Tilläggsformler: bevis, exempel. Trigonometriformler Formler för addition och skillnad av trigonometriska funktioner

Jag ska inte försöka övertyga dig om att inte skriva fuskblad. Skriva! Inklusive fuskblad på trigonometri. Senare tänker jag förklara varför fuskblad behövs och varför fuskblad är användbara. Och här är information om hur man inte lär sig, men för att komma ihåg några trigonometriska formler. Så - trigonometri utan fuskblad Vi använder associationer för memorering.

1. Tilläggsformler:

Cosinus "kommer alltid i par": cosinus-cosinus, sinus-sinus. Och en sak till: cosinus är "otillräckliga". "Allt är inte rätt" för dem, så de ändrar tecknen: "-" till "+", och vice versa.

Bihålor - "mix": sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Summa- och skillnadsformler:

cosinus "kommer alltid i par". Genom att lägga till två cosinus - "koloboks", får vi ett par cosinus - "koloboks". Och genom att subtrahera kommer vi definitivt inte att få några koloboks. Vi får ett par sinus. Också med minus före.

Bihålor - "mix" :

3. Formler för att omvandla en produkt till summa och skillnad.

När får vi ett cosinuspar? När vi lägger till cosinus. Det är därför

När får vi ett par sinus? Vid subtrahering av cosinus. Härifrån:

"Blandning" erhålls både när man adderar och subtraherar sinus. Vad är roligare: lägga till eller subtrahera? Det stämmer, vik. Och för formeln tar de tillägg:

I den första och tredje formeln står summan inom parentes. Att ordna om villkorens platser ändrar inte summan. Ordningen är viktig endast för den andra formeln. Men för att inte bli förvirrad, för att det ska vara lätt att komma ihåg, tar vi skillnaden i alla tre formlerna i de första parenteserna

och för det andra - beloppet

Fuskblad i fickan ger dig sinnesfrid: om du glömmer formeln kan du kopiera den. Och de ger dig självförtroende: om du misslyckas med att använda fuskbladet kan du lätt komma ihåg formlerna.

Additionsformler används för att genom sinus och cosinus för vinklarna a och b uttrycka värdena för funktionerna cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).

Tilläggsformler för sinus och cosinus

Sats: För alla a och b gäller följande likhet: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

Låt oss bevisa detta teorem. Tänk på följande figur:

På den erhålls punkterna Ma, M-b, M(a+b) genom att rotera punkten Mo med vinklarna a, -b respektive a+b. Från definitionerna av sinus och cosinus kommer koordinaterna för dessa punkter att vara följande: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+) b) (cos(a+b); sin(a+b)). AngleMoOM(a+b) = angleM-bOMa, därför är trianglarna MoOM(a+b) och M-bOMa lika, och de är likbenta. Detta betyder att baserna MoM(a-b) och M-bMa är lika. Därför (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Med hjälp av formeln för avståndet mellan två punkter får vi:

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.

sin(-a) = -sin(a) och cos(-a) = cos(a). Låt oss omvandla vår likhet med hänsyn till dessa formler och kvadraten på summan och skillnaden, då:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

Nu tillämpar vi den grundläggande trigonometriska identiteten:

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

Låt oss ge liknande och minska dem med -2:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.

Följande formler är också giltiga:

• cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
• sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
• sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).

Dessa formler kan erhållas från den som bevisats ovan genom att använda reduktionsformler och ersätta b med -b. Det finns även additionsformler för tangenter och cotangenter, men de kommer inte att vara giltiga för alla argument.

Formler för att lägga till tangenter och cotangenter

För alla vinklar a,b utom a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n och a+b =pi/2 +pi*m, för alla heltal k,n,m kommer följande vara sann formel:

tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

För alla vinklar a,b utom a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n och a-b =pi/2 +pi*m, för alla heltal k,n,m kommer följande formel att vara giltig:

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

För alla vinklar a,b utom a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m och för alla heltal k,n,m kommer följande formel att vara giltig:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).

Vi fortsätter vårt samtal om de mest använda formlerna inom trigonometri. De viktigaste av dem är additionsformler.

Definition 1

Additionsformler låter dig uttrycka funktioner av skillnaden eller summan av två vinklar med hjälp av trigonometriska funktioner för dessa vinklar.

Till att börja med kommer vi att ge en komplett lista över additionsformler, sedan kommer vi att bevisa dem och analysera flera illustrativa exempel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Grundläggande additionsformler i trigonometri

Det finns åtta grundläggande formler: sinus för summan och sinus för skillnaden mellan två vinklar, cosinus för summan och skillnaden, tangenter och kotangenser för summan respektive skillnaden. Nedan följer deras standardformuleringar och beräkningar.

1. Sinus för summan av två vinklar kan erhållas enligt följande:

Vi beräknar produkten av sinus för den första vinkeln och cosinus för den andra;

Multiplicera cosinus för den första vinkeln med sinus för den första;

Lägg ihop de resulterande värdena.

Den grafiska skrivningen av formeln ser ut så här: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. Skillnadens sinus beräknas på nästan samma sätt, bara de resulterande produkterna ska inte adderas, utan subtraheras från varandra. Sålunda beräknar vi produkterna av sinus för den första vinkeln med cosinus för den andra och cosinus för den första vinkeln med sinus för den andra och finner deras skillnad. Formeln skrivs så här: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Cosinus av summan. För det hittar vi produkterna av cosinus för den första vinkeln med cosinus för den andra och sinus för den första vinkeln med sinus för den andra, respektive, och finner deras skillnad: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. Cosinus för skillnaden: beräkna produkterna av sinus och cosinus för dessa vinklar, som tidigare, och addera dem. Formel: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangent av summan. Denna formel uttrycks som en bråkdel, vars täljare är summan av tangenterna för de erforderliga vinklarna, och nämnaren är en enhet, från vilken produkten av tangenterna för de önskade vinklarna subtraheras. Allt är tydligt från dess grafiska notation: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Tangent av skillnaden. Vi beräknar värdena för skillnaden och produkten av tangenterna för dessa vinklar och fortsätter med dem på ett liknande sätt. I nämnaren lägger vi till ett, och inte vice versa: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Cotangens av beloppet. För att beräkna med den här formeln behöver vi produkten och summan av kotangenserna för dessa vinklar, vilket vi gör enligt följande: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. Cotangens av skillnaden . Formeln liknar den föregående, men täljaren och nämnaren är minus, inte plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

Du har förmodligen märkt att dessa formler är lika i par. Med hjälp av tecknen ± (plus-minus) och ∓ (minus-plus), kan vi gruppera dem för att underlätta inspelningen:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

Följaktligen har vi en inspelningsformel för summan och skillnaden av varje värde, bara i ett fall uppmärksammar vi det övre tecknet, i det andra - till det nedre.

Definition 2

Vi kan ta vilka vinklar som helst α och β, och additionsformlerna för cosinus och sinus kommer att fungera för dem. Om vi ​​korrekt kan bestämma värdena för tangenterna och cotangenserna för dessa vinklar, kommer additionsformlerna för tangent och cotangens också att vara giltiga för dem.

Liksom de flesta begrepp inom algebra kan additionsformler bevisas. Den första formeln vi kommer att bevisa är skillnaden cosinus formel. Resten av bevisningen kan sedan lätt utläsas av den.

Låt oss förtydliga de grundläggande begreppen. Vi kommer att behöva en enhetscirkel. Det löser sig om vi tar en viss punkt A och vrider vinklarna α och β runt mitten (punkt O). Då blir vinkeln mellan vektorerna O A 1 → och OA → 2 lika med (α - β) + 2 π · z eller 2 π - (α - β) + 2 π · z (z är vilket heltal som helst). De resulterande vektorerna bildar en vinkel som är lika med α - β eller 2 π - (α - β), eller så kan den skilja sig från dessa värden med ett heltal av hela varv. Ta en titt på bilden:

Vi använde reduktionsformlerna och fick följande resultat:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Resultat: cosinus för vinkeln mellan vektorerna OA 1 → och O A 2 → är lika med cosinus för vinkeln α - β, därför cos (O A 1 → OA 2 →) = cos (α - β).

Låt oss komma ihåg definitionerna av sinus och cosinus: sinus är en funktion av vinkeln, lika med förhållandet mellan benet för den motsatta vinkeln och hypotenusan, cosinus är sinus för den komplementära vinkeln. Därför punkterna A 1 Och A 2 har koordinater (cos α, sin α) och (cos β, sin β).

Vi får följande:

OA 1 → = (cos α, sin α) och OA 2 → = (cos β, sin β)

Om det inte är tydligt, titta på koordinaterna för punkterna i början och slutet av vektorerna.

Längden på vektorerna är lika med 1, eftersom Vi har en enhetscirkel.

Låt oss nu analysera skalärprodukten av vektorerna OA 1 → och OA 2 → . I koordinater ser det ut så här:

(O A 1 → , OA 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

Av detta kan vi härleda jämställdheten:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Således är skillnaden cosinus formel bevisad.

Nu kommer vi att bevisa följande formel - summans cosinus. Detta är lättare eftersom vi kan använda de tidigare beräkningarna. Låt oss ta representationen α + β = α - (- β) . Vi har:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Detta är beviset för cosinussummans formel. Den sista raden använder egenskapen sinus och cosinus för motsatta vinklar.

Formeln för en summas sinus kan härledas från formeln för en skillnads cosinus. Låt oss ta reduktionsformeln för detta:

av formen sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Så
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

Och här är beviset på sinusformeln för skillnaden:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Notera användningen av sinus- och cosinusegenskaperna för motsatta vinklar i den senaste beräkningen.

Därefter behöver vi bevis på additionsformlerna för tangent och cotangens. Låt oss komma ihåg de grundläggande definitionerna (tangens är förhållandet mellan sinus och cosinus, och cotangens är vice versa) och ta formlerna som redan härletts i förväg. Vi gjorde det:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Vi har en komplex bråkdel. Därefter måste vi dividera dess täljare och nämnare med cos α · cos β, givet att cos α ≠ 0 och cos β ≠ 0, får vi:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

Nu minskar vi bråken och får följande formel: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Vi fick t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Detta är beviset på tangentadditionsformeln.

Nästa formel som vi kommer att bevisa är tangenten till differensformeln. Allt visas tydligt i beräkningarna:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Formler för cotangens bevisas på liknande sätt:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Ytterligare:
c t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g

Relationerna mellan de grundläggande trigonometriska funktionerna - sinus, cosinus, tangent och cotangens - anges trigonometriska formler. Och eftersom det finns ganska många kopplingar mellan trigonometriska funktioner, förklarar detta överflödet av trigonometriska formler. Vissa formler förbinder trigonometriska funktioner i samma vinkel, andra - funktioner i en multipel vinkel, andra - låter dig minska graden, fjärde - uttrycker alla funktioner genom tangenten till en halv vinkel, etc.

I den här artikeln kommer vi att lista i ordning alla grundläggande trigonometriska formler, som är tillräckliga för att lösa de allra flesta trigonometriproblem. För att underlätta memorering och användning kommer vi att gruppera dem efter syfte och lägga in dem i tabeller.

Sidnavigering.

Grundläggande trigonometriska identiteter

Grundläggande trigonometriska identiteter definiera förhållandet mellan sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel. De följer av definitionen av sinus, cosinus, tangent och cotangens samt begreppet enhetscirkel. De låter dig uttrycka en trigonometrisk funktion i form av någon annan.

För en detaljerad beskrivning av dessa trigonometriformler, deras härledning och exempel på tillämpning, se artikeln.

Reduktionsformler

Reduktionsformler följer av egenskaperna för sinus, cosinus, tangens och cotangens, det vill säga de reflekterar egenskapen periodicitet för trigonometriska funktioner, egenskapen symmetri, såväl som egenskapen för skiftning med en given vinkel. Dessa trigonometriska formler låter dig gå från att arbeta med godtyckliga vinklar till att arbeta med vinklar som sträcker sig från noll till 90 grader.

Skälen för dessa formler, en mnemonisk regel för att memorera dem och exempel på deras tillämpning kan studeras i artikeln.

Tilläggsformler

Trigonometriska additionsformler visa hur trigonometriska funktioner av summan eller skillnaden mellan två vinklar uttrycks i termer av trigonometriska funktioner för dessa vinklar. Dessa formler tjänar som grund för att härleda följande trigonometriska formler.

Formler för dubbel, trippel, etc. vinkel

Formler för dubbel, trippel, etc. vinkel (de kallas även formler för multipla vinkel) visar hur trigonometriska funktioner av dubbel, trippel, etc. vinklar () uttrycks i termer av trigonometriska funktioner för en enda vinkel. Deras härledning är baserad på additionsformler.

Mer detaljerad information samlas i artikelformlerna för dubbel, trippel osv. vinkel

Halvvinkelformler

Halvvinkelformler visa hur trigonometriska funktioner för en halv vinkel uttrycks i termer av cosinus för en hel vinkel. Dessa trigonometriska formler följer av dubbelvinkelformlerna.

Deras slutsats och exempel på tillämpning finns i artikeln.

Formler för gradminskning

Trigonometriska formler för att minska graderär utformade för att underlätta övergången från naturliga krafter av trigonometriska funktioner till sinus och cosinus i första graden, men av flera vinklar. Med andra ord låter de dig reducera styrkorna hos trigonometriska funktioner till den första.

Formler för summan och skillnaden av trigonometriska funktioner

Det huvudsakliga syftet formler för summan och skillnaden av trigonometriska funktionerär att gå till produkten av funktioner, vilket är mycket användbart när man förenklar trigonometriska uttryck. Dessa formler används också i stor utsträckning för att lösa trigonometriska ekvationer, eftersom de låter dig faktorisera summan och skillnaden mellan sinus och cosinus.

Formler för produkten av sinus, cosinus och sinus för cosinus

Övergången från produkten av trigonometriska funktioner till en summa eller skillnad utförs med hjälp av formlerna för produkten av sinus, cosinus och sinus för cosinus.

Universell trigonometrisk substitution

Vi avslutar vår genomgång av trigonometrins grundläggande formler med formler som uttrycker trigonometriska funktioner i termer av tangenten för en halv vinkel. Denna ersättare kallades universell trigonometrisk substitution. Dess bekvämlighet ligger i det faktum att alla trigonometriska funktioner uttrycks i termer av tangenten för en halv vinkel rationellt utan rötter.

Bibliografi.

• Algebra: Lärobok för 9:e klass. snitt skola/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Utbildning, 1990. - 272 s.: ill
• Bashmakov M.I. Algebra och analysens början: Lärobok. för 10-11 årskurser. snitt skola - 3:e uppl. - M.: Utbildning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra och början av analysen: Proc. för 10-11 årskurser. Allmän utbildning institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn och andra; Ed. A. N. Kolmogorov - 14:e upplagan - M.: Utbildning, 2004. - 384 s.: ill.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för dem som går in på tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.

Upphovsrätt av smartstudenter

Alla rättigheter förbehållna.
Skyddad av upphovsrättslagen. Ingen del av webbplatsen, inklusive internt material och utseende, får reproduceras i någon form eller användas utan föregående skriftligt tillstånd från upphovsrättsinnehavaren.