknar de egenskaper som de tidigare studerade kvadratrötterna och potenserna med heltalsexponenter besitter. Det är nödvändigt att ägna tillräckligt med tid åt att öva på egenskaperna hos examina och utveckla färdigheterna för identitetstransformationer. Begreppet en examen med en irrationell exponent introduceras på en visuell och intuitiv basis. Detta material spelar en hjälproll och används när exponentialfunktionen introduceras. Studiet av egenskaperna hos exponential-, logaritm- och potensfunktioner konstrueras i enlighet med det accepterade allmänna schemat för att studera funktioner. I detta fall ges en översikt över egenskaperna beroende på parametervärdena. Exponentiella och logaritmiska olikheter löses utifrån de studerade egenskaperna hos funktioner. Utmärkande för kursen är systematisering och generalisering av elevernas kunskaper, konsolidering och utveckling av färdigheter som förvärvats i algebrakursen, vilket genomförs både när man studerar nytt material och när man genomför generaliserad upprepning.
Kapitel 2. Identiska transformationer och beräkningar av exponentiella och logaritmiska uttryck

§1. Generalisering av begreppet examen.

Definition: Den th roten av ett rent tal är det tal vars th potens är lika med .

Enligt denna definition är den e roten av ett tal lösningen på ekvationen. Antalet rötter i denna ekvation beror på och. Låt oss överväga funktionen. Som bekant, på intervallet ökar denna funktion för vilket värde som helst och tar alla värden från intervallet. Enligt rotsatsen har ekvationen för någon en icke-negativ rot och dessutom bara en. Det kallas den aritmetiska roten av den e graden av ett tal och betecknas med ; talet kallas den radikala exponenten, och själva talet kallas det radikala uttrycket. Tecknet kallas också radikal.

Definition: Den aritmetiska roten av den e potensen av ett tal är ett icke-negativt tal vars th potens är lika med .

För jämna tal är funktionen jämn. Det följer att om , så har ekvationen, förutom roten, också en rot. Om , så finns det en rot: ; om , så har denna ekvation inga rötter, eftersom den jämna potensen av ett tal är icke-negativ.

För udda värden ökar funktionen längs hela tallinjen; dess intervall är mängden av alla reella tal. Genom att tillämpa rotsatsen finner vi att ekvationen har en rot för någon och i synnerhet för . Denna rot för valfritt värde betecknas med .

För rötter av udda grad är jämlikheten sann. Faktum är att, dvs. talet är den: e roten av . Men en sådan rot till udda är den enda. Därav, .

Anmärkning 1: På riktigt

Låt oss komma ihåg de kända egenskaperna hos aritmetiska rötter av den e graden.

För alla naturliga tal, heltal och alla icke-negativa heltal och likheterna är giltiga:

1.

2.

3.

4.

Examen med en rationell exponent.

Uttrycket definieras för alla och , förutom fallet med . Låt oss komma ihåg egenskaperna hos sådana krafter.

För alla tal och alla heltal och likheterna är giltiga:

Vi noterar också att om , då för och för .. och

För elever som tar Unified State Examen använder matematiklärare vid gymnasieskolan nr 26 i Yakutsk en lista med innehållsfrågor (kodifierare) för skolmatematikkursen, vars behärskning testas när de klarar 2007 års unified state-examen. Den valbara kursen som förberedelse för Unified State Exam bygger på upprepning, systematisering och fördjupning av tidigare förvärvade kunskaper. Kurserna hålls i form av gratis...

Exempel 1 . Beräkna:

Bredvid varje uttryck anges en identitet, i de cykler för vilka de föreslagna uppgifterna kan vara närvarande. Syftet med sådana uppgifter är att bemästra funktionerna i poster, inklusive symboler för nya operationer och funktioner, och att utveckla matematiska talfärdigheter.

En betydande del av användningen av identitetstransformationer förknippade med elementära funktioner faller på lösningen av irrationella och transcendentala ekvationer. Cyklerna relaterade till assimilering av identiteter inkluderar bara de enklaste ekvationerna, men här är det tillrådligt att arbeta med att bemästra metoden för att lösa sådana ekvationer: reducera den genom att ersätta det okända med en algebraisk ekvation.

Stegsekvensen för denna lösning är som följer:

a) hitta funktionen

, för vilken denna ekvation kan representeras som ;

b) gör ett byte

och lös ekvationen;

c) lös var och en av ekvationerna

, var är uppsättningen av rötter i ekvationen .

Vid användning av den beskrivna metoden utförs steg b) ofta implicit, utan att införa en notation för

. Dessutom föredrar eleverna ofta, från de olika vägarna som leder till att hitta ett svar, att välja den som leder till den algebraiska ekvationen snabbare och enklare.

Exempel 2 . Lös ekvationen

.

Första sättet:

Andra sättet:

Här kan du se att med den första metoden är steg a) svårare än med det andra. Den första metoden är "svårare att börja med", även om den fortsatta lösningen är mycket enklare. Å andra sidan har den andra metoden fördelarna med större lätthet och större precision när det gäller att lära sig reducera till en algebraisk ekvation.

För en skolalgebrakurs är typiska uppgifter där övergången till en algebraisk ekvation är ännu enklare än i detta exempel. Huvudbelastningen av sådana uppgifter hänför sig till identifieringen av steg c) som en oberoende del av lösningsprocessen i samband med användningen av egenskaperna hos den elementära funktionen som studeras.

Exempel 3 . Lös ekvationen:

; b) .

Dessa ekvationer reduceras till ekvationerna: a)

eller ; b) eller . För att lösa dessa ekvationer krävs kunskap om endast de enklaste fakta om exponentialfunktionen: dess monotoni, värdeomfång. Liksom föregående exempel kan ekvationerna a) och b) klassificeras som den första gruppen i en serie övningar för att lösa andragradsexponentialekvationer.

Således kommer vi till en klassificering av uppgifter i cykler relaterade till att lösa transcendentala ekvationer som inkluderar en exponentiell funktion:

1) ekvationer som reduceras till formens ekvationer

och med ett enkelt, allmänt svar: ;

2) ekvationer som reduceras till ekvationer

, där är ett heltal, eller , där ;

3) ekvationer som reduceras till ekvationer

och kräver explicit analys av formen i vilken numret är skrivet .

Uppgifter för andra elementära funktioner kan klassificeras på liknande sätt.

En betydande del av identiteterna som studeras i algebra och algebra och principer för analyskurser bevisas i dem eller åtminstone förklaras. Denna aspekt av identitetsstudiet är av stor betydelse för båda kurserna, eftersom bevisresonemang i dem förs med största tydlighet och stringens just i relation till identiteter. Utöver detta material är bevisen vanligtvis mindre fullständiga att de inte alltid särskiljs från den bevisning som används.

Egenskaperna för aritmetiska operationer används som stöd på vilket identitetsbevis byggs.

Den pedagogiska effekten av beräkningar och identiska transformationer kan syfta till utvecklingen av logiskt tänkande, om bara eleverna systematiskt åläggs att motivera beräkningar och identiska transformationer, och till utvecklingen av funktionellt tänkande, vilket uppnås på olika sätt. Vikten av beräkningar och identiska transformationer i utvecklingen av vilja, minne, intelligens, självkontroll och kreativt initiativ är ganska uppenbar.

Kraven på vardaglig och industriell datorpraktik kräver att eleverna utvecklar starka, automatiserade färdigheter i rationella beräkningar och identitetstransformationer. Dessa färdigheter utvecklas i processen för alla beräkningsarbeten, men speciella träningsövningar i snabba beräkningar och transformationer är nödvändiga.

Så, om lektionen innebär att lösa logaritmiska ekvationer med den grundläggande logaritmiska identiteten

, då är det användbart att i lektionsplanen ta med muntliga övningar om att förenkla eller beräkna betydelsen av uttryck: , , . Syftet med övningarna kommuniceras alltid till eleverna. Under övningen kan det vara nödvändigt att kräva att eleverna motiverar individuella transformationer, handlingar eller lösningen på ett helt problem, även om detta inte var planerat. Där olika sätt att lösa ett problem är möjliga, är det lämpligt att alltid ställa frågor: "Hur löstes problemet?", "Vem löste problemet på ett annat sätt?"

Begreppen identitet och identitetstransformation introduceras uttryckligen i algebrakursen VI. Själva definitionen av identiska uttryck kan inte praktiskt användas för att bevisa identiteten för två uttryck, och förstå att essensen av identiska transformationer är att på uttrycket tillämpa definitionerna och egenskaperna för de handlingar som anges i uttrycket, eller att lägga till det är ett uttryck som är identiskt lika med 0, eller genom att multiplicera det med ett uttryck som är identiskt lika med ett. Men även efter att ha behärskat dessa bestämmelser förstår eleverna ofta inte varför dessa transformationer tillåter oss att hävda att de ursprungliga och resulterande uttrycken är identiska, dvs. ta samma värden för alla system (uppsättningar) av variabelvärden.

Det är också viktigt att se till att eleverna tydligt förstår att sådana slutsatser av identiska transformationer är konsekvenser av definitionerna och egenskaperna hos motsvarande handlingar.

Apparaten för identitetsomvandlingar, som ackumulerats under tidigare år, utökas i klass VI. Denna förlängning börjar med att introducera en identitet som uttrycker egenskapen hos produkten av makter med samma baser:

Begreppet en examen med en rationell exponent. Lösa irrationella ekvationer. Exponentialfunktion, dess egenskaper och graf. Identiska transformationer av exponentiella uttryck. Lösa exponentiella ekvationer och ojämlikheter. Logaritm av ett tal. Grundläggande egenskaper hos logaritmer. Logaritmisk funktion, dess egenskaper och graf. Lösa logaritmiska ekvationer och ojämlikheter. Derivat av en exponentiell funktion. Antal och naturlig logaritm. Derivat av en potensfunktion.

Huvudsyftet med exponential- och logaritmfunktionssektionen är att göra eleverna bekanta med exponential-, logaritm- och potensfunktioner; lära eleverna att lösa exponentiella och logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Begreppen th rot och graden med en rationell exponent är en generalisering av begreppen kvadratroten och graden med en heltalsexponent. Eleverna bör vara uppmärksamma på att egenskaperna hos rötter och potenser med rationella exponenter som betraktas här liknar de egenskaper som de tidigare studerade kvadratrötterna och potenserna med heltalsexponenter besitter. Det är nödvändigt att ägna tillräckligt med tid åt att öva på egenskaperna hos examina och utveckla färdigheterna för identitetstransformationer. Begreppet en examen med en irrationell exponent introduceras på en visuell och intuitiv basis. Detta material spelar en hjälproll och används när exponentialfunktionen introduceras.

Studiet av egenskaperna hos exponential-, logaritm- och potensfunktioner konstrueras i enlighet med det accepterade allmänna schemat för att studera funktioner. I detta fall ges en översikt över egenskaperna beroende på parametervärdena. Exponentiella och logaritmiska olikheter löses utifrån de studerade egenskaperna hos funktioner.

Utmärkande för kursen är systematisering och generalisering av elevernas kunskaper, konsolidering och utveckling av färdigheter som förvärvats i algebrakursen, vilket genomförs både när man studerar nytt material och när man genomför generaliserad upprepning.